Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс на тему "Модуль и его применение"

Элективный курс на тему "Модуль и его применение"


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:






Модуль и его применение

(Элективный курс).






















ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Элективный курс «Модуль и его применение» составлен для учащихся 9-11 классов. Этот курс имеет предметно - ориентированное направление и включает углубленное изучение данной темы, выходящей за рамки школьной программы.

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля). Это понятие применяется не только в алгебре, но и в геометрии, физике, в теории приближённых вычислений. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы.

В школьной программе отводится очень мало часов на эту тему, и выработка прочных знаний и умений возможна только на дополнительных занятиях. Поэтому считаем целесообразным включение элективного курса «Модуль и его применение» в систему предпрофильной подготовки учащихся по математике. При изучении данного курса попутно повторяется огромный пласт основных знаний школьного курса по алгебре: решение линейных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений, построение графиков, метод интервалов.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволит повысить учебную мотивацию учащихся и проверить способности к математике.

Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, поможет оценить свои возможности и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.















основная цель:

Углублённо изучить методы решений уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, научить строить графики с модулем.


задачи:

-расширить представление о модуле;

-развитие способностей и интереса, учащихся к математической деятельности;

-показать актуализацию модуля в математике;

-подготовить к выбору старшей школы.

формы обучения:

-лекции (учитель объясняет методы решения задач с модулем);

-практические занятия (на конкретных примерах отрабатываются данные методы);

-зачёт (контрольная работа).


Данный курс предполагает 16 тематических занятий.

Тематический план курса


Тема

Количество часов

1. Понятие модуля, комбинация систем и совокупностей;

2. Линейные уравнения с одним модулем, с несколькими модулями, модуль в модуле;

3. Линейные неравенства с одним модулем, с несколькими модулями;

4. Решение систем, содержащих модуль;

5. Решение квадратных уравнений и неравенств с модулем;

6. Решение уравнений и неравенств с параметрами;

7. Построение графиков;

8.Примеры с модулем в экзаменационных заданиях.

9. Итоговый урок(зачётная работа).

1час


2часа


3часа


1час

3часа


1час

2часа

2часа

1час




Зачётный урок (проводится в конце курса).

вариант 1

1 Раскройте модули

а) | 5 hello_html_de3186e.gif| ;

б) |3hello_html_1caef8ee.gif–2hello_html_m980c3de.gif|;

в) | – х² + 2х – 2 | .

2 Решите уравнение

а) | 3х – 5 | = 2 ;

б) | х + 5 | – | х – 4 | = 1 ;

в) | х – 1| = 3х + 5 .

3 Решите неравенство

а) | 4х + 1 | ≥ 3 ;

б) | х + 1 | < | х – 3 | ;

в) | х² – 4 | ≤ 3х .

4 Постройте графики функций

а) Y = | х + 1 | – | х – 2 | ;

б) Y = hello_html_m65743889.gif² + 1 ;

в) Y = х² + | х | + 4 .hello_html_m53d4ecad.gif

вариант 2

1 Раскройте модули

а) | 4 – hello_html_14d919f1.gif | ;

б) | 3hello_html_m59c8c0fc.gif – 5hello_html_m980c3de.gif| ;

в) | х² + 6х + 10 | .

2 Решите уравнение

а) | 6 – 3х | = 2 ;

б) | 3 – х | = | 6 + х | ;

в) | х + 1 | = 2х + 8 .

3 Решите неравенство

а) | 4х – 3| < 1 ;

б) | х + 2 | < | х – 4 | ;

в) | х² – 2х | ≥ х .

4 Постройте графики функций

а) Y = | х – 2 | + | х + 2 | – 5 ; б) Y = hello_html_23e5d570.gif + 3 ;

в) Y = х² – 4| х | + 3 .


К данному элективному курсу предлагаем разработку темы «решение линейных неравенств с одним и несколькими модулями», расчитанную на три часа.



ТЕМА: Решение линейных неравенств, с одним и несколькими модулями.



Цели темы:

  1. Углубленно изучить методы решений неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

  2. Показать актуализацию модуля в математике

  3. развитие способностей и интереса учащихся к математической деятельности

План темы:

Подготовительный этап

  • Историческая справка об абсолютной величине числа (готовят ученики)

Первый этап. Теоретическая часть

Показать правила решения неравенств с модулем, с конспектированием их учениками в тетрадях

Второй этап. Применение полученных теоретических знаний на практике

  • Решение по образцу

Третий этап.

Устная работа

Четвертый этап.

Фронтальный опрос по теории с использованием вопросника

Пятый этап. Закрепление полученных знаний

  • Работа с тестами

Шестой этап. Контроль усвоения нового материала

  • ПО усмотрению учителя

Седьмой этап. Подведение итогов, задание на дом

  • Индивидуальные задания на карточках на три уровня

Восьмой этап. Решение заданий с модулем, предлагаемых на единых

государственных экзаменах

Этапы темы не разбиваем на уроки, это сделает сам учитель в зависимости от уровня способности группы.


Этапы уроков помещаем в приложении.














ПРИЛОЖЕНИЕ


Первый этап. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ


ПРАВИЛО 1


Решение неравенств, правая часть которого число.


|f(x)|<a не имеет решения, если а£0hello_html_m654f117d.gif


|f(x)| f(x)

f(x)>-a


|f(x)|>a <=> f(x)>a

f(x)<-a


|f(x)| £ a не имеет решения, если а<0


|f(x)| £ a <=> f(x)£a

f(x)³-a


|f(x)| ³ a <=> f(x)³a

f(x)£-a

Примеры:


| х+3 |<2 <=> х+3 <2 , х<-1,

х+3>-2; х>-5.

Ответ: х є (-5;-1)


|х-9|≥5 <=> х-9≥5, х≥14,

х-9≤-5; х≤4.

Ответ: х є (-∞;4] Ս [14;+∞)








ПРАВИЛО 2


Решение неравенств, правая часть которого функция.


|f(x)|< g(x) <=> f(x) < g(x)

f(x) > -g(x)

|f(x)| > g(x) <=> f(x) > g(x)

f(x) < -g(x)


|f(x)| £ g(x) <=> f(x) £ g(x)

f(x) ³ -g(x)

|f(x)| ³ g(x) <=> f(x) ³ g(x)

f(x) £ -g(x)


Примеры:


|2х+3| ≤ 4х <=> 2х+3 ≤ 4x -2х ≤ -3 х 1,5

2х+3 ≥ -4х 6х ≥ -3 х ≥ -0,5.


Ответ: х є [1,5; +∞)


|4-х| > -2х+1 <=> 4-x > -2х+1 х > -3 х > -3 4-х < 2х-1 -3х < -5 х > 5⁄3

Ответ: х є ( -3; +∞ ).


ПРАВИЛО 3


Неравенство |f(x)| < |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) < g²(x), < = > (f(x)-q(x))(f(x)+q(x))<0


Неравенство |f(x)| ≤ |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) ≤ g²(x), < = > (f(x)-q(x))(f(x)+q(x))≤0


Неравенство |f(x)| > |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) > g²(x), < = > (f(x)-q(x))(f(x)+q(x))>0


Неравенство |f(x)| ≥ |g(x)| равносильно неравенству

f²(x) ≥ g²(x), < = >(f(x)-q(x))(f(x)+q(x))≥0


Примеры:

|х+2| > |х-2|

Решение: неравенство |х+2| > |х-2| по правилу 3 равносильно неравенству (х+2)² > (х-2)²

х²+4х+4 > х²-4х+4

8х > 0

х > 0

Ответ : х є ( 0; +∞ )




|3x+2|≤|6-х|

Решение: неравенство |3x+2|≤|6-х| по правилу 3 равносильно неравенству( (3х+2)-(6-х))((3х+2)+(6-х))≤0 < = > (4х-4)(2х+8)≤0

Решая методом интервалов получим ответ.

Ответ : х є [-4;1]


ПРАВИЛО 4

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …< |g(х)|

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …> |g(х)|

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …≤ |g(х)|

|f1(х)| + |f2(х)| +|f3(х)| + …≥ |g(х)|


Неравенства, содержащие алгебраическую сумму двух и более неравенств с модулем, решаются методом интервалов, как и уравнения по схеме:|


  1. находят критические точки, т.е. значения х, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

  2. разбивают область допустимых значений х на промежутки, на каждом из которых выражения под знаком модуля сохраняют знак;

  3. раскрывают все модули на каждом из найденных промежутков и решают полученные неравенства и полученные решения объединить в множество решений исходного неравенства.


Примеры: Решить неравенство


|х-1| + |х+1| < 4


Решение :

Критические точки -1 и 1, отметим их на вещественной оси получим три интервала знакопостоянства.


Тогда исходное неравенство равносильно совокупности трех систем:

х < -1, х < -1,

-х + 1 –х -1 < 4; х > -2, получили -2 < х < -1;


-1≤ х ≤ 1, -1≤ х ≤1,

х-1 –х -1 < 4; 0х < 6, получим -1 ≤ х ≤1;


х > 1, х > 1,

х-1+х+1 < 4, х < 2, получим 1 < х < 2.

Объединим полученные решения, получим окончательный ответ.

Ответ: ( -2; 2 )


Второй этап. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ НА ПРАКТИКЕ

Решение по образцу:


| х | < 2, | х | ≥ 4,

| 5-х | > 1, | 7+х | ≤ 2,

| 6+5х | < 1, | 4х+1| ≤ 3,

| х | > 6-2х, | х+4 | + 5х > 6,

2 < | х | < 6, 0 ≤ | х | ≤ 5,

| | х+1|-1| < 1,

| 3+х | ≥ | х |, | 2х-1| < | 3х+1|,

| х | -2| х+1| +3| х+2 | ≥ 4,

2| х-2 | + | х+1 | ≤ 3х+1.


Третий этап. УСТНАЯ РАБОТА


1) При каких b верно неравенство:


b+|b| > 0, b³·|b| < 0, b²·|b| ≥ 0

2) При каких значениях переменной выполняется неравенство:


| х | > -1, | х | < -1,

| х | ≤ 0, | х | ≥ 0,

| х | ≥ -х², | х | > -| х-4 | ,

| х²-4 | ≤ 0, | х²-4 | > 0,

| х | ≥ х| (х-1) |, | х | > х| (х-1) |,

| х(х-1) | > -| х |, | х(х-1) | < -| х |,

х| х-1 | > 0, х| х-1 | ≤ 0.


Четвертый этап. Фронтальный опрос.


  1. На доске можно написать часть правила, а дальше попросить дописать учеников, например:

|f(x)| < |g(x)| < = > ?

| f(x)| a < = > ? и т.д.

  1. Можно написать правила с ошибками и попросить учеников найти эти ошибки.

Можно применить различные методы на этом этапе.


Пятый этап. Работа с тестами.

Тест:


1.Для неравенства | y | ≥ 5 выберите верный ответ:

1) (-5;5)

2)(-∞;-5] Ս [5;+∞)

3) (-5;+∞)

4) [-5;5]

2.Найдите наибольшее целое решение неравенства | х+2 | < 2 :

1) 0

2) -4

3) -1

4)-3

3.Число целых решений неравенства | х-1 | ≤ 3 равно:

1) 5

2) 7

3) 0

4) 4

4.Наименьшее целое решение неравенства | х-3 | < 2 равно:

1) 8

2) 2

3) 0

4) -1

5.Решение неравенства | х-1 | < | х | принадлежит промежутку:

1) (-∞;+)

2) (-∞;½)

3) (½;+∞)

4) (-½;½)

6.Выберите верный ответ для неравенства | х | + | х-6 | > 2:

1) (-∞;+∞)

2) (-∞;0] Ս [6;+∞)hello_html_m53d4ecad.gif

3) (-∞;0) Ս (6;+∞)hello_html_m53d4ecad.gif

4) [0;6].




Литература:

    1. Колесникова С.И. Математика.Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Москва. Айрис Пресс. 2001.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва. «Илекса». 2003.

3. Крамор В.С., Лунгу К.Н., Лунгу А.К. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах.

4. Приложение к газете «Первое сентября»№7 №12. 1996, №7. 1998. №5. 1999.

5. Жохов В.И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. Москва. «Просвещение».2001.

6. Журнал «Математика в школе» №3.1994, №2.1995, №5.1999.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

Элективный курс «Модуль и его применение» составлен  для учащихся 9-11 классов. Этот курс имеет предметно - ориентированное направление и включает углубленное изучение данной темы, выходящей за рамки школьной программы.  

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля). Это понятие применяется не только в алгебре, но и в геометрии, физике, в теории приближённых вычислений. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, на ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы. 

В школьной  программе  отводится очень мало часов на эту тему, и выработка прочных знаний и умений возможна только на дополнительных занятиях. Поэтому считаем целесообразным включение элективного курса «Модуль и его применение»  в систему предпрофильной подготовки учащихся  по математике. При изучении данного курса попутно повторяется огромный пласт основных знаний  школьного курса по алгебре: решение линейных уравнений и неравенств, решение квадратных уравнений, построение графиков, метод интервалов.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволит повысить учебную мотивацию учащихся и проверить способности к математике.

Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, поможет оценить свои возможности и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Автор
Дата добавления 20.07.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров149
Номер материала 587381
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх