Электронная рабочая тетрадь Признаки равенства треугольников

Ученик:

                                                                      ^{фамилия имя отчество}                                             

Класс, школа:

Классный руководитель:

Инструкция:

Выбирайте тему из содержания. Перед началом работы внимательно прочтите задание. Если задание решается, доказывается или ответ просто пишется, то ответ записывайте прямо на рабочей тетради (возле надписи ответ).

А если для ответа требуется рисунок – нажмите Ctrl и левую кнопку мыши на надписи ответ. Нарисуйте рисунок с помощью автофигур, нажмите назад чтобы вернутся в рабочую тетрадь.

Перед выходом сохраните все ответы.

Желаю отличной работы!
Содержание

Равные отрезки и углы…………………	3
Равные треугольники..................................	7
Первый признак равенства треугольников..............................................	11
Медианы, биссектриса, высота................	17
Второй и третий признак равенства треугольников.............................................	23
Задачи на построение и обобщение............	31

Равные отрезки и углы

Цель: Подчеркнуть важность изучаемого понятия, побудить школьников в целенаправленной и активной деятельности, в побуждении интереса к изучении рассматриваемых понятий.

Упражнения с измерениями отрезков, углов. Понятие равные отрезки и равные углы:

1.    Установите  какие из отрезков, изображенных на рисунке  равны.

г

в

Ответ:

2.    Известно, что отрезок АВ равен отрезку СD. В каком соотношении находятся их длины.

 

Ответ:

3.    Проведите две равные отрезки а и в.

Ответ

4.    Точка М лежит на прямой СD между точками  С и D. Найдите длину отрезка СD, если: 1) СМ=2,5 см, МD=3,5 см; 2) СМ=3,1 дм,  МD=4,6 дм; 3) СМ=12,3 м, МD=5,8 м.

Дано: Точка М лежит на прямой СD между точками  С и D

Найти: Длину отрезка СD, если:

 1) СМ=2,5 см, МD=3,5 см;

2) СМ=3,1 дм,  МD=4,6 дм;

 3) СМ=12,3 м, МD=5,8 м.

1)

2)

3)

Ответ:

5.    На отрезке АВ длиной  15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на  3 м  длиннее отрезка ВС; 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С – середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.

Дано: Отрезок АВ длиной 15 м отмечена точка С.

Найти:

Ответ:

6.    Определите на глаз углы, образуемые этими лучами.

Ответ

7.    Постройте на глаз углы 30º, 45º, 60º, 90º.

Ответ

8.    На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равна угол С треугольника, если <АСD=30º, а <ВСD=70º.

Дано: треугольник АВС и взята точка D на стороне АВ.

Найти: угол С треугольника

          

 

                                                                                 Ответ:

 

                                                         

9.    Может ли луч с проходить между сторонами угла (аb), если: 1) <(ас)=30º, <(сb)=80º, <(аb)=80º; 2) <(ас)=100º, <(сb)=90º; 3) угол  (ас) больше угла (аb)?

Ответ: 1)

            2)

            3)

10. Между сторонами угла (аb), равного 60º, проходит луч с. Найдите углы (ас) и (bс), если: 1) угол (ас) на 30º больше угла (bс) ; 2) угол (ас) в два раза больше угла  (bс); 3) луч с делит угол (аb) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (bс) относятся как 2:3.

Дано:_____________________________________________________________

Найти:____________________________________________________________

Ответ

На начало

Равные треугольники.

Цель: Выявить существенных изучаемого понятия и акцентировать на них внимания учащихся, синтезируются выделенные существенные свойства, формулируется определение понятия.

Упражнения для определения равных треугольников, соотношения углов и отрезков:

1.    Начертите какой – нибудь треугольник. Постройте от руки на глаз равный ему треугольник.

Ответ

2.    Известно, что ∆АВС=∆МРК. Запишите все соотношения между сторонами и углами этих треугольников.

 

Соотношения между сторонами и углами этих треугольников:

3.    Известно, что  <А=<К, <В=<М, <Р=<С, АВ = КМ, АР = КС, ВР=МС. Равенство, каких треугольников следует из условия?

Дано: <А=<К, <В=<М, <Р=<С, АВ = КМ, АР = КС, ВР=МС.

Ответ:

4.    <А=<К, <В=<М, <Р=<С. Равны ли треугольники АВР и КМС? Дополните условие так, чтобы из него следовало равенство треугольников АВР и КМС.

Ответ

5.    Треугольники АВС и МРК равны. Угол второго треугольника известны:   <М=40º, <Р=60º, <К=80º. Найдите углы треугольника МРК. Объясните ответ.

Дано: Треугольники АВС и МРК, угол второго треугольника известны:   <М=40º, <Р=60º, <К=80º.

 Найти: углы треугольника МРК

Ответ

6.    Треугольники АВС и МРК равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90º. Чему равны сторона МР и угол К?

Дано: Треугольники АВС и МРК, сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90º

Найти: Сторона МР и угол К

Ответ

7.    Треугольники АВС, МРК и ХОД равны. Известно, что АВ=5 см, РК=6 см, ХД=7 см. Найдите остальные стороны треугольника.

Дано: Треугольники АВС, МРК и ХОД, АВ=5 см, РК=6 см, ХД=7 см.

Найти: Остальные стороны треугольника.

Ответ

8.    Треугольники АВС и МРК равны. Известно, что  АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС=7 см. Найдите стороны треугольника МРК. Объясните ответ.

Дано: Треугольники АВС и МРК, АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС=7 см.

Найти: Стороны треугольника МРК..

Ответ:

9.    Начертите какой – нибудь треугольник. Постройте от руки на глаз равный ему треугольник. Проверьте правильность построения, измеряя соответствующие углы и стороны.

Ответ

10. В треугольниках АВС и ДЕФ, АВ = ЕФ, <А=<Е, <В=<Ф. Сравните эти треугольники. Какие стороны в треугольнике ДЕФ равны соответственно сторонам ВС и СА?

Дано: Треугольники АВС и ДЕФ, АВ = ЕФ, <А=<Е, <В=<Ф.

Ответ

На начало

Первый признак равенства треугольников.

Цель: Каждое существенное свойство, используемое в определении понятия, делается специальным объектом усвоения.

Упражнения с признаками равенства треугольников

1. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА₁ на стороне СА и СВ₁ на стороне СВ. Докажите равенство треугольника САВ₁ и СВА_1.

Дано: Равнобедренный треугольник АВС: вершина С, основание АВ отложены равные отрезки: СА₁ на стороне СА и СВ₁ на стороне СВ

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

2. Докажите, что ∆АВС и ∆ДЕФ равны. АВ=ЕД, <АВС = <ДЕФ.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

		A				D

 

3. Треугольники АСС₁ и ВСС₁ равны. Их вершина А и В лежат по разные стороны от прямой СС₁. Докажите, что треугольники АВС и АВС₁ равнобедренные.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

4. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Д, а на стороне А₁В₁ треугольника А₁В₁С₁ взята точка Д₁. Известно, что треугольники АДС и А₁Д₁С₁ равны и отрезки ДВ и Д₁В₁ равны. Докажите равенство треугольников АВС И А₁В₁С₁.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

	A			C

 

5. Докажите, что середина сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

а

6. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А₁ и В₁. Известно, что АВ₁=ВА₁. Докажите, что треугольники АВ₁С и ВА₁С равны.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

7. Докажите, что середина сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

8. Доказать, что ∆АВС и ∆ДЕФ равны. СО = ФО, АС = ДФ, АВ = ЕД, <ВСО =<ЕФО.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

9. От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА₁ на стороне СА и СВ₁ на стороне СВ. Докажите равенство треугольника  АВВ₁ и ВАА₁.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

10. У треугольников АВС и А₁В₁С₁  АВ=А1В1, АС=А1С1, <С=<С1=90º. Докажите, что ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

На начало

Медианы, биссектриса, высота.

Цель: Осуществление  знакомства со свойствами и признаками понятия, с предложениями, эквивалентными принятому определению, используется изученные свойства и признаки понятия.

Упражнения с признаками равенства треугольников с элементами треугольников:

1.    Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

2.    Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок ВД, если отрезок АС = 10 см?

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

3.    Докажите равенство треугольников по углу, биссектриса этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

4.    Докажите, что у равных треугольников АВС и А₁В₁С₁, медианы, проведенные из вершин А и А₁, равны.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

5.    Докажите, что у равных треугольников АВС и А₁В₁С_1, биссектрисы из вершин А и А₁, равны.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

6.    Точки А, В, С, Д, лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и СД имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник СДЕ тоже равнобедренный с основанием СД.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

7.    Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образуют с ней медиана.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

8.    Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

9.    Два отрезка АВ и СД пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АСД и ВДС.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

10. Докажите равенство треугольников по двум сторона и медиане, проведенной к одной  из них.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

На начало
Второй и третий признак равенства треугольников.

Цель: знакомство со свойствами и признаками понятия, с предложениями, эквивалентными принятому определению, используется изученные свойства и признаки понятия.

Упражнения повышенной трудности, исследовательские.

1.    Чтобы узнать длину озёра (расстояние АВ), на берегу провели прямую ВК, к ней выбрали точку С так, что АС перпендикулярна ВК, и отложили отрезок СД, равный отрезку ВС. Какое расстояние на берегу нужно измерить, чтобы найти длину озера.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

2.   

А

С

В

О

М

Известно, что АО = ОВ, СО = ОМ. На какое утверждение надо сослаться, чтобы как можно проще доказать равенство треугольников АОС и ВОМ.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

3. Треугольники АВС и  А₁В₁С₁ равны. Запишите все равенства, которые отсюда  следуют.

В

4. Известно, что АО = ОС. Что еще нужно знать, чтобы утверждать, что ∆АВО = ∆СМО?

Нужно знать

5. Даны треугольники АВС и АМС такие, что АВ = АМ, <1 =  <2. Доказать, что  ∆АВС = ∆АМС.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

6.  Луч АС – биссектриса угла ВАМ, <1 = <2. Доказать, что  ∆АВС =

А

В

С

М

 ∆АМС.  

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

7. В треугольниках ВАМ и СМА стороны ВМ и АС, а также углы АМВ и МАС – равны. Докажите равенство треугольников ВАМ и СМА.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

А1

В1

С1

М1

В

А

С

М

8. Точки М и М₁ являются серединами соответствующих сторон АС и А₁С₁ равных треугольников АВС и А₁В₁С₁. Докажите, что ∆АВМ = ∆А₁В₁М₁.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

9. На рисунке отрезок АС является биссектрисой < ВАМ, АВ = АМ. Найдите отрезок КМ, если отрезок КВ равен 5см.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

10. К прямой а проведены перпендикулярные прямые АС и ВМ, причем АС = ВМ, точки С и М принадлежат прямой а. Докажите, что ∆АСМ = ∆ВМС.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

На начало

Задачи на построение и обобщение.

Цель: Систематизация материала, выяснение места данного понятия в системе других понятий, прикладная направленность в применении понятия. 

Упражнения, обобщающие признаки равенства треугольников с другими темами:

1.   Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1)      медиана ВД является высотой; 2) высота ВД является биссектрисой.

Ответ

2. Докажите, что у равнобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. Следует предусмотреть использование признаков равенства треугольников в ситуациях.

Ответ

3. Определите, на каких рисунках есть равные треугольники, и запишите их номера    в ответе.

Ответ

4.    АВ и СD – диаметры окружности с центром в точке О. Докажите, что треугольник DOB равен треугольнику COB.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

5.    Две окружности с центрами О и О₁ пересекаются в точках А и В. Докажите, что треугольник ОАО₁ равен треугольнику ОВО₁.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

6. Общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров. Доказать, что АВ перпендикулярна ОО₁.                                    

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

7.    Даны две концентрические окружности. АС и BD – диаметры этих окружностей. Докажите, что треугольник АВО равен треугольнику CDO.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

8.    Докажите равенство треугольников ВАС и DAC, если угол САВ равен углу ACD, угол CAD равен углу АСВ.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

9.    Угол LEG равен углу KEG, GE – биссектриса угла FGD. Докажите равенство треугольников LEG и  KEG.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

10. Сторона АВ и ВС треугольника ВАС равны соответственно сторонам СD и  DA треугольника  DCA. Определите градусную меру угла АВС, если CDA равна 127⁰.

Дано:

Доказать

Доказательство

Что и требовалась доказать.

Ответ

На начало