Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
ГБПОУ ВО «ВЮТ»
Интегральное исчисление
Преподаватель математики: Будаева А.Б
Воронеж-2015
2 слайд
Интегральное исчисление
Цель: рассмотреть понятие первообразной функции, неопределенного и определенного интеграла, свойства неопределенного и определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница. Ознакомиться с таблицей интегралов, понятием криволинейной трапеции и нахождением ее площади. Освоить навыки вычисления интеграла.
Развивать познавательный интерес, логическое мышление, внимание. Формировать потребности в приобретении знаний.
Воспитывать ответственность, самостоятельность, культуру общения и учебного труда.
В результате проведения занятия студент должен:
Знать основные понятия: неопределенный интеграл, свойства неопределенного интеграла (таблица интегралов), определенный интеграл, свойства определенного интеграла.
Уметь находить неопределенный и определенный интеграл.
3 слайд
Интегральное исчисление
Первообразная
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Свойства определенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
Таблица основных интегралов
Примеры
Приложения определенного интеграла
4 слайд
Первообразная
Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную.
Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство Fʹ(x)=f(x).
5 слайд
Теорема.
Если функция непрерывна на каком-нибудь промежутке, то она имеет на нём первообразную.
Для всякой ли функции f(x) существует первообразная?
6 слайд
Теорема.
Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+C, где C∈R.
Геометрически:
F(x)+C представляет собой семейство кривых, получаемых из каждой из них параллельным переносом вдоль оси ОУ.
7 слайд
Неопределённый интеграл
Множество всех первообразных F(x)+C функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается символом , т.е
8 слайд
- подынтегральная функция
- подынтегральное выражение
- знак неопределённого интеграла
х – переменная интегрирования
F(x)+C – множество всех первообразных
С – постоянная интегрирования
Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел математики- интегральным исчислением.
9 слайд
Свойства неопределённого интеграла
1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е
10 слайд
3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е
Свойства неопределённого интеграла
11 слайд
Таблица основных неопределенных интегралов
12 слайд
Таблица основных неопределенных интегралов
13 слайд
Пример 1.
Интеграл суммы выражений равен сумме интегралов этих выражений
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
14 слайд
Пример 2. Вычислить интеграл
15 слайд
Пример 3. Вычислить интеграл
16 слайд
Пример 4. Вычислить интеграл
17 слайд
Пример 5. Вычислить интеграл
18 слайд
Пример 6. Вычислить интеграл
19 слайд
Определенный интеграл
Выражение вида
Числа а и b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования,
f(x) – подынтегральной функцией;
f(x)dx- подынтегральным выражением,
х- переменной интегрирования,
отрезок [а;b] – областью (отрезком) интегрирования.
называется определенным интегралом
20 слайд
Свойства определенного интеграла
21 слайд
Связь между определенным
интегралом и первообразной
(Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
где F(x) – первообразная функции f(x).
22 слайд
Геометрический смысл
определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
23 слайд
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
Геометрический смысл
определенного интеграла
24 слайд
Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то
Геометрический смысл
определенного интеграла
25 слайд
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x-2 и y=x2-4x+2
1. y=x2- 4x+2, xв =2, yв = -2
y=x-2
3. Абсциссы точек пересечения:
x2- 4x+2=x-2
х1=1, х2=4
y
-2
y=x2- 4x+2
4. S=
4
1
x
Ответ: S=4,5
2. у=х-2: х=0, у=-2; х=2, у=0
26 слайд
Вычисление площади криволинейной трапеции
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями: y = 0, y = , x = 1, x = e.
y
x = 1
x = e
1
e
x
y = 0
y =
S =
Ответ: S = 1
27 слайд
Вычисление площади криволинейной трапеции
Ответ: S = π+1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
x
y = 0
y
1
28 слайд
Физический смысл
определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:
29 слайд
Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = 3t2-4t+1, (время измеряется в секундах, скорость – в cантиметрах в секунду).
Какой путь пройдёт точка за 3 секунды,
считая от начала движения (t=0)?
Ответ: 12см
Физический смысл
определенного интеграла
30 слайд
Дан прямолинейный неоднородный стержень [0;6], его плотность в точке х определяется по формуле р(х) = х2+х+1.
Найдите массу стержня.
Ответ: 96
Физический смысл
определенного интеграла
31 слайд
Основные источники
1. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для образовательных учреждений: базовый уровень / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]. – М.: Просвещение, 2011. – 464 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2011. – 384 с.
3. Башмаков, М.И. Математика: учебник / М.И. Башмаков. – М.: КНОРУС, 2013. – 400, с.
4. Богомолов, Н.В. Математика: учебник для бакалавров / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издатльство Юрайт, 2013. – 396 с.
6. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобрзоват. Учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др. – М.: Просвещение, 2013. – 365 с.
Интернет-ресурсы
www.interneturok.ru
www.researcher.ru
www.schools.keldysh.ru/labmro
www.urokimatematiki.ru
www.1september.ru
www.pedsovet.org
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 626 290 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Будаева Анна Борисовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.