Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Электронный конспект для обучающихся "Числовые последовательности. Предел числовой последовательности"

Электронный конспект для обучающихся "Числовые последовательности. Предел числовой последовательности"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Предел последовательности.



Последовательность – ряд чисел

Каждое число имеет свой номер (первое, второе и т.д.)

2; 12; 22; 32…

218; 220; 218; 220;…..

1; 4; 9; 16; 25;…



а 1, а 2, а 3, …, а n ,… или (а n )

y1, y2, y3,…,yn, … или у(n).


Числовая последовательность - множество нумерованных чисел, располагаемое в порядке возрастания номеров.



Последовательность может быть конечной или бесконечной


Определение: Функцию у = f(x), xhello_html_m289d78ff.gifN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у1, у2, у3..., уn или у(n) или а1 , а2,…, аn… или а(n).



Способы задания последовательностей.



  • Словесно (описание словами, без указания формулы)

  • Аналитический способ (формулой)

  • Рекуррентный способ задания последовательности.



Приведем три примера.


  1. уn= n2 - аналитическое задание последовательности

1,4,9,16,…, n2, …, где n – номер элемента последовательности

У1 = 12 =1, У2 = 22 = 4 и т.д.


  1. уn= С - последовательность С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).


  1. Рекуррентный способ задания последовательности - указывается правило, позволяющее вычислить последующий элемент последовательности, если известны предыдущие.


а 1, = а, аn+1 = аn+ d -- арифметическая прогрессия


b 1, = b, bn+1 = bn·q --- Геометрическая прогрессия




Решение задач

1. Вычислите у1, у2, у3, у4, у5 и запишите в виде ряда чисел:


А) hello_html_10942ee2.gif


Б) hello_html_e115fbc.gif

В) hello_html_11ad644e.gif



2.


А) hello_html_68eed1c8.gif

Б) hello_html_12fdd845.gif



Предел числовой последовательности


Рассмотрим числовую последовательность (уn)

(уn) = hello_html_m59e5f076.gif

Изобразим элементы этой последовательностей точками на координатной прямой.





0,0625

hello_html_16fc85eb.gifhello_html_2c4c84f5.gif


0 0,125 0,25 0,5 1




все числа последовательности (уn) «сгущаются» около точки 0

последовательность сходится к числу 0 .


«точка сгущения» ≡ предел последовательности



Определение: Число b называется пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.



Пишут так:

уnb или hello_html_7e3f40f8.gif

читают так: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b.



Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.



Достаточное условие сходимости последовательности.

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.





Таблица пределов


  1. hello_html_61b09ccb.gif


  1. hello_html_m21c4b981.gif(0 < q ≤1)


  1. hello_html_312aded3.gif



Если hello_html_m62aac528.gif, то:

  1. hello_html_m3b4f58ad.gif

  2. Предел суммы равен сумме пределов: hello_html_m489eecdb.gif

  3. Предел произведения равен произведению пределов: hello_html_m5f65de1a.gif

  4. Предел частного равен частному пределов: hello_html_4a36fa10.gif, где с≠0.

  5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: hello_html_114debfe.gif



Примеры


Найти предел последовательности:

а) хn = hello_html_122e95c6.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

Решение:



hello_html_1645705e.gif



Ответ: 0




б) хn =hello_html_6b5d1e16.gif


Решение: применим правило «предел суммы»:



hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_37c22d3f.gif0 – 0 + 3 = 3

в)hello_html_m1642d0de.gif


Решение:

в подобных случаях применяется искусственный прием:



Деление числителя и знаменателя дроби (каждого слагаемого ) на наивысшую из имеющихся степень переменной n.



В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби на n2 (каждое слагаемое):

hello_html_518601d9.gif









hello_html_m4d466bb7.png

Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров159
Номер материала ДВ-400096
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх