ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данный курс
поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему
усвоению базового курса. Представленная программа курса по выбору своим
содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и
ее приложения, и которым захочется глубже познакомиться с ее методами и идеями.
Современный
уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических
знаний. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных
математических действий, являются составной частью трудовой деятельности
рабочего, инженера, экономиста и др. Умение считать является непременным
элементом политехнического образования.
Задания,
включенные в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и
ЕГЭ, подразумевают умение быстро выполнять вычисления, не применяя калькулятор.
Однако, результаты экзаменов показывают, что большинство учащихся не умеют
правильно и быстро выполнять задания вычислительного характера.
Качество
вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений.
Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти
бесконтрольно. Владение навыками устных вычислений представляет большую
ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными
выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют
усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на
степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений.
Поэтому важнейшей задачей учителя является вооружение учеников способами и
алгоритмами быстрого, рационального, устного счета.
Познавательный
материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению
навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и
содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. Наряду
с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного
овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых каждому
члену современного общества, данный курс предусматривает формирование
устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических
способностей. Ориентацию на профессии, существенным образом связанные с
математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.
Цели курса:
·
восполнить
некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую
целостность;
·
показать
некоторые нестандартные приемы устных вычислений;
·
помочь
осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им
с точки зрения дальнейшей перспективы;
·
формировать
качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые
человеку для жизни в современном обществе.
Задачи курса:
- научить приемам быстрого счета;
- развивать навыки применения формул
сокращенного умножения к вычислениям;
- научить вычислять квадратные корни
без таблиц и калькулятора;
- научить устно решать некоторые виды
квадратных уравнений;
- повысить вычислительную культуру
учащихся;
- помочь ученику оценить свой потенциал
с точки зрения образовательной перспективы.
Данный курс рассчитан на 9 часов,
предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых
задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение
учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух
частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или
домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция,
объяснение, практическая работа.
Курс является открытым, в него можно
добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие – либо разделы
другими. Главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для
учащихся, соответствовали их возможностям.
Программа может быть эффективно
использована в 8 – 9 классах с любой степенью подготовленности, способствует
развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность
подготовиться к итоговой аттестации и к сознательному выбору профиля, и
дальнейшей специализации.
Учебно
– тематический план.
№
|
Наименование
тем курса
|
Всего
часов
|
В том числе
|
Форма
контроля
|
Лекция
|
Практика
|
Семинар
|
1
|
Приемы быстрого счета
|
2
|
0,5
|
0,5
|
1
|
Сам.раб..
|
2
|
Применение формул
сокращенного умножения
|
2
|
0,5
|
0,5
|
1
|
Сам.раб.
|
3
|
Алгоритм извлечения корней
|
1
|
0,5
|
0,5
|
|
|
4
|
Устное решение квадратных
уравнений
|
2
|
0,5
|
0,5
|
1
|
Сам.раб.
|
5
|
Специальные формулы для
вычислений
|
2
|
0,5
|
0,5
|
1
|
Пров.раб.
|
Содержание
программы.
Тема 1. Приемы быстрого
счета.(2 часа)
Умножение на 5; 50 и т.п. Умножение
на 25; 250 и т.п. Деление на 5 и 50. Деление на 25 и 250. Умножение на 155 и
175. Признаки делимости на 8,7,11,13.
Метод обучения: беседа, объяснение. Форма
контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.
Тема 2. Применение формул
сокращенного умножения (2 часа)
Нахождение значений числовых
выражений с помощью формул квадрата суммы, квадрата разности, разности
квадратов, их комбинаций.
Метод обучения: объяснение, практическая
работа. Форма контроля: самостоятельная работа.
Тема 3. Алгоритм извлечения
корней. (1 час)
Извлечения квадратного корня из
натурального числа. Применение данного алгоритма для извлечения корней из
рациональных чисел.
Метод обучения: беседа, практическая
работа. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.
Тема 4. Устное решение
квадратного уравнения.(2 часа)
Знакомство с приемами устного решения
квадратных уравнений, коэффициенты которого обладают некоторыми свойствами.
Метод обучения: выполнение тренировочных задач.
Форма контроля: самостоятельная работа.
Тема 5. Специальные формулы
для вычислений. (2 часа).
Знакомство со специальными формулами
для приближенных вычислений, вывод которых производится с помощью производной в
10 – 11 классах.
Метод обучения: беседа, практическая
работа.
Форма контроля: итоговая проверочная
работа.
Возможные критерии оценок.
Оценка «зачтено» - учащийся освоил идеи и
методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными
заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные
положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о
возрастании общих умений учащегося.
Оценка «не зачтено» - ученик не проявил ни
прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением
простых задач.
Литература
Литература для учителя:
1.Глейзер Г. И. История математики в
школе. – М.: Просвещение, 1982.
2. Перельман Я. И. Занимательная
арифметика. – М.: АСТ Астрель,2005.
3. Фридман Л. М. Изучаем математику.
– М.: просвещение,1995.
4. Цыпкин А.Г. Справочник по
математике.
5. Повышение вычислительной культуры
учащихся: пособие для учителя. – М.: Просвещение,1985.
6. Мельникова Т. П. Устное решение
квадратных уравнений //Математика.- № 10.- 1997. –
С.3.
Литература для ученика:
1.Алимов Ш.А., Колягин Ю. М., Сидоров
Ю. В. и др. Алгебра 7.- М.:Просвещение,1991.
2. Галицкий М. Л. И др. Сборник задач
по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики.- М.: Просвещение,1995.
3. Мордкович А.Г. , Тульчинская Е.
Е., Мишутина Т. Н. Алгебра 7 класс: Задачник для общеобразовательных
учреждений.- М.: Мнемозина,1997.
4.Ткачева М. В. Домашняя математика.-
М.: Просвещение,1994.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ
УЧИТЕЛЯ
Тема 1. Приемы быстрого счета.
I.
Лекция.
1. Умножение и деление на 4.
Чтобы число умножить на 4, его дважды
удваивают. Например: 213*4 = (213*2)*2 = 426*2 = 852.
Чтобы число разделить на 2, его
дважды делят на 2. Например: 124:4 = 124:2 = 62:2 = 31.
2.Умножение на 5.
Чтобы умножить число на 5, его нужно
умножить на 10 и разделить на 2. Например: 138*5 = (138*10):2 = 1380:2 = 690.
3. Деление на 5.
Чтобы разделить число на 5, нужно
умножить его на 0,2, т. е. в удвоенном исходном числе отделить запятой
последнюю цифру. Например: 345:5 = 345*0,2 = 694; 71:5 = 71*0,2 = 14.2.
4. Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, нужно его
умножить на 100 и разделить на 4. Например, 348*25 = 34800:4 = 8700,
5. Умножение на 1,5.
Чтобы умножить число на 1,5. нужно к
исходному числу прибавить его половину. Например: 24*105 = 24+12 = 36; 129*1,5
= 129+64,5 = 193,5.
6. Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, к нему
приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например: 241*9 = 2410-241 =
2169.
7. Умножение на 11.
Чтобы умножить число на11, к нему
приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например: 241*11 = 2410+241 =
2651.
8. Деление на 25.
Чтобы разделить число на 25, его
дважды удваивают и делят на 100. Например: 187:25 = (187*2)*2:100 = 374*2:100 =
748:100 = 7,48.
9. Умножение двузначных чисел,
близких к 100.
Если нужно перемножить два числа,
близких к 100 (например, 92 и 97) , то:
1) найдите число, которое в
сумме с данным числом дает 100, и запишите его под соответственным числом:
92
97
+ и
+
8 3;
2) вычтите из одного множителя
число. Которое недостает до 100 во втором множителе (92 – 3 = 89)4
3) к результату припишите
произведение чисел, дополняющих данные числа до 100 (8*3 = 24). Т. е. 92*97 =
8924. Если произведение представляет собой трехзначное число, то приписываются
две последние цифры произведения, а третья цифра прибавляется к разности.
Примеры:
1) 86*98; 86 – 2 = 84; 14*2 =
28. Ответ. 8428.
+ +
14 2.
2) 88*91; 88 – 9 = 79; 12*9 =
108. Ответ. 8008 (к 79 приписали
+ +
12 9
две последние цифры числа 108. а 1
добавили к разряду сотен).
10. Возведение в квадрат числа,
оканчивающегося цифрой 5.
Чтобы возвести в квадрат число,
оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на
число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу
приписывают 25. (6*7 = 42. Ответ. 4225).
II.
Практическая
работа.
Вычислите:
1) 446*5; 26,8*5; 52,67*5;
638*50; 46,72*500; 840*0,5; 69,4*0,05.
2) 88*25; 8,4*250; 28,4*0,25;
84,72*0,025.
3) 234:5; 83,2:5; 23102:5;
83,32:0,5; 324:0,05.
4) 1242:25; 212:0,25; 12,42:0,25.
5) 36*1,5; 59*1,5; 318*1,5.
6) 651*9; 13,48*9; 983*11;
22,56*11.
7) 95
; 125
.
Тема 2. Применение формул сокращенного
умножения.
I. Лекция.
1. Умножение по формуле (a-b)(a+b) = a
- b
.
Примеры: 1) 98*102 = (100-2)(100+2) =
100
- 2
=
10000-4 = 9996;
2) 43*37 =
(40+3)(40-3) = 40
-3
=1600-9
= 1591;
3) 94*96 =
(95-1)(95+1) = 95
-1
=
9025-1 = 9024.
2. Возведение в квадрат числа по
формулам (a+b)
= a
+2ab+b
и (a-b)
= a
-2ab+b
.
Этот способ удобен больше всего для
чисел, оканчивающихся цифрами 1,9,6,4.
Примеры: 1) 31
= (30+1)
= 30
+2*30*1+1
=
900+60+1 = 961;
2) 29
= (30-1)
= 30
-2*30*1+1
=
900-60+1 = 841;
3) 96
= (95+1)
=95
+2*95*1+1
=
9025+190+1 = 9216.
II. Практическая работа.
1. Вычислите: а) 71*69; б)
111*89; в) 6,6*6,4; г) 5,5*4,5.
2. Вычислите: а) 42
-37
; б) 54
-44
; в)
50,7
-50,6
; г)
29,4
-29,3
;
д) (6
)
-(5
)
; е) (7
)
- (4
)
.
3. Вычислите: а)72
: б) 57
; в)
997
; г) 1001
4. Вычислите: а)
; б)
; в)
.
Тема 3. Алгоритм извлечения
квадратного корня из натурального числа.
I. Лекция.
Пусть требуется вычислить
. Число33489 разобьем на группы цифр (по
две цифры), двигаясь, справа налево: 3 34 89. Ищем наибольшее число, квадрат
которого не превосходит числа 3, стоящего в первой группе цифр. Этим числом
будет 1. Записываем его в ответ. Возводим 1 в квадрат и вычитаем из числа 3. К
полученной разности приписываем вторую группу цифр. Получаем число 234.
Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 1), и
приписываем к полученному числу справа такую наибольшую цифру, чтобы
произведение полученного двузначного числа на эту цифру не превосходило 234. В
нашем случае это будет цифра 8: 28*8 =224 < 234. Пишем цифру 8 вслед за цифрой
1 в ответ. Из числа 234 вычитаем число 224 и к полученной разности приписываем
последнюю группу цифр. Получаем число 1089. Удваиваем число, которое было
записано в ответ (в нашем случае 18), и приписываем справа к полученному числу
(в нашем случае числу 36) такую наибольшую цифру, чтобы произведение
полученного трехзначного числа не превосходило числа 1089. В нашем случае этой
цифрой будет цифра 3: 363*3 = 1089. Записываем цифру 3 в ответ. Процедура
извлечения квадратного корня завершена.
=
183.
Обычно описанную процедуру записывают
в виде следующей схемы:
II. Практическая работа:
1. Вычислите:
а)
; б)
; в)
; г)
.
2. Вычислите:
а)
; б)
; в)
.
Тема 4. Устное решение
квадратного уравнения.
I. Лекция.
1. Приведенные квадратные
уравнения.
Как известно, приведенное
квадратное уравнение имеет вид
x
+ px + q = 0. его корни удовлетворяют Теореме Виета, которая при a = 1 имеет вид:
x
x
= q,
x
+ x
= - p.
Отсюда можно сделать следующие
выводы:
1. Если в уравнении последним
знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего
корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении. Поэтому для
нахождения корней такого уравнения необходимо выполнить следующие действия:
1) найти такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p$
2) поставить перед меньшим из
найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный
знак.
Пример 1. Решить уравнение x
– 2x – 15 = 0 .
Решение. Из всех множителей числа 15
(1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это числа 3 и 5. Перед
меньшим числом ставим второй знак уравнения, т. е. «минус». Таким образом, x
= -3, x
= 5.
Пример 2. Решить уравнение x
+ 10x – 24 = 0.
Решение. Так как 24 = 1*24 = 2*12 =
3*8 = 4*6 и 10 = 12 – 2, то x
=2, x
= -12.
Пример 3. Решить уравнение: x
– 4x -77 = 0.
Решение. Имеем, 77 = 7*11 и 11 – 7 =
4, следовательно, x
= - 7, x
= 11.
2. Если в уравнении последним
знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные
второму знаку уравнения.
Полезно иметь в виду следующее
правило: если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус».
Чтобы найти эти корни, нужно найти такие множители свободного члена, чтобы их
сумма была равна p.
Пример 1. Решить уравнение: x
+7x + 12 = 0.
Решение. Так как 12 = 1*12 = 2*6 =
3*4 и 3+4 = 7, а в уравнении два «плюса», то ответом являются x
= -3, x
= -4.
Пример 2. Решить уравнение: x
– 9x + 14 = 0.
Решение. Имеем 14 = 2*7 и 2+7 = 9.
Значит, x
=2,x
=7.
2. Неприведенные квадратные
уравнения.
ax
+ bx +c = 0 ( a > 0). Корни уравнения
имеют вид x
=
, x
=
, где и находятся по
следующему правилу:
1) Произведение mn равно произведению ac , а действие, указанное последним
знаком уравнения, для чисел m и n дает второй коэффициент b;
2) знаки m и n определяются следующим образом: если в уравнении два
«плюса», то m и n отрицательны; если в уравнении
последний знак «минус», то меньшему из чисел m и n
присваивают второй знак уравнения.
Пример 1. Решить уравнение: 5x
+ 12x + 4 = 0.
Решение. Найдем такие два
числа, произведение которых равно 5*4 = 20, а сумма равна 12. Это числа 2 и 10.
Поскольку в уравнении два «плюса», искомые числители дробей отрицательны: -2 и -10.
Знаменателем дробей является первый коэффициент 5. Итак, x
= -
,
x
= -
=
-2.
Пример 2. Решить уравнение. 7x
– 4x – 11 = 0.
Решение. Найдем числа,
произведение которых равно 7*11 = 77, а разность равна 4. Это числа 7 и 11.
меньшее из них должно иметь знак «минус», т. е. искомые числители дробей равны
-7 и 11, а в знаменателе первый коэффициент 7. Таким образом, x
= -
= -1, x
=
.
Следует обратить внимание на то, что
очень часто встречаются уравнения, в которых искомые числители дробей
представляют собой первый и последний коэффициенты данного уравнения, тогда
поиск корней значительно упрощается.
Пример 3. Решить уравнение: 67x
– 75x + 8 = 0.
Решение. Замечаем, что 67 + 8 =
75, следовательно, x
=
= 1, x
=
.
3.Частные случаи решения
квадратных уравнений.
1) Если a+b+c = 0, то x
= 1, x
=
.
Например, 2х
+ 3х – 5 = 0,
2+3-5 = 0.Значит, х
= 1, х
=
-
.
2) Если a-b+c = 0, то х
= -1, х
= -
. Например. 2х
+ 3х +
1 = 0, 2-3+1 = 0. Значит, х
= -1, х
= -
.
3) Если a = c = n, b = n
+ 1, то x
= -n, x
= -
. Например, 2х
+
5х +2 = 0
х
= -2, х
= -
.
II. Практическая работа.
1) Решите уравнение: а) 3х
-5х+2 = 0; б) х
+7х-30
=0; в) 4х
+9х+2 = 0; г) 2х
+3х+1 = 0; д) 3х
-20х-52
= 0; е) 5х
+9х-14 = 0; ж) х
+2х-15
= 0.
2) Пусть х
< х
–
корни квадратного уравнения 2004х
+2005х+1 = 0.Найдите
значение величины х
х
+2005х
+х
.
Тема 5. Специальные формулы
для вычислений.
I.
Лекция.
1. Если а много меньше 0,05, то
в первом приближении можно принять:
=
1-а;
= 1+а;
(1+а)
=
1+2а; (1 - а)
= 1 – 2а;
(1 + а)
= 1+
3а; (1- а)
= 1 – 3а;
= 1 +
а;
= 1 -
а;
Например. 1) (1,002)
= (1+0,002) 
1 +2*0,002 = 1,004;
2) (0,997)
= (1 – 0,003)
1 – 2*0,003 = 0,994.
2. Если а, в, с меньше 0,05, то (1 +
а)(1 + в)(1 +с) = 1 +а +в +с.
(1 - а)(1 - в)(1 -с) = 1 – а – в –
с.
3. Если а и в мало отличаются друг от
друга, то в первом приближении можно принять:
=
(а + в):2.
4.Если угол
<
5
или
<
0,1рад и выражен в радианах, то в первом приближении можно принять:
sin
= tq
=
; cos
= 1.
II. Проверочная работа (45 минут).

Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.