Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Элективный курс "Решение задач с параметрами"

Элективный курс "Решение задач с параметрами"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:













Поурочное планирование элективного курса

по математике для 9 классов

«Почему параметры – хитрые хамелеоны?»



















выполнила: Кузьмина Н.К. учитель математики

МКОУ «Шумская средняя общеобразовательная школа»

с. Шум Кировского района Ленинградской области









Занятие № 1

Тема занятия: Что такое параметр? Что значит решить уравнение с параметром?

Цели: 1. Познакомить учащихся с понятием «параметр»;

2. Объяснить, зачем нужно уметь решать уравнения и неравенства с параметрами;

3.Сообщить учащимся, какие знания и умения они должны приобрести в ходе изучения данной темы;

4. На конкретных примерах показать, как решаются уравнения с одним параметром и как важно уметь правильно записывать ответ.

Ход занятия:

1. Вступительное слово.

Курс рассчитан на 13 часов. Задания с параметром часто встречаются на выпускных экзаменах в школе на уровень «5» ,а также на вступительных экзаменах в техникумы и ВУЗы, но в школьной программе практически не изучаются. Для усвоения этой темы достаточно базовых знаний по математике.

В конце изучения курса вы будете иметь представление о параметре, знать и владеть основными способами решения уравнений и неравенств с параметрами, уметь решать текстовые задачи с параметрами.

Т.е. изучение данного курса будет хорошей подготовкой к выпускным и вступительным экзаменам.

2. Изучение нового материала.

В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами: такие буквы не называют параметрами.

С понятием параметра вы уже встречались (начиная с 7 класса, но не употребляя этого слова).

№ 1:

При изучении линейных уравнений: ax=в, где х - переменная, а, в - числа, которые могут принимать различные значения.

Корень данного уравнения х = в/а

, если а ≠ 0, то 1 корень х = в/а

, если а = 0, в ≠ 0 уравнение имеет общий вид (0х = в), то нет корней

, если а = 0 = в уравнение имеет общий вид (0х = 0), то бесчисленное множество корней.

Ответ:

  1. если а ≠ 0, то 1 корень х = в/а

  2. если а = 0, в ≠ 0, то нет корней

  3. Если а = 0 = в , то бесчисленное множество корней.

№ 2:

Квадратные уравнения, которые мы решали в 8 классе тоже с параметрами.

Общий вид. ах2 + вх + с = 0,где хпеременная, а,в,с – числа, которые выполняют роль параметров.

При различных значениях а,в,с уравнение принимает разный вид и имеет различные корни. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта (D).

D = в2 – 4ас,

Рассмотрим пример из экзаменационного сборника № 95.

При каких значениях параметра с у уравнения х2 + 2х + с = 0 а) нет корней; б) один корень; в) два корня?

Решение:

Если нет корней, то D < 0, т.е. 22 – 4*1*с < 0

4 – 4с < 0

-4с < -4

с > 1

Если 1 корень, то D = 0, т.е. 22 – 4*1*с = 0

4 – 4с = 0

-4с = -4

с = 1

Если 2 корня, то D > 0, т.е.22 – 4*1*с > 0

4 – 4с > 0

-4с > -4

с < 1

Ответ: 1) При с > 1 уравнение не имеет корней;

2) При с = 1 уравнение имеет 1 корень;

3) При с < 1 уравнение имеет 2 корня.

Мы видим, что при различных значениях с количество корней различно (так же, как и сами корни), т. е. значение параметра с меняется, приспосабливается к условию задачи(так же, как хамелеоны приспосабливаются к условиям среды обитания).

Теперь вам понятно, почему курс так назван?

Наша задача: распознать все значения параметров, научиться решать уравнения с одним параметром.

3. Закрепление.

№ 1:

Решить уравнение ах = 3 (х – переменная, а – параметр)

Решение:

Корень уравнения х = 3/а, ( х является неизвестным множителем).

при а ≠ 0 уравнение имеет 1 корень

при а = 0 нет корней (т.к. на 0 делить нельзя, или при а = 0 уравнение имеет вид 0х = 3)

Ответ: если а ≠ 0, то х = 3/а

если а = 0, то корней нет.

№ 2:

Решить уравнение (а – 2)*х = а – 2

Решение:

  1. Выразим из уравнения х: х = hello_html_1b993569.gif; х = 1, если а ≠ 2.

  2. Если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 0 (подставляю а = 2 в исходное уравнение). Значит любое значение х превращает уравнение в верное равенство, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней.

Ответ: если а ≠ 2, то х = 1

если а = 2, то бесчисленное множество корней.

№ 3:

Решить уравнение (а2 – 9)*х = а + 3

Решение:

х = hello_html_34fc7d59.gifПопробуем упростить данную дробь: х = hello_html_m4a2cbb7d.gif.

Сократим дробь на общий множитель (а + 3), при условии, что (а + 3) ≠ 0, т.е. а ≠ -3

Получим х = hello_html_m77c075cb.gif

Итак, 1) х = hello_html_m77c075cb.gif, если а ≠ -3 и а ≠ 3;

2) если а = -3, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.

3) если а = 3, то уравнение примет вид 0х = 6 (подставляю а = 3 в исходное уравнение), значит нет корней.

Ответ: если а ≠ ±3, то х = hello_html_m77c075cb.gif; если а = 3, то нет корней; если а = -3, то бесчисленное множество корней.

Очень важно отметить, что ответ начинают записывать с найденных значений параметра.

4. Запись домашнего задания.

Решить уравнение (а + 5)(а – 3)*х = а2 – 25


Решение домашнего задания:

х = hello_html_6b4286f9.gif; х = hello_html_4b588543.gif; х = hello_html_m475226de.gif, если а ≠ 3 и а ≠ -5.

Если а = 3, то уравнение примет вид 0х = -16, значит нет корней.

Если а = -5, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.

Ответ: если а ≠ 3 и а ≠ -5, то х = hello_html_m475226de.gif;

если а = 3, то нет корней;

если а = -5, то бесчисленное множество корней.














































Занятие № 2

Тема занятия: Решение линейных уравнений с параметрами.

Цели: 1. Дать определение линейного уравнения с параметрами;

2. Разобрать способы решения линейных уравнений с параметрами;

3. Научиться правильно записывать ответ.

Ход занятия.

1. Подготовка к изучению нового материала.

№ 1:

Каким (линейным или квадратным) является уравнение 5в(в - 2)х2 + (5в - 2)х – 16 = 0 относительно х при: а) в = 1; б) в = 2; в) в = 0,4; г) в = 0.

Решение: подставим данные значения в исходное уравнение, получим:

а) -5х2 + 3х – 16 = 0 – квадратное;

б) 8х – 16 = 0 – линейное;

в) -3,2 х2 – 16 = 0 – неполное квадратное;

г) -2х – 16 = 0 – линейное.

Мы будем решать сегодня линейные уравнения с параметрами.

На прошлом уроке мы повторяли общий вид линейного уравнения ах = в, где х – переменная, а,в – числа. Вспомним, как решаются линейные уравнения, которые даны не в явном виде. Например: 7х – 8 = 12х + 18.

  1. Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) 7х – 12х = 18 + 8;

  2. Приводим подобные слагаемые -5х = 26;

  3. Находим корень уравнения (х является неизвестным множителем) х = 26/(-5); х = -5,2;

  4. Ответ: -5,2.

2. Изучение нового материала.

Точно такой же план решения и у линейного уравнения с параметром, только вычислив корень уравнения, мы должны подумать, всегда ли данная дробь имеет смысл, и рассмотреть все возможные значения параметра. В этом и состоит вся сложность.

Например: решить уравнение ах – 6 = х – 1.

