Элективный курс "Решение задач с параметрами"

                    Поурочное планирование элективного курса

по математике для 9 классов

«Почему параметры – хитрые    хамелеоны?»

                                          выполнила: Кузьмина Н.К. учитель математики

                                          МКОУ «Шумская средняя общеобразовательная  школа»

                                         с. Шум Кировского района Ленинградской области

Занятие № 1

Тема занятия: Что такое параметр? Что значит решить уравнение с параметром?

Цели: 1. Познакомить учащихся с понятием «параметр»;

           2. Объяснить, зачем нужно уметь решать уравнения и неравенства с параметрами;

           3.Сообщить учащимся, какие знания и умения они должны приобрести в ходе изучения данной темы;

           4. На конкретных примерах показать, как решаются уравнения с одним параметром и как важно уметь правильно записывать ответ.

Ход занятия:

1. Вступительное слово.

       Курс рассчитан на 13 часов. Задания с параметром часто встречаются на выпускных экзаменах в школе на уровень «5» ,а также на вступительных экзаменах в техникумы и ВУЗы, но в школьной программе практически не изучаются. Для усвоения этой темы достаточно базовых знаний по математике.

        В конце изучения курса вы будете иметь представление о параметре, знать и владеть основными способами решения уравнений и неравенств с параметрами, уметь решать текстовые задачи с параметрами.

        Т.е. изучение данного курса будет хорошей подготовкой к выпускным и вступительным экзаменам.

        2. Изучение нового материала.

 В уравнениях иногда некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами: такие буквы не называют параметрами.

        С понятием параметра вы уже встречались (начиная с 7 класса, но не употребляя этого слова).

         № 1:

         При изучении линейных уравнений: ax=в, где х - переменная, а, в - числа, которые могут принимать различные значения.

         Корень данного уравнения х = в/а

, если а ≠ 0, то 1 корень х = в/а

, если а = 0, в ≠ 0 уравнение имеет общий вид (0х = в), то нет корней

, если а = 0 = в уравнение имеет общий вид (0х = 0), то бесчисленное множество корней.

         Ответ:

1)     если а ≠ 0, то 1 корень х = в/а

2)      если а = 0, в ≠ 0, то нет корней

3)      Если а = 0 = в , то бесчисленное множество корней.

№ 2:

Квадратные уравнения, которые мы решали в 8 классе тоже с параметрами.

Общий вид.  ах² + вх + с = 0,где х – переменная, а,в,с – числа, которые выполняют роль параметров.

 При различных значениях а,в,с уравнение принимает разный вид и имеет различные корни. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта (D).

D = в² – 4ас,

Рассмотрим пример из экзаменационного сборника № 95.

При каких значениях параметра с у уравнения х² + 2х + с = 0 а) нет корней; б) один корень; в) два корня?

Решение:

Если нет корней, то D < 0, т.е. 2² – 4*1*с < 0

                                                 4 – 4с < 0

                                                  -4с < -4

                                                     с > 1

Если 1 корень, то D = 0, т.е. 2² – 4*1*с = 0

                                              4 – 4с = 0

                                               -4с = -4

                                                         с = 1

Если 2 корня, то D > 0, т.е.2² – 4*1*с > 0

                                              4 – 4с > 0

                                               -4с > -4

                                                         с < 1

Ответ: 1) При с > 1 уравнение не имеет корней;

            2) При с = 1 уравнение имеет 1 корень;

            3) При с < 1 уравнение имеет 2 корня.

Мы видим, что при различных значениях с количество корней различно (так же, как и сами корни), т. е. значение параметра с меняется, приспосабливается к условию задачи(так же, как хамелеоны приспосабливаются к условиям среды обитания).

Теперь вам понятно, почему курс так назван?

Наша задача: распознать все значения параметров, научиться решать уравнения с одним параметром.

3. Закрепление.

№ 1:

Решить уравнение ах = 3 (х – переменная, а – параметр)

Решение:

Корень уравнения х = 3/а, ( х является неизвестным множителем).

при а ≠ 0 уравнение имеет 1 корень

при а = 0 нет корней (т.к. на 0 делить нельзя, или при а = 0 уравнение имеет вид 0х = 3)

Ответ: если а ≠ 0, то х = 3/а

            если а = 0, то корней нет.

№ 2:

Решить уравнение (а – 2)*х = а – 2

Решение:

1)      Выразим из уравнения х: х = ; х = 1, если а ≠ 2.

2)      Если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 0 (подставляю а = 2 в исходное уравнение). Значит любое значение х превращает уравнение в верное равенство, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней.

Ответ: если а ≠ 2, то х = 1

                   если а = 2, то бесчисленное множество корней.

№ 3:

Решить уравнение (а² – 9)*х = а + 3

Решение:

х =    Попробуем упростить данную дробь: х = .

Сократим дробь на общий множитель (а + 3), при условии, что (а + 3) ≠ 0, т.е. а ≠ -3

Получим х =

Итак, 1) х = , если а ≠ -3 и а ≠ 3;

          2) если а = -3, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.

          3) если а = 3, то уравнение примет вид 0х = 6 (подставляю а = 3 в исходное уравнение), значит нет корней.

Ответ: если а ≠ ±3, то х = ; если а = 3, то нет корней; если а = -3, то бесчисленное множество корней.

Очень важно отметить, что ответ начинают записывать с найденных значений параметра.

4. Запись домашнего задания.

Решить уравнение (а + 5)(а – 3)*х = а² – 25

Решение домашнего задания:

х = ; х = ; х = , если а ≠ 3 и а ≠ -5.

Если а = 3, то уравнение примет вид 0х = -16, значит нет корней.

Если а = -5, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.

Ответ: если а ≠ 3 и а ≠ -5, то х = ;

                   если а = 3, то нет корней;

                   если а = -5, то бесчисленное множество корней.

Занятие № 2

Тема занятия: Решение линейных уравнений с параметрами.

Цели: 1. Дать определение линейного уравнения с параметрами;

           2. Разобрать способы решения линейных уравнений с параметрами;

           3. Научиться правильно записывать ответ.

Ход занятия.

1. Подготовка к изучению нового материала.

№ 1:

Каким (линейным или квадратным) является уравнение 5в(в - 2)х² + (5в - 2)х – 16 = 0 относительно х при: а) в = 1; б) в = 2; в) в = 0,4; г) в = 0.

Решение: подставим данные значения в исходное уравнение, получим:

а) -5х² + 3х – 16 = 0 – квадратное;

б) 8х – 16 = 0 – линейное;

в) -3,2 х² – 16 = 0 – неполное квадратное;

г) -2х – 16 = 0 – линейное.

Мы будем решать сегодня линейные уравнения с параметрами.

На прошлом уроке мы повторяли общий вид линейного уравнения ах = в, где х – переменная, а,в – числа. Вспомним, как решаются линейные уравнения, которые даны не в явном виде. Например: 7х – 8 = 12х + 18.

1)    Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) 7х – 12х = 18 + 8;

2)    Приводим подобные слагаемые -5х = 26;

3)    Находим корень уравнения (х является неизвестным множителем) х = 26/(-5);            х = -5,2;

4)    Ответ: -5,2.

       2. Изучение нового материала.

Точно такой же план решения и у линейного уравнения с параметром, только вычислив корень уравнения, мы должны подумать, всегда ли данная дробь имеет смысл, и рассмотреть все возможные значения параметра. В этом и состоит вся сложность.

Например: решить уравнение ах – 6 = х – 1.

Действуем по плану:

1)    Переносим слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числа в правую (при этом меняя знаки) ах –х = -1 + 6;

2)    В левой части уравнения мы не можем привести подобные, т.к. не знаем значения а, поэтому вынесем х за скобку, получим х(а – 1) = 5. (Фактически, это то же самое приведение подобных слагаемых, т.к. в предыдущем уравнении 7х – 12х = х(7-12) = -5х по распределительному закону.);

3)    Найдем х как неизвестный множитель: х = ; дробь имеет смысл при а ≠ 1; если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.

4)    Ответ: если а ≠ 1, то х = ;

                 если а = 1, то нет корней.

3. Закрепление.

№ 1:

 Решить уравнение ах - 3а = 2х

                                  ах - 2х = 3а

                                  х(а - 2) = 3а

                           х=;  при а ≠ 2;

если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 6, значит нет корней.

Ответ: если а ≠ 2;то  корень  х = ;

            если а = 2,то нет корней.                                        

№ 2:

 Решить уравнение хв²-3в = 4х+12

                                 хв²-4х = 12+3в

                                 х(в²-4 ) = 12+3в

                                 х =  

                                 х = ; дробь имеет смысл при в ≠ 2 и в ≠ -2;

если в = 2, то уравнение примет вид 0х =18, значит нет корней;

если в = -2, то уравнение примет вид 0х = 6. значит нет корней.

Ответ: если в ≠ 2 и в ≠- 2, то корень х = ;

            если в = 2 и в = -2 , то нет корней.

№ 3:

При каких значениях параметра а уравнения ах = 12 и 3х = а имеют общие корни?

Решение: Найдём корень каждого уравнения.

ах = 12  и 3х = а

х =       х =  ;

Если у уравнений общие корни, то их нужно приравнять, т. е. = ; по свойству пропорции имеем а² = 36. значит а = ±6.

Ответ: при  а = ±6 эти уравнения имеют общие (или одинаковые) корни.

№ 4:

Решить уравнение (n²-4)х = n³ - 2n² – n + 2.

Решение:

Выразим х: х = ;

Разложим на множители числитель и знаменатель способом группировки с помощью формулы разности квадратов: х = = =                    

1)      Если n ≠ ±2, то х  = ;

2)      Если n = 2 , то уравнение примет вид 0х = 0 – бесчисленное множество корней;

3)      Если n = -2, то уравнение примет вид 0х = 12 – нет корней.

Ответ: если n ≠ ±2, то 1 корень х  = ;

                  если n = 2 , то бесчисленное множество корней;

            если n = -2, то нет корней.

4. Запись домашнего задания.

Решить уравнение ах = 4х + 5

Решение:  ах – 4х = 5

                        х(а – 4) = 5

                       х =  , если а ≠ 4

если а = 4, то уравнение примет вид 0х = 5, значит нет корней.

Ответ: если а ≠ 4, то 1 корень х = ;

            если а = 4, то нет корней.

Занятие № 3

Тема занятия: Линейные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Повторить способ решения линейных уравнений с параметрами и закрепить его;

           2.Разобрать более сложные линейные уравнения с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Изучение нового материала (разобрать уравнение с параметрами, где есть условие, что корнями уравнения могут быть только целые числа).

№ 1:

Решить уравнение вх – 1 = 0. При каком значении в  €  Z корнем уравнения является тоже целое число.

Решение:

вх = 1; х = , при в ≠ 0;

если в = 0, то уравнение примет вид 0х = 1, значит нет корней.

Корень уравнения является целым числом при в = ±1

Ответ: если в ≠ 0, то х = ;

            если в = 0, то нет корней;

            если в = ±1, то х – целое.

№ 2:

В уравнении n(х + 5) = n² + n + 4 известно, что n € N. Имеет ли уравнение целые корни и при каком n?

Решение:

nх + 5n = n² + n + 4;

nх = n² + n + 4 - 5n;

nх = n² - 4n + 4;

х = ; выделим в этой дроби целую часть, т.е. разделим почленно числитель на знаменатель, получим: х = ;

х является целым числом, если дробь  тоже целое, а это будет в том случае, если             n = 1,2,4.

Ответ: при n = 1,2,4 уравнение имеет целые корни.

№ 3:

Решить уравнение х – ху + 5у = 7 в целых числах.

Решение:

Т.к. данное уравнение содержит две переменные, то одна из них является параметром. Примем за параметр любую из переменных, например, у. Получим:

х – ху = 7 – 5у;

х(1 – у) = 7 – 5у;

х = ; если бы нужно было просто решить уравнение, то ответ был бы следующий: если у ≠ 1, то корень х = ; если у = 1, то нет корней, т.к. уравнение примет вид        0х = 2. Но нам нужно указать все целые значения х, поэтому в дроби  нужно выделить целую часть: =.

Итак, х = . Дробь  должна быть целой, это произойдет если 1 – у является делителем числа 2. Это будет при у = 0; -1; 2; 3.

если у = 0, то х = 7;

если у = -1, то х = 6;

если у = 2, то х = 3;

если у = 3, то х = 4.

Ответ: целые решения ( 7; 0 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 4; 3 ).

3. Закрепление.

Решит № 3, но при условии, что х – параметр.

Решение:

х – ху + 5у = 7;

5у – ху = 7 – х;

у(5 – х) = 7 – х;

у = ==+=1 + ;

Итак, у = 1 + ; дробь  должна быть целой, это произойдет если 5 – х является делителем числа 2. Это будет при  х = 4; 6; 3; 7.

если х = 4, то у = 3;

если х = 6, то у = -1;

если х = 3, то у = 2;

если х = 7, то у = 0.

Ответ: целые решения ( 4; 3 ); ( 6; -1 ); ( 3; 2 ); ( 7; 0 ). Получились те же самые ответы.

4. Запись домашнего задания.

При каком целом неотрицательном значении n уравнение  -  = 1 имеет только целые корни?

Решение:

Умножим на 9 обе части уравнения, чтобы избавиться от дроби, получим:

4n – 6 – 3(x – 2) = 9;

4n – 6 – 3x + 6 = 9;

4n – 3x = 9;

– 3x = 9 – 4n;

x = ; x = -3 + ; дробь  должна быть целой, это произойдет если n = 0 и если n кратно 3, т.е n = 3k, где k € N.

Ответ: уравнение имеет целые корни при n = 0 и n = 3k, где k € N.

Занятие № 4

Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.

Цели: 1.Повторить определение линейного неравенства, его свойства и способы решения;

           2.Узнать, что значит решить линейное неравенство с параметрами, научиться правильно записывать ответ.

Ход занятия.

       1.Проверка домашнего задания.

2.Подготовка к изучению нового материала.

Сначала вспомним, что называется линейным неравенством.

Неравенство вида ах + в > 0; ах + в < 0; ах + в ≥ 0; ах + в ≤ 0, где х – переменная, а и в – любые числа, называется линейным. В данном случае а и в играют роль параметров. При решении линейных неравенств используются следующие свойства:

1. К обеим частям неравенства можно прибавлять и вычитать одно и то же любое число. При этом неравенство останется верным;

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то неравенство останется верным;

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом поменять знак неравенства, то неравенство останется верным;

4. Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак слагаемых на противоположный, при этом получается неравенство равносильное данному.

Разберем на примерах:

№ 1:

3х – 2 < 5х – 5;

3х –5х < -5 + 2;

     -2х < -3;

     х > -3/(-2);

       х > 1,5.

Ответ: ( 1,5; + ∞ )

№ 2:

7х + 8 ≤ 2х – 1;

7х – 2х ≤ -1 – 8;

       5х ≤ -9;

       х ≤ -9/5;

       х ≤ -1,8.

Ответ: ( - ∞; -1,8 ]

3.Изучение нового материала.

Те же свойства используются при решении линейных неравенств с параметрами.

№ 1:

Решить линейное неравенство с параметром ах < 2.

Решение:

В отличии от уравнений я не могу сразу выразить х, т.к. не знаю какое по знаку а.

1) если а > 0, то х < ;

2) если а < 0, то х > ;

3) если а = 0, то 0х < 2, отсюда следует 0 < 2.

Ответ: если а > 0, то х < ;

            если а < 0, то х > ;  

                   если а = 0, то х – любое число (бесчисленное множество решений).

№ 2: (самостоятельно)

Решить неравенство с параметром ах > 3.

Решение:

1) если а > 0, то х >  ;

2) если а < 0, то х <  ;

3) если а = 0, то 0х > 3, 0 > 3 – неверно.

Ответ: если а > 0, то х >  ;

            если а < 0, то х <  ;

            если а = 0, то нет решений. если а > 0, то х < ;

№ 3:

Решить неравенство с параметром 5х – а > ах – 3 .

Решение:

5х – ах > а – 3;

х(5 – а) > а – 3; решение неравенства зависит от скобки (5 – а).

1) если 5 – а > 0, (т.е. -а > -5; а < 5), то х > ;

2) если 5 – а < 0, (т.е. -а < -5; а > 5), то х < ;

3) если 5 – а = 0, (т.е. а = 5), то 0х > 5 – 3; 0 > 2 – неверно.

Ответ: если а < 5, то х > ;

                   если а > 5, то х < ;

                   если а = 5, то решений нет.

4. Закрепление.

№ 1:

Решить неравенство с параметром ха – х < а² – 1 .

Решение:

х(а – 1) < (а – 1) (а + 1)

1) если а – 1 > 0 (т.е  а > 1), то х < , значит х < а + 1;

2) если а – 1 < 0 (т.е. а < 1), то х > а + 1;

3) если а – 1 = 0 (т.е. а = 1), то 0х < 0; 0 < 0 – неверно.

Ответ: если а > 1, то х < а + 1;

            если а < 1, то х > а + 1;

            если а = 1, то нет решений.

№ 2:

Решить неравенство с параметром  а(ах – 1) > 3(2ах - 3х + 1).

Решение:

а²х – а > 6ах – 9х + 3;

а²х – 6ах + 9х > а + 3;

х(а² –  6а + 9) > а + 3;

х(а – 3)² > а + 3;

(а – 3)² > 0 при а ≠ 3, а при а = 3 (а – 3)² = 0;

при а ≠ 3  (а – 3)² > 0, значит х > ;

при а = 3 0х > 6; 0 > 6 – неверно.

Ответ: при а ≠ 3 х > ; при а = 3 – нет решений.

5. Запись домашнего задания.

Решить неравенство с параметром рх – 3 < 2х + 5.

Решение:

рх – 2х < 5 + 3;

х(р – 2) < 8;

1) если р – 2 > 0 (т.е. р > 2), то х < ;

2) если р – 2 < 0 (т.е. р < 2), то х > ;

3) если р = 2, то 0х < 8 – бесчисленное множество корней.

Ответ: если р > 2, то х < ;

            если р < 2, то х > ;

            если р = 2, то бесчисленное множество корней.

Занятие № 5

Тема занятия: Линейные неравенства с параметрами.

Цели: 1.Закрепить способы решения линейного неравенства и уравнения;

           2.Проверить, насколько прочно усвоена эта тема.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение неравенств и уравнений на повторение.

№ 1:

Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство ах > 2х + 5 не имеет решений?

Решение:

ах – 2х > 5;

х(а – 2) > 5;

если а – 2 > 0 (т.е. а > 2), то х > ;

если а – 2 < 0 (т.е. а < 2), то х < ;

если а – 2 = 0 (т.е. а = 2), то 0х > 5; 0 > 5 – неверно.

Ответ: при а > 2  х > ;

            при а < 2  х < ;

            при а = 2 у неравенства нет решений.

№ 2:

Решить неравенство и ответить на вопрос: существуют ли такие значения, при которых неравенство в(х – в) ≤ 3х – 9  имеет бесконечное множество решений?

Решение:

вх – в² ≤ 3х – 9;

вх – 3х ≤ в² – 9;

х(в – 3) ≤ (в – 3)( в + 3);

если в – 3 > 0 (т.е. в > 3), то х ≤ ; х ≤ в + 3;

если в – 3 < 0 (т.е. в < 3), то х ≥ в + 3;

если в – 3 = 0 (т.е  в = 3), то 0х ≤ 0 – верно при любом х.

Ответ: при в > 3  х ≤ в + 3;

                   при в < 3  х ≥ в + 3;

                   при в = 3 неравенство имеет бесконечное множество решений.

№ 3:

При каком значении параметра а корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) ?

Решение:

Найдем корень первого уравнения: х =  ;

Найдем корень второго уравнения: -2х – 2 = 6 – 3х;

                                                            -2х + 3х = 6 + 2;

                                                                       х = 8

Дробь   в 3 раза меньше, чем 8, значит можно составить уравнение:

= 8 (сократим дробь на 3), получим: = 8.

По свойству пропорции имеем 8(а + 4) = 6а + 35;

                                                      8а + 32 = 6а + 35;

                                                      8а – 6а = 35 – 32; 2а = 3; а = 1,5.

Ответ: корень уравнения 3х(а + 4) = 6а + 35 в 3 раза меньше корня уравнения 2(-х – 1) = 3(2 – х) при а = 1,5

3.Самостоятельная работа.

№ 1:

Решить уравнение в(в – 1)х = в² + в – 2

Решение:

х = . Попытаемся сократить данную дробь. Разложим квадратный трехчлен на множители: в² + в – 2 = 0; в₁ = -2; в₂  = 1 ( по теореме Виета).

в² + в – 2 = (в + 2)( в – 1);

х = ;

1) х = , 1 корень, если в ≠ 0 и в ≠ 1;

2) если в = 0, то уравнение примет вид 0х = -2, значит нет корней;

3) если в = 1, то уравнение примет вид 0х = 0, значит бесчисленное множество корней.

Ответ: если в ≠ 0 и в ≠ 1, то 1 корень х = ;

                   если в = 0, то нет корней;

                   если в = 1, то бесчисленное множество корней.

№ 2:

Решить неравенство  а(ах – 1) > 3(2ах – 3х + 1).

Решение:

а²х – а > 6ах – 9х + 3;

а²х - 6ах + 9х > 3 + а;

х(а² – 6а + 9) > 3 + а;

х(а – 3)² > 3 + а, т.к. (а – 3)² > 0 при любом а ≠ 3, то х >  при а ≠ 3.

если а = 3, то неравенство примет вид 0х > 3 + 3, т.е. 0 > 6 – неверно, значит нет решений.

Ответ: если а ≠ 3, то х > ;

            если а = 3, то нет решений.

4.Запись домашнего задания.

Повторить определения, виды и способы решения квадратных уравнений.

Занятие № 6

Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Дать определение квадратного уравнения с параметрами;

           2.Разобрать на примерах способы решения квадратных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Повторение и подготовка к изучению нового материала.

ах²+вх+с=0- квадратное уравнение, где х- переменная, а, в, с,- числа; если одно из них не указано, то это и есть параметр. Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта Д = в²- 4ас.

2. Изучение  нового материала

№ 1:

Решить уравнение х² – вх + 4 = 0

Решение:

Если D > 0 – 2 корня; D < 0 – нет корней; D = 0 – 1 корень.

D = в² – 4ас = (-в)² – 4*1*4 = в² – 16

1) если D > 0 (т.е в² – 16 > 0), то х_1,2 = , отсюда следует: в < -4 или  в > 4;

2) если D = 0 (т.е. в² – 16 = 0), то 1 корень х = ;

3) если D < 0 (т.е. в² – 16 < 0), то -4 < в < 4 – нет корней.

Ответ: если в < -4 или в > 4, то х_1,2 = ;

            если в = ±4, то х = ;

            если  -4 < в < 4, то нет корней.

3.Закрепление.

№97 (Из экзаменационного сборника)

При каких значениях параметра с уравнение х² + сх + 11 = 0 имеет два корня? Приведите пример отрицательного значения с, удовлетворяющего этому условию.

Решение:

Уравнение х² + сх + 11 = 0 имеет два корня, если D > 0; т. е. D = с² –  4* *11= с² – 11;

с² – 11> 0, т.е (с + ) > 0

≈ 3,4

(с + )= 0.если    (с + )= 0 или с-= 0, т. е. с = ±  

При с < -или с >  уравнение имеет два корня, например при с = 4 .

Ответ: при с < -или с >  уравнение имеет два корня, например при с = 4.

№ 98(из экзаменационного сборника)

При каких значениях параметра а уравнение ах²+х+2 = 0 имеет два корня? Из чисел

-;;-; выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Решение:

Данное уравнение будет квадратным при условии, что, а ≠ 0, т. к. если а = 0, то уравнение будет линейным х+2 = 0 и корень будет один.

Квадратное уравнение имеет два корня, если D > 0.

Значит, D = 1² – 4а2 = 1 – 8а

                            1 – 8а > 0;

                             -8а  > -1;

                                а < ;

Числа, которые меньше  это ;;, а  >, значит, оно не подходит.

Ответ: при а < 0  и  0 <  а <  уравнение имеет два корня.

4.Запись домашнего задания.

№ 96. (из экзаменационного сборника)

При каких значения в уравнение 16х² + вх + 1 = 0 не имеет корней? Имеет ли уравнение корни при в = 0,03, при в = -20,4?

Решение:

Квадратное уравнение 16х² + вх + 1 = 0 не имеет корней если D < 0, т.е.:

D = в² – 4*16*1 = в² – 64;

в² – 64 < 0;

(в – 8)( в + 8) < 0;

(в – 8)( в + 8) = 0 если в – 8 = 0 (т.е. в = 8) или в + 8 = 0 (т.е. в = -8);

Значит -8 < в < 8. Число 0,03 удовлетворяет данному условию, т.е. при в = 0,03 уравнение не имеет корней, а число -20,4 < -8, значит при в = -20,4 уравнение имеет корни.

Ответ: при -8 < в < 8 уравнение не имеет корней.

Занятие № 7

Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Повторить способ решения квадратных уравнений.

           2.Разобрать более сложные примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение более сложных уравнений.

№ 1:

Решить уравнение (а + 1)х² – 2х + 1 – а = 0

Решение:

D = в² – 4ас = (-2)² – 4(а + 1)(1 – а) = 4 – 4(1 – а²) = 4 – 4 + 4а² = 4а²;

х_1,2 =  = , если а > 0, то = 2а

                                              если а < 0, то = -2а

х₁ = = = 1; х₂ = = =, если а ≠ -1

А если а = -1, то подставляем в исходное уравнение данное значение параметра а и получим: -2х + 1 – (-1) = 0;

                    -2х + 2 = 0;

                     -2х = -2;

                        х = 1.

Ответ: если а ≠ -1, то х = 1 и х =;

            если  а = -1, то х = 1.

№ 2:

Решить уравнение ах² + (2а² – 1)х – 2а = 0.

Решение:

D = (2а² – 1)² – 4а(-2а) = 4а⁴ – 4а² + 1 + 8а² = 4а⁴ + 4а² + 1 = ((2а² + 1)²;

х_1,2 = , (= = 2а² + 1, т.к а² ≥ 0 при любом а.)

х₁ = = = ;

х₂ = = = -2а; если а ≠ 0.

А если а = 0, то -1х = 0; х = 0.

Ответ: если а ≠ 0, то х =  и х = -2а;

            если а = 0, то х = 0.

№ 3:

Решить уравнение а²х² + ах = 0.

Решение:

Это неполное квадратное уравнение.

ах(ах + 1) = 0;

ах = 0 или ах = -1, х = -;

1) если а ≠ 0, то х = 0 или х = -;

2) если а = 0, то 0х = 0 – бесчисленное множество корней.

