Элективный курс "Такая разнообразная тригонометрия"

Элективный курс

«Такая разнообразная тригонометрия»

Пояснительная записка.

Элективный курс «Такая разнообразная тригонометрия» рассчитан на учащихся десятых классов, может быть использован для подготовки к ЕГЭ.  Не смотря на то, что в школьном курсе алгебры  темам «Тригонометрические выражения и их преобразования», «Тригонометрические уравнения и неравенства», «Графики тригонометрических функций» уделено достаточно времени, все-таки необходимо постоянно повторять, возвращаться к этим темам, тем более что в школьной программе такого материала, как «Решение уравнений и неравенств с обратными тригонометрическими функциями», «Введение вспомогательного аргумента» нет совсем. А этот материал очень богат и интересен. Задачи по тригонометрии встречаются при сдаче ЕГЭ и при поступлении в высшие учебные заведения. В тригонометрии очень много формул. Необходимо, чтобы учащиеся их не просто заучили, а могли всегда эти формулы выводить и хорошо ориентироваться в них.

Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных знаний. Он будет идти параллельно с основными уроками по теме «Тригонометрия». Это поможет учащимся лучше понимать и решать задачи.

Цели курса:

·                    Вызвать интерес учащихся к интересу данного курса.

·                    Создать целостные представления о теме и расширить спектр задач посильных для учащихся

Задачи курса:

·                    Развивать творческую активность.

·                    Способствовать сознательному и прочному усвоению материала.

·                    Формировать навыки исследовательской работы.

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема занятия	Кол-во часов	Виды деятельности	Форма контроля
1.	Тригонометрические преобразования	2	Тест. Решение задач.
2.	Обратные тригонометрические функции	3	Тест-разминка. Решение задач.
3.	Графики тригонометрических функций	2	Построение графиков.
4.	Введение вспомогательного аргумента	2	Лекция. Решение задач.
5	Уравнения,  решаемые с помощью оценок	1	Решение задач.
6.	Уравнения с параметрами	4	Лекция. Решение задач.
7.	Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений	2	Тест – проверка знаний. Лекция. Решение задач.
8.	Подведение итогов	1		Тест
	Итого	17
	Резервное время	3

Содержание программы.

Тема 1. Тригонометрические преобразования.

На первом занятии учащимся сообщается цель и задачи элективного курса. Повторяются основные формулы, проводится тест с целью выяснения знаний формул учащимися и их применение. Рассматриваются примеры, которые предлагались на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

Тема 2. Обратные тригонометрические функции.

На занятии показывается практическое применение определений. Многие учащиеся не умеют решать уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. В школьных учебниках таких задач практически не встречается. На этом занятии проводится тест-разминка, который показывает готовность учащихся к восприятию темы. Разбираются и решаются задачи по этой теме.

Тема 3. Графики тригонометрических функций.

Строятся графики сложных функций, с модулями, с обратными тригонометрическими функциями.

Тема 4. Введение вспомогательного аргумента.

Решаются уравнения с помощью этого метода. Показывается его применение в задачах на наибольшее и наименьшее значение.

Тема 5. Уравнения,  решаемые методом оценок.

Разбираются и решаются несколько уравнений, предлагаемых на экзаменах в вузы.

Тема 6. Уравнения с параметрами.

Решение задач с параметрами вызывает большие затруднения у поступающих. Абитуриента, который берется за подобную задачу,  поджидает несколько трудностей. Первая состоит в том, что в школьной программе таких задач нет и среднему школьнику трудно даже понять условия задачи. Вторая существенная трудность – логическая. Правильное логическое мышление от природы не дается, его надо развивать даже людям, способным к математике. И это нелегко. В этой теме рассматривается ряд задач, которые помогут учащимся научиться решать тригонометрические уравнения с параметрами.

Знакомство с литературой по этой теме: В.В.Мочалов, В.В. Сильвестров  «Уравнения и неравенства с параметрами»;  В.В.Амелькин. В.А.Рабцевич «Задачи с параметрами».

Тема 7. Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений.

Повторяется основной материал по геометрии для таких задач:

1)      соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника;

2)      теорема синусов и косинусов;

3)      формулы вычисления площадей плоских фигур;

4)      выражения сторон  правильных вписанных и описанных многоугольников через радиус соответствующих окружностей;

Решаются задачи из книги И.Т.Бородуля «Тригонометрические уравнения и неравенства».

Используемая литература:

1. Звавич и др. Алгебра и начала анализа 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики
2. И.Т.Бородуля  Тригонометрические уравнения и неравенства.
3. В.В. Ткачук  Математика абитуриенту.
4. Готовимся к ЕГЭ. Рабочая тетрадь.
5. Т.Г.Королева  Математический тренажер. Алгебра 10-11 классы.
6. Тесты МГСУ.

Дидактический материал

Тема 1. Тригонометрические преобразования.

Тест – проверка формул.

1. Упростите:

а) sin² 7⁰ – 1                    б) (sinα + cos α)² – sin 2α      в) sin²(–30⁰) – cos²(–60⁰)

г) sin⁴α – cos⁴α               д) sin⁴α + 2cos²α sin²α + cos⁴α                

     sinα + cosα

2. Вычислить:

а) tgα, если sinα = 3/5, 0 < α < π/2

б) sin² 7⁰ + sin² 83⁰

в) sin 15⁰ cos 15⁰

г) sin² π/8 – cos² π/8

д) tg π/8         

    1 – tg² π/8

3. Сократить дробь

а) sin4х                                  б) cos4х                                 

    2 cos2х                                     cos2х – sin2х       

4. Упростить:

а) sin2х + sin4х  

      2 sin3х

б) cos²( 3 π/2 – х) + sin²(π/2 – х)

в) tg²3 сtg²3  –  1

Тема 2. Обратные тригонометрические функции.

Тест-разминка.

1. Найдите область определения функции

а)                                           е)

б)                                  ж)

в)                                  з)

г)                                   и)

д)                                к)

2. Вычислите:

а)                                                    д)

б)                                                        е)

в)                                                    ж)

г)

Тест- проверка.

Решите уравнения.

а)              д)

б)                       е)

в)                            ж)

г)

Тема 7. Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений

Тест по планиметрии

1. Найти х, у
2.  Найти х
3. Найти R описанной около треугольника окружности
4.  Найти х, отношение S1/S2, где S1  и S2 площади соответствующих подобных треугольников.
5.  Найти S, h, R, r,  где S и h площадь и высота треугольника,  R и r радиусы описанной и вписанной около треугольника окружностей
6. Найти все высоты прямоугольного треугольника, площадь треугольника, радиусы r и  R
7. Найти площадь трапеции,  в которую вписана окружность
8. АК – биссектриса, найти периметр параллелограмма АВСД
9. Найти  а׳,  в׳  и  h

Тест – подведение итогов.

1. Выражение   равно

а)           б)            в)         г)       д)

2. Величина  равна

а)                       б)                 в) + 2                 г)              д) 2

3. Дробь                    равна

а) –1                б) –2                в) tg 54⁰                      г) 2                  д) 1

4. Число  является корнем уравнения   

               при , равном

а) 0                  б) 2                  в) 3                 г) 0,5               д) 2,5

5. Если   , то  равен

а) 0,8               б) – 0,8                       в) 0,5              г) – 0,96                      д) 0,96

6. Угол         равен

а)                б)                в)             г)              д)

7. Если   и  , то  равен

а)               б)               в)                       г)                        д)

8. Все корни уравнения                образуют множество

а)                        б)            в)     

г)                         д)

9. Если       и    то величина b заключена в промежутке:

а)                 б)                 в) ()                 г)      д)

10. Дробь  при   равна

а)            б) в)                г)              д) – 11

11. Если α – угол треугольника и  , то этот угол равен

а) 150⁰ б) 60⁰  в) 30⁰  г) 120⁰ д) 135⁰

12. Область определения функции

  совпадает с множеством

а)                                     б)             

в)                  г)

д)

13. sin85⁰ равен

а)       б)            в)            г)              д)

14. Наименьший положительный период функции  равен

а) 1                  б) 2                  в) 3                 г) π                  д) 2π

15. Сумма корней уравнения  , принадлежащих промежутку    , равна

а)                б)                   в)            г)            д)

16. Если  и , то величинаравна

а)                       б)                        в)                     г)             д)

17. Число решений уравнения ctg x = sin x  на промежутке   равно

а) 1                  б) 2                  в) 3                 г) 4                  д) 0

18. Корни уравнения  равны

а)                         б)               в)

г)                  д)

19. Множество значений функции       равно

а)            б) [0;4]           в)[3;6]                    г)                  д) [3;5]

20. Все углы из промежутка, удовлетворяющие неравенству        образуют множество

а)                       б)                          в)

г)              д)

21. Наименьшее значение функции  равно

а)1                   б) 2                  в) 3                 г) 4                  д) 5

22. Область определения функции  совпадает с множеством

а)          б)            в)                    г)                д)

23. Дробь   равна

а)              б)                   в)                   г) 1                  д)  – 1

24. Наибольшее значение функции    на промежутке  равно   а)100              б) 40                в)                г) 4                  д) 1

25. Множество значений функции   равно

а)(–2;-1]              б) (–2;1]          в) [–1;2)      г) [1;2)    д)

26. Количество корней уравнения   равно

а) 68                б) 69                в) 70               г) 71                д) 1

27. Нуль функции     принадлежит промежутку

а)              б)             в)              

г)                           д)