- 25.02.2015
- 602
- 0
МОУ «Средняя школа №17»
Элективный курс
«Обратные тригонометрические
функции»
·
Определение
обратимой функции; условие обратимости функции; определение функции обратной
по отношению к функции 
;
свойства взаимно обратных функций.
· Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
· Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями
· Тождественные преобразования выражений с обратными тригонометрическими функциями
· Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции
Тематическое планирование
|
№ |
Тема занятия |
Колич. часов |
Вид занятия |
Требования к математической подготовке |
|
1 |
Понятие взаимно обратных функций. Свойства. Примеры. |
1 час |
Лекция |
Знать определение обратной функции; условие
обратимости функции; определение функции, обратной по отношению к функции |
|
2 |
Обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства. Тождества:
|
1 час |
Лекция |
Знать на каком промежутке какая из
тригонометрических функций обратима. Уметь строить графики взаимно-обратных
тригонометрических функций, указывать их
Уметь применять при выполнении упражнений. |
|
3 |
Вычисление значений обратных тригонометрических функций. Тождества:
|
1 час |
Урок-практикум |
Уметь доказывать и применять тождества:
Уметь находить значения выражений типа:
А также выражений типа:
|
|
4 |
Нахождение области определения и множества значений функции; решение уравнений функциональным методом. |
2 часа |
Урок-практикум |
Уметь находить область определения и множество значений функции типа
|
|
5 |
Решение уравнений и неравенств используя свойства монотонности обратных тригонометрических функций, тождества. |
2 часа |
Урок-практикум |
Уметь применять свойство монотонности обратных тригонометрических функций и доказанные ранее тождества при решении несложных уравнений и неравенств. |
|
6 |
Урок-консультация |
1 час |
|
|
1) Г,В. Дорофеев и др. Пособие по математике для поступающих в вузы, издательства «Наука» М., 1967 г.
2) Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко Алгебра и элементарные функции. Справочник «науковая думка» киев 1976г.
3) В.С. Крамор, К.Н. Лунгу Повторяем и систематизируем школьный курс тригонометрии. Пособие для старшеклассников и абитуриентов. АРКТИ, М., 2001 г.
4) В.К. Бернан, А.Б, Никитин «Математика» (практикум) Санкт-Петербург, издательство Политехнического университета, 2006г.
5) Б.Г. Зив «Задачи по алгебре и началам анализа от простейших до более сложных» Санкт-Петербург, 1997г, НПО «Мир и семья-95»
6) В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович Задачник-практикум по математике. Для поступающих в ВУЗы. М., «Мир и Образование», 2005г.
7) Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина Функциональный метод решения уравнений и неравенств. Библиотека «первого сентября». Серия «Математика». М., 2008г.
8) Математика на вступительных экзаменах в СПбГПУ (под редакцией профессора В.В, Глухова) СПб: издательство политехнического университета 2005г.
9) «3000 конкурсных задач по математике» М., Айрис-пресс 1998 г.
По данной теме с учащимися проводится беседа следующего содержания.
Сравним
две функции 
, графики которых изображены на рисунке. Обе они
определены на отрезке 
, множеством их значений является отрезок 
Функция 
обладает таким
свойством: какое бы число 
из множества значений функции ни взять, оно является
значением функции в одной точке 
Функция 
таким свойством не обладает. Так, выбранного на рисунке значения 
имеем 
. Иными словами, среди значений функции имеются такие, которые функция принимает более чем в одной точке
области определения. Говорят, что функция 
обратима, а функция
необратима.
Определение:
функция определенная на промежутке 
называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в
одной точке промежутка .
Иными словами, любым различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
|
Теорема. Если функция |
Доказательство: пусть возрастает на , тогда лбым двум значениям аргумента 
соответствуют значения функции 
. Таким образом, различным значениям аргумента соответствуют различные
значения функции, функция обратима.
Определение.
Пусть обратимая функция определена на промежутке 
, а множество её значений является промежуток 
.
Поставим в соответствии каждому 
то единственное значение , при котором 
(т.е. единственный корень уравнения ). Получим функцию 
которая называется обратной по отношению к функции
Из
теоремы следует, что для любой монотонности на функции
существует обратная функция. Чтобы найти ее нужно из уравнения выразить 
, а затем обозначить аргумент буквой ,
а функцию буквой 
, как принято: .
Если
пара чисел 
удовлетворяет уравнению , то уравнению удовлетворяет пара чисел 
. Этот переход от функции 
к обратной функции связана с изменением ролей множества 
.
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной.
График
функции получается из графика функции с помощью преобразования плоскости, переводящего точку 
. Это преобразование – симметрия относительно прямой 
.
Итак,
графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой .
Пример 1.
функция возрастает на 
, поэтому имеет обратную.
Выразим 
Заменяем 
Функция 
является обратной для
функции .
Графики
функций симметричны относительно прямой 
Пример
2. 
Функция 
возрастает на промежутке
, значит, она имеет обратную.
Выразим 
через : 
(Заметим
)
Заменяем на , на :
Функция
является обратной для функции
График функции строим симметрично графику функции
относительно
прямой
Пример 3. 
Функция возрастает на промежутке 
, а значит, имеет себе обратную.
Выразим 
через : 
(
не
удовлетворяет условию 
)
Заменим на , на : 
Функция и взаимно обратные, их графики симметричны относительно прямой .
Также можно доказать, что если одна из взаимно-обратных функций возрастает, то и другая возрастает.
|
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дальнейшее объяснение можно вести таким образом.
Функция 
убывает на отрезке 
поэтому имеет себе
обратную: 
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер монотонности |
Функция убывает на
отрезке: |
Функция убывает на отрезке: |
|
|
Графики симметричны
относительно прямой |
|
Функция 
возрастает на отрезке 
, поэтому имеет себе
обратную: 
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер монотонности |
Возрастает на отрезке: |
Возрастает
на отрезке: |
Функция 
возрастает на интервале 
, поэтому имеет себе
обратную: 
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер монотонности |
Возрастает на интервале |
возрастает |
Докажем
тождество 
Перепишем его в виде 
и обозначим 
тогда
. однако 
это означает, что 
. Значит, 
что и требовалось
доказать.
Функция
Докажем
тождество 
,
где 
.
Пусть 
, это означает 
Тогда 
Это означает, что 
значит,
, что и требовалось
доказать.
Функция
Справедливы также тождества:
Докажем тождество
Данное тождество равносильно следующему:
, но 
т.к. 
, то 
из этих условий 
следует, что 
или 
, что и требовалось
доказать.
Справедливо
также тождество 
.
Вычислим
,
где 
Пусть 
, причем 
и 
требуется вычислить 
.
, т.е. 
На этом промежутке 
поэтому 
. Итак, 
справедливо также тождество: 
.
БАНК ЗАДАЧ
1. Вычислить:
·
;
·
;
·
;
·
;
·
;
·
;
·
;
2. Пересекаются ли графики функций:
·
;
·
;
3. Решить неравенство
·
·
·
4. Найти область определения и множество значений функции:
·
·
·
Построить графики этих функций.
Задания к занятиям
1. Вычислить:
а. 
;
Решение:
т.к. 
;
б. 
в. 
;
г. 
;
д. 
;
Решение:
е. 
;
ж. 
;
з. 
;
и. 
;
к. 
;
л. 
;
м. 
2. Найти область определения функции:
а. 
б. 
в. 
г. 
д. 
е. 
3. Найти множество значений функции:
а. 
Решение:
Пусть 
функция 
непрерывна, возрастает на
отрезке 
, значит 
б. 
;
Ответ: 
;
в. 
;
Решение:
Обозначим 
Рассмотрим функцию 
, убывающую на отрезке 
Ответ: 
г. 
Ответ: 
.
4. Решить уравнения, используя определение обратных тригонометрических функции.
а. 
б. 
в. 
Ответы: а. 4; б.1; в. 4;
5. Решить уравнения методом введения новой переменной:
а. 
б. 
в. 
Ответы: а. 
б. 1; в. 
.
6.
Решить
уравнение (неравенство), используя тождество 
а. 
Решение:
Ответ: -1;0.
б. 
в. 
г. 
Решение:
Т.к. функция 
убывающая, то 
Область определения неравенства
Учитывая это, имеем 
Ответ: 
7. Решить уравнение (неравенство) используя тождества:
а. 
Решение:
Область определения уравнения:
т.е. 
, значит, равенство достигается,
если 
Поэтому 
посторонний корень.
Ответ:
б. 
Решение:
Область определения уравнения:
; 
не удовлетворяет условию
Ответ: 
в. 
Решение:
Область определения неравенства
Т.к. функция 
Решим неравенство 
Решение системы 
Решением неравенства является
интервал .
Учитывая область определения
неравенства, имеем 
Ответ:
г. 
д. 
Решение:
Область определения неравенства:
Т.к. функция 
нечетная, то:
Т.к. функция 
возрастающая то 
Решим неравенство:
Решением системы является интервал
Учитывая область определения,
записываем решение неравенства 
Ответ: 
8. Решить уравнения, взяв синус (косинус) от обеих частей уравнения.
Решая таким методом, нужно учитывать что равенство тригонометрических функций влечет за собой равенство углов, если эти углы лежат, например в 1 четверти.
а. 
Решение:
Область определения уравнения:
Т.к. 
, то
Т.к. 
, то 
- корень уравнения
Ответ: 
б. 
Ответ: 
в. 
Решение:
Область определения уравнения –
отрезок 
Возьмем синус от обеих частей уравнения:
Следовательно, – корень уравнения.
Ответ: 
9. Докажите, что уравнение не имеет решений.
а. 
Решение:
Найдем область определения уравнения.
Система решений не имеет; область определения уравнения – пустое множество; поэтому уравнение не имеет решений.
б. 
10. Решить уравнение:
а. 
Решение:
Найдем область определения уравнения.
Решение системы 
область определения уравнения
состоит из одного числа
проверим является ли 1 корнем уравнения
- верное равенство т.о. 
корень уравнения.
Ответ: 
б. 
Ответ: 3.
11. Решить неравенство:
а. 
Решение:
Найдем область допустимых значений:
Т.о. при выполняется неравенство
Ответ: 
б. 
Ответ: 
12. Решить уравнение (неравенство) функциональным методом
а. 
б. 
в. 
г. 
д. 
е. 
ж. 
Ответы: а). 0; б). 3; в).2; г). ; д).
; е). 0,5; ж).-0,5.
1. Найти значение выражения:
а. 
б. 
в. 
г. 
д. 
е. 
2. Упростить выражение
а. 
б. 
в. 
г. 
3. Найти область определения, множество значений функции. Построить график.
а. 
б. 
4. Решить неравенство
а. 
б. 
в. 
г. 
5. Решить уравнение
а. 
б. 
6. Решить уравнение функциональным методом:
а. 
б. 
в. 
г. 
д. 
е. 
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
в курсе представлено тематическое планирование, методические рекомендации и банк задач, задачи для самостоятельной работы учащихся
6 656 299 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Киселева Марина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.