Ответ: если а ≠ 0, то х = 0 или х = -; если а = 0, то х – любое число.

№ 4:

При каких значениях в уравнение вх² – 6х + в = 0 имеет два корня? Запишите пример такого уравнения.

Решение:

1) в ≠ 0, т.к. при в = 0 уравнение примет вид -6х = 0, х = 0 и не будет являться квадратным;

2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:

D = (-6)² - 4вв = 36 – 4в²;

36 – 4в² > 0;

36 – 4в² = 0;

-4в² = -36;

   в² = 9

 в_1,2 = ± 3

Ответ: -3 < в < 0 или 0 < в < 3;

Например, в = 2,5, тогда 2,5х² – 6х + 2,5 = 0;

                   в = -1, тогда –х² – 6х – 1 = 0.

3.Запись домашнего задания.

При каких значениях а уравнение ах² + х – 3 = 0 имеет два корня? Из чисел ; ; ;  выберите те, которые удовлетворяют этому условию.

Решение:

1) а ≠ 0, т.к если а = 0, то уравнение примет вид х – 3 = 0, т.е. будет линейным и будет иметь один корень;

2) уравнение будет иметь два корня если D > 0:

D = 1 – 4а(-3) = 1 + 12а;

           1 + 12а > 0;

              12а > -1;

               а > .

Числа, которые больше  это ;; , а  < , значит не подходит.

Ответ: при  < а < 0 и а > 0 уравнение имеет два корня; этому условию удовлетворяют числа ;; .

Занятие № 8

Тема занятия: Квадратные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Закрепить способ решения квадратных уравнений.

           2.Проверить насколько прочно усвоена тема.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение уравнений.

№ 1:

При каких значениях параметра а уравнение х² + (а – 3)х + а = 0 имеет два положительных корня?

Решение:

1) уравнение имеет два корня, если D > 0:

D = в² – 4ас = (а – 3)² – 4а = а² – 6а +9 – 4а = а² – 10а + 9;

а² – 10а + 9 > 0;

2) если корни положительные, то их произведение х₁* х₂ = а, где а > 0, а сумма                    х₁ + х₂ = -(а – 3) = 3 – а; значит а – 3 < 0;

3) решим систему неравенств      а² – 10а + 9 > 0

                                                         а > 0

                                                         а – 3 < 0

а² – 10а + 9 = 0;

D^´ = 25 – 9 = 16;

а_1,2 =  5 ± = 5 ± 4;

а₁ = 9; а₂ = 1

Получим а < 1 или а > 9 и 0 < а < 3

Ответ: при 0 < а < 1 уравнение будет иметь два положительных корня.

№ 2:

При каком в корни уравнения х² – 2(в – 2)х + в = 0 будут равными?

Решение:

Т.к. уравнение квадратное, то корни уравнения будут равными в том случае если D = 0, т.е два одинаковых корня или одно число. Т.к. второй коэффициент равен 2(в – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. D^´ = (в – 2)² – в = в² – 4в + 4 – в = в² – 5в + 4;

в² – 5в + 4 = 0;

в₁ = 4, в₂ = 1 ( по теореме Виета)

Ответ: при в₁ = 4, в₂ = 1 корни уравнения будут равными.

№ 3:

При каком значении параметра а уравнение (а – 2)х² + 2(а – 2)х + 2 = 0 не имеет действительных корней?

Решение:

Квадратное уравнение не имеет действительных (т.е. рациональных и иррациональных) корней, если D < 0. Т.к. второй коэффициент равен 2(а – 2) – четное число, то можно решать по второй формуле. D^´ = (а – 2)² - 2(а – 2) = а² – 4а + 4 – 2а + 4 = а² – 6а + 8;

а² – 6а + 8 < 0;

а² – 6а + 8 = 0;

а₁ = 4, а₂ = 2 ( по теореме Виета);

Проверим какой вид имеет уравнение при а = 4, получим 2х² + 4х + 2 = 0; D = 16 – 4*2*2 = = 16 – 16 = 0; значит при а = 4 уравнение имеет один корень.

Проверим какой вид имеет уравнение при а = 2, получим 0х² + 0х + 2 = 0, т.е 2 = 0 – неверно, значит при а = 2 уравнение тоже не имеет действительных корней.

Ответ: при 2 ≤ а < 4 данное уравнение не имеет действительных корней.

3.Самостоятельная работа.

№ 1:

При каких значениях в уравнение х² + вх + 9 = 0 имеет корни? Имеет ли уравнение корни при в = -10,5; при в = 0,7?

Решение:

Уравнение имеет два корня если D > 0, т.е. D = в² – 4*9 = в² – 36;

в² – 36 > 0;

(в – 6) (в + 6) > 0;

(в – 6) (в + 6) = 0

в – 6 = 0 (т.е. в = 6) или в + 6 = 0 (т.е. в = -6).

Ответ:  при в < -6 или в > 6 уравнение имеет два корня.

№ 2:

При каких значениях в уравнение вх² – 5х + в = 0 имеет один корень?

Решение:

1) уравнение имеет один корень если в = 0, т.к. тогда уравнение примет вид -5х = 0 – линейное, и будет иметь один корень х = 0;

2) если в ≠ 0, то квадратное уравнение имеет один корень при D = 0, т.е.

D = 5² – 4в = 25 –  в²;

 25 –  в² = 0;

в² = 25;

в = ± 5

Ответ: при в = ± 5 и при в = 0 данное уравнение имеет один корень.

4.Запись домашнего задания.

Повторить определение и способы решения дробно рациональных уравнений.

Занятие № 9

Тема занятия: Дробно рациональные уравнения с параметрами.

Цели: 1.Повторить определение дробно рационального уравнения и способ решения.

           2.Разобрать способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.(устно)

2.Подготовка к изучению нового материала.

№ 1:

Решить уравнение +- = 0

Решение:

= 0;

= 0;

ОДЗ: у ≠ 5; у ≠ -5.

у² + 3у – 10 = 0;

D = 9 – 4*(-10) = 49;

у₁ =  = 2; у₂ =  = -5 – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ.

Ответ: у = 2.

3.Изучение нового материала.

№ 2:

Решить уравнение = 1 + .

Решение:

 - 1 -  = 0;

= 0;

= 0;

ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ 2.

2х – ах + 2а =0;

2х – ах = -2а;

х(2 – а) = -2а;

х = ; если а ≠ 2; если а = 2, то уравнение имеет вид 0х = -4, т.е нет корней;

Сложность решения дробно рациональных уравнений с параметрами состоит в том, что нужно еще обязательно проверить при каком значении а корень уравнения х принимает значение, не входящее в ОДЗ.

Выясним, при каком а х = 0 и х = 2:

х = 0, т.е = 0, если 2а = 0, то а = 0 (значит а = 0 нужно тоже исключить);

х = 2, т.е = 2, если (а – 2)2 = 2а; 2а – 4 = 2а; -4 = 0 – неверно, значит х не может быть равен 2 ни при каком а.

Ответ: если а ≠ 2 и а ≠ 0, то х = ;

           если а = 0 и а = 2, то корней нет.

4.Закрепление.

№ 3:

Решить уравнение - = .

Решение:

- - = 0;

= 0;

ОДЗ: х ≠ а; х ≠ -а;

х² – 2ах + 2х + а² – 2а = 0;

х² + х(2 – 2а) + (а² – 2а) = 0 – приведенное квадратное уравнение, т.к. первый коэффициент равен 1, второй коэффициент четный 2 – 2а = 2(1 – а), свободный член        а² – 2а. Поэтому можно решать по второй формуле нахождения  корней.

D´= (1 – а)² – (а² – 2а) = 1 – 2а + а² – а² + 2а = 1.

х_1,2 = а – 1 ± 1; х₁ = а – 1 + 1 = а – посторонний корень, т.к не подходит к ОДЗ; х₂ = а – 1 – 1 = а – 2.

Выясним при каком а  х = ±а:

х = а, т.е а – 2 = а; 0 = 2 – неверно, значит  х не может быть равен а ни при каком значении параметра а;

х = -а, т.е. а – 2 = -а; 2а = 2; а = 1 (значит  а = 1 нужно исключить).

Ответ: если а ≠ 1, то х = а – 2;

            если а = 1, то нет корней.

5.Запись домашнего задания.

Решить уравнение  - = .

Решение:

  - - = 0;

 = 0;

ОДЗ: х ≠ -2; х² – 2х + 4 ≠ 0, при любом х, т.к. уравнение х² – 2х + 4 = 0 не имеет корней.

х² – 2х + 4 – 2вх + х – 4в + 2 – 6 + 4в = 0;

х² – х– 2вх = 0;

х² – х(2в + 1) = 0 – неполное квадратное уравнение, т.к. свободный член равен нулю.

х(х – 2в – 1) = 0;

х = 0 или х – 2в – 1 = 0

                     х = 2в + 1

Выясним, при каком значении параметра в х = -2, т.е. 2в + 1 = -2; 2в = -3; в = -1,5 (значит в = -1,5 нужно исключить).

Ответ: если в ≠ -1,5, то уравнение имеет два корня х = 0 и х = 2в + 1;

            если в = -1,5 , то уравнение имеет только один корень х = 0.

Занятие № 10

Тема занятия: Решение дробно рациональных уравнений с параметрами.

Цели:  1.Разобрать более сложные дробно рациональные уравнения с параметрами с дополнительным условием.

               2. Проверить, насколько прочно усвоен способ решения дробно рациональных уравнений с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Решение с классом.

№ 1.

Найти все целые корни уравнения  = , если а € N.

Решение:

 - = 0;

 = 0; ОДЗ: х – 3 ≠ 0;  ах + 3 ≠ 0  

                                                                                    х ≠ 3;      ах ≠ -3; х ≠ ;

х² – ах² – а²х – 6х – ах = 0;

х²(1 – а) – х(а² + а + 6) = 0 – неполное квадратное уравнение;

х((1 – а)х – а² – а – 6) = 0; х = 0 или (1 – а)х – а² – а – 6) = 0;

                                                                (1 – а)х = а² + а + 6;

                                                                  х = , если а ≠ 1;

если а = 1, то уравнение примет вид 0х = 8 – неверно.

Выясним, при каком а х = 3 и х =:

= 3;

3 – 3а = а² + а + 6;

а² + а + 6 + 3а – 3 = 0;

а² + 4а + 3 = 0;

а₁ = -3, а₂ = -1 – не принадлежат к натуральным числам;

 = ;

а³ + а² + 6а = -3 + 3а;

а³ + а² + 6а + 3 – 3а = 0;

а³ + а² + 3а + 3 = 0;

а²(а + 1) + 3(а + 1) = 0;

(а + 1)(а² + 3) = 0;

а + 1 = 0; а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;

а² + 3 = 0 – нет корней.

Т.е. ни при каком натуральном а корень уравнения не равен 3 и .

Итак: х = . Выделим из этой дроби целую часть:

 (а² + а + 6)/(-(а – 1) = = =  =

=  += -(а + 2) + = -а – 2 - ;

Дробь - или  - целая, если знаменатель 1 – а является делителем числа 8, т.е.:

1 – а = 4, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = 2, отсюда а = -1 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = -4, отсюда а = 5, значит х = -9;

1 – а = -2, отсюда а = 3, значит х = -9;

1 – а = 8, отсюда а = -3 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = -8, отсюда а = 9, значит х = -12;

1 – а = 1, отсюда а = 0 – не принадлежит к натуральным числам;

1 – а = -1, отсюда а = 2, значит х = -12.

Ответ: целые решения уравнения – х = 0; -9; -12.

3.Решение самостоятельно.

№ 2:

Решить уравнение  +  = .

Решение:

 +  - = 0; ОДЗ: у ≠ 0; у ≠ а;

= 0;

5у – 3а – 4 = 0;

5у = 3а + 4;

у = ;

Выясним, при каком а у = 0: = 0, 3а = 4, а = ;

при каком а у = а: = а, 3а + 4 = 5а, 3а – 5а = -4, -2а = -4, а = 2.

Ответ: 1) если а ≠  и а ≠ 2, то уравнение имеет 1 корень у = ;

3)      если а =  и а = 2, то уравнение корней не имеет.

4.Запись домашнего задания.

Исследовать и решить уравнение с параметром  -  = .

Решение:

ОДЗ: х ≠ ±2а;

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, получаем:

х(х - 2а) – (2а + х)² = -16а²;

х² – 2ах – 4а² – 4ах – х² = -16а²;

6ах = 12а²; 6а(х – 2а) = 0.

1) если а ≠ 0, то х = 2а – не удовлетворяет ОДЗ;

2) если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0 – бесконечное множество корней;

Ответ: 1) при а ≠ 0 – нет решений;

            2) при а = 0, х – любое.

Занятие № 11

Тема занятия: Решение задач с параметрами..

Цели:  1.Разобрать решение текстовых задач с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Подготовка к изучению нового материала.

При решении задач с параметрами приходится учитывать допустимые значения параметра, определяемые смыслом задачи. Например, если вопрос задачи: «Сколько времени турист в пути?», то понятно, что в ответе должны получиться положительные числа; или «Сколько страниц в книге?» - в ответе только натуральные числа.

3.Изучение нового материала.

Задача № 1:

В седьмом, восьмом и девятом классах учится 105 учащихся. В восьмом классе учащихся на n больше, чем в седьмом, а в девятом на 3 меньше, чем в седьмом. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30 человек?

Решение:

в 7 классе – ? (х)

в 8 классе – на n больше (х + n)            105 учащихся.

в 9 классе – на 3 меньше (х – 3)

Составим уравнение: х + х + n + х – 3 = 105;

3х = 105 + 3 – n ;

3х = 108 – n;

х = ;

х = 36 –   - учащихся  в 7 классе;

36 –   + n = 36 –   +  = 36 +  - учащихся в 8 классе;

36 –  – 3 = 33 –  - учащихся в 9 классе;

Меньше всего учащихся в 7 или 9 классе, значит:

36 –   ≥ 30;    и    33 –  ≥ 30;

-   ≥ 30 – 36;           -   ≥ -3;

-   ≥ -6;                      n ≤ 9.

n ≤ 18.

Т.к. количество учащихся является натуральным числом, то n кратно 3, т.е. n = 3 ;6; 9.

если n = 3, то в 7 классе 36 –  = 35 учащихся;

                        в 8 классе 36 + 2 = 38 учащихся;

                        в 9 классе 33 – 1 = 32 учащихся;

если n = 6, то в 7 классе 36 –  = 34 учащихся;

                        в 8 классе 36 + 4 = 40 учащихся;

                        в 9 классе 33 – 2 = 31 учащихся;

если n = 9, то в 7 классе 36 –  = 33 учащихся;

                        в 8 классе 36 + 6 = 42 учащихся;

                        в 9 классе 33 – 3 = 30 учащихся;

Ответ: в 7, 8, 9 классах соответственно 35, 38, 32 ученика, или 34, 40, 31 ученик, или 33, 42, 30 учеников.

4.Закрепление. ( у доски)

Задача  № 2:

На нашей улице 24 дома, которые имеют 12, 16, 17 этажей. Известно, что 17-ти этажных домов в два раза больше, чем 16-ти этажных, а 12-ти этажных домов на n меньше, чем 16-ти этажных. Сколько домов каждого вида?

17-ти  этаж. в 2 раза больше (2х)

16-ти этаж. (х)                                         24 дома

12-ти этаж. на n меньше (х – n)

Составим уравнение: 2х + х + х – n = 24;

                                           4х = 24 +n;

                                              х = ;

                                              х = 6 +  - 16-ти этажных домов;

 (6 + )*2 = 12 +   - 17-ти этажных домов;

6 +   - n = 6 +   -  = 6 –  - 12-ти этажных домов;

Т.к. n является натуральным числом, то n кратно 4, т.е. n = 4, 8, 12, …

По смыслу задачи количество домов должно быть больше 0, т.е 6 –  > 0; - > -6;       3n < 24; n < 8, отсюда следует n = 4.

если n = 4, то 6 +  = 7 – 16-ти этажных домов;

                      12 +  = 14 – 17-ти этажных домов;

                     6 –  = 3 – 12-ти этажных дома.

Ответ: 7 домов в 16 этажей; 14 домов в 17 этажей; 3 дома в 12 этажей.

5.Запись домашнего задания.

Задача:

Сумму денег в а рублей выплатили пятирублевыми и десятирублевыми монетами, причем тех и других выдали поровну. Сколько было выдано пятирублевых монет?

Решение:

5-ти рублевые монеты х штук  (5х)

                                                             а рублей

10-ти рублевые монеты х штук  (10х)

Составим уравнение: 10х + 5х = а;

                                          15х = а;

                                           х =  штук 5-ти рублевых и столько же 10-ти рублевых монет.

Т.к. х является натуральным числом, то а кратно 15,т.е. а = 15; 30; 45; 60;…

если  а = 15, то х = 1;

если  а = 30, то х = 2;

          и. т. д.

Ответ: х =  , где а { 15; 30; 45; 60;…}, т.е а = 15n, где n € N.

Занятие № 12

Тема занятия: Решение задач с параметрами.

Цели:  1.Закрепить способ решения текстовых задач с параметрами.

            2. Разобрать задачи на движение с параметрами.

Ход занятия.

1.Проверка домашнего задания.

2.Подготовка к изучению нового материала.

Решить задачу:

Расстояние от посёлка до города 72 км. Первую половину пути велосипедист ехал со скоростью 18 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 12 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста.

Решение: Ошибочно думать, что средняя скорость равна среднему арифметическому чисел 18 и 12; v_ср. = s/t (причём, s-весь путь, а t-всё время, за которое этот путь пройден).

Время на первой половине пути  t₁=36/18=2 часа, время на второй половине пути  t₂=36/12=3часа. Всё время 3+2=5 часов, значит  v_ср. =72/5=14,4 км/ч. (А среднее арифметическое чисел 18 и 12 равно (18+12)/2=15)

Ответ: 14,4 км/ч.  

3.Изучение нового материала.

При решении некоторых задач бывает целесообразно обозначать неизвестные величины буквами, которые выполняют роль параметра, а в процессе решения эти буквы исключаются.

Задача № 1:

Половину пути поезд шел с некоторой постоянной скоростью, а другую половину пути со скоростью на 30 км/ч большей. Найти скорость на первой половине пути, если известно, что средняя скорость пути была 72 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой половине пути, тогда х + 30 км/ч будет скорость на второй половине пути.

Пусть S – весь путь; переменная S играет роль параметра.

Составим таблицу:

	S	V(скорость)	t (время)
I половина пути		х
II половина пути		х + 30

V ср. =  = 72;

V ср. =  S :  = 72;

S :  = 72;

 = 72;  = 72;

 = 72;  = 72;

 - 72 = 0;  = 0 (ОДЗ: х ≠ -15);

х² + 30х – 72х – 1080 = 0; х² – 42х – 1080 = 0;

D' = 441 + 1080 = 1521;

х_1,2 = 21 ± 39; х₁ = 60, х₂ = -18 – не подходит к условию задачи. Отсюда следует х = 60 км/ч.

Ответ: скорость на первой половине пути равна 60 км/ч.

( Ещё легче было бы решить данную задачу, если бы весь путь обозначить за 2S)

4. Закрепление

Решить задачу:

Первую треть пути автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а остальной путь - со скоростью, на 20 км/ч меньше первоначальной. Какой была первоначальная скорость автомобиля, если его средняя скорость на всём пути была 45 км/ч?

Решение:

 Пусть х км/ч первоначальная скорость на первой трети пути, тогда (х – 20) км/ч скорость на остальном  пути, т. е. на 2/3 части пути. Пусть 3S – весь путь; переменная S играет роль параметра, тогда треть пути S, а 2/3 части пути будет 2S.

Составим таблицу:

	S(путь)	V(скорость)	t (время)
I треть пути	S	х
остальной путь	2S	х -20

V ср. = 45 км/ч, а также V ср. = 3S/(+).

Составим уравнение:

3S/(+)=45;= 45;= 45;= 45;

 –  = 0; 3х² – 60х – 135х + 900 =0; 3х² – 195х + 900 =0;

х² – 65х + 300 =0; х₁ = 60 км/ч – первоначальная скорость автомобиля;

                               х₂ = 5 – не подходит к условию задачи.

Ответ: первоначальная скорость автомобиля равна 60 км/ч.

5.Запись домашнего задания

Решите задачу:

Отец старше сына в n раз, а его дочь моложе брата в 2 раза. Сколько лет отцу, сыну и дочери, если отец старше дочери на 28 лет?

Решение:

Отец ? в n раз больше (2хn), больше на 28 лет

Сын ? (2х)

Дочь ? (х) меньше в 2 раза

Решение:

Пусть х лет будет дочери, тогда сыну 2х лет, а отцу 2хn лет.

Составим уравнение:

2хn-х = 28

х(2n-1) = 28

х=( лет ) дочери;

= (лет) сыну;

 (лет) отцу;

если n = 1,5, то = 14 лет дочери; 28 лет сыну; 42 года отцу – не реально!

если n = 2,5, то = 7 лет дочери; 14 лет сыну; 35 лет отцу;

если n = 4, то = 4 года дочери; 8 лет сыну; 32 года отцу;

если n = 14,5, то 1 год дочери; 2 года сыну; 29 лет отцу.

Ответ: дочери 7 лет, сыну 14 лет, отцу 35 лет;

            дочери 4 года, сыну 8 лет, отцу 32 года;

            дочери 1 год, сыну 2 года, отцу 29 лет.

Занятие № 13

Тема занятия: Зачетная работа.

Вариант – 1.                                                                Вариант – 2.

№ 1.

Решить линейное уравнение с параметром:

а²(х – 5) = 25(х – а);

а²х – 5а² = 25х – 25а;

а²х – 25х = 5а² – 25а;

х(а² – 25) = 5а(а – 5);

х = ;

х = =;

если а ≠ 5; а ≠ -5;

если а = 5, то 0х = 0 – бесконечное множество корней;

если а = -5, то 0х = -250 – нет корней.

Ответ: если а ≠ ±5, то 1 корень х =;

            если а = 5, то х – любое;

            если а = -5, то нет решений.

№ 2.

Квадратное уравнение с параметром.

При каких значениях параметра m уравнение имеет 2 корня?

5х² + mх + 5 = 0;

Уравнение имеет 2 корня, если D > 0.

D = m² – 4*5*5 = m² – 100;

m² – 100 > 0;

(m – 10)(m + 10) > 0;

Ответ: (- ∞; -10) U ( 10; +∞)

№3

Решить неравенство с параметром.

b²x + 6bх > b -3 – 9х;

b²x + 6bх- 9х > b - 3;

х(b² + 6b + 9) > b – 3;

х(b + 3)² > b – 3;

при любом b ≠ -3 выражение (b + 3)² > 0,

значит х > ;

если b = -3, то получим неравенство 0 > -6 – неверно, значит нет решений;

Ответ: если b ≠ -3, то х > ;

            если b = -3, то нет решений.

.

а²х = а(х + 2) – 2;

а²х = ах + 2а – 2;

(а² – а)х = 2а – 2;

х = ==;

если а ≠ 0, а ≠ 1;

если а = 0, то 0х = -2 – нет решений;

если а = 1, то 0х = 0 – бесконечное множество решений;

Ответ: если а ≠ 0, а ≠ 1, то 1 корень х =;

            если а = 0, то нет корней;

            если а = 1, то х – любое.

При каких значениях t уравнение не имеет корней?

6х² + tх + 6 = 0;

Уравнение не имеет корней, если D < 0.

D = t ²- 4*6*6 = t ²-144;

t ²-144 < 0;

(t – 12)(t + 12) < 0;

Ответ: (-12;12)

а – 4х > -2 – ах;

ах – 4х > -2 – а;

х(а – 4) > -2 – а;

если а – 4 > 0,т.е. а > 4, то х > ;

если а – 4 < 0,т.е. а < 4, то х < ;

если а = 4, то 0 > -6 – верно при любом х бесчисленное множество решений.

Ответ: если а < 4, то х < ;

            если а > 4, то х > ;  

            если а = 4, то бесчисленное множество решений.

№ 4.

Решить задачу:

В автобусе ехал 51 пассажир. Причем женщин было в b раз больше, чем мужчин, а детей на b меньше, чем мужчин. Сколько женщин, мужчин и детей ехало в автобусе?

Решение:

женщин в b раз больше (bх)

мужчин   (х)                                  51 пасс.

детей на b меньше (х – b)

Пусть в автобусе было х мужчин.

 bх + х + х – b = 51;

2х + bх = 51 + b;

х(2 + b) = 51 + b;

х = = = + 1 (мужчин);

х € N, значит 49 кратно 2 + b; 49 делится на 1; на 7; на 49, если 2 + b = 1, то b = -1 – не подходит;

если 2 + b = 49, то b = 47, х = 2, bх = 94 – это больше 51, значит не подходит;

т.е. 2 + b = 7, b = 5,

 х = + 1 = 8 (мужчин);

8*5 = 40 (женщин);

8 – 5 = 3 (ребенка).

Ответ: в автобусе ехало 40 женщин, 8 мужчин и 3 ребенка.

На элективные курсы по математике ходят 30 учащихся из 9-х классов. Известно, что из 9-в учащихся в 2 раза больше, чем из 9-а, из 9-б курсы посещают на b учеников меньше, чем из 9-в. Сколько учеников из каждого класса посещают данные курсы?

Решение:

9-а  (х)

9-б на b меньше (2х – b)                  30 чел.

9-в в 2 раза больше 2х

Пусть в 9-а х учеников посещают курсы.

х + 2х – b + 2х = 30;

5х – b = 30;

5х = 30 + b;

х = =  (учеников) в 9-а классе;

х € N, значит b кратно 5, т.е b = 5; 10; 15; 20…

если b = 5, то х = 6 + 1 = 7 (ч-к)– в 9-а;

                            7 * 2 = 14 (ч-к)– в 9-в;

                            14 – 5 = 9 (ч-к)– в 9-б;

если b = 10, то 8 (ч-к) – в 9-а; 16 (ч-к) – в 9-в; 6 (ч-к). – в 9-б;

если b = 15, то 9 (ч-к) – в 9-а; 18 (ч-к) – в 9-в; 3 (ч-к) – в 9-б;

если b = 20, то 10 (ч-к) – в 9-а; 20 (ч-к) – в 9-в; а в 9-б никто не ходит, значит b = 20 не подходит.

Ответ: на элективные курсы из 9-а, 9-б, 9-в классов ходят соответственно 7, 9, 14 человек; или 8, 6, 16 человек; или 9, 3, 18 человек.