Элективный курс "Теоремы великих ученых"

Программа и содержание элективного курса «Теоремы великих ученых»

Разработка элективного курса для учащихся 9 класса, который можно проводить в рамках предпрофильной подготовки в основной школе.

Именные теоремы в геометрии

Элективный курс

Программа                     

                        Составила

                                                                           Учитель МБОУ СШ №2 г. Димитровграда

                                                                                 Пахомова О. В.

                                        I. Пояснительная записка.

Элективный курс разработан для учащихся 9, 10 классов общеобразовательных школ и рассчитан на 14 часов. Предлагаемый курс знакомит учащихся с проективной геометрией, позволяет глубже понять теоремы элементарной геометрии, помогает больше узнать об именных теоремах и их создателях.

       При изучении курса заостряется внимание на темах, выходящих за рамки элементарной геометрии. В частности, это решение более сложных задач, чем предусмотренные в темах уроков, ознакомление с биографией великих математиков и т.д.

В этом курсе учащиеся узнают, как из одного источника (из самой проективной геометрии) возникают такие науки, как евклидова геометрия, изучаемая в школе и геометрия Лобачевского, а также других геометрий.

II. Цель: обнаружить более общие и глубокие свойства геометрических фигур, чем это позволяет делать школьный курс математики, изучить теоремы и научиться применять их в решении сложных задач.

Цель этого курса предусматривает решение следующих задач:

формировать у учащихся представление о проективной геометрии;

расширить учебно – позновательные потребности школьников;

повысить математическую культуру;

развить интерес к предмету;

знакомить учащихся с историей математики.

III. Формы контроля.

Участие в диспутах разных видов (оценивается по пятибалльной системе; учитывается полнота, степень осмысления, грамотность речи и т.д.).

Отчет по исследовательской работе (засчитывается наличие).

Выполнение творческих работ по изображению свойств проектирования (рейтинговая оценка).

Итоговое собеседование по решению задач (оценивается учителем по пятибалльной системе).

IV. Ожидаемые результаты.

В результате изучения данного курса учащиеся должны:

1) уметь исследовать связи и зависимости, отделять существенные характеристики изучаемого объекта от несущественных;

2) уметь обосновывать суждения, приводить доказательства (в том числе от противного);

3) уметь применять теоремы при решении задач;

4) уметь находить информацию по интересующей теме;

5) уметь выступать перед публикой.

V. Содержание курса.

1. Теорема Чевы и следствия из нее.

2. Биография Чевы.

3. Теорема Дезарга.

4. Теорема Дезарга и ее доказательство. Теорема Дезарга в стереометрии и начертательной  геометрии.

5. История жизни Дезарга

6. Теорема Паскаля. Решение задач с помощью теоремы Паскаля.

7. Биография Паскаля.

VI. Учебно-тематическое планирование.

Содержание	Форма организации занятия	Форма контроля	Количество часов.
			теория	практика
Теорема Чевы и следствия из нее.	Лекция, практикум		1	2
Биография Чевы	Лекция	Реферат	1
Теорема Дезарга и ее доказательство.	Лекция, практикум		1	2
Теорема Дезарга в стереометрии и начертательной геометрии.	Лекция, практикум		1	1
История жизни Дезарга.	Лекция	Реферат, диспут	1
Теорема Паскаля.	Лекция		1
Решение задач с помощью теоремы Паскаля.	Практика			2
Биография Паскаля.	Семинар	Творческие работы	1

VII. Литература.

1. Власова И.Н., Малых А.Е. Очерки по истории элементарной геометрии (материалы для спецкурса по геометрии). -  Пермь: 1998.

2. Власова И.Н., Малых А.Е. Исторические фрагменты для уроков геометрии //Математика, 2001., № 35-38.

3.  Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики/Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 4-е изд. – М.:Вита-Пресс, 2005.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей.–М.: Просвещение, 1983.

5.  Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала анализа. 11 кл.: задачник для общеобразоват. учреждений с углубленным и профильным изучением математики. – М.:Мнемозина, 2007.

6. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: задачник для общеобразоват. учреждений с углубленным и профильным изучением математики.- М.: Дрофа, 2006.