Действуем по плану:

  1. Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) ахх = -1 + 6;

  2. В левой части уравнения мы не можем привести подобные, т.к. не знаем значения а, поэтому вынесем х за скобку, получим х(а – 1) = 5. (Фактически, это то же самое приведение подобных слагаемых, т.к. в предыдущем уравнении 7х – 12х = х(7-12) = -5х по распределительному закону.);

  3. Найдем х как неизвестный множитель: х = hello_html_m6acd1cb0.gif; дробь имеет смысл при а ≠ 1; если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.

  4. Ответ: если а ≠ 1, то х = hello_html_m6acd1cb0.gif;

если а = 1, то нет корней.

3. Закрепление.

№ 1:

Решить уравнение ах - 3а = 2х

ах - 2х = 3а

х(а - 2) = 3а

х=hello_html_m25ca1a94.gif; при а ≠ 2;

если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 6, значит нет корней.

Ответ: если а ≠ 2;то корень х =hello_html_m25ca1a94.gif ;

если а = 2,то нет корней.

№ 2:

Решить уравнение хв2-3в = 4х+12

хв2-4х = 12+3в

х(в2-4 ) = 12+3в

х = hello_html_4a624155.gif

х = hello_html_22aada30.gif; дробь имеет смысл при в ≠ 2 и в ≠ -2;

если в = 2, то уравнение примет вид 0х =18, значит нет корней;

если в = -2, то уравнение примет вид 0х = 6. значит нет корней.

Ответ: если в ≠ 2 и в ≠- 2, то корень х = hello_html_22aada30.gif;

если в = 2 и в = -2 , то нет корней.

№ 3:

При каких значениях параметра а уравнения ах = 12 и 3х = а имеют общие корни?

Решение: Найдём корень каждого уравнения.

ах = 12 и 3х = а

х = hello_html_1e09134b.gifх = hello_html_7353b121.gif ;

Если у уравнений общие корни, то их нужно приравнять, т. е. hello_html_1e09134b.gif= hello_html_7353b121.gif; по свойству пропорции имеем а2 = 36. значит а = ±6.

Ответ: при а = ±6 эти уравнения имеют общие (или одинаковые) корни.

№ 4:

Решить уравнение (n2-4)х = n3 - 2n2n + 2.

Решение:

Выразим х: х = hello_html_m736607f1.gif;

Разложим на множители числитель и знаменатель способом группировки с помощью формулы разности квадратов: х = hello_html_m37c37431.gif=hello_html_m50e96f0e.gif=hello_html_4e8df929.gif


  1. Если n ≠ ±2, то х =hello_html_4e8df929.gif ;

  2. Если n = 2 , то уравнение примет вид 0х = 0 – бесчисленное множество корней;

  3. Если n = -2, то уравнение примет вид 0х = 12 – нет корней.

Ответ: если n ≠ ±2, то 1 корень х =hello_html_4e8df929.gif ;

если n = 2 , то бесчисленное множество корней;

если n = -2, то нет корней.

4. Запись домашнего задания.

Решить уравнение ах = 4х + 5

Решение: ах – 4х = 5

х(а – 4) = 5

х = hello_html_m54cf2940.gif , если а ≠ 4

если а = 4, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.

Ответ: если а ≠ 4, то 1 корень х = hello_html_m54cf2940.gif;

если а = 4, то нет корней.


Занятие № 3

Тема занятия: Линейные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Повторить способ решения линейных уравнений с параметрами и закрепить его;

2.Разобрать более сложные линейные уравнения с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Изучение нового материала (разобрать уравнение с параметрами, где есть условие, что корнями уравнения могут быть только целые числа).

№ 1:

Решить уравнение вх – 1 = 0. При каком значении в € Z корнем уравнения является тоже целое число.

Решение:

вх = 1; х = hello_html_me7b8495.gif, при в ≠ 0;

если в = 0, то уравнение примет вид 0х = 1, значит нет корней.

Корень уравнения является целым числом при в = ±1hello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: если в ≠ 0, то х = hello_html_me7b8495.gif;

если в = 0, то нет корней;

если в = ±1, то х – целое.

№ 2:

В уравнении n(х + 5) = n2 + n + 4 известно, что nN. Имеет ли уравнение целые корни и при каком n?

Решение:

nх + 5n = n2 + n + 4;

nх = n2 + n + 4 - 5n;

nх = n2 - 4n + 4;

х = hello_html_48025823.gif; выделим в этой дроби целую часть, т.е. разделим почленно числитель на знаменатель, получим: х = hello_html_m4495d6f3.gif;

х является целым числом, если дробь hello_html_m8cd9192.gif тоже целое, а это будет в том случае, если n = 1,2,4.

Ответ: при n = 1,2,4 уравнение имеет целые корни.

№ 3:

Решить уравнение хху + 5у = 7 в целых числах.

Решение:

Т.к. данное уравнение содержит две переменные, то одна из них является параметром. Примем за параметр любую из переменных, например, у. Получим:

хху = 7 – 5у;

х(1 – у) = 7 – 5у;

х = hello_html_m439fe934.gif; если бы нужно было просто решить уравнение, то ответ был бы следующий: если у ≠ 1, то корень х = hello_html_m439fe934.gif; если у = 1, то нет корней, т.к. уравнение примет вид 0х = 2. Но нам нужно указать все целые значения х, поэтому в дроби hello_html_m439fe934.gif нужно выделить целую часть: hello_html_m439fe934.gif=hello_html_m3493d9fd.gif.

Итак, х = hello_html_m8859c6c.gif. Дробь hello_html_687feb1c.gif должна быть целой, это произойдет если 1 – у является делителем числа 2. Это будет при у = 0; -1; 2; 3.

если у = 0, то х = 7;

если у = -1, то х = 6;

если у = 2, то х = 3;

если у = 3, то х = 4.

Ответ: целые решения ( 7; 0 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 4; 3 ).

3. Закрепление.

Решит № 3, но при условии, что х – параметр.

Решение:

хху + 5у = 7;

5у ху = 7 – х;

у(5 – х) = 7 – х;

у = hello_html_m707535ee.gif=hello_html_4f9ae474.gif=hello_html_m39820d7d.gif+hello_html_m39049d68.gif=1 + hello_html_m39820d7d.gif;

Итак, у = 1 + hello_html_m39820d7d.gif; дробь hello_html_m39820d7d.gif должна быть целой, это произойдет если 5 – х является делителем числа 2. Это будет при х = 4; 6; 3; 7.

если х = 4, то у = 3;

если х = 6, то у = -1;

если х = 3, то у = 2;

если х = 7, то у = 0.

Ответ: целые решения ( 4; 3 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 7; 0 ). Получились те же самые ответы.

4. Запись домашнего задания.

При каком целом неотрицательном значении n уравнение hello_html_6dfdae3a.gif - hello_html_m63fb4bb4.gif = 1 имеет только целые корни?

Решение:

Умножим на 9 обе части уравнения, чтобы избавиться от дроби, получим:

4n – 6 – 3(x – 2) = 9;

4n – 6 – 3x + 6 = 9;

4n – 3x = 9;

3x = 9 – 4n;

x = hello_html_m1ad47bff.gif; x = -3 + hello_html_12f08d68.gif; дробь hello_html_12f08d68.gif должна быть целой, это произойдет если n = 0 и если n кратно 3, т.е n = 3k, где kN.

Ответ: уравнение имеет целые корни при n = 0 и n = 3k, где kN.

















Занятие № 4

Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.

Цели: 1.Повторить определение линейного неравенства, его свойства и способы решения;

2.Узнать, что значит решить линейное неравенство с параметрами, научиться правильно записывать ответ.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Подготовка к изучению нового материала.

Сначала вспомним, что называется линейным неравенством.

Неравенство вида ах + в > 0; ах + в < 0; ах + в ≥ 0; ах + в ≤ 0, где х – переменная, а и в – любые числа, называется линейным. В данном случае а и в играют роль параметров. При решении линейных неравенств используются следующие свойства:

1. К обеим частям неравенства можно прибавлять и вычитать одно и то же любое число. При этом неравенство останется верным;

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то неравенство останется верным;

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом поменять знак неравенства, то неравенство останется верным;

4. Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак слагаемых на противоположный, при этом получается неравенство равносильное данному.

Разберем на примерах:

№ 1:

3х – 2 < 5х – 5;

3х –5х < -5 + 2;

-2х < -3;

х > -3/(-2);

х > 1,5.

Ответ: ( 1,5; + ∞ )

№ 2:

7х + 8 ≤ 2х – 1;

7х – 2х ≤ -1 – 8;

5х ≤ -9;

х ≤ -9/5;

х ≤ -1,8.

Ответ: ( - ∞; -1,8 ]

3.Изучение нового материала.

Те же свойства используются при решении линейных неравенств с параметрами.

№ 1:

Решить линейное неравенство с параметром ах < 2.

Решение:

В отличии от уравнений я не могу сразу выразить х, т.к. не знаю какое по знаку а.

1) если а > 0, то х < hello_html_45f5e163.gif;

2) если а < 0, то х > hello_html_45f5e163.gif;

3) если а = 0, то 0х < 2, отсюда следует 0 < 2.

Ответ: если а > 0, то х < hello_html_45f5e163.gif;

если а < 0, то х > hello_html_45f5e163.gif;

если а = 0, то х – любое число (бесчисленное множество решений).

№ 2: (самостоятельно)

Решить неравенство с параметром ах > 3.

Решение:

1) если а > 0, то х > hello_html_fbc1a53.gif;

2) если а < 0, то х < hello_html_fbc1a53.gif;

3) если а = 0, то 0х > 3, 0 > 3 – неверно.

Ответ: если а > 0, то х > hello_html_fbc1a53.gif;

если а < 0, то х < hello_html_fbc1a53.gif;

если а = 0, то нет решений. если а > 0, то х < hello_html_45f5e163.gif;

№ 3:

Решить неравенство с параметром 5ха > ах – 3 .

Решение:

5хах > а – 3;

х(5 – а) > а – 3; решение неравенства зависит от скобки (5 – а).

1) если 5 – а > 0, (т.е. -а > -5; а < 5), то х > hello_html_m8433b3d.gif;

2) если 5 – а < 0, (т.е. -а < -5; а > 5), то х < hello_html_m8433b3d.gif;

3) если 5 – а = 0, (т.е. а = 5), то 0х > 5 – 3; 0 > 2 – неверно.

Ответ: если а < 5, то х > hello_html_m8433b3d.gif;

если а > 5, то х < hello_html_m8433b3d.gif;

если а = 5, то решений нет.

4. Закрепление.

№ 1:

Решить неравенство с параметром ха – х < а2 – 1 .

Решение:

х(а – 1) < (а – 1) (а + 1)

1) если а – 1 > 0 (т.е а > 1), то х < hello_html_m6d1a17e1.gif, значит х < а + 1;

2) если а – 1 < 0 (т.е. а < 1), то х > а + 1;

3) если а – 1 = 0 (т.е. а = 1), то 0х < 0; 0 < 0 – неверно.

Ответ: если а > 1, то х < а + 1;

если а < 1, то х > а + 1;

если а = 1, то нет решений.

№ 2:

Решить неравенство с параметром а(ах – 1) > 3(2ах - 3х + 1).

Решение:

а2ха > 6ах – 9х + 3;

а2х – 6ах + 9х > а + 3;

х(а2 – 6а + 9) > а + 3;

х(а – 3)2> а + 3;

(а – 3)2 > 0 при а ≠ 3, а при а = 3 (а – 3)2 = 0;

при а ≠ 3 (а – 3)2 > 0, значит х > hello_html_m74ddc657.gif;

при а = 3 0х > 6; 0 > 6 – неверно.

Ответ: при а ≠ 3 х > hello_html_m74ddc657.gif; при а = 3 – нет решений.

5. Запись домашнего задания.

Решить неравенство с параметром рх – 3 < 2х + 5.

Решение:

рх – 2х < 5 + 3;

х(р – 2) < 8;

1) если р – 2 > 0 (т.е. р > 2), то х < hello_html_5fe739e3.gif;

2) если р – 2 < 0 (т.е. р < 2), то х > hello_html_5fe739e3.gif;

3) если р = 2, то 0х < 8 – бесчисленное множество корней.

Ответ: если р > 2, то х < hello_html_5fe739e3.gif;

если р < 2, то х > hello_html_5fe739e3.gif;

если р = 2, то бесчисленное множество корней.







































Занятие № 5

Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.

Цели: 1.Закрепить способы решения линейного неравенства и уравнения;

2.Проверить, насколько прочно усвоена эта тема.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение неравенств и уравнений на повторение.

№ 1:

Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство ах > 2х + 5 не имеет решений?

Решение:

ах – 2х > 5;

х(а – 2) > 5;

если а – 2 > 0 (т.е. а > 2), то х > hello_html_m392547b6.gif;

если а – 2 < 0 (т.е. а < 2), то х < hello_html_m392547b6.gif;

если а – 2 = 0 (т.е. а = 2), то 0х > 5; 0 > 5 – неверно.

Ответ: при а > 2 х > hello_html_m392547b6.gif;

при а < 2 х < hello_html_m392547b6.gif;

при а = 2 у неравенства нет решений.

№ 2:

Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство в(хв) ≤ 3х – 9 имеет бесконечное множество решений?

Решение:

вхв2 ≤ 3х – 9;

вх – 3х в2 – 9;

х(в – 3) ≤ (в – 3)( в + 3);

если в – 3 > 0 (т.е. в > 3), то хhello_html_m40502786.gif; хв + 3;

если в – 3 < 0 (т.е. в < 3), то х ≥ в + 3;

если в – 3 = 0 (т.е в = 3), то 0х ≤ 0 – верно при любом х.

Ответ: при в > 3 хв + 3;

при в < 3 х ≥ в + 3;

при в = 3 неравенство имеет бесконечное множество решений.

№ 3:

При каком значении параметра а корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) ?

Решение:

Найдем корень первого уравнения: х = hello_html_m20ce4aa9.gif ;

Найдем корень второго уравнения: -2х – 2 = 6 – 3х;

-2х + 3х = 6 + 2;

х = 8

Дробь hello_html_m20ce4aa9.gif в 3 раза меньше, чем 8, значит можно составить уравнение:

hello_html_m64127324.gif= 8 (сократим дробь на 3), получим: hello_html_5a9752ba.gif= 8.

По свойству пропорции имеем 8(а + 4) = 6а + 35;

8а + 32 = 6а + 35;

8а – 6а = 35 – 32; 2а = 3; а = 1,5.

Ответ: корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) при а = 1,5

3.Самостоятельная работа.

№ 1:

Решить уравнение в(в – 1)х = в2 + в – 2

Решение:

х = hello_html_4a3b0d01.gif. Попытаемся сократить данную дробь. Разложим квадратный трехчлен на множители: в2 + в – 2 = 0; в1 = -2; в2 = 1 ( по теореме Виета).

в2 + в – 2 = (в + 2)( в – 1);

х = hello_html_55ce07d2.gif;

1) х = hello_html_m63549211.gif, 1 корень, если в ≠ 0 и в ≠ 1;

2) если в = 0, то уравнение примет вид 0х = -2, значит нет корней;

3) если в = 1, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.

Ответ: если в ≠ 0 и в ≠ 1, то 1 корень х = hello_html_m63549211.gif;

если в = 0, то нет корней;

если в = 1, то бесчисленное множество корней.


№ 2:

Решить неравенство а(ах – 1) > 3(2ах – 3х + 1).

Решение:

а2ха > 6ах – 9х + 3;

а2х - 6ах + 9х > 3 + а;

х(а2 – 6а + 9) > 3 + а;

х(а – 3)2 > 3 + а, т.к. (а – 3)2 > 0 при любом а ≠ 3, то х > hello_html_551f89a2.gif при а ≠ 3.

если а = 3, то неравенство примет вид 0х > 3 + 3, т.е. 0 > 6 – неверно, значит нет решений.

Ответ: если а ≠ 3, то х > hello_html_551f89a2.gif;

если а = 3, то нет решений.

4.Запись домашнего задания.

Повторить определения, виды и способы решения квадратных уравнений.



















Занятие № 6

Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Дать определение квадратного уравнения с параметрами;

2.Разобрать на примерах способы решения квадратных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Повторение и подготовка к изучению нового материала.

ах2+вх+с=0- квадратное уравнение, где х- переменная, а, в, с,- числа; если одно из них не указано, то это и есть параметр. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта Д = в2- 4ас.

2. Изучение нового материала

№ 1:

Решить уравнение х2вх + 4 = 0

Решение:

Если D > 0 – 2 корня; D < 0 – нет корней; D = 0 – 1 корень.

D = в2 – 4ас = (-в)2 – 4*1*4 = в2 – 16

1) если D > 0 (т.е в2 – 16 > 0), то х1,2 = hello_html_m2140d3e5.gif, отсюда следует: в < -4 или в > 4;

2) если D = 0 (т.е. в2 – 16 = 0), то 1 корень х = hello_html_4a07d783.gif;

3) если D < 0 (т.е. в2 – 16 < 0), то -4 < в < 4 – нет корней.

Ответ: если в < -4 или в > 4, то х1,2 = hello_html_m2140d3e5.gif;

если в = ±4, то х = hello_html_4a07d783.gif;

если -4 < в < 4, то нет корней.

3.Закрепление.

№97 (Из экзаменационного сборника)

При каких значениях параметра с уравнение hello_html_m6b728d0f.gifх2 + сх + 11 = 0 имеет два корня? Приведите пример отрицательного значения с, удовлетворяющего этому условию.

Решение:

Уравнение hello_html_m6b728d0f.gifх2 + сх + 11 = 0 имеет два корня, если D > 0; т. е. D = с24* hello_html_m6b728d0f.gif*11= с2 – 11;

с2 – 11> 0, т.е hello_html_1dd6f5f8.gif(с + hello_html_m2b807bcf.gif) > 0

hello_html_m2b807bcf.gif≈ 3,4

hello_html_1dd6f5f8.gif(с + hello_html_m2b807bcf.gif)= 0.если (с + hello_html_m2b807bcf.gif)= 0 или с-hello_html_m2b807bcf.gif= 0, т. е. с = ± hello_html_m2b807bcf.gif

При с < -hello_html_m2b807bcf.gifили с > hello_html_m2b807bcf.gif уравнение имеет два корня, например при с = 4 .

Ответ: при с < -hello_html_m2b807bcf.gifили с > hello_html_m2b807bcf.gif уравнение имеет два корня, например при с = 4.

№ 98(из экзаменационного сборника)

При каких значениях параметра а уравнение ах2+х+2 = 0 имеет два корня? Из чисел

-hello_html_m29a81ded.gif;hello_html_m29a81ded.gif;-hello_html_m5a7485a1.gif;hello_html_m5a7485a1.gif выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Решение:

Данное уравнение будет квадратным при условии, что, а ≠ 0, т. к. если а = 0, то уравнение будет линейным х+2 = 0 и корень будет один.

Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0.

Значит, D = 12 – 4а2 = 1 – 8а

1 – 8а > 0;

-8а > -1;

а < hello_html_527efb05.gif;

Числа, которые меньше hello_html_527efb05.gif это hello_html_m6feeec3a.gif;hello_html_m9432647.gif;hello_html_m5a7485a1.gif, а hello_html_m116689c9.gif >hello_html_527efb05.gif, значит, оно не подходит.

Ответ: при а < 0 и 0 < а < hello_html_527efb05.gif уравнение имеет два корня.

4.Запись домашнего задания.

№ 96. (из экзаменационного сборника)

При каких значения в уравнение 16х2 + вх + 1 = 0 не имеет корней? Имеет ли уравнение корни при в = 0,03, при в = -20,4?

Решение:

Квадратное уравнение 16х2 + вх + 1 = 0 не имеет корней если D < 0, т.е.:

D = в2 – 4*16*1 = в2 – 64;

в2 – 64 < 0;

(в – 8)( в + 8) < 0;

(в – 8)( в + 8) = 0 если в – 8 = 0 (т.е. в = 8) или в + 8 = 0 (т.е. в = -8);

Значит -8 < в < 8. Число 0,03 удовлетворяет данному условию, т.е. при в = 0,03 уравнение не имеет корней, а число -20,4 < -8, значит при в = -20,4 уравнение имеет корни.

Ответ: при -8 < в < 8 уравнение не имеет корней.







































Занятие № 7

Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Повторить способ решения квадратных уравнений.

2.Разобрать более сложные примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение более сложных уравнений.

№ 1:

Решить уравнение (а + 1)х2 – 2х + 1 – а = 0

Решение:

D = в2 – 4ас = (-2)2 – 4(а + 1)(1 – а) = 4 – 4(1 – а2) = 4 – 4 + 4а2 = 4а2;

х1,2 = hello_html_m50413299.gif = hello_html_60bfaafe.gif, если а > 0, то hello_html_m2de0ffee.gif= 2а

если а < 0, то hello_html_m2de0ffee.gif= -2а

х1 = hello_html_419c4196.gif= hello_html_5bbef7c0.gif= 1; х2 = hello_html_3fabd6a7.gif= hello_html_2f4cf1c4.gif=hello_html_m310836cf.gif, если а ≠ -1

А если а = -1, то подставляем в исходное уравнение данное значение параметра а и получим: -2х + 1 – (-1) = 0;

-2х + 2 = 0;

-2х = -2;

х = 1.

Ответ: если а ≠ -1, то х = 1 и х =hello_html_m310836cf.gif;

если а = -1, то х = 1.

№ 2:

Решить уравнение ах2 + (2а2 – 1)х – 2а = 0.

Решение:

D = (2а2 – 1)2 – 4а(-2а) = 4а4 – 4а2 + 1 + 8а2 = 4а4 + 4а2 + 1 = ((2а2 + 1)2;

х1,2 = hello_html_65327369.gif, (hello_html_3ba9e111.gif= hello_html_3487de9b.gif= 2а2 + 1, т.к а2 ≥ 0 при любом а.)

х1 = hello_html_3fb28542.gif= hello_html_m68a2aec9.gif= hello_html_m26fba40a.gif;

х2 = hello_html_m7fdba092.gif= hello_html_433a816a.gif= -2а; если а ≠ 0.

А если а = 0, то -1х = 0; х = 0.

Ответ: если а ≠ 0, то х = hello_html_m26fba40a.gif и х = -2а;

если а = 0, то х = 0.

№ 3:

Решить уравнение а2х2 + ах = 0.

Решение:

Это неполное квадратное уравнение.

ах(ах + 1) = 0;

ах = 0 или ах = -1, х = -hello_html_m26fba40a.gif;

1) если а ≠ 0, то х = 0 или х = -hello_html_m26fba40a.gif;

2) если а = 0, то 0х = 0 – бесчисленное множество корней.

Ответ: если а ≠ 0, то х = 0 или х = -hello_html_m26fba40a.gif; если а = 0, то х – любое число.

№ 4:

При каких значениях в уравнение вх2 – 6х + в = 0 имеет два корня? Запишите пример такого уравнения.

Решение:

1) в ≠ 0, т.к. при в = 0 уравнение примет вид -6х = 0, х = 0 и не будет являться квадратным;

2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:

D = (-6)2 - 4вв = 36 – 4в2;

36 – 4в2 > 0;

36 – 4в2 = 0;

-4в2 = -36;

в2 = 9

в1,2 = ± 3

Ответ: -3 < в < 0 или 0 < в < 3;

Например, в = 2,5, тогда 2,5х2 – 6х + 2,5 = 0;

в = -1, тогда –х2 – 6х – 1 = 0.

3.Запись домашнего задания.

При каких значениях а уравнение ах2 + х – 3 = 0 имеет два корня? Из чисел hello_html_m4c562329.gif; hello_html_m6ac60230.gif; hello_html_273c798.gif; hello_html_m119ac376.gif выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Решение:

1) а ≠ 0, т.к если а = 0, то уравнение примет вид х – 3 = 0, т.е. будет линейным и будет иметь один корень;

2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:

D = 1 – 4а(-3) = 1 + 12а;

1 + 12а > 0;

12а > -1;

а > hello_html_m64004a47.gif.

Числа, которые больше hello_html_m64004a47.gif это hello_html_m6ac60230.gif;hello_html_273c798.gif; hello_html_m119ac376.gif, а hello_html_m4c562329.gif < hello_html_m64004a47.gif, значит не подходит.

Ответ: при hello_html_m64004a47.gif < а < 0 и а > 0 уравнение имеет два корня; этому условию удовлетворяют числа hello_html_m6ac60230.gif;hello_html_273c798.gif; hello_html_m119ac376.gif.




















Занятие № 8

Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Закрепить способ решения квадратных уравнений.

2.Проверить насколько прочно усвоена тема.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение уравнений.

№ 1:

При каких значениях параметра а уравнение х2 + (а – 3)х + а = 0 имеет два положительных корня?

Решение:

1) уравнение имеет два корня, если D > 0:

D = в2 – 4ас = (а – 3)2 – 4а = а2 – 6а +9 – 4а = а2 – 10а + 9;

а2 – 10а + 9 > 0;

2) если корни положительные, то их произведение х1* х2 = а, где а > 0, а сумма х1 + х2 = -(а – 3) = 3 – а; значит а – 3 < 0;

3hello_html_5afd5274.gif) решим систему неравенств а2 – 10а + 9 > 0

а > 0

а – 3 < 0

а2 – 10а + 9 = 0;

D´ = 25 – 9 = 16;

а1,2 = 5 ± hello_html_17db01ae.gif= 5 ± 4;

а1 = 9; а2 = 1

Получим а < 1 или а > 9 и 0 < а < 3

Ответ: при 0 < а < 1 уравнение будет иметь два положительных корня.

№ 2:

При каком в корни уравнения х2 – 2(в – 2)х + в = 0 будут равными?

Решение:

Т.к. уравнение квадратное, то корни уравнения будут равными в том случае если D = 0, т.е два одинаковых корня или одно число. Т.к. второй коэффициент равен 2(в – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. D´ = (в – 2)2в = в2 – 4в + 4 – в = в2 – 5в + 4;

в2 – 5в + 4 = 0;

в1 = 4, в2 = 1 ( по теореме Виета)

Ответ: при в1 = 4, в2 = 1 корни уравнения будут равными.

№ 3:

При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х2 + 2(а – 2)х + 2 = 0 не имеет действительных корней?

Решение:

Квадратное уравнение не имеет действительных (т.е. рациональных и иррациональных) корней, если D < 0. Т.к. второй коэффициент равен 2(а – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. D´ = (а – 2)2 - 2(а – 2) = а2 – 4а + 4 – 2а + 4 = а2 – 6а + 8;

а2 – 6а + 8 < 0;

а2 – 6а + 8 = 0;

а1 = 4, а2 = 2 ( по теореме Виета);

Проверим какой вид имеет уравнение при а = 4, получим 2х2 + 4х + 2 = 0; D = 16 – 4*2*2 = = 16 – 16 = 0; значит при а = 4 уравнение имеет один корень.

Проверим какой вид имеет уравнение при а = 2, получим 0х2 + 0х + 2 = 0, т.е 2 = 0 – неверно, значит при а = 2 уравнение тоже не имеет действительных корней.

Ответ: при 2 ≤ а < 4 данное уравнение не имеет действительных корней.

3.Самостоятельная работа.

№ 1:

При каких значениях в уравнение х2 + вх + 9 = 0 имеет корни? Имеет ли уравнение корни при в = -10,5; при в = 0,7?

Решение:

Уравнение имеет два корня если D > 0, т.е. D = в2 – 4*9 = в2 – 36;

в2 – 36 > 0;

(в – 6) (в + 6) > 0;

(в – 6) (в + 6) = 0

в – 6 = 0 (т.е. в = 6) или в + 6 = 0 (т.е. в = -6).

Ответ: при в < -6 или в > 6 уравнение имеет два корня.

№ 2:

При каких значениях в уравнение вх2 – 5х + hello_html_m6b728d0f.gifв = 0 имеет один корень?

Решение:

1) уравнение имеет один корень если в = 0, т.к. тогда уравнение примет вид -5х = 0 – линейное, и будет иметь один корень х = 0;

2) если в ≠ 0, то квадратное уравнение имеет один корень при D = 0, т.е.

D = 52 – 4вhello_html_m6b728d0f.gif = 25 – в2;

25 – в2 = 0;

в2 = 25;

в = ± 5

Ответ: при в = ± 5 и при в = 0 данное уравнение имеет один корень.

4.Запись домашнего задания.

Повторить определение и способы решения дробно рациональных уравнений.



































Занятие № 9

Тема занятия: Дробно рациональные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Повторить определение дробно рационального уравнения и способ решения.

2.Разобрать способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.(устно)

2.Подготовка к изучению нового материала.

№ 1:

Решить уравнение hello_html_m6f11ec27.gif+hello_html_246ce9ca.gif- hello_html_m32826ede.gif= 0

Решение:

hello_html_m4ca6d1a9.gif= 0;

hello_html_m214a4506.gif= 0;

ОДЗ: у ≠ 5; у ≠ -5.

у2 + 3у – 10 = 0;

D = 9 – 4*(-10) = 49;

у1 = hello_html_4d3569a5.gif = 2; у2 = hello_html_m333e9b76.gif = -5 – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ.

Ответ: у = 2.

3.Изучение нового материала.

№ 2:

Решить уравнение hello_html_m18f8665b.gif= 1 + hello_html_5dd7b91a.gif.

Решение:

hello_html_m18f8665b.gif - 1 - hello_html_5dd7b91a.gif = 0;

hello_html_m494e8193.gif= 0;

hello_html_2f1a9cd8.gif= 0;

ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ 2.

2хах + 2а =0;

2хах = -2а;

х(2 – а) = -2а;

х = hello_html_m7c662dbb.gif; если а ≠ 2; если а = 2, то уравнение имеет вид 0х = -4, т.е нет корней;

Сложность решения дробно рациональных уравнений с параметрами состоит в том, что нужно еще обязательно проверить при каком значении а корень уравнения х принимает значение, не входящее в ОДЗ.

Выясним, при каком а х = 0 и х = 2:

х = 0, т.е hello_html_m5f550fa6.gif= 0, если 2а = 0, то а = 0 (значит а = 0 нужно тоже исключить);

х = 2, т.е hello_html_m5f550fa6.gif= 2, если (а – 2)2 = 2а; 2а – 4 = 2а; -4 = 0 – неверно, значит х не может быть равен 2 ни при каком а.

Ответ: если а ≠ 2 и а ≠ 0, то х = hello_html_m7c662dbb.gif;

если а = 0 и а = 2, то корней нет.


4.Закрепление.

№ 3:

Решить уравнение hello_html_16971c56.gif- hello_html_mcf29dcf.gif= hello_html_m7bc9c030.gif.

Решение:

hello_html_16971c56.gif- hello_html_mcf29dcf.gif- hello_html_m7bc9c030.gif= 0;

hello_html_m41fbdda3.gif= 0;

ОДЗ: х а; х ≠ -а;

х22ах + 2х + а2 – 2а = 0;

х2 + х(2 – 2а) + (а2 – 2а) = 0 – приведенное квадратное уравнение, т.к. первый коэффициент равен 1, второй коэффициент четный 2 – 2а = 2(1 – а), свободный член а2 – 2а. Поэтому можно решать по второй формуле нахождения корней.

D´= (1 – а)2 – (а2 – 2а) = 1 – 2а + а2а2 + 2а = 1.

х1,2 = а – 1 ± 1; х1 = а – 1 + 1 = а – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ; х2 = а – 1 – 1 = а – 2.

Выясним при каком а х = ±а:

х = а, т.е а – 2 = а; 0 = 2 – неверно, значит х не может быть равен а ни при каком значении параметра а;

х = -а, т.е. а – 2 = -а; 2а = 2; а = 1 (значит а = 1 нужно исключить).

Ответ: если а ≠ 1, то х = а – 2;

если а = 1, то нет корней.

5.Запись домашнего задания.

Решить уравнение hello_html_mc354cff.gif - hello_html_m5d597baf.gif= hello_html_693e4ec3.gif.

Решение:

hello_html_mc354cff.gif - hello_html_m5d597baf.gif-hello_html_693e4ec3.gif = 0;

hello_html_m59889f6e.gif = 0;

ОДЗ: х ≠ -2; х2 – 2х + 4 ≠ 0, при любом х, т.к. уравнение х2 – 2х + 4 = 0 не имеет корней.

х2 – 2х + 4 – 2вх + х – 4в + 2 – 6 + 4в = 0;

х2х– 2вх = 0;

х2х(2в + 1) = 0 – неполное квадратное уравнение, т.к. свободный член равен нулю.

х(х – 2в – 1) = 0;

х = 0 или х – 2в – 1 = 0

х = 2в + 1

Выясним, при каком значении параметра в х = -2, т.е. 2в + 1 = -2; 2в = -3; в = -1,5 (значит в = -1,5 нужно исключить).

Ответ: если в ≠ -1,5, то уравнение имеет два корня х = 0 и х = 2в + 1;

если в = -1,5 , то уравнение имеет только один корень х = 0.












Занятие № 10

Тема занятия: Решение дробно рациональных уравнений с параметрами.

Цели: 1.Разобрать более сложные дробно рациональные уравнения с параметрами с дополнительным условием.

2. Проверить, насколько прочно усвоен способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение с классом.

№ 1.

Найти все целые корни уравнения hello_html_m23e6a191.gif = hello_html_5b2b5bc1.gif, если а € N.

Решение:

hello_html_m23e6a191.gif - hello_html_5b2b5bc1.gif= 0;

hello_html_36b37b9d.gif = 0; ОДЗ: х – 3 ≠ 0; ах + 3 ≠ 0

х ≠ 3; ах ≠ -3; хhello_html_m2c14bd99.gif;

х2ах2а2х – 6хах = 0;

х2(1 – а) – х(а2 + а + 6) = 0 – неполное квадратное уравнение;

х((1 – а)ха2а – 6) = 0; х = 0 или (1 – а)ха2а – 6) = 0;

(1 – а)х = а2 + а + 6;

х = hello_html_3f270065.gif, если а ≠ 1;

если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 8 – неверно.

Выясним, при каком а х = 3 и х =hello_html_m2c14bd99.gif:

hello_html_3f270065.gif= 3;

3 – 3а = а2 + а + 6;

а2 + а + 6 + 3а – 3 = 0;

а2 + 4а + 3 = 0;

а1 = -3, а2 = -1 – не принадлежат к натуральным числам;

hello_html_3f270065.gif = hello_html_m2c14bd99.gif;

а3 + а2 + 6а = -3 + 3а;

а3 + а2 + 6а + 3 – 3а = 0;

а3 + а2 + 3а + 3 = 0;

а2(а + 1) + 3(а + 1) = 0;

(а + 1)(а2 + 3) = 0;

а + 1 = 0; а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;

а2 + 3 = 0 – нет корней.

Т.е. ни при каком натуральном а корень уравнения не равен 3 и hello_html_m2c14bd99.gif.

Итак: х = hello_html_3f270065.gif. Выделим из этой дроби целую часть:

(а2 + а + 6)/(-(а – 1) = hello_html_2d00c942.gif= hello_html_37546ccb.gif= hello_html_1a99e7a2.gif =

= hello_html_135fdd2a.gif+hello_html_5702490e.gif= -(а + 2) + hello_html_5702490e.gif= -а – 2 - hello_html_5702490e.gif;


Дробь -hello_html_5702490e.gif или hello_html_m2c80561.gif - целая, если знаменатель 1 – а является делителем числа 8, т.е.:

1 – а = 4, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = 2, отсюда а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = -4, отсюда а = 5, значит х = -9;

1 – а = -2, отсюда а = 3, значит х = -9;

1 – а = 8, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = -8, отсюда а = 9, значит х = -12;

1 – а = 1, отсюда а = 0 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = -1, отсюда а = 2, значит х = -12.

Ответ: целые решения уравнения – х = 0; -9; -12.

3.Решение самостоятельно.

№ 2:

Решить уравнение hello_html_428b14bb.gif + hello_html_49aa192.gif = hello_html_m98bdb3.gif.

Решение:

hello_html_428b14bb.gif + hello_html_49aa192.gif - hello_html_mfb720b2.gif= 0; ОДЗ: у ≠ 0; уа;

hello_html_m61347b4c.gif= 0;

5у – 3а – 4 = 0;

5у = 3а + 4;

у = hello_html_m4f0a4007.gif;

Выясним, при каком а у = 0: hello_html_m4f0a4007.gif= 0, 3а = 4, а = hello_html_5d5bd30c.gif;

при каком а у = а: hello_html_m4f0a4007.gif= а, 3а + 4 = 5а, 3а – 5а = -4, -2а = -4, а = 2.

Ответ: 1) если аhello_html_5d5bd30c.gif и а ≠ 2, то уравнение имеет 1 корень у = hello_html_m4f0a4007.gif;

  1. если а = hello_html_5d5bd30c.gif и а = 2, то уравнение корней не имеет.

4.Запись домашнего задания.

Исследовать и решить уравнение с параметром hello_html_1970a112.gif - hello_html_1acd934.gif = hello_html_m381ec2e5.gif.

Решение:

ОДЗ: х ≠ ±2а;

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, получаем:

х(х - 2а) – (2а + х)2 = -16а2;

х2 – 2ах – 4а2 – 4ахх2 = -16а2;

6ах = 12а2; 6а(х – 2а) = 0.

1) если а ≠ 0, то х = 2а – не удовлетворяет ОДЗ;

2) если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0 – бесконечное множество корней;

Ответ: 1) при а ≠ 0 – нет решений;

2) при а = 0, х – любое.



Занятие № 11

Тема занятия: Решение задач с параметрами..

Цели: 1.Разобрать решение текстовых задач с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Подготовка к изучению нового материала.

При решении задач с параметрами приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи. Например, если вопрос задачи: «Сколько времени турист в пути?», то понятно, что в ответе должны получиться положительные числа; или «Сколько страниц в книге?» - в ответе только натуральные числа.

3.Изучение нового материала.

Задача № 1:

В седьмом, восьмом и девятом классах учится 105 учащихся. В восьмом классе учащихся на n больше, чем в седьмом, а в девятом на 3 меньше, чем в седьмом. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30 человек?

Рhello_html_7252c707.gifешение:

вhello_html_3c80bc03.gifhello_html_me9c7a7.gifhello_html_4cf5cde1.gifhello_html_m5d030e76.gif 7 классе – ? (х)

в 8 классе – на n больше (х + n) 105 учащихся.

вhello_html_f3d5dd8.gif 9 классе – на 3 меньше (х – 3)


Составим уравнение: х + х + n + х – 3 = 105;

3х = 105 + 3 – n ;

3х = 108 – n;

х = hello_html_5ce3f563.gif;

х = 36 – hello_html_b36219.gif - учащихся в 7 классе;

36 – hello_html_b36219.gif + n = 36 – hello_html_b36219.gif + hello_html_m176e81ba.gif = 36 + hello_html_m588b62a7.gif - учащихся в 8 классе;

36 – hello_html_b36219.gif – 3 = 33 – hello_html_b36219.gif - учащихся в 9 классе;

Меньше всего учащихся в 7 или 9 классе, значит:

36 – hello_html_b36219.gif ≥ 30; и 33 – hello_html_b36219.gif ≥ 30;

- hello_html_b36219.gif ≥ 30 – 36; - hello_html_b36219.gif ≥ -3;

- hello_html_b36219.gif ≥ -6; n ≤ 9.

n ≤ 18.

Т.к. количество учащихся является натуральным числом, то n кратно 3, т.е. n = 3 ;6; 9.

если n = 3, то в 7 классе 36 – hello_html_m9255bcd.gif = 35 учащихся;

в 8 классе 36 + 2 = 38 учащихся;

в 9 классе 33 – 1 = 32 учащихся;

если n = 6, то в 7 классе 36 – hello_html_m1ae6e511.gif = 34 учащихся;

в 8 классе 36 + 4 = 40 учащихся;

в 9 классе 33 – 2 = 31 учащихся;

если n = 9, то в 7 классе 36 – hello_html_m76ee3d45.gif = 33 учащихся;

в 8 классе 36 + 6 = 42 учащихся;

в 9 классе 33 – 3 = 30 учащихся;

Ответ: в 7, 8, 9 классах соответственно 35, 38, 32 ученика, или 34, 40, 31 ученик, или 33, 42, 30 учеников.

4.Закрепление. ( у доски)

Задача № 2:

На нашей улице 24 дома, которые имеют 12, 16, 17 этажей. Известно, что 17-ти этажных домов в два раза больше, чем 16-ти этажных, а 12-ти этажных домов на n меньше, чем 16-ти этажных. Сколько домов каждого вида?

1hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_m56d0d5f4.gif7-ти этаж. в 2 раза больше (2х)

1hello_html_a6cc443.gif6-ти этаж. (х) 24 дома

1hello_html_9d88fc3.gifhello_html_a6cc443.gif2-ти этаж. на n меньше (хn)


Составим уравнение: 2х + х + хn = 24;

4х = 24 +n;

х = hello_html_5dbd6840.gif;

х = 6 + hello_html_m27e10b40.gif - 16-ти этажных домов;

(6 + hello_html_m27e10b40.gif)*2 = 12 + hello_html_6d9ae4f1.gif - 17-ти этажных домов;

6 + hello_html_m27e10b40.gif - n = 6 + hello_html_m27e10b40.gif - hello_html_5646b311.gif = 6 – hello_html_m53d8bfc1.gif - 12-ти этажных домов;

Т.к. n является натуральным числом, то n кратно 4, т.е. n = 4, 8, 12, …

По смыслу задачи количество домов должно быть больше 0, т.е 6 – hello_html_m53d8bfc1.gif > 0; -hello_html_m53d8bfc1.gif > -6; 3n < 24; n < 8, отсюда следует n = 4.

если n = 4, то 6 + hello_html_2570acc7.gif = 7 – 16-ти этажных домов;

12 + hello_html_m766383f4.gif = 14 – 17-ти этажных домов;

6 – hello_html_m753f9a97.gif = 3 – 12-ти этажных дома.

Ответ: 7 домов в 16 этажей; 14 домов в 17 этажей; 3 дома в 12 этажей.

5.Запись домашнего задания.

Задача:

Сумму денег в а рублей выплатили пятирублевыми и десятирублевыми монетами, причем тех и других выдали поровну. Сколько было выдано пятирублевых монет?

Решение:

5hello_html_3b536ba0.gif-ти рублевые монеты х штук (5х)

а рублей

10-ти рублевые монеты х штук (10х)


Составим уравнение: 10х + 5х = а;

15х = а;

х = hello_html_429939f.gif штук 5-ти рублевых и столько же 10-ти рублевых монет.

Т.к. х является натуральным числом, то а кратно 15,т.е. а = 15; 30; 45; 60;…

если а = 15, то х = 1;

если а = 30, то х = 2;

и. т. д.

Ответ: х = hello_html_429939f.gif , где а { 15; 30; 45; 60;…}, т.е а = 15n, где n € N.



Занятие № 12

Тема занятия: Решение задач с параметрами.

Цели: 1.Закрепить способ решения текстовых задач с параметрами.

2. Разобрать задачи на движение с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Подготовка к изучению нового материала.

Решить задачу:

Расстояние от посёлка до города 72 км. Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 12 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста.

Решение: Ошибочно думать, что средняя скорость равна среднему арифметическому чисел 18 и 12; vср. = s/t (причём, s-весь путь, а t-всё время, за которое этот путь пройден).

Время на первой половине пути t1=36/18=2 часа, время на второй половине пути t2=36/12=3часа. Всё время 3+2=5 часов, значит vср. =72/5=14,4 км/ч. (А среднее арифметическое чисел 18 и 12 равно (18+12)/2=15)

Ответ: 14,4 км/ч.

3.Изучение нового материала.

При решении некоторых задач бывает целесообразно обозначать неизвестные величины буквами, которые выполняют роль параметра, а в процессе решения эти буквы исключаются.

Задача № 1:

Половину пути поезд шел с некоторой постоянной скоростью, а другую половину пути со скоростью на 30 км/ч большей. Найти скорость на первой половине пути, если известно, что средняя скорость пути была 72 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой половине пути, тогда х + 30 км/ч будет скорость на второй половине пути.

Пусть S – весь путь; переменная S играет роль параметра.

Составим таблицу:

пути

hello_html_88286c6.gif

х

hello_html_1251226a.gif

II половина

пути

hello_html_88286c6.gif

х + 30

hello_html_4f378a25.gif


V ср. = hello_html_68451cfa.gif = 72;


V ср. = S : hello_html_m61a1cfb5.gif = 72;

S : hello_html_m2eede315.gif = 72;

hello_html_m64566a43.gif= 72; hello_html_m46462ae3.gif = 72;

hello_html_m5d1f1969.gif= 72; hello_html_167d38c9.gif = 72;

hello_html_42df20a1.gif- 72 = 0; hello_html_1daa3bb2.gif = 0 (ОДЗ: х ≠ -15);

х2 + 30х72х – 1080 = 0; х2 – 42х – 1080 = 0;

D' = 441 + 1080 = 1521;

х1,2 = 21 ± 39; х1 = 60, х2 = -18 – не подходит к условию задачи. Отсюда следует х = 60 км/ч.

Ответ: скорость на первой половине пути равна 60 км/ч.

( Ещё легче было бы решить данную задачу, если бы весь путь обозначить за 2S)

4. Закрепление

Решить задачу:

Первую треть пути автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а остальной путь - со скоростью, на 20 км/ч меньше первоначальной. Какой была первоначальная скорость автомобиля, если его средняя скорость на всём пути была 45 км/ч?

Решение:

Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой трети пути, тогда (х – 20) км/ч скорость на остальном пути, т. е. на 2/3 части пути. Пусть 3S – весь путь; переменная S играет роль параметра, тогда треть пути S, а 2/3 части пути будет 2S.

Составим таблицу:

пути

S

х

hello_html_7d914804.gif

остальной

путь

2S

х -20

hello_html_3e996b48.gif

V ср. = 45 км/ч, а также V ср. = 3S/(hello_html_7d914804.gif+hello_html_3e996b48.gif).

Составим уравнение:

3S/(hello_html_7d914804.gif+hello_html_3e996b48.gif)=45;hello_html_527703ab.gif= 45;hello_html_4588a01d.gif= 45;hello_html_m1ec328a2.gif= 45;

hello_html_507c597.gifhello_html_584df64f.gif = 0; 3х2 – 60х – 135х + 900 =0; 3х2 – 195х + 900 =0;

х2 – 65х + 300 =0; х1 = 60 км/ч – первоначальная скорость автомобиля;

х2 = 5 – не подходит к условию задачи.

Ответ: первоначальная скорость автомобиля равна 60 км/ч.

5.Запись домашнего задания

Решите задачу:

Отец старше сына в n раз, а его дочь моложе брата в 2 раза. Сколько лет отцу, сыну и дочери, если отец старше дочери на 28 лет?

Решение:

Оhello_html_238c20e5.gifтец ? в n раз больше (2хn), больше на 28 лет

Сhello_html_m200bc1c2.gifhello_html_a6cc443.gifhello_html_m4dada38a.gifын ? (2х)

Дhello_html_32eac4d0.gifочь ? (х) меньше в 2 раза

Решение:

Пусть х лет будет дочери, тогда сыну 2х лет, а отцу 2хn лет.

Составим уравнение:

2хn-х = 28

х(2n-1) = 28

х=hello_html_5534f066.gif( лет ) дочери;

hello_html_m290946ba.gif=hello_html_3c31762f.gif (лет) сыну;

hello_html_m494b3ecd.gif (лет) отцу;

если n = 1,5, то hello_html_m9d9f902.gif= 14 лет дочери; 28 лет сыну; 42 года отцу – не реально!

если n = 2,5, то hello_html_1927d1e9.gif= 7 лет дочери; 14 лет сыну; 35 лет отцу;

если n = 4, то hello_html_m3f8808c0.gif= 4 года дочери; 8 лет сыну; 32 года отцу;

если n = 14,5, то 1 год дочери; 2 года сыну; 29 лет отцу.

Ответ: дочери 7 лет, сыну 14 лет, отцу 35 лет;

дочери 4 года, сыну 8 лет, отцу 32 года;

дочери 1 год, сыну 2 года, отцу 29 лет.


















































Занятие № 13

Тема занятия: Зачетная работа.

Вариант – 1. Вариант – 2.

№ 1.

Решить линейное уравнение с параметром:

а2(х – 5) = 25(ха);

а2х – 5а2 = 25х – 25а;

а2х – 25х = 5а2 – 25а;

х(а2 – 25) = 5а(а – 5);

х = hello_html_m747160c9.gif;

х = hello_html_m4383818c.gif=hello_html_m313bab99.gif;

если а ≠ 5; а ≠ -5;

если а = 5, то 0х = 0 – бесконечное множество корней;

если а = -5, то 0х = -250 – нет корней.

Ответ: если а ≠ ±5, то 1 корень х =hello_html_m313bab99.gif;

если а = 5, то х – любое;

если а = -5, то нет решений.


№ 2.

Квадратное уравнение с параметром.

При каких значениях параметра m уравнение имеет 2 корня?

5х2 + + 5 = 0;

Уравнение имеет 2 корня, если D > 0.

D = m2 – 4*5*5 = m2 – 100;

m2 – 100 > 0;

(m – 10)(m + 10) > 0;

Ответ: (- ∞; -10) U ( 10; +∞)


№3

Решить неравенство с параметром.

b2x + 6bх > b -3 – 9х;

b2x + 6bх- 9х > b - 3;

х(b2 + 6b + 9) > b – 3;

х(b + 3)2 > b – 3;

при любом b-3 выражение (b + 3)2 > 0,

значит х > hello_html_149e240c.gif;

если b = -3, то получим неравенство 0 > -6 – неверно, значит нет решений;

Ответ: если b-3, то х > hello_html_149e240c.gif;

если b = -3, то нет решений.




.



а2х = а(х + 2) – 2;

а2х = ах + 2а – 2;

(а2а)х = 2а – 2;

х = hello_html_m7c6c21c0.gif=hello_html_4a0da1fb.gif=hello_html_45f5e163.gif;

если а ≠ 0, а ≠ 1;

если а = 0, то 0х = -2 – нет решений;

если а = 1, то 0х = 0 – бесконечное множество решений;

Ответ: если а ≠ 0, а ≠ 1, то 1 корень х =hello_html_45f5e163.gif;

если а = 0, то нет корней;

если а = 1, то х – любое.







При каких значениях t уравнение не имеет корней?

6х2 + tх + 6 = 0;

Уравнение не имеет корней, если D < 0.

D = t 2- 4*6*6 = t 2-144;

t 2-144 < 0;

(t – 12)(t + 12) < 0;

Ответ: (-12;12)




а – 4х > -2 – ах;

ах – 4х > -2 – а;

х(а – 4) > -2 – а;

если а – 4 > 0,т.е. а > 4, то х > hello_html_4910306d.gif;

если а – 4 < 0,т.е. а < 4, то х < hello_html_4910306d.gif;

если а = 4, то 0 > -6 – верно при любом х бесчисленное множество решений.

Ответ: если а < 4, то х < hello_html_4910306d.gif;

если а > 4, то х > hello_html_4910306d.gif;

если а = 4, то бесчисленное множество решений.




№ 4.

Решить задачу:

В автобусе ехал 51 пассажир. Причем женщин было в b раз больше, чем мужчин, а детей на b меньше, чем мужчин. Сколько женщин, мужчин и детей ехало в автобусе?

Решение:

жhello_html_m200bc1c2.gifhello_html_3b536ba0.gifенщин в b раз больше (bх)

мhello_html_a6cc443.gifужчин (х) 51 пасс.

дhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m65e677b2.gifетей на b меньше (хb)

Пусть в автобусе было х мужчин.

bх + х + хb = 51;

2х + bх = 51 + b;

х(2 + b) = 51 + b;

х = hello_html_1765c885.gif=hello_html_m9eff7f8.gif = hello_html_m70b81567.gif+ 1 (мужчин);

х € N, значит 49 кратно 2 + b; 49 делится на 1; на 7; на 49, если 2 + b = 1, то b = -1 – не подходит;

если 2 + b = 49, то b = 47, х = 2, bх = 94 – это больше 51, значит не подходит;

т.е. 2 + b = 7, b = 5,

х = hello_html_692569f7.gif+ 1 = 8 (мужчин);

8*5 = 40 (женщин);

8 – 5 = 3 (ребенка).

Ответ: в автобусе ехало 40 женщин, 8 мужчин и 3 ребенка.




На элективные курсы по математике ходят 30 учащихся из 9-х классов. Известно, что из 9-в учащихся в 2 раза больше, чем из 9-а, из 9-б курсы посещают на b учеников меньше, чем из 9-в. Сколько учеников из каждого класса посещают данные курсы?

Рhello_html_m56d0d5f4.gifешение:

9hello_html_4cf5cde1.gifhello_html_2e45e4ae.gif-а (х)

9hello_html_3c80bc03.gif-б на b меньше (2хb) 30 чел.

9hello_html_me9c7a7.gif-в в 2 раза больше 2х

Пусть в 9-а х учеников посещают курсы.

х + 2хb + 2х = 30;

5хb = 30;

5х = 30 + b;

х = hello_html_m2b2fa5cc.gif= hello_html_m5a2f9ddc.gif (учеников) в 9-а классе;

х € N, значит b кратно 5, т.е b = 5; 10; 15; 20…

если b = 5, то х = 6 + 1 = 7 (ч-к)– в 9-а;

7 * 2 = 14 (ч-к)– в 9-в;

14 – 5 = 9 (ч-к)– в 9-б;

если b = 10, то 8 (ч-к) – в 9-а; 16 (ч-к) – в 9-в; 6 (ч-к). – в 9-б;

если b = 15, то 9 (ч-к) – в 9-а; 18 (ч-к) – в 9-в; 3 (ч-к) – в 9-б;

если b = 20, то 10 (ч-к) – в 9-а; 20 (ч-к) – в 9-в; а в 9-б никто не ходит, значит b = 20 не подходит.

Ответ: на элективные курсы из 9-а, 9-б, 9-в классов ходят соответственно 7, 9, 14 человек; или 8, 6, 16 человек; или 9, 3, 18 человек.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 20.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров3
Номер материала ДБ-371930
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх