Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Электронное пособие по теме "Прямая и плоскость"
  • Математика

Электронное пособие по теме "Прямая и плоскость"

Выберите документ из архива для просмотра:

9.15 МБ autorun v.1.exe
1.3 МБ autorun.aru
2.69 МБ autorun.exe
47.34 КБ 13.ico
44.09 КБ 256.ico
109.85 КБ Lambswool.jpg
10 КБ Thumbs.db
8 КБ Project1.bdsproj
441 КБ Project1.exe
4.29 КБ Project1.res
10.03 КБ Unit1.dcu
15.09 КБ Unit1.dfm
3.98 КБ Unit1.pas
8.03 КБ Unit1.dfm.~10~
8.03 КБ Unit1.dfm.~11~
8.01 КБ Unit1.dfm.~12~
11.34 КБ Unit1.dfm.~13~
11.9 КБ Unit1.dfm.~14~
12.62 КБ Unit1.dfm.~15~
12.62 КБ Unit1.dfm.~16~
4.71 КБ Unit1.dfm.~7~
5.13 КБ Unit1.dfm.~8~
8.16 КБ Unit1.dfm.~9~
3.64 КБ Unit1.pas.~21~
3.73 КБ Unit1.pas.~22~
3.78 КБ Unit1.pas.~23~
3.56 КБ Unit1.pas.~24~
3.56 КБ Unit1.pas.~25~
3.55 КБ Unit1.pas.~26~
3.59 КБ Unit1.pas.~27~
3.62 КБ Unit1.pas.~28~
3.71 КБ Unit1.pas.~29~
3.79 КБ Unit1.pas.~30~
1.78 МБ 1 (1).doc
2.92 МБ 1 (1).mht
1.19 МБ 1 (2).doc
1.94 МБ 1 (2).mht
1.16 МБ 1 (3).doc
1.89 МБ 1 (3).mht
685.5 КБ 1 (4).doc
1.07 МБ 1 (4).mht
158 КБ 1 (5).doc
41.75 КБ 1 (5).mht
1.19 МБ 2(1).doc
1.96 МБ 2(1).mht
526.5 КБ 2(2).doc
903.53 КБ 2(2).mht
109.5 КБ 2(3).doc
180.94 КБ 2(3).mht
126.5 КБ 2(4).doc
203.43 КБ 2(4).mht
380 КБ 3(1).doc
628.64 КБ 3(1).mht
217 КБ 3(2).doc
371.88 КБ 3(2).mht
155.5 КБ 3(3).doc
270.27 КБ 3(3).mht
1.59 МБ ~WRL0001.tmp

Выбранный для просмотра документ 1 (1).doc

библиотека
материалов

Уравнение прямой на плоскости. Особенности расположения прямой в системе координат. Полуплоскости.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Положение прямой определяется однозначно, если даны направляющий вектор прямой и некоторая ее точка или две точки прямой.

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат hello_html_3a6356b6.gif и в этой системе известны координаты некоторой точки hello_html_m73fece7e.gif прямой d и направляющего вектора hello_html_2a8406f3.gif этой прямой.

(1) hello_html_m482ec37.gif - каноническое уравнение прямой

(2) hello_html_m6e3cfd6b.gif – параметрическое уравнение прямой с параметром t.

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат hello_html_3a6356b6.gif и в этой системе известны координаты двух точек hello_html_5ee731fc.gif и hello_html_26b93e08.gif прямой d.

(3) hello_html_m5787f5b5.gif - уравнение прямой заданной двумя точками

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат hello_html_3a6356b6.gifи дана прямая d, пересекающая ось ординат. Если hello_html_2a8406f3.gif – направляющий вектор прямой, то число hello_html_m27193c16.gif называется угловым коэффициентом прямой d.

Если прямая заданна в аффинной системе координат hello_html_354401a1.gif, то угловой коэффициентhello_html_69bf268d.gif, где φ - угол наклона прямой d к оси Ox.

Пусть прямая d задана в аффинной системе координат точкой hello_html_m73fece7e.gif и угловым коэффициентом k.

(4) hello_html_m64386fab.gif - уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

Если в качестве точки hello_html_m73fece7e.gif взять точку hello_html_3b490877.gif пересечения прямой d с осью ординат, то уравнение (4) примет вид:

(5) hello_html_6650dace.gif - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если в аффинной системе координат hello_html_3a6356b6.gif заданна прямая d, которая отсекает на оси Ox - отрезок a, а на оси Oy - отрезок b, то можно составить уравнение прямой в отрезках:

(6) hello_html_7c57901a.gif

Прямая является алгебраической линией первого порядка и любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая.

Теорема: Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени

(7) hello_html_2d5c781b.gif- есть прямая. Вектор hello_html_m2c91d1aa.gif является направляющим вектором этой прямой.

Уравнение (7) называется общим уравнением прямой, а x и y называются текущими координатами точки прямой.

Пусть в аффинной системе координат hello_html_3a6356b6.gif задана прямая общим уравнением (7). Если некоторые из чисел A, B, C равны нулю, то прямая обладает следующими особенностями расположения относительно системы координат:

Прямая проходит через начало координат C=0;

Прямая параллельна оси Ox A=0, C≠0;

Прямая совпадает с осью Ox A=0, C=0;

Прямая параллельна оси Oy B=0, C≠0;

Прямая совпадает с осью Oy B=0, C=0;

Прямая d раделяет множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на два непересекающихся подмножества. Эти подмножества называют полуплоскостями с общей границей d.

Теорема: Если в аффинной системе координат прямая d задана уравнением (7), то полуплоскости с границей d определяются аналитически неравенствами:

(8) hello_html_m75c2a74c.gif,

(9) hello_html_48736e11.gif.

Примеры решения типовых задач.

1. Дано уравнение прямой. Составить:

А) уравнение с угловым коэффициентом.

Дано: hello_html_2c7204c3.gif ур-ние прямой.

Решение: hello_html_m3438f847.gif- ур-ние прямой с угловым коэффициентом, где

hello_html_md652745.gif hello_html_35a1c6ea.gif - направляющий вектор, где hello_html_6b3b040b.gif => hello_html_5c5a2840.gif , hello_html_707d9ee4.gif

hello_html_20add004.gif – уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пример: Дана прямая hello_html_7e74ef9d.gif.

Решение: Прямая заданна уравнением вида: hello_html_m39d3021c.gif из условия => A=2, B=-3, C=-18,

hello_html_6ff5e13b.gif => hello_html_63443778.gif => =hello_html_m71ad8437.gif-искомое ур-ние прямой.

B) уравнение в отрезках

Дано: hello_html_2c7204c3.gif ур-ние прямой.

Решение: hello_html_m7763dada.gif-ур-ние прямой в отрезках, где hello_html_6008ca0f.gif, hello_html_707d9ee4.gif =>

hello_html_m10ec1b22.gif-ур-ние прямой в отрезках

Пример: Дана прямая hello_html_5401bc3e.gif.

Решение: Прямая заданна уравнением вида: hello_html_m39d3021c.gif из условия => A=2, B=-3, C=-18,

hello_html_m4580d903.gif => hello_html_m8a4816b.gif – искомое ур-ние



2. Записать уравнение прямой:

А) прямая проходит через две точки.

Дано: точка hello_html_28023d40.gif и hello_html_m5eaa3d67.gif

Решение: hello_html_m425e51e5.gif – ур-ние прямой заданной 2-мя точками

Пример: Дано 2 точки А(2,3) и В(-4,-6)

Решение: hello_html_m425e51e5.gif – ур-ние прямой заданной 2-мя точками, т.к точка hello_html_28023d40.gif и hello_html_68359f31.gif из условия => hello_html_m39c5ceba.gif =>

=> hello_html_549cebbc.gif => hello_html_b588ec9.gif => hello_html_45c609b7.gif =>hello_html_m2a5b54d6.gif-искомое ур-ние прямой



В) проходящей через точку параллельно вектору

Дано: точка hello_html_5381ddd5.gif , вектор hello_html_m21440b21.gif

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой

Пример: Дано: точка А(3,-5), вектор b(-4,2)

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой , т.к точка hello_html_5381ddd5.gif , вектор hello_html_m21440b21.gif из условия => hello_html_m7d39e5a.gif=2 => hello_html_m70cf6799.gif => hello_html_43f89ad5.gif => hello_html_m4fc2f878.gif – искомое ур-ние прямой



С) проходящей через точку параллельно прямой

Дано: точка hello_html_4ded5d6d.gif, прямая hello_html_m39d3021c.gif

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой

Т.к. прямые параллельны => hello_html_35a1c6ea.gif - направляющий вектор имеющий координаты hello_html_6b3b040b.gif => hello_html_5c5a2840.gif => hello_html_m26b499b0.gif - искомое ур-ние

Пример: Дано А(2,-1) и прямая hello_html_101ce8ed.gif

Решение:hello_html_33dc7624.gif – каноническое ур-ние прямой. Т.к. прямые параллельны => hello_html_35a1c6ea.gif - направляющий вектор имеющий координаты hello_html_6b3b040b.gif => hello_html_5c5a2840.gif из условия => hello_html_m5741a5d3.gif , а т.к точка hello_html_5381ddd5.gif то из условия =>hello_html_mee1fa2c.gif hello_html_1657d5e8.gif hello_html_607ea52f.gif => hello_html_m24fdd25b.gif => hello_html_m23d59f54.gif => hello_html_76e138c1.gif - искомое ур-ние.



D) проходящей через точку перпендикулярно вектору

Дано: точка hello_html_5381ddd5.gif , вектор hello_html_51966106.gif

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой

Пример: Дано: точка А(-7,2), вектор h(3,-4)

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой , т.к точка hello_html_5381ddd5.gif , вектор hello_html_51966106.gif из условия => hello_html_m34453421.gif=-4 => hello_html_1de266f4.gif => hello_html_3150299d.gif => hello_html_m716ef73.gif => hello_html_m1e59069.gif – искомое ур-ние прямой



Е) проходящей через точку перпендикулярно прямой

Дано: точка hello_html_4ded5d6d.gif, прямая hello_html_m39d3021c.gif

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой

Из ур-ния прямой =>, что координаты нормального вектора этой прямой hello_html_6f70eada.gif Т.к. прямые перпендикулярны, то этот вектор яв-ся направляющим => hello_html_2454d2ef.gif имеющий координаты hello_html_25ecd97f.gif => hello_html_m4d43691d.gif => hello_html_m4ccfbe4e.gif - искомое ур-ние

Пример: Дано А(-5,2) и прямая hello_html_m7a0f5da3.gif

Решение: hello_html_m2268eba6.gif – каноническое ур-ние прямой

Из ур-ния прямой =>, что координаты нормального вектора этой прямой hello_html_6f70eada.gif Т.к. прямые перпендикулярны, то этот вектор яв-ся направляющим => hello_html_2454d2ef.gif имеющий координаты hello_html_25ecd97f.gif => hello_html_m4d43691d.gif из условия => hello_html_1b48b5ab.gif => hello_html_46ceb820.gif=-1, а т.к точка hello_html_5381ddd5.gif то из условия =>hello_html_m573d236.gif hello_html_147e33e3.gif => hello_html_m51e2443e.gif => hello_html_2eed0e69.gif => hello_html_m74dde956.gif => hello_html_m531f884.gif – искомое ур-ние прямой



F) через точку и имеющая угловой коэффициент

Дано: hello_html_4ded5d6d.gif, k=a

Решение:hello_html_74768a89.gif- ур-ние прямой с угловым коэффициентом => hello_html_m14b1fd92.gif

Пример: Дано: А(2,3) и угловой коэффициент k=-5

Решение: hello_html_ma17216.gif- ур-ние прямой с угловым коэффициентом. т.к точка hello_html_5381ddd5.gif то из условия =>hello_html_mee1fa2c.gif hello_html_m1c7005c0.gif , k=-5 => hello_html_m4cdf0fb8.gif => hello_html_136071ce.gif => hello_html_m6e43c253.gif - искомое ур-ние прямой



Выбранный для просмотра документ 1 (2).doc

библиотека
материалов

Взаимное расположение двух прямых.

Пусть прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif заданы соответственно уравнениями:

(10) hello_html_m2f3da3ed.gif

(11) hello_html_m3d0230b9.gif

Возможно три случая взаимного расположения прямых на плоскости:

1. Прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif пересекаются hello_html_m649ece7d.gif (рис. а);

2. Прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif совпадают hello_html_14fbdf4d.gif (рис. б);

3. Прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif параллельны hello_html_5a170310.gif (рис. в).

hello_html_dbd8838.jpg









Примеры решения типовых задач.

  1. Взаимное расположение 2-х прямых.

1.Дано: hello_html_6cb2ded1.gif

hello_html_m4ccf747e.gif

Возможно три случая взаимного расположения:

1. Прямые hello_html_m327a6766.gif и hello_html_m79b6ffeb.gif пересекаются hello_html_49a8ff4e.gif

2. Прямые hello_html_m327a6766.gif и hello_html_m79b6ffeb.gif совпадают hello_html_m71699076.gif

3. Прямые hello_html_m327a6766.gif и hello_html_m79b6ffeb.gif параллельны hello_html_m24aeb87.gif

1.Пример: Дано: hello_html_m33b27c05.gif , hello_html_m461f5c04.gif

Решение: Т.к прямые заданны ур-ями вида : hello_html_6cb2ded1.gif hello_html_m4ccf747e.gif , то из условия => hello_html_33e24e6e.gif=2 hello_html_4b6542b1.gif=3 hello_html_m730329c8.gif=-1 ; hello_html_102a3f23.gif=4 hello_html_68ad33fc.gif=6 hello_html_m9560678.gif=-7 => hello_html_519abbfe.gif hello_html_537db753.gif => Прямые hello_html_m327a6766.gif и hello_html_m79b6ffeb.gif параллельны.

