Элективный курс "Проценты в нашей жизни"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Омский государственный педагогический университет»

(ФГБОУ ВО «ОмГПУ»)

Факультет математики, информатики, физики и технологии.

Кафедра математики и методики обучения математики.

Организация и методическое обеспечение предпрофильной и профильной подготовки по математике

Рабочая программа

элективного курса по математике «Проценты в нашей жизни»

(9 класс)

                                                                                               Выполнила: студентка 4 курса

                                                                                               заочной формы обучения

                                                                                               факультета МИФиТ

                                                                                               Краснова Антонина  Александровна

                                                                                               Научный руководитель:

                                                                                               Скарбич Снежана Николаевна –                 

                                                                                               к.п.н., доцент

Омск – 2018

Пояснительная записка

Разработка программы элективного курса обусловлена тем, что темы «Проценты» изучаются очень мало (выделено несколько тем  в 5,6 классах), и учащиеся из- за своего возраста не понимают что такое проценты, и для чего они нужны, какова их роль в жизни человека. В следующих классах к этой теме не предусматривается повторного обращения. Почти во всех учебниках  встречаются задачи на проценты, но в них нет полных  и четких рекомендаций как решать такие задачи. А практика показывает, что  у обучающихся возникают вопросы при решении задач на проценты и большинство выпускников школы не имеют прочных знаний и навыков обращения с процентами в реальной жизни. Понимание  смысла процентов и умение производить расчеты с ними в настоящее время необходимы каждому человеку. Прикладное значение этой темы очень велико и напрямую связано с  финансовой, демографической, экологической, социологической и другими сторонами нашей жизни.Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, способствует выработке  у учащихся содержательного понимания смысла термина «процент», значительно расширяет круг задач, решаемых с его применением. Курс позволяет показать учащимся широту  применения в жизни процентных вычислений. При решении задач видны межпредметные связи  с  химией, физикой, экономикой, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся.

Цель курса: расширить кругозор учащихся о процентных вычислениях за счет обогащения жизненного опыта разнообразным спектром задач; способствовать осознанному выбору профиля дальнейшего обучения; повысить уровень компетентности.

Задачи курса:
— расширить представления учащихся о сферах применения математики, сформировать устойчивый интерес к предмету;
— решать  задачи на проценты, уметь использовать формулу сложных процентов;
— формировать познавательную активность, мыслительные и исследовательские умения;
— способствовать выявлению готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне.

Элективный курс содержит сжатое и четкое изложение теоретического вопроса, подкреплённое решением текстовых задач. Логический анализ содержания темы «Проценты» позволил выделить группы задач, которые и составили основную часть изучаемого курса.  Кроме того, рассматриваются задачи с практическим содержанием, а именно такие задачи, которые связаны с применением процентных вычислений в повседневной жизни. Подобранные задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до достаточно сложных задач на расчет процентов в реальной банковской системе. В программе приводится планирование учебного времени, включающее план занятий.
Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач,  проектов учащихся.
Курс является предметно-ориентированным. Он направлен на расширение, углубление и систематизацию знаний учащихся по решению  задач на проценты и реализует межпредметные связи.
Содержание материала курса показывает роль математики в повседневной жизни, знакомит учащихся с некоторыми историческими сведениями по данной теме. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.
Программа может быть эффективно использована в 9 классе с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, экономической грамотности, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору дальнейшей специализации.
В результате изучения курса
Учащиеся должны знать:
-что такое процент;
-основные соотношения на процентные расчеты;
-что такое концентрация, процентная концентрация.
Учащиеся должны уметь:
-решать текстовые задачи на проценты;
-применять алгоритм решения задач составлением уравнений к решению  сложных задач;
-использовать формулы начисления «сложных процентов» и простого процентного роста;
-решать задачи на сплавы, смеси,концентрацию
Учащиеся должны уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение. Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме, и формированию умений решать практические задачи в разных сферах деятельности человека. При изучении курса предлагается использовать проектную деятельность учащихся, реализующуюся в ходе самостоятельной работы школьников, а также практикум, деловая игра. Проведение занятий может быть организовано в индивидуальной и фронтальной форме, а при работе по проблеме исследования создаются группы. Содержание индивидуальных групповых заданий предлагает выбор учащимися объектов исследования.

Учебно-тематическое планирование

№	Наименование тем курса	Всего часов
	«Процентные расчеты на каждый день»	17
	Тема 1. Проценты. Основные задачи на проценты	5
1	Лекция "Проценты в прошлом и настоящем"	1
2	Нахождение процента от числа	1
3	Нахождение числа по его проценту	1
4	Нахождение процента одного числа от другого	1
5	Простой и сложный процентный рост	1
	Тема 2. Процентные вычисления в жизненных ситуациях	4
6-7	Распродажа, тарифы, штрафы	2
8-9	Банковские операции	2
	Тема 3.Задачи на сплавы, смеси и растворы	4
10-12	Задачи на смеси, растворы и сплавы	3
	Тема 4. Задачи с литературными сюжетами.	2
13	Задачи с историческими сюжетами	1
14	Задачи с литературными сюжетами	1
	Тема 5. Деловая игра"Проценты в современной жизни"	1
15	Деловая игра"Проценты в современной жизни"	1
	Тема 6.  Решение разнообразных задач по всему курсу.	2
16-17	Решение разнообразных задач по всему курсу	2

Содержание программы

               Тема 1. Проценты. Основные задачи на проценты. (5 часа).

Сообщается история появления процентов; устраняются пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты:

а) нахождение процента от числа (величины);

б) нахождение числа по его проценту;

в) нахождение процента одного числа от другого.

Актуализируются знания об арифметических и алгебраических приемах решения задач.

Метод обучения: лекция, беседа, объяснение.

Форма  контроля: самостоятельная работа.

                Тема 2.  Процентные вычисления в жизненных ситуациях. (4 часа).
Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок процентов в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов. Выполнение тренировочных упражнений.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля:самостоятельная работа.

              Тема 3. Задачи на сплавы, смеси, растворы. (4 часа).
Усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

                 Тема 4.  Задачи с литературными сюжетами. (2 час)

Различные истории, связанные с процентными вычислениями, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических документах и преданиях.

Методы занятий: беседа, творческие задания.
Форма контроля: самостоятельная работа,проект.

            Тема 5. Деловая игра «Проценты в современной жизни» (1 час)

Игра позволит ориентировать обучающихся на прикладное применение математических знаний в профессиональной деятельности, в неформальной обстановке произвести диагностику качества знаний учащихся по данной теме, создать условия, в которых обучающиеся могут испытать себя как будущего профессионала, проявить свои деловые качества: умение «презентовать» себя на рынке труда, умение руководить коллективом, инициативность, выносливость, смелость.

Форма занятий: урок-деловая игра
Форма контроля: самостоятельная работа.

               Тема 6.  Решение разнообразных задач по всему курсу. (2 час).
Форма занятий: практическая работа.
Методы занятий: беседа, творческие задания.
Форма контроля: самостоятельная работа.

Методические рекомендации

         В теоретическом плане методы решения основных задач на проценты представляют собой самостоятельный, в определенном плане даже изолированный, фрагмент математической теории, причем сложность чисто математических конструкций, лежащих в основе, невелика. «Сильные» учащиеся имеют много шансов на его самостоятельное изучение.

        Представленные в данном курсе задачи часто могут быть решены разными способами. Важно, чтобы каждый ученик самостоятельно выбрал свой способ решения, наиболее ему удобный и понятный. Объявляя учащимся цель курса, полезно подчеркнуть, что сюжеты задач взяты из действительности окружающей современного человека– финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли), демография, экология, социологические опросы и т. д.

        При решении задач предполагается использование калькулятора – всюду где это целесообразно. В ряде случаев необходимо считать устно. Устный счет приучает к рациональным вычислениям, помогает сопоставлять, сравнивать показатели, прикидывать в уме результаты действий. В повседневной жизни умение считать быстро очень важно. Для  этого полезно знать некоторые факты, например: чтобы увеличить величину на 50%, достаточно прибавить ее половину; чтобы найти 20% величины, надо найти ее пятую часть; что 40% некоторой величины в 4 раза больше, чем ее 10%; что треть величины – это примерно 33%.

        На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

       Можно рекомендовать комментированные упражнения. Эта форма помогает учителю «опережать» возможные ошибки. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придает уверенность, а слабому – помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

         Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. Активным учащимся можно давать задания из дополнительной части. Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем узнавания способа действия и называния ответа.

ЛИТЕРАТУРА

 Литература для учителя.

1. Барабанов, О. О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления // Математика в школе. – 2003. – № 5. – С. 50–59.

2. Башарин, Г. П. Начала финансовой математики. – М., 1997.

3. Башарин, Г. П. Элементы финансовой математики. – М.: Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – № 27. – 1995.

4. Вигдорчик, Е., Нежданова, Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. – М., 1997.

 5. Водинчар, М. И., Лайкова, Г. А., Рябова, Ю. К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений // Математика в школе. – 2001. – № 4.

6. Глейзер, Г. И. История математики в школе (4–6 кл.): пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

 7. Денищева, Л. О., Миндюк, М. Б., Седова, Б. А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10–11 класс. – М.: Издательский дом «Генжер», 2001.

 8. Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10–11 классы: учеб.- метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с.

9. Канашева, Н. А. О решении задач на проценты // Математика в школе. – № 5. –1995. – С. 24.

10. Левитас, Г. Г. Об изучении процентов в 5 классе // Математика в школе. – № 4. – 1991. – С. 39.

11. Липсиц, И. В. Экономика без тайн. – М.: Вита-Пресс, 1994.

12. Лурье, М. В., Александров, Б. И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990.

13. Макконелл, К. Р., Брюс, С. Л. Экономика. – Т.1, 2. – М.: Республика, 1993.

14. Рязановский, А. Р. Задачи на части и проценты // Математика в школе. –

№ 1. – 1992. – С. 18.

15. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике. (Библиотека учителя математики). – М.: Просвещение, 1995. – 240 с.

16. Симонов, А. С. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе. – 1998. – № 4.

17. Симонов, А. С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей // Математика в школе. – 1998. – № 6.

 18. Симонов, А. С. Сложные проценты // Математика в школе. – 1998. – № 5.

19. Соломатин, О. Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси // Математика в школе. – 1997. – №1. – С.12–13.

20. Шевкин, А. В. Текстовые задачи. – М.: Изд. отд. УНЦ ДО МГУ, 1997. – 60 с.

21. Шорина, С. П. Обоснование старинного способа решения задач на смеси // Математика в школе. – 1997. – № 6. – С. 77.

 Литература для учащихся.

 1. Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989. – С. 73.

 2. Виленкнн, Н. Л., Жохов, В. И., Чесноков, А. С., Шварцбурд, С. И. Математика 6. – М.: Дрофа, 2000.

 3. Денищева, Л. О., Бойченко, Е. М., Глазков, Ю. А. и др. Го-товимся к единому государственному экзамену. Математика. – М.: Дрофа, 2003. – 120 с.

4. Егерев, В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1988.

5. Литцман, Е. Великаны и карлики в мире чисел. – М., 1959.

 6. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: учеб. для общеобраз. учеб. заведений / под ред. Г. В. Дорофеева. – 2-е изд., стереотипное. – М.: Дрофа, 2000. – 304 с.

7. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл: учебник для общеобраз. учеб. заведений / под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 2000. – Глава IV.

 8. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра. – М., 1967.

9. Потапов, M. К., Олехник, С. Н., Нестеренко, Ю. В. Конкурсные задачи по математике: справочное пособие. – М.: Наука, 1992. – 480 с.

 10. Решение задач и выполнение заданий с комментариями, ответами для подготовки к единому государственному экзамену: в 2 ч. – Ч. II / сост. В. Н. Студенецкая, З. С. Гребнева – Волгоград: Учитель, 2003. – 104 с.

11. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. – М.: Высшая школа, 1989.

12. Свечников, А. А. Путешествие в историю математики, или Как люди учились считать: книга для тех, кто учит и учится. – М.: Педагогика-Пресс, 1995. – 168 с.

 13. Соболь, Б. В., Виноградова, И. Ю., Рашидова, Е. В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. – 3-е изд.– Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. – 352 с.

14. Ткачук, В. В. Математика – абитуриенту: в 2 т. Т. I. – М.: МЦНМО, ТЕИС, 1997.

15. Тынянкин, С. А., Тырымов, А. А. Что делать, или 2730 конкурсных задач. – Волгоград, 2002. – 416 с.

16. Цыпкин, А. Г., Пинский, А. И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы / под ред. В. Л. Благодатских. – М.: Наука, 1984.

 17. Шарыгин, И. Ф. Решение задач: факультативный курс по математике. 10 класс. – М.: Просвещение, 1989.

 18. Шарыгин, И. Ф. математический винегрет. - М., 1991.

 19. Шевкин А.В. Текстовые задачи. М.: Просвещение, 1997. – 112с.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Класс: 9

Предмет: Элективный курс

Тема: Задачи на сплавы, смеси, растворы        

Тип урока:

1)    по основной дидактической цели: открытие новых знаний

2)    по способу проведения: комбинированный

Планируемые образовательные результаты:

1)    Предметные:

- уметь работать с законом сохранения массы;

- знать понятие «концентрация вещества», «процентный раствор»;

- уметь применять полученные знания при решении практических задач;

2)    Метапредметные:

- умение обрабатывать информацию;

- выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий;

- умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

3)    Личностные:

- умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи;

- умение слушать и вступать в диалог;

- участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие

Общие методы обучения:

1)    по источнику знаний: словесный, наглядный, практический

2)    по характеру познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный

Специальные методы обучения: синтез

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная, групповая

Оборудование (средства обучения): рабочая тетрадь для ученика, книга для учителя, компьютер, проектор

Этапы урока (время)

1.     Организационный момент (2 мин)

2.     Актуализация знаний (5 мин)

3.     Изучение нового материала (10 мин)

4.     Закрепление изученного материала (15 мин)

5.     Самостоятельная работа (10 мин)

6.     Домашнее задание (3 мин)

7.     Подведение итогов (1 мин)

Ход урока

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1.Организационный момент (2 мин)	Приветствует детей. Настраивает на сотрудничество. - Здравствуйте! Садитесь! Ребята, тема занятия : «Задачи на сплавы, смеси, растворы»	- Здравствуйте.
2.Актуализация знаний (5 мин)	- Ребята, для того, чтобы приступить к новой теме, давайте ответим на вопросы. -  что такое процент? - Как перевести проценты в десятичную дробь? - Как найти процент от числа? - Как найти число по его проценту? - Молодцы. - А теперь парами выполните задания на карточках и объясните. (раздаёт карточки) 1. Переведите в % десятичные дроби  0,5;  0,12; 1,23; 0,0005. 2.Переведите в десятичную дробь:  35%;  0,03%; 126%; 5%. 3.Найдите:  43% от числа 25;  124% от числа 800;  15% от 90. 4.Найдите число, если его 25% равны 42;  10% равны 16;  28% равны 560. -Молодцы.	Отвечают на вопросы: - Проце́нт (лат. per cent «на сотню; сотая») — сотая часть; обозначается знаком «%»; используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому.  - ---  Чтобы процент перевести в десятичную дробь нужно разделить на 100, а чтобы десятичную дробь перевести в процент нужно умножить на 100. Чтобы найти указанный процент от числа, нужно данное число умножить на число процентов и результат разделить на 100. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на 100. 50% 12% 0,05% 0,35 0,0003 1,26 0,05 10,75 992 13,5 168 160 2000
3.Изучение нового материала (10 мин)	(Рассказ учителя) - Как показывает опыт, задачи, которые мы сегодня рассмотрим, вызывают наибольшее количество трудностей у учащихся. Так как их решение требует специальных приемов, о которых, как правило, не сообщается в школьных учебниках. - Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций — смещение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла и пр. Связь различных задач между собою станет яснее, если рассматривать типичные ситуации в общем виде. При решении задач данного типа используются следующие допущения: (Слайд3) 1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав), выполняются равенства: V = V1 + V2 — сохраняется объем; m= m1 + m2 — закон сохранения массы. 2. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора). З. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов. Задачи на смеси, растворы и сплавы называют еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Введем основные понятия. (Слайд4)       Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная сыпучая и т. д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества т в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: а = т/М. Отсюда получаем т = аМ, М = т/а. Понятие доли чистого вещества можно вводить следующей условной записью. Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси. Заметим, что складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя. Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называют его долю, выраженную процентным отношением: с = а*100 %, а=с/100%. Формула, по которой рассчитывают концентрацию смесей (сплавов):п =mb /mp,  где n — концентрация, mb — масса вещества в растворе (сплаве),  mp — масса всего раствора (сплава).	Слушают учителя, конспектируют в тетрадях основные понятия и формулы.
4.Закрепление изученного материала (15 мин)	- А теперь давайте мы закрепим теорию на практике, будем решать задачи, сначала вместе, а потом я дам задачи на самостоятельное решение. (Решение задач.) Задача 1. (Слайд 5) Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 % раствор? Решение. (Слайд 6) Пусть Х -количество воды, которое надо добавить. Новое количество раствора –  (50 + Х) г. Количество соли в исходном растворе 50 •0,08 г.  Количество соли в новом растворе составляет 5 % от (50 + Х) г, т. е. 0,05(50 + Х) г. Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это уравнение называют кратко «баланс по соли». 50•0,08 = 0,05(50 + Х), 50•8 = 5(50 +Х), 80 = 50 +Х,  Х=30 Ответ: 30 г. -Всё понятно, как мы решили задачу? Задача 2. (Слайд 7) Сколько граммов 30 %-го раствора надо добавить к 80 г 12 %-го раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-й раствор соли? Решение. (Слайд 8) Пусть надо добавить Х г 30 % раствора соли. Получится (80 + Х) г 20 % раствора.  В 80 г 12 % раствора содержится 80•0,12 г соли 0,ЗХг соли — в Х г 30 % раствора, 0,2(80 + Х) г соли — в (80 + Х) г 20 % раствора. Получаем уравнение: 0,Зх + 0,12•80 = 0,2(80 + Х) — это и есть «баланс по соли». 0,ЗХ+9,6 =16+0,2Х, 0,ЗХ—0,2Х= 16—9,6, 0,IХ = 6,4, Х=64. Ответ: 64 г. - Давайте решим ещё одну задачу. Задача 3. (Слайд 9) Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12 %-й раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15 %-й раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. Решение. (Слайд10) Пусть концентрация серной кислоты  в первом растворе Х%, а во втором растворе —У%. Это значит, что в 1 кг первого раствора содержится Х/100 кг кислоты и 1-Х/100 кг воды, тогда в 8 кг первого раствора 8Х /100 кг кислоты и (8-8Х/100)кг воды. Во втором растворе аналогично: У/100кг кислоты; (1-У/100) кг воды, в 2кг- 2У/100кг кислоты и (2- 2У/100) кг воды. После смешения получим раствор общей массой 10 кг, в нем  содержится  (8Х/100+2У/100)  кг кислоты. По условию получаем раствор 12 %-и концентрации, значит, в 10 кг раствора будет 10• 12/100кг кислоты Получаем уравнение  8Х/100+2У/100=1,2.  Преобразуя, получим 4х + у = 60 — первое уравнение системы. Рассмотрим вторую ситуацию. Пусть возьмем по 1 кг каждого раствора, тогда будет Х/100 кг кислоты, а в 1 кг второго раствора содержится У/100кг кислоты. Так как смесь получится 15 %-й концентрации, то в (1 + 1) кг смеси должно содержаться 2*15/100 =0,3 кг кислоты. Получаем второе уравнение   Х/100+У/100=0,3, после преобразований имеем Х+ У= 30. Решив систему уравнений, получим Х=10, У=20. Ответ: 10 %-й и. 20 %й растворы. - Есть вопросы?	Записывают задачу. Записывают краткую запись задачи и её решение. -Да. Записывают задачу. Записывают краткую запись задачи и её решение. Записывают задачу. Записывают краткую запись задачи и её решение. - Нет.
5.Самостоятельная работа (10 мин)	- Теперь самостоятельно решите задачи. Задача 4. (Слайд 11) Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60 % и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45 % олова? Задача 5. (Слайд 12) Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20 % олова. Второй, массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков. - Замечательно. Молодцы.	Решают задачи. Пусть масса куска, взятого от первого сплава т1 г, тогда масса куска от второго сплава будет 600 - т1, составим уравнение т1•0,6 +(б00— т1)•0,4= 600•0,45, 6 т1+2400—4 т1 =2700, 20 т1 = 3000, т1 = 150, 600— т1 =450, т2=450. Ответ: I50г;450г. m первого куска = 300, % содержания олова = 20 m олова = 20/100*300=60г. m второго = 200, % олова = 40 => m олова = 0,4*200=80г. масса всего сплава = m первого куска+m второго = 300+200=500г. процент олова в сплаве - х. m олова в полученном сплаве = 60+80 = 140 г. составим уравнение х/100% * 500г = 140г. 5х=140 х=28%
6.Домашнее задание (2 мин)	(Раздаёт карточки с дом. заданием) - В задачах даны ответы для того, чтобы вы смогли себя проверить.Но вы должны написать развёрнутое решение задач. 1.Сколько граммов сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200г воды, чтобы в получившемся растворе содержание сахара составило 25%? Ответ: 50г. 2.Из молока с жирностью 5% изготавливают творог с жирностью 15,5% и сыворотку с жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1 тонны молока?  Ответ: 300кг. 3.В цветочном нектаре 95% воды, а в свежем меде ее 80%. На сколько % масса нектара, перерабатываемого пчелами, больше массы полученного меда?  Ответ: на 300%
7.Подведение итогов (1 мин)	- Ребята, всё ли вы поняли на сегодняшнем занятии? - Может у кого-то есть вопросы? - А интересно вам было сегодня на уроке?	- Всё поняли. - Нет. - Было очень интересно.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

               

(слайд 1)                                                                   (слайд 2)

        

                    (слайд 3)                                                 (слайд 4)

   

                          (слайд 5)                                          (слайд 6)

  

                        (слайд 7)                                                  (слайд 8)

  

                     (слайд 9)                                                  (слайд 10)

   

                 (слайд 11)                                                         (слайд 12)

Рабочая тетрадь

ТЕМА «Простой и сложный процентный рост»

Это полезно знать.

Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов.

Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза- значит на 200%, уменьшить в 2 раза- значит уменьшить на 50%.

Следует запомнить:

1.     Если значение а выросло на p%, то новое значение будет:

2.     Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет: 

3.     Если А больше В на p%, то  

Выразим из последней формулы p:

 Формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше, чем В.

4.     Если В меньше А на q%, то

В=А-А; 

Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем А, то из последней формулы, выразив q, получим

Простой процентный рост.

Рассмотрим задачу. Пусть S- ежемесячная квартплата, пеня составляет p% квартплаты за каждый день просрочки платежа, n- число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?

Решение:

Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или S, а всего придется заплатить S+ S или, что то же самое, (1+ S

Получим S_n=_____________________

Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки p=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:

S₆=________________________________________

Ответ: через полгода будет 560 рублей.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный период времени на определённое число процентов. В этом случае 

Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает.

Сложный процентный рост.

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система начисления денег. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги- «__________».

Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года p% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом ещё говорят, что эти _______________капитализируются. При такой системе, начисляются «______________________________________», или, как их обычно называют, сложные проценты.

Решим задачу в общем виде. Пусть банк начисляет p% годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей.

P% от S составляет _______________________{______________________} рублей и через год на счёте окажется сумма S₁=S+ S=(1+ 

Через два года на счёте будет сумма

S₂=S₁+ S₁=(1+ )S₁=(1+ )(1+ )S=(1+ )²S

Аналогично, S₃=(1+ )³S и так далее.

Другими словами, справедливо равенство

S_n=(1+ )ⁿS

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто формулой сложных процентов.

Решим задачу.

Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?

Решение:

Подставим формулу S_n=(1+ )ⁿS

Значение процентной ставки p=10, количество лет п=4 и величину первоначального вклада S=5000 рублей.

Получим

S₄=__________________________________________________

Ответ: ________________________________________________

Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый заданный промежуток времени увеличивается на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста, проявляется знак минус.

Рассмотрим задачу.

Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально?

Решение:

Пусть х человек (хN) было первоначально. Тогда согласно условию задачи через два года количество жителей составило х(1+ )² или (х+11312) человек. Получим уравнение:

_________________________________________

__________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально.

Задача:Новый компьютер был куплен за 20000 рублей. Каждый год цена его растет на 10% от первоначальной стоимости. Через сколько лет компьютер будет стоить 26000 рублей?

Решение:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:____________________________________________

Задача:По вкладу Сбербанка России «Депозит России» предусмотрена выплата 12% годовых. Через год на счету оказалась сумма в размере 5600 рублей. Какую сумму первоначально внес вкладчик?

Решение:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:_____________________________________________

Задача:Вкладчик положил на счет в банк 9000 руб. под 20% годовых. Какая сумма будет на его счету через 2 года, если банк начисляет а) простые проценты; б) сложные проценты.

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:___________________________________________

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите несколько задач на закрепление темы "Проценты", каждая задача имеет только один правильный ответ. Проверь свои знания!

№1. Какая сумма будет стоять на чеке, если стоимость товара 520 рублей и магазин в связи с распродажей делает скидку 5%?

1.     490 рублей

2.     13 494 рубля

3.     468 рублей

 №2. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40 тысяч рублей с обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через 3 года. В этом году ставка снижена для кредита на обучение в образовательных учреждениях с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру Антона, долг окажется меньше. На сколько?

1.     на 1713,64 рубля

2.     на 956 рублей

3.     на 594,36 рубля

№3. Цена изделия сначала возросла на 20%, а потом на столько же процентов была снижена. Как и на сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?

1.     увеличилась на 4%

2.     осталась неизменной

3.     уменьшилась на 4%

 №4. По вкладу, вносимому на срок не менее года, сбербанк выплачивает 3% годовых по простой ставке. Вкладчик внес в сбербанк вклад в размере 600 у.е. Какую сумму он получит в конце третьего года со дня вклада?

1.     654 у.е.

2.     655 у.е.

3.     714 у.е.

 №5. На какой срок нужно вложить в банк 400 у.е. со сложной процентной ставкой 5% годовых, чтобы удвоить сумму?

1.     5 лет

2.     10 лет

3.     15 лет

№6. На учебу ежегодно родители вкладывают в банк 25000 рублей под 6% годовых. Какая сумма будет на их счету через 8 лет?

1.     примерно 250 тыс. р.

2.     примерно 270 тыс. р.

3.     примерно 290 тыс. р.

№7. Имея сбережения в размере 3,39 млн. рублей, требуется купить квартиру с одновременной выплатой налога в размере 13%. Квартиру какой стоимости можно преобрести?

1.     2,5 млн. рублей

2.     2,7 млн. рублей

3.     3 млн. рублей

№8. Цена товара была дважды снижена на одно и тоже число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 400 р., а окончательная 256 р.?

1.     на 20%

2.     на 64%

3.     на 80%

Комплекс задач. Приложение к элективному курсу

Задача 1. В библиотеке имеются книги на английском, на французском и на немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг, французские - 75% английских книг, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько всего книг в библиотеке?

Решение:

75 % = 3/4 значит 36 % * 3/4 = 27 % французские, книги от всего количества.

36 % + 27 % = 63 % это английские и французские книги вместе.

100 % – 63 % = 37 % всего немецких книг.

185 / 37 % = 5 книг это 1 %.

Всего книг в библиотеки 100 % * 5 = 500 книг.

Ответ: 500 книг.

Задача 2. Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы не 30 % и ржи на 20 %, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тон пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?

Задача 3. Ирина внесла в январе 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по 100 рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете будет в конце декабря?

Решение: Выразим процент десятичной дробью: 2% - 0,02. Вклад ежемесячно увеличивается в 1,02 раза и идёт последовательное накопление вклада:

январь – 100 р.;

февраль – 100·1,02+100 р.;

март – 100·+100·1,02+100 р.;

декабрь – 100· (1,02)+100· (1,02)+……..+100=100· ((1,02)+ (1,02)+ +1) =100·=1341(р.)

Ответ: 1341 рубль.

В ходе решения подобных задач, учащиеся видят, что формула суммы геометрической прогрессии – это не просто абстракция, отвлечённая формула, а конкретные математическое знание, необходимое в жизни.

Задача 4. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% раствор некоторого химического вещества и 10% раствора этого же вещества и получил 75 мл. 8% раствора. Сколько миллилитров 4% раствора и сколько 10% раствора было взято.

Решение: Обозначим через x – количество 4% раствора, а через y – количество 10% раствора. Запишем первое уравнение системы, т.к. должно получится 75 мл. раствора:

x + y=75.

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%, 10% и получившимся растворах:

0,04x + 0,1y =0,08(x+y).

Решим получившуюся систему уравнений:

x+y=75,

0,04x+0.1y=0,08(x+y);

x=25,

y=50.

Значит: 25 мл взяли 4% раствора и 50 мл 10% раствора.

Ответ: 25 мл; 50 мл.

Задача 5. Имеется 2 раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200г второго раствора, то получится 50%-ный раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200 г второго, то получится 42%-ный раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Задача 6. Некоторый товар поступил в продажу по цене 300 рублей. В соответствии с принятыми в магазине правилами, цена товара в течении недели остаётся неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течении третьей недели?

Задача 7. Сухие грибы по массе содержат 12% воды, а свежие - 90%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов?

Задача 8. Кусок сплава золота и серебра весом 3 кг содержит 30% золота. Сколько кг чистого золота нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% золота?

Задача 9. Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг 1312500 р. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Задача 10. Банк выделил определенную сумму денег на кредиты трем организациям сроком на год. Организация A получила кредит в размере 40% от выделенной суммы под 30% годовых, организация B — 40% от оставшейся суммы под 15% годовых. Последнюю часть выделенной суммы получила организация C. Через год, когда кредиты были погашены, оказалось, что банк получил прибыль в размере 21%. Под какие проценты был выдан кредит организации C?
Решение: Пусть S - сумма, выделенная банком на кредиты организациям А, В и С, α - проценты (в долях), под которые был выдан кредит организации С. Тогда организации А был выделен кредит в размере 0,4S, который через год принес банку прибыль, равную 0,4S⋅0,3=0,12S.
Организации В был выделен кредит в размере (S−0,4S)⋅0,4=0,24S, который через год принес банку прибыль, равную 0,24S⋅0,15=0,036S.
Организации С был выделен кредит в размере S−0,4S−0,24S=0,36S, который через год принес банку прибыль, равную 0,36Sα. Суммарная прибыль равна 0,156S+0,36α и она равна также 0,12S. Получаем уравнение, из которого α=0,15.
Ответ: 15%

Задача 11. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же количество процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое количество процентов. В результате получили 21,6. На сколько процентов увеличивали, а затем уменьшали данное число?
Решение: Пусть данное число увеличивали, а затем уменьшали на p%. Тогда по формуле сложных процентов получаем уравнение: 51,2(1+p100)3(1−p100)3=21,6, то есть 512(1−(p100)2)3=216. Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения, получаем 8(1−(p100)2)=6, откуда p=0,5.
Ответ: на 50%

Задача 12. Агрофирма предполагает продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за нее 3,5% больше денег, чем в прошлом году.

Решение:

q – объем продаж прошлого года;

р – цена прошлого года;

рq – выручили за прошлый год;

q₁ – продали в текущем году;

р₁ – выручили за текущий год.

р₁q₁ =1,035рq

Причем q₁=0,9q

               р₁=(1+х)р, годе х - доля повышения цены на морковь.

(1+х)×р×0,9q=1,035рq

0,9(1+х)=1,035

0,9х=1,035-0,9

х=0,15

Ответ: Агрофирма должна повысить цену на морковь на 15%.

Задача 13.  Папа купил телевизор в кредит, уплатил первый взнос 1500 руб., остальные 75% стоимости телевизора он должен выплатить в следующие 6 месяцев равными частями. Сколько стоит телевизор? Какую сумму папа будет выплачивать каждый месяц?

Задача 14. Занятие ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям если они просрочат оплату на неделю?

Решение.Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придётся заплатить

250 + 10 = 260 (р.),

на неделю 250 + 10*7 = 320 (р.)

Ответ: 320 р.

Задача 15. В романе М.Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы» есть такой эпизод: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот Раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями». (Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счёта было 53 года.)

Сколько процентов в год платил ломбард?

Задача 16. За несвоевременное выполнение обязательств по кредиту заемщик должен заплатить штраф за первый месяц просрочки 7 % от суммы кредита, за каждый следующий месяц просрочки 1000 руб. Какой процент составит пеня от суммы кредита 32000 руб.? Какой штраф заплатит заемщик при нарушении сроков оплаты за 3 месяца?

Задача 17. Герой романа И.А.Гончарова «Обломов» Илья Обломов за весну похудел на 25%, затем за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел или поправился за год Обломов и на сколько процентов?

Решение: 
Пусть Ѕо - первоначальный вес , а Ѕn – полученный вес к концу года, 
решаем по формуле сложных процентов 
Пусть Ѕ0=1, то 
Ѕ4=1*(1-25/100)*(1+20/100)*(1-10/100)*(1+20/100) 
Ѕ4=1*(1-1/4) *(1+1/5)*(9/10)*11/5 
Ѕ4=1*3/4*6/5*9/10*6/5 
Ѕ4=1*972/1000 или Ѕ4=1*(1-х/100) 
1- х/100 = 0,972 
100-х=0,972*100 
100-х=97,2 
х=2,8 
Обломов похудел за год на 2,8% 
Ответ: похудел на 2,8%