7

а=—

7                 9 a=—l.

Установим теперь, при каких значениях а выполняется второе условие, т.е. оба корня квадратного уравнения равны нулю:

4

Следовательно, оба корня исходного уравнения равны нулю при а

Замечание. Некоторые учащиеся сразу сводят дело ко второму условию х, = 0 и — 0, не рассматривая первого .Xi = х2. Но в задачах с параметром так поступать нельзя. Условие .xr приводит к уравнению 9а² + 2а — 7 = 0, а условия

        = 0 и х2=0 — к уравнению                  4 —0. В рас-

сматриваемой задаче один из корней первого уравнения совпал с корнем второго, однако такое счастливое совпадение обнаруживается далеко не всегда. Если эти уравнения не имеют общих корней, то ответ задачи окажется отрицательным: искомых значений а не существует.

6. Найдите все значения пар.метра Ь, при которых имеет ровно один корень уравнение

Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно си-

стеме х ² —(2b— l)x +b² —b=0

Первое уравнение системы при любом значении Ь имеет два действительных корня, так как его дискриминант D = (2b — — 4(b² — Ь) = и, следовательно, система имеет единственное решение лишь в случае, когда один из корней этого уравнения удовлетворяет условию х² — 4 = 0, а другой корень этому условию не удовлетворяет,

Пусть х = 2 является решением уравнения (*), тогда 4 — (2b — Ь = 0, т.е bⁱ

+ 6 = 0, откуда bt = 2, b2 = 3. При Ь = 2 уравнение (* ) принимает вид х^д — 3х + 2 = 0 и имеет корни 2 и 1. При Ь = 3 уравнение ( * ) приводится к виду х) — 5х+ 6 = 0; здесь корни 3 и 2. В обоих случаях второй корень уравнения (* ) не равен —2.

Пусть х = —2 является решением уравнения (*), тогда (—2) ²— Ь = 0, т.е. b² + + 3b + 2 = О, откуда Ьз = —2, Ь, = —1. Аналогично предьщущему можно проверить, что в обоих случаях второй корень уравнения ( * ) не равен 2.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при Ь

7. При каких значениях параметра с графики функций у=сх² —х+с и у=сх+ 1 — с не имеют общих точек?

Р е ш е н и е. Рассмотрим два случая: с = Ои с * 0. Если с = 0, то графики функций у = —х и у = I имеют одну общую точку (—1; 1).

Если с 0, то графики функций у = сх² — х + с и у = сх + I — с не имеют общих точек, если

уравнение с? — х + с сх + 1— с не имеет действительных решений.

Квадратное уравнение

сх² — (с + l)x + 2с

не имеет действительных корнейтогда и только тогда, когда его дискриминант Dотрицателен.

- 4с(2с

значении параметра функций у = сх^а —

—х +с и у = сх + 1 — с не имеют общих точек.

8. При каких значениях параметра а неравенство 2    любых

ах — 7х + 4а > 0 справедливо при

Действительных значениях Х?

Р е ш е н и е. Неравенство ах) — 7х + 4а > 0 справедливо при любых действительных значениях х, если одновременно выполняются условия: D < 0, а > 0, т.е.

 49-16а2

Следовательно, ответом служат значения а из 7 промежутка

Учитель должен отметить, что неравенство ах² + + bx + с > 0 справедливо при любых действительных значениях х тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия D < 0, а > 0.

9. Найдите все значения параметра т, для которых при всех Действительных значениях х справедливо неравенство

х ² -8х+20

Р е ш е н и е. В силу того, что х-² — 8х + 20 > 0 для любого действительного значения х (поскольку D = 64 — 80 < 0), рассматриваемое неравенство равносильно неравенству т? + 2(т + 1)х + 9т + + 4 < 0. Следовательно, задача сводится к нахождению значений параметра т, для которых неравенство т? + + l)x + 9т + 4 < 0 справедливо при всех действительных значениях х. Последнее, в свою очередь, возможно лишь при одновременном выполнении условий D < 0, т < 0:

8m2

Последняя система равносильна системе

4

2

откуда следует, что т

2

Здесь опять надо обратить внимание учащихся на применение утверждения: неравенство а.х² + bx + + с < 0 справедливо при любых действительных значениях х тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия D < 0, а < О.

10. При каких значениях параметра п квадратное уравнение х-² + 2(n + l)x + 9n — 5 = 0 имеет два Действительных отрицательных корня ?

Р е ш е н и е. Квадратное уравнение ах-² + bx +

1) имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

                                     а         а

2) имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

а

З) имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

а

Итак, квадратное уравнение х-² + 2(п + l)x + 9n — — 5 = 0 имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно

выполняются условия:

D   2 0,    - 5 > О,

Перепишем эти условия в ином виде:

п ² —711+620

5

9

Последняя система справедлива при любом

11. При каких значениях параметра п квадратное уравнение (п — 2)? — 2пх + п + З = О имеет два Действительных корня разных знаков?

Р е ш е н и е. Исходное уравнение имеет два действительных корня разных знаков, если одновременно выполняются условия D >O, т.е.

                   4n ² - - + 3)                        6—n>O

—3<n<2

Замечание. Рассмотрев задания 10 и 11, учитель должен выяснить с классом, откуда берутся

ограничения на значения дробей — и —      Оказы-

а   а вается, здесь опять работает теорема Виета. В са-

и произведе-

ние                                                            положитель-

ны, то и сами числа         и        положительны. Если

их произведение   положительно, а сумма а     а отрицательна, то числа и      отрицательны. Если же произведение        •         отрицательно, т.е.

—<O, то, значит,         и        имеют разные знаки.

а

12. При каких значениях параметра а уравнение log2(4X — а) = х имеет два различных Действительных корня?

Пусть 2-х = у, у > 0, тогда уравнение 4^x — а = 2^x

примет вид у — у — а = 0 и, следовательно, уравнение 4^x а = 2^x имеет два различных действиТе.ЈIЬНЬIХ корня, квадратное УраВНеНИе У — У — а = 0 имеет два различных положительных корня. Последнее возможно при одновременном выполнении условий D > 0,

Итак, для любого действительного значения а Е ——;О уравнение 4x — а = Т имеет два раз-

личных действительных корня, удовлетворяющих условию 4^x — а > 0.

В заключение хотелось бы отметить: тот факт, что рассмотренные задачи взяты из практики вступительных экзаменов в вузы, придает им в глазах учащихся большую значимость.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

Вариант [Вариант Щ

1) Квадратный трехчлен —2х² + вх + с [—5х² + вх + с] имеет кор-

 1

ни — и —31 [—63; —]. Найти в и с.

15

2) Трехчлен разложили на множители 4(х + 8)(х — 19) [З(х — 5)• •(х + 9)]. Каковы его корни и х2?

З) Корни трехчлена —8; 0,5 [—0,3; 7], а первый коэффициент —3 [—5]. Записать этот трехчлен в виде, разложенном на множители. Отв е т ы: Вариант 1.

3) -3(x +

Вариант 11

З

Пргиожение 5

                   НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО (НАИМЕНЬШЕГО)        

ЗНАЧЕНИЯ ТРЕХЧЛЕНА

1)                   При каком значении х квадратный трехчлен х + 6х + 7 принимает наименьшее значение? Чему равно это значение?

Решение.

Обозначим у = х² + 6х + 7.

Выделим квадрат двучлена у = .х² + 6х + 7 = (х + — 2.

Так как для любых х имеем (х +   2 0, то наименьшее значение выражения (х + — 2 принимает при х + З = О х = —3, при

 Ответ: —2.

1

2)                   При каком значении х квадратный трехчлен ——х ² +3х —9 принимает наибольшее значение? Чему равно это значение?

Решение.

Обозначим это выражение через у. Выделим квадрат двучлена

2

      у = ——х ² +3х—9                        — 2— , для всех х имеем:

З

2

9

        х—        20,                           0 , то выражение

2

2 1   9     

           х—             —2— может принимать сколь угодно малые

                     З          2

9 значения, наибольшее значение у принимает при х—  т, е. при

2

9 при х

2

9 Ответ:

4

Решить самостоятельно:

1)   Найти наименьшее значение выражения 2х² — 5х + 4.

2)   Найти наибольшее значение выражения —2х² + 8х 7.

Пршюжение б

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

Исследование квадратного трехчлена и решение квадратных уравнений.

Пршюжение 7

Тематическое планирование элективного курса в 9 классе

2013-2014 учебный год

Квадратный трехчлен занимает одно из центральных мест на вс ительных экзаменах в азличные вузы — и на письменных, и на устных испытаниях

предлагается большое число разнообразных задач различной сложности, решаемых с помощью свойств квадратного трехчлена.

Рассмотрим некоторые такие задания. Учитель может с успехом использовать многие из них уже с lX масса на уроках изучения новой темы, ав X—XI классах — при повторении.

1. Найдите наименьшее значение функции

чение тогда и только тогда, когда дробь

 2х — х ² —3 принимает наименьшее значение, т.е. когда ее знаменатель 2х — х² — З принимает наибольшее значение. Знаменатель рассматриваемой дроби — квадратный трехчлен, который можно переписать иначе:

+ 2х — 3 = —(х² — 2х) — 3 =

                           — 2х + -1)    З

—-(х² 2х +

2             -

Из равенства + 2х — 3 = —((х — + 2) следует, что значение квадратного трехчлена тем больше, чем меньше значение выражения в скобках. А это означает, что наибольшее значение квадратно-

го трехчлена, равное —2, достигается при х = 1 (в том случае, когда (х — 0).

Итак, наименьшее значение функции

                    8                                  8

равно 1 +

                2х —х ² —3                               -2

Это задание может открыть в X—XI юлассе серию упражнений по теме «Квадратные трехчлены», при выполнении которых учащиеся вспомнят все факты, изученные по этой теме значительно раньше. Так, при решении первой задачи использовалось преобразование, называемое выделением полного квадрата:

ax ² +bx+c=a х +—х а

                                                Ь             b2

=а х ² +2

                                                   4а ^{2              2}

Ь 2 4ас — b ²

, где а

                                  2а             4а

2. Найдите наибольшее значение ab, если

Р е ш е н и е. Из равенства 2а + Ь = 6 получим Ь = 6 — 2а, откуда ab = ба — 2а² . Таким образом, задача равносильна нахождению наибольшего значения выражения ба — 2а² .

Вьщелим полный квадрат:

9 9

ба — 2а ² = —2(а

——2 а ² —2 —

3

Выражение —2 а—— 2

9 шее значение, равное — З 2'

+— принимает наиболь-

2

при а ——             т.е. при

                 2

З. Найдите наименьшее значение функции у = 9 + 4 sin х — cos² x.

Р е ш е н и е. Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем функцию:

— sin² x), у = sin² x + 4 sinx + 8.  Выражение sin² x + 4 sin х + 8 — квадратный трехчлен относительно sin х. Выделив в нем полный квадрат, получим у = (sin х + + 4.

                          5 (sin Х +          + 4 s 13.

Таким образом, наименьшее значение рассматриваемой функции равно 5.

4. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней квадратного уравнения

х-² — (2а +               + а² + 2 = 0 будет наименьшей.

Р е ш е н и е. Итак, нужно найти все значения параметра а, при которых выражение + х2 принимает наименьшее значение (хо — корни исходного уравнения).

Квадратное уравнение имеет корни, когда его дискриминант D больше или равен нулю:

         D 2 0 — (2а +              — 4(а² + 2) О

                            7

4

По теореме Виета + х2 =2а + 1, = а) + 2, а так как х: + х; = (Xi + Х2)² —2XlX2, то х: + х; = 2а² +4а —3 =

= 2(а² + 2а + 1) — 2 — З ¯

Таким образом, сумма квадратов корней уравне-

ния принимает наименьшее значение, когда значение выражения 2а² + 4а 3 = 2(а + — 5 ока-

зывается наименьшим, т.е. при а

Но при а — —1 уравнение х-² — (2а + 1)х + а² + + 2 = 0 не имеет действительных корней. Это означает, что следует провести более тщательный анализ поведения функции у(а) 5. Парабола, задающая эту функцию, направлена ветвями вверх и имеет вершину в точке с абсциссой а = —l. Значит, при а Е [—1; + ⁰⁰ ) функция у(а) возрастает, и, следовательно, первое значение, которое ей разрешено принимать, будет минимальным.

7

ПОСКОЛЬКУ а — «первым» значением функции у(а)

4 '   7 оказывается то, которое достигается при а = —. Сле4

довательно, сумма квадратов корней этого уравнения 7 принимает наименьшее значение при

4

В классе следует еще раз подчеркнуть, что при решении использовалась только та информация, с которой учащиеся знакомы еще с IX класса, в частности теорема Виета:

если xt, — действительные корни квадратного уравнения ах) + bx + с = 0, то

                                    а               а

Все четыре задания объединены не только общей темой, но и общим способом преобразования трехчлена — способом выделения полного квадрата. Этот способ трудно воспринимается учащимися, но весьма эффективен в задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значений.

5. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 2х² + (а + l)x + 1 — а² — 0 равны нулю?

Р е ш е н и е. Выясним сначала, при каких значениях а выполняется первое условие, т.е. уравнение имеет равные корни:

Пояснительная записка.

Данный курс <<Квадратный трехчлен и его приложения» способствует лучшему усвоению базового курса математики.

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения вступительной работы в вузы, а также хорошее подспорье для выступлений на математических олимпиадах.

Многочисленные задачи элементарной математики: исследование функций, решение логарифмических, показательных и тригонометрических уравнений, систем уравнений и неравенств сводится в конечном итоге, к решению квадратных уравнений или к исследованию квадратного трехчлена.

Теорема Виета необходима для решения сложных задач с параметром.

Познавательный материал курса будет способствовать формирования устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности. Наряду с основной задачей обучения математике, данный курс способствует выявлению и развитию математических способностей, выбора профиля дальнейшего обучения в старшей школе и успешно подготовиться к вступительным экзаменам в Вузы.

Цедъкурса:

-                    Создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся;

-                    Показать некоторые нептандартные приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических соображений;

-                    Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить огр есе-о-

возможности овладения им с точки зрения дальнейшей пе спективы;

 Формировать качества мышления характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе;

-                    Повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике.

Задачи к с

-                    Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме <<Квадратный трехчлен и его

-                    Обучение учащихся решению задач более высокой, по сравнению с обязательным уровнему сложности;

-                    Овладение рядом технических интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;

-                    Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Планируемые результаты:

1.                Новые приемы решения уравнений, систем уравнений и неравенств позволяет расширить и углубить базовый уровень.

2.                В результате изучения курса учащиеся приобретают уверенность в решении уравнений и неравенств, исследование корней квадратного трехчлена .

З. Усвоение данного курса будет способствовать развитию у учащихся интеллектуальных и творческих способностей, развитию интереса к обучению и осознанному дальнейшему выбора профиля.

Формы организации учебных занятий:

Лекция, объяснение, практическая работа, семинар, самостоятельная работа. ср/ьодтагерсва; C/z/cz2C'— СС ес>/Г2РЮ/сг hzenkE%Czzz—

bZ 50

тать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

-                    уверенно находить корни квадратного трехчлена, выбирая при этом рациональные способы решения;

-                    преобразовывать квадратный трехчлен (разложение на линейные множители, выделение квадратного двучлена);

-                    уверенно владеть системой определений, теорем, алгоритмов; - проводить самостоятельное исследование корней квадратного трехчлена;

-                    решать типовые задачи с параметром, требующие исследования расположения корней квадратного трехчлена.

Содержание программы.

Тема 1. Ква атныйт ехчлен Зч .

Квадратный трехчлен , его график. Корни квадратного трехчлена. Теорема Виета и ей обратная, их применение. Составление квадратного трехчлена по его корням. Разложение квадратного трехчлена на линейные и множители разными способами.

Метод обучения: репродуктивный: беседа, объяснение. Форма контроля: самостоятельная работа.

Тема 2. исследование ко ней квад атного т ехчлена 5ч .

Расположение корней квадратного трехчлена. Примеры применения свойств квадратного трехчлена при решении задач. Квадратный трехчлен и параметр.

Тема З. Квадратный трехчлен в задачах вступительных экзаменов.

Форма занятий: практическая работа.

Тема 4. Решение разнообразных (дополнительных) задач по всему курсу.

Беседа, творческие задания. Проверочная работа

Методические рекомендации:

Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

Одна из целей данного преподавания данного курса — ориентационная — помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.

Вводя учащихся в тематику занятий курса, следует отметить, что использование свойств квадратного трехчлена позволяет решать довольно сложные задачи. На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную лаконичную речь, способность рабо-

Государственное образовательное учреждение

Тверской областной институт усовершенствования учителей

Учебно-методический центр

Курсовой проект

<<Квадратный трехчлен и его приложения>>

(для 8 — 9 классов в рамках предпрофильной подготовки)

Тип проекта: предметно — ориентированный

Проект составила: Кузьменкова Валентина Владимировна, преподаватель математики Жарковской средней общеобразовательной школы .N2

Научный руководитель: Долгинцева Людмила Васильевна

Г.Тверь 2007г.