Электронное пособие по теме проценты

Региональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Исследовательская работа

 Электронное пособие на тему «проценты»

Работу выполнил:

Бондаренко Александр Андреевич,

МКОУ АСОШ, 6 класс

Руководитель:

Иванова Татьяна Кирилловна,

Учитель математики МКОУ АСОШ

2015

Актуальность

Мы живем в век высоких технологий, где каждый может заняться самообучением, то есть самостоятельно получать знания и опыт. Качество получаемых знаний при самообучении напрямую зависит от качества и количества необходимого доступного материала. Практика распространения электронных учебников широко используется уже долгое время. В своей  работе мы создали один из современных интерактивных форм обучения с использованием средств новых информационных технологий - электронный учебник по теме проценты.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, поэтому мы систематизировали задачи на проценты по типам. Поэтому создание электронного пособия по теме проценты считаем актуальным.

Цель работы.  Составить электронное пособие по решению задач на проценты для школьников.

Исходя из цели, ставим следующие задачи:

1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу.

2) Систематизировать задачи на проценты по типам.

 3) Составить электронное пособие по решению задач на проценты.

 4) Выявить практическое применение таких задач.

5). Определить план дальнейшей работы над темой.

Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Предмет исследования: Создание электронного пособия по решению задач по теме проценты

Практическая значимость работы. Данное пособие по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Глава 1.  Введение.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике «Математика, 5»,авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %.Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

1.1 Основные типы задач по теме «Проценты».

В данной главе приводятся примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе.

Обращаем внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее. Мы же видим свою задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что в настоящее время редкий тест по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых не упоминались бы проценты.

1.2 Решение задач на применение основных понятий о процентах.

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством:1 % = 0,01 * а

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.

Ответ: 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%

Ответ: 110%

Пример.

1.На сколько процентов 10 больше 6? 2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%

Ответ: 66 2/3 %, 40 %.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:1)6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.

2)= 85%  сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение: Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х ; 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.


Пример. Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или: х - данное число; 0,15.х = 300; х = 200.
Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?

Решение. Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).


 Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов  разделить на эту дробь.

1.3. Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор".

Процентное содержание. Процентный раствор.

Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
 Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.

1.4. Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах).

Пример. Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.

Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

1.5. Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить  число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение. Если а (рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.

 Ответ: 8400 руб.

Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской?

Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна

(1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 –100=84-100= -16(%), т.е. цена упала на 16 %

 Ответ: цена упала на 16%.

Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а , следует вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.

Глава 2. Разные задачи на проценты ( с решениями).

В данной главе рассматривается выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что предложенный способ решения не является единственным.

2.1 Тестовые задания на проценты.

Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.

Ответ. 990 руб.

Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг.

Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?

Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.

Ответ.1руб. 50 коп

Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

Решение. Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.

Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 5.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.

Ответ. Да.

 Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Решение. Пусть данная дробь, новая дробь. , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40%

Ответ. 40%

Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

 Решение. Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.

Ответ. 31 руб. 25 коп.

Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий – 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

 Решение. Пусть полотна было р . Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р –0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.

Ответ. 31,5%

Задача 9.Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

Решение. 6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га - это половина луга, весь луг 20 га

Ответ. 20 га

Задача 10.Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

 Решение. АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.

Ответ. Уменьшится на 9%

Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков

Ответ. 125%

Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150%

Задача 13.5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.

Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В. И начиная с 2003 года до 2015 года они тоже есть. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно знания тех методов, которые рассматриваются в данной работе.

2003 Тренировочный вариант Задание В7	Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?
	Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%, получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два года 1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21, 1+0,01р=1,1, 0,01р=0,1, откуда р=10% Ответ: сумма ежегодно увеличивалась на 10%.
2003 Демонстрационный вариант Задание В7	Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов, владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?
	Решение. Пусть цена билета была А руб. После повышения на 25% цена стала 1,25А, после понижения цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась к первоначальной, то получим р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит владелец дискотеки снизил цену на 20%. Ответ: 20%
2003 ЕГЭ	Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
	Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А-количество продукции, которое стало выпускать предприятия после уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р –коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо увеличить выпуск продукции на 25%. Ответ: 25%
2003 ЕГЭ	К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?
	Решение. 1) 0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе; 2) 480*0,2=96(г) соли во втором растворе; 3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%-процентное содержание соли в получившемся растворе. Ответ: 32%
2003 ЕГЭ	За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии?
	Решение. Пусть А- первоначальный размер стипендии, 1,1А – размер стипендии после повышения в 1 полугодии, р*1,1А- размер стипендии после увеличения во 2 полугодии, где р- коэффициент увеличения. Так как за год стипендия увеличилась на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2, что означает , что стипендия во 2 полугодии составляет 120% стипендии 1 полугодия., т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась на 20% Ответ: на 20%.
2004 ЕГЭ	Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка.
	Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1 слитке. 2) 240+60=300(г) –масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение 0,92х+0,8(300-х)=0,84*300, откуда х=100 Ответ: 100г.
2004 ЕГЭ	Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?
	Решение. Пусть х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда 70/(х+70)-какую часть 1 сплава составляет медь, 90/(210+90)-такую часть составляет медь во 2 сплаве., кусок второго сплава 300-225=75г, тогда получаем уравнение. 225*(70/(х+70))+75*(90/300)=(1-0,82)*300, откуда х=430г Ответ: 430г
ЕГЭ 2004	В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% - ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?.
	Решение. 200*0,8=160(г)-масса чистого спирта в колбе, их колбы отлили х г раствора, осталось (200-х)г раствора, в котором чистого спирта 0,8*(200-х). Когда к раствору добавили х г воды, то масса раствора снова стала 200 г, а концентрация [(0,8*(200-х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г). Ответ: провизор добавил 50г воды.
ЕГЭ 2004	В колбе было 800 г 80% -ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах) полученного спирта.
	Решение. После того, как провизор отлил 200 г раствора, стало 600г, в котором чистого спирта 0,8*600=480г, когда добавили200г воды, то раствор снова 800г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60% Ответ: 60%
ЕГЭ 2005	Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?
	Решение. А- первоначальное количество жителей Таганрога. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000 Ответ:280000 чел
ЕГЭ 2005	Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?
	Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение 0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5 л. Ответ: 4,5 л
Демонстрационный вариант 2007	Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)
	Решение. 1,11* 7000=7770руб-будет на счете в конце 1 года. Пусть х руб. положили дополнительно на счет, из условия задачи получаем неравенство 1,11(7770+х)> 10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы на счету было не менее 10000 руб, нужно положить не менее12 40руб. Ответ: 1240 руб.
2008	Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения) РЕШЕНИЕ 1: РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию: 20 метров – 100 % 32 метра – х % х =160 ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.
2009	Число 200 увеличили на 30 %, полученное число увеличили еще на 20 %. Какое число получится в итоге? Решение: 30 % числа 200 составляют 200  0,3 = 60. Новое число будет 200 + 60 = 260. 20 % числа 260 составляют 260  0,2 = 52. после второго увеличения получим 260 + 52 = 312. Ответ: 312.
2011	Брюки сравнивают с рубашкой. За 100% принимают ту величину, с которой сравнивают! Брюки принимаем за х. Решение: х – 100% Брюки – 120% брюки =  ответ Брюки = 1,2х
2013	В 2010 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2011 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 15%, а в 2012 году — на 10% по сравнению с 2011 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2012 году? По условию, в 2011 году число жителей выросло на 15%, то есть их стало Можно, конечно же, найти 15% от 50000 путём составления пропорции, и затем прибавить полученное число к 50000.  Результат будет тот же. А в 2012 году число жителей выросло на 10%, теперь уже по сравнению с 2011 годом. Получаем, что в 2012 году в квартале стало проживать Или сразу можно было рассудить так: так как сначала число жителей увеличилось на 15%, а потом ещё на 10% от полученного, то можно было решать: Ответ: 63250
2014	Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк  ¾  от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а ещё через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке? Запишем подробно условие задачи: 1.Пусть фермер взял кредит A руб. под p%  годовых. Через год он должен банку  руб. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк  ¾  от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, следовательно, ему осталось вернуть руб. Ещё через год он должен банку  руб. В счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита, то есть внес 1,21 A руб. Получили уравнение: 2. Решим это уравнение. Разделим обе части уравнения на А и умножим на 4. Получим: Извлечем квадратный корень из правой и левой части уравнения. Нас интересует только положительный корень. Получим: Отсюда: % Ответ: 120
2016	Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?  Решение Определим, сколько процентов от 1200 рублей составляет сниженная цена. 1200 рублей (величина, с которой сравниваем) принимаем за 100%, 972 рубля это х %. Составляем пропорцию: 1200 рублей   -  100% 972 рубля      -   х % То есть 972 это 81% от 1200 рублей. Значит, цена снизилась на 100-81=19%. Ответ: 19
2012	До снижения цен товар стоил 800 рублей, а после снижения цен стал стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена товара? Решение: 680*100:800=85% 100%-85%=15% Ответ 15
2010	Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? Решение: 720:50%=360 720:2=1440 360*15=5400 5400+1440=6840 Ответ: 6840 Ответ 6840
2014	Куртка стоила 3200 рублей. В январе ее цена снизилась на 4%, а в феврале поднялась на 25% от январской цены. Сколько рублей стала стоить куртка? Решение: 3200-----100% Х---------4% Делаем пропорцию. Получаем х=(3200∙4)/100=128 3200-128=3072 3072----100% Х-----25% Х=(25∙3072)/100=768 3072+768=3840рб Ответ 3840рб

Заключение.

 Данное электронное  пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле. Можно провести сравнительный анализ банковских процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.

Литература.

1. .Быков А.А. и др. В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математике М:Наука, 1992.

4. .Семенова А.Л.  и И.В. Ященко М-.: Издательство «экзамен» 2012-2015. Типовые тестовые задания. ЕГЭ 2012-2015

5. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

6. Алгебра, 9, под ред. Макарычев Ю.Н., М: Просвещение, 2004

7. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.

8. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

9. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.