Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс "Вычисляем без таблиц и калькулятора" 9 класс

Элективный курс "Вычисляем без таблиц и калькулятора" 9 класс

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Данный курс поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса. Представленная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения, и которым захочется глубже познакомиться с ее методами и идеями.

Современный уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических знаний. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, являются составной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста и др. Умение считать является непременным элементом политехнического образования.

Задания, включенные в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, подразумевают умение быстро выполнять вычисления, не применяя калькулятор. Однако, результаты экзаменов показывают, что большинство учащихся не умеют правильно и быстро выполнять задания вычислительного характера.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Поэтому важнейшей задачей учителя является вооружение учеников способами и алгоритмами быстрого, рационального, устного счета.

Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых каждому члену современного общества, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей. Ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.



Цели курса:

  • восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность;

  • показать некоторые нестандартные приемы устных вычислений;

  • помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы;

  • формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.


Задачи курса:

- научить приемам быстрого счета;

- развивать навыки применения формул сокращенного умножения к вычислениям;

- научить вычислять квадратные корни без таблиц и калькулятора;

- научить устно решать некоторые виды квадратных уравнений;

- повысить вычислительную культуру учащихся;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.


Данный курс рассчитан на 9 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие – либо разделы другими. Главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям.

Программа может быть эффективно использована в 8 – 9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к итоговой аттестации и к сознательному выбору профиля, и дальнейшей специализации.



Учебно – тематический план.


Наименование

тем курса

Всего

часов

В том числе

Форма

контроля

Лекция

Практика

Семинар

1

Приемы быстрого счета

2

0,5

0,5

1

Сам.раб..

2

Применение формул сокращенного умножения

2

0,5

0,5

1

Сам.раб.

3

Алгоритм извлечения корней

1

0,5

0,5



4

Устное решение квадратных уравнений

2

0,5

0,5

1

Сам.раб.

5

Специальные формулы для вычислений

2

0,5

0,5

1

Пров.раб.


Содержание программы.

Тема 1. Приемы быстрого счета.(2 часа)

Умножение на 5; 50 и т.п. Умножение на 25; 250 и т.п. Деление на 5 и 50. Деление на 25 и 250. Умножение на 155 и 175. Признаки делимости на 8,7,11,13.

Метод обучения: беседа, объяснение. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Применение формул сокращенного умножения (2 часа)

Нахождение значений числовых выражений с помощью формул квадрата суммы, квадрата разности, разности квадратов, их комбинаций.

Метод обучения: объяснение, практическая работа. Форма контроля: самостоятельная работа.

Тема 3. Алгоритм извлечения корней. (1 час)

Извлечения квадратного корня из натурального числа. Применение данного алгоритма для извлечения корней из рациональных чисел.

Метод обучения: беседа, практическая работа. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 4. Устное решение квадратного уравнения.(2 часа)

Знакомство с приемами устного решения квадратных уравнений, коэффициенты которого обладают некоторыми свойствами.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач. Форма контроля: самостоятельная работа.

Тема 5. Специальные формулы для вычислений. (2 часа).

Знакомство со специальными формулами для приближенных вычислений, вывод которых производится с помощью производной в 10 – 11 классах.

Метод обучения: беседа, практическая работа.

Форма контроля: итоговая проверочная работа.



Возможные критерии оценок.

Оценка «зачтено» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «не зачтено» - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.


Литература

Литература для учителя:

1.Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: Просвещение, 1982.

2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика. – М.: АСТ Астрель,2005.

3. Фридман Л. М. Изучаем математику. – М.: просвещение,1995.

4. Цыпкин А.Г. Справочник по математике.

5. Повышение вычислительной культуры учащихся: пособие для учителя. – М.: Просвещение,1985.

6. Мельникова Т. П. Устное решение квадратных уравнений //Математика.- № 10.- 1997. – С.3.

Литература для ученика:

1.Алимов Ш.А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. и др. Алгебра 7.- М.:Просвещение,1991.

2. Галицкий М. Л. И др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение,1995.

3. Мордкович А.Г. , Тульчинская Е. Е., Мишутина Т. Н. Алгебра 7 класс: Задачник для общеобразовательных учреждений.- М.: Мнемозина,1997.

4.Ткачева М. В. Домашняя математика.- М.: Просвещение,1994.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Тема 1. Приемы быстрого счета.

  1. Лекция.

  1. Умножение и деление на 4.

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают. Например: 213*4 = (213*2)*2 = 426*2 = 852.

Чтобы число разделить на 2, его дважды делят на 2. Например: 124:4 = 124:2 = 62:2 = 31.

2.Умножение на 5.

Чтобы умножить число на 5, его нужно умножить на 10 и разделить на 2. Например: 138*5 = (138*10):2 = 1380:2 = 690.

3. Деление на 5.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить его на 0,2, т. е. в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например: 345:5 = 345*0,2 = 694; 71:5 = 71*0,2 = 14.2.

4. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100 и разделить на 4. Например, 348*25 = 34800:4 = 8700,

5. Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5. нужно к исходному числу прибавить его половину. Например: 24*105 = 24+12 = 36; 129*1,5 = 129+64,5 = 193,5.

6. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например: 241*9 = 2410-241 = 2169.

7. Умножение на 11.

Чтобы умножить число на11, к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число. Например: 241*11 = 2410+241 = 2651.

8. Деление на 25.

Чтобы разделить число на 25, его дважды удваивают и делят на 100. Например: 187:25 = (187*2)*2:100 = 374*2:100 = 748:100 = 7,48.

9. Умножение двузначных чисел, близких к 100.

Если нужно перемножить два числа, близких к 100 (например, 92 и 97) , то:

    1. найдите число, которое в сумме с данным числом дает 100, и запишите его под соответственным числом:

  1. 97

+ и +

8 3;

2) вычтите из одного множителя число. Которое недостает до 100 во втором множителе (92 – 3 = 89)4

3) к результату припишите произведение чисел, дополняющих данные числа до 100 (8*3 = 24). Т. е. 92*97 = 8924. Если произведение представляет собой трехзначное число, то приписываются две последние цифры произведения, а третья цифра прибавляется к разности.

Примеры:

1) 86*98; 86 – 2 = 84; 14*2 = 28. Ответ. 8428.

+ +

14 2.

2) 88*91; 88 – 9 = 79; 12*9 = 108. Ответ. 8008 (к 79 приписали

+ +

12 9

две последние цифры числа 108. а 1 добавили к разряду сотен).

10. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25. (6*7 = 42. Ответ. 4225).

  1. Практическая работа.

Вычислите:

    1. 446*5; 26,8*5; 52,67*5; 638*50; 46,72*500; 840*0,5; 69,4*0,05.

    2. 88*25; 8,4*250; 28,4*0,25; 84,72*0,025.

    3. 234:5; 83,2:5; 23102:5; 83,32:0,5; 324:0,05.

    4. 1242:25; 212:0,25; 12,42:0,25.

    5. 36*1,5; 59*1,5; 318*1,5.

    6. 651*9; 13,48*9; 983*11; 22,56*11.

    7. 95hello_html_4fbf37b8.gif; 125hello_html_4fbf37b8.gif.


Тема 2. Применение формул сокращенного умножения.

I. Лекция.

  1. Умножение по формуле (a-b)(a+b) = ahello_html_4fbf37b8.gif - bhello_html_4fbf37b8.gif.

Примеры: 1) 98*102 = (100-2)(100+2) = 100hello_html_4fbf37b8.gif- 2hello_html_4fbf37b8.gif = 10000-4 = 9996;

2) 43*37 = (40+3)(40-3) = 40hello_html_4fbf37b8.gif-3hello_html_4fbf37b8.gif =1600-9 = 1591;

3) 94*96 = (95-1)(95+1) = 95hello_html_4fbf37b8.gif-1hello_html_4fbf37b8.gif = 9025-1 = 9024.

2. Возведение в квадрат числа по формулам (a+b) hello_html_4fbf37b8.gif = ahello_html_4fbf37b8.gif+2ab+bhello_html_4fbf37b8.gif и (a-b) hello_html_4fbf37b8.gif = ahello_html_4fbf37b8.gif-2ab+bhello_html_4fbf37b8.gif.

Этот способ удобен больше всего для чисел, оканчивающихся цифрами 1,9,6,4.

Примеры: 1) 31hello_html_4fbf37b8.gif = (30+1) hello_html_4fbf37b8.gif = 30hello_html_4fbf37b8.gif+2*30*1+1hello_html_4fbf37b8.gif = 900+60+1 = 961;

2) 29hello_html_4fbf37b8.gif = (30-1) hello_html_4fbf37b8.gif = 30hello_html_4fbf37b8.gif-2*30*1+1hello_html_4fbf37b8.gif = 900-60+1 = 841;

3) 96hello_html_4fbf37b8.gif = (95+1) hello_html_4fbf37b8.gif =95hello_html_4fbf37b8.gif+2*95*1+1hello_html_4fbf37b8.gif = 9025+190+1 = 9216.

II. Практическая работа.

  1. Вычислите: а) 71*69; б) 111*89; в) 6,6*6,4; г) 5,5*4,5.

  2. Вычислите: а) 42hello_html_4fbf37b8.gif-37hello_html_4fbf37b8.gif; б) 54hello_html_4fbf37b8.gif-44hello_html_4fbf37b8.gif; в) 50,7hello_html_4fbf37b8.gif-50,6hello_html_4fbf37b8.gif; г) 29,4hello_html_4fbf37b8.gif-29,3hello_html_4fbf37b8.gif;

д) (6hello_html_a7084f8.gif)hello_html_4fbf37b8.gif-(5hello_html_m51ce4be7.gif)hello_html_4fbf37b8.gif; е) (7hello_html_m7a8fcb94.gif)hello_html_4fbf37b8.gif- (4hello_html_m721cd1df.gif)hello_html_4fbf37b8.gif.

3. Вычислите: а)72hello_html_4fbf37b8.gif: б) 57hello_html_4fbf37b8.gif; в) 997hello_html_4fbf37b8.gif; г) 1001hello_html_4fbf37b8.gif

4. Вычислите: а) hello_html_m466cc27e.gif; б) hello_html_1cd57f0b.gif; в) hello_html_70cf75f5.gif.




Тема 3. Алгоритм извлечения квадратного корня из натурального числа.

I. Лекция.

Пусть требуется вычислить hello_html_m6ca3ab67.gif. Число33489 разобьем на группы цифр (по две цифры), двигаясь, справа налево: 3 34 89. Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 3, стоящего в первой группе цифр. Этим числом будет 1. Записываем его в ответ. Возводим 1 в квадрат и вычитаем из числа 3. К полученной разности приписываем вторую группу цифр. Получаем число 234. Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 1), и приписываем к полученному числу справа такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту цифру не превосходило 234. В нашем случае это будет цифра 8: 28*8 =224 < 234. Пишем цифру 8 вслед за цифрой 1 в ответ. Из числа 234 вычитаем число 224 и к полученной разности приписываем последнюю группу цифр. Получаем число 1089. Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 18), и приписываем справа к полученному числу (в нашем случае числу 36) такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного трехзначного числа не превосходило числа 1089. В нашем случае этой цифрой будет цифра 3: 363*3 = 1089. Записываем цифру 3 в ответ. Процедура извлечения квадратного корня завершена. hello_html_m6ca3ab67.gif = 183.

Обычно описанную процедуру записывают в виде следующей схемы:





II. Практическая работа:

  1. Вычислите:

а) hello_html_m62ec7157.gif; б) hello_html_33fb22e.gif; в) hello_html_m5eb2f2ea.gif; г) hello_html_m6ca29636.gif.

2. Вычислите:

а) hello_html_m5300420.gif; б) hello_html_16e4d4c.gif; в) hello_html_m428eddcd.gif.

Тема 4. Устное решение квадратного уравнения.

I. Лекция.

  1. Приведенные квадратные уравнения.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

xhello_html_4fbf37b8.gif + px + q = 0. его корни удовлетворяют Теореме Виета, которая при a = 1 имеет вид:

hello_html_m53d4ecad.gifxhello_html_m34745add.gifxhello_html_m4bcd60e4.gif = q,

xhello_html_m34745add.gif + xhello_html_m4bcd60e4.gif = - p.

Отсюда можно сделать следующие выводы:

  1. Если в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении. Поэтому для нахождения корней такого уравнения необходимо выполнить следующие действия:

  1. найти такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p$

  2. поставить перед меньшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

Пример 1. Решить уравнение xhello_html_4fbf37b8.gif – 2x – 15 = 0 .

Решение. Из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнения, т. е. «минус». Таким образом, xhello_html_m34745add.gif= -3, xhello_html_m79206761.gif = 5.

Пример 2. Решить уравнение xhello_html_4fbf37b8.gif + 10x – 24 = 0.

Решение. Так как 24 = 1*24 = 2*12 = 3*8 = 4*6 и 10 = 12 – 2, то xhello_html_m34745add.gif =2, x hello_html_m4bcd60e4.gif= -12.

Пример 3. Решить уравнение: xhello_html_4fbf37b8.gif – 4x -77 = 0.

Решение. Имеем, 77 = 7*11 и 11 – 7 = 4, следовательно, xhello_html_m34745add.gif = - 7, xhello_html_m79206761.gif= 11.

  1. Если в уравнении последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположные второму знаку уравнения.

Полезно иметь в виду следующее правило: если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус». Чтобы найти эти корни, нужно найти такие множители свободного члена, чтобы их сумма была равна p.

Пример 1. Решить уравнение: xhello_html_4fbf37b8.gif+7x + 12 = 0.

Решение. Так как 12 = 1*12 = 2*6 = 3*4 и 3+4 = 7, а в уравнении два «плюса», то ответом являются xhello_html_m34745add.gif = -3, xhello_html_m4bcd60e4.gif = -4.

Пример 2. Решить уравнение: xhello_html_4fbf37b8.gif – 9x + 14 = 0.

Решение. Имеем 14 = 2*7 и 2+7 = 9. Значит, xhello_html_m34745add.gif =2,xhello_html_m4bcd60e4.gif =7.

2. Неприведенные квадратные уравнения.

axhello_html_4fbf37b8.gif + bx +c = 0 ( a > 0). Корни уравнения имеют вид x hello_html_m34745add.gif= hello_html_27a616dc.gif , xhello_html_m4bcd60e4.gif =hello_html_6c717943.gif, где и находятся по следующему правилу:

  1. Произведение mn равно произведению ac , а действие, указанное последним знаком уравнения, для чисел m и n дает второй коэффициент b;

  2. знаки m и n определяются следующим образом: если в уравнении два «плюса», то m и n отрицательны; если в уравнении последний знак «минус», то меньшему из чисел m и n присваивают второй знак уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: 5xhello_html_4fbf37b8.gif + 12x + 4 = 0.

Решение. Найдем такие два числа, произведение которых равно 5*4 = 20, а сумма равна 12. Это числа 2 и 10. Поскольку в уравнении два «плюса», искомые числители дробей отрицательны: -2 и -10. Знаменателем дробей является первый коэффициент 5. Итак, xhello_html_m34745add.gif = -hello_html_m6c6298ec.gif, xhello_html_m4bcd60e4.gif = -hello_html_4518aaa.gif = -2.

Пример 2. Решить уравнение. 7xhello_html_4fbf37b8.gif – 4x – 11 = 0.

Решение. Найдем числа, произведение которых равно 7*11 = 77, а разность равна 4. Это числа 7 и 11. меньшее из них должно иметь знак «минус», т. е. искомые числители дробей равны -7 и 11, а в знаменателе первый коэффициент 7. Таким образом, xhello_html_m34745add.gif = - hello_html_af806a7.gif = -1, xhello_html_m4bcd60e4.gif = hello_html_70a76cd3.gif.

Следует обратить внимание на то, что очень часто встречаются уравнения, в которых искомые числители дробей представляют собой первый и последний коэффициенты данного уравнения, тогда поиск корней значительно упрощается.

Пример 3. Решить уравнение: 67xhello_html_4fbf37b8.gif – 75x + 8 = 0.

Решение. Замечаем, что 67 + 8 = 75, следовательно, xhello_html_m34745add.gif = hello_html_m65415794.gif = 1, xhello_html_m4bcd60e4.gif= hello_html_39f4edae.gif.

3.Частные случаи решения квадратных уравнений.

1) Если a+b+c = 0, то xhello_html_m34745add.gif = 1, xhello_html_m4bcd60e4.gif = hello_html_3ad47a1e.gif. Например, 2хhello_html_4fbf37b8.gif + 3х – 5 = 0, 2+3-5 = 0.Значит, хhello_html_m34745add.gif = 1, хhello_html_m4bcd60e4.gif= - hello_html_22a74e83.gif.

2) Если a-b+c = 0, то хhello_html_m34745add.gif = -1, хhello_html_m4bcd60e4.gif = - hello_html_3ad47a1e.gif. Например. 2хhello_html_4fbf37b8.gif + 3х + 1 = 0, 2-3+1 = 0. Значит, хhello_html_m34745add.gif = -1, хhello_html_m4bcd60e4.gif = - hello_html_m4bf21f14.gif.

3) Если a = c = n, b = nhello_html_4fbf37b8.gif + 1, то xhello_html_m34745add.gif = -n, xhello_html_m4bcd60e4.gif = - hello_html_351a54bc.gif. Например, 2хhello_html_4fbf37b8.gif + 5х +2 = 0

хhello_html_m34745add.gif = -2, хhello_html_m4bcd60e4.gif = - hello_html_m4bf21f14.gif.

II. Практическая работа.

  1. Решите уравнение: а) 3хhello_html_4fbf37b8.gif-5х+2 = 0; б) х hello_html_4fbf37b8.gif+7х-30 =0; в) 4хhello_html_4fbf37b8.gif+9х+2 = 0; г) 2хhello_html_4fbf37b8.gif+3х+1 = 0; д) 3хhello_html_4fbf37b8.gif-20х-52 = 0; е) 5хhello_html_4fbf37b8.gif+9х-14 = 0; ж) хhello_html_4fbf37b8.gif+2х-15 = 0.

  2. Пусть хhello_html_m34745add.gif< хhello_html_m4bcd60e4.gif – корни квадратного уравнения 2004хhello_html_4fbf37b8.gif+2005х+1 = 0.Найдите значение величины хhello_html_m34745add.gifхhello_html_m4bcd60e4.gif+2005хhello_html_m34745add.gifhello_html_m4bcd60e4.gif.



Тема 5. Специальные формулы для вычислений.


  1. Лекция.

  1. Если а много меньше 0,05, то в первом приближении можно принять:

hello_html_m51ff450f.gif= 1-а; hello_html_647921d9.gif= 1+а;

(1+а)hello_html_4fbf37b8.gif = 1+2а; (1 - а)hello_html_4fbf37b8.gif = 1 – 2а;

(1 + а)hello_html_m5d4c989e.gif = 1+ 3а; (1- а) hello_html_m5d4c989e.gif = 1 – 3а;

hello_html_m83a7798.gif= 1 + hello_html_m4bf21f14.gifа; hello_html_m6a14c1da.gif = 1 - hello_html_m4bf21f14.gifа;

Например. 1) (1,002)hello_html_4fbf37b8.gif = (1+0,002) hello_html_4fbf37b8.gifhello_html_m3132e3c.gif 1 +2*0,002 = 1,004;

2) (0,997) hello_html_4fbf37b8.gif = (1 – 0,003) hello_html_4fbf37b8.gifhello_html_m3132e3c.gif 1 – 2*0,003 = 0,994.

2. Если а, в, с меньше 0,05, то (1 + а)(1 + в)(1 +с) = 1 +а +в +с.

(1 - а)(1 - в)(1 -с) = 1 – а – в – с.

3. Если а и в мало отличаются друг от друга, то в первом приближении можно принять:

hello_html_m66288efd.gif= (а + в):2.

4.Если угол hello_html_2e28ff68.gif< 5hello_html_m789e59b6.gif или hello_html_2e28ff68.gif< 0,1рад и выражен в радианах, то в первом приближении можно принять:

hello_html_m53d4ecad.gifsinhello_html_2e28ff68.gif = tqhello_html_2e28ff68.gif = hello_html_2e28ff68.gif; coshello_html_2e28ff68.gif = 1.

II. Проверочная работа (45 минут).



hello_html_m53d4ecad.gif



13


Автор
Дата добавления 13.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров220
Номер материала ДA-041669
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх