Элективный курс по теме "Комбинаторика"

• 1 слайд

  комбинаторика
  Уроки для элективного курса
  

• 2 слайд

  Содержание
  Урок 1. Множества.
  Урок 2. Исторические комбинаторные задачи
  Урок 3. Правило суммы. Правило произведения.
  Урок 4. Размещение без повторений.
  

• 3 слайд

  Множества
  Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д.
  Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918) так определил множество – «многое, мыслимое как единое, целое»
  

• 4 слайд

  Множества обозначаются прописными буквами
  латинского алфавита A, B, C, …
  О предметах, составляющих множество, говорят,
  что они принадлежат этому множеству или являются
  его элементами. Множества, элементами которого
  являются числа, называют числовыми множествами.
  Запись А = {1, 2, 5} означает, что числа 1, 3, 5
  являются элементами множества А.
  Число 3 – элемент множества А. Пишут
  число 4 не является элементом множества А. Пишут
  
  
  В множестве А содержится три элемента. Это
  обозначают так:
  Множество в котором нуль элементов, называют
  пустым. Пустое множество обозначают
  

• 5 слайд

  Из некоторых элементов множества А можно
  составить новое множество, например, В={3, 5}.
  Каждый элемент множества В принадлежит
  множеству А. В таком случае говорят, что В есть
  подмножество А и пишут
  Если множества состоят из одних и тех же
  элементов, то они называются равными. Например:
  C={2, 4}, D={4, 2}, C=D.
  

• 6 слайд

  Операции над множествами
  Над множествами, как и над числами,
  производят операции:
  Пересечение
  Объединение
  Разность
  
  

• 7 слайд

  Пересечение
  X={a, b, c, d, e}, Y={c, d, f, g}.
  Эти множества имеют общие элементы c и d.
  Множества Х и У называются пересекающимися.
  Множество общих элементов Х и У называют
  Пересечением и обозначают:
  Х
  У
  А
  В
  назад
  

• 8 слайд

  Объединение
  Х
  У
  А
  В
  Если из элементов множеств Х и У составить новое мно-
  жество, состоящее из всех элементов этих множеств и
  не содержащее других элементов, то получают объеди-
  нение
  назад
  

• 9 слайд

  Разность
  Х
  У
  Х\У
  А
  В
  В=А\В
  Разность множеств Х и У – это множество всех элементов
  Из Х, не являющимися элементами из У.
  Разность обозначают Х\У.
  Разность между множеством и его подмножеством
  Называют дополнением
  В=А\В
  назад
  

• 10 слайд

  Эйлер
  

• 11 слайд

  Исторические комбинаторные задачи
  В математике существует немало задач, в кото-
  рых требуется из имеющихся элементов составить раз-
  личные наборы, подсчитать количество всевозможных
  комбинаций элементов, образованных по определен-
  ному правилу. Такие задачи называются комбинатор-
  ными, а раздел математики, занимающийся решением
  этих задач, комбинаторикой.
  Некоторые комбинаторные задачи решали еще в
  древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Одна-
  ко как самостоятельный раздел математики комбина-
  торика оформилась а Европе лишь в XVIII в. в связи
  с развитием теорией вероятностей.
  

• 12 слайд

  Фигурные числа
  1
  2х2=4
  3х3=9
  4х4=16
  5х5=25
  Квадратные
  числа:
  {1, 4, 9, 16, 25 …}
  1
  1+2=3
  1+2+3=6
  1+2+3+4=10
  Треугольные числа:
  {1, 3, 6, 10…}
  В древности для облегчения вычислений часто использовались камешки.
  при этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно
  было разложить в виде правильной фигуры. Так появились фигурные
  числа.
  

• 13 слайд

  Все составные числа древние математики представляли в виде
  прямоугольников размером mхn, выложенных из камней, где
  обязательно m и n не равны единице.
  12=6х2
  12=3х4
  12=4х3
  12=2х6
  На рисунке
  изображены
  всевозможные
  представления
  числа 12
  Простые числа представляли в виде линий 1хn
  3=1х3
  7=1х7
  В связи с этим составные числа древние ученые называли
  прямоугольными, а простые – непрямоугольными числами.
  

• 14 слайд

  Различные комбинации из трех элементов
  Нередко в жизни задача имеет не одно, а несколько решений, кото-рые нужно сравнить, а может быть и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации .
  

• 15 слайд

  Рассмотрим простейшие задачи, свя-занные с составлением различных комбинаций из трех элементов
  Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?
  Антон
  Борис
  Виктор
  +
  +
  +
  1)
  2)
  3)
  

• 16 слайд

  Другая задача
  Три друга –
  Приобрели
  Два билета
  На футбол на 21 и 22 места 15 ряда.
  Сколько есть вариантов занять эти
  два места?
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Чем отличаются между собой эти две задачи?
  В задаче 1 были составлены всевозмож-ные сочетания из трех элементов по два. Пары отличаются друг от друга только составом.
  В задаче 2 из тех же трех элементов выбирались пары элементов и фикси-ровался их порядок расположения в паре. Такие комбинации называются размещениями из трех элементов по два.
  

• 19 слайд

  Антону Борису и
  Виктору повезло, и
  они купили 3
  билета на футбол
  на 21, 22 и 23 места
  15 ряда. Сколькими
  способами они
  могут занять эти
  места?
  Ответ: 6 способов.
  
  

• 20 слайд

  В задаче 3 были составлены всевоз
  можные перестановки из трех эле-
  ментов – комбинации из трех эле-
  ментов, отличающиеся друг от дру-
  га порядком расположения в них
  элементов.
  

• 21 слайд

  Сколько различных трехзначных
  чисел можно записать с помощью
  цифр 1, 2 и 3 при условии, что циф-
  ры в числе: 1) должны быть различ-
  ными; 2) могут повторяться?
  
  
  1) Способ составления трехзначных чисел из 3 различ­ных цифр аналогичен способу записи троек букв в задаче 3:
  123, 213, 132, 312, 231, 321.
  Получили 6 чисел.
  

• 22 слайд

  2) Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выпишем все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем — начинающиеся с цифры 2; после чего — начинающиеся с цифры 3:
  111112113121122
  123131132133211
  212213221222223
  231232233311312
  313321322323331
  332333
  Ответ: 27 чисел.
  

• 23 слайд

  Правило суммы
  Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В – n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать m + n способами.
  Задача: В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
  Задача:Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алыеЮ 2 белые и 4 желтые розы?
  6+5+4=15 вариантов
  9
  

• 24 слайд

  Таблица вариантов
  Задача: Записать всевозможные двузначные числа, используя при этом цифры:
  1) 1, 2 и 3;
  2) 0, 1, 2 и 3.
  Подсчитать их количество.
  

• 25 слайд

• 26 слайд

  Задача
  Бросаются две игральные кости. Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей?
  

• 27 слайд

• 28 слайд

  Правило произведения
  Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n х m различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
  

• 29 слайд

  Оказывается, правило умножения для трех, четырех и т. д. испытаний "можно объяснить, не выходя за рамки плоскости, с помощью геометрической модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.
  

• 30 слайд

  Задача
  Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?
  

• 31 слайд

• 32 слайд

• 33 слайд

  Подсчет вариантов с помощью графов
  Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов несложно, когда их количество невелико.
  Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Так назы­вают геометрические фигуры, состоящие из точек и соединяющих их отрезков. При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества, а с помощью ребер — определенные связи между этими элементами.
  

• 34 слайд

• 35 слайд

  Полный граф
  Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
  
  Решим задачу с помощью так называемого полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имен каждого из 4 мальчи­ков.
  
  
  

• 36 слайд

  В полном графе проводятся все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают шахматные партии, сыгранные каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6.
  Ответ. 6 партий.
  

• 37 слайд

  Задача
  Андрей, Борис, Виктор и Гри­горий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик по­дарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?
  Ответ.
  12 фотографий.
  

• 38 слайд

  Размещение без повторений
  Сколькими способами можно составить флаг из двух горизонтальных
  полос различных цветов, если имеется материал пяти различных
  цветов?
  

• 39 слайд

  Определение: Комбинации из n элементов по k в каждой
  ( ), отличающиеся одна от другой либо
  составом, либо порядком расположение элементов,
  называются размещениями из n элементов по k элементов
  и обозначаются
  Причем число размещение из nэлементов по k
  находится как произведение последовательно уменьшающихся
  на единицу сомножителей, первый из которых равен n.
  Число всех сомножителей равно k.
  

• 40 слайд

  Решение задач
  Сколько разных двузначных чисел можно составить из
  цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8, если цифры в записи числа
  используются только один раз?
  2. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи
  которых участвуют лишь цифры 1, 2, 3, 4 и 5, причем
  цифры в записи числа не повторяются?
  3. Сколькими способами можно составить флаг из четырех
  горизонтальных полос различных цветов, если имеется
  материал пяти различных цветов?
  4. В отряде 12 человек. Надо выбрать старосту и двух
  заместителей. Сколькими способами это можно сделать?
  5. В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за
  золотые, серебрянные и бронзовые медали. Сколькими
  способами медали могут бюыть распределены между
  командами?
  

• 41 слайд

  56 двузначных чисел.
  8 х 7 = 56
  назад
  

• 42 слайд

  2.120 четырехзначных чисел.
  5 х 4 х 3 х 2 = 120
  назад
  

• 43 слайд

  3. 120 флагов.
  5 х 4 х 3 х 2 = 120
  назад
  

• 44 слайд

  4. 1320 способов.
  12 х 11 х 10 = 1320
  назад
  

• 45 слайд

  5. Медали могут быть рас-
  пределены 4896 способами
  18 х 17 х 16 = 4896.
  назад
  

• 46 слайд

  Контрольные вопросы:
  Что такое множество? Кто основатель теории множеств?
  Как обозначается множество? Что такое пустое множество?
  Что такое пересечение множеств?
  Что называется объединением множеств?
  Что называется разностью множеств?
  
  
  
  
  
  

• 47 слайд

  Перестановки без повторений
  На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички
  с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими
  способами это можно сделать?
  Иванова
  Петров
  Сидорова
  Кузнецов
  4 х 3 х 2 х 1 = 24 способа
  

• 48 слайд

  Таким образом, число размещений из пяти элементов по пять
  
  Определение: Перестановки из n элементов –
  это размещение из n элементов по n; это ком-
  бинации из n элементов отличающиеся друг от
  друга только порядком следования элементов.
  

• 49 слайд

  Сочетания без повторений
  Сколько трехзначных
  чисел можно соста-
  вить из цифр 1, 2, 3,
  4 и 5 так чтобы цифры
  не повторялись?
  
  Скольким способами
  можно назначить трех
  дежурных из 5
  человек?
  Как пересчитать все комбинации,
  если порядок расположения эле-
  ментов не важен?
  

• 50 слайд

  Если число размещений разделить на
  количество перестановок , то получится
  количество комбинаций из 5 элементов по 3
  элемента отличающиеся друг от друга только
  составом элементов.
  

• 51 слайд

  Сочетания из n элементов по k элементов –
  это комбинации из n элементов по k (k<n),
  отличающиеся друг от друга только
  составом элементов.
  
  

• 52 слайд

  Сколькими способами можно выбрать 6 делегатов на
  конференцию из 150 человек?
  
  2. В полуфинале по шахматам участвуют 20 шахматистов
  а в финал попадут только трое. Сколькими способами может
  образоваться финальная тройка?
  
  3. На тренировке 12 баскетболистов. Сколько разных
  пятерок может составить тренер?
  Задачи:
  

• 53 слайд

  Размещения с повторениями
  Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться?
  Решение:
  На первом месте в каждом числе может стоять одна из пяти цифр.
  На втором месте – тоже одна из пяти, и на третьем – одна из пяти.
  

• 54 слайд

  Согласно правилу произ-ведения, всевозможных пар существует
  5*5*5=125
  Таким образом число размеще-ний с повторениями из эле-ментов n по k находится по формуле
  

• 55 слайд

  Перестановки с повторениями
  Сколько разных пятизначных чисел можно составить, переставляя цифры 1, 1, 2, 2 и 3?
  11223; 11232; 11322; 12123; и т.д.
  Если бы все пять цифр были бы разные, то мы имели бы дело с перестановками без повторений, и таких перестановок было бы 5!
  

• 56 слайд

  При взаимной перестановке одинаковых элементов, новая комбинация не получается.
  Единицы можно переставлять 2! раз
  Двойки можно взаимно переставлять тоже 2! раз.
  Тройка одна, число перестановок тройки 1!
  1
  1
  2
  2
  3
  

• 57 слайд

  Поэтому число перестановок с повторениями:
  

• 58 слайд

  формулы
  Число перестановок из n элементов, из которых k – одинаковые, находится по формуле
  
  
  Если несколько повторений, то число перестановок с повторениями из элементов, из которых – одинаковые, находится по формуле
  

• 59 слайд

  Решение задач
  Например:
  
  

• 60 слайд

  Конец урока
  

Краткое описание документа:

Презентация знакомит учащихся с новым разделом математики "Комбинаторика" - основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека.