Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции»

библиотека
материалов

Киселева М.В.учитель математики

МОУ «Средняя школа №17»

















Элективный курс

«Обратные тригонометрические функции»

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

  • Определение обратимой функции; условие обратимости функции; определение функции обратной по отношению к функции hello_html_m6ebf54ee.gif; свойства взаимно обратных функций.

  • Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

  • Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями

  • Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями

  • Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

Тематическое планирование

Тема занятия

Колич. часов

Вид занятия

Требования к математической подготовке

1

Понятие взаимно обратных функций. Свойства. Примеры.

1 час

Лекция

Знать определение обратной функции; условие обратимости функции; определение функции, обратной по отношению к функции hello_html_m6ebf54ee.gif; уметь находить функцию, обратную линейной функции hello_html_2d9f6e6b.gif; определять область определения и множество значений взаимно-обратных функций. Знать, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой hello_html_23557d10.gif, знать примеры взаимно-обратных функций.

2

Обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства. Тождества:

hello_html_m53884c52.gif

hello_html_m1d25dd6f.gif

1 час

Лекция

Знать на каком промежутке какая из тригонометрических функций обратима. Уметь строить графики взаимно-обратных тригонометрических функций, указывать их hello_html_4d7edfb6.gif, характер монотонности. Знать тождества:

hello_html_m53884c52.gif

hello_html_m4621eaa5.gif

hello_html_1adff8ed.gif

hello_html_19c966be.gif

Уметь применять при выполнении упражнений.

3

Вычисление значений обратных тригонометрических функций. Тождества:

hello_html_17c4c206.gif

hello_html_2c751d83.gif

1 час

Урок-практикум

Уметь доказывать и применять тождества:

hello_html_17c4c206.gif

hello_html_2c751d83.gif

Уметь находить значения выражений типа:

hello_html_c5530cb.gif

hello_html_m5845ef3d.gif

А также выражений типа:

hello_html_m1ce564e2.gif

hello_html_m5c769911.gif

4

Нахождение области определения и множества значений функции; решение уравнений функциональным методом.

2 часа

Урок-практикум

Уметь находить область определения и множество значений функции типа

hello_html_m3ad34173.gifв несложных случаях. Применять эти умения при решении уравнений функциональным методом.


5

Решение уравнений и неравенств используя свойства монотонности обратных тригонометрических функций, тождества.

2 часа

Урок-практикум

Уметь применять свойство монотонности обратных тригонометрических функций и доказанные ранее тождества при решении несложных уравнений и неравенств.

6

Урок-консультация

1 час




ЛИТЕРАТУРА

  1. Г,В. Дорофеев и др. Пособие по математике для поступающих в вузы, издательства «Наука» М., 1967 г.

  2. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Алгебра и элементарные функции. Справочник «науковая думка» киев 1976г.

  3. В.С. Крамор, К.Н. Лунгу Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии. Пособие для старшеклассников и абитуриентов. АРКТИ, М., 2001 г.

  4. В.К. Бернан, А.Б, Никитин «Математика» (практикум) Санкт-Петербург, издательство Политехнического университета, 2006г.

  5. Б.Г. Зив «Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до более сложных» Санкт-Петербург, 1997г, НПО «Мир и семья-95»

  6. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник-практикум по математике. Для поступающих в ВУЗы. М., «Мир и Образование», 2005г.

  7. Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина Функциональный метод решения уравнений и неравенств. Библиотека «первого сентября». Серия «Математика». М., 2008г.

  8. Математика на вступительных экзаменах в СПбГПУ (под редакцией профессора В.В, Глухова) СПб: издательство политехнического университета 2005г.

  9. «3000 конкурсных задач по математике» М., Айрис-пресс 1998 г.
















МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

По данной теме с учащимися проводится беседа следующего содержания.

Сравним две функции hello_html_m410e3b67.gif, графики которых изображены на рисунке. Обе они определены на отрезке hello_html_5707c404.gif, множеством их значений является отрезок hello_html_m1cbe2098.gif Функция hello_html_5a44a6b1.gif обладает таким свойством: какое бы число hello_html_7e672011.gifиз множества значений функции ни взять, оно является значением функции в одной точке hello_html_69b83015.gif hello_html_m2e81cfac.gif

hello_html_m76c6a093.jpghello_html_529f68da.jpg


Функция hello_html_m71a4dd8d.gif таким свойством не обладает. Так, выбранного на рисунке значения hello_html_7e672011.gif имеем hello_html_m6642d792.gif hello_html_dd57448.gif. Иными словами, среди значений функции hello_html_m71a4dd8d.gif имеются такие, которые функция принимает более чем в одной точке области определения. Говорят, что функция hello_html_mb93dfec.gif обратима, а функцияhello_html_758f3af0.gif необратима.

Определение: функция hello_html_m6ebf54ee.gif определенная на промежутке hello_html_5a4a4068.gif называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка hello_html_5a4a4068.gif.

Иными словами, любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.

Теорема. Если функция hello_html_m6ebf54ee.gif монотонна на промежутке hello_html_5a4a4068.gif, то она обратима.


Доказательство: пусть hello_html_mb93dfec.gif возрастает на hello_html_5a4a4068.gif, тогда лбым двум значениям аргумента hello_html_m42f6ae09.gifсоответствуют значения функции hello_html_m43afbca.gif. Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции, функция hello_html_mb93dfec.gif обратима.

Определение. Пусть обратимая функция hello_html_m6ebf54ee.gif определена на промежутке hello_html_m4f3a936b.gif, а множество её значений является промежуток hello_html_7b8a5476.gif. Поставим в соответствии каждому hello_html_m6d4c9b0c.gif то единственное значение hello_html_m4f3a936b.gif , при котором hello_html_m6226aec5.gif (т.е. единственный корень уравнения hello_html_m6226aec5.gif). Получим функцию hello_html_55662939.gif которая называется обратной по отношению к функции hello_html_m6ebf54ee.gif

Из теоремы следует, что для любой монотонности на hello_html_5a4a4068.gif функции hello_html_m6ebf54ee.gif существует обратная функция. Чтобы найти ее нужно из уравнения hello_html_m6ebf54ee.gif выразить hello_html_m76b3a89.gif, а затем обозначить аргумент буквой hello_html_m4f3a936b.gif, а функцию буквой hello_html_68d59393.gif, как принято: hello_html_m71a4dd8d.gif.

Если пара чисел hello_html_345db32d.gif удовлетворяет уравнению hello_html_m6ebf54ee.gif, то уравнению hello_html_m71a4dd8d.gif удовлетворяет пара чисел hello_html_cd5d97e.gif. Этот переход от функции hello_html_m526c7289.gif к обратной функции связана с изменением ролей множества hello_html_m7c4eeab2.gif.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной.

График функции hello_html_m71a4dd8d.gif получается из графика функции hello_html_m6ebf54ee.gif с помощью преобразования плоскости, переводящего точку hello_html_1b5cb79b.gif. Это преобразование – симметрия относительно прямой hello_html_23557d10.gif.

Итак, графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой hello_html_23557d10.gif.

Пример 1.

hello_html_3d05803f.gif

hello_html_6762581b.gifфункция возрастает на hello_html_17021104.gif, поэтому имеет обратную.

Выразим hello_html_m3bb4f732.gif

hello_html_m6369763f.gif

Заменяем hello_html_4d1dd930.gif

Функция hello_html_m26cc8128.gif является обратной для функции hello_html_3d05803f.gif.

hello_html_m73273369.jpg










Графики функций симметричны относительно прямой hello_html_m733f8905.gif

Пример 2. hello_html_aa97a32.gif

Функция hello_html_7d177a5.gifвозрастает на промежуткеhello_html_m47bc3dd8.gif, значит, она имеет обратную.

Выразим hello_html_m4f3a936b.gifчерез hello_html_68d59393.gif: hello_html_m7926cfe6.gif (Заметимhello_html_73acd431.gif )

Заменяем hello_html_m4f3a936b.gif на hello_html_68d59393.gif, hello_html_68d59393.gif на hello_html_m4f3a936b.gif:hello_html_m526df9e2.gif

Функцияhello_html_m495ad477.gif является обратной для функции hello_html_aa97a32.gif

График функцииhello_html_m495ad477.gif строим симметрично графику функции

hello_html_1f1abf45.gif относительно прямойhello_html_23557d10.gif



hello_html_246bc32b.jpg








Пример 3. hello_html_17911c4a.gif

Функция hello_html_17911c4a.gif возрастает на промежутке hello_html_m47bc3dd8.gif, а значит, имеет себе обратную.

Выразим hello_html_m4f3a936b.gifчерез hello_html_68d59393.gif : hello_html_m1520e99d.gif

hello_html_m7964ccc.gif(hello_html_7c26160f.gif не удовлетворяет условию hello_html_1a08072b.gif )

Заменим hello_html_m4f3a936b.gif на hello_html_68d59393.gif, hello_html_68d59393.gif на hello_html_m4f3a936b.gif: hello_html_m11721ade.gif

Функция hello_html_17911c4a.gif и hello_html_m11721ade.gif взаимно обратные, их графики симметричны относительно прямой hello_html_23557d10.gif.

hello_html_m395eb192.jpg









Также можно доказать, что если одна из взаимно-обратных функций возрастает, то и другая возрастает.

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса и выводы, которые следуют из определений, удобно записать в виде таблицы.

hello_html_136a3b8e.gif, если

  1. hello_html_m6166ebaa.gif

  2. hello_html_5de9a0cf.gif

hello_html_m1232106.gif, если

  1. hello_html_1572937d.gif

  2. hello_html_5846ea1f.gif

hello_html_m56f1d46e.gif, если

  1. hello_html_m755aefb2.gif

  2. hello_html_5846ea1f.gif

hello_html_m508c60c6.gif, если

  1. hello_html_m4566bb47.gif

  2. hello_html_5de9a0cf.gif

hello_html_73a1b4a3.gif

hello_html_178aa6d0.gif

hello_html_m22e7f2df.gif

hello_html_178aa6d0.gif

hello_html_43fd74e0.gif

hello_html_mad03c9e.gif

hello_html_2c9a6e40.gif

hello_html_mad03c9e.gif

hello_html_m7f85fb9b.gif

hello_html_m307eca5f.gif

hello_html_m22ad055b.gif

hello_html_2efd8764.gif

hello_html_78b02131.gif

hello_html_m380429b8.gif

hello_html_5e7efb02.gif

hello_html_m3afbdd2e.gif


Дальнейшее объяснение можно вести таким образом.

Функция hello_html_m55a844cf.gif убывает на отрезке hello_html_m26d4032c.gif поэтому имеет себе обратную: hello_html_m3fe7688e.gif

Функция

hello_html_m55a844cf.gif

hello_html_m3fe7688e.gif

hello_html_340d8d01.gif

hello_html_m26d4032c.gif

hello_html_m5c4329d9.gif

hello_html_m3879f652.gif

hello_html_m5c4329d9.gif

hello_html_m26d4032c.gif

Характер монотонности

Функция убывает на отрезке: hello_html_m26d4032c.gif

Функция убывает на отрезке: hello_html_m5c4329d9.gif


Графики симметричны относительно прямой hello_html_23557d10.gif.



Документ1.jpg












Функция hello_html_17d85d9d.gif возрастает на отрезке hello_html_206470dd.gif, поэтому имеет себе обратную: hello_html_m424bb8aa.gif

Функция

hello_html_17d85d9d.gif

hello_html_m424bb8aa.gif

hello_html_340d8d01.gif

hello_html_206470dd.gif

hello_html_m5c4329d9.gif

hello_html_m3879f652.gif

hello_html_m5c4329d9.gif

hello_html_206470dd.gif

Характер монотонности

Возрастает на отрезке:
hello_html_206470dd.gif

Возрастает на отрезке:
hello_html_m5c4329d9.gif


Документ2.jpg














Функция hello_html_1c6d1705.gif возрастает на интервале hello_html_3f0314ad.gif, поэтому имеет себе обратную: hello_html_a225231.gif

Функция

hello_html_1c6d1705.gif

hello_html_a225231.gif

hello_html_340d8d01.gif

hello_html_3f0314ad.gif

hello_html_6deb6ac3.gif

hello_html_m3879f652.gif

hello_html_6deb6ac3.gif

hello_html_3f0314ad.gif

Характер монотонности

Возрастает на интервале
hello_html_3f0314ad.gif

возрастает

Документ3.jpg

Докажем тождество hello_html_2be61c23.gif

Перепишем его в виде hello_html_m2bf99b00.gif и обозначим hello_html_mf910a0c.gif тогда

hello_html_m6816b5de.gif. однако hello_html_1c0edefe.gif это означает, что hello_html_m21196483.gif. Значит, hello_html_m21a0907f.gif что и требовалось доказать.

Функция hello_html_5b99da89.gif

Докажем тождество hello_html_4094696e.gif, где hello_html_m19d21570.gif.

Пусть hello_html_5961f73.gif, это означает hello_html_m5f53c84e.gif

Тогда hello_html_18b4e130.gif

hello_html_249f07ea.gif

hello_html_m76c28058.gif

Это означает, что hello_html_1b2f4468.gif значит,

hello_html_36a7ea48.gif, что и требовалось доказать.

Функция hello_html_m342d2da2.gif

Справедливы также тождества:

hello_html_m5a11d8e6.gif

hello_html_m4021e3cd.gif

Докажем тождество

hello_html_61729137.gif

Данное тождество равносильно следующему:

hello_html_m46c8e28a.gif, но hello_html_mc0f7599.gif т.к. hello_html_627af23d.gif, то hello_html_62e8ed7d.gif из этих условий hello_html_m13fea266.gif следует, что hello_html_m33f84019.gif или hello_html_m340184ec.gif, что и требовалось доказать.

Справедливо также тождество hello_html_m52355029.gif.

Вычислим hello_html_6870ae29.gif, где hello_html_178aa6d0.gif

Пусть hello_html_m1232106.gif, причем hello_html_5846ea1f.gif и hello_html_1572937d.gif требуется вычислить hello_html_54f7c421.gif.

hello_html_24a1716f.gif, т.е. hello_html_1a2575.gif

На этом промежутке hello_html_m5cca37c4.gif поэтому hello_html_130695e1.gif. Итак, hello_html_4f8dd9d2.gif

справедливо также тождество: hello_html_m553a8f23.gif.





















БАНК ЗАДАЧ

Задания для устных упражнений.

  1. Вычислить:

    • hello_html_1bd85ded.gif;

    • hello_html_755eab9.gif;

    • hello_html_m2667db53.gif;

    • hello_html_30b3ac1f.gif;

    • hello_html_2ae97c56.gif;

    • hello_html_m417db746.gif;

    • hello_html_m4fc4c142.gif;

  2. Пересекаются ли графики функций:

    • hello_html_18d75db.gif;

    • hello_html_m28d48e70.gif;

  3. Решить неравенство

    • hello_html_m318663df.gif

    • hello_html_m3fac363c.gif

    • hello_html_6ef9b115.gif

  4. Найти область определения и множество значений функции:

    • hello_html_1fd2d2ce.gif

    • hello_html_m338835b7.gif

    • hello_html_m5571742d.gif


Построить графики этих функций.

Задания к занятиям

  1. Вычислить:

    1. hello_html_m3b36ba0c.gif;

Решение:

hello_html_4ab8f9e3.gifт.к. hello_html_3cb95d1b.gif;

    1. hello_html_1a0e520c.gif

    2. hello_html_m1356f5c8.gif;

    3. hello_html_m6690d59.gif;

    4. hello_html_m1ae3311c.gif;

Решение:

hello_html_m5efcb859.gif

hello_html_m73a37f1e.gif

hello_html_3e31202d.gif

hello_html_m50a83aa0.gif

hello_html_77281096.gif

    1. hello_html_m6fde836e.gif;

    2. hello_html_362cba60.gif;

    3. hello_html_792d5b80.gif;

    4. hello_html_1012daaa.gif;

    5. hello_html_m263a880c.gif;

    6. hello_html_m2da0f52c.gif;

    7. hello_html_28c076c9.gif

  1. Найти область определения функции:

    1. hello_html_431fb285.gif

    2. hello_html_m5d2e3803.gif

    3. hello_html_4441bb8a.gif

    4. hello_html_7d3afe29.gif

    5. hello_html_mafb1540.gif

    6. hello_html_65f2a2b5.gif

  1. Найти множество значений функции:

    1. hello_html_m2f0a04c8.gif

Решение:

Пусть hello_html_5ae7e540.gif

hello_html_m8d0e7e3.gif

hello_html_m69676c13.gif

hello_html_15a20870.gif

функция hello_html_m1b0f10a5.gif непрерывна, возрастает на отрезке hello_html_m124a88e.gif, значит hello_html_7fbd0265.gif

    1. hello_html_7cc8315b.gif;

Ответ: hello_html_295ffc5c.gif;

    1. hello_html_32a7fa65.gif;

Решение:

Обозначим hello_html_m39e1f47b.gif

hello_html_3ecfd278.gif

hello_html_m9b54d35.gif

hello_html_22c2096d.gif

Рассмотрим функцию hello_html_27e0dfdf.gif, убывающую на отрезке hello_html_m5c4329d9.gif

hello_html_6dee7133.gif

hello_html_4b3eede4.gif

hello_html_m36a67e71.gif

Ответ: hello_html_m16810ab7.gif

    1. hello_html_64106326.gif

Ответ: hello_html_m43b29d2d.gif.

  1. Решить уравнения, используя определение обратных тригонометрических функции.

    1. hello_html_md5b4ca1.gif

    2. hello_html_m5974d696.gif

    3. hello_html_2cffd43e.gif

Ответы: а. 4; б.1; в. 4;

  1. Решить уравнения методом введения новой переменной:

  1. hello_html_42bcc1ab.gif

  2. hello_html_m478f6cce.gif

  3. hello_html_m3e036469.gif

Ответы: а. hello_html_m56c3f715.gif б. 1; в. hello_html_468610ac.gif.

  1. Решить уравнение (неравенство), используя тождество hello_html_11c8099e.gif

  1. hello_html_m50a809fe.gif

Решение:

hello_html_m1ba10a38.gif

hello_html_mf18caca.gif

hello_html_m405443e7.gif

hello_html_430ac507.gif

hello_html_m17ec109d.gif

Ответ: -1;0.

  1. hello_html_m9bd1f3c.gif

  2. hello_html_553bc01b.gif

  3. hello_html_m282d2299.gif

Решение:

hello_html_52cd9c25.gif

hello_html_27c12dc6.gif

hello_html_48b1a048.gif

Т.к. функция hello_html_m5f5cabe7.gif убывающая, то hello_html_45272ba0.gif

Область определения неравенства hello_html_m5c4329d9.gif

Учитывая это, имеем hello_html_m629a92e7.gif

Ответ: hello_html_m4225c884.gif

  1. Решить уравнение (неравенство) используя тождества:

hello_html_2e136b6a.gif

hello_html_m66eb294d.gif

  1. hello_html_m60c2595.gif

Решение:

Область определения уравнения:

hello_html_160ba94a.gifhello_html_m2052a4d1.gifт.е. hello_html_17089105.gif

hello_html_m7a903127.gif

hello_html_m398de5f8.gif

hello_html_5cbc7cb1.gif

hello_html_37a94e22.gif

hello_html_47cb6c2e.gif

hello_html_74814c33.gif

hello_html_1cebe72f.gif, значит, равенство достигается, если hello_html_106b87fa.gif

Поэтому hello_html_m1fb0c9d.gif посторонний корень.

Ответ: hello_html_m1fb0c9d.gif

  1. hello_html_m78ecacd2.gif

Решение:

Область определения уравнения: hello_html_m5c4329d9.gif

hello_html_2e1808a9.gif

hello_html_m7e63e1ba.gif

hello_html_31ed621a.gif

hello_html_m71999506.gif

hello_html_m28bbdac8.gif

hello_html_14192e8a.gif; hello_html_m1c1fbc27.gif

hello_html_6b80621e.gifне удовлетворяет условию hello_html_1a08072b.gif

Ответ: hello_html_1e81b6ba.gif

  1. hello_html_m4c00794f.gif

Решение:

Область определения неравенства

hello_html_264d4aa6.gifhello_html_24651940.gif

hello_html_63eb5faf.gif

hello_html_mb672fde.gif

Т.к. функция hello_html_f16c70.gif

Решим неравенство hello_html_m4b290d64.gif

hello_html_10e0a7ea.gif

hello_html_66b05213.gif

hello_html_m661e0ad0.gif

hello_html_55a5b86a.gif

hello_html_9134841.gif



Документ4.jpg




Решение системы hello_html_m2ebeb722.gif

Решением неравенства является интервал hello_html_m2ebeb722.gif.

Учитывая область определения неравенства, имеем hello_html_604e27c9.gif

Ответ: hello_html_m2ebeb722.gif

  1. hello_html_m3634ac4.gif

  2. hello_html_m6039ed30.gif

Решение:

Область определения неравенства:

hello_html_m73aeb4a7.gif

hello_html_m25cf3815.gif

hello_html_m33298309.gif

Т.к. функция hello_html_3558fc75.gif нечетная, то:

hello_html_m54813c5c.gif

hello_html_m71dc095e.gif

Т.к. функция hello_html_3558fc75.gif возрастающая то hello_html_m19d74f83.gif

Решим неравенство:

hello_html_6e082100.gif

hello_html_m7a2d7d77.gif

hello_html_7003a999.gif

hello_html_794ed672.gif

hello_html_m744a1f3d.gif

hello_html_m69e54901.gif


Документ5.jpg

Решением системы является интервал hello_html_m7c4594ba.gif

Учитывая область определения, записываем решение неравенства hello_html_25df9c30.gif

Ответ: hello_html_6235b359.gif


  1. Решить уравнения, взяв синус (косинус) от обеих частей уравнения.

Решая таким методом, нужно учитывать что равенство тригонометрических функций влечет за собой равенство углов, если эти углы лежат, например в 1 четверти.

  1. hello_html_m5b75593.gif

Решение:

Область определения уравнения:

hello_html_6732dd6b.gif

hello_html_m42415b61.gif

hello_html_m70853e96.gif

hello_html_4a750004.gif

Т.к. hello_html_529af4b9.gif, то

hello_html_m6c5b4572.gif

hello_html_45bb16b7.gif

hello_html_1fbfb86a.gif

hello_html_9caf0f6.gif

hello_html_m2c8f5b2c.gif

hello_html_7a667ecb.gif

Т.к. hello_html_m11844711.gif , то hello_html_m3e0641f0.gif - корень уравнения

Ответ: hello_html_m6e3ecaf7.gif

  1. hello_html_519f94be.gif

Ответ: hello_html_m2e0b71bb.gif

  1. hello_html_587a7c57.gif

Решение:

Область определения уравнения – отрезок hello_html_m1bc728a9.gif

hello_html_7be21687.gif

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

hello_html_m180d2670.gif

hello_html_m6451a71f.gif

hello_html_m4717037.gif

hello_html_4fd0ca0d.gif

hello_html_77ff016f.gif

hello_html_5873056d.gif

hello_html_47427de9.gif

hello_html_62816c7a.gif

hello_html_494fa5f4.gif

Следовательно, hello_html_77ff016f.gif – корень уравнения.

Ответ: hello_html_24803750.gif

  1. Докажите, что уравнение не имеет решений.

  1. hello_html_2c6f60b2.gif

Решение:

Найдем область определения уравнения.

hello_html_m233e09dd.gif

Система решений не имеет; область определения уравнения – пустое множество; поэтому уравнение не имеет решений.

  1. hello_html_77eb557c.gif

  1. Решить уравнение:

  1. hello_html_m1ea60614.gif

Решение:

Найдем область определения уравнения.

hello_html_2bcb6f01.gif

hello_html_m52287090.gif

hello_html_68b5fb47.gif

hello_html_10c0a7e0.gif

hello_html_m4461b9ee.gif

Решение системы hello_html_m1c7b9ae5.gif

область определения уравнения состоит из одного числа hello_html_m1c7b9ae5.gif

проверим является ли 1 корнем уравнения

hello_html_12493279.gif- верное равенство т.о. hello_html_m54a198db.gifкорень уравнения.

Ответ: hello_html_4ec647d4.gif

  1. hello_html_m14d8925.gif

Ответ: 3.

  1. Решить неравенство:

  1. hello_html_m18ac5b2d.gif

Решение:

Найдем область допустимых значений:

hello_html_2e0a5040.gif

hello_html_m69d27398.gif

hello_html_m38f724ee.gif

hello_html_m309010d0.gif

Т.о. при hello_html_m69d27398.gif выполняется неравенство hello_html_m18ac5b2d.gif

Ответ: hello_html_m42903ee1.gif

  1. hello_html_ac8ffbf.gif

Ответ: hello_html_m4539fbc8.gif


  1. Решить уравнение (неравенство) функциональным методом

  1. hello_html_m4a9d5dac.gif

  2. hello_html_6ed36c6b.gif

  3. hello_html_m95d50a3.gif

  4. hello_html_m6d716628.gif

  5. hello_html_m3fcfa358.gif

  6. hello_html_2aecaf58.gif

  7. hello_html_m2f715b8a.gif

Ответы: а). 0; б). 3; в).2; г). hello_html_m5c4329d9.gif; д).hello_html_m5c4329d9.gif; е). 0,5; ж).-0,5.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

  1. Найти значение выражения:


    1. hello_html_m6a2afa48.gif

    2. hello_html_68cdda5c.gif

    3. hello_html_1c4f4b2b.gif

    4. hello_html_m37abffd6.gif

    5. hello_html_m3b299434.gif

    6. hello_html_m2719f512.gif



  1. Упростить выражение

  1. hello_html_m71d49429.gif

  2. hello_html_52c9773.gif

  3. hello_html_7788c961.gif

  4. hello_html_180d43a1.gif



  1. Найти область определения, множество значений функции. Построить график.


  1. hello_html_301113ad.gif

  2. hello_html_48daad6e.gif


  1. Решить неравенство


  1. hello_html_m71933d91.gif

  2. hello_html_3f19f104.gif

  3. hello_html_m5e03e2f7.gif

  4. hello_html_m22bdd571.gif



  1. Решить уравнение


  1. hello_html_m4ec9aa36.gif

  2. hello_html_681ef598.gif


  1. Решить уравнение функциональным методом:


  1. hello_html_41cb1ed4.gif

  2. hello_html_44abab4c.gif

  3. hello_html_3c722906.gif

  4. hello_html_m69fec9e8.gif

  5. hello_html_m277de734.gif

  6. hello_html_m26c36ad8.gif



Краткое описание документа:

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
  • ·         Определение обратимой функции; условие обратимости  функции; определение функции обратной по отношению к функции ; свойства взаимно обратных функций.
  • ·         Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
  • ·         Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями
  • ·         Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями
  •    Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

в курсе представлено тематическое планирование, методические рекомендации и банк задач, задачи для самостоятельной работы учащихся

Автор
Дата добавления 25.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров444
Номер материала 410064
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх