Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс "Школьнику о композиции движений плоскости"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс "Школьнику о композиции движений плоскости"

библиотека
материалов



hello_html_m34141ed8.gif


Г.А. Лихачёва









Школьнику о

композиции движений

плоскости






Элективный курс по математике









2011г



УДК 514(075.8)

ББК 22.151я 721

Л 65

Рецензенты:

Долженков Виктор Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Курского государственного университета.

Журавлёва Елена Вадимовна, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Юго-западного государственного университета.


Лихачёва, Г.А. Школьнику о композиции движений плоскости: Элективный курс по математике / Г.А. Лихачева – Старый Оскол: «МЕЧТА» 2011. – 74с.


Настоящий элективный курс регламентирует учебную деятельность учащихся III ступени школьного обучения и поступающих во ВТУЗы по отдельным разделам геометрии «Движениям плоскости». В пособии дано содержание курса с разбивкой по темам, подборка теоретического и практического материала, учебно-тематический план, задания для самостоятельной работы, перечень учебной литературы для самостоятельного изучения тем, а также образцы решения задач.

Выбор тем и содержания заданий обусловлен стремлением автора объединить усвоение теоретических знаний с практическими умениями и навыками, раскрыть творческие способности обучающихся.


Текст печатается в авторской редакции

ISBN

типография

© Лихачёва Г.А., 2011

Содержание

  1. Введение

  2. Учебно-тематический план элективного курса.

3. Применение движений плоскости к решению геометрических задач.

4. Список рекомендуемых задач.

5. Разработки занятий.

6. Итоговое занятие.

7. Список литературы.






















1.Введение

Настоящее пособие предназначено для учащихся 10-11 классов средних школ, абитуриентов, а также преподавателей и методистов.

В пособии дано содержание курса с разбивкой по темам, подборка теоретического и практического материала, учебно-тематический план, задания для самостоятельной работы, перечень учебной литературы для самостоятельного изучения тем, а также образцы решения задач.

Тема: «Движения плоскости. Разложение движений плоскости произведение осевых симметрий», также важна, как и другие, изучаемые в курсе геометрии 10 - 11 классов. Она проста и доступна для усвоения учащимися, что подтвердил эксперимент, проведённый на базе средних школ города Старого Оскола. Тема эта имеет в большей степени практическое применение для решения различных задач на построение и доказательство. Мной подобран материал по темам, включающим в себя различные преобразования плоскости: поворот, параллельный перенос, центральную симметрию, осевую симметрию, скользящую симметрию. На двух занятиях учебный материал дан в виде уроков-лекций, после которых краткое обобщение и уточнение моментов, которые учащиеся для себя хотели уяснить. Затем проводят практические занятия по применению изученного материала для решения задач, учат правильно и точно выполнять чертежи к задачам, строить логическую цепочку умозаключений в ходе доказательства. Проделанная работа показала, что данная тема «Движения плоскости» может быть предложена для изучения в школе, как одна из интересных и посильных для изучения учащимися. Её можно рассматривать на элективном курсе (17ч) или частями вводить на уроках при изучении соответствующих тем, как дополнение и расширение их.

Цель данного пособия - дать возможность учащимся 10-11 классов и абитуриентам потренироваться в выполнении таких видов заданий, которые помогут подготовиться к предстоящим экзаменам.

2. Элективный курс как одна из вспомогательных форм обучения в современной школе.

Наиболее массовой формой углубленного изучения школьных дисциплин являются элективные курсы. Они прочно вошли в практику школы. Элективный курс – это творческая лаборатория учителя: можно решать олимпиадные задачи, исследовать теоретические и практические задания различного уровня сложности.

Математика в наши дни пронизывает все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Эти знания, представления о роли математики в мире стали необходимыми компонентами общей культуры. В современной школе математика является неотъемлемым федеральным компонентом содержания общего образования.

Смысл обучения в школе состоит не только в том, чтобы сделать каждого ребенка немного математиком, но и развивать способность точно и доказательно мыслить. От уровня математического образования зависит очень многое. Оно нужно не только тем, кто впоследствии будет заниматься математикой профессионально. А в связи с тем, этот предмет обеспечивает изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных, а также трудового обучения.

Современная математика с большим успехом применяется почти в каждой области высокоорганизованной человеческой деятельности, в то же время потребности техники, экономики, военного дела и др. вызвали к жизни совершенно новые математические дисциплины, такие как кибернетика, теория информации, теория линейного программирования и т.д. Таким образом, без знания математических фактов, усвоения математических навыков невозможно изучать другие науки, учиться многим профессиям.

Необходимо отметить, что математика является и профилирующим предметом для поступления в ВУЗы по широкому спектру специальностей. При подготовке к экзаменам необходимы более глубокие познания.

Цель курса состоит в том, чтобы исходя из теоретических положений и обобщения опыта работы по теме «Движения плоскости» дополнить и расширить школьное образование, раскрыть содержание, организационные формы проведения работы в области изучения учащимися дополнительных разделов геометрии.

Основной задачей изучения элективного курса является приобретение обучающимися теоретических и практических навыков по данному разделу «Композиция движений плоскости».

В результате изучения курса обучающийся должен знать теоретические основы курса и уметь применить их в практической деятельности для доказательства теорем и решения задач.

Освоение учебного материала базируется на знаниях, полученных учениками в процессе изучения геометрии и алгебры школьного курса.

Полученные знания позволят более углубленно и осмысленно изучить данное направление в геометрии, помогут развитию логического мышления, а также умений исследовать, анализировать, обобщать.


  1. Учебно-тематический план элективного курса.

№ п/п

Тема

Количество часов

Формы проведения

Образовательный продукт

Всего

Лекций

Практикум

1

Центральная и осевая симметрии.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Мини-лекция,

урок практикум,

тестирование

Актуализация знаний, умений и навыков. Развитие навыков тождественных преобразований.

2

Параллельный перенос.

2ч.

0,5ч.

1,5ч.

Комбинированный урок,

групповая работа

Овладение

умениями решать

задачи

различных видов,

различными способами.

3

Поворот.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Мини-лекция,

работа в парах

Овладение

разными

способами

решения задач по теме «Поворот»

4

Композиция поворотов.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Комбинированный урок, урок-практикум, тестирование

Овладение умениями и навыками выполнять композиции поворотов

5

Композиция симметрий.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Мини-лекция, лабораторная работа

Обобщение и систематизация знаний по различным темам курса.

6

Композиция движений.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Семинар, групповая работа, тестирование или к/р



4.Содержание и методические аспекты элективного курса «Школьнику о композиции движений плоскости»

  1. Центральная и осевая симметрии (3 ч). Задачи предназначены для формирования умения строить образы различных фигур при центральной и осевой симметрии. Знакомство с координатной записью осевой симметрии и дальнейшим развитием представлений о свойствах оси симметрии, а также обратными задачами на построение образов фигур.

  2. Параллельный перенос (2 ч). Понятие поворота. Знакомство со скользящей симметрией, её осью и направлением. Привлечение координатного метода в использовании параллельного переноса при построении графиков различных функций. Параллельный перенос и другие перемещения.

  3. Поворот (3 ч). Построение образов фигур. Знакомство с элементами, определяющими поворот: центром поворота, углом поворота. Свойства поворота. Решение комбинированных задач. Знакомство с координатной записью поворота на 900 по часовой и против часовой стрелки и её использованием.

  4. Композиция поворотов (3 ч). Знакомство с композицией поворотов и других преобразований. Построение образов фигур. Знакомство с элементами, определяющими композицию поворотов. Свойства композиции поворотов. Решение комбинированных задач.

  5. Композиция симметрий (3 ч). Классификация движений. Понятие «прямая инвариантных точек». Движения первого и второго рода.

  6. Композиция движений (3 ч). Группа движений плоскости и её подгруппы. Решение комбинированных задач.







5.Содержание теоретической части элективного курса

Осевая симметрия.

Пhello_html_m223cedb1.gifусть имеем прямую d на плоскости. Точки hello_html_m47faa1f.gif и hello_html_63dfd2e.gif называются симметричными относительно прямой d если отрезокhello_html_46c6e0d6.gif d, а его середина hello_html_m43568d22.gifhello_html_m4bb4473f.gifd. Если точка М hello_html_m4bb4473f.gifd, то она называется симметричной сама себе относительно прямой d.

hello_html_m5f1c6f8b.gifМ

hello_html_m43568d22.gif

d hello_html_63dfd2e.gif

Пhello_html_m6494411c.gifhello_html_5cfef6f2.gifреобразование плоскости, которое каждой точке ставит в соответствие симметричную ей точку относительно прямой d, называется осевой симметрией с осью d. Осевую симметрию обозначим hello_html_m7a6bba6.gif. Выберем прямоугольную декартову систему координат, для которой ось d является осью абсцисс. Тогда зададим формулы осевой симметрии в этой системе координат:hello_html_m4b0e86ba.gify

hello_html_1d650fd0.gif

hello_html_m625ced46.gifhello_html_c984821.gif0 x

hello_html_7567e129.gif

Аналогично выполняется для произвольной прямой. То есть формулы обратного преобразования одни и те жеhello_html_c20140b.gif

А следовательно это есть одно и то же преобразование hello_html_m4c4b295f.gif.

То есть осевая симметрия является инвалютивным преобразованием.

Из уравнения осевой симметрии следует, что неподвижными точками будут только точки, у которых ордината равна нулю. Значит, все точки оси симметрии неподвижны. Очевидно, что ось – неподвижная прямая. Она отображается сама в себя.

Рассмотрим симметрию относительно других прямых.

hello_html_216e4bf9.gif

hello_html_m598313ef.gif

hello_html_168ef8e6.gif.

Прямая hello_html_m2af72061.gif будет отображаться в себя при hello_html_m6752bc21.gif Это будут прямые, перпендикулярные оси симметрии d. Каждая точка этой прямой неподвижна.

Центральная симметрия

Точки М и hello_html_63dfd2e.gif называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка Мhello_html_63dfd2e.gif. Точка О симметрична сама себе.

hello_html_16191fb0.gifhello_html_18c66177.gifhello_html_79949c3e.gifhello_html_m1c881b0a.gifhello_html_m1c881b0a.gifМ О hello_html_63dfd2e.gif

Преобразование плоскости, которое каждую точку отображает в симметричную ей точку относительно центра О называется центральной симметрией с центром в точке О и обозначается hello_html_31a8a82.gif.

Центральная симметрия есть поворот вокруг точки О на угол 180°. Поэтому формулы центральной симметрии получим из формул:

hello_html_31a8a82.gif:hello_html_1f8f574.gif

В центральной симметрии неподвижная точка только одна. Это центр симметрии. А неподвижными прямыми являются прямые, проходящие через центр симметрии.

hello_html_m1ecbecf8.gif:hello_html_m40e4c638.gif

То есть преобразования прямой и обратной центральных симметрий имеют одни и те же формулы. Следовательно, центральная симметрия также является инвалютивным преобразованием.

Скользящая симметрия

Пусть имеем на плоскости прямую hello_html_m1e64f61c.gif и векторhello_html_292b552e.gif. Преобразование плоскости f = hello_html_14aabf1d.gifhello_html_11223633.gif называют скользящей симметрией. М →hello_html_406a6f3.gif. Выберем прямоугольную систему координат:

hello_html_m1c3c5835.gif, hello_html_c619eb8.gif

hello_html_m7a6bba6.gif: hello_html_m3e2450f1.gif: hello_html_62daca3.gif

hello_html_m17877c3b.gifhello_html_2f0e66ec.gifhello_html_m49e6398a.gif .

Если векторhello_html_427c0cd0.gif, то неподвижных точек нет.

Скользящая симметрия будет обладать свойствами, общими для параллельного переноса и для осевой симметрии, например:

  1. Неподвижных точек нет.

  2. Неподвижная прямая одна – hello_html_14a6f797.gif

  3. Всякая прямая, параллельная прямойhello_html_ac1ee7.gif, имеет образ, параллельный hello_html_m1e64f61c.gif.

  4. Середина отрезка hello_html_m47faa1f.gifhello_html_m78aecdc8.gifhello_html_ac1ee7.gif.

hello_html_m2006bd4d.gifhello_html_267e1d55.gifhello_html_65c6ac7a.gifhello_html_12e8be82.gifhello_html_4f1ea6.gifhello_html_25fa1606.gifhello_html_m50abdf98.gifhello_html_m8f8707e.gif Мhello_html_m75dcb641.gif hello_html_2b31de8f.gif



0 О hello_html_m41e13a5d.gif d



hello_html_2cf7b189.gif hello_html_m1610484e.gif


Композиция симметрий

Отношению перпендикулярности прямых hello_html_m41c2a314.gif hello_html_58e061d3.gif соответствует равенство композиций относительно этих прямых, т.е. hello_html_5fcd5a01.gif.

Доказательство.

Пусть hello_html_m6cec8f78.gif.

Если О точка пересечения прямых hello_html_6e1c2e71.gif, то композицияhello_html_m8935d35.gif

представляет собой центральную симметрию относительно точки О, т.е.hello_html_m3a2da352.gif Аналогично композицияhello_html_5e50d212.gif Следовательно hello_html_2904e899.gif.

Пусть теперь имеет место равенство композицийhello_html_m7bfc2fe7.gif, тогда hello_html_m6cec8f78.gif. Докажем это методом от противного: предположим прямыеhello_html_m20fec3cb.gif не перпендикулярны, тогда они или пересекаются под углом α≠90°, или параллельны.

Если hello_html_6e1c2e71.gif пересекаются под углом α≠90°, то hello_html_7e6e525b.gif есть поворот вокруг точки пересечения прямых на угол 2α, а композицияhello_html_63ce789e.gif - поворот вокруг той же точки, но на угол hello_html_597cd0aa.gif т.е.hello_html_m55ecc7c2.gif

Если hello_html_m62c4926b.gif, тоhello_html_m5ef485d2.gif - параллельные переносы на одинаковое расстояние, но в противоположных направлениях.

Следовательно hello_html_b66a23e.gif.

Полученное противоречит условию. Следовательно имеет место равенство hello_html_m275e02f7.gif, а значит прямые, определяющие это равенство взаимно перпендикулярны.

Отношению принадлежности прямых а,b,c - одному пучку , соответствует равенство композиций симметрий относительно этих прямых: сhello_html_50e6ad88.gif

Где d - осевая симметрия относительно некоторой четвертой прямой, принадлежащей тому же пучку.

Докажем это.

Пусть а,b,c принадлежат одному пучку.

  1. Пусть а∩b∩c = О.

Тогдаhello_html_63ce789e.gif есть поворот вокруг точки О на угол 2α (α – угол между прямыми а и b). Поворот вокруг точки О на угол 2α может быть представлен через композицию двух других осевых симметрий, оси которых также пересекаются в точке О под углом α. Пусть осью одной из таких симметрий является прямая с, а другой некоторая прямая d. Так как композиции hello_html_5eaee7cd.gif и сhello_html_26dfae66.gif представляют собой один и тот же поворот, то имеет место равенство композиций hello_html_5eaee7cd.gif = сhello_html_26dfae66.gif. На основании свойства композиции преобразований «умножим» обе части этого равенства на с, слева получим сhello_html_584f6257.gif, а справа сhello_html_m4c53ac6b.gifсhello_html_26dfae66.gif. Имеем: сhello_html_1c34133.gif сhello_html_m4c53ac6b.gifсhello_html_26dfae66.gif (Множитель с записан слева.) Композиция сhello_html_m4c53ac6b.gifс есть тождественное преобразование, поэтому сhello_html_378a3442.gif. Таким образом, прямые пересекаются в одной точке и угол между прямыми а и b равен углу между d и с, тогда для композиции симметрий относительно этих прямых имеет место равенство сhello_html_378a3442.gif, т.е. композиция сhello_html_584f6257.gif в этом случае есть осевая симметрия.

  1. Пусть аbc.

Тогда композицияhello_html_63ce789e.gif есть параллельный перенос от прямой а к прямой b в направлении, перпендикулярном к данным прямым, на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а и b.

Параллельный переносhello_html_63ce789e.gif может быть представлен через композицию двух других симметрий относительно прямых, параллельных прямым а и b и расстояние между которыми равно расстоянию между прямыми а и b.

Пусть осью одной из этих симметрий является данная прямая с, а другой – некоторая прямая d.

hello_html_6d0057cc.gifhello_html_m51315421.gifс

hello_html_36ee4bed.gifd

hello_html_724f293.gifhello_html_4a969c73.gifhello_html_m5b79138e.gif

hello_html_5d065e16.gifa

Так как hello_html_4bdf0a25.gif и сhello_html_26dfae66.gif есть один и тот же параллельный перенос, то имеет место равенство композиций hello_html_5eaee7cd.gif = сhello_html_26dfae66.gif, которое как и ранее приводит к равенству сhello_html_378a3442.gif. Итак, если прямые hello_html_m599c245f.gif с параллельны и расстояние между прямымиhello_html_m20fec3cb.gif равно расстоянию между прямыми сhello_html_672a0c2b.gif, то имеет место равенство композиций сhello_html_m4c69dfa9.gif то есть композиция сhello_html_584f6257.gif и в этом случае представляет собой осевую симметрию.

Обобщим эти случаи и сделаем вывод, что если прямые hello_html_m599c245f.gif с имеют общую точку и параллельны, значит, прямыеhello_html_1d06ebb.gif с принадлежат одному пучку, тогда можно найти такую четвертую прямуюhello_html_ac1ee7.gif, что для всех композиций соответствующих симметрий выполняется равенство сhello_html_m4c69dfa9.gif то есть композиция трех осевых симметрий в случае принадлежности соответствующих прямых одному пучку является осевой симметрией.

Докажем обратное.

Пусть прямыеhello_html_1d06ebb.gif с не принадлежат одному пучку. Рассмотрим самый общий случай к которому можно привести все остальные: прямые hello_html_m599c245f.gif с пересекаются попарно. Композицию hello_html_m6245eb0a.gif можно заменить композицией hello_html_1a2ef4f2.gif, гдеhello_html_6ef5d967.gif прямые, проходящие через точку пересечения прямых hello_html_mdebb980.gifс и образующие тот же угол.

Проведем прямую hello_html_m5ad2e7dc.gif перпендикулярную прямой hello_html_m6a90be2e.gif и пересекающую её в точке L.hello_html_m543f1a56.gif – прямая, проходящая через точку L и hello_html_7313b9f7.gif тогдаhello_html_m1cce1cec.gif = L и hello_html_m408bc138.gif или hello_html_m3b76a340.gif

Найдем композицию сhello_html_m200a6493.gif L .


hello_html_14821d75.gifhello_html_329861e9.gifhello_html_343d8ed4.gifhello_html_1dea959b.gifhello_html_m498a5861.gifhello_html_m23a4fb1a.gifhello_html_83c733e.gifhello_html_17334820.gifhello_html_64563489.gifhello_html_m50abdf98.gifhello_html_ad39821.gifhello_html_m7f3221fa.gifс

P

L a

hello_html_mb190749.gif

hello_html_7ba9100f.gif hello_html_m5ad2e7dc.gif d

hello_html_46cbbe46.gif b

Композицияhello_html_m6521d503.gif L есть параллельный перенос, за которым следует симметрияhello_html_m1231b372.gif Следовательно композиция hello_html_fc260ae.gif L – скользящая симметрия.

Итак, если прямыеhello_html_1d06ebb.gif с не принадлежат одному пучку, то композиция сhello_html_584f6257.gif является скользящей симметрией, а не осевой симметрией, и равенство сhello_html_378a3442.gif не имеет места, то есть доказано, что равенство композиций сhello_html_378a3442.gif выполняется в том и только в том случае, когда прямыеhello_html_1d06ebb.gif с принадлежат одному пучку.

Теорема. Отношение «hello_html_58e061d3.gif – ось симметрии прямых hello_html_m6a90be2e.gif и hello_html_45e52091.gif выражается отношениеммежду соответствующими симметриями в виде равенства композиций hello_html_m22e5c691.gif, hello_html_m254d61f3.gif.

Доказательство.

Согласно ранее доказанномуhello_html_m3816108c.gif есть симметрия относительно прямой hello_html_m328e8009.gif, принадлежащей тому же пучку, и угол между прямыми hello_html_3ba66363.gif равен углу между прямыми hello_html_34f5648a.gif, если прямые имеют общую точку, и расстояние междуhello_html_25468e39.gif равно расстоянию между прямымиhello_html_4fc1e7e4.gif, если прямые параллельны.hello_html_m5c0a070d.gif – ось симметрии прямых hello_html_m6a90be2e.gif и hello_html_m13bab234.gif

hello_html_m6fe966f0.gifhello_html_m1d98ca47.gifhello_html_2d0ee765.gifhello_html_mb6d2e29.gifhello_html_7d1e30a1.gifhello_html_m1ec0fcb9.gifhello_html_1850ec91.gifhello_html_m4f53aa7b.gifhello_html_78e13ab7.gifhello_html_m692a8500.gifa

a b

b c

c

Отношению «hello_html_58e061d3.gif – ось симметрии точек hello_html_7060acc4.gif и hello_html_m7c8325f7.gif» отвечает равенство композиций соответствующих симметрийhello_html_6d3e9e6a.gif. Пусть точки А и В симметричны относительно прямой hello_html_58e061d3.gif. Докажем, что для соответствующих симметрий в этом случае имеет место равенствоhello_html_6d3e9e6a.gif. При доказательстве воспользуемся теоремой: « симметрия с центром в точке О есть композиция осевых симметрий относительно перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О, причем одна из этих прямых может быть выбрана произвольно.

Проведем через точки А и В прямую hello_html_m2784c1e1.gif и представимкаждую из центральных симметрий через композицию осевых симметрий, используя каждый раз прямуюhello_html_4b3c27f1.gif Тогда А = hello_html_mea27f33.gif, В = hello_html_m4122b554.gif, гдеhello_html_4255d7d6.gif - осевые симметрии относительно прямых, которые параллельны hello_html_58e061d3.gif, и расстояние между прямыми hello_html_2c5769b0.gif равно расстоянию между прямымиhello_html_17bbf027.gif и hello_html_4e16eb4.gif

hello_html_1b530975.gifhello_html_m64bd86.gifhello_html_ef5c68c.gifhello_html_ef5c68c.gifhello_html_5ccb536.gif hello_html_58e061d3.gif hello_html_m51f0ba62.gif


hello_html_m2784c1e1.gif А В




В этом случае композиция hello_html_6e14407d.gif гдеhello_html_377fc8f.gif - параллельный перенос, который можно заменить композициейhello_html_2b73d4f0.gif , тогда hello_html_m69fbb900.gif

Докажем обратное. Если имеет место равенство композицийhello_html_m37c22470.gif то точки, определяющие центральные симметрии, симметричны относительно прямой, которая определяет осевую симметрию. Доказательство проведем методом от противного.

Пусть точка В не симметрична точке А, тогда найдем точку С, которая будет симметрична точке А относительно прямой hello_html_m39092908.gif Так как точки А и С симметричны относительно прямой hello_html_m5c0a070d.gif, то для соответствующих симметрий имеет место равенствоhello_html_21d07a6d.gif

Учитывая данное равенство получим hello_html_3a37030d.gif или «умножив» обе части его наhello_html_m529c0f20.gif слева, будем иметьhello_html_m3de30a2.gif. Получили, что точка, несимметричная данной относительно прямой, совпадает с точкой, которая ей симметрична, что невозможно. Таким образом, равенство композиций видаhello_html_6d3e9e6a.gif выполняется только в том случае, когда А и В точки, симметричные относительно прямойhello_html_4a1cd131.gif

Оhello_html_618dcc33.gifтношение «точка А принадлежит прямой hello_html_58e061d3.gif» выражается отношением между соответствующими симметриями и имеет вид равенства композицийhello_html_46ac3156.gif т.е. композиция осевой и центральной симметрий коммуникативна.

hello_html_68faf919.gifhello_html_m1c881b0a.gifhello_html_m65022cf7.gifhello_html_m76e2edc4.gif

hello_html_10327b4a.gif hello_html_58e061d3.gif



Пусть точка Аhello_html_34e9b802.gif. Докажем, что в этом случаеhello_html_m5b5add3.gif Центральную симметрию А представим через композицию осевых симметрий, использовав в качестве одной из осей прямую hello_html_4e16eb4.gif Тогда hello_html_m9a34d99.gif где c – осевая симметрия относительно прямой, перпендикулярной прямой hello_html_4e16eb4.gif В композиции hello_html_f4e7fd.gif центральную симметрию А представим через ту же композицию осевых симметрий, тогда получимhello_html_m3038ba9b.gif = hello_html_m328e8009.gif.

То есть композиции hello_html_m1bbb4381.gifодну и ту же осевую симметрию, поэтому hello_html_9a3f575.gif

Докажем обратное.

Если для соответствующих симметрий выполняется равенство композицийhello_html_7282a28f.gif, то точка Аhello_html_34e9b802.gif. Предположим, что Аhello_html_47ddf912.gif, тогда найдется точка В, симметричная точке А относительно прямой hello_html_58e061d3.gif такая, что для соответствующих симметрий выполняется равенство композицийhello_html_74dbb8eb.gif Учитывая данное равенство, получимhello_html_2f6f49a9.gif или «умножив» обе части этого равенства наhello_html_m529c0f20.gif слева, будем иметьhello_html_m303ea092.gif, т.е. точка, не принадлежащая прямойhello_html_m529c0f20.gif, совпадает с точкой, ей симметричной, что невозможно.

Таким образом, равенство композиций видаhello_html_7282a28f.gif выполняется только в том случае, когда точка Аhello_html_34e9b802.gif.

Отношение «В - центр симметрии точек А и С» выражается отношением между соответствующими симметриями в виде такого равенства композицийhello_html_m752fd770.gif Точки А, В, В, С – являются вершинами вырожденного параллелограмма. Так как Лучи ВА и СВ сонаправлены, принадлежат одной прямой и hello_html_6083f606.gif, то выполняется равенство композиций hello_html_m4cfe6104.gif

Теорема. Поворот плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых пересекаются. Центром поворота будет точка пересечения осей, а угол поворота равен двойному углу от первой оси до второй.

hello_html_m453e8.gifДоказательство.

hello_html_261e800b.gifhello_html_66be4881.gif hello_html_63dfd2e.gif hello_html_6fca86cf.gif

hello_html_4d9e1df.gifhello_html_m30a55015.gif

hello_html_m251b01ad.gifhello_html_m47d7ef4b.gifhello_html_m53895bce.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_m44734310.gifhello_html_dfeb998.gifhello_html_7024fa14.gifhello_html_77ae179d.gif hello_html_75fe65be.gif hello_html_m39cd714e.gif

hello_html_19626a6b.gifhello_html_m48b76f11.gif hello_html_839a942.gif

Необходимо выяснить, что движение hello_html_2e112a50.gif - поворот. Действительно, hello_html_2e112a50.gif - движение первого рода (т.е. либо параллельный перенос, либо поворот, либо центральная симметрия, либо тождественное преобразование), так как ориентация репера меняется дваждыи возвращается к исходному.

При осевой симметрии hello_html_m1639bba6.gif неподвижными точками будут точки прямой hello_html_m19d9dd1a.gif, а при осевой симметрии hello_html_2a162514.gif точки прямой hello_html_78f8f4f7.gif но точка hello_html_m1f021d59.gif останется неподвижной как в первом так и во втором случаях. Следовательно, движение hello_html_2e112a50.gif имеет одну неподвижную точку hello_html_m1f021d59.gif, а значит, hello_html_2e112a50.gif – поворот вокруг точки hello_html_56cc6099.gif

Найдем угол поворота.

Возьмем произвольную точку hello_html_m20644f83.gif, hello_html_2e112a50.gif(hello_html_m47faa1f.gif) =hello_html_m2ff96719.gif hello_html_5df9e596.gif – поворот на угол hello_html_7f30f08a.gif вокруг точки hello_html_56cc6099.gif

Докажем обратное.

Пусть мы имеем поворот на уголhello_html_m390cc3be.gif вокруг точки hello_html_m1f021d59.gif (уголhello_html_183b362d.gif).

Проведем через точку hello_html_m1f021d59.gif пару прямыхhello_html_3e475d99.gif и hello_html_m30a55015.gif так, чтобы угол от прямой hello_html_m388e3255.gif прямой hello_html_m30a55015.gif составлял hello_html_m1bdef7e5.gif Рассмотрим произведение hello_html_5db9947b.gif = hello_html_m7600c74d.gif

hello_html_4372213c.gifhello_html_207c9d20.gifhello_html_2f433a8e.gifhello_html_77e0f8b7.gif

hello_html_m2f8694e.gifhello_html_6b5aa48d.gifhello_html_b70e100.gifhello_html_48b6ab16.gifhello_html_m47d98635.gifhello_html_m5522da4e.gifhello_html_m19d9dd1a.gif

О hello_html_75fe65be.gif

hello_html_75fe65be.gif hello_html_3bb79455.gif

hello_html_4d2e4fe5.gif


Замечание. Если бы мы взяли еще пару прямых и рассмотрели бы произведение hello_html_m71f2457b.gif , то это был бы один и тот же поворот.

Теорема. Параллельный переносhello_html_m3d11ee41.gif плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых параллельны и удовлетворяют условию:

  1. hello_html_3e475d99.gif hello_html_449494a3.gif.

  2. hello_html_m7b9cf8a9.gif hello_html_m44007273.gif.

  3. Расстояние между прямыми равно hello_html_m4e2ebab9.gif и направление вектора hello_html_m66edc589.gif совпадает от первой прямой до второй. То есть, надо доказать, что hello_html_12b98c8c.gif

Доказательство.

Произведение hello_html_5db9947b.gif - есть движение первого рода (т.к. не меняет ориентации).

Нhello_html_541c76c9.gifеподвижных точек здесь нет. Следовательно это движение есть параллельный перенос. hello_html_m66edc589.gif

hello_html_m4817762d.gifhello_html_3aba027c.gifhello_html_m70fc4668.gifhello_html_4c6dc2f3.gif

hello_html_76273739.gifhello_html_m70fc4668.gifhello_html_77e0f8b7.gif

hello_html_m70fc4668.gifhello_html_7c55de79.gif

hello_html_5f086c36.gifhello_html_m70fc4668.gifhello_html_m2c47617a.gif

Найти векторы этого параллельного переноса можно так: возьмем точку Мhello_html_m6e83c7d9.gif и найдем её образhello_html_41782a68.gifhello_html_3aba027c.gifhello_html_477dad3f.gif. Длина вектора в два раза больше расстояния между прямыми. Эти прямые параллельны и hello_html_4385600f.gif.

Докажем обратное.

Покажем, что параллельный перенос есть произведениедвух осевых симметрий с параллельными осями.

Вектор hello_html_m66edc589.gif - определен.

Проведем две параллельные прямые, перпендикулярные векторуhello_html_57f077a3.gif, так чтобы расстояние между ними было равно hello_html_m4e2ebab9.gif и направление от первой прямой до второй совпадало с вектором hello_html_57f077a3.gif.

hello_html_420516fe.gif=hello_html_3d734035.gif. Доказано.

Замечание. Мы можем пару параллельных прямых, определяющих параллельный перенос, смещать параллельно плоскости и при этом параллельный перенос остается прежним.


Общее понятие движения, и его свойства

1. Отображение и преобразование множеств.

Пусть Х и У – непустые множества. Допустим, что каждому элементу hello_html_m23d93a37.gif поставлен в соответствие единственный элемент из множества У. Тогда говорят, что дано отображение множества hello_html_76c4bf46.gifв множество У или дана функция.Функцию обозначают одной буквой, например hello_html_71af9f88.gifи пишут так:hello_html_140d3a54.gif Элемент hello_html_m112456d3.gif называется значением функции hello_html_71af9f88.gif для элемента hello_html_m23d93a37.gif и обозначают через hello_html_m650642a2.gif. Множество Х назовём областью определения функции hello_html_71af9f88.gif, а множество всех значений – областью значений функции. Вместо термина «функция» в геометрии принято говорить «отображение». Пусть дано отображениеhello_html_26a078cf.gif Элемент hello_html_m2149e4a7.gifназовём образом элемента hello_html_m23d93a37.gif, а х – прообразом элемента hello_html_21650a4a.gif Говорят также, что элемент х переходит в элемент у в отображении fи пишут hello_html_m5aff349e.gif

Область определения и область значений являются множествами точек плоскости.

Например: Пусть hello_html_6da241b5.gif – окружность, а АВ – её диаметр. Каждой точке М окружности поставим в соответствие ортогональную проекцию М1 на прямую АВ. Получим отображение окружности hello_html_6da241b5.gifв прямую
hello_html_m73525eab.gif
M

Овал 2Прямая соединительная линия 1hello_html_3922a2a7.gif

Полилиния 1hello_html_m119347f.gifВ P

A М1


N

Если в отображении hello_html_2ef189cb.gifмножество hello_html_m7f280dec.gifто говорят, что дано отображение множества Х на себя. Преобразованием непустого множества Х называется любое биективное отображение множества Х на себя.


Овал 1М/

hello_html_m2e32d106.gifhello_html_4445e7fa.gif

Дуга 15φ

hello_html_m755c83d5.gifOM




Например: Пусть hello_html_6da241b5.gif – окружность заданная на ориентированной плоскости, а φ – ориентированный угол, причём hello_html_708caa93.gif. Отображение hello_html_m463dec59.gifпри котором каждой точке М окружность hello_html_6da241b5.gifставится в соответствие М/ той же окружности, чтоhello_html_m2eb71dbb.gif – преобразование окружностиhello_html_md7f8f34.gif


2. Движения плоскости.

Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками А и В плоскости равно расстоянию между их образами А/и В/, т.е. АВ= А/В/.

Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением (или перемещением).Наиболее простым примером движения является тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.

Пример 1.

Возьмём вектор hello_html_834abb4.gif параллельный плоскости hello_html_4d8b2871.gif. Каждой точке hello_html_3449cbc5.gif поставим в соответствие точку hello_html_18574258.gif/ так, чтобы hello_html_m471c28c3.gif. Мы получаем некоторое отображение hello_html_478c45fe.gif, которое является преобразованием плоскости hello_html_690742d3.gif. Оно называется параллельным переносом на вектор hello_html_1435b677.gif. Вектор hello_html_1435b677.gif называется вектором переноса.

Прямая со стрелкой 6Прямая со стрелкой 1М1 / М2 /

Прямая со стрелкой 3Прямая со стрелкой 20

hello_html_m939f8a.gif


Прямая со стрелкой 18М1 М2

Если hello_html_m78020a13.gif , то параллельный перенос, есть тождественное преобразование. Докажем, что параллельный перенос является движением.

Пусть hello_html_m254fe407.gif – две точки плоскости, а hello_html_26c490c8.gif - их образы.Тогдаhello_html_m6217da8f.gif=hello_html_1435b677.gif,hello_html_m42c595a7.gif= hello_html_1435b677.gif, поэтому hello_html_m6217da8f.gif=hello_html_m42c595a7.gif. hello_html_50632129.gif по лемме о равенстве векторов имеем hello_html_m338089bb.gif.

Таким образом при параллельном переносе сохраняются расстояния, т.е.

параллельный перенос – движение.

Пример 2.

Рассмотрим симметриюhello_html_224892d.gif плоскости относительно некоторой точки О. Симметрия , очевидно, является преобразованием и сохраняет расстояния, так как если hello_html_m254fe407.gif – две точки плоскости, а hello_html_26c490c8.gif- их образы, тоhello_html_m3d6c153c.gifи hello_html_m3d033237.gif, поэтому hello_html_39df2a96.gif.hello_html_f4e12e5.gif, т.е. hello_html_5ec799d5.gif движение.

hello_html_dfeb998.gifПрямая соединительная линия 11hello_html_323a74d1.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m662e881f.gifhello_html_m6124a17.gifhello_html_c0fa737.gifПрямая со стрелкой 22hello_html_m433bbadf.gifhello_html_59ffb551.gif М

hello_html_m54635de5.gif



hello_html_m37fe6a09.gif Ohello_html_m59953794.gif



hello_html_m25359756.gif


Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой, называют репером и обозначают так: hello_html_59170367.gif. Точки А, В, С называют вершинами репера, причем точка А называется его началом. Репер называется аффинным, если hello_html_m2a219bbc.gif АВС произвольный, и ортонормированным, если hello_html_4df3ecea.gifА – прямой, а АВ = АС = 1.

Пусть на плоскости дана система координат hello_html_m335937ef.gif. Отложив от точки О векторы hello_html_m5e682af1.gif = hello_html_m2d07d117.gif, hello_html_7087e236.gif = hello_html_m4180aaa3.gif, получим реперhello_html_733fef51.gif, о котором говорят, что он соответствует системе координатhello_html_3fe1a3c2.gif.

Если данная система координат аффинная, то R- аффинный репер, а если данная система координат прямоугольная, то реперRортонормированный. Обратно, если данный реперhello_html_733fef51.gif, то можно построить систему координат hello_html_m335937ef.gif, гдеhello_html_4e822958.gif, hello_html_7db476a7.gif, которой соответствует репер R.

В дальнейшем будем говорить, что точка М в репере R имеет координаты hello_html_44bf09e0.gifкоординаты точки М в соответствующей системе координатhello_html_m73b832d2.gif. Вообще, в геометрии не делают различия между репером и системой координат.

Докажем, что в любом движении репер переходит в репер, в частности ортонормированный репер – в ортонормированный репер. В самом деле, пустьhello_html_7d260182.gif, а hello_html_m23cf0.gif образы точек А, В и С, соответственно. Так как точки А, В и С не лежат на одной прямой, то hello_html_m74ccf71d.gif. Движение сохраняет расстояния, поэтому hello_html_28aa0852.gif точки hello_html_2fc8ccfc.gif не лежат на одной прямой, т.е.hello_html_315b0bb.gif– репер. Если hello_html_m253ee4.gif – ортонормированный репер, то по теореме Пифагораhello_html_m2765be8.gif, поэтому hello_html_6af82073.gif+hello_html_m77244e66.gif=hello_html_1e1c4935.gif.

По теореме, обратной теореме Пифагора,hello_html_32c0c989.gif прямоугольный. Далее, hello_html_m56783a41.gif Таким образом,hello_html_315b0bb.gif–ортонормированный репер.

Докажем основную теорему.

Пусть R = hello_html_m253ee4.gif и hello_html_7dac574c.gif = hello_html_122a4557.gif– произвольные ортонормированные реперы плоскости hello_html_3405fcca.gif. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в hello_html_m2ecc5448.gif При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку hello_html_7226e0e0.gif с теми же координатами в репере hello_html_m2ecc5448.gif

Докажем сначала, что существует движение, которое репер R переводит в репер hello_html_m2ecc5448.gif Построим отображение g:hello_html_m2f65ee30.gif следующим образом, произвольной точке Мhello_html_7ed587ba.gifв репере R поставим в соответствие точку hello_html_7226e0e0.gif с теми же координатами в репере hello_html_1c6e0799.gif Ясно, что Аhello_html_32a3e505.gif, Вhello_html_m628f1e98.gif и Сhello_html_65782331.gif.

Отображениеg:hello_html_m2f65ee30.gif является взаимно однозначным отображением плоскости на себя, т.е. является преобразованием плоскости hello_html_29708b9a.gif

Докажем, что g сохраняет расстояние.

Пусть hello_html_m254fe407.gif произвольные точки плоскости, которые в репереR имеют координаты hello_html_5eeb643d.gifиhello_html_m49b9a51a.gifТогда hello_html_5df9e39a.gif = hello_html_5fb3821b.gif. Образы hello_html_7f4b2384.gif точек hello_html_m76696b5.gif и hello_html_m5254c70c.gif в репере hello_html_7dac574c.gifимеют те же координатыhello_html_50a69e49.gifиhello_html_20dd2980.gifТогда hello_html_6b338f3f.gif = hello_html_5fb3821b.gif и следовательно hello_html_5df9e39a.gif = hello_html_6b338f3f.gif. Таким образом g– движение, которое переводит реперR в репер hello_html_7dac574c.gif.

Докажем, что g – единственное движение, которое переводит репер R в репер hello_html_m636c5b41.gif

Допустим, что это не так, то есть существует другое движениеhello_html_71af9f88.gif, такое, что hello_html_7dac574c.gif = hello_html_26914dfd.gif. Тогда на плоскости существует такая точка М, что образ hello_html_m76696b5.gif этой точки в движении g не совпадает с образом hello_html_m5254c70c.gif той же точки в движении hello_html_71af9f88.gif. Т.к. А hello_html_a84122b.gif и А hello_html_m35006d8e.gif, то АМ = hello_html_56988937.gif и АМ = hello_html_m20c9c614.gif, поэтому hello_html_56988937.gif = hello_html_m20c9c614.gif т.е. точка hello_html_m293526ee.gif равноудалена от концов отрезка hello_html_5df9e39a.gif. Точно также можно доказать, что точки hello_html_m67e6735c.gif равноудалены от концов отрезка hello_html_5df9e39a.gif.

Таким образом, точки hello_html_m23cf0.gif лежат на серединном перпендикуляре отрезкаhello_html_6faa3673.gif т.е. на одной прямой, что противоречит определению репера. Итак,g – единственное движение, которое переводит репер R в репер hello_html_m41174a2d.gifПри этом движении точка Мhello_html_6c1845a5.gif переходит в точку hello_html_m78a153cd.gif.

Используя эту теорему, выясним, в какие фигуры переходят в движении прямая, полуплоскость, отрезок, луч и угол.

Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые – в параллельные прямые.

Выберем ортонормированный репер R и рассмотрим его образhello_html_27fa12c3.gif в данном движении. Тогдаhello_html_7dac574c.gif такжеортонормированный репер. Пусть прямая hello_html_m41d7bf45.gifв репере R определяется уравнением Аx + Вy + С = 0. Образ hello_html_15eabc62.gifпрямой (т.е. множество образов всех точек прямойhello_html_m41d7bf45.gif) в репере hello_html_7dac574c.gif определяется тем же уравнением, поэтому является прямой.

Рассмотрим теперь параллельные прямые hello_html_m7737bbf9.gifи их образы hello_html_m16a8b5a9.gif. Если предположить, что прямые hello_html_m16a8b5a9.gif имеют хотя бы одну общую точкуhello_html_m5cad9ba1.gifто прообраз М этой точки лежит как на прямойhello_html_mead917.gif

Таким образом, прямые hello_html_m7737bbf9.gif имеютобщую точку М; это противоречит условию.hello_html_m2eddfb71.gif

Движение переводит полуплоскость с границей hello_html_5eb1a5b9.gif в полуплоскость с границей hello_html_4c204434.gif, где hello_html_4c204434.gif - образ прямой а.

Пусть hello_html_m52775f04.gifданная полуплоскость с границей а, а hello_html_65adcfc8.gif - образ плоскости hello_html_m65aaa24f.gif в движенииg.

Если прямая в репере R имеет уравнение Аx + Вy + С = 0, то полуплоскость hello_html_m52775f04.gifопределяется неравенством Аx + Вy + С hello_html_m6d132707.gif0 (или Аx+ Вy + С hello_html_m73f3c12e.gif 0). (1)

Множество hello_html_65adcfc8.gif в репереhello_html_7dac574c.gif, где hello_html_7dac574c.gif=g(R), определяется тем же неравенством Аx + Вy + С hello_html_m6d132707.gif0 (или Аx+ Вy + С hello_html_m73f3c12e.gif 0). Следовательно, hello_html_65adcfc8.gif - полуплоскость с границей hello_html_4c204434.gif, где hello_html_4c204434.gif = g(а).hello_html_m2eddfb71.gif

Отношение hello_html_m24737e4e.gif, в котором точка С делит отрезок АВ называется простым отношением трех точек А, В, С и обозначается так hello_html_m24737e4e.gif = (А,В,С).

Движение сохраняет простое отношение трех точек на прямой.

Пусть в репере R три произвольные точки одной прямой имеют координаты А(hello_html_m35c24d6.gif), В(hello_html_m46720e20.gif), Сhello_html_m2f8cf41c.gif

Если hello_html_m24737e4e.gif = (А,В,С), то по формулам координат середины отрезка имеем:

hello_html_m58ef3d27.gif, hello_html_m333dd807.gif .(2)

Если hello_html_7dac574c.gif образ репера R, то образы hello_html_m23cf0.gif точек hello_html_9c0619d.gif в репереhello_html_7dac574c.gif имеют координатыhello_html_m293526ee.gif(hello_html_m35c24d6.gif), hello_html_m557f0b1f.gif(hello_html_m46720e20.gif), hello_html_179f9dda.gif Равенства (2) показывают, что точкаhello_html_m3b11235f.gif делит отрезок hello_html_13570aa6.gif в отношении hello_html_64f5fd7.gif т.е.hello_html_4e642eff.gif) =hello_html_m3e56ee48.gif

Таким образом, hello_html_810e08c.gif).hello_html_m2eddfb71.gif

Точка С лежит между точками А и В тогда и только тогда, когда hello_html_m22905d80.gif и отсюда следует свойство 4.

Движение сохраняет отношение «лежать между».

Еслиhello_html_m22905d80.gif, то точка С лежит на отрезке АВ, а еслиhello_html_43720d90.gif то точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ.

Движение переводит отрезок АВ в отрезокhello_html_13570aa6.gif, где hello_html_m3ec5129d.gif - образы точек А и В. При этом середина отрезка АВ переходит в середину отрезкаhello_html_m1150e132.gif.

Движение переводит луч в луч, а угол в угол.

Движение переводит угол в равный ему угол.

Пусть hello_html_m7e61ad9e.gif –данный угол, аhello_html_76f944ac.gif - его образ, причем hello_html_m2f9c05d3.gif - образы точек А, О, В. Если hello_html_m7e61ad9e.gif развернутый, то утверждение теоремы очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда этот угол неразвернутый, т.е. hello_html_67417e8.gif – репер. Тогда hello_html_m7efbe8ba.gif) – также репер. Треугольники hello_html_1ccfc562.gif равны по третьему признаку равенства треугольников (ОА = hello_html_72b9ddb8.gif), поэтому hello_html_m7e61ad9e.gif = hello_html_76f944ac.gif.hello_html_m2eddfb71.gif

Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.

Пусть О – некоторая точка плоскости, h – луч, исходящий из этой точки, а hello_html_m65aaa24f.gif – полуплоскость, границе которой принадлежит луч h. Тройка О, h, hello_html_m65aaa24f.gif называется флагом и обозначается так: (О, h, hello_html_m38700b1e.gif. При движении флаг переходит в флаг.


Теорема 2.

Пусть (О, h, hello_html_m38700b1e.gif и hello_html_3f5cf40c.gif - произвольные флаги.

Тогда существует одно и только одно движение, которое флаг (О, h, hello_html_m38700b1e.gif переводит в флагhello_html_m24e8475f.gif

Введем рассмотренные ортонормированные реперы (О, hello_html_m7a71ed9e.gif такие, что hello_html_m57b0c00b.gif ,hello_html_5f2c6488.gif.

hello_html_m5e3df8b0.gif hello_html_m79591c5.gif


Прямая со стрелкой 48Прямая со стрелкой 46hello_html_m52cf0657.gifПрямая соединительная линия 54Прямая соединительная линия 52Прямая соединительная линия 50

hello_html_5eac02e1.gifhello_html_5fe6156e.gifПрямая со стрелкой 56hello_html_m1f06fb4.gif

О hello_html_3b5890e8.gif

Рассмотрим движение g, которое репер (О, hello_html_m2bb6bdca.gif переводит в репер

hello_html_2a0070d9.gif Т.к. hello_html_m2b2bfc9d.gif = g(О), hello_html_m2b2bfc9d.gif = g(hello_html_2593f445.gif), то hello_html_m2b2bfc9d.gif = g(h). Ноhello_html_m7cf41650.gif = g(hello_html_m2b2bfc9d.gif), поэтому

hello_html_m2b2bfc9d.gif = g(hello_html_m6d6a137e.gif).

Таким образом, движение gпереводит флаг (О, h, hello_html_m38700b1e.gif в флагhello_html_m24e8475f.gif

Пусть hello_html_71af9f88.gif – произвольное движение, которое переводит флаг (О, h, hello_html_m38700b1e.gif в флагhello_html_m24e8475f.gif Т.к.hello_html_m68bfd7c7.gif = hello_html_71af9f88.gif (h), тоhello_html_2593f445.gif = hello_html_71af9f88.gif (hello_html_2593f445.gif). Далее углы hello_html_10aaeb77.gif прямые, поэтому движение hello_html_71af9f88.gif луч hello_html_78511e5d.gif переводит в лучhello_html_34d86b58.gif, а, следовательно,hello_html_m7cf41650.gif = hello_html_71af9f88.gif (hello_html_m2b2bfc9d.gif).

Таким образом, движениеhello_html_71af9f88.gifпереводитрепер (О, hello_html_m2bb6bdca.gif в репер hello_html_1c12dc2e.gif поэтому hello_html_71af9f88.gif совпадает с g.

Два вида движений. Аналитическое выражение движений.

РеперыR = hello_html_m253ee4.gif и hello_html_7dac574c.gif = hello_html_122a4557.gif одинаково ориентированы, если базисы hello_html_m728501cb.gif, hello_html_m5100b80e.gif иhello_html_mb220c97.gif, hello_html_m4a012a94.gifодинаково ориентированы. РеперыR = hello_html_m253ee4.gif и hello_html_7dac574c.gif = hello_html_122a4557.gif противоположно ориентированы, если базисы hello_html_m728501cb.gif, hello_html_m5100b80e.gif иhello_html_mb220c97.gif, hello_html_m4a012a94.gifпротивоположно ориентированы.Таким образом, реперыR иhello_html_7dac574c.gifодинаково ориентированы, еслиRhello_html_137d07d3.gif0, и противоположно ориентированы, если Rhello_html_41467585.gif0. ЗдесьRhello_html_1c52780b.gif = hello_html_m492427dd.gif, hello_html_m5100b80e.gif)hello_html_21e0b816.gif, hello_html_m18678706.gif.

Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ одинаково ориентированы.Преобразование точек плоскости меняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ противоположно ориентированы.

Теорема 1.

Пусть gпроизвольное движение, hello_html_648bdbc5.gif– некоторый ортонормированный репер, а hello_html_m1a4d5cb4.gif - его образ, который также является ортонормированным репером. Возьмём произвольный реперR= hello_html_67417e8.gif и рассмотрим его образ

hello_html_7dac574c.gif =hello_html_m7163880c.gif По основной теореме точки О, А, В в репереhello_html_4c5c7382.gif имеют те же координаты, что и соответствующие точкиhello_html_70ea81da.gif в репереhello_html_17bd1012.gif Следовательно, векторы hello_html_m728501cb.gif, hello_html_m5100b80e.gif в репереhello_html_4c5c7382.gif имеют те же координаты, что и векторыhello_html_m506a51be.gif, hello_html_m4a012a94.gif в репере hello_html_m1a4d5cb4.gif соответственно. Поэтомуhello_html_m26ef301e.gif = hello_html_404c7331.gifили

hello_html_11cfc4f5.gif =hello_html_m4fd46f8c.gif

Для любых трех базисов А = ( hello_html_4b7623db.gif), В = hello_html_319a4b0.gif, С =hello_html_m90b8797.gifсправедливо равенство hello_html_m15f0e626.gif =hello_html_25e28e29.gif Получаем: hello_html_2a1adf7.gif =hello_html_241fd736.gif = =hello_html_41dd2fdc.gif = hello_html_2ffc2422.gif = hello_html_m58ee5d7a.gif.

Отсюда следует утверждение теоремы. Действительно, если hello_html_47c4d7de.gif0, то hello_html_m58e8e3f1.gif 0, т.е.произвольный реперR и его образ hello_html_7dac574c.gifодинаково ориентированы, а еслиhello_html_1585facc.gif0, то hello_html_7e375eee.gif 0, т.е.произвольный реперR и его образ hello_html_7dac574c.gifпротивоположно ориентированы.hello_html_m2eddfb71.gif

Итак, возможны два вида движений: движения, не меняющие ориентацию плоскости, и движения, меняющие ориентацию плоскости. В первом случае движение называется движением первого рода, а во втором случае –движением второго рода.

Пусть gданное движение. Возьмем на плоскости ортонормированный репер R = (О, hello_html_23715ef9.gif), обозначим hello_html_1b9626fb.gifкоординаты произвольной точки М плоскости, а hello_html_4f427a56.gif - координаты её образа hello_html_7226e0e0.gif в этом репере.

Выразим hello_html_4f427a56.gif черезhello_html_m16cf561b.gif найдем аналитическое выражение движения g в репере R.

Для решения этой задачи рассмотрим образ hello_html_7dac574c.gif= hello_html_191ed828.gifрепера R в движении g. Так как движение g дано, то полагаем, что репер R задан, т.е. даны координаты точки hello_html_3b5890e8.gif(hello_html_m6655c905.gif) в репере R и известен направленный угол hello_html_m6d6a137e.gif = hello_html_m47829ccf.gif).

По основной теореме точка hello_html_7226e0e0.gif в репере hello_html_20ef11f6.gif имеет координатыhello_html_1b9626fb.gif. Наша задача сводится к обычной задаче преобразования прямоугольной системы координат: точкаhello_html_7226e0e0.gif в старомрепере R имеет координатыhello_html_1b178a8e.gif а в новом репере hello_html_20ef11f6.gif - координатыhello_html_746d4f28.gifВыразим hello_html_4f427a56.gif черезhello_html_746d4f28.gif

Рассмотрим два случая.

А.Движение g– является движением первого рода. Тогда реперы Rи hello_html_20ef11f6.gifодинаково ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:

hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_3574422e.gif,hello_html_65509b18.gif=hello_html_m6353c58f.gif(1)

Б.Движение g– является движением второго рода. Тогда реперы R и hello_html_20ef11f6.gifпротивоположно ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:

hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_m7095d4ba.gif,hello_html_65509b18.gif=hello_html_36b14995.gif(2)

Эти формулы можно объединить в одной записи:

hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_177059dd.gif,

hello_html_65509b18.gif=hello_html_f4add43.gif(3)

hello_html_3bf45fa5.gif =1, еслиg– является движением первого рода.

hello_html_3bf45fa5.gif = - 1, если g– является движением второго рода.

Матрица hello_html_m39c6b624.gifназывается ортогональной, если её элементы удовлетворяют условиям: hello_html_2081786e.gif, hello_html_m15b8fcbc.gif. (4)

Докажем, что определитель ортогональной матрицы равен hello_html_2a180a68.gif Для этого введем ортонормированный базисhello_html_m44c39fed.gifи в этом базисе рассмотрим векторы

hello_html_mc933a5.gifи hello_html_ma707736.gif. Условия (4) показывают, что векторыhello_html_78c35c50.gif иhello_html_m53d82cf1.gif образуют ортонормированный базис, поэтому получаем: hello_html_34c433ad.gif=hello_html_33e8e93d.gifгдеhello_html_4590c0fc.gif = hello_html_m24210fba.gif.

Если базис hello_html_m3f291120.gif правый, то hello_html_5752f7e0.gif = hello_html_530cbfd5.gif, поэтомуhello_html_4590c0fc.gif =1, а если этот базис левый, то hello_html_5752f7e0.gif = - hello_html_530cbfd5.gif, поэтому hello_html_7b19d4c1.gif = -1. Заметим, что в формулах (1) и (2) коэффициенты при hello_html_m5da48b36.gif иhello_html_m285ed0f2.gifобразуют ортогональные матрицы:

hello_html_m3849a7c0.gif(5).

Теорема 2.

Если аналитическое выражение отображения hello_html_71af9f88.gifортонормированном репере R= (О, hello_html_23715ef9.gif) имеет вид:

hello_html_m1215afe2.gif = hello_html_m3fd4b847.gif + hello_html_m555021d3.gif + hello_html_507c66af.gif, hello_html_65509b18.gif = hello_html_7f8bf699.gif + hello_html_23423f7.gif + hello_html_m15862f0b.gif (6)

где hello_html_m394cf80a.gif–ортогональная матрица, то hello_html_71af9f88.gif – движение.

При этом, если hello_html_7b19d4c1.gif =1, тоhello_html_71af9f88.gif – движениепервого рода, а еслиhello_html_4590c0fc.gif = -1, тоhello_html_71af9f88.gif – движение второго рода. Здесь hello_html_7b19d4c1.gif - = hello_html_m513dac04.gif.

Так как hello_html_3a4787bd.gif 0, то отображение hello_html_m53e84bcf.gifДокажем, чтоhello_html_224892d.gif – движение. Пусть hello_html_m25c0ce5a.gifиhello_html_1c2233a2.gif – две произвольные точки, аhello_html_76c76b59.gif и hello_html_m4e6fdcfe.gif - их образы.Используя формулу (6) и равенства (4), найдём:hello_html_m430a909b.gif +hello_html_m28d9ef75.gif = hello_html_m507d2ed2.gif +hello_html_18a65f6b.gifилиhello_html_69a7e838.gif= hello_html_m54169bc7.gif. Таким образом, hello_html_m27efae5e.gif- сохраняет расстояние, поэтому является движением.

При движении hello_html_71af9f88.gifрепер R= (О, hello_html_23715ef9.gif) переходит в репер hello_html_33ae830e.gif гдеhello_html_708cffb8.gif, hello_html_15fe45fd.gif, hello_html_m6863b93d.gif, поэтому векторы hello_html_3dfa9885.gifи hello_html_28342ac1.gif имеют координатыhello_html_mb310a4e.gifи hello_html_m6b3ec234.gifОтсюда следует, чтоRhello_html_1c52780b.gif=hello_html_485d2d03.gif=hello_html_m2077c2f1.gifЕсли hello_html_7b19d4c1.gif =1, то реперы Rиhello_html_7dac574c.gifориентированы одинаково, поэтомуhello_html_71af9f88.gif – движениепервого рода, а еслиhello_html_4590c0fc.gif = -1, тото реперы Rиhello_html_7dac574c.gifориентированы противоположно, поэтомуhello_html_71af9f88.gif – движение второго рода.hello_html_m2eddfb71.gif

Виды движений.

Пример 1.

Пусть на ориентированной плоскости hello_html_3405fcca.gif дана точка О и направленный угол hello_html_m65aaa24f.gif.Определим отображение g: hello_html_42338a6.gif следующим образом: точке М, отличной от точки О, поставим в соответствие точку hello_html_7226e0e0.gif так, чтобы ОМ=Оhello_html_7226e0e0.gif и hello_html_51a17.gif=hello_html_m65aaa24f.gif, а точке О поставим в соответствие эту же точку О. Это отображение называется поворотом (или вращением) плоскости вокруг точки О на угол hello_html_27606ca9.gif Точка О называется центром поворота, а величина hello_html_m65aaa24f.gif – углом поворота. Легко заметить, что поворот на угол hello_html_m5e248f24.gif является центральной симметрией.

Пользуясь предыдущей теоремой, докажем, что поворот является движением первого рода. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат Оhello_html_4d6532d9.gif, приняв за начало координат центр О поворота, и установим связь между координатами произвольной точки Мhello_html_5e94159c.gif отличной от точки О и её образа hello_html_m8ab26de.gif По определению поворота hello_html_m48fc71cd.gif)=hello_html_m3cf201b2.gif ОМ=Оhello_html_7226e0e0.gif.

Имеем: hello_html_m408111be.gif =hello_html_235c14a2.gif, hello_html_6ba396c1.gif = hello_html_5095141b.gif, где hello_html_m215e655f.gif = hello_html_56729241.gif = hello_html_m350f6796.gif = hello_html_m49394120.gif = hello_html_63824b3b.gif. Отсюда получаем:

hello_html_m2777578c.gif,

hello_html_m7e366db0.gif.

Эту систему можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестнымиhello_html_5f9ffe78.gif. Решая её, находим:

hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_m3d34479c.gif,

hello_html_65509b18.gif=hello_html_m6b9f226c.gif(7)

Данные формулы пригодны и в том случае, когда точка М совпадает с точкой О.

Мы получили аналитическое выражение поворота вокруг начала координат.

Так как матрица, образованная из коэффициентов при hello_html_m64798add.gif ортогональная и определитель этой матрицы равен +1, то g–движение первого рода.

При hello_html_m79fb3bb7.gif или hello_html_mded3a37.gif формулы (7) принимают вид hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_337b469b.gif, hello_html_65509b18.gif= hello_html_m6626601f.gif. (8)

Эти формулы представляют собой аналитическое выражение центральной симметрии с центром в начале координат.

Пример 2.

На плоскости hello_html_3405fcca.gif возьмем прямую hello_html_m41d7bf45.gif и каждой точке М hello_html_m3fdd1950.gif поставим в соответствие точку hello_html_7226e0e0.gif, симметричную точке М относительно прямой hello_html_m41d7bf45.gif. Каждая точка прямой hello_html_m41d7bf45.gif симметрична самой себе относительно этой прямой. Мы получаем преобразование плоскости hello_html_3405fcca.gif, которое называется осевой симметрией или отражением от прямой hello_html_m41d7bf45.gif. Прямая hello_html_m41d7bf45.gifназывается осью симметрии.

Мhello_html_7ed587ba.gifhello_html_2e820272.gif

hello_html_68e51571.gifhello_html_m5d4834d.gif

hello_html_m41d7bf45.gif

hello_html_m40744f4b.gifhello_html_72b24bdb.gif

О hello_html_m5241d036.gif


hello_html_m6a83a413.gif

Докажем, что осевая симметрия является движением.

Для этого выберем на плоскости прямоугольную систему координат Оhello_html_m4f78f9c7.gif, как показано на рисунке, и запишем аналитическое выражение осевой симметрии.

Пусть Мhello_html_7ed587ba.gif- произвольная точка плоскости, а hello_html_m6a83a413.gif - её образ. Так как точки М и hello_html_7226e0e0.gif симметричны относительно оси абсцисс, то hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_m8f00716.gif, hello_html_65509b18.gif= hello_html_m47c95f75.gif По теореме 2 осевая симметрия является движением второго рода.

Классификация движений.

Точку плоскости назовем инвариантной (неподвижной) точкой преобразования, если она переходит в себя в этом преобразовании. Прямую назовем инвариантной прямой преобразования, если любая её точка переходит в точку этой же прямой. В частности, прямая является инвариантной, если каждая её точка инвариантна в данном преобразовании.

(Такую прямую будем называть прямой инвариантных точек). Если, например, g – осевая симметрия, то ось этого преобразования и любая прямая перпендикулярная к ней являются инвариантными прямыми, причём ось симметрии – прямая инвариантных точек.

Лемма 1.

Если движение g не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одну инвариантную прямую.

Пусть А – произвольная точка плоскости, hello_html_m65398813.gif= g(А), hello_html_309c6016.gif= g(hello_html_m65398813.gif). По условию леммы точка А не совпадает с точкой hello_html_m65398813.gif, а точка hello_html_m65398813.gif не совпадает с точкой hello_html_309c6016.gif. Если точки А, hello_html_m65398813.gif, hello_html_309c6016.gif лежат на одной прямой, то эта прямая является инвариантной, поэтому рассмотрим случай, когда эти точки не лежат на одной прямой. Рассмотрим середины hello_html_m36c95d78.gif и hello_html_5811c76d.gif отрезков hello_html_1b2b15e1.gif и hello_html_5a347480.gif и докажем, что hello_html_45f9a07a.gif–инвариантная прямая.


Прямая соединительная линия 30Прямая соединительная линия 34Прямая соединительная линия 40Прямая соединительная линия 55hello_html_m41250304.gif

hello_html_32abb3ff.gifhello_html_m6509df05.gifПрямая соединительная линия 33


Прямая соединительная линия 28Прямая соединительная линия 35hello_html_685dd484.gif

hello_html_4967825d.gif

hello_html_690708d5.gif hello_html_m1d76ba99.gif hello_html_m1d1bb340.gif

Аhello_html_m3184ee.gif



С

Для этого проведём серединные перпендикуляры hello_html_691086d8.gif и hello_html_m7d942337.gifотрезков hello_html_1b2b15e1.gif и hello_html_23530f06.gif и обозначим через С их точку пересечения. Очевидно, что hello_html_5811c76d.gif= g(hello_html_m36c95d78.gif), поэтому hello_html_m7d942337.gif=g(hello_html_691086d8.gif). Так как hello_html_37d88cad.gif=hello_html_m770d5397.gif, то точка С прямойhello_html_691086d8.gifпереходит либо в ту же точку С прямойhello_html_m7d942337.gif, либо в точку hello_html_mbe537ed.gif симметричную точке С относительно точки hello_html_5811c76d.gif. Первый случай не может иметь места, т.к. g не имеет неподвижных точек, поэтому hello_html_mbe537ed.gif=g(hello_html_m5205717b.gif).

Таким образом, прямая hello_html_m5a13416d.gifпереходит в параллельную ей прямуюhello_html_1fb5385d.gif (четырехугольник hello_html_21388761.gif).

Пусть hello_html_m6cade4be.gif - образ прямой hello_html_45f9a07a.gif. Так как hello_html_163674f0.gif, то hello_html_m50f6ac5c.gif или hello_html_m4b3b763c.gif Мы видим, что прямая hello_html_m6cade4be.gif проходит через точку hello_html_5811c76d.gif и перпендикулярна прямойhello_html_60cdea5f.gif, поэтому hello_html_m6cade4be.gif совпадает с прямой hello_html_45f9a07a.gif.

Лемма 2.

Если движение g луч hello_html_3b19bda0.gif переводит в себя, то g–либо тождественное преобразование, либо отражение от прямой hello_html_3644c434.gif, содержащей луч hello_html_6820f77e.gif

Обозначим через hello_html_m1d76ba99.gif начало луча hello_html_3b19bda0.gif, а через hello_html_m591d511c.gif две полуплоскости с общей границей, содержащей луч hello_html_3b19bda0.gif. Возможны только два случая.

  1. Движение g переводит флаг (hello_html_4a4ad8fc.gif,hello_html_166fbcea.gif) в флаг (hello_html_4a4ad8fc.gif,hello_html_166fbcea.gif), т.е. выполняется тождественное преобразование.

  2. Движение g переводит флаг (hello_html_4a4ad8fc.gif,hello_html_166fbcea.gif) в флаг (hello_html_4a4ad8fc.gif,hello_html_m70b1baa8.gif). Движение g совпадает с осевой симметрией относительно прямой hello_html_3644c434.gif.hello_html_m2a8eefd3.gif

Проведем классификацию движений в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых.

Классификация движений первого рода

1.Движение имеет более чем одну неподвижную точку. Пусть А и В – две неподвижные точки движения g. Тогда луч АВ переходит в себя, поэтому по лемме 2 имеем: g – тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но осевая симметрия является движением второго рода, поэтому g – тождественное преобразование.

2.Движение имеет только одну неподвижную точку. Выберем ортонормированный репер (hello_html_m3a3a2dd0.gif) так, чтобы точка hello_html_4a4ad8fc.gif была неподвижной точкой и запишем аналитическое выражение этого движения. В данном случае формулы (1) имеют вид:

hello_html_m1215afe2.gif=hello_html_m3d34479c.gif,

hello_html_65509b18.gif=hello_html_m6b9f226c.gif(1)

Т.к. gне является тождественным преобразованием, то hello_html_1a99e14f.gifФормулы (1) в точности совпадают с формулами (7), поэтому g – вращение вокруг точки hello_html_m1d76ba99.gif и на угол hello_html_m65aaa24f.gif.

При hello_html_m79fb3bb7.gifлибоhello_html_mded3a37.gifпреобразование g- центральная симметрия с центром hello_html_4a4ad8fc.gif. Заметим, что если hello_html_mba20cbe.gif, то g не имеет инвариантных прямых, а в случаеhello_html_m19ecbe6e.gifлибо hello_html_mded3a37.gif – бесконечное множество инвариантных прямых. Инвариантными прямыми будут те и только те прямые, которые проходят через точку hello_html_4a4ad8fc.gif.

3.Движение g не имеет неподвижных точек.

Согласно лемме 1 существует хотя бы одна инвариантная прямая hello_html_1e40f3d9.gif Пусть hello_html_4a4ad8fc.gif – некоторая точка этой прямой, hello_html_m70ee4a1e.gifg(hello_html_4a4ad8fc.gif), hello_html_7fd5129c.gifg(hello_html_m36c95d78.gif). Точки hello_html_4a4ad8fc.gif, hello_html_m1d7c4469.gif лежат на прямой hello_html_23f2f433.gif и попарно различны, т.к. g - не имеет неподвижных точек (если предположить, что точки hello_html_4a4ad8fc.gif и hello_html_m3230c483.gifсовпадают, тогда середина отрезка hello_html_m4dcc07cf.gif была бы неподвижной точкой, что невозможно).

Выберем ортонормированный репер (hello_html_m3a3a2dd0.gif) так, чтобы hello_html_m67c5d65b.gif. Пусть в этом репере точка hello_html_m36c95d78.gif имеет координаты hello_html_m36c95d78.gif(hello_html_12cf98a1.gif). Т.к. hello_html_m4dcc07cf.gif=hello_html_m20ad3fdc.gif, то hello_html_5811c76d.gif имеет координаты (hello_html_m4c686f36.gif).

Допустим, что аналитическое выражение движенияg в репере (hello_html_m3a3a2dd0.gif) имеет вид (1). Так как hello_html_4a4ad8fc.gif=g(hello_html_m36c95d78.gif), hello_html_7fd5129c.gifg(hello_html_m36c95d78.gif), то hello_html_507c66af.gif=hello_html_1df337e2.gif, hello_html_m13a058db.gif= 0, hello_html_m36e23ff7.gif,hello_html_m2852d501.gif, поэтому формулы (1) принимают вид:

hello_html_m1215afe2.gif= hello_html_219d6dc2.gif, hello_html_65509b18.gif=hello_html_m7ffe28c3.gif (2)

Отсюда следует, что g – параллельный перенос на ненулевой векторhello_html_1435b677.gif(hello_html_12cf98a1.gif).

Действительно, если Мhello_html_7ed587ba.gif- произвольная точка, а hello_html_m6a83a413.gif - её образ, то из формул (2) получаем hello_html_m51f5eb4d.gif=hello_html_1435b677.gif.

Любая прямая, параллельная вектору hello_html_1435b677.gif, является инвариантной прямой параллельного переноса. Других инвариантных прямых нет.

Классификация движений второго рода.

Из формул (2) получаем следующие уравнения для получения координат неподвижных точек второго рода:

(hello_html_m1cfde2a2.gif= 0,

hello_html_27394866.gif= 0.

Определитель этой системы при любомhello_html_67963db8.gif равен нулю, и не все коэффициенты при hello_html_m1fa7b664.gif равны нулю, поэтому любое движение второго рода либо имеет прямую инвариантных точек, либо не имеет ни одной инвариантной точки. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1.Движение g – имеет прямую инвариантных точек. Пусть h – какой- нибудь луч этой прямой. Так как h = g(h), то по лемме 2 имеем: g – либо тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но тождественное преобразование является движением первого рода, поэтому g – осевая симметрия.

2.Движение g не имеет инвариантных точек. Этот случай аналогичен случаю параллельного переноса.

Выберем ортонормированный репер (hello_html_m3a3a2dd0.gif) так, чтобы точки hello_html_1f1b0b19.gif лежали на инвариантной прямой hello_html_1e40f3d9.gif Пусть hello_html_m70ee4a1e.gifg(hello_html_4a4ad8fc.gif), hello_html_7fd5129c.gifg(hello_html_m36c95d78.gif).

Выберем ортонормированный репер (hello_html_m3a3a2dd0.gif) так, чтобы hello_html_m67c5d65b.gif. Если точка hello_html_m36c95d78.gif имеет координаты (hello_html_12cf98a1.gif), то hello_html_5811c76d.gif имеет координаты (hello_html_m4c686f36.gif). Предположим, что аналитическое выражение движения g в репере (hello_html_m3a3a2dd0.gif) имеет вид (2).

Из условий hello_html_m75ac700f.gif получаем:

hello_html_507c66af.gif=hello_html_1df337e2.gif, hello_html_m13a058db.gif= 0, hello_html_m36e23ff7.gif,hello_html_5f97e27a.gif, поэтому формулы (1) принимают вид:

hello_html_m1215afe2.gif= hello_html_219d6dc2.gif, hello_html_65509b18.gif=hello_html_m47c95f75.gif (3)

hello_html_m67d08f70.gifкажем, чтоg =hello_html_m6c115b8.gif, где hello_html_71af9f88.gif – параллельный перенос на ненулевой векторhello_html_m939f8a.gif(hello_html_12cf98a1.gif), а hello_html_64a59783.gif – отражение от прямой hello_html_23f2f433.gif. В самом деле, преобразование hello_html_91e5826.gifв репере (hello_html_m3a3a2dd0.gif) определяются формулами:

S:hello_html_m1215afe2.gif= hello_html_1be087c2.gif,

hello_html_65509b18.gif=hello_html_1dd48485.gif

hello_html_7c5bd745.gif = hello_html_7f368d2b.gif

hello_html_6e1adc06.gif = hello_html_m285ed0f2.gif,

Поэтому отображение hello_html_m6c115b8.gif определяется формулами (3), т.е. совпадает с g. В этом случае движение g– называется скользящей симметрией. Ясно, что скользящая симметрия не имеет инвариантных точек и имеет только одну инвариантную прямую.

Итак, существуют четыре типа движений, которые представим в виде таблицы.


Название движения

Инвариантные точки

Инвариантные прямые

Движения первого рода

1. Поворот на уголhello_html_m630c11d6.gif

а) поворот на угол hello_html_m30f3c984.gif

Центр поворота

нет

б)тождественное преобразование (hello_html_69f4cf07.gif)

Любая точка плоскости

Любая прямая плоскости

в)центральная симметрия (hello_html_5dad6254.gif )

Центр симметрии

Любая прямая, проходящая через центр симметрии

2. Параллельный перенос на вектор hello_html_6dff7f03.gif

а) Параллельный перенос на вектор hello_html_m524ffc46.gif

нет

Любая прямая, параллельная векторуhello_html_1435b677.gif

б) тождественное преобразованиеhello_html_m59f47ce1.gif

Любая точка плоскости

Любая прямая плоскости

Движения второго рода

3. Осевая симметрия

Все точки оси

Ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная к ней

4.Скользящая симметрия

нет

Одна прямая

Композиция движений.

Группа движений плоскости и её подгруппы

Можно доказать, что произведение двух движений есть движение. Действительно, пусть hello_html_m7af9cdd.gif – так как они являются преобразованиями плоскости, то hello_html_3d63511f.gif также преобразование плоскости. Но каждое из движенийhello_html_255ad4b6.gif сохраняет расстояние, поэтому и hello_html_m667ccb14.gifсохраняет расстояние, т.к. при последовательном выполнении двух движений расстояния сохраняются. Таким образом, hello_html_3d63511f.gif – движение.

Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что еслиhello_html_255ad4b6.gifдвижения первого рода, то hello_html_3d63511f.gif – движение первого рода. С другой стороны, еслиhello_html_255ad4b6.gif движения второго рода, то каждое из них меняет ориентацию плоскости, поэтому hello_html_3d63511f.gif – движениепервого рода. Отметим, что еслиhello_html_5ec799d5.gifдвижение первого рода, а hello_html_m70f180ec.gifдвижение второго рода, тоhello_html_13722f78.gifдвижение второго рода. Эти утверждения дают возможность легко определить, к какому типу относится произведение двух данных движений.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Доказать, что произведение двух центральных симметрий есть параллельный перенос.

Решение.

Пусть hello_html_m2e442a54.gif – отражение от точки hello_html_m36c95d78.gif иhello_html_453e077a.gif. Так как hello_html_2b5a09a7.gif, тоhello_html_26e067d5.gif Рассмотрим два возможных случая.

1.Точки hello_html_m2e2bff20.gif совпадают. В этом случае, очевидно,hello_html_m3025eacf.gif тождественное преобразование, т.е. параллельный перенос на вектор hello_html_m78020a13.gif.

2.Точки hello_html_m2e2bff20.gif не совпадают. В этом случае, при движении hello_html_m3025eacf.gif образы hello_html_m1822aded.gif точекhello_html_m1d7c4469.gif лежат на прямой hello_html_45f9a07a.gif и кроме того, точка hello_html_5811c76d.gif является серединой отрезка hello_html_4a1cfeef.gif. Поэтому прямая hello_html_45f9a07a.gif является инвариантной прямой преобразования hello_html_941e559.gif. На этой прямой нет ни одной неподвижной точки.

hello_html_5b380287.gifhello_html_m4c17f95e.gif

Если, например, hello_html_m295dcd0a.gif неподвижная точка, то hello_html_122209fb.gifт.е. hello_html_m1cb956c3.gif совпадает с точкой hello_html_5811c76d.gif, что невозможно, т.к. точкаhello_html_5811c76d.gif не является неподвижной точкой. Итак,hello_html_71ff9aad.gif которое имеет инвариантную прямую, на которой нет неподвижных точек. Отсюда следует, что hello_html_941e559.gif- параллельный перенос на ненулевой вектор вектор.


Пример 2.

Выяснить тип преобразования, которое является произведением отражений hello_html_m20bf8901.gif от двух прямых hello_html_35956551.gifсоответственно.

Решение.

Т.к. hello_html_7fe88254.gif движение второго рода, то hello_html_m7b07ef26.gif. Рассмотрим два возможных случая.

1) Прямые hello_html_35956551.gif параллельны. Очевидно, любая прямая, перпендикулярная прямым hello_html_35956551.gif, является инвариантной прямой преобразования hello_html_m868d62.gif Таким образом, hello_html_755346f4.gifпараллельный перенос на вектор hello_html_m78020a13.gif, т.к. только параллельный перенос имеет параллельные инвариантные прямые, но потому чтоhello_html_m21ccdb97.gif является тождественным преобразованием, hello_html_m70c2623e.gif.

Прямые hello_html_35956551.gif пересекаются в точке hello_html_m1d76ba99.gif. Точка hello_html_m1d76ba99.gif является неподвижной точкой движения hello_html_71af9f88.gif, поэтомуhello_html_5ec799d5.gif поворот вокруг точки hello_html_m1d76ba99.gif на уголhello_html_m19eeeb44.gif Так как hello_html_71af9f88.gif не является тождественным преобразованием, то hello_html_1a99e14f.gif Если hello_html_m67e1fc53.gif, то hello_html_3df66a81.gifинвариантные прямые, поэтому hello_html_5ec799d5.gifцентральная симметрия, а если hello_html_3644c434.gifне перпендикулярна к hello_html_23f2f433.gif, тоhello_html_5ec799d5.gif поворот на уголhello_html_23cb2437.gif где hello_html_e30ac37.gif

Пример 3.

Выяснить тип преобразования, которое является произведением отражения hello_html_5998b71f.gifот точкиhello_html_m1d76ba99.gif и отображения hello_html_71af9f88.gif от прямой hello_html_45fe53bd.gif

Решение.

Т.к. hello_html_m17d76d50.gif, аhello_html_5b9c05f6.gif, то hello_html_74bce886.gif т.е. либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.

Если hello_html_m5b07709.gif, то hello_html_5962d87c.gifосевая симметрия, а если hello_html_m2c964e76.gif, то hello_html_5962d87c.gifскользящая симметрия.

Из четырех типов движения - осевая симметрия играет особую роль, о чем свидетельствует следующая теорема.

Теорема 1.

Любое движение hello_html_5998b71f.gif плоскости является либо осевой симметрией, либо представляет собой произведение не более трех осевых симметрий.

Докажем это.

Возьмем некоторый флаг (hello_html_m1d76ba99.gif,hello_html_166fbcea.gif) и рассмотрим его образ (hello_html_m1d76ba99.gif,hello_html_m70b1baa8.gif). Возможны два случая.

1.Точки hello_html_m16138698.gif совпадают, т.е. лучи hello_html_60d6ccc8.gif имеют общее начало. В этом случае существует прямая hello_html_m1a5438ee.gif относительно которой лучиhello_html_60d6ccc8.gif симметричны (если лучи hello_html_175bf0f8.gif, содержащая луч hello_html_667cde36.gif).

Рассмотрим движение hello_html_71af9f88.gif, определяемое формулой hello_html_m36f1ec08.gif гдеhello_html_45a44d72.gifотражение от прямой hello_html_45fe53bd.gif


Т.кhello_html_7d5cd85d.gifто движение hello_html_m27efae5e.gif является либо тождественным преобразованием hello_html_5bd07b85.gif, либо осевой симметрией. Из равенства (1) получаем: hello_html_m1816b81c.gif hello_html_m68500c24.gif(2)

Итак, движение hello_html_6d91f2ee.gif– либо осевая симметрия ( hello_html_582b04bf.gif), либо произведение двух осевых симметрий.

2.Точки hello_html_m16138698.gif не совпадают. Пусть hello_html_3644c434.gif – серединный перпендикуляр отрезка hello_html_443329ce.gif. Рассмотрим движение hello_html_3480a1f6.gif заданное формулой hello_html_10b3376.gif. Движение hello_html_71af9f88.gif переводит hello_html_3b19bda0.gif в некоторый луч hello_html_m25e82ce7.gif, причём hello_html_3b19bda0.gif и hello_html_m25e82ce7.gif имеют общее начало. Движение hello_html_m4ba5f84f.gif либо осевая симметрия, либо произведение двух осевых симметрий. Поэтому hello_html_m7541e3b3.gifследует, что любое движение плоскости является либо осевой симметрией, либо представляет произведение не более трёх осевых симметрий.

3. Обозначим через D множество всех движений плоскости. Из основной теоремы следует, что D - бесконечное множество. В п. 1 показано, что если hello_html_m55e1bca3.gif. Далее, если hello_html_m5c87ff09.gif. Т.о множество hello_html_m27f49bcc.gif является группой преобразований. Эта группа называется группой движений плоскости.

Пусть hello_html_m4b5e0ed3.gif– некоторая фигура. Те свойства фигуры hello_html_3224da1.gif, которые сохраняются при всех движениях, называются инвариантными свойствами этой фигуры относительно группы hello_html_m27f49bcc.gif, или, короче, инвариантами группы hello_html_m27f49bcc.gif. Так, расстояние между двумя точками hello_html_e6b37d3.gif – инвариантное свойство фигуры {А, B} относительно группы hello_html_m27f49bcc.gif. Это основной инвариант группы движений. Свойства фигуры быть отрезком, лучом, прямой являются примерами инвариантных свойств фигур относительно группы hello_html_m27f49bcc.gif. Простое отношение трёх точек прямой, мера угла, площадь фигуры также является инвариантами группы hello_html_m27f49bcc.gif.

Рассмотрим важнейшие подгруппы группы hello_html_m27f49bcc.gif и укажем некоторые инварианты этих подгрупп, которые не являются инвариантами группы hello_html_m27f49bcc.gif.

1) Обозначим через hello_html_3df43d07.gif множество всех движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что если hello_html_78bbd8e3.gif, то hello_html_2ce3644e.gif и hello_html_4a96559.gif. Значит hello_html_3df43d07.gif – подгруппа группы hello_html_m27f49bcc.gif. Она называется группой движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости, т.е. переводит любой репер в репер той же ориентации. Поэтому ориентация репера – инвариант группыhello_html_19d4ec5a.gif.

Замечание. Множество hello_html_m6851d504.gif движений II рода не является группой. Если hello_html_247a23bd.gif– движения второго рода, тоhello_html_m4215b30d.gif– движение первого рода, поэтому hello_html_153eb29e.gifне принадлежат hello_html_m6851d504.gif.

2) Пусть hello_html_m3edf3eb1.gif – множество всех движений первого рода, для которыхhello_html_m65aad937.gif– неподвижная точка.

Очевидно, hello_html_61fa95b4.gif. Если hello_html_m55c25d49.gif, то ясно, что hello_html_748a2d27.gif(hello_html_1c360c09.gif), и hello_html_7fc8c42f.gif. Значит, hello_html_426deb4d.gif – подгруппа группы hello_html_3df43d07.gif. Эта группа состоит из всех вращений вокруг точкиhello_html_39f9ff1e.gif. Она называется группой вращений плоскости вокруг точки hello_html_m3099c2da.gif. Расстояние от произвольной точки hello_html_m169302b8.gifдо центра hello_html_m3099c2da.gif вращения является инвариантом группы hello_html_m4fd6f034.gif.

3) Рассмотрим множество hello_html_mba3c02d.gif, состоящее из всех параллельных переносов. Очевидно, hello_html_7b59eee1.gif Пусть hello_html_17d132e0.gif – параллельные переносы векторами переносовhello_html_m4156aa1d.gif. Нетрудно видеть, что если hello_html_7226e0e0.gif = hello_html_52b38b97.gif), то hello_html_m4264bb11.gif Т.о, hello_html_6075c151.gif– параллельный перенос, на вектор hello_html_232acd51.gif. Далее, т.к. преобразование hello_html_mb8bdd0f.gif параллельный перенос, то hello_html_m2be1018c.gif. Но тогда hello_html_m705edd48.gif, т.е. hello_html_m4f5f0204.gif – параллельный перенос на вектор – hello_html_1435b677.gif. Т.о., если hello_html_m2b3649bc.gif то hello_html_m6cfb19ec.gif

Этим доказано, что hello_html_mba3c02d.gif– подгруппа группы hello_html_3df43d07.gif; она называется группой переносов плоскости.

Две фигуры hello_html_m579016bd.gif называются равными (или конгруэнтными), если они hello_html_m27f49bcc.gif – эквивалентны, т.е. если существует такое движение hello_html_m6fab2c79.gifПишут: hello_html_93986d2.gif (или hello_html_m348838bd.gif). Т.к. hello_html_e09d458.gif– эквивалентность фигур является отношением эквивалентности на множестве всех фигур плоскости, то справедливы утверждения:

  1. hello_html_m74198a89.gif

  2. hello_html_5523d080.gif

  3. hello_html_m12f53723.gif

Для того, чтобы установить равенство двух фигур, не обязательно доказывать существование движения, которое одну фигуру переводит в другую. В ряде случаев удается установить равенство фигур, сравнивая только некоторые их элементы.

Пользуясь основной теоремой нетрудно доказать, что две фигуры равны. В частности, две окружности равны тогда и только тогда, когда их радиусы равны.


6. Применение движений плоскости к решению геометрических задач

1. Примеры решения задач.


Задача № 1.


Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.


Доказательство:

Пусть точка А при центральной симметрии относительно точки О1

Переходит в точку А1; точка А1 переходит в точку А2 при симметрии относительно О2.

Тогда О1 О2 – средняя линия треугольника АА1 А2, Поэтому: hello_html_m64683e13.gif

А

hello_html_42a8b2db.gifСледовательно, композиция двух центральных

Симметрий является параллельным переносом.


hello_html_m9ab5e72.gifО1



А1 О2 А2



Задача № 2.


Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.


Доказательство:

Пусть О2 – образ точки О1 при переносе на вектор hello_html_m66053196.gif·

Зная, что So2 · So1 = Zа,

умножим это равенство на So1 справа или на So2 слева и, учитывая, что Sx ° Sx тождественное преобразование, получаем:

So1 = So2 ° Zа и So2 = Zа ° So1.



Задача № 3.


Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек О1, О2 и О3, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место.

Согласно предыдущей задачи: hello_html_m7dfe716b.gif

Поэтому: So3 ° So2 ° So1 ° So3 ° So2 ° So1 = Z2hello_html_428fa6ae.gif тождественное преобразование.

Задача № 4.


На плоскости даны три прямые а, в, с.

Пусть Т = Sa ° Sв ° Sc. Докажите, что Т ° Т параллельный перенос (или тождественное отображение).

Доказательство:

Представим Т ° Т в виде композиции трёх преобразований:

Т ° Т = (Sа ° Sв ° Sс) ° (Sа ° Sв ° Sс) = (Sа ° Sв) ° (Sс ° Sа) ° (Sв ° Sс).

При этом Sа ° Sв, Sс ° Sа и Sв ° Sс – повороты на углы hello_html_m79c85365.gifhello_html_m53d4ecad.gif

соответственно.

Сумма углов поворотов равна:

hello_html_m545940bb.gif

причём эта величина определена с точностью до 2 · 180° = 360°.

следовательно, эта композиция поворотов является параллельным переносом.

Задача № 5.


Пусть hello_html_m6075c49a.gif

Докажите, что hello_html_m2c1a251a.gif

Доказательство:

Если точки Х и У симметричны относительно прямой l3, то точки Sl1 (X) и Sl1 (У) симметричны относительно прямой l2, т.е. Sl1 (X) = Sl2 ° Sl1 (У).

Поэтому Sl1 ° Sl3 = Sl2 ° Sl1 и Sl3 = Sl1 ° Sl2 ° Sl1.

Задача № 6.


Вписанная окружность касается сторон треугольника АВС в точках А1, В1, С1; точки А2, В2, С2 симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника.

Докажите, что А2 В2 ║ АВ и прямые АА2 , ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть О – центр вписанной окружности; а и в прямые ОА и ОВ. Тогда

Sa ° Sв (S1) = Sa(A1) = A2 и Sв °Sa1) = Sв1) = В2.

Точки А2 и В2 получаются из точки С1 поворотами с центром О на противоположные углы, поэтому A2 В2 ║ АВ. Аналогично рассуждая показываем, что стороны треугольников АВС и A2В2С2 параллельны, а значит, эти треугольники гомотетичны, переводящей Δ АВС в Δ A2В2С2. Заметим, что при этой гомотетии описанная окружность Δ АВС переходит в его вписанную окружность, то есть центр гомотетии лежит на прямой, соединяющей центры этих окружностей.

Задача № 7.


Доказать, что композиция поворотов вокруг вершин углов треугольника АВС соответственно на углы А, В, С этого треугольника есть центральная симметрия.

Решение:

Для нахождения композиции трёх поворотов, сначала найдём композицию двух поворотов, а затем композицию полученного поворота и поворота вокруг третьей вершины.

Каждый раз, вычисляя композицию двух поворотов, следует выбрать оси симметрии так, чтобы одна из них была общей.

Пусть при вычислении первой композиции Rв ° Rа общей осью будет ось С, тогда Rв = m ° c, Rа = c ° n, Rв ° Rа = m ° c ° c ° n = m ° hello_html_b4cbb01.gif° n = m ° n (hello_html_b4cbb01.gif - тождественное преобразование). Получаем поворот вокруг точки О – точки пересечение n ° m на угол hello_html_m2148b490.gifт.к. оси n и m образуют угол hello_html_m2582847b.gif то RВ ° RА = RO.


В

hello_html_38997321.gifhello_html_6918d958.gifhello_html_126fa502.gif

hello_html_m4674c043.gifhello_html_6f2eae6a.gif

hello_html_m3a5dde7b.gifhello_html_5b0e52a.gifР сےв n

2 О а

hello_html_5ba5f9bc.gifhello_html_m2a7690f7.gifےa

hello_html_78ed5b2f.gifhello_html_m11fafecf.gif2

hello_html_160f8d5c.gifcے

hello_html_32fcd328.gifА 2 С

hello_html_7c8042fd.gifВ

s m

q



Вычисляем композицию двух поворотов Rc° Ro, общей осью симметрии служит

прямая р. Композицию m °n заменим композицией р °q, где q – прямая

проходящая через точку О и образующая с р угол равный углу между прямыми

n ° m. Запишем каждый из поворотов через композицию симметрий,

а затем вычислим композицию Rc ° Ro: Rc= в ° р

Ro = р ° q, Rc ° Ro= в ° р ° р ° q = в ° q Угол между прямыми р и q

Равен hello_html_72f75425.gif а между прямыми р и в равен, hello_html_m5d4a9345.gif тогда угол между прямыми

q и в равен hello_html_4ce728e1.gif, т. е. Rc ° Ro есть поворот на угол hello_html_37a02226.gif

или центральная симметрия.




























7. Список рекомендуемых задач


I. Композиция поворотов.


1.Каким одним поворотом на угол а, где – 180° ≤ а ≤ 180° можно заменить два последовательных поворота:

а) на 25° и - 60°; б) на – 35° и 180°; в) на 70° и 20°; г) на 245° и 135°; д) на – 170° и

– 20°?

Запишите результаты в принятых обозначениях.

2. Найдите значение а) R70° · Rа = R30°; б) R70° · R = Rа;

в) R70° · Rа = R70°; в) R70° · Rа = Е;

3. а) Композиция каких трёх поворотов на один и тот же угол даёт поворот на 90°

б) Композиция каких двух поворотов на один и тот же угол даёт поворот на 180°?

4. Как с помощью поворотов на 19° получить поворот на 20°?

5. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4.

Докажите, что если О1 = О3, то О2 = О4.

6. На сторонах произвольного треугольника АВС вне его построены равнобедренные треугольники А´ ВС, АВ´ С и АВС´ с вершинами А´, В´ и С´ и углами α + β + γ = 2π. Докажите, что углы треугольника А´В´С´ равны α/2, β/2, γ/2.

7. Пусть AKL и AMN – подобные равнобедренные треугольники с вершиной А и углом α при вершине; GNK и G ´LM – подобные равнобедренные треугольники с углом π – α при вершине.

Докажите, что G = G ´. (Треугольники ориентированные).




II. Композиция симметрий.


1. Центральная симметрия.

8. а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.

б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

9. Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек О1, О2, и О3, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место.

10. а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что hello_html_67b22903.gif где Та – параллельный перенос, переводящий l1 в l2, причём а l1.

б) прямые l1 и l2 пересекаются в точке О. Докажите, что hello_html_m48b7a502.gif где Roa – поворот, переводящий l1 и l2.

11. На плоскости даны три прямые а, в, с. Пусть hello_html_m6404fe8b.gif. Докажите, что Т ° Т – параллельный перенос (или тождественное преобразование)

12. Пусть hello_html_m7597b43f.gif.Докажите, что hello_html_m5e75013.gif

13. Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трёх симметрий относительно прямых.

14. Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.


Параллельный перенос.

15. В трапеции ABCD стороны ВС и AD параллельны, М – точка пересечения биссектрис углов A и B, N – точка пересечения биссектрис углов C и D. Докажите, что 2MN = |AB + CDBCAD|.

16. Из вершины В паралеллограмма ABCD проведены его высоты ВК и ВН. Известно, что КН = а и BD = в. Найдите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВКН.




























8. РАЗРАБОТКИ ЗАНЯТИЙ

Занятие I, II

Тема: Движение плоскости.

Композиция движений.

Цели: 1) познакомить с движениями плоскости, как произведением преобразований плоскости;

2) ввести необходимые обозначения;

3) расширить кругозор учащихся, прививать интерес к математике как науке.

Ход занятия.

  1. Оргмомент.

II. Вступительное слово учителя.

Сегодня мы начинаем с вами изучать новый раздел, связанный с преобразованием плоскости. Называется он – «Движения плоскости. Разложение движений в произведение осевых симметрий».

Преобразования плоскости – движения и подобия – во многих случаях позволяют экономно и изящно решать геометрические задачи. Однако овладеть методом геометрических преобразований нелегко: не любая задача может быть решена этим методом и нужен определённый опыт, чтобы выбрать подходящий вид преобразования.

При решении различных задач на доказательство, построение и вычисление широко применяются движения: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот вокруг точки. Вспомним, что движение – это преобразование плоскости, при котором расстояние между образами двух любых точек равно расстоянию между этими точками.

При движении точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Отсюда следует, что движение переводит прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок. Угол при движении переходит в равный ему угол, сонаправленные лучи – в сонаправленные лучи.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями движений:

Sk – осевая симметрия с осью k;

Тhello_html_m505b66b5.gif– параллельный перенос на вектор hello_html_m505b66b5.gif;

RaO– поворот вокруг точки О на угол α;

Е – тождественное преобразование (при котором все точки плоскости переходят в себя).

1. Осевая симметрия.

Осевой симметрией называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка некоторой прямой k, переходит в себя, а точка А, не принадлежащая k, переходит в такую точку А´, что отрезок А А´ перпендикулярен прямой k называется осью симметрии.

При осевой симметрии расстояния между любыми двумя точками сохраняются, т. е. осевая симметрия есть движение. Отметим её важнейшие особенности.

Chello_html_m7bf88933.gifhello_html_54adbaec.gifhello_html_m6eef1a2d.gifhello_html_4f4ff3e6.gifhello_html_m352d5919.gifhello_html_m4216face.gif

hello_html_m77c53b0c.gif А В

hello_html_m236b1fe7.gif k

hello_html_384fc733.gifhello_html_m77c53b0c.gifhello_html_6e7c1f6a.gifhello_html_m30c668a1.gifhello_html_m25bb9a9e.gif А´ В´

hello_html_m4560db4b.gifhello_html_6c2ddbba.gif

С´

Пусть АВС – произвольный треугольник и А´ В´ С´ – симметричный ему треугольник относительно прямой k. На рисунке треугольник АВС ориентирован положительно (обход его вершин в порядке А,В,С, происходит против часовой стрелки), а треугольник А´, В´, С´ ориентирован отрицательно (обход его вершин А´ В´ С´ происходит по часовой стрелке). Треугольники АВС и А´ В´ С´ равны, но ориентированы противоположно. Осевая симметрия меняет ориентацию любого треугольника на противоположную. Если выполнить две симметрии относительно одной оси последовательно, то каждая точка плоскости вернётся в исходное положение, т.е. композиция двух осевых симметрий с одной осью есть тождественное преобразование.

Рассмотрим применение осевой симметрии к решению задач.

Пример 1. Даны прямая k и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти на прямой k точку С, делящую прямую k на два луча CM и CN так, чтобы hello_html_56052280.gif

Решение.

Построим точку В´, симметричную точке В относительно прямой k.

hello_html_13692988.gifhello_html_6e7c1f6a.gifhello_html_4874714f.gifAB


hello_html_2d0973d3.gifhello_html_424ec2cb.gifhello_html_m7b86c656.gifhello_html_261b5f48.gifk

Mhello_html_m7eaa7d36.gifC N


В´

В таком случае hello_html_74068502.gif для любой точки прямой k (эти углы симметричны прямой k). Углы B/CN и АСМ равны тогда и только тогда, когда точки А, B/, С лежат на одной прямой (в силу теоремы о вертикальных углах). Значит искомая точка С есть точка пересечения отрезка А B/ и прямой k.

Итак, заменив одну из точек симметричной ей относительно данной прямой, мы упростили ситуацию, что и позволило быстро найти решение задачи.

2. Параллельный перенос.

выполним последовательно две симметрии относительно параллельных прямых k и m. Пусть при симметрии с осью k произвольная точка А плоскости переходит в точку А/, а при симметрии с осью m точка А/ переходит в точку А//. Точки А, А/ и А// располагаются на одной прямой, перпендикулярной осям. Обозначим через L и М точки пересечения прямой АА// с прямыми k и m.



hello_html_m1ac1e794.gifhello_html_m1ac1e794.gifk m


hello_html_1f824bc7.gifhello_html_2b87ec8.gifhello_html_1f824bc7.gifhello_html_m9ab5e72.gifhello_html_1f824bc7.gifhello_html_m14a43a01.gif A L A´ M A´´


hello_html_m4f61b4fc.gifhello_html_e6c6cf.gifhello_html_m20751c1a.gifhello_html_m4f61b4fc.gif

B B´ B´´



C C´ C´´


с осью m точка А´ переходит в точку А´´. Точки А, А´ и А´´ располагаются на одной прямой, перпендикулярной осям. Обозначенным через L и M точки пересечения прямой АА´´ с прямыми k и m.

В силу свойства осевой симметрии имеем:

hello_html_m6639a543.gifhello_html_6724d3f0.gif

Следовательно,

hello_html_m611ed56b.gif

Итак, hello_html_781380b6.gif В результате мы получили преобразование плоскости, называемое параллельным переносом.

Параллельный перенос на вектор hello_html_m538af9ba.gif – это преобразование плоскости при котором произвольная точка А переходит в такую точку А´, что hello_html_m3093208f.gif

Таким образом, композиция двух осевых симметрий с параллельными осями k и m есть параллельный перенос на удвоенный вектор hello_html_m63059891.gif.

Обратно, всякий параллельный перенос можно представить в виде композиций двух осевых симметрий с параллельными осями, перпендикулярными направлению переноса. Отсюда следует, что параллельный перенос есть движение, не меняющее ориентацию треугольников.

Тождественное преобразование можно считать переносом на нулевой вектор. Параллельный перенос на нулевой вектор не имеет неподвижных точек.

При параллельном переносе каждый луч переходит в сонаправленный с ним луч.

Если при параллельном переносе точки А и В переходят в точки А´ и В´ и эти четыре точки не лежат на одной прямой, то АВВ´А´ – параллелограмм. Это свойство используется при решении задач.

Метод параллельного переноса часто применяется для решения задач на построение четырёхугольников. При этом обычно переносят один или несколько отрезков так, чтобы получился треугольник, с которого можно начать построение. Аналогично поступают при решении задач на доказательство и вычисление: с помощью параллельного переноса образуют новую фигуру, содержащую достаточное количество известных элементов.

Покажем это на следующем примере.


Пример 2. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

Решение:

Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, ВD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ ВD на вектор hello_html_m2eb9d2e4.gif в положение СВ´. Рассмотрим треугольник АСВ´. Так как ВВ´ – параллелограмм, то В´С = ВD =5см, АВ´ = АВ + ВВ´ = АВ + CD = 13 см. стороны треугольника АВ´С, значит можно найти его высоту, а затем и площадь трапеции.

hello_html_6a522a8a.gifhello_html_m34634fd0.gifhello_html_m490cfbb2.gifhello_html_m34634fd0.gifhello_html_453daefe.gifhello_html_5c60eabf.gifD C




hello_html_m4121572c.gif

A B B1

Если же заметить, что площадь трапеции как раз и равна площади треугольника АВ´С (треугольника ВВ´С и АCD равновелики), то решение задачи можно ещё упростить.

Так как 52 + 122 = 132, то треугольник АВ´С прямоугольный.

Найдём его площадь: hello_html_m99edf4f.gifּhello_html_m6f343500.gifּhello_html_5dabdb00.gif

Итак, площадь трапеции равна 30 см2. Угол между диагоналями трапеции равен углу АСВ´, значит диагонали - перпендикулярны.

Аналогично решается задача на построение трапеции по основаниям и диагоналями: сначала строится вспомогательный треугольник, две стороны которого равны диагоналям, а третья – сумме оснований.

Заметим, что для вычисления площади трапеции и угла между диагоналями условие задачи можно было бы ослабить: вместо оснований трапеции задать только их сумму.

3. Центральная симметрия.

Симметрия с центром О – это преобразование плоскости, при котором точка О неподвижна, а любая другая точка А переходит в такую точку А´, что О – середина отрезка АА´. Преобразование, обратное центральной симметрии, есть та же центральная симметрия.

Центральная симметрия переводит прямую, проходящую через центр, в себя; прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую; каждый луч в противоположно направленный с ним луч. Если при центральной симметрии точки А и В переходят в точки А´ и В´ и центр О не лежит на прямой АВ, то АВА´В´ – параллелограмм.

hello_html_m74db6306.gifhello_html_2cc627e1.gif А´

hello_html_5b0e52a.gifhello_html_m4f85e01c.gifВ


С

В´

А

Центральная симметрия, как и параллельный перенос, обычно применяется с целью более удобно расположить данные и искомые элементы фигуры и таким образом найти связь между ними.

Пример 3.

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.

Решение: Пусть СМ – медиана треугольника АВС. Построим точку D, симметричную С относительно точки М. Так как М – середина отрезка АВ, то отрезок АD симметричен отрезку ВС. Мы получили треугольник АСD, в котором СD = 2СМ, АD = ВС. Следовательно, 2СМ < АС + ВС, или mс < hello_html_m17e81277.gif, где mс = СМ, а ВС, b = AC.

hello_html_5b55dcab.gifhello_html_6a4c5d88.gifhello_html_m16aedfc9.gifC


hello_html_m32a41721.gifhello_html_3e6712c5.gifА М

hello_html_5b55dcab.gif В



D

С помощью такого же приёма решается задача на построение треугольника АВС по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, и некоторые другие задачи, в которых речь идёт о медиане треугольника.

Заметим, что АСВD – параллелограмм, поэтому указанный приём часто называют достраиванием треугольника до параллелограмма.

Центральная симметрия обычно помогает решить задачу, когда фигура или часть фигуры имеет центр симметрии.


4. Поворот.

Поворот вокруг точки О на угол α в заданном направлении – это преобразование плоскости, при котором точка О остаётся неподвижной, а любая другая точка А переходит в такую точку А´, что ОА´ = ОА и угол АОА´, отсчитываемый от луча ОА в заданном направлении равен α.

Поворот на 360° возвращает все точки в исходное положение, поэтому

hello_html_7fc7dec7.gifhello_html_m264377fa.gifи углы поворота можно задавать с точностью до 360°. В дальнейшем будем считать, что 0° ≤ α < 360° и поворот всегда осуществляется в направлении против часовой стрелки. Композиция двух осевых симметрий с осями, непересекающимися в точке О, есть поворот вокруг точки О на удвоенный угол между осями.

hello_html_m6412f801.gifhello_html_m798fc0e.gifhello_html_251e2805.gifА´ k

hello_html_m27e9a3e4.gifm L

М

hello_html_m4315bab3.gifА

hello_html_1132c9c8.gifhello_html_m69168855.gifhello_html_m7ecff9ca.gifhello_html_me2e7369.gifhello_html_m2f794158.gifhello_html_3fa5e3af.gif

hello_html_m227bbdc6.gif

А´´ О


Если Sk (A) = А´ и Sm (А´) = А´´, то ОА´´ = ОА´ = ОА и hello_html_m537209dc.gif (точки L и М принадлежат осям k и m).Обратно, всякий поворот вокруг точки можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в центре поворота. Следовательно, поворот есть движение, не меняющее ориентацию треугольников.

Чтобы построить образ прямой при повороте вокруг точки О на угол α (0°< α < 180°), можно поступить так: провести к прямой k перпендикуляр ОР, повернуть точку Р на угол α и через полученную точку Р´ провести k´, перпендикулярную ОР´. Легко убедиться, что угол между прямой k и её образом k´ равен α или 180° – α. Угол же между лучом и его образом всегда равен углу поворота.


hello_html_71a1919b.gifhello_html_19d33a08.gifk´

hello_html_1ccfe99f.gif

hello_html_me07c05c.gifhello_html_77cc3a7d.gif Р´ Р

hello_html_52b5ecdd.gifhello_html_553916e8.gif α

k

О



Центральная симметрия есть поворот вокруг точки на 180°.

Поворот обычно применяется при решении задач, когда данной или искомой фигурой является правильный многоугольник. Иногда с помощью поворота удаётся доказать равенство отрезков, найти величину угла между прямыми.



Пример 4. На сторонах АС и ВС произвольного треугольника АВС вне него построены квадраты АСА1А2 и ВСВ1В2. Доказать, что отрезки АВ1 и А1В равны и перпендикулярны.




hello_html_m9009741.gifhello_html_38faf0e4.gifhello_html_400564a7.gifhello_html_m9ab5e72.gif А1

hello_html_58e77217.gifhello_html_m1d8004a5.gifhello_html_m7420cb9.gifhello_html_m4ec6564e.gifВ1

hello_html_mb7e952b.gifhello_html_4ce70042.gif

hello_html_c8eee2.gifhello_html_m453bdd89.gifhello_html_58e77217.gifhello_html_54092c9f.gifА2 О • С Р

В2

hello_html_421a9338.gif

А М В


Решение: Применим поворот вокруг точки С на 90°. Треугольники А1СА и ВСВ1 равнобедренные прямоугольные, поэтому при таком повороте А1 перейдёт в точку А, точка В – в точку В1, отрезок А1В – в отрезок АВ1. Значит, эти отрезки равны и угол между ними равен углу поворота, т.е. 90°.

Примечание. Используя полученный результат, нетрудно доказать, что центры О и Р квадратов и середины М и М1 отрезков АВ и А1В1 являются вершинами нового квадрата.


5. Композиция движений.

Композиция двух преобразований есть преобразование, которое получится, если сначала выполнить первое преобразование, а потом второе. Композиция преобразований f и g обозначается так: g ° ƒ, при этом сначала выполняется преобразование f, а затем g. Такой порядок записи оправдывается тем, что согласно определению.

(g ° ƒ)(А) = g(ƒ(А)).

Композиция любых преобразований обладает рядом свойств, похожих на свойства умножения чисел. Композиция преобразований ассоциативна: для любых преобразований f, g, h выполняется равенство h ° (g ° ƒ) = (h °g) ° ƒ.

Тождественное преобразование в композиции играет ту же роль, какую единица играет при умножении чисел: для любого преобразования f имеют место равенства ƒ ° Е = Е ° ƒ = ƒ.

Отметим, что не всегда g ° ƒ = ƒ ° g, в чём легко убедиться на конкретном примере (рассмотрите композицию двух центральных симметрий ZB ° ZA относительно различных центров А и В).

Пусть F – движение плоскости, которое три точки А, В, С не лежащие на одной прямой, переводит соответственно в точки А´, В´, С´. Тогда АВС и А´В´С´ – равные треугольники, но они могут быть ориентированы по-разному. Возможны два случая: 1) треугольник АВС и его образ А´В´С´ ориентированы одинаково;

2) эти треугольники ориентированы противоположно.

Движение плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называют движением первого рода. Движение, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называют движением второго рода. Параллельные переносы и повороты – движения первого рода. Примером движения второго рода может служить осевая симметрия.

Известно, что всякое движение плоскости можно представить в виде композиции не более трёх осевых симметрий. Композиция двух осевых симметрий не меняет ориентацию треугольников и является движением первого рода. Осевая симметрия и композиция трёх осевых симметрий – это движение второго рода.

На основании того, что сказано в предыдущих параграфах о композициях двух осевых симметрий, приходим к следующему выводу.

Теорема 1. Всякое движение первого рода есть либо поворот, либо параллельный перенос, либо тождественное преобразование.

Впрочем, тождественное преобразование можно рассматривать как перенос на нулевой вектор или как поворот hello_html_m739f0094.gif. Движения первого рода можно различать по числу неподвижных точек: при параллельном переносе на нулевой вектор все точки меняют своё положение, т.е. неподвижных точек нет; при нулевом повороте имеется только одна неподвижная точка – центр поворота. Тождественное преобразование оставляет все точки плоскости неподвижными.

Композиция движений первого рода сохраняет ориентацию треугольников и, следовательно, также является движением первого рода. Например композиция двух поворотов hello_html_15f4fadb.gif и hello_html_m48b5a26d.gif с общим центром О есть поворот hello_html_m27ab57d6.gif (тождественное преобразование, если α + β = 360°).

Рассмотрим композицию двух поворотов с различными центрами.

Теорема 2. Композиция двух поворотов, hello_html_m4f8ca32.gif где 0°< α < 360° и 0°< β < 360 °, есть поворот вокруг некоторой точки на угол α + β, если α + β ≠ 360 ° и параллельный перенос на нулевой вектор, если α + β =360 °.

Доказательство. Представим каждый поворот в виде композиции двух осевых симметрий: hello_html_m16d8b7e6.gifhello_html_mdc01db1.gif,

где m – прямая АВ, hello_html_47a0415a.gif

пhello_html_m7944889d.gifhello_html_365f82b.gifhello_html_m4ed535d0.gifhello_html_326332bc.gifолучим: hello_html_72ac085d.gif

Ahello_html_m7944889d.gifhello_html_m386e7a82.gifhello_html_21f6764a.gifhello_html_md8f5e24.gifhello_html_m355419cf.gifhello_html_m264c5700.gifhello_html_1de7382.gif B m A B

hello_html_m1d879fcb.gifhello_html_41a9e54b.gifhello_html_454a890.gifhello_html_m14fed3e7.gifhello_html_m5fa7bd3a.gifhello_html_2b7bea51.gifhello_html_m44f42aa3.gifm

hello_html_m3a94b3b5.gifhello_html_m1618475.gifhello_html_m5e56d301.gifhello_html_m2de927e8.gifc hello_html_m3806c229.gif c hello_html_2b7bea51.gifhello_html_m44f42aa3.gif

n

hello_html_5ab1bf98.gifhello_html_77b6159c.gifhello_html_5b403337.gifhello_html_38f366a6.gifhello_html_2d02dd7d.gifhello_html_m7c73440d.gif n l m A B l l hello_html_m57d07149.gifhello_html_m44f42aa3.gif n

a) б) в)


Здесь мы воспользовались свойством ассоциативности и тем, что Sm °Sm= E.

Итак, hello_html_m68f7ac2d.gif

Если α + β < 360°, то прямые l и n пересекаются в некоторой точке С (см. рисунок а)). Получим отрицательно ориентированный треугольник АВС, в котором

hello_html_20976562.gifи по свойству внешнего угла треугольника hello_html_m5b39da75.gif Следовательно, композиция симметрий. Sn ° Sl есть поворот вокруг точки С на угол α + β, т.е. hello_html_2c2f33d8.gif

Если α + β > 360°, то прямые l и n тоже пересекаются, но по другую сторону от прямой АВ (см. рисунок б)). Получим положительно ориентированный треугольник АВС, причём hello_html_6bf4bf42.gifhello_html_m7ff060e4.gif Следовательно, и в этом случае hello_html_m790b92c5.gif

Если же α + β = 360°, то прямые l и n параллельны и композиция симметрий есть параллельный перенос на удвоенное расстояние между осями l и n (см. рисунок в)).

Из приведённого доказательства вытекает простой способ построения центра результирующего поворота. Кроме того, получаем важное следствие: композиция поворотов hello_html_m36ec5faf.gif есть тождественное преобразование тогда и только тогда, когда центры поворотов совпадают и α + β = 360 °.

Что касается композиции трёх поворотов, то она может быть тождественным преобразованием и в том случае, когда центры поворотов различны. Если hello_html_58094451.gif–величины внутренних углов отрицательно ориентированного треугольника АВС, то hello_html_2bbd4bb1.gif

Верно и обратное предложение.

Теорема 3. Если композиция трёх поворотов hello_html_6a14d368.gif относительно различных центров есть тождественное преобразование и α + β + γ = 360°, то АВС – отрицательно ориентированный треугольник, углы которого равны:

hello_html_1f431b1a.gif

Доказательство. В силу теоремы о двух поворотах, учитывая, что α + β = 360°, имеем hello_html_607335dd.gif, где D – вершина отрицательно ориентированного треугольника ABD, углы которого равны: hello_html_4e38a906.gif.Согласно условиям теоремы hello_html_m6b84c697.gif и α + β + γ = 360 °, что возможно тогда и только тогда, когда центры поворотов C и D совпадают. Значит, АВС – отрицательно ориентированный треугольник, углы которого соответственно равны hello_html_m719a720.gif.

Поскольку значения углов поворота α, β, γ заключены между 0° и 360°, то композиция hello_html_628bcaae.gif может быть тождественным преобразованием ещё при

α + β + γ =720°. Но при решении задач этот случай легко сводится к предыдущему: если центры поворотов взять в обратном порядке, то hello_html_m50cb3ea2.gif где α´ = 360° – α, β´= 360°– β, γ´= 360°– γ, и следовательно, α´+ β´+ γ´= 360°.

Применим свойства композиции поворотов к решению задач.

Пример 5. На сторонах АС и ВС произвольного треугольника АВС вне его построены квадраты с центром О и Р. Точка М – середина стороны АВ. Найти углы треугольника МОР.

Решение. Для определённости, как и во всех последующих задачах, будем считать, что исходный треугольник АВС ориентирован положительно. Композиция hello_html_m76bd95f6.gif переводит точку А в точку С, точку С в В, затем точку В снова в А, т.е. F(A) = A. Сумма углов поворота равна 360°. Значит, F – параллельный перенос с неподвижной точкой, т.е. тождественное преобразование.

hello_html_4a6611d6.gifhello_html_d60c2bf.gifhello_html_7db50db7.gif

hello_html_d60c2bf.gifhello_html_86b2e2f.gifhello_html_195e3738.gifhello_html_17e62da9.gifhello_html_4cd82c63.gif

hello_html_mb7e952b.gifhello_html_m5127075b.gif О С

hello_html_4a6611d6.gifhello_html_195e3738.gifhello_html_7569949f.gifhello_html_1a7c4ddf.gifhello_html_m62031150.gifР

hello_html_2d16e4c9.gif

А М В

Согласно теореме 3 углы треугольника ОРМ равны соответственно 45°, 45°, 90°.


Занятие III.

Тема: Решение задач по теме «Движения плоскости».

Цель: 1) Научить применять полученные знания на практике;

2) развивать мышление;

3)совершенствовать навыки построения фигур и выполнять их преобразования.

Ход занятия.

  1. Оргмомент.

II. Повторение.

1. Осевая симметрия.

  1. Центральная симметрия.

  2. Поворот.

4. Параллельный перенос.

(Ребята рассказывают, что запомнили из предыдущего занятия).

III. Решение задач.

1. Даны три точки А, В, С и три точки А´, В´, С´, такие, что |АВ| = |А´В´|, |АС| = |А´С´| и |ВС| = |В´С´|. Существует ли перемещение, являющееся композицией осевых симметрий при котором А → А´ (прямая а – ось этой симметрии).

Пусть Sa (B) = Bl, Sa (C) = Cl. Может случиться, что Bl = В´ и Cl = С´, тогда симметрия относительно прямой а отобразит А→ А´, В→ В´, С→ С´. Если Bl ≠ В´, то рассмотрим симметрию относительно прямой b, при которой Bl → В´.

hello_html_m714cdce9.gifhello_html_m5c26740b.gif


hello_html_m555ae362.gifhello_html_m1c8aeb71.gifhello_html_m1d9202c9.gifВ В2 В´ в

hello_html_127ef04b.gifhello_html_m1ef9a6ad.gifhello_html_m2ef1014.gifhello_html_9f555dd.gifhello_html_m7a5443fe.gifhello_html_m558d5b47.gifаВ1 С´

hello_html_9f555dd.gifhello_html_73e0c4fb.gifhello_html_m9ab5e72.gif А А´

А2 А1

С С2

С´

С


Так как | А´ В´| = | А´Bl|, то прямая, b содержит точку А´: Sb(А´) = А´; Sb(Bl) = В´ и Sb(Sl) = C2. Если С2 = С´, то перемещение, являющееся композицией указанных осевых симметрий, отобразит точки А, В, С соответственно на точки А´, В´, С´.

Если С2 ≠ С´, то рассмотрим симметрию относительно прямой С, при которой С2→ С´. Так как | А´ С2 | = | А´ С´| и | В´ С2| = | В´ С´|, то прямая С содержит точки А´ и В´. Таким образом, перемещение, являющееся композицией трёх осевых симметрий с осями a, b, c, отобразит точки А, В, С соответственно на точки А´, В´, С´, т.е. Sc ° Sb ° Sa (A) = А´, Sc ° Sb ° Sa (B) = B´ Sc ° Sb ° Sa (C) = C´. [ 14 ]

2. Точки Olи О2 являются (соответственно) серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС.

  1. Постройте образы точки А при выполнении отображений

а) Zol ° Zo2;

б) Zo2 ° Zol.

hello_html_6e7c1f6a.gifhello_html_6e7c1f6a.gifhello_html_56b2497a.gifhello_html_m4fda0f50.gifhello_html_7c15d07e.gifhello_html_m61d0acfe.gifA2B B(Al)

Ol ● Ol ●

hello_html_6409ab61.gifhello_html_m1bfb81f1.gifAA

O2 C(Al) O2 C

A2

а) Zol ° Zo2 б)Zo2 ° Zol

Zo2 – центральная Zol – центральная симметрия около центра Ol. AB, AOl = Ol, Zo2 – центральная симметрия около центра О2. А→С.

  1. Докажите, что: а) hello_html_m24baf3b1.gif б) hello_html_2fd58906.gif

а) достроим треугольник АВС до параллелограмма и примем АВ за диагональ. Вторая диагональ А2 С. По свойствам параллелограмма СВ = АА2 и СВ|| АА2.

hello_html_561d52b3.gifhello_html_m2731ba24.gifhello_html_m6db57291.gifhello_html_m745a80c2.gifhello_html_m48d1f846.gif А2 В


О1


hello_html_18ba9f85.gif А О1 С(Аl)

Если на этих отрезках построить векторы, то выполняются следующие условия:

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m256bfdd9.gifПо определению будет параллельный перенос на вектор, hello_html_16941ff1.gif т.е. [A2B] является образом отрезка [AC], каждая точка последнего перемещается на вектор. hello_html_5c66154a.gif

б). hello_html_398ebd29.gif


hello_html_m20751c1a.gifhello_html_37a6094a.gifhello_html_m3ace660b.gif В(А1)


О1

hello_html_m3c816cd7.gifhello_html_m18db941a.gifhello_html_2bf64ae8.gif

А О2 С


А2

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСА2. По свойству параллелограмма hello_html_6578c1f0.gif и.hello_html_6df41c18.gif По определению параллельного переноса образом данной точки является точка, полученная перемещением её на вектор, который задан и обозначается Тр. [A2 C] образ [AB] при параллельном переносе ТВС. [15]

3. Докажите, что скользящую симметрию можно представить композицией центральной симметрии и осевой симметрии, ось которой не содержит центр симметрии.

Решение. hello_html_5e39bd83.gif. Заменим параллельный перенос композицией двух осевых симметрий с осями l2 и l3, тогда скользящую симметрию с осью l1 можно представить, как композицию осевых симметрий hello_html_m3bcfbef.gif, но hello_html_25acdc3a.gif – центральная симметрия относительно точки О – пересечения прямых l1 и l2, тогда


hello_html_6ea19fbc.gif, причём 0 € l3.

hello_html_m1fdcd78d.gifhello_html_733428b3.gifhello_html_132fa340.gif

M l3

hello_html_3c4f85f.gifО l1


hello_html_m7ba43565.gif

М´ М1





Если скользящая симметрия представлена композицией центральной симметрии с центром О и осевой симметрией с осью l, то осью скользящей симметрии служит прямая, содержащая данную точку О и перпендикулярная данной прямой l. Расстояние переноса равно |OO1|, где O1 = Sl(O).

IV. Итог занятия.

V. Домашнее задание: повторить свойства движений плоскости.



Занятие IV.

Тема: Решение задач с использованием поворотов, симметрий, параллельного переноса.

Цели: 1) научить решать задачи;

2) развивать логическое мышление;

3) прививать любознательность, интерес к предмету.

Ход урока.

I. Оргмомент.

II. Повторение.

  1. Перечислите виды симметрий.

  2. В чём их отличие?

  3. Какие ещё виды движений вам известны?

  4. Дайте определение скользящей симметрии.

  5. Назовите её неподвижные точки и прямые.

III. Решение задач.

1. Докажите, что композиция трёх симметрий, оси которых определяют треугольник, не есть осевая симметрия.

Решение. Пусть a, b, c – оси заданных симметрий. Строим точку А1 = Sa(A). Композиция симметрий δ = Sc°Sb°Sa точку А1 отображает на точку А.

hello_html_3d0c9258.gifhello_html_4ef61eb8.gif

hello_html_1fb278da.gifС A1


b

a

hello_html_21f6764a.gifA B

C


Если δ есть осевая симметрия, то её ось совпадает с прямой а, значит, точки прямой а – неподвижные точки δ, в частности

δ (В) = В. Но Sc °Sb°Sa (B) = Sc° Sb (B) ≠ B, т.к. композиция симметрии Sc° Sbотображает на себя лишь точку А, которая не совпадает с В. Итак δ не есть осевая симметрия.

2. Докажите, что композиция двух поворотов hello_html_m7d447eb6.gif, где hello_html_m66de3d38.gif

0° ≤ α ≤ 360°, 0° ≤ β ≤ 360°, есть поворот hello_html_38244c50.gif (или Rc(α + β = 360°), если α + β ≠ 360°, или же перенос, если α + β = 360°). [17]

Прежде чем перейдём к анализу задачи № 2, познакомимся с некоторыми новыми сведениями по теме «Движение плоскости». Напомню, что преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (или перемещением). Наиболее простой пример – тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.

Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой называют репером и обозначают так: R = (A, B, C). Точки А, В, и С называют вершинами репера, причём А называется началом репера. Репер называется аффинным, если треугольник АВС произвольный. Репер называется ортонормированным, если угол А прямой, а АВ = АС = l. В любом движении репер переходит в репер, ортонормированный репер – в ортонормированный репер.

Существует два вида движений.

Будем говорить, что реперы R = (A, B, C) и R´ = (O´, A´, B´) одинаково ориентированы, если векторы hello_html_m4fd3d126.gif одинаково ориентированы, (и наоборот). Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости (меняет) если любой репер и его образ одинаково (противоположно) ориентированы.

Теорема: Любое движение либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости.

Доказательство: Пусть g – произвольное движение, R0 – некоторый ортонормированный репер, а R0´ – его образ, который тоже является ортонормированным репером. Возьмём произвольный репер R = (O, A, B) и рассмотрим его образ R´= (O´, A´, B´).

По основной теореме (Пусть R = (A, B, C) и R´= (A´, B´, C´) – произвольный ортонормированный репер плоскости z. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R´. При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку М´ с теми же координатами в репере R´. Имеем точки О, А, В в репере R0 имеют те же координаты, что и соответствующие точки О´, А´, В´, в репере R0´. Следовательно, векторы hello_html_35eba584.gif в репере R0 имеют те же координаты, что и соответственно векторы hello_html_m164f1351.gif в репере R0´. Поэтому R0 | R = R0´|R´ или R|R0 = R´|R0´.

R|R´ = (R|R0) (R0|R´) = (R´|R0´) (R0|R´) = (R0|R´) (R´|R0´) = R0|R0´ следовательно, если R0|R0´ > 0, то R| R´ > 0, т.е. произвольный репер R и его образ R´ ориентированы одинаково.

Если R0| R0´ < 0, то R|R´ > 0, т.е. R и R´ориентированы противоположно.


hello_html_5ab1bf98.gifhello_html_m4a2ae771.gifhello_html_6a6bac18.gifhello_html_m183eee8f.gifhello_html_m555ae362.gifA w B

hello_html_2b7bea51.gifhello_html_m44f42aa3.gif


hello_html_m7234dcbf.gif

c C

b


Решение.

Существует теорема, что композиция двух симметрий есть поворот. Рассматриваем поворот как композицию двух осевых симметрий, оси которых проходят через центр поворота и образуют угол, равный половине угла поворота. Запишем hello_html_mdf51f9e.gif тогда hello_html_92e0393.gif.

При α + β < 360° углы треугольника АВС таковы hello_html_6d82f546.gif и треугольник ориентирован отрицательно, если α + β > 360°, то

hello_html_m502cb7e2.gifhello_html_5dfd0900.gifhello_html_53b98b00.gifhello_html_m44f42aa3.gifи ∆ АВС ориентирован положительно.




3. Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

hello_html_m45d9b0dd.gifhello_html_5b87bb66.gifhello_html_m6809c356.gifhello_html_33f9fb18.gifhello_html_m41c995dc.gifX X´

hello_html_221c752c.gifhello_html_m6c14857f.gifhello_html_m47a35cc0.gifY´´

O1 O


hello_html_md9ebb9e.gif

Y Y´

hello_html_60825799.gifa

Дано: [XY] → [X´Y´] So Ta

Доказать: О1 – центральная симметрия hello_html_357cc491.gif

Доказательство. Соединим Yи Y´´; X c X´´. XX´´∩YY´´= O1. Докажем, что О1 центр симметрии. Рассмотрим треугольник X´´O1Y´´. Угол X O1Y как вертикальные. X Y= X´´ Y´´ по свойству движения (при движении расстояние между точками сохраняется).

Выполним перенос отрезка X Y на вектор hello_html_m23291c95.gif [X Y] → [X´Y´]. Соединим точки X´ с X´´ и Y´ с Y´´. [X´X´´]∩[Y´Y´´] = 0. Рассмотрим треугольники X´Y´O и X´´Y´´O, они равны по свойству симметрии. Следовательно, соответствующие углы и соответствующие стороны равны:

X´O = OX´´, Y´O = OY´´, X´Y´ = X´´Y´´. hello_html_1f5c9df2.gif. Эти углы являются внутренними накрестлежащими при (X´Y´) и (X´´Y´´) и секущей X´Y´´. Следовательно, (X´Y´)|| (X´´Y´´). Следовательно, XY || X´´Y´´ (т.к. X´Y´ || XY совмещается Та) hello_html_1470c28b.gif (как внутренние накрестлежащие углы).

Треугольник XO1Y равен треугольнику X´´O1Y´´, следовательно, O1X = O1X´´ и O1Y = O1X´´, следовательно, O1 середина XX´´ и середина YY´´. Таким образом O1 центр симметрии. [13]

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание: повторить свойства движения.

Занятие V.

Тема: Решение задач на геометрические преобразования на плоскости.

Цель: 1) научить решать задачи;

2) развивать мыщление;

3) уделять внимание развитию математической речи учащихся;

4) совершенствовать графические навыки.

Ход занятия.

I. Оргмомент.

II. Решение задач с подробным обсуждением.

18. 33. Докажите, что композиция двух поворотов на углы в сумме не кратные 360°, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360°.

hello_html_15fda377.gifМ´

hello_html_552cd4b4.gif


hello_html_21f6764a.gif • • •

М0





Решение. Пусть D(M0) множество всех движений I рода, для которых М0 неподвижная точка, т.е. D(M0) множество всех поворотов вокруг точки M0. Рассмотрим произвольную композицию g ° f, где f, g принадлежат D(M0). α1 угол поворота для преобразования f, α2 – для g, причём α1 + α2 =2 + m, где 2 π не делит m, а mZ. В частности, данную композицию можно представить как композицию некоторых поворотов, где α1 = 2, α2 = m.

Преобразование f является тождественным, т.к. при а = 2πn точка М перейдёт в саму себя. Отсюда следует: f = Е (Е – тождественное преобразование). Тогда композицию можно записать следующим образом: g ° Е = g. Значит указанная композиция поворотов является поворотом при соблюдении условия, что сумма не кратна 360°. А для случая, когда кратна 360° М переходит в себя. [13]

18. 34. На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.

Решение в конструктивной форме: синтетическое доказательство.



hello_html_m2021d4fa.gifhello_html_16164685.gifhello_html_6775711e.gifW3

hello_html_16164685.gifhello_html_m12fb6082.gifV3


M

hello_html_394e6916.gifhello_html_m4aa0409e.gifhello_html_m2d537249.gifhello_html_3b8c7470.gifhello_html_2dccf69e.gifA B

hello_html_24774fdd.gif

hello_html_m2021d4fa.gifhello_html_m341c5f7a.gifhello_html_m19060d0f.gifhello_html_m7bbbb9b5.gifQ R

hello_html_m24d75c46.gifhello_html_m341c5f7a.gifhello_html_m79b546b9.gifhello_html_m24d75c46.gifhello_html_3e06c076.gifhello_html_ac045bb.gifhello_html_32daa160.gifhello_html_24774fdd.gifhello_html_13b67e67.gifV1 V

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_3b8c7470.gifK S

hello_html_m68d5bf5b.gifhello_html_m19060d0f.gifhello_html_6e5d4079.gifhello_html_m7ac0ddfe.gifhello_html_m7ac0ddfe.gifhello_html_m345320e1.gifhello_html_77e7c101.gifW1 T L

W

hello_html_m1229c7c8.gifhello_html_24774fdd.gifhello_html_74cd2889.gif

D N C


hello_html_m68d5bf5b.gif

V2 W2



Рассмотрим произвольный квадрат ABCD и произвольным образом проведём перпендикуляры MN и KS к противоположным сторонам. Точки M, N, K, S неподвижные точки некоторых множеств поворотов. Относительно этих поворотов рассмотрим вращающиеся прямые. Каковы бы ни были в сумме углы поворотов (кратны 360° или не кратны 360°) в любом случае это будут повороты. При вращении прямые вращающиеся будут пересекаться. Очевидно, что точки вращения определят некоторый четырёхугольник, (таких многоугольников может быть много). Внутри выбранного нами квадрата зафиксируем некоторое «устойчивое» положение пересечения вращающихся прямых. (Чтобы обозначить четырёхугольник QRLT). Лучи hello_html_mbfdb629.gif.

Мы вправе потребовать, не нарушая общности доказательства, чтобы угол поворота был равен 90°. На продолжении лучей [LS) и [RS), (аналогично и для других) построим отрезки, длина которых равна соответственно отрезкам [LS] и [RS]. Отрезки [LV] и [WR] определяют некоторый квадрат в силу указанных выше свойств. Данный квадрат, как и другие аналогичные ему, будет удовлетворять требованиям задачи, а именно квадраты построены на сторонах некоторого четырёхугольника и их центры соединены равными отрезками MN и KS, которые взаимно перпендикулярны.
















hello_html_m1d879fcb.gifhello_html_795ee7cd.gifhello_html_795ee7cd.gifhello_html_59549a05.gifhello_html_2fab788d.gif18. 35. (Для самостоятельного решения в классе по аналогии с 18. 34). На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

А1 В1


Р О3 R

hello_html_598dcd26.gifhello_html_5c212e25.gifhello_html_m3c816cd7.gifhello_html_m30afb52.gifhello_html_m64d92edf.gifhello_html_m64d92edf.gifA2


A

hello_html_m1d879fcb.gifhello_html_m4255904a.gifhello_html_m4255904a.gifhello_html_m6450a4bf.gifhello_html_m471b4e17.gifhello_html_m251c7124.gifO1 В

hello_html_m255d2e4b.gifD2

hello_html_256f6644.gifhello_html_m1d879fcb.gifhello_html_256f6644.gifhello_html_m30afb52.gifhello_html_7bdb70a8.gifO2 B2

hello_html_m1d879fcb.gifhello_html_m798fc0e.gifhello_html_m10d00063.gifhello_html_befb2aa.gif

D C



О4

hello_html_m3c816cd7.gifS Q C 2





hello_html_m2a7690f7.gifD1 C1







Решение: В предыдущей задаче уже было доказано, что центры этих квадратов лежат на некотором квадрате. Находим точки пересечения О1, О2, О3, О4 диагоналей квадратов. Через точки О2 и О4 и точки О1 и О3 проводим параллельные прямые. Получаем квадрат PRQS.


Занятие VI.

Контрольная работа.

Задача 1. докажите, что hello_html_67783ca8.gif.

hello_html_m7d84092c.gifhello_html_b046c61.gif

hello_html_62495124.gif М´´ l3


M´´

hello_html_m61d46490.gifhello_html_m301c11ff.gifL2

hello_html_m6c33e361.gifhello_html_72eea4b2.gifhello_html_m22060e9a.gifhello_html_6abaf475.gifβ hello_html_m79722e66.gif

O l1

M

Решение: Справедливость утверждения hello_html_m1e8c56ff.gif следует из определения поворота, а также из представления поворота в виде двух осевых симметрий. Пусть hello_html_m2e7569ca.gif, где угол hello_html_m72a8072d.gif, где угол hello_html_m4dc7bf7a.gif. Тогда hello_html_275c1869.gif.

Задача 2. Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.

Доказать: XYX´Y´, X´Y´→ X´´Y´´, hello_html_m31af4310.gif, т.е. XY= X´´Y´´; XX´´ = YY´´.

hello_html_482b2369.gifhello_html_m327f4717.gifhello_html_a8fe1c3.gif Х´´

Хhello_html_4c8680e5.gifhello_html_m3c628213.gif


hello_html_m6a6b4065.gifhello_html_165c6b30.gifY´

Yhello_html_4c8680e5.gifhello_html_m462157bd.gifY´


X´

Доказательство: Покажем, что существует вектор YY´, Который переводит Y в Y´. Тогда посредством композиции двух центральных симметрий мы можем получить отображение прямой в прямую, отрезка в отрезок (т.к. отрезок часть прямой). Т. к. для каждой точки существует вектор, который переводит его при отображении в другую точку. Покажем теперь, что эти векторы, которые переводят точки прямой в точки прямой параллельной данной данной и отрезки в равные отрезки.

Рассмотрим треугольник Y Y´Y´´: О О1 – средняя линия ОО1 || YY´´ и О О1 = 0,5 Y Y´´. В треугольнике X X´X´´: О О1 || X X´´ и О О1 = 0,5 X X´´. Следовательно, X X´´ = Y Y´´ и X X´´ || YY´´.Т.к. для двух любых точек выполняется равенство указанных векторов, то оно выполняется для всех точек данного отрезка или прямой. Отсюда, заключение: для любой фигуры на плоскости, которая представляет собой комбинацию точек, отрезков, прямых это утверждение справедливо, Комбинация двух центральных симметрий является параллельным переносом.

Задача 3. Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что hello_html_71442a1f.gif, где Та параллельный перенос переводящий l1 в l2, причём а l1.

Дано: l1 || l2, а l1.

Доказать: hello_html_71442a1f.gif.


hello_html_3f107249.gifhello_html_m18bdf23.gif В1

hello_html_2be1b327.gifl1

hello_html_2283a38e.gifhello_html_d3fc0c9.gif l2

А l´

а

l´´ В








Доказательство: При симметрии относительно l2l1l´;

hello_html_5fd2667a.gif: l1 || l´ и |АВ| = 2|а| hello_html_m7eb31dda.gif: l´ относительно l1 переходит в l´´ (l´→ l´´) l´ || l´´. |АВ1| = 2|а| в силу свойств симметрии, т.е. l1 отобразилась в l´´ посредством параллельного переноса на вектор 2а.








10. Список литературы

  1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 – 9 кл. – М., Просвещение, 1991. С–335.

  2. Базылев В.Т., Атанасян Л.С. Геометрия. – М., Просвещение, 1986. С –336.

  3. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии.- Просвещение, 1994. С–220.

  4. Березин В.Н., Березина Л.Ю. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. – М., Просвещение, 1990. С –175.

  5. Березина Л.Ю. Геометрия в 7 – 9 классах. – М., Просвещение, 1990. С –141.

  6. Гамезо М.В. Возрастная и педагогическая психология. – М., Просвещение, 1976. С –360.

  7. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения.– М., Просвещение, 1996. С –340.

  8. Гусев В.А., Маслова Г.Г., Скопец З.А.., Черкасов Р.С. Сборник задач по геометрии 7 –9. –М., Просвещение, 1979, С –221.

  9. Епишева О. Приложение к газете «1 сентября» – «математика». № 4/97 «Обучение и развитие учеников в процессе преподавания математики». С –1,16.

  10. Земляков А.Н. Геометрия в 11 классе. – М., Просвещение, 1991. С –255.

  11. Земляков А.Н., Березина Л.Ю. Методическое пособие для учителя. Геометрия 10 кл. – М., –М., Просвещение, 1991. С –208.

  12. Колмогоров А.Н. Геометрия 8. –М., Просвещение, 1980. С –110.

  13. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. – М., Просвещение, 1976. С –303.

  14. Лоповок Л.М. Факультативные занятия по геометрии для 7 –11 классов. Киев, 1990. С –96.

  15. Погорелов А.В. Геометрия 7 –11 кл. – М., Просвещение, 1996. С –383.

  16. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии II часть. – М., Просвещение, 1991. С –240.

  17. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования. – М., Просвещение, 1984. С –110.

  18. Тарасов В. «Математика» –№ 40/97 «Факультативная работа в 7 классе». С –2 – 4.

  19. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике – решение задач. – М., Просвещение, 1995. С –384.









Элективный курс по математике















ШКОЛЬНИКУ О КОМПОЗИЦИИ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ













Подписано в печать 10.08.2010г.

Формат 60х841/16.

Гарнитура «Times New Roman».

Бумага офсетная.

Компьютерный набор и верстка.

Усл. п.л.

Заказ № .

Тираж 20 экз.

Цена договорная.


Отпечатано с оригинал макета в ООО «Мечта»,

309530, г. Старый Оскол,……






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров945
Номер материала ДВ-268966
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх