Инфоурок / Математика / Конспекты / ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС. Текстовые задачи

библиотека
материалов

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная

школа №2 г.Алагир

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif








ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС.


Тема “Текстовые задачи на “cмеси и сплавы””.




Разработала: учитель математики

Дзбоева Т.Б.







РСО-Алания г.Алагир




ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС.


Тема “Текстовые задачи на “cмеси и сплавы””.


Пояснительная записка.


Текстовые задачи на «смеси и сплавы» при всей кажущейся простоте часто вызывают проблемы у абитуриентов. В школьном курсе математики очень мало задач на «смеси и сплавы». Эти задачи предлагаются на экономические специальности на факультетах, связанных с легкой промышленностью и народным хозяйством. Задачи на «смеси и сплавы» встречаются на олимпиадах, на ЕГЭ. Эти задачи можно использовать на факультативах, в общеобразовательных школах начиная с 6 класса, для индивидуальной работы с сильными учащимися.

Элективный курс «Решение задач на «смеси и сплавы» адресован учащимся естественно - научных и технических профилей, которые достаточно глубоко изучают курс математики и имеют общеобразовательный надпредметный характер и ставит своей целью:

  1. Формирование у школьников умение работать с информацией; находить ее в разных источниках, перерабатывать, сохранять и передавать;

  2. Оказание максимальной помощи малоопытным учителям;

  3. Объедение задач в группы с учетом функциональной зависимости между данными и искомыми величинами и общих алгоритмов решения;

  4. Сочетание алгебраических и геометрических моделей;

  5. Нацеленность решение предлагаемых задач параллельно прохождению таких тем, как уравнение системы и др.


Программа.


Тема 1. Проценты. Три основных действия с процентами.

Возникновение процентов. Нахождение процентов числа, числа по его процентам, процентного отношения чисел.


Тема 2. Задачи с аналитической моделью

ах + ву = с(х+у)

Ознакомить с задачами, решения которых опирается на формулу

. ах + ву = с(х + у)



Тема 3. Задачи на «сложные проценты»

Вывод формулы «сложных процентов» Аn0hello_html_m5c60db36.gifhello_html_m29891a46.gif

Задачи с использованием формулы.


Тема 4. Задачи на обратную пропорциональную зависимость.

Задачи на прямую пропорциональную зависимость.

Решения задач с использованием формул hello_html_6121718f.gif

hello_html_23b62e9c.gif

hello_html_237f8dbd.gif - переменные величины

Решение задач на «движение» и на «работу».


Тема 5. Решение задач на « смеси и сплавы».

Ознакомить с основными приемами и методами рассуждений. Показать связь математики с реальной действительностью.


ЛИТЕРАТУРА.

  1. Приложение «Математика» № 3 – 2000г.; № 17 – 2001г.; № № 17, 20, 22, 23, 25, 26, 36 – 2004г.;

№ № 20. 22. 23. – 2005г.; № 2006г.

  1. Решение наиболее трудных задач из Сканави. Задания на проценты из ЕГЭ.


Учебно – тематический план.



п/п

Наименование разделов, тем.

Количество часов.

1

Проценты, Три основных действия с процентами.

2

1.1.

Задачи с аналитической моделью ах+ву = с(х+у)

3

1.2.

Задачи на сложные проценты.

4

2.

Задачи на обратную и прямую пропорциональную зависимость

3

2.1.

Решения задач на «смеси и сплавы». Различные способы решения.

6


Итого:

17



ТЕМА № 1


Проценты. Три действия над процентами.


Проценты были введены для оценки содержания одного вещества в другом, роста (убыли) производства, производительности труда; дохода, прибыли, банковских ставок и др.

Различные обозначения (на примерах):


18%, 0,18, hello_html_m3c1beff5.gif;


135% 1,35, hello_html_1752462e.gif;


р%, 0,01р, hello_html_m41941b06.gif;


Три основных действия с процентами


Нахождение процентов числа, числа его процентам, процентного отношения чисел.



Примеры


1. Найдите 48% от 250 [ 0.48 ∙ 250 = 120]

2. Найдите число, 8% которого равны 12. hello_html_m336dd8e7.gif

3. Сколько процентов составляет 180 от 450?

hello_html_m7dd7b677.gif


I. 1. Увеличим число 60 на 20%.

[60 + 60 ∙ 0,2 = 72].


Уменьшим 72 на 20%. [72 – 72 ∙ 02 = 57,6]


  1. Уменьшим 60 на 20%.[60 – 60 ∙ 0.2 = 48]


Увеличим 48 на 20%. [48 + 48 ∙ 0.2 = 57,6]



Задача в общем виде. Увеличим число а на р%, а затем полученное число уменьшим на р%.

hello_html_m61c71e4b.gif


Р (%)

Результат не измениться, если увеличение последует за уменьшением.

Задача 1. Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?


Решение. а). Пусть первоначальная цена равна а.

После снижения она стала а – 03а – 0,7а,

после повышения 0,7а + 0,7 а ∙0,3 = 0,91 а,

изменилась: а-0,91а =0,9 а

б) Использование формулы (1)

hello_html_m15643d0a.gif

в) hello_html_m59e0a19f.gif


Ответ. Цена снизилась на 9 %.



Задача 2. Цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменилась цена товара?


Решение. hello_html_m2fb7d094.gif,

а-0,96 а = 0,04 а,

0,04а х 100 = 4%.

Ответ: Цена снизилась на 4%.



II. 1).Увеличим число 120 на 25 %.

[ 120 - 120 ∙ 0,25 = 90]


2).На сколько процентов надо уменьшить 150, чтобы получить 120?


hello_html_m5c60db36.gif hello_html_1e27d64e.gif

на 20%.


3).Уменьшим число 120 на 25%. [120 – 120 ∙ 0.25 = 90]



4).На сколько процентов надо увеличить 90, чтобы получить 120?


hello_html_20dda887.gif

на hello_html_m31fe7b6b.gifhello_html_m5c60db36.gif


Задача в общем виде. Увеличим число а на р%.


На сколько процентов надо уменьшить hello_html_32359447.gif чтобы получить а?

hello_html_m47b2866a.gif


- процент уменьшения) .


hello_html_62d1fbb6.gif


hello_html_m797c4327.gif(2)


Если увеличение последует за уменьшением, то


hello_html_m31d033b8.gif


hello_html_339687c5.gif (3)


Функции (2) и (3)


hello_html_47ba0a52.gif

являются взаимно обратными.


Задача 1. Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?


I способ. Решение. пусть а - первоначальная цена р - процент снижения цены.


После повышения цена стала а + 0,12 а = 1,12 а, после снижения 1,12 а – hello_html_1aebbe90.gif.

По условию hello_html_49d6dc29.gif

II способ. Решение по формуле (2) hello_html_m301f42fe.gif

Ответ. На hello_html_m4a052649.gif



Задача 2. Производительность труда на заводе снизилась на 20%. На сколько процентов надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной ?


Решение. hello_html_m48e78130.gif


Ответ. На 25%.


ТЕМА № 2


Рисунки проектируются через мультимедийный проектор.

Задачи с аналитической моделью ах + by = с(х + у)

Задача 1. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-м раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение. Обозначим х массу первого раствора, 600 - х массу второго.

По условию

30х + 10(600 - х) = 600 • 15, х = 150.hello_html_m64a3e309.jpg

Другой способ решения с использованием

графика



I вариант

30х + 10(600 - х) = 600-15.

II вариант (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

15х - 5(600 - х), х = 150

Ответ. 150 г, 450 г.


Задача 2. Имеется, лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т спали с содержанием 30% никеля?

Рис1


Решение.

10х = 25(140 – х), х = 100


Ответ: 100 т, 40 т


Задача 3. Для приготовления уксуса определенной крепости в сосуд, содержащий 12 л уксусной эссенции, долили 20 л воды. В другом сосуде содержа лось 13 л более крепкого уксуса: на 9 л уксусной эссенции приходилось только 4 л воды. Сколько литров уксуса надо перелить из первого сосуда во второй, чтобы уравнять во втором сосуде содержание уксусной эссенции и воды?

Решение. Концентрация уксуса в первом сосуде hello_html_m6f3f0076.gif


концентрация уксуса в другом сосуде hello_html_63c9dd34.gif


Во втором сосуде после перелива х (л) уксуса из первого сосуда концентрация уксуса должна стать равной hello_html_13b6230d.gifhello_html_4ced1fc5.gif (одинаковое содержание уксусной эссенции и воды).

hello_html_md185a74.gif



Рис

II способ. (S1 = S2)

13·hello_html_me5bb7cb.gif

Ответ = 20 л.

hello_html_m5c60db36.gif

Задача 4. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого -6 л. Если их слить вместе, то получится 35%-й раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение. Обозначим пх и п2 концентрацию кислот в первоначальных растворах, V - сливаемый объем раствора.

Составим систему уравнений учитывая, чтоVA = n V.


hello_html_72244487.gif


hello_html_m734b4f82.gif


Ответ. 1,64 л, 1,86 л.



Задача 1. На первом поле 65 % площади засеяно овсом. На втором поле овсом занято 45 % площади. Известно, что на первом и втором полях вместе под овсом занято 53 % общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет первое поле?

Решение. Пусть х - площадь первого поля,

у - площадь второго поля.

По условию

0,65х + 0,45 у = 0,53 (х + у),

0,65 х - 0,53 х = 0,53 у - 0,45 у,

у =hello_html_23288d28.gif

hello_html_8fdfcc6.gif.

Ответ hello_html_m1e3e8888.gif.

Задача 2. Из молока, жирность которого 5%, изготавливают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получиться от одной тонны молока?

Решение. 15,5 х + 0,5 (100-х) = 5 • 1000, 15х= 4500, х = 300.

Ответ. 300 кг.


Задача 3. Имеются три слитка. Масса первого 5 кг., второго – 3 кг., и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток, содержащий 56 % меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получиться слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содержание меди в нем.

Решение. Пусть m3 масса третьего слитка. Составим систему уравненй

hello_html_m1b4d753c.gif



Ответ: 10 кг, 69%.


Задача 5. Имеются два раствора соли в воде, первый 40% -й, второй 60-%-й.

Их смешали, добавив 5 кг воды и получили 20-% раствор. Если бы вместо 5 кг добавили 5 кг 80% раствора, то получился бы 70 %-й раствор. Сколько было 40-% раствора и 60% раствора?


Решение. Пусть масса 40% раствора m1(кг), масса 60% раствора m2(кг).

hello_html_m12da61a6.gif




Ответ: 1 кг., 2 кг.


Задача 6. Имеются два сплава состоящих из меди, цинка и ололва. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в полученном новом сплаве?

Решение. Пусть процентное содержание цинка в первом и втором сплавах равно х. Тогда

hello_html_40e39417.gif



Цинка во втором сплаве 0,3·250 = 75кг),

Меди во втором сплаве 250 · 0,36 = 65 (кг),

Олова в первом сплаве 150 · 0,4 = 60 (кг),

Олова во втором сплаве 250 ·(65+75) = 110 (кг),

Олова в третьем сплаве 60 + 110 = 170 (кг).


Ответ : 170 кг.


ТЕМА № 3


Задачи на « сложные проценты»


Пусть денежный вклад, равный А 0, через год возрастает на р%. Тогда к концу года вклад станет равным

hello_html_m5c60db36.gifhello_html_54e38086.gif(рублей), еще через год -

hello_html_5456aac2.gif


(рублей), а через n лет - hello_html_m974d901.gif (1)


- формула «сложных процентов».




Упражнение

  1. Увеличим число на 60 на 20% : 60 + 60 ∙ 0,2 = 72.

  2. Увеличим число на 72 на 20% : 72 + 72 ∙ 0,2 = 86,4.

  3. Увеличим число на 86,4 на 20% : 86,4 +86,4 ∙ 0,2 = 103,68.

  4. Воспользуемся формулой сложных процентов (1) ( А 0 = 60, р = 20,

n = 3).


А3 = 60 ∙ (1 + 0,2)3 = 60 ∙ 1,2 3 = 103,68.


Задача 1. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплаты сумма 100 р. Обратилась в 125,44 р. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата.


Решение. Из формулы (1) при А n = 125,44, А 0 = 100, n = 2 имеем


hello_html_m31f37408.gif

hello_html_695391ce.gif


Ответ. 12%




Задача 2. Каков процент изнашивания станка в год, если его стоимость по истечении двух лет уменьшилась с 50000 рублей до 46000 рублей ?


Решение. А0 = 50000, Аn = 46000 n = 2, р - ?

hello_html_m99692ca.gif


hello_html_m225004e.gif


Ответ. 4%.


Задача 3. После двух последовательных снижений объема производства выпуск продукции сократился в два раза. Определить процент сокращения производства.



Решение. hello_html_m7af0e3bd.gif

hello_html_m31687025.gif

hello_html_36ad755b.gif(сокращение продукции не может быть больше 100%),


hello_html_1de4d81f.gif


Ответ. hello_html_440762e8.gif 30 % .



Задача 4. Ежегодный прирост числа жителей страны составляет hello_html_42308709.gif её населения. Через сколько лет число жителей удвоится ?



Решение. Из формулы (1) при hello_html_m5ade02f7.gif имеем


hello_html_25a2980a.gif

Ответ. hello_html_440762e8.gif 56 лет.



Задача 5. После двух последовательных повышений зарплата достигла hello_html_52e6cc06.gif относительно начальной. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение было вдвое больше ( в процентном отношении) первого ?


Решение. Пусть р - процент повышения, А 0, А 1, А 2 - первичная зарплата, зарплата после первого повышения, зарплата после второго повышения соответственно. Тогда hello_html_2ac30f69.gif


hello_html_m74885bdf.gif

hello_html_m139efcb9.gif


Ответ. 25%.



Задача 6. Производительность завода А составляет 40,96 % производительности завода В. Годовой процент прироста продукции на заводе А на 30% больше годового прироста продукции на заводе В. Каков годовой процент прироста продукции на заводе А, если на четвертый год работы завод А даст то же количество продукции, что hello_html_m5c60db36.gif и завод В ?


Решение. Пусть годовой прирост продукции на заводе В – р %. Тогда годовой прирост продукции на заводе А будет (р +30) % . По условию

hello_html_38e1ab9a.gif

Извлекая корень четвертой степени, имеем hello_html_m3e946efe.gif


hello_html_m778b663e.gif


Ответ 50 % .



Задача 7. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилось число 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали это число ?


Решение. пусть искомый процент равен р.


После увеличения получим hello_html_166ff3.gif после уменьшения

hello_html_m30e2b232.gifПо условию hello_html_m5c60db36.gifhello_html_585aa423.gif


hello_html_m1611b300.gif

Ответ. 50%.


Задача 8. Вкладчик на свои сбережения получил через год 15 р. начисления процентных денег. Добавив еще 85 р., он оставил деньги еще на год. По истечении года вклад вместе с процентами составил 420р. Какая сумма была положена первоначально и какой процент дает сбербанк ?


Решение. Пусть А 0 - первоначальная сумма вклада, р - годовая процентная ставка. Из данных имеем hello_html_7ebd76f1.gif


В конце первого года денег было hello_html_m117e67fb.gif


В конце второго года денег стало

hello_html_m27c188b4.gif


По условию hello_html_926370c.gifhello_html_742477b.gif

Ответ. 5 %, 300 р;


Решить самостоятельно задачи.


Задание 1. Сбербанк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма удвоится ? [ hello_html_534aacba.gif]


Задание 2. Население города ежегодно увеличивается на hello_html_2a9633a3.gif числа жителей. Через сколько лет население утроится ? hello_html_m4f3ac0ab.gif


Задание 3. Предприятие работало 3 года. Выработка продукции за второй год работы предприятия выросла на р %, а на следующий год она выросла на 10 % больше, чем в предыдущий. Определите, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года увеличилась в общей сложности на 48,59 %. hello_html_4c0cb576.gif


ТЕМА № 4


  1. Задачи на обратную пропорциональную зависимость


Из hello_html_74435262.gif при тА = const

m n = const

Графически указанную зависимость можно изобразить с помощью равновеликих прямоугольников.


m1 n1 = m2 n2 или (т2 - т1) ∙ n2 = m1(n1n2).


Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, , чтобы содержание соли в последней составляло 2%?


Решение. Масса соли не изменится после прибавления к 40 кг морской воды х кг. Пресной воды. ( mA = const, mn = const.)


I вариант


( 40 + х) ∙ 2 = 5 ∙ 40 40 + х = 100, х = 60.


II вариант 2 ∙ х = 3 ∙ 40, х = 60.


Ответ. 60 кг.



Задача 2. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40% меди ?


Решение. В данной задаче масса меди есть величина постоянная. Пусть масса прибавленного олова равна х кг.

40 ∙ х = 5 ∙ 12, х =1,5.


Ответ. 1,5 кг.


Задача 3. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99 %. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98 %. Какой стала масса грибов после подсушивания ?


Решение. Масса сухого вещества постоянна. Искомую массу примем за х.


I вариант. 2 х = 1 ∙ 100, х = 50.


II вариант


100 – х = х, х = 50


Ответ. 50 кг.


Задача 4. Сколько килограммов воды нужно выпарить на 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды ?


Решение. масса целлюлозы постоянна. До выпаривания было 15 % целлюлозы, после выпаривания 25 %. Пусть масса выпаренной воды равна х кг.


I вариант 25(500 - х) =15 = 15 ∙ 500, х = 200.

II вариант 15х = 10 (500 – х), х = 200.


Ответ. 200 кг.


Задача 5. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают hello_html_35469e6c.gif часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате процентное содержание соли в колбе повышается на 3 %. Определите исходное процентное содержание соли.


Решение. В данной задаче масса соли есть величина постоянная. Пусть первоначальная концентрация равна n %, тогда последующая концентрация будет ( n + 3) %; пусть первоначальная масса раствора равна m, тогда последующая масса раствора будет равна

hello_html_m5f309f3b.gif

hello_html_m4b8533a0.gifмасса оставшейся части раствора в колбе после отлива hello_html_3d26841e.gifмасса отлитой части раствора после выпаривания.



I вариант

hello_html_m5ba8186d.gif


II вариант hello_html_614b86c1.gif


Ответ 27 %.


Задача 6. В сосуде находиться определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34 %, в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17 %, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?


Решение. Обозначим n - первоначальная концентрация, V – первоначальный объем смеси. Так как объем кислоты в смеси (Vк ) есть величина постоянная, то произведение концентрации на объем смеси есть также величина постоянная. Из равенств


hello_html_308b99f2.gif

составим систему уравнений


hello_html_76c2d28.gif


hello_html_m985e93e.gif

hello_html_m5c60db36.gif

hello_html_2116a243.gif

hello_html_6467c328.gif

hello_html_m55150bc3.gif



Ответ. 0,68

Многие задачи на «движение» и на «работу» - это задачи на обратную пропорциональную зависимость. При S = const vt = conct, при А = const Nt = const (A - работа, N - производительность ( мощность), v – скорость, t - время).


Задача 1 . Гонщик - мотоциклист подсчитал, что при увеличении скорости на 10% он пройдет круг по кольцевой дороге за 15 минут. На сколько процентов он должен увеличить скорость, чтобы пройти круг за 12 минут?


Решение. В этой задаче S = const. Пусть первоначальная скорость равна v. Тогда

hello_html_m63753d67.gif

Ответ. На 37,5 %.


Задача 2. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы зарплата осталась прежней ?

В этой задаче А = const (будем считать, что заработная плата пропорциональна объему выполненной работы).

8N = 7 hello_html_m7fcacde.gif

Ответ . На hello_html_m4c9a8a81.gif


Задача 3. На сколько процентов снизилась производительность труда, если для выполнения плана пришлось увеличить рабочий день с 7 часов до 8 часов ?


Решение. hello_html_m5c60db36.gifhello_html_m47ec688e.gif

Ответ. На 12,5 %.


Задача 4. Рабочий день уменьшился с 8 часов до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 12 % ?


Решение. hello_html_1423ee78.gif


Ответ. На 28 %.



2. Задачи на прямую пропорциональную зависимость

Рассмотрим формулу hello_html_c653a65.gif Если nconst, а тА и т - переменные величины, то тА и т находятся в пропорциональной зависимости.


Задача 1. К 20 кг 12 -% -ного раствора соли добавили 3 кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась?



Решение. Масса соли в растворе


hello_html_3f8ec248.gif


Пусть требуется долить х л воды. Тогда


hello_html_m18b40d9a.gif


Второй вариант ( см. график рис. 11)
















20+х

т(кг)


20


















т А



2,4

5,4













Рис. 11

















hello_html_541db529.gif



Ответ . 25 кг.



ТЕМА № 5.


Таблицы проектируются через мультимедииный проектор.


Задача 1.

Масса сплава, в который входят олово и свинец, равна 400г. В сплаве 68% олова. Найдите процентное содержание и массу свинца?

  1. 100% - 68% = 32% - процентное содержание.

  2. 400 . 0,32 = 128 (г) – масса свинца.

Ответ: 32%, 128г.


Задача 2:

Сплав состоит из 2 кг меди, 3 кг свинца и 5 кг железа. Сколько процентов от массы сплава приходится на медь, свинец и железо.


Решение:


  1. 2+3+5=10(кг) – масса сплава.

  2. hello_html_m2ec1366d.gif· 100 = 20% меди;

  3. hello_html_m60daecc9.gif· 100 = 30% свинца;

  4. hello_html_387970ae.gif· 100 = 50 % - железа

Ответ: 20%, 30%, 50%.


Задача 3. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40% меди?

Решение:


1 способ: 1) 12. 0,45 = 5,4 (кг) –чистой меди в первом сплаве.

2) 5,4:0,4=13,5(кг)- вес нового сплава.

3) 13,5-12=1,5(кг)- надо добавить.


Ответ: 1,5кг.

2 способ: В данной задаче масса меди есть величина постоянная.


Пусть масса прибавленного олова х кг.





(n%)




45






 




40

 












0

12

12+x

m (кг)








Задача на обратную пропорциональную зависимость:


1) 45%-40%=5%-прибавленное олово.

2) hello_html_14d134e7.gif

40· х = 5· 12; х = hello_html_46d56259.gif

Ответ: х = 1,5 кг.


Задача 4: В сплаве весом 10 кг отношение меди к цинку равно 4:1, во втором сплаве весом 16кг отношение меди к цинку 1:3. Сколько надо добавить чистой меди к этим сплавам, чтобы получить сплав, в котором отношение меди к цинку равно 3:2


Решение:


Пусть добавили Х кг чистой меди.




Медь

Цинк


Масса

1-ый сплав

4 части

1 часть

10 кг

2-ой сплав

1 часть

3 части

16 кг

3-й сплав

3 части

2 части

(10+16+х) кг


  1. 10:5.4=8(кг) - чистой меди в 1-м сплаве.

  2. 16 · hello_html_62fe852b.gif - чистой меди во 2-ом сплаве.

  3. hello_html_m1faf5cd8.gif- чистой меди в новом сплаве или (4+8+х) кг.

Составляем и решаем уравнение

12 + х = (26 + х) · hello_html_m7485ca10.gif hello_html_49a46862.gif;

60 +5х = (26 + х) · 3,

60 + 5х = 78 + 3х,

2х = 18,

х = 9.

Ответ 9 кг


Для решения задач используются уравнения или системы уравнений.


Задача1. Имеется сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом – отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11.



Решение:

1 способ.



З : С = 2: 3


З : С = 3 : 7

Х кг У кг



З : С = 5 : 11


х+ у = 1



hello_html_16f8c9ce.gif - масса золота в 1 сплаве.

hello_html_m4075fcb0.gif- масса золота во 2 сплаве.

hello_html_476e4075.gif- масса золота в новом сплаве.

hello_html_m4253b9a5.gif

hello_html_m78a7d9d8.gif- масса серебра в 1 сплаве.

hello_html_420633be.gif- масса серебра в новом сплаве.

hello_html_m4e540c8a.gif- масса серебра в новом сплаве

hello_html_m5605057e.gif



Можно записать одну из систем:


hello_html_m4cea348c.gifhello_html_1fb0092a.gifhello_html_2468584a.gif



hello_html_45885dc.gif



hello_html_54773ef2.gif


+hello_html_ef5f703.gif

hello_html_5e2e0d21.gif

hello_html_65f8a917.gifу= 0,875 (кг)

х = 0,125 ( кг)


Ответ: 125г золота,

875г серебра.



2 способ.

Пусть х кг - масса 1 части первого сплава.

у кг – масса 1 части второго сплава.

hello_html_54afd1ef.gifhello_html_65482d8.gifhello_html_de8b7e8.gif+ hello_html_m125a9fbd.gif


hello_html_m6842c755.gifhello_html_ma167706.gif

    1. 0,025 · 5 = 0,125 (кг).

    2. 0,0875 · 10 = 0,875 (кг)



  1. Способ:

Пусть х кг- масса I сплава, тогда масса второго сплава (1-х)кг.

hello_html_m637690f.gifзолота в новом сплаве

Составляем и решаем уравнение


hello_html_mc0d3141.gif


hello_html_5af98930.gif

hello_html_m5ac5df13.gif

х = 0,125 кг - золота

1). 1-х = 1-0,125 = 0,875 ( кг) - серебра

Ответ: 125 г ; 875 г.

Решить самостоятельно.

Задача № 1: Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй – 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-го раствора соляной кислоты.


Задача № 2: Если к сплаву меди и цинка прибавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если к первоначальному сплаву добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.

Решение:


Приготовим 2 схемы.



медь, цинк




медь



медь, цинк





40% меди, цинк














х г



20 г


х г




70 г


70% меди, цинк




52% меди, цинк




(х+20) г









х- первоначальный вес сплава.


Известно процентное содержание меди в новых сплавах (70% и %52%). Пусть у - процентное содержание меди в первоначальном сплаве, тогда,

  1. (х+20) · 0,7-меди в сплаве или 20 + 0,01 ху г.

(х + 20) · 0,7 = 20 + 0,01 ху

2) (х+70) · 0,52г меди в сплаве или 70·0,4+0,01ху г,

(х+70) 0,52 = 28 + 0,01ху.


Составляем и решаем систему уравнений.

hello_html_m247bdf51.gif


hello_html_m3afb9ad6.gif


hello_html_m56041cd9.gif


hello_html_m138b9519.gif

Разделим первое равенство на второе


hello_html_3bf61efb.gif

hello_html_143edfd4.gif


hello_html_m3cbc9d58.gif

hello_html_me2a5257.gif

х = 80) - первоначальный вес сплава


Ответ: 80г.



Задача 3. В 500кг руды содержится некоторое количества железа. После удаления из руды 200кг примесей, содержащих среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите какое количество железа осталось еще в руде?


Решение.





Масса руды в кг.

Масса железа в кг


Концентрация

(доля железа в руде)


Руда

500

hello_html_m49edd210.gif

hello_html_6d6ebfd5.gif

Руда после удаления примесей

500-200=300

hello_html_39dab8c8.gif

hello_html_673a9928.gif

Таблица создана в программе Word.


  1. 500 – 200 = 300 (кг) - масса руды после удаления примесей.

  2. 12,5% = 12,5:100=0,125 2· 00=25(кг)-масса железа в 200 кг примесей.

Пусть х кг -масса железа в руде, hello_html_m1479afe0.gif доля железа в руде после удаления примесей.

По условию содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=0,2

Составляем уравнение:

hello_html_m40ded0c0.gif


hello_html_6404f213.gif

5·(х-25) -300-3х = 0.

2х = 425,

х = 212,5

212,5кг - масса железа в руде.


3)212,5 – 25 = 187,5(кг) - железа оставалось в руде после удаления примесей.


Ответ: 187,5кг


Реши самостоятельно:


Задача: Кусок сплава массой 36 кг содержит 45% меди.

Какую массу меди нужно добавить к этому куску. Чтобы полученный сплав содержал 60% меди?




Общая информация

Номер материала: ДВ-185251

Похожие материалы