Элективный курс "Вычисляем без таблиц и калькулятора" 9 класс

 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данный курс поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса. Представленная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения, и которым захочется глубже познакомиться с ее методами и идеями.

Современный уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических знаний. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, являются составной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста и др. Умение считать является непременным элементом политехнического образования.

Задания, включенные в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, подразумевают умение быстро выполнять вычисления, не применяя калькулятор. Однако, результаты экзаменов показывают, что большинство учащихся не умеют правильно и быстро выполнять задания вычислительного характера.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти  бесконтрольно. Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Поэтому важнейшей задачей учителя является  вооружение учеников способами и алгоритмами быстрого, рационального, устного счета.

Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу  и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых каждому члену современного общества, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей. Ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

·        восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность;

·        показать некоторые нестандартные приемы устных вычислений;

·        помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им  с точки зрения дальнейшей перспективы;

·        формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

Задачи курса:

- научить приемам быстрого счета;

- развивать навыки применения формул сокращенного умножения к вычислениям;

- научить вычислять квадратные корни без таблиц и калькулятора;

- научить устно решать некоторые виды квадратных уравнений;

- повысить вычислительную культуру учащихся;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 9 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые  с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие – либо разделы другими. Главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям.

Программа может быть эффективно использована в 8 – 9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к итоговой аттестации и к сознательному выбору профиля, и дальнейшей специализации.

Учебно – тематический план.

№	Наименование тем курса	Всего  часов	В том числе			Форма  контроля
			Лекция	Практика	Семинар
1	Приемы быстрого счета	2	0,5	0,5	1	Сам.раб..
2	Применение формул сокращенного умножения	2	0,5	0,5	1	Сам.раб.
3	Алгоритм извлечения корней	1	0,5	0,5
4	Устное решение квадратных уравнений	2	0,5	0,5	1	Сам.раб.
5	Специальные формулы для вычислений	2	0,5	0,5	1	Пров.раб.

Содержание программы.

Тема 1. Приемы быстрого счета.(2 часа)

Умножение на 5; 50 и т.п. Умножение на 25; 250 и т.п. Деление на 5 и 50. Деление на 25 и 250. Умножение на 155 и 175. Признаки делимости на 8,7,11,13.

Метод обучения: беседа, объяснение. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Применение формул сокращенного умножения (2 часа)

Нахождение значений числовых выражений с помощью формул квадрата суммы, квадрата разности, разности квадратов, их комбинаций.

Метод обучения: объяснение, практическая работа. Форма контроля: самостоятельная работа.

Тема 3. Алгоритм извлечения корней. (1 час)

Извлечения квадратного корня из натурального числа. Применение данного алгоритма для извлечения корней из рациональных чисел.

Метод обучения: беседа, практическая работа. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 4. Устное решение квадратного уравнения.(2 часа)

Знакомство с приемами устного решения квадратных уравнений, коэффициенты которого обладают некоторыми свойствами.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач. Форма контроля: самостоятельная работа.

Тема 5. Специальные формулы для вычислений. (2 часа).

Знакомство со специальными формулами для приближенных вычислений, вывод которых производится с помощью производной в 10 – 11 классах.

Метод обучения: беседа, практическая работа.

Форма контроля: итоговая проверочная работа.

Возможные критерии оценок.

Оценка «зачтено» - учащийся освоил идеи  и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «не зачтено» - ученик не проявил  ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.

Литература

 Литература для учителя:

1.Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. – М.: АСТ Астрель,2005.

3. Фридман Л. М. Изучаем математику. – М.: просвещение,1995.

4. Цыпкин А.Г. Справочник по математике.

5. Повышение вычислительной культуры учащихся: пособие для учителя. – М.: Просвещение,1985.

6. Мельникова Т. П. Устное решение квадратных уравнений                        //Математика.-  № 10.-  1997. – С.3.

Литература для ученика:

1.Алимов Ш.А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. и др. Алгебра 7.- М.:Просвещение,1991.

2. Галицкий М. Л. И др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся  школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение,1995.

3. Мордкович А.Г. , Тульчинская Е. Е., Мишутина Т. Н. Алгебра 7 класс: Задачник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина,1997.

4.Ткачева М. В. Домашняя математика.- М.: Просвещение,1994.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Тема 1. Приемы быстрого счета.

I.                   Лекция.

1.     Умножение и деление на 4.

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают. Например: 213*4 = (213*2)*2 = 426*2 = 852.

Чтобы число разделить на  2, его дважды делят на 2. Например: 124:4 = 124:2 = 62:2 = 31.

2.Умножение на 5.

Чтобы умножить число на 5, его нужно умножить на 10 и разделить на 2. Например: 138*5 = (138*10):2 = 1380:2 = 690.

3. Деление на 5.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить его на 0,2, т. е. в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например: 345:5 = 345*0,2 = 694;  71:5 = 71*0,2 = 14.2.

4. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100 и разделить на 4. Например, 348*25 = 34800:4 = 8700,

5. Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5. нужно к исходному числу прибавить его половину. Например: 24*105 = 24+12 = 36;  129*1,5 = 129+64,5 = 193,5.

6. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например: 241*9 = 2410-241 = 2169.

7. Умножение на 11.

Чтобы умножить число на11, к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например: 241*11 = 2410+241 = 2651.

8. Деление на 25.

Чтобы разделить число на 25, его дважды удваивают и делят на 100. Например: 187:25 = (187*2)*2:100 = 374*2:100 = 748:100 = 7,48.

9. Умножение двузначных чисел, близких к 100.

Если нужно перемножить два числа, близких к 100 (например, 92 и 97) , то:

1)    найдите число, которое в сумме с данным числом дает 100, и запишите его под соответственным числом:

92                                                                              97

+            и                       +

8                                     3;

 2) вычтите из одного множителя число. Которое недостает до 100 во втором множителе (92 – 3 = 89)4

3) к результату припишите произведение чисел, дополняющих данные числа до  100  (8*3 = 24). Т. е. 92*97 = 8924. Если произведение представляет собой трехзначное число, то приписываются две последние цифры произведения, а третья цифра прибавляется к разности.

Примеры:

1) 86*98;     86 – 2 =  84; 14*2 = 28.  Ответ. 8428.

     +     +

   14      2.

2) 88*91;  88 – 9 = 79;   12*9 = 108.  Ответ. 8008 (к 79 приписали  

      +    +

     12    9

две последние цифры числа 108. а 1 добавили к разряду сотен).

10. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25. (6*7 = 42. Ответ. 4225).

II.                Практическая работа.

        Вычислите:

1)    446*5; 26,8*5; 52,67*5; 638*50;  46,72*500; 840*0,5; 69,4*0,05.

2)    88*25; 8,4*250; 28,4*0,25; 84,72*0,025.

3)    234:5; 83,2:5; 23102:5; 83,32:0,5; 324:0,05.

4)    1242:25; 212:0,25; 12,42:0,25.

5)    36*1,5;  59*1,5; 318*1,5.

6)    651*9; 13,48*9; 983*11; 22,56*11.

7)    95; 125.

Тема 2. Применение формул сокращенного умножения.

I. Лекция.

1.     Умножение по формуле (a-b)(a+b) = a - b.

Примеры: 1) 98*102 = (100-2)(100+2) = 100- 2 = 10000-4 = 9996;

                  2) 43*37 = (40+3)(40-3) = 40-3 =1600-9 = 1591;

                 3) 94*96 = (95-1)(95+1) = 95-1 = 9025-1 = 9024.

2. Возведение в квадрат числа по формулам  (a+b)  = a+2ab+b  и  (a-b)  = a-2ab+b.

  Этот способ удобен больше всего для чисел, оканчивающихся цифрами 1,9,6,4.

    Примеры:   1)  31 = (30+1)  = 30+2*30*1+1 = 900+60+1 = 961;

                        2) 29 = (30-1)  = 30-2*30*1+1 = 900-60+1 = 841;

                         3) 96 = (95+1)  =95+2*95*1+1 = 9025+190+1 = 9216.

 II. Практическая работа.

1.     Вычислите: а) 71*69; б) 111*89; в) 6,6*6,4; г) 5,5*4,5.

2.     Вычислите: а) 42-37; б) 54-44; в) 50,7-50,6; г) 29,4-29,3;

            д) (6)-(5); е) (7)- (4).

     3. Вычислите:  а)72: б) 57; в) 997; г) 1001

      4. Вычислите: а)   ;  б) ; в) .

 Тема 3. Алгоритм извлечения квадратного корня из натурального числа.

    I. Лекция.

       Пусть требуется вычислить . Число33489 разобьем на группы цифр (по две цифры), двигаясь, справа налево: 3  34   89. Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 3, стоящего в первой группе цифр. Этим числом будет 1. Записываем его в ответ. Возводим 1 в квадрат и вычитаем из числа 3. К полученной разности приписываем вторую группу цифр. Получаем число 234. Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 1), и приписываем к полученному числу справа такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного двузначного числа  на эту цифру не превосходило 234. В нашем случае это будет цифра 8: 28*8 =224 < 234. Пишем цифру 8 вслед за цифрой 1 в ответ. Из числа  234 вычитаем число 224 и к полученной разности приписываем последнюю группу цифр. Получаем число 1089. Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 18), и приписываем справа к полученному числу (в нашем случае числу 36) такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного трехзначного числа не превосходило числа 1089. В нашем случае  этой цифрой будет цифра 3: 363*3 = 1089. Записываем цифру 3 в ответ. Процедура извлечения квадратного корня завершена.    = 183.

Обычно описанную процедуру записывают в виде следующей схемы:

II. Практическая работа:

1.     Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Вычислите:

 а) ; б) ; в) .

Тема 4. Устное решение квадратного уравнения.

I. Лекция.

1.     Приведенные квадратные уравнения.

  Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

         x + px + q = 0. его корни удовлетворяют Теореме Виета, которая при  a = 1 имеет вид:

                      xx = q,

                      x + x = - p.

Отсюда можно сделать следующие выводы:

1.     Если в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении. Поэтому для нахождения корней такого уравнения необходимо выполнить следующие действия:

1)    найти такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p$

2)    поставить перед меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример 1. Решить уравнение x – 2x – 15 = 0 .

Решение. Из всех множителей числа 15  (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнения, т. е. «минус». Таким образом, x = -3, x = 5.

Пример 2. Решить уравнение x + 10x – 24 = 0.

Решение. Так как 24 = 1*24 = 2*12 = 3*8 = 4*6 и 10 = 12 – 2, то x =2, x = -12.

Пример 3. Решить уравнение:  x – 4x -77 = 0.

Решение. Имеем, 77 = 7*11 и 11 – 7 = 4, следовательно, x = - 7, x= 11.

2.     Если в уравнении последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения.

 Полезно иметь в виду следующее правило: если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют  знак «минус». Чтобы найти эти корни, нужно найти такие множители свободного члена, чтобы их сумма была равна p.

Пример 1. Решить уравнение:  x+7x + 12 = 0.

Решение. Так как 12 = 1*12 = 2*6 = 3*4 и 3+4 = 7, а в уравнении два «плюса», то ответом являются x = -3, x = -4.

Пример 2. Решить уравнение: x – 9x + 14 = 0.

Решение. Имеем 14 = 2*7 и 2+7 = 9. Значит, x =2,x =7.

2. Неприведенные квадратные уравнения.

ax + bx +c = 0 ( a  >  0). Корни уравнения имеют вид x =  , x =, где    и    находятся по следующему правилу:

1)    Произведение mn  равно произведению ac , а действие, указанное последним знаком уравнения, для чисел m и n дает второй коэффициент  b;

2)    знаки m и n определяются следующим образом: если в уравнении два «плюса», то m и n  отрицательны; если в уравнении последний знак «минус», то меньшему из чисел m и n  присваивают второй знак уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: 5x + 12x + 4 = 0.

      Решение. Найдем такие два числа, произведение которых равно 5*4 = 20, а сумма равна 12. Это числа 2 и 10. Поскольку в уравнении два «плюса», искомые числители дробей отрицательны: -2 и -10. Знаменателем дробей является первый коэффициент 5. Итак, x = -, x = - = -2.

Пример 2. Решить уравнение. 7x – 4x – 11 = 0.

    Решение. Найдем числа, произведение которых равно 7*11 = 77, а разность равна 4. Это числа 7 и 11. меньшее из них должно иметь знак «минус», т. е. искомые  числители дробей равны -7 и 11, а в знаменателе первый коэффициент 7. Таким образом, x = -  = -1, x = .

Следует обратить внимание на то, что очень часто встречаются уравнения, в которых искомые числители дробей представляют собой первый и последний коэффициенты данного уравнения, тогда поиск корней значительно упрощается.

Пример 3. Решить уравнение: 67x – 75x + 8 = 0.

    Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно, x =  = 1, x= .

3.Частные случаи решения квадратных уравнений.

1) Если a+b+c = 0, то x = 1, x = . Например, 2х + 3х – 5 = 0,                          2+3-5 = 0.Значит, х = 1, х= - .

2) Если a-b+c = 0, то х = -1, х = - . Например. 2х + 3х + 1 = 0,                    2-3+1 = 0. Значит, х = -1, х = - .

3) Если a = c = n, b = n + 1,  то   x = -n, x = - . Например, 2х + 5х +2 = 0           

х = -2, х = - .

II. Практическая работа.

1)    Решите уравнение: а) 3х-5х+2 = 0; б) х +7х-30 =0;  в) 4х+9х+2 = 0;               г) 2х+3х+1 = 0; д)  3х-20х-52 = 0; е) 5х+9х-14 = 0; ж) х+2х-15 = 0.

2)    Пусть х<  х – корни квадратного уравнения 2004х+2005х+1 = 0.Найдите значение величины хх+2005х+х.

Тема 5. Специальные формулы для вычислений.

I.                   Лекция.

1.     Если а много меньше 0,05, то в первом приближении можно принять:

  = 1-а;     = 1+а;

(1+а) = 1+2а;    (1 - а) = 1 – 2а;

(1 + а) = 1+ 3а;   (1- а)  = 1 – 3а;

 = 1 + а;      = 1 - а;

Например.  1) (1,002) = (1+0,002)  1 +2*0,002 = 1,004;

                    2) (0,997)  = (1 – 0,003)   1 – 2*0,003 = 0,994.

2. Если а, в, с меньше 0,05, то (1 + а)(1 + в)(1 +с) = 1 +а +в +с.

(1 - а)(1 - в)(1 -с) =  1 – а – в – с.

3. Если а и в мало отличаются друг от друга, то в первом приближении можно принять:

            = (а + в):2.

4.Если угол < 5 или < 0,1рад и выражен в радианах, то в первом приближении можно принять:

sin = tq = ;   cos = 1.

II. Проверочная работа (45 минут).