7. Потоцкий М.В. Что изучает проективная геометрия. – М: Просвещение, 1982.

8. Фискович Т.Т. Геометрия для старшеклассников и абитуриентов. – М: МЦНМО, 2000.

VIII. Методические рекомендации по изучению курса.

Тема 1. Теорема Чевы и следствия из нее.

На этом занятии мы рассмотрим теорему Чевы. Это будет первая проективная теорема, с которой мы познакомимся.

Теорема. Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки

 Отрезки AA₁, BB₁ и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Доказательство

Необходимость. Пусть отрезки AA₁, BB₁  и CC₁  пересекаются в одной точке O . Проведем через вершину B треугольника прямую a ║ AC. Пусть прямые AA₁ и BB₁ пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников AA₁C и MA₁B₁  по двум углам (A₁CA = A₁BM  как накрест лежащие и BA₁M = AA₁C  как вертикальные) имеем:

Аналогично из подобия треугольников AC₁C и BC₁N по двум углам (C₁CA и C₁NB,  C₁AC и C₁BN – как пары накрест лежащих):

Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам (OCA = ONP и OAC = OMN ) получаем         

Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.

Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки AA₁ и  BB₁  проходят через одну точку.

Пусть O – точка пересечения отрезков AA₁ и  CC₁ а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO . Тогда из только что доказанного следует, что

Сравнивая с условием теоремы, получим

 

Следовательно, точки C' и C₁ совпадают.

Наряду с приведенной теоремой в приложениях бывает необходимо использовать обобщение этой теоремы. Прежде чем дать его формулировку, сделаем предварительно необходимые соглашения. На прямой AB возьмем произвольную точку C , отличную от точек A и B . Тогда векторы AC и CB коллинеарны. Так как CB ≠ 0 то AC=λCB.

Отсюда, если точка C лежит на отрезке AB , то    и  если же   C лежит вне отрезка AB , то      и  

Будем в дальнейшем понимать отношение  отрезков AC и CB , лежащих на одной прямой «со знаком», в описанном выше смысле.

Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые a, b, c проходят через вершины A, B, C треугольника ABC и пересекает прямые BC, CA, AB в точках  соответственно. Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство  

Доказательство

Для случая параллельных прямых (слева на рисунке ) из теоремы Фалеса имеем соотношение

Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.

Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом AA₁║CC₁.

Тогда, проведя через вершину B прямую b║AA₁ найдем точку B' ее пересечения с прямой AC . Как и в случае доказательства первой теоремы, получим

    Если λ > 0, то B' и B ₁ делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B ₁ лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A ₁ на отрезке BC или точка C ₁ на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B ₁ и B ₁.

Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке ).

Треугольник AC ₁ C подобен треугольнику BC ₁ M . Отсюда следует  из подобия треугольников AA₁C и NA₁B получаем .

Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем  

Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.

Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

Приведем некоторые следствия из теоремы Чевы.

Следствие 1.  Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае

Следствие 2. 

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Действительно из свойства биссектрис можно записать следующие равенства:

Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим условие теоремы Чевы.

Следствие 3. 

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергона. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB ₁ = AC ₁ ; BA ₁ = BC ₁ и CA ₁ = CB ₁. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 3.

Следствие 4.  Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим 2 случая.

Пусть треугольник ABC остроугольный. Имеем

         

Отсюда следует

      Следствие доказано. 

Пусть треугольник ABC тупоугольный. Применим в этом случае обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1 можно записать такие же соотношения с учетом знака. Имеем

         

       

Отсюда следует доказательство.

Практикум. Решение задач.

Задача 1

Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от

 вершины.

Доказательство: Пусть АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ₁, ВМ₂ и СМ₃ пересекаются в одной точке. Имеем:

Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М₃С пересекает две стороны треугольника АВМ₂ и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая

или .

Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ₁С и АМ₂С, мы получаем, что

. Теорема доказана.

Задача 2

Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

 Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL_1, BL_2, CL₃ пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

. Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана. 

Задача 3

Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

 Пусть АН₁, АН_2, АН₃ – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН₂ и ВСН₂ по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН₂, обозначив АН₂ = х, СН₂ = b – х.

(ВН₂)² = с² – х² и (ВН₂)² = а² – (b – х)². приравнивая правые части полученных равенств, получаем с² – х² = а² – (b – х)², откуда х = .

Тогда b –x = b - = .

Итак, АН₂ = , СН₂ = .

Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН₂ и ВСН₃, ВАН₁ и САН₁, получим АН₃ = , ВН₃ = и ВН₁ = ,

СН₁ = .

Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН₁, ВН₂ и СН₃ пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН₃, ВН₃, ВН₁, СН₁, СН₂ и АН₂ через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана.

Задача 4

Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке

Доказательство:

Пусть А₁, В₁ и С₁ – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:

. Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения: ВС₁ = ВА₁ = х, СА₁ = СВ₁ = у, АВ₁ = АС₁ = z.

. Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. Теорема доказана.

Задача 5

На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А_1, В₁, С_1, так что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ – конкурентные.

Докажите, что

Доказательство:

По теореме Чевы имеем: (1 ).

По теореме синусов:, откуда СА₁ = СА .,

, откуда А₁В = АВ . , ,

откуда АВ₁ = АВ . , , откуда В₁С = ВС . , так как СА = ВС по условию. Подставив полученные равенства в равенство (1 ) получим:

.

Что и требовалось доказать.

Тема 2. Биография Чевы.

Ученики выступают с докладами (пример приведен в приложении 1).

Тема 3. Теорема Дезарга и ее доказательство.

На этом занятии мы рассмотрим так называемую теорему Дезарга. Эта теорема говорит о взаимном расположении двух треугольников, находящихся в одной или различных плоскостях. Теорема Дезарга будет для нас интересна с различных точек зрения. Во-первых, в ней будет идти речь только о взаимной принадлежности геометрических образов. Во-вторых, эта теорема интересна тем, что она является одной из важнейших теорем начертательной геометрии, на ее основе будет решаться множество задач проекционного черчения и строиться чертежей в стереометрии. Но особенно велико значение теоремы Дезарга в научном построении проективной геометрии. На основе теоремы Дезарга возникают важнейшие понятия проективной геометрии.

Теорема Дезарга:

Если два треугольника АВС и  АВС расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что прямые (АА'), (ВВ') и (СС'), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S, т.е. (АА')∩(ВВ')∩(СС')=S, то их соответственные стороны (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С'), (АС) и (А'С') пересекаются в трех точках M,N,P одной прямой (прямая Дезарга), т.е.   (АВ)∩(А'В')=M, (ВС)∩(В'С')=N, (АС)∩(А'С')=P и M, N,P Є ℓ.

Обратим внимание: 1) на то, что теорема Дезарга как проективная теорема ни в своей формулировке, ни в доказательстве не содержит измерительных понятий; 2) на способ доказательства теоремы Дезарга. Это доказательство теоремы получается только из внимательного рассмотрения чертежа. Никаких вспомогательных построений проводить не придется; 3) принципиальный интерес представляет то, что доказывать теорему Дезарга надо сначала для пространственного расположения треугольников, и лишь из его получается доказательство для плоского их расположения.

Суть дела состоит в следующем. В школе мы изучаем сначала планиметрию, а потом стереометрию, во-первых, потому, что планиметрия проще стереометрии (и стереометрия основывается на планиметрии); во-вторых, потому, что планиметрия может существовать сама по себе, независимо от стереометрии. Короче говоря, доказывая теоремы планиметрии, мы совсем не думаем (и не должны думать) о том, что «вокруг» нашей плоскости существует пространство, что плоскость «лежит» в пространстве. Все наши доказательства протекают в самой плоскости, в которой мы рассматриваем (в планиметрии) наши фигуры. И если бы трехмерного пространства вовсе не существовало, то это обстоятельство не повлияло бы на теоремы планиметрии. И вообще мы можем изучать планиметрию и не изучать стереометрию.

Совсем иначе обстоит дело в проективной геометрии. Плоская проективная геометрия может существовать только при том условии, что плоскость, о которой в ней идет речь, окружена трехмерным пространством. Именно теорему Дезарга в плоскости (для двух треугольников, лежащих в одной плоскости) можно доказать, только «выйдя сначала в пространство», т. е. доказав сначала теорему Дезарга для двух треугольников, расположенных в разных плоскостях.

Доказательство (для случая пространственного расположения треугольников). Прямые  (AA') и (BB') пересекаются в точке S. Значит, они лежат в одной плоскости. Следовательно, в этой же плоскости лежат точки  A, A', B, B'. Отсюда следует, что прямые (AB) и (A'B') пересекаются (так как в проективной геометрии всякие две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются). Они пересекаются в точке M, лежащей на линии пересечения плоскостей α и α'. Действительно, прямая (AB) лежит в плоскости α, а прямая (A'B') лежит в плоскости α'. Поэтому они могут пересечься только в одной точке, лежащей одновременно в плоскостях α и α', т. е. на линии их пересечения.

Точно так же доказываем, что и другие пары прямых (BC) и (B'C'), (AC) и (A'C') пересекаются соответственно в точках N и P, лежащих на линии пересечения плоскостей α и α', т. е. на одной прямой с точкой М. Теорема доказана.

Обратная теорема

Если два треугольника АВС и А'В'С' расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что их соответственные стороны (АВ) И (А'В'), (ВС) И (В'C'), (AC) и (A'C') пересекаются в трех точках M,N,P одной прямой, то прямые (AA'), (BB'), (CС'), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S.

Дано:               (AB) ∩ (A'B')=M,

                         (BC) ∩ (B'C')=N,

                         (AC) ∩ (A'C')=P.

Требуется доказать:

                         (AA') ∩ (BB') ∩ (CC')= S.

Прежде всего, заметим, что в случае пространственного расположения треугольников АВС и  A'B'C' уже из того обстоятельства, что их соответственные стороны попарно пересекаются в трех точках, следует, что эти три точки  лежат на одной прямой. Действительно, пусть треугольник АВС лежит в плоскости α, а треугольник А'В'С' лежит в плоскости α'. Тогда прямая АВ лежит в плоскости α а прямая А'В' лежит в плоскости  α'. По условию они пересекаются. Следовательно, их общая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей α и α'. То же рассуждение имеет место и для других пар сторон. Следовательно, все три точки M,N и P пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой – на линии пересечения плоскостей α и α'.

Доказательство.

     1. По условию прямые (АВ) и (А'В') пересекаются в точке M. Следовательно,  они лежат в одной плоскости. Но тогда и точки А, В, А', В' лежат в этой же  плоскости. Следовательно, прямые (АА) и (В'В') тоже лежат в этой плоскости и пересекаются в некоторой точке S₁ (рис 1.б).

     2.По условию прямые (ВС) и (В'С') пересекаются в точке N. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому точки В, С, В', С' лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (ВВ') и (СС') пересекаются в некоторой точке S_2.

      3.По условию прямые (АС) и (А'С') пересекаются в точке P.       Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому точки А, С, А', С' лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (АА') и (СС') пересекаются в точке S₃.

        Теперь остается доказать, что эти три прямые (АА'), (ВВ'), (СС')        пересекаются в одной точке, т.е. что три точки S_1, S_2,  S₃  совпадают.

Чтобы это доказать, заметим, что поскольку два треугольника АВС и А'В'С' не лежат в одной плоскости, то шесть точек А, А', В, В', С, С' не лежат в одной плоскости, а следовательно, и три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') не лежат в одной плоскости. И наоборот, если бы три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') лежали в одной плоскости, то и шесть точек А, А', В, В', С, С' лежали бы в одной плоскости, а следовательно, и наши треугольники АВС и А'В'С' лежали бы в одной плоскости. Отсюда сразу видно, что если бы три точки S₁,S₂, S₃ не совпадали, то они определяли бы плоскость S₁ S₂ S₃, в которой лежали бы три прямые (АА'), (ВВ'), (СС'), а,  следовательно, и два наших треугольника АВС и А'В'С'. Но последнее противоречило бы исходному положению. Итак, три точки S₁, S₂ и S3 совпадают, представляя собой точку S . Теорема доказана.

Обратим внимание на принципиальную сторону доказательства теоремы Дезарга. Мы уже говорили, что все доказательства протекают без единого вспомогательного построения. Доказательство получается только из внимательного рассмотрения чертежа и установления определенных, следующих из этого выводов. Теорема Дезарга прекрасно иллюстрирует мысль о том, что значит и как важно уметь смотреть на чертеж и видеть по возможности все то, что на нем изображено. Но это сводится к умению делать из обзора чертежа возможно больше логических выводов. Следует еще отметить, что все доказательство не выходит за пределы совершенно элементарных соображений, доступных всем изучающим стереометрию.

Из предыдущего следует, что проведенные выше доказательства как прямой, так и обратной теоремы Дезарга теряют силу (доказательства, но не сама теорема!) в случае расположения заданных треугольников  АВС и А'В'С' в одной плоскости. Действительно, в этом случае сразу не видно, что три пары прямых (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С'), (АС) и (А'С') должны пересекаться в точках одной прямой (случай прямой теоремы Дезарга) и что три прямые (АА'), (ВВ'), (СС') должны пересекаться в одной  точке S и не могут пересекаться  попарно в трех различных точках S₁, S₂, S₃ (так как теперь оба треугольника лежат в одной плоскости).

Это обстоятельство и заставляет давать специальное доказательство теоремы Дезарга для случая плоского расположения треугольников АВС и  А'В'С'.

Тема 4. Теорема Дезарга в стереометрии и начертательной геометрии.

Интересно отметить, что пространственная теорема Дезарга является обобщением одного хорошо известного факта из школьного курса стереометрии. В нем существует теорема, что если треугольную пирамиду с основанием АВС, «стоящую» на плоскости α, рассечь плоскостью α', параллельной основанию, то в сечении получится треугольник А'В'С', подобный треугольнику АВС и гомотетичный ему.

Нетрудно убедиться, что в этом случае треугольник А'В'С' находится в условиях теоремы Дезарга с треугольником АВС

Действительно, прямые, соединяющие вершины (ребра пирамиды (АА'), (ВВ'), (СС')), пересекаются в одной точке – в вершине пирамиды S, а их соответственные стороны (АВ) и (АВ'), (ВС) и (В'С'), (АС) и (А'С') взаимно параллельны или, иначе говоря, пересекаются в трех точках M_∞, N_∞, P_∞ («бесконечно удаленных» точках!) одной прямой («бесконечно удаленной» прямой). Это, так сказать, «предельный случай» теоремы Дезарга. Действительно, если провести секущую плоскость α' не параллельно основанию пирамиды, то мы получим общий случай сечения пирамиды  плоскостью, т.е. общий случай теоремы Дезарга. Если эту плоскость α' поворачивать так, чтобы она образовывала все меньший угол с плоскостью α. То прямая Дезарга будет постоянно удаляться и в случае параллельности этих плоскостей станет «бесконечно удаленной». В результате мы получим предельный («школьный») случай теоремы Дезарга. Если мы удалим точку S в бесконечность, то получим теорему Дезарга для случая призмы (рис.б).

Особенно велико значение теоремы Дезарга в стереометрических чертежах, выполняемых по правилам начертательной геометрии, которая, в свою очередь, представляет собой одну из глав проективной геометрии.

Задача. Пусть в классе учащийся на доске изобразил произвольную пирамиду SABC, «стоящую» на плоскости α, и рассек ее плоскостью α', пересекающуюся с плоскостью α по прямой ℓ. Правильно ли он начертил ее сечение с плоскостью α' в виде треугольника А'В'С' (рис.  а, б)? Иначе говоря, мог ли он ее начертить от руки, каким хотел, на глаз, или при этом он должен был придерживаться каких-нибудь определенных правил?

С первого взгляда кажется, что для правильности чертежа достаточно лишь правдоподобно для глаза изобразить треугольник А'В'С'.

Однако дело обстоит иначе.

 Из чертежа видно, что два треугольника АВС и А'В'С' находятся в условиях теоремы Дезарга. Поэтому точки пересечения их соответственных сторон должны лежать на одной прямой – и эта прямая должна быть прямой ℓ пересечения плоскостей α и α'. Если это условие на данном чертеже выполнено, то он верен (рис. а), в противном случае – ошибочен (рис. б).

Отсюда вытекает грамотное построение таких чертежей от руки. Чертим плоскости α и α' вместе с прямой ℓ их пересечения  и пирамиду SABC. Возьмем одну произвольную точку, например, А' на ребре AS, в качестве вершины треугольного сечения А'В'С' пирамиды с плоскостью α'. (По существу, этим мы однозначно определили положение самой секущей плоскости α' относительно плоскости α, так как прямой и точкой вне нее плоскость определяется). Теперь строим сечение.  Продолжим ребро АВ до пересечения с прямой ℓ. Получаем точку М. Соединяем точку М с точкой А'. В пересечении прямой МА' с ребром BS получаем точку В'. В пересечении ребра ВС с прямой ℓ получаем точку N. В пересечении прямой В'Н с ребром CS получаем точку С', соединяем точки А', В', и С' – получаем треугольник А'В'С'.

Так же решается вопрос об отыскании сечения треугольной призмы плоскостью, так как последнюю можно рассматривать как предельный случай треугольной пирамиды, когда ее вершина ушла в бесконечность. Подобно этому, отыскивают сечения многоугольных пирамид и призм наклонной плоскостью. Так как каждую из них можно разбить на треугольные пирамиды и призмы (рис. в).

Более того, сечение плоскостью α' конуса или цилиндра находим также на основании теоремы Дезарга, так как это сечение мы строим  по точкам с помощью вписанных пирамиды и призмы, а потом эти точки соединяем плавной кривой.

Существует еще очень много проективных теорем, связанных с конфигурациями, в которые входят треугольники.

Однако уже приведенные примеры показывают, как много дает знание проективных теорем даже для чисто практических целей – построения чертежей и общего их понимания.

Решение задач:

Задача.

 а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим

их точки пересечения так, как показано на рис.

 Докажите, что

прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).

б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.

Решение

а) Пусть R—точка пересечения прямых KL и MN. Применяя теорему

Паппа к тройкам точек (P, L, N) и (Q, M, K), получаем, что точки A, C и R

лежат на одной прямой.

б) Применяя теорему Дезарга к треугольникам NDM и LBK, получаем, что

точки пересечения прямых ND и LB, DM и BK, NM и LK лежат на одной

прямой.

Тема 5. Биография Дезарга

Ученики выступают с докладами (пример приведен в приложении 2).

Тема 6. Теорема Паскаля.

На этом занятии рассматривается теорема Паскаля с доказательством.

Теорема. Пусть ABC — неравнобедренный треугольник, ω — описанная вокруг него окружность. Пусть прямые AA’, BB’ и CC’ — касательные к окружности ω в точках A, B и C соответственно. Пусть A’, B’ и C’ — точки пересечения касательных с прямыми, на которых лежат стороны треугольника ABC. Тогда точки A’, B’ и C лежат на одной прямой — прямой Паскаля треугольника ABC.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится теорема Менелая, но только ее тригонометрическая форма, которую мы сейчас и получим.

Тригонометрическая форма теоремы Менелая.

Пусть дан треугольник ABC. Пусть на сторонах треугольника AB и BC взяты точки C’ и A’ соответственно. Пусть точка B’ лежит на продолжении стороны AC. Обозначим через

.

Точки A, C и B’ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

.

Доказательство.

 Для того чтобы точки A, C и B’ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (теорема Менелая), чтобы выполнялось условие

Рассмотрим треугольники  и . Они имеют общую высоту из вершины , поэтому  — это отношение их площадей.

Кроме того, у этих треугольников есть общая сторона . Значит, их площади относятся как высоты, проведенные к этой стороне. Тем самым, имеем

Аналогично из сравнения площадей треугольников  и  и их высот, опущенных на общую сторону  имеем

,

а из сравнения площадей треугольников  и  и их высот, опущенных на общую сторону имеем

.

Перемножаем три полученные равенства и получаем требуемое.

А теперь давайте докажем теорему Паскаля.

Доказательство теоремы Паскаля для треугольника.

Обозначим углы следующим образом

 (как угол между касательной и хордой),

 (по той же причине),

,

,

,

.

Проверяем условие теоремы Менелая в тригонометрической форме (для точек и :

,

поскольку из формул приведения .

Тема 7. Решение задач с помощью теоремы Паскаля.

Задача 1

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность S; X—произвольная точка, M и N—вторые точки пересечения прямых XA и XD с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках E и F.

Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC

Решение

Пусть K — точка пересечения прямых BC и MN. Применяя теорему Паскаля к точкам A, M, N, D, C, B, получаем, что точки E, K и F лежат на одной прямой, а значит, K—точка пересечения прямых MN и EF.

Задача 2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что ∠BAX = ∠CDX = 90°. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD лежит на прямой XO.

Решение

Пусть точки B1 и C1 симметричны точкам B и C относительно точки O. Тогда точка X лежит на прямых AB1 и C1D. Применим теорему Паскаля к шестиугольнику AB1BDC1C. Прямые AB1 и DC1 пересекаются в точке X, прямые BB1 и CC1 —в точке O; прямые BD и AC—диагонали четырёхугольника.

Тема 8. Биография Паскаля.

Ученики выступают с докладами (пример приведен в приложении 3).

Приложения: Связь отдельных теорем математики и их создателей с культурой

Приложение 1. История жизни Джованни Чева

Джованни Чева (Giovanni Ceva) родился в 1647 году в Италии (Italy). Он окончил иезуитский колледж (Jesuit college) в Милане (Milan), после чего стал студентом Университета в Пизе (University of Pisa), где позже и стал работать профессором математики. С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе (University of Mantua), оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Кстати, брат Джованни, Томасо Чева (Tommaso Ceva), также был довольно талантливым и известным математиком, а также поэтом.

Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики.

В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему 'О взаимнопересекающихся прямых' (De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio) о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы. Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Говоря простым языком, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет. Она аффинная, то есть теорема эта может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Кстати, отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой - также по имени Джованни Чевы. Можно сказать, что эта теорема служит фундаментом всей геометрии треугольника.

Известно, что опубликовал ученый не только свои теоремы, но и доработал и популяризировал теоремы Менелая (Menelaus's theorem). В работе 'Геометрия движения' ('Geometria Motus', 1692) он рассмотрел природу движения.

Известно, что Джованни был и инженером-гидравликом, а также экономистом, и несколько раз ему довелось поработать на правительство Мантуи, был он правительственным комиссаром Мантуанского герцогства. В 1728 году он опубликовал 'Opus hydrostaticum', в котором обсуждал проблемы в гидравлике.

Джованни Чева умер 15 июня 1734 года, в возрасте 85 лет; смерть его последовала во время осады Мантуи франко-сардинской армией.

Чева и сегодня считается не только выдающимся математиком, но и талантливым автором в области экономики - именно он применил математику к экономике и стал первым математическим писателем по этому предмету.

Приложение 2. Жерар Дезарг

Французский математик, архитектор и инженер. Заложил основы начертательной и проективной геометрии. Был архитектором и военным инженером. Оставив службу, поселился в Париже, где встречался со знаменитыми математиками и физиками того времени. В основу геометрических исследований он положил систематическое применение перспективного изображения. Его сочинение о конических сечениях имеет общий проективно-геометрический характер. Первый ввел в геометрию бесконечно удаленные элементы и понятие полярности. Дал полное учение об инволюции пар точек, рассмотрел инволюцию четырех точек или прямых. Полученные результаты применил при перспективном изображении конических сечений. Ему принадлежит одна из основных теорем проективной геометрии, носящая его имя и дающая возможность выполнять перспективные построения в одной плоскости. Существуют геометрия Дезарга, дезарговы структуры, теорема и конфигурация Дезарга. его идеи были признаны только наиболее выдающимися математиками того времени – Р. Декартом, П. Ферма и Б. Паскалем. Возродилась проективная геометрия лишь вначале XIX в. в трудах французских математиков Г. Монжа, Ж. Понселе, немецкого математика Я. Штейнера и др.

Приложение 3. Блез Паскаль

19 июня 1623 г. – 19 августа 1662 г.

Французский религиозный философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль родился в Клермон-Ферране в семье высокообразованного юриста, занимавшегося математикой и воспитывавшего своих детей под влиянием педагогических идей М. Монтеня. Получил домашнее образование; рано проявил выдающиеся математические способности, войдя в историю науки как классический пример отроческой гениальности.

Первый математический трактат Практат «Опыт теории конических сечений» (1639, издан 1640)  содержал одну из основных теорем проективной геометрии – теорему Паскаля. В 1641 г. (по другим сведениям, в 1642) Паскаль сконструировал суммирующую машину. К 1654 г. закончил ряд работ по арифметике, теории чисел, алгебре и теории вероятностей (опубликованных в 1665). Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Он нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел»), способ вычисления биномиальных коэффициентов, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей («Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованный в 1665 г., и переписка с П. Ферма). В этих работах Паскаль впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Труды Паскаля, содержащие изложенный в геометрической форме интегральный метод решения ряда задач на вычисление площадей фигур, объёмов и площадей поверхностей тел, а также других задач, связанных с циклоидой, явились существенным шагом в развитии анализа бесконечно малых. Теорема Паскаля о характеристическом треугольнике послужила одним из источников для создания Г. Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления.

Вместе с Г. Галилеем и С. Стевином Паскаль считается основоположником классической гидростатики: он установил её основной закон (о полной передаче жидкостью производимого на неё давления – закон Паскаля), принцип действия гидравлического пресса, указал на общность основных законов равновесия жидкостей и газов. Опыт, проведённый под руководством Паскаля (1648), подтвердил предположение Э. Торричелли  о существовании атмосферного давления. Паскаль высказал также идею о зависимости атмосферного давления от высоты, открыл зависимость давления от температуры и влажности воздуха и предложил использовать барометр для предсказания погоды. В его честь названа единица давления – паскаль.

Работа Паскаля над проблематикой точных наук в основном относится к 1640-1650-м годам. Разочаровавшись в «отвлечённости» этих наук, Паскаль обращается к религиозным интересам и философской антропологии. С 1655 г. он ведёт полумонашеский образ жизни в янсенистской обители Пор-Руаяль-де-Шан, вступив в энергичную полемику по вопросам религиозной этики с иезуитами; плодом этой полемики стали «Письма к провинциалу» (1657) – шедевр французской сатирической прозы. В центре занятий Паскаля в последние годы жизни – попытка «оправдания» христианства средствами философской антропологии. Этот труд не был закончен; афористические наброски к нему после смерти Паскаля в вышли в свет под заглавием «Мысли г. Паскаля о религии и о некоторых других предметах» (1669).

Место Паскаля в истории философии определяется тем, что это первый мыслитель, который прошёл через опыт механистического рационализма XVII в. и со всей остротой поставил вопрос о границах «научности», указывая при этом на «доводы сердца», отличные от «доводов разума», и тем предвосхищая последующую иррационалистическую тенденцию в философии. Выведя основные идеи христианства из традиционного синтеза с космологией и метафизикой аристотелевского или неоплатонического типа, а также с политической идеологией монархизма (так называемый «союз трона и алтаря»), Паскаль отказывается строить искусственно гармонизированный теологический образ мира; его ощущение космоса выражено в словах: «это вечное молчание безграничных пространств ужасает меня». Паскаль исходит из образа человека, воспринятого динамически («состояние человека – непостоянство, тоска, беспокойство»), и не устаёт говорить о трагичности и хрупкости человека и одновременно о его достоинстве, состоящем в акте мышления (человек – «мыслящий тростник», «в пространстве вселенная объемлет и поглощает меня, как точку; в мысли я объемлю её»). Сосредоточенность Паскаль на антропологической проблематике предвосхищает понимание христианской традиции у С. Кьеркегора и Ф.М. Достоевского. Паскаль сыграл значительную роль в формировании французской классической прозы; его влияние испытали Ф. Ларошфуко и Ж. Лабрюйер, М. Севинье и М. Лафайет.