Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями» для учащихся 10-11-х профильных классов

Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями» для учащихся 10-11-х профильных классов

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Элективный курс «Уравнения и неравенства с аркфункциями»

для учащихся 10-11-х профильных классов


ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

Актуальность курса.

Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным экзаменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учитывая уровень его математической подготовки.

Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредоточено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, являются одними из самых сложных для выпускников.

Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ и Всероссийского централизованного тестирования.


Цели курса:

-повышение уровня математической культуры учащихся,

- формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности, и развитие их математических способностей;

-формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов.


Для реализации этой цели необходимо решение следующих задач:

- углубить теоретические знания учащихся по теории обратных тригонометрических функций;

-сформировать представление о методах и способах решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции;

-развитие исследовательских умений и навыков учащихся.


Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач.


Требования к уровню усвоения курса.

По окончанию изучения курса учащиеся должны

уметь:

выполнять построения графиков обратных тригонометрических функций;

применять теорию к преобразованию выражений с аркфункциями;

решать уравнения и неравенства с аркфункциями;


владеть:

методами исследования свойств обратных тригонометрических функций;

различными методами решения уравнений и неравенств с аркфункциями.


В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объяснительно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).


Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:

- коллективные, индивидуальные и групповые;

- взаимного обучения, самообучение, саморазвитие.


Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.


Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

- математический диктант;

- срезы знаний и умений в процессе обучения;

- итоговый контроль.


Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы.


Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.


Курс рассчитан на 16 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенности школы, класса, уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность изучения материала, уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать конкретные формы занятий.

Примерный учебно-тематический план (16 ч)


п/п

Тема занятия

Теоретические занятия

Практические занятия

1.

Обратные тригонометрические функции, их графики.

1

3

2.

Операции над обратными тригонометрическими функциями.

1

3

3.

Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.


2

4.

Уравнения с аркфункциями.


2

5.

Неравенства с аркфункциями.


2

6.

Контрольная работа.


2


Итого:

2

14


ВСЕГО:

16




В результате изучения данного курса учащийся должен овладеть следующими общеучебными и коммуникационными компетенциями:

-приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику,

-уметь точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и применять их, излагая собственные рассуждения при решении задач,

-свободно оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении задач,

-уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата),

-творчески решать учебные и практические задачи: уметь мотивированно отказываться от образца, искать оригинальные решения,

-уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам ведения диалога,

-уметь самому убеждать и доказывать, приводить примеры, подбирать аргументы, формулировать выводы.


Материалы к занятиям


Уроки 1-4 ( 4 ч).

Тема: Обратные тригонометрические функции, их графики.


Цель: на данном уроке необходимо отработать навыки в определении значений тригонометрических функций, в построении графиков обратных тригонометрических функций с использованием D(у), Е (у) и необходимых преобразований.

Можно провести математический диктант по материалам учебника (5).


I ВАРИАНТ

II ВАРИАНТ

  1. Для каких чисел определен арксинус?

  2. Найти а) hello_html_171de108.gif;

б) hello_html_b80691.gif.

  1. Для каких чисел определен арккосинус?

  2. Найти а) hello_html_m712a15e4.gif;

б) hello_html_m685f6cce.gif.

3.Расположите в порядке возрастания

arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin hello_html_4f0c0cdf.gif.


аrcсos 0,9, arcсos (-0,6), arсcos hello_html_5fc5469a.gif.


4.Постройте график функции (схематически)

y = arcsin x


y =arctg x


На данном уроке выполнить упражнения, включающие нахождение области определения и области значения функций типа: y = arcsin hello_html_5293ce96.gif, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos hello_html_m5e46b5f5.gif.

Пример. Найти область определения и множество значений функции у = arccos hello_html_45443a93.gif.

Решение. Очевидно, что D(у) найдется из условий hello_html_m12e837c0.gif. Решая эту систему, получим D(у) = hello_html_94419c8.gif. Из монотонного убывания функции арккосинус следует, что при изменении х от 0 до 1 рассматриваемая функция будет принимать все значения между у(0)= arcсos 0 = hello_html_m3b9f0390.gif и у(1) = arcсos 1 = 0. Поэтому Е(у) = hello_html_m367555eb.gif.

Предложить аналогичные задания из приложения.


Следует построить графики функций:

а) y = arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin hello_html_5d07eb58.gif; г) y = arcsin hello_html_me6047dc.gif; д) y = arcsin hello_html_m5e46b5f5.gif;

е) y = arcsin hello_html_341324ba.gif; ж) y = arcsin hello_html_m6976a07.gif.

Обсудить построение графиков, используя презентацию «Графики обратных тригонометрических функций».

Пример. Построим график y = arccos hello_html_m4ee0546e.gif

  1. Д (у): hello_html_m5e46b5f5.gif 1 или х2 1, т.е. hello_html_513f340e.gif

  2. Е (у): hello_html_311ea9b2.gif, т.к. hello_html_mfd96e08.gif.

  3. Функция четная, т.к. у (-х) = у (х).

  4. Точки пересечения: с Оу (х = 0) график не может пересекаться, т.к. функция определена только при х 1; с Ох (у = 0) график пересекается в (-1; 0) и (1; 0), т.к. hello_html_m5e46b5f5.gif = 1 лишь при х = 1.

  5. В силу четности достаточно ее исследовать для х 1.

Если х = 1, то у(1) = arccos 1 = 0. Если х + , то hello_html_m5e46b5f5.gif 0 (hello_html_m5e46b5f5.gif > 0).

Значит, arccos hello_html_m5e46b5f5.gif hello_html_m1bbcd604.gif, причем arccos hello_html_m5e46b5f5.gif < hello_html_m1bbcd604.gif . Наименьшее у = 0 при х = 1, наибольшего нет.

  1. Функция в области определения неотрицательна, т.е. arccos hello_html_m5e46b5f5.gif 0.

  2. Дополнительные точки hello_html_m9cd7dde.gif; hello_html_34df9e93.gif.


hello_html_2b19988e.png


<Рисунок 1>


В домашнее задание можно включить следующие упражнения: построить графики функций: y = arccos hello_html_5b489da4.gif, y = 2 arcctg x, y = arccos x. Предложить задания на нахождение области определения из приложения.




Г р а ф и к и о б р а т н ы х ф у н к ц и й


hello_html_m244ac28b.png


<Рисунок 2>




Уроки №5-6 (2 ч).

Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.


Цель: Расширить математические познания (это важно для поступающих на специальности с повышенными требованиями к математической подготовке) путем введения основных соотношений для обратных тригонометрических функций.


Материал для урока.


Некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями: sin (arcsin x) = x , x 1; cos (arсcos x) = x , x 1; tg (arctg x)= x , x R;

ctg (arcctg x) = x , x R.


Упражнения.

а) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5 ) = hello_html_60a8ec75.gif.

ctg (arctg x ) = hello_html_m4552018b.gif; tg (arcctg x ) = hello_html_m4552018b.gif.

б) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = , sin = 0,6;

- cos = hello_html_c04edec.gif

cos (arcsin x ) = hello_html_51b327cb.gif; sin (arccos x) = hello_html_1980c444.gif.

Замечание: Берем перед корнем знак “+” потому, что = arcsin x удовлетворяет hello_html_m4b192a43.gif.

в) sin (1,5 + arcsin hello_html_m43aa822f.gif).Ответ: hello_html_m2d0b57d9.gif;

г) ctg ( + arctg 3).Ответ: hello_html_mb26f679.gif;

д) tg ( – arcctg 4).Ответ: hello_html_50700d83.gif.

е) cos (0,5 + arccos hello_html_c1e00db.gif) . Ответ: hello_html_ma2c1b98.gif.

Вычислить:

a) sin (2 arctg 5) .

Пусть arctg 5 = , тогда sin 2 = hello_html_m617933aa.gifили sin (2 arctg 5) = hello_html_6f006c41.gif;

б) cos ( + 2 arcsin 0,8).Ответ: 0,28.

в) arctg hello_html_m5c508da1.gif + arctg hello_html_m668d20b2.gif.

Пусть = arctg hello_html_m5c508da1.gif, = arctg hello_html_m668d20b2.gif,

тогда tg ( + ) = hello_html_46e18a9d.gif.

г) sin (arcsin hello_html_c1e00db.gif + arcsin hello_html_m43aa822f.gif).

д) Доказать, что для всех x [-1; 1] верно arcsin x + arccos x = hello_html_m1bbcd604.gif.

Доказательство:

arcsin x = hello_html_m1bbcd604.gif – arccos x

sin (arcsin x ) = sin (hello_html_m1bbcd604.gif – arccos x)

x = cos (arccos x )

x = x

Для самостоятельного решения: sin (arccos hello_html_199e889.gif), cos (arcsin hello_html_m75654243.gif) , cos (arcsin (hello_html_m5d4148f2.gif)), sin (arctg (- 3)), tg (arccos hello_html_m13a05ea4.gif) , ctg (arccos hello_html_m64f2abed.gif).

Для домашнего решения.

1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0). Ответ: hello_html_2e261d30.gif

2) arcsin hello_html_m4eebf39b.gif + arcsin hello_html_5a285a31.gif. Ответ: hello_html_m7d79cae3.gif

3) ctg (arccos 0,6). Ответ: - 0,75

4) cos (2 arcctg 5). Ответ: hello_html_m2d0b57d9.gif

5) sin (1,5 – arcsin 0,8). Ответ: - 0,6

6) arctg 0,5 – arctg 3. Ответ: hello_html_255de10a.gif

Уроки № 7-8 (2ч).

Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.


Цель: на данном уроке показать использование соотношений в преобразовании более сложных выражений.

Материал для урока.

После проверки домашнего задания можно предложить следующие упражнения:

УСТНО: а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8); б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5); в) sin (arctg -3),

cos (arcсtg(hello_html_36b51162.gif)); г) tg (arccos hello_html_m13a05ea4.gif), ctg (arccos(hello_html_m64f2abed.gif)).

ПИСЬМЕННО:

1) cos ( arcsin hello_html_199e889.gif + arcsin hello_html_m43aa822f.gif + arcsin hello_html_7d9b338c.gif ).

Пусть: arcsin hello_html_199e889.gif = , arcsin hello_html_m43aa822f.gif = , arcsin hello_html_7d9b338c.gif = , причём , , I ч, тогда

сos ( + + ) = cos (( + ) + ) = cos cos cos – sin sin cos – sin cos sin + cos sin sin = hello_html_580f6a77.gif.


2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) = hello_html_47a61134.gif

3) tg ( - arcsin 0,6 ) = - tg (arcsin 0,6 ) =hello_html_3b774e94.gif

4) hello_html_m4ed55b9f.gif

hello_html_m6548f802.gifhello_html_69b4ebc2.gif

Самостоятельная работа поможет выявить уровень усвоения материала


B – I

B – II

1) tg (arctg 2 – arctg hello_html_c1e00db.gif) hello_html_m55e64e65.gif

2) cos( - arctg2) hello_html_m1da11ce3.gif

3) arcsin hello_html_199e889.gif+ arccos hello_html_358fddc7.gifhello_html_m6ce7dfd2.gif

1) cos ( arcsin hello_html_5981e774.gif + arcsin hello_html_m782590ed.gif) hello_html_m1d12303f.gif

2) sin (1,5 - arctg 3) hello_html_m360f098.gif

3) arcctg3 – arctg 2 hello_html_1c22d026.gif


Для домашнего задания можно предложить:

1) ctg (arctg hello_html_mb26f679.gif + arctg hello_html_m13a05ea4.gif + arctg hello_html_m2fad7715.gif);

2) sin2 (arctg 2 – arcctg (hello_html_m4f2c838d.gif));

3) sin (2 arctg hello_html_m17dc6d91.gif + tg (hello_html_m75654243.gif arcsin hello_html_m43aa822f.gif));

4) sin (2 arctg hello_html_m17dc6d91.gif);

5) tg (hello_html_m75654243.gif (arcsin hello_html_1cc82df.gif)).


Уроки № 9-10 (2ч).

Тема: Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.


Цель: сформировать представление учащихся об обратных тригонометрических операциях над тригонометрическими функциями, основное внимание уделить повышению осмысленности изучаемой теории.

При изучении данной темы предполагается ограничение объема теоретического материала, подлежащего запоминанию.


Материал для урока:


Изучение нового материала можно начать с исследования функции y = arcsin (sin x) и построения ее графика.

1. ОДЗ: R

2. Е(y): hello_html_m4b192a43.gif.

3. Каждому x R ставится в соответствие y hello_html_m4b192a43.gif, т.е. hello_html_4398fdeb.gif y hello_html_m1bbcd604.gif такое, что

sin y = sin x.

4. Функция нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

5. T = 2

6. График y = arcsin (sin x) на [0; ]:

a) 0 x hello_html_m1bbcd604.gif имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и hello_html_4398fdeb.gif y hello_html_m1bbcd604.gif.

б) hello_html_m1bbcd604.gif x получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sinx , 0 - x hello_html_m1bbcd604.gif.

Итак, hello_html_6ccc80f7.gif


hello_html_6602834.png


<Рисунок 3>


Построив y = arcsin (sin x) на [0; ], продолжим симметрично относительно начала координат на [-; 0], учитывая нечетность этой функции. Используя периодичность, продолжим на всю

числовую ось.

Затем записать некоторые соотношения:

arcsin (sin ) = , если hello_html_4398fdeb.gif hello_html_m1bbcd604.gif;

arccos (cos ) = , если 0 ;

arctg (tg ) = , если hello_html_4398fdeb.gif < < hello_html_m1bbcd604.gif;

arcctg (ctg ) = , если 0 < < .

и выполнить следующие упражнения:

a) arccos(sin 2).Ответ: 2 - hello_html_m1bbcd604.gif;

б) arcsin (cos 0,6).Ответ: - 0,1;

в) arctg (tg 2).Ответ: 2 - ;

г) arcctg(tg 0,6).Ответ: 0,9 ;

д) arccos (cos (hello_html_m1bbcd604.gif - 2)) = arccos (cos (2 - hello_html_m1bbcd604.gif) = 2 - hello_html_m1bbcd604.gif.

е) аrcsin (sin (hello_html_m1bbcd604.gif - 0,6)). Ответ: hello_html_m1bbcd604.gif - 0,6;

ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Ответ:2 - ;

з) аrcctg (tg 0,6) = arcctg( ctg (hello_html_m1bbcd604.gif – 0,6) = hello_html_m1bbcd604.gif - 0,6 0,9.

и) аrcsin (cos (2 arctg (hello_html_m14f98111.gif + 1))).

1) hello_html_3a449348.gif

hello_html_maea6ed.gif

2) arcsin(cos 2 ) = arcsin(hello_html_2a86e930.gif) = hello_html_255de10a.gif.


Для самостоятельного решения можно предложить аналогичные задания:

arccos (sin 0,5).Ответ: 0,5 - 0,5

arctg (ctg hello_html_15029f6f.gif). Ответ: hello_html_5d443855.gif

arcsin (sin 1); arcsin (sin3); arcsin (sin4); arcsin (sin5); arcsin (sin6);

Построить график y = arctg (tg x).


hello_html_556d2efd.png


<Рисунок 4>


Домашнее задание. Предложить любые задания из приложения.


Уроки № 11-12 (2ч).

Тема: Уравнения с аркфункциями.


Цель: сформировать представление учащихся об уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции, и о методах их решения.


С целью проверки достижения учащимися обязательных результатов обучения можно в начале урока провести математический диктант.


I ВАРИАНТ

II ВАРИАНТ

1.Найдите значение выражения

аrcsin hello_html_m581da6d5.gif- arccoshello_html_m6f18a504.gif.

1.Найдите значение выражения

аrcsin (-1) - arccoshello_html_m7d856723.gif.

2.Укажите область определения функции

у = аrcsin (2х-5).

2.Укажите область определения функции

у = arccos (1-х2 ).

3.Укажите область значений функции

у =hello_html_6fd5ac86.gifarccosх.

3.Укажите область значений функции

у = р - 2 аrcsinх.

4.Найдите значение выражения

аrcsin 0,3 + arсcos 0,3.

4.Найдите значение выражения

аrcsin 0,8 + arсcos 0,8.

5.Известно, что аrcsin х =hello_html_m30ba7149.gif. Найдите arccosх.

5.Известно, что аrccos х =hello_html_m6cce852.gif. Найдите arcsin х.

6.Известно, что sinrcsin х) = -hello_html_m19e8bb17.gif Найдите х.

6.Известно, что cosrccos х) = -hello_html_24fd3bbf.gif Найдите х.

7.Известно, что arсcosх =hello_html_m2cb87d69.gif.

Найдите arсcos(-х).

7.Известно, что arсcos (-х) =hello_html_5fb34958.gif.

Найдите аrсcos х.

8.Вычислите ctg(arctg hello_html_42567408.gif).

8.Вычислите tg(arсctg hello_html_m428174fb.gif).


Материал для урока.

При решении уравнения с аркфункциями от обеих частей равенства hello_html_m2730d1ef.gif придется брать некоторую тригонометрическую функцию f . Для того чтобы получить после этого уравнения с тем же множеством решений, что и исходное, удобно брать в качестве f функцию монотонную на пересечении областей значения функции hello_html_m6bdf86ce.gifи hello_html_m1a426ba5.gif.


Пример 1. Решить уравнение arcctg x =arccos x.

Решение. Областью определения уравнения будет отрезок hello_html_m4e7c58c7.gif,при этом E(arcctg x)hello_html_mbc2ebcf.gifE(arcсos x)=(0;hello_html_m2c5d6028.gif. Поэтому от обеих частей уравнения можно брать либо котангенс, либо косинус. Имеем x = ctg(arccos x). Вычислим ctg(arcсos x). Пусть arccos x =hello_html_2e28ff68.gif. Тогда 0<hello_html_2e28ff68.gif<hello_html_1bfc1af9.gif при hello_html_2994e788.gifhello_html_m158bb40e.gif и соshello_html_2e28ff68.gif= x. Отсюда sinhello_html_2e28ff68.gif=hello_html_29ec3535.gif. Следовательно, получаем x=hello_html_m16c40fd0.gifhello_html_39bcdcee.gif x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_38818a6d.gif.

Решение. Представим уравнение в видеhello_html_64a8283c.gif. Возьмем тангенс от обеих частей уравнения hello_html_m4f101099.gif, 3х-1=х+3, х=2.

Ответ: 2.

Пример 3. Решите уравнение arcsin 2x = 3 arcsin x.

Решение. Область определения уравнения есть отрезок hello_html_7c46326d.gif и при этом

E(arcsin 2x)hello_html_mbc2ebcf.gifE(3 arcsin x)hello_html_246867f4.gifhello_html_5d97cb14.gif. Следовательно,

arcsin 2x = 3arcsin x hello_html_39bcdcee.gif 2x = sin(3arcsinx).Но sin 3hello_html_2e28ff68.gif = sinhello_html_2e28ff68.gif(3-4 sinhello_html_4fbf37b8.gifhello_html_2e28ff68.gif).

Следовательно, arsin 2x = 3 arcsin x hello_html_39bcdcee.gif 2x = x (3-4xhello_html_4fbf37b8.gif)hello_html_39bcdcee.gifhello_html_547922f9.gif

Ответ: 0; 0,5; -0,5.


Заметим, что уравнения с аркфункциями можно решать, преобразовывая их так, чтобы не терялись решения. Но тогда обязательна проверка найденных результатов на предмет отсеивания лишних корней.

Пример 4. Решите уравнение arcsin 2x + arctg 3х = р.

Решение. Так как hello_html_m6ee4b4e7.gifи hello_html_m8df220f.gif, то –р < arcsin 2x + arctg 3х < р.

Следовательно, уравнение не имеет решение.

Пример 5. Решите уравнение arctghello_html_823e3c3.gif = 2 arctg (x-1).

Решение. Возьмем тангенс от обеих частей уравнения. Тогда hello_html_823e3c3.gif=tg(2arctg(x-1)) или с учётом формулы тангенса двойного угла hello_html_m5c38a085.gif. Отсюда x=1 или x=0. Значение x=0 отсеивается по очевидным причинам. Подставим значение x=1 в исходное уравнение. Получим истинное числовое множество arctg 0=2 arctg 0, так как arctg 0=0.

Ответ: 0.


Пример 6. Решите уравнение: 2arcsin 2х = arccos 7x.

Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:

hello_html_6fa80652.png

Возьмем косинус от обеих частей уравнения hello_html_3e3f184a.png. Так как hello_html_m18cfb67a.pngи hello_html_m2ad5cc62.pngтогда hello_html_7f485659.png.

С учетом О.Д.З. получаем

hello_html_6b490beb.png.


Для самостоятельного решения предложить следующие уравнения.

1. arcsin(2x+1) = arcсos x. Ответ: 0.

2. arccos(x hello_html_m980c3de.gif)+ arccos x = hello_html_m77fdfc92.gif. Ответ: 0,5

3. arcsin hello_html_2deb9b57.gif= hello_html_m77fdfc92.gif- arcsin hello_html_40ab3ee4.gif. Ответ: 1

4. arcsin 2x + arcsin x = hello_html_m667a0225.gif. Ответ: hello_html_m1304dbfa.gif

5. arcsin (1-x)- 2 arcsin x = hello_html_m77fdfc92.gif. Ответ: 0

6. 2 arctg x +3 arcctg x = hello_html_m77fdfc92.gif. Ответ: Ш

7. arcsin x + arccos (x+1) = hello_html_m77fdfc92.gif. Ответ: Ш

8. arctg (х+х2) + arctg2 – х) = hello_html_m12edfb30.gif

Ответ: hello_html_m3c3105c.gif

9. arcsin х = hello_html_m1e307eb8.gif + arccos x. Ответ:hello_html_m9b24522.gif

10. arcsinhello_html_m3ed5f10e.gif + arcsin hello_html_m5c7162e7.gif = arcsin х.

Ответ: 0; 1; -1.

11. arcсos│х│= arcsin 2х. Ответ: hello_html_2fde7cf6.gif

12. arctg hello_html_33fdfbd4.gif+ arcsinhello_html_m6c3411cb.gif=hello_html_m77fdfc92.gif.

Ответ: -1; 0.


Домашнее задание. Предложить задания из приложения.


Уроки № 13-14 (2ч).

Тема: Неравенства с аркфункциями.

Цель: сформировать умение решать простейшие неравенства, содержащих обратные тригонометрические функции; сформировать представление о более сложных неравенствах с аркфункциями и о методах их решения.


Материал для урока.

Простейшими неравенствами с аркфункциями являются следующие соотношения:

аrcsin x hello_html_m78774d40.gifhello_html_2e28ff68.gif, arcsin x < hello_html_2e28ff68.gif, arcsin x > hello_html_2e28ff68.gif, arcsin x hello_html_67405eb0.gif и такие же неравенства, левая часть в которых заменена на arccos x , arctg x, arcctg x.

Рассмотрим решение неравенств, содержащих arcsin x.

1.arcsin xhello_html_m78774d40.gifhello_html_2e28ff68.gif.

Если hello_html_m5554762e.gif, то в силу определения arcsin x решением неравенства будет отрезок -1hello_html_6d45f125.gif. Если hello_html_m22495ecd.gif, то беря от обеих частей неравенства синус и учитывая, что sin t возрастает на множестве hello_html_5d97cb14.gif, получим в качестве решения отрезок sin hello_html_m3265a098.gif. Наконец, если hello_html_79a5f628.gif, то в силу определения arcsin x решений нет, т. е. хhello_html_m289d78ff.gifШ.

2.arcsin x >hello_html_2e28ff68.gif.

Если hello_html_m780233d0.gif, то решением неравенства является отрезок hello_html_m4e7c58c7.gif. Если hello_html_m22495ecd.gif, то снова вычисляя синус от обеих частей неравенства, получим в качестве решения промежуток

sinhello_html_2e28ff68.gif< х ≤ 1. Наконец, если hello_html_mf4b46af.gif, то xhello_html_m289d78ff.gifШ, так как по определению arcsin x не может быть больше, чем hello_html_m77fdfc92.gif.

3. arcsin x hello_html_67405eb0.gif.

Сведем это неравенство к уже изученному случаю. Для этого умножим обе его части на -1 и воспользуемся нечетностью arcsin x: - arcsin x hello_html_18f9f836.gif hello_html_39bcdcee.gif arcsin(-x)hello_html_6e75aeaf.gif. Если теперь обозначить:-x = y, -hello_html_m1d387190.gif, то получим знакомое неравенство arcsin y hello_html_m278c78da.gif. Опираясь на него, запишем сразу ответ для нашего неравенства:

-если hello_html_m780233d0.gif (т.е.hello_html_4019e4dc.gif), то xhello_html_m289d78ff.gifШ,

-если hello_html_m2b2b3353.gif(т.е. hello_html_5c968012.gif), то -1≤ х < sin hello_html_2e28ff68.gif,

-если hello_html_mf4b46af.gif (т.е.hello_html_1639c4c4.gif), то -1≤х≤1.


4.arcsin x < hello_html_2e28ff68.gif.

Результат получается аналогично предыдущему случаю:

-если hello_html_m5554762e.gif то xhello_html_m289d78ff.gifШ,

-если hello_html_5ab65495.gif, то -1≤ х < sin hello_html_2e28ff68.gif,

-если hello_html_79a5f628.gif, то -1≤х≤1.

5.Неравенства arccos xhello_html_2e28ff68.gif, arccos x >hello_html_2e28ff68.gif, arccos x <hello_html_2e28ff68.gif, arccos xhello_html_2e28ff68.gifсводятся к предыдущим неравенствам, если учесть, что arcsin x + arccos x = hello_html_m77fdfc92.gif.

Примечание: предложить учащимся самостоятельно решить все простейшие неравенства с аркфункциями.


Рассмотрим решение более сложных неравенств с аркфункциями. Здесь придется брать от обеих частей неравенства синус (косинус) или тангенс (котангенс). Чтобы при этом множество решений исходного неравенства не менялось, надо, чтобы обе части неравенства лежали внутри или совпадали с промежутком монотонности sin t, cos t, tg t, ctg t соответственно. Если множество значений обеих частей неравенства не укладывается в один и тот же промежуток монотонности основной тригонометрической функции, то неравенство следует тождественно преобразовать или выделить промежуток монотонности и решать неравенство отдельно на каждом таком промежутке.

Пример 1. Решить неравенство arctg (x+1) + arctg (1-x) ≥hello_html_m12edfb30.gif.

Решение. Левая часть неравенства принимает значения на интервале (-hello_html_1bfc1af9.gif; hello_html_1bfc1af9.gif), на котором ни одна из основных функций sin t, cos t, tg t, ctg t не является монотонной. Поэтому преобразуем неравенство к виду arctg (x+1) ≥hello_html_m12edfb30.gif - arctg (1-x) (*). Функция arctg (x+1) ограничена. Следовательно, неравенство (*) надо рассматривать лишь при тех х, при которых

hello_html_m4f7652e5.gif. При этом условии обе части неравенства (*) принимают значения внутри отрезка hello_html_5d97cb14.gif, и от обеих частей можно взять тангенс:

hello_html_m1b1a7ff1.gif.

Ответ: хhello_html_135cdb50.gif


Пример 2. Решите неравенство сos(arсcos2 – 50)) < arсcos(cos50)

Решение. Типичной ошибкой при решении данного неравенства является переход к неравенству

х2 – 50 < 50, которое не является равносильным данному.

На самом деле, допустимые значения исходного неравенства определяются условием │х2 – 50│≤ 1 и только для них сos(arсcos2 – 50)) = х2 – 50. Далее, учитывая, что 0≤16hello_html_1bfc1af9.gif-50≤hello_html_1bfc1af9.gif, имеем arсcos(cos50)= arсcos(cos(16hello_html_1bfc1af9.gif-50))=16hello_html_1bfc1af9.gif-50.

Поэтому исходное неравенство равносильно системе hello_html_m64bac6db.gif

Отсюда hello_html_m75fd6098.gifТак как 16hello_html_1bfc1af9.gif<51, то 49≤х2<16hello_html_1bfc1af9.gif и, значит, 7≤│х│< 4hello_html_338bdb74.gif, т.е. hello_html_m1c07d428.gif.

Ответ: hello_html_m1c07d428.gif


Пример 3. Решите неравенство hello_html_3a3f7b7d.gif.

Решение. Так как arcctg x = hello_html_m77fdfc92.gif- arctg x, то 16 arctg x hello_html_691f4ff1.gifhello_html_m1d3dcda.gif. Отсюда,

16 arctg2 х - 8hello_html_1bfc1af9.gifarctg x + hello_html_m1d3dcda.gif ≤ 0, т.е. (4 arctg xhello_html_1bfc1af9.gif) ≤0. Это возможно при 4 arctg xhello_html_1bfc1af9.gif =0, т.е.


arctg x = hello_html_m12edfb30.gif, хhello_html_m289d78ff.gifhello_html_7bf2d475.gifи, значит, х = tg hello_html_m12edfb30.gif=1.

Ответ: 1.


Для самостоятельного решения предложить следующие неравенства.

1. arcsinhello_html_m233f7c9c.gifhello_html_6f90481b.gif. Ответ:hello_html_5d97cb14.gif.

2.(arcsinх)2 ≤ 1. Ответ: [-sin1; sin1].

3. arcsin (log2x) > 0. Ответ: (1;2].

4. arcsin х < arсcos х. Ответ:hello_html_m12401d47.gif.

5. arcsin (hello_html_1bfc1af9.gifarctg х) > 0. Ответ:hello_html_m50f823cf.gif.


6. arcsin2 – 0,5х -1,5) < -hello_html_m1e307eb8.gif.

Ответ:hello_html_2d901b27.gif.

7. arсcos х < arcsin 2х. Ответ: hello_html_m7f11964a.gif.

8. hello_html_725bc448.gif Ответ:hello_html_18bb84e9.gif.

9. hello_html_1bfc1af9.gifarсcosх > (arсcos(-х))2hello_html_1bfc1af9.gif2.

Ответ:hello_html_6e35bd93.gif.


Домашнее задание. Предложить задания из приложения.




Уроки № 15-16 (2ч).

Контрольная работа.


ВАРИАНТ 1.

ВАРИАНТ 2.

1.Вычислить а) ctghello_html_507bbf7b.gif;

б)2arcsinhello_html_m7d856723.gif + hello_html_51d4509f.gif + 3arсcos0 -2arсcoshello_html_m581da6d5.gif- arсtghello_html_m2d1975cd.gif + 2 arсcoshello_html_m3d4efe4.gif.

1.Вычислить а) sin hello_html_m5e6acfe2.gif;

б)2arcsinhello_html_m581da6d5.gif + arсtg(-1) + arсcoshello_html_5d3d86e8.gif +

hello_html_m3d4efe4.gifarсcos(-1) + 3 arсctg hello_html_m2d1975cd.gif - arсcoshello_html_m7d856723.gif

2.Упростить tg(arctg х + arctg у).

2.Упростить sin (arcsin х - arcsin у).

3.Найти область определения функции

у = arcsin hello_html_6fa7486.gif.

3.Найти область определения функции

у = arсcos hello_html_257d62cb.gif.

4.Определить знак числа а, если

а = arсcos (-0,6) – arсcos (-0,75).

4.Определить знак числа а, если

а = arсsin 0,3 – arсsin 0,2.

5.Построить график функции а) у = │arсctg х│;

б) у = 2 arсcos х.

5.Построить график функции а) у = │arсsin х│;

б) у = 0,5 arсcos х.

6.Решить уравнение сos(arсcos(х+2))=х2

6.Решите уравнение sin(arcsin(4х-1))=3х2

7.Решить уравнение 6 arctghello_html_7f2505c7.gif=2hello_html_1bfc1af9.gif

7.Решите уравнение 2 arсctg(2х-3) = hello_html_1bfc1af9.gif

8.Решить неравенство arcsin х < arсtg х

8.Решите неравенство arcsin х < arссtg х














ПРИЛОЖЕНИЕ.


1.Найти область определения:

а) y=arcsin hello_html_13449187.gif; б)y= arctg 2x; в)y= arctg hello_html_mcbef7e4.gif ; г)y= arccos hello_html_mcbef7e4.gif; д)y=arctg hello_html_m59f7727c.gif; е)y= arcctg hello_html_m3b1f87ec.gif; ж) y= hello_html_m70be4d8e.gif .


2.Построить графики функций:

a) y = arccos 2x; б) y = 2 arccos x; в) y = arccos (cosx); г) y = arctg (ctgx); д)у =hello_html_m7b1a0a5b.gif.

3.В каких границах заключены дуги:

а) 2 arcsin x; б) 2 arccos х; в) hello_html_m75654243.gif arctg x; г) - arctg x; д) arccos hello_html_m42b51368.gif; е) arctg x2 - .

4.Построить: а) arctg (- 0,3); б) arccos hello_html_m17dc6d91.gif; в) arcsin hello_html_m41db1ddb.gif; г) arcctg (-1,5).

5.Вычислить:

а) arccos (sin 2); б) sin hello_html_16ead224.gif; в) arcsin hello_html_m4eebf39b.gif + arcsin hello_html_5a285a31.gif; г) sin ( + 2 arcsin hello_html_199e889.gif);

д) arctg hello_html_m5c508da1.gif + arctg hello_html_m668d20b2.gif; е) arctg hello_html_m75654243.gifarctg3; ж) tg (arcsin hello_html_5981e774.gif); з) arctg hello_html_5981e774.gif + arccos hello_html_1019d73d.gif .

6. Вычислить:

а) cos (2 arcsin hello_html_m73166505.gif); б) tg (arccos hello_html_m75654243.gif); в) sin (arcctg hello_html_513078c6.gif); г) ctg (arctg(-1));

д) cos (2 arcsin (hello_html_2a86e930.gif)); е) sin (arcsin hello_html_m75654243.gif + arccos hello_html_m75654243.gif); ж) cos (arccos (hello_html_m58429ba1.gif) + hello_html_m75654243.gif arcsin hello_html_m3a959142.gif);

7.Вычислить:

а) sin(2 arctg hello_html_m17dc6d91.gif) + tg (hello_html_m75654243.gif arcsin hello_html_m43aa822f.gif); б) hello_html_m75654243.gif – cos2 (hello_html_m1bbcd604.gifhello_html_m75654243.gif arcsinhello_html_5981e774.gif);

в) tg (2 arcsin hello_html_3846bb42.gif – arccos hello_html_m43aa822f.gif); г) arcctg (tg (arcctg hello_html_6b9c63ae.gif + arcctg hello_html_199e889.gif)).

8.Вычислить:

1) arcsin (sin 700); 2) arcsin (sin 2100); 3) arcsin (sin hello_html_7c7831f1.gif); 4) arccos (cos 1700); 5) arccos (cos 6);

6) arctg (tg hello_html_mf207738.gif).

9.Решить уравнения:

1) 2 arctg x +3 arcctg x = 5. Ответ: ctg 5.

2) arcsin2 х + arccos2 х = hello_html_m432c6943.gif. Ответ: hello_html_m38d66945.gif

3) arcsin 2x = 2 arcsin x. Ответ: 0.

4) 3 arcsinhello_html_45443a93.gif- hello_html_1bfc1af9.gif = 0. Ответ: 0,75.

5) 2 arcsin х + arсcos (1-х) = 0. Ответ: 0.

6) 6 arcsin2 – 6х + 8,5) = р. Ответ: 2; 4.

7) tg(3 arctg x) = ctg (3 arctg x). Ответ: hello_html_m2dee06f2.gif.

8) arcsin х = arccos x. Ответ: hello_html_18bb84e9.gif.

10.Решить неравенства:

1) arcsin х < arcsin 2х. Ответ: (0;0,5].

2) arcsin х2 ≥ 1. Ответ: [-1;- sin1]hello_html_m1892df5d.gif[ sin1;1].

3) arсcosх < arcсtg 2x. Ответ: hello_html_2eba1bbc.gif.

4) (arctg x)2 - 4 arctg x + 3 > 0. Ответ: hello_html_m139a9396.gif.

5) arсcos2 – х -2)< hello_html_m12edfb30.gif. Ответ: hello_html_m457c7bb3.gif.

6) arсcos(х-1) ≤ 2 arсcosх. Ответ: hello_html_m3c9209ea.gif.




Литература.


1.Азаров А.И., Булатов В.И., Федосенко В.С., Шибут А.С. Тригонометрия. Тождества, уравнения, неравенства, системы: Учеб.пособ. Минск, 1999.


2.Зив Б.Г., Алтынов П.И. Алгебра и начала анализа. Геометрия. 10-11 кл.:Уч.-метод.пособие.-М.:Дрофа, 1999.


3.Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для учащихся шк. И классов с углубл.изуч.математики.-М.:Просвещение, 1995.


4.Мерлин А.В, Мерлина Н.И. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе. Чебоксары, 1998.


5.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. – М.: Мнемозина, 2009.


6.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные заадчи по математике: Справ.пособ. М., 1992.


7.Шахно К.У. Как готовиться к приемным экзаменам в вуз по математике. Минск, 1970.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Краткое описание документа:

Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным экзаменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учитывая уровень его математической подготовки. 

 

Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредоточено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, являются одними из самых сложных для выпускников.

Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ и Всероссийского централизованного тестирования.  

Автор
Дата добавления 10.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров479
Номер материала 520451
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх