Элективный курс "Решение задач повышенной трудности" (11 класс)

 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Гимназия № 13»

РАССМОТРЕНО На заседании ШМО Протокол № __от_____ _________

СОГЛАСОВАНО                   Зам.директора по НМР ________

УТВЕРЖДАЮ     Директор МБОУ                          «Гимназия № 13»          ______    Приказ № ___от_____2010

Рабочая программа по элективному курсу

 «Решение математических задач повышенной трудности»

11 Б класс

Шлямова Надежда Ивановна, учитель высшей категории.

Ульяновск, 2014

Пояснительная записка

         Современные тенденции по модернизации среднего образования направлены на создание в старших классах различных профилей. Такие преобразования диктуются в первую очередь социальным заказом общества, который ставит перед школой задачу: дать учащемуся полное среднее образование и помочь ему в профессиональном выборе.  Данная программа элективного курса предназначена для учащихся 11 класса. Курс рассчи­тан на 68 часов. Основным средством развития математических способностей учащихся являются задачи. Цель настоящего курса состоит в развитии математического мышления и творче­ской активности учащихся. Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных реше­ний математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Каждая предлагаемая для решения учащимся задача может служить многим конкретным целям обучения. И всё же главная цель - развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их ма­тематикой, привести к «открытию» математических фактов. Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно, полезны. На занятиях необходимо учить школьников применять различные математические методы (метод уравнений, векторный и координатный методы, метод геометрических преобразо­ваний и т.д.). Также необходимо формировать у учащихся умения и навыки, нужные для решения любой математической задачи, прививать им вкус и навыки к выполнению рабо­ты исследовательского характера. Конечно, научить решать нестандартные задачи можно лишь в том случае, если у учащихся будет желание их решать, т.е. если задачи будут со­держательными и интересными с точки зрения ученика.

В процессе решения целесообразно чётко различать четыре ступени:

1)      изучения условия задачи;

2)      поиск плана решения и его составление;

3)      оформление найденного решения;

4)      изучение полученного решения - критический анализ результата решения и отбор полезной информации.

Особенно это актуально в настоящее время, когда учащиеся сдают экзамен в форме ЕГЭ. Программа курса охватывает все разделы математики, кото­рые включены в программу. Основная задача учителя не просто научить решать задачи, а учить мыслить, аргументировать, обобщать, классифицировать, используя изученный ма­териал. Данная рабочая программа и планирование курса алгебры и математического анализа для одиннадцатых классов отражает практику работы школы в классах, с углубленным изучением алгебры и математического анализа.

Результатом изучения курса должно стать умение решать различные математические задачи; углубление имеющихся знаний по математике; развитие самостоятельного, актив­ного, творческого мышления у учащихся; качественно сдать выпускные экзамены по ма­тематике.

После изучения каждой главы учащиеся будут выполнять самостоятельные или кон­трольные работы, которые будут оцениваться в основном в форме зачтено /не зачтено/, не исключено выставление отметок по желанию учащихся в журнал. Уровень достижений учащихся будет контролироваться таким способом, как наблюдением активности на заня­тиях, анализ самостоятельных и контрольных работ, беседы с учащимися.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретённых программных знаний, его цель - создать целостное представление о математике средней школы и значи­тельно расширить спектр задач, развивать способности учащихся делать выводы из дан­ных условий. Содержание курса предполагает работу с разными источниками информации

и предусматривает самостоятельную (индивидуальную) или коллективную работу уча­щихся. Организация работы должна строиться таким образом, чтобы учащиеся стремились рассуждать и выдвигать гипотезы.

При проведении занятий необходимо применять различные формы и методы ведения урока: уроки-практикумы, урок решения одной задачи, уроки вопросов и ответов и т. д., учитывая индивидуальные особенности каждого ученика.

 Цели курса:

Формирование и развитие у учащихся:

·   интеллектуальных и практических умений в области решения уравнений, неравенств, задач;

·   интереса к изучению математики;

·   умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;

·   творческих способностей;

·   коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, отстаивать свою точку зрения. В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:

·   решать уравнения, неравенства, задачи повышенной сложности;

·   анализировать полученный результат;

·   исследовать уравнение, неравенство;

·   применять нестандартные методы при решении уравнений, неравенств, задач.

Содержание учебного курса

Уравнения(10 ч)

Многочлены. Рациональные уравнения. Системы уравнений с двумя неизвестными. Сис­темы уравнений с параметром. Иррациональные уравнения. Показательные уравнения. Ло­гарифмические уравнения. Тригонометрические уравнения. Уравнения с параметром. Уравнения с двумя неизвестными.

Методические рекомендации

Сначала желательно повторить определение многочлена и операции с многочлена­ми, особое внимание уделить равенству двух многочленов, разложению многочлена на множители, делению многочлена на многочлен, теорему Безу. Далее дать определение равносильных уравнений и уравнений следствий, теоремы, при которых уравнения пере­ходят в равносильные уравнения. Рассмотреть различные способы решения уравнений и их систем, более подробно разобрать функционально-графический метод решения уравне­ний и метод оценки. Задания для занятий можно брать из сборников для поступающих в вузы и для подготовки к ЕГЭ. При выполнении практических заданий учащихся можно разбить на группы, работу в группах давать различной степени сложности и оценить ре­зультаты.

Неравенства (6ч)

Тригонометрические неравенства. Иррациональные неравенства. Показательные неравен­ства. Логарифмические неравенства. Неравенства с параметром. Смешанные неравенства. Методические рекомендации

Дать определение неравенства с одной переменной, определения равносильных нера­венств, повторить теоремы, которые используются при решении неравенств, метод интер­валов. Повторить свойства функций. Задания учащимся давать различной степени трудно­сти, чтобы каждый смог бы выбрать те задания, которые ему по силам. В конце провести зачёт по этим двум темам. По желанию отметки можно поставить в журнал.

Функции (7ч)

Наибольшее, наименьшее значения функции (без использования производной). Примене­ние производной. Геометрический смысл производной. Применение первообразной. Ком­бинированные функции Область определения функции. Множество значений функции. Методические рекомендации

Знать свойства функций, сложных функций и уметь применять свои знания при нахожде­нии области определения функции и множества значений функции, находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Повторить свойства об­ратных тригонометрических функций. После изучения темы провести самостоятельную проверочную работу.

Текстовые задачи (6ч)

Проценты, сплавы, смеси. Движение. Работа, производительность.

Методические рекомендации

Эта тема введена в связи с тем, что некоторым учащимся необходимо сдавать математику для поступления в вуз. Задачи, которые будут рассматриваться, соответствуют степени трудности задач, предлагаемых на ЕГЭ. Здесь необходимо включать задачи, взятые из ок­ружающей жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимися ве­щами, опытом. Контроль усвоения материала можно провести по желанию учащегося в виде домашней контрольной работы.

Задачи на прогрессию (4ч)

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Методические рекомендации

Повторить определения арифметической, геометрической прогрессий, их характеристиче­ских свойств, формул, которые применяются при решении задач на прогрессии. На заняти­ях рассмотреть более сложные задачи, где присутствуют различные функции, которые об­разуют некоторую прогрессию. Провести домашнюю проверочную работу.

Планиметрия, стереометрия (9ч)

Вписанная в треугольник и описанная около треугольника окружности. Вписанная в п-угольник и описанная около п-угольника окружности. Треугольник. Четырёхугольники.

Окружность, касательные и секущие. Комбинации тел. Решение геометрических задач по­вышенной трудности. Методические рекомендации

Повторить и обобщить знания и умения учащихся по геометрии. Разобрать решения неко­торых нестандартных задач, наиболее часто встречающихся. Особое внимание уделить на решение задач, где участвуют несколько тел. Тему завершить домашней контрольной ра­ботой.

Задачи с параметрами (17ч)

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам. Решение простейших уравнений с параметрами.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейно-кусочных уравнений. Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический способ решения. Графический способ. Алгоритм решения систем линейных уравнений и неравенств с параметрами. Решение рациональных уравнений с параметром. Решение уравнений и неравенств с параметрами с помощью графиков. Область значений функции.
Область определения функции. Монотонность. Координаты вершины параболы.

Решение задач с параметром с помощью свойств функций. Расположение корней квадратного трехчлена

Решение различных задач повышенной сложности (9ч)

Последние занятия рассчитаны на то, что учащиеся в основном самостоятельно будут оты­скивать ход решения задачи, его оформление. Работу можно организовать в виде пар или небольших групп. Потом провести зачётную работу, сделать анализ решений и допущен­ных ошибок.

                         Требования к уровню подготовленности учащихся

В результате изучения элективного курса  уровне ученик должен

знать / понимать:

– значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

– идеи расширения числовых множеств как способа построения нового математического аппарата для решения практических задач и внутренних задач математики;

– значение идей, методов и результатов алгебры и математического анализа для построения моделей реальных процессов и ситуаций;

– универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности;

– различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике;

– вероятностный характер различных процессов и закономерностей окружающего мира.

Уравнения

Знать и понимать:

·               определение многочлена,

·               выполнять действия с многочленами,

·               раскладывать многочлен на множители,

·               формулы разло­жения многочлена разности и суммы кубов, разности х^п – у^п и суммы х^2к+1 + у ^2к+1,

·               теоре­му Безу и её следствие о делимости многочлена на линейный двучлен,

·               определение урав­нения называются равносильными, уравнения-следствия, какие операции приводят к появ­лению «посторонних» корней,

·               применять нестандартные приёмы при решении уравнений и их систем,

·               применять различные способы решения уравнений и их систем,

Неравенства

Знать и понимать:

·               неравенство Коши и Бернулли,

·               применять неравенства при решении уравнений и неравенств.

Уметь:

·               приме­нять графики для решения неравенств и их систем.

Функции

Знать и понимать:

·               находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком;

·               проводить исследование функций;

·               строить и читать гра­фики функций;

·                владеть основными приёмами преобразования графиков и применять их при построении графиков;

Уметь:

·               преобразовывать выражения, содержащие обратные три­гонометрические функции.

Текстовые задачи

Знать и понимать:

·               определение процентов, сплавов, смесей, движения, работы, производительности.

Уметь:

·               давать обоснования при решении задач, опираясь на теоретические сведения

·               решать задачи методом уравнений и алгебраическим методом.

Задачи на прогрессию

Знать и понимать:

·         определения арифметической и геометрической прогрессий, формул их «n-го члена,

·         формулы суммы n-первых членов,

·         формулу суммы бесконечно убывающей геомет­рической прогрессии,

·         характеристические свойства прогрессий.

Уметь:

·                    применять формулы суммы n-первых членов,

·                    применять формулу суммы бесконечно убывающей геомет­рической прогрессии,

Планиметрия, стереометрия

Знать и понимать:

·         освоить определённый набор приёмов решения геометрических задач,

·         проводить полные обоснования при решении задач и доказательство, используя для этого изученные теоретические сведения.

Уметь:

 применять  приёмы решения геометрических задач в задачах на вычисление,

 применять общие методы геометрии (преобразований, векторный, координатный) и при­менять их при решении геометрических задач, вычислять значения геометрических вели­чин (длин, углов, площадей, объёмов), используя изученные формулы, а также аппарат ал­гебры, начала анализа и тригонометрии.

Решение задач с параметрами

Знать и понимать:

• Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
• проводить полные обоснования при решении задач и доказательство, используя для этого изученные теоретические сведения.

Уметь:

применять алгоритм решения линейных уравнений и неравенств, содержащих параметр, классифицировать задачи, с позиций применения к ним методов исследования, формировать умение и навыки решения уравнений и неравенств с параметрами с помощью свойств функции, с помощью графиков.           

Решение различных задач повышенной сложности

Уметь:

·                    решать нестандартные задания и задания повышенной сложности, взятые из материалов ЕГЭ и сборников для поступающих в ВУЗы.

Учебно-тематический план

№ урока	Содержание		Кол. ч.	Примерные сроки	Фактическая дата провдения
	Уравнения		10
1	Многочлены		1
2	Рациональные уравнения		1
3	Системы уравнений с двумя неизвест­ными		1
4	Системы уравнений с параметром. Самостоятельная работа.		1
5	Иррациональные уравнения.		1
6	Показательные и логарифмические уравнения. Самостоятельная работа, (тест)		1
7	Тригонометрические уравнения.		1
8	Само­стоятельная работа, (тест)		1
9	Уравнения с параметром		1
10	Уравнения с двумя неизвестными		1
	Неравенства		6
11	Тригонометрические неравенства		1
12	Иррациональные неравенства		1
13	Показательные и логарифмические не­равенства. Самостоятельная работа, (тест)		1
14	Неравенства с параметром		1
15	Смешанные неравенства		1
16	Зачётный урок по теме: «Неравенства»		1
		Функции	7
17		Наибольшее и наименьшее значения функции (без использования производ­ной)	1
18		Производная, её геометрический смысл. Самостоятельная работа, (тест)	1
19		Применение производной к исследова­нию функций и нахождению наибольших и наименьших значений.	1
20		Первообразная. Вычисление площадей криволинейных трапеций. Самостоя­тельная работа, (тест)	1
21		Сложная функция. Область определе­ния и множество значений функции.	1
22		Решение уравнений, неравенств и их систем с помощью применения свойств функций, (нестандартные задачи)	1
23		Контрольная работа (тест)	1
		Текстовые задачи	6
24-25		Проценты	2
26-27		Сплавы, смеси	2
28-29		Движение, работа, производитель­ность. Домашняя контрольная работа.	2
		Задачи на прогрессию	4
30		Арифметическая прогрессия	1
31		Геометрическая прогрессия	1
32-33		Решение экзаменационных задач. Дом. К.р.	2
		Решение геометрических задач	9
34-36		Треугольник. Многоугольники	3
37-39		Окружность, вписанная в многоуголь­ники описанная около него	3
40-42		Тела вращения. Домашняя контрольная работа	3
		Задачи с параметрами	20
43-45		Решение линейных уравнений и уравнений приводимых к линейным, содержащих параметр	3
46-48		Решение линейных неравенств, содержащих параметр	3
49-51		Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр	3
52-54		Системы линейных уравнений  и неравенств с параметрами	3
55-57		Рациональные уравнения с параметрами. Графический способ решения уравнений и неравенств.	3
58-60		Решение задач с параметром с помощью свойств функций	3
61-62		Нестандартные задачи. Итоговая контрольная работа по курсу. Защита индивидуальных  проектов	2
		Решение различных задач повышен­ной сложности	6
63-68		Решение различных задач повышен­ной сложности	6

Литература

1.               Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Под редакцией М. И. Сканави, 5-е изд.-М.; Высшая школа; 1988.

2.             Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, С. М. Саакян, Москва «Про­свещение», 1990г.

3.       Сборник  задач  по  алгебре  и  началам  анализа,  А.П.Карп,  Москва,   «Просвеще­ние», 1995г.

4.      М. Л. Галицкий, Л. И. Звавич, Сборник задач по алгебре для 8-9 классов, Москва, «Просвещение», 1995г.

5.   Алгебра и начала анализа. Задачник для общеобразовательных учреждений, под ре­дакцией А. Г. Мордковича, 3-е издание, М.;2010.

6.    И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач, М., «Просве­щение» ,10 класс, 1989.

7.    И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач, М., «Просве­щение», 11 класс, 1991.

8.  В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами, Минск, «Асар»,1996.

9.  Журнал «Математика в школе», №8, 9 2013г.

10. Журнал «Математика для школьников», 2012г.

11.   Единый государственный экзамен: Математика: Репетитор / Кочагин В. В. и др. – М.: Просвещение, Эксмо, 2013г./

12.   Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г. И. Ковалева и др. – Волгоград: Учитель, 2014г./

13.              С.А.Субханкулова. Элективный курс «Задачи с параметрами», издательство «Илекса», 2010

14.              Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2008

15.              Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2009.

16.              Математика для поступающих в вузы //Сост. А.А.Тырымов. – Волгоград: Учитель, 2006.

17.              Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.

18.              Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2010 г; №12,38-2010 г

19.              Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург; УГТУ,2009.

20.              Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 2009г

21.              Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и реравенства с параметрами. Издат МГУ, 2007г

22.              Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 2006

23.              Материалы по подготовке к ЕГЭ 2009-2014 г

24.              Электронный учебник «Алгебра 7 – 11».

25.              Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ «Математика», cd-диск,2013

Интернет-ресурсы
http://www.ege.edu.ru/
http://site-infocenter.ru/
http://www.fipi.ru
http://4ege.ru/
http://www.ctege.org/razdel.php?s=&razdelid=239 –книги для подготовки к ЕГЭ
http://uztest.ru/exam
http://alexlarin.narod.ru/ege.html
http://zadachi.mccme.ru/work/JavaScript/treenow.htm
http://www.allmath.ru/