2. Пример: Дано: hello_html_m753c44a0.gif hello_html_40379899.gif

Решение: Т.к.прямые заданны ур-ями параметрического вида:hello_html_m148977ef.gifгде точка A(hello_html_74a63abb.gif), вектор hello_html_m1a24e92b.gif, hello_html_5fe2baa3.gif где точка B(hello_html_m4985416.gif и вектор hello_html_5cf1963c.gif из условия => A(5,-2) a(4,-2) , а B(1,7) b(-3,1), то мы можем записать hello_html_m78d49824.gif – каноническое ур-ние прямой => ур-ния прямых будут иметь вид: hello_html_m16dbc10e.gif => hello_html_m28b14e2a.gif => hello_html_74b2b11b.gif => hello_html_7ef2b59b.gif-искомое ур-ние прямой hello_html_m327a6766.gif

hello_html_b0a02cc.gif => hello_html_54b81bb2.gif hello_html_83abd17.gif hello_html_m7c10f459.gif => hello_html_m268ccd3c.gif –искомое ур-ние прямой hello_html_m79b6ffeb.gif. Из полученных ур-ний => hello_html_33e24e6e.gif=1 hello_html_4b6542b1.gif=2 hello_html_m730329c8.gif=-1 ; hello_html_102a3f23.gif=1 hello_html_68ad33fc.gif=3 hello_html_m9560678.gif=-22 => hello_html_44d6a785.gif 1≠hello_html_m3d7734e1.gifhello_html_e7a4eaa.gif => Прямые hello_html_m327a6766.gif и hello_html_m79b6ffeb.gif пересекаются

3.Пример: Дано: hello_html_26ac6d9d.gif hello_html_m600cc78e.gif

Решение: Приведем ур-ние прямой hello_html_6d86caaf.gifвида hello_html_45f44c22.gif где точка A(hello_html_74a63abb.gif), вектор hello_html_m1a24e92b.gif, к виду hello_html_m4ccf747e.gif из условия => А(2,-2), a(3,-1) =>

hello_html_m78d49824.gif – каноническое ур-ние прямой => ур-ние прямой будет иметь вид: hello_html_m200dee56.gif => hello_html_53596311.gif => hello_html_m33c6adab.gif => hello_html_3ad3d28d.gif - искомое ур-ние прямой hello_html_m79b6ffeb.gif. Находим взаимное расположение прямых. Из полученных ур-ний => hello_html_33e24e6e.gif=3 hello_html_4b6542b1.gif=9 hello_html_m730329c8.gif=12 ; hello_html_102a3f23.gif=1 hello_html_68ad33fc.gif=3 hello_html_m9560678.gif=4 => hello_html_6becd6ba.gif 3=3=3 => Прямые hello_html_m327a6766.gif и hello_html_m79b6ffeb.gif совпадают.



Выбранный для просмотра документ 1 (3).doc

библиотека
материалов

Угол между прямыми.

Рассмотрим на плоскости две прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_mc7b67da.gif пересекающиеся в точке A. Лучи этих прямых, исходящих из точки A, образуют четыре угла. Углом между прямыми hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif называется величина того из этих углов, который не больше других углов. Отсюда следует, что угол между пересекающимися прямыми не больше hello_html_2e208221.gif.

Выберем направляющие векторы hello_html_10356080.gif и hello_html_m48aafbe3.gifэтих прямых так, чтобы hello_html_53e225b6.gif. Направленным углом между прямой hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif прямой называется направленный угол между векторами hello_html_10356080.gif и hello_html_m32949249.gif. Таким образом, направленный угол φ между любыми двумя пересекающимися прямыми заключен в пределах hello_html_4abb7c7c.gif. Заметим, что если прямые hello_html_m37a5b4ae.gifи hello_html_m364d3137.gif не перпендикулярны, то hello_html_m4e08a1cf.gif., а если они перпендикулярны, то либо hello_html_m7410cdbb.gif или hello_html_397409a8.gif.

Пусть в ортонормированном базисе hello_html_m74e5d4f4.gif заданы координаты направляющих векторов hello_html_m36a6ef9d.gif прямых hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif соответственно.

Условие перпендикулярности прямых hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif имеет вид:

(12) hello_html_m7cad5026.gif.

Если прямые не перпендикулярны, то угол между ними можно вычислить по формуле:

(13) hello_html_m1e6bbfe8.gif.

Пусть пересекающиеся прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif заданы в прямоугольной системе координат hello_html_354401a1.gif уравнениями (10) и (11).

Условие перпендикулярности прямых hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif имеет вид:

(14) hello_html_m2a222a66.gif.

Если прямые не перпендикулярны, то угол между ними можно вычислить по формуле:

hello_html_m6473f02a.gif.

Пусть пересекающиеся прямые hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif заданы в прямоугольной системе координат hello_html_354401a1.gif уравнениями:

(16) hello_html_1cb7c7dc.gif

(17) hello_html_36046bab.gif

Условие перпендикулярности прямых hello_html_m37a5b4ae.gif и hello_html_m364d3137.gif имеет вид:

(18) hello_html_470a0290.gif.

Если прямые не перпендикулярны, то направленный угол между ними можно вычислить по формуле:

(19) hello_html_543ff071.gif.



Примеры решения типовых задач.

  1. Определение угла между 2-мя прямыми.

1.Дано: hello_html_6cb2ded1.gif

hello_html_m4ccf747e.gif

Решение: Условие перпендикулярности 2-х прямых имеет вид: hello_html_m1874d851.gif.

Если прямые перпендикулярны, то угол φ=π/2 или φ=-π/2. Если прямые не перпендикулярны, то hello_html_md1cb051.gif.

Пример: Дано: hello_html_17b1fd39.gifhello_html_3f9f9086.gif

Решение: Ур-ния имеют вид hello_html_6cb2ded1.gifhello_html_m4ccf747e.gif

Проверим условие перпендикулярности прямых hello_html_m1874d851.gif из условия задачи => hello_html_33e24e6e.gif=5 hello_html_4b6542b1.gif=-1 ; hello_html_102a3f23.gif=3 hello_html_68ad33fc.gif=2 => 5·3+(-1)·2=15-2=13 => 13≠0 => hello_html_33d8bd62.gifи hello_html_m79b6ffeb.gif не перпендикулярны. => hello_html_md1cb051.gif => hello_html_241db9e9.gif => hello_html_m317b918f.gif => φ=45 => hello_html_m4de6682d.gif -искомый угол.

2. Дано: hello_html_m3a18bc38.gifhello_html_m3d88a92b.gif

Решение: Условие перпендикулярности 2-х прямых имеет вид: hello_html_3540210d.gif.

Если прямые перпендикулярны, то угол φ=π/2 или φ=-π/2. Если прямые не перпендикулярны, то hello_html_5ab6a863.gif.

Пример: hello_html_m5b6732fd.gifhello_html_588ee261.gif

Решение: Ур-ния имеют вид: hello_html_m3a18bc38.gif , hello_html_m3d88a92b.gif . Проверим условие перпендикулярности прямых hello_html_3540210d.gif. из условия задачи => hello_html_m125a797c.gif=hello_html_m4cce43cc.gifhello_html_m6e418431.gif => hello_html_m4cce43cc.gif·hello_html_mcdae810.gif => 2≠0 => hello_html_305d6bc.gifи hello_html_397155e0.gif не перпендикулярны

hello_html_58316ba4.gif => hello_html_2129288c.gif => φ=hello_html_m272e90e7.gif - искомый угол

3. Дано: Направляющие векторы hello_html_339501fa.gif и hello_html_3e9c31b1.gif

Решение: Условие перпендикулярности 2-х прямых имеет вид: hello_html_m6de4f740.gif Если прямые перпендикулярны, то угол φ=π/2 или φ=-π/2. Если прямые не перпендикулярны, то hello_html_1cec4ab3.gif.

Пример: Дано: направляющие вектора hello_html_4fe52e87.gif и hello_html_m5a066207.gif.

Решение: Проверим условие перпендикулярности прямых hello_html_m6b798efd.gif. Из условия задачи => hello_html_38ab2932.gif=1, hello_html_m6ad3af4.gif=5, hello_html_4fc2f352.gif=-2, hello_html_m71c4e094.gif=3 => -2+15=13 => 13≠0 => hello_html_305d6bc.gifи hello_html_397155e0.gif не перпендикулярны. => hello_html_1cec4ab3.gif => hello_html_4a50879e.gif => hello_html_27a032a8.gif => φ=45 => hello_html_1f34b57f.gif -искомый угол.



Выбранный для просмотра документ 1 (4).doc

библиотека
материалов

Расстояние от точки до прямой.

Ненулевой вектор hello_html_m3f3f93b6.gifназывается перпендикулярным или нормальный вектором данной прямой, если он перпендикулярен любому направленному вектору прямой.

hello_html_793bb8d2.jpg

Лемма: Если прямая d, в прямоугольной системе координат задана уравнением hello_html_m6af6143b.gif, то вектор hello_html_m78066bcf.gif перпендикулярен прямой d.

Пусть hello_html_2d1f80d4.gif – точка, не лежащая на прямой d. Длина перпендикуляра hello_html_1a050715.gif, проведенного из точки hello_html_2d1f80d4.gif к прямой d, называется расстоянием от точки hello_html_2d1f80d4.gif до прямой d.

Расстояние от точки hello_html_m73fece7e.gif до прямой d заданной уравнением hello_html_2d5c781b.gif вычисляется по формуле:

(20) hello_html_m7c363529.gif



Примеры решения типовых задач.

  1. Определение расстояния.

А) от точки до прямой

1 Дано: точка hello_html_m29342cd7.gif и прямая hello_html_m5d1c5051.gif.

Решение: Расстояние от точки hello_html_m29342cd7.gif до прямой заданной ур-нием вида hello_html_m5d1c5051.gif определяется по формуле: hello_html_18d64def.gif

Пример: Дано: точка A(2,4) и прямая d: 3x+4y+3=0.

Решение: Прямая заданна ур-нием вида hello_html_m5d1c5051.gif. Из условия =>A=3, B=4, C=3. hello_html_eaad1b2.gif=2, hello_html_795f89b3.gif=4 => hello_html_18d64def.gif => hello_html_m2dc08a84.gif => hello_html_m37637cdc.gif-искомое расстояние.

2 Дано: Точка hello_html_m29342cd7.gif и прямая ур-ем вида hello_html_783b7305.gif.

Решение: Т.к прямая задана ур-нием вида hello_html_100fd8b6.gif, необходимо привести ее к виду hello_html_m5d1c5051.gif. Для этого из ур-ния hello_html_100fd8b6.gif найдем координаты направляющего вектора и координаты точки. hello_html_339501fa.gif - направляющий вектор, а точка имеет координаты hello_html_m29342cd7.gif => можем записать hello_html_m46b84d59.gif отсюда получим ур-ние hello_html_m5d1c5051.gif. Теперь можем записать hello_html_18d64def.gif



Пример: Дано: A(3,8) и прямая hello_html_m38ac8da3.gif

Решение: Т.к прямая задана ур-нием вида hello_html_100fd8b6.gif, необходимо привести ее к виду hello_html_m5d1c5051.gif. Для этого из ур-ния hello_html_100fd8b6.gif найдем координаты направляющего вектора и координаты точки. hello_html_339501fa.gif - направляющий вектор, из условия задачи =>a(-4,1) =>, а точка будет иметь координаты A(1,3) => можем записать hello_html_m46b84d59.gif => hello_html_39e0c226.gif => hello_html_m51195ace.gif => hello_html_m4273a834.gif => hello_html_2722325f.gif- искомое ур-ние. => A=1, B=4, C=-13, из условия задачи hello_html_eaad1b2.gif=3, hello_html_795f89b3.gif=8

hello_html_3ff35c3e.gif=> hello_html_66298aed.gif => hello_html_400709eb.gif - искомое расстояние.











Выбранный для просмотра документ 1 (5).doc

библиотека
материалов
  1. Принадлежность точки прямой.

Дано: точки hello_html_m5f4f11c5.gif hello_html_27d670d0.gif hello_html_m57c47fc8.gif и прямая hello_html_m2f9b355a.gif.

Решение: Для определения принадлежности точек прямой, необходимо координаты точек подставить вместо x и y в ур-ние hello_html_m2f9b355a.gif. Если тождество верно точка принадлежит, в противном случае не принадлежит.

Пример: Дано: точки A(3,1), B(2,3) и прямая hello_html_m641ef087.gif.

Решение: Для определения принадлежности точек прямой, необходимо координаты точек подставить вместо x и y в ур-ние hello_html_m2f9b355a.gif. Если тождество верно точка принадлежит, в противном случае не принадлежит.

1.A(3,1) hello_html_m74b57e8.gif => 6-3-3=0 => 0=0 => точка A принадлежит прямойhello_html_74a55ac8.gif.

2. B(2,3) 2*2-3*3-3=0 => 4-9-3=0 => -8≠0 => точка B не принадлежит прямой hello_html_m8dab7d8.gif.



Выбранный для просмотра документ 2(1).doc

библиотека
материалов

Уравнение плоскости. Особенности расположения плоскости в системе координат. Полупространства.

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость σ. Множество L всех векторов, параллельных плоскости σ назовем направляющим подпространством плоскости σ. Направляющее подпространство hello_html_37eaae39.gif плоскости σ можно считать известным, если даны какие-либо два неколлинеарных вектора hello_html_m4d75501a.gif и hello_html_1dbcbebe.gif, параллельных этой плоскости.

Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат
hello_html_209698a9.gif и в этой системе известны координаты точки hello_html_6698a3a5.gif и двух неколлинеарных векторов: hello_html_m100dd242.gif и hello_html_1e3f3fe8.gif. Тогда можно составить уравнение плоскости σ, проходящей через точку hello_html_2d1f80d4.gif и имеющей направляющее подпространство hello_html_m54b9a97d.gif:

(21) hello_html_m7911c3a9.gif=0.

Это уравнение называется каноническим уравнением плоскости.

(23) hello_html_m30f33558.gif - параметрическое уравнение плоскости с параметрами u, v.

Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат
hello_html_209698a9.gif и в этой системе известны координаты трех точек hello_html_m17914cc1.gif данной плоскости.

(24) hello_html_15518f79.gif=0 - уравнение плоскости, заданной тремя точками.

Вектор hello_html_m3f3f93b6.gifназывается перпендикулярным или нормальный вектором данной прямой, если он перпендикулярен любому направленному вектору из направляющего подпространства плоскости σ.

Уравнение плоскости σ, проходящей через точку hello_html_6698a3a5.gif перпендикулярно вектору hello_html_m6b21a174.gif имеет вид:

(24) hello_html_m6805cd32.gif

Если в аффинной системе координат hello_html_m54279864.gif заданна плоскость σ, которая отсекает на оси Ox - отрезок a, а на оси Oy - отрезок b,а на оси Oz - отрезок c, то можно составить уравнение плоскости в отрезках:

(25) hello_html_m5ec683ae.gif

Плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка и любая алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость.

Теорема: Поверхность в пространстве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени

(26) hello_html_m304aff5a.gif - есть плоскость. При этом векторы hello_html_22ef1d51.gif, hello_html_m597d6428.gif hello_html_7eb61a9c.gif принадлежат направляющему подпространству этой плоскости и какие-либо два из них образуют базис этого подпространства.

Уравнение (26) называется общим уравнением плоскости, а x, y, z называются текущими координатами точки плоскости.

Если система координат прямоугольная, то вектор hello_html_m6320b899.gif перпендикулярен плоскости (26).

Лемма: Пусть в аффинной системе координат задана плоскость σ уравнением (26) и вектор hello_html_5bc7068.gif. Для того чтобы вектор hello_html_1c4c4cec.gif был параллелен плоскости σ, необходимо и достаточно, чтобы:

(27) hello_html_4395d607.gif

Пусть в аффинной системе координат hello_html_m54279864.gif задана плоскость общим уравнением (26). Если некоторые из чисел A, B, C и D равны нулю, то плоскость обладает следующими особенностями расположения относительно системы координат:

Плоскость проходит через начало координат D=0;

Плоскость параллельна оси Ox A=0, B≠0,C≠0, D≠0;

Плоскость содержит ось Ox A=0, B≠0, C≠0, D=0;

Плоскость параллельна оси Oy B=0, A≠0, C≠0, D≠0;

Плоскость содержит ось Oy B=0, A≠0, C≠0, D=0;

Плоскость параллельна оси Oz C=0, A≠0,B≠0, D≠0;

Плоскость содержит ось Oz C=0, A≠0, B≠0, D=0;

Плоскость параллельна плоскости Oyz A≠0,B=0, C=0, D≠0;

Плоскость совпадает с плоскостью Oyz A≠0, B=0, C=0, D=0;

Плоскость параллельна плоскости Oxz B≠0,A=0, C=0, D≠0;

Плоскость совпадает с плоскостью Oxz B≠0, A=0, C=0, D=0;

Плоскость параллельна плоскости Oxy C≠0,A=0, B=0, D≠0;

Плоскость совпадает с плоскостью Oxy C≠0, A=0, B=0, D=0;

Плоскость σ разделяет множество точек пространства, не принадлежащих ей, на два непересекающихся подмножества. Эти подмножества называют полупространствами с общей границей σ.

Теорема: Если в аффинной системе координат плоскость σ задана уравнением (26), то полупространства с границей σ определяются аналитически неравенствами:

(28) hello_html_m54feac90.gif,

(29) hello_html_27bba211.gif.

Примеры решения типовых задач.

  1. Дано параметрическое уравнение плоскости. Составить каноническое ур-ние:

Дано: hello_html_43773164.gif

Решение: hello_html_1c31ab35.gif=0 - каноническое ур-ние плоскости.

Подставляем значения из условия получаем искомое ур-ние.

Пример: Дано: hello_html_16b8c52e.gif

Решение: Для решения воспользуемся формулой hello_html_1c31ab35.gif=0

Т.к ур-ние имеет видhello_html_65e97300.gif то из условия => hello_html_m5517c769.gif=-3, hello_html_m2c661646.gif=4, hello_html_167b5f17.gif=-1

hello_html_m676fd176.gif=1, hello_html_m2ca349fb.gif=-1, hello_html_38715a43.gif=-1 hello_html_m33ef63e4.gif=1, hello_html_m17a89cb3.gif=2, hello_html_m3a6ecb90.gif=-3. Подставляем значения в формулу получаем hello_html_3a4a3b6d.gif=0 => 5x+2y+3z+10=0 – искомое ур-ние.

  1. Записать уравнение плоскости:

  1. Проходящей через три точки

Дано: точки hello_html_739dbf59.gifhello_html_4bd6c49b.gifhello_html_m37e83fc.gif

Решение: hello_html_2dc94036.gif=0 - ур-ние плоскости заданной тремя точками.

Пример: Дано: Точки F(3,-1,2) D(4,-1,-1) T(2,0,2)

Решение: Воспользуемся hello_html_2dc94036.gif=0 - ур-ние плоскости заданной тремя точками. Подставив координаты точек получаем: hello_html_34462b2b.gif => 3x+3y+z-8=0 - искомое ур-ние плоскости.



  1. Проходящей через точку параллельно 2-м векторам

Дано: Точка hello_html_44f1fdec.gif и вектор hello_html_m6051e9e7.gif, hello_html_mcd32383.gif

Решение: hello_html_1c31ab35.gif=0 - каноническое ур-ние плоскости.

Пример: Дано: точка F(3,4,-5) и вектор a(3,1,-1) и b(1,-2,1)

Решение: Воспользуемся формулой hello_html_1c31ab35.gif=0 подставив в эту формулу значения из условия получим hello_html_65ac4fd1.gif=0 => x+4y+7z+16=0 - искомое ур-ние плоскости.

  1. Проходящей через точку параллельно плоскости

Дано: Точка hello_html_44f1fdec.gif и плоскость hello_html_m2ab94b0e.gif.

Решение: Т.к. hello_html_m2ab94b0e.gif - ур-ние плоскости. При этом векторы hello_html_m7aaa8838.gif, hello_html_m520a0792.gif, hello_html_14af9707.gif принадлежат направляющему подпространству этой плоскости и какие либо два из них образуют базис этого подпространства. Поэтому мы можем воспользоваться формулой hello_html_1c31ab35.gif=0 .

Пример: Дано: точка A(3,-2,-7) и плоскость 2x-3z+5=0

Решение: Для решения воспользуемся формулой hello_html_1c31ab35.gif=0 Т.к. плоскость задана ур-нием вида hello_html_416ab900.gif то из условия => A=2, B=0, C=-3 D=5, При этом векторы hello_html_42fe77a.gif, hello_html_23642c5.gif, hello_html_m4b5625.gif принадлежат направляющему подпространству этой плоскости и какие либо два из них образуют базис этого подпространства, то вектор a(0,3,0), b(3,0,2) и c(0,2,0). Воспользуемся координатами любых 2-х векторов. hello_html_6a1093bb.gifhello_html_m4cdd71a8.gifhello_html_m7c7c8c10.gif. Подставляем все значения в формулу получаем: hello_html_m304e65ce.gif=0 => hello_html_m42dad9c0.gif - искомое ур-ние плоскости.



  1. Проходящей через точку перпендикулярно 2-м плоскостям

Дано: точка hello_html_44f1fdec.gif и плоскости hello_html_6d8f1fe4.gif:hello_html_5c0b2023.gif, hello_html_49c8e0b5.gif:hello_html_2a7f73ae.gif.

Решение: Для решения воспользуемся формулой hello_html_1c31ab35.gif=0. Т.к. искомая плоскость перпендикулярна плоскости hello_html_6d8f1fe4.gifи плоскости hello_html_49c8e0b5.gif, то нормальный вектор hello_html_191e5a7.gif и hello_html_27e0f4ac.gif принадлежат направляющему подпространству искомой плоскости. Составим ур-ние плоскости по формуле hello_html_1c31ab35.gif=0.

Пример: Дано: Точка M(2,-1,1) и плоскости hello_html_m2e04818f.gif и hello_html_579c439c.gif.

Решение: Для решения воспользуемся формулой hello_html_1c31ab35.gif=0. Т.к. искомая плоскость перпендикулярна плоскости hello_html_6d8f1fe4.gifи плоскости hello_html_49c8e0b5.gif, то нормальный вектор hello_html_191e5a7.gif и hello_html_27e0f4ac.gif принадлежат направляющему подпространству искомой плоскости. Из условия => hello_html_3d35a00.gif hello_html_m261c93f7.gif. Подставляем значения в формулу получаем hello_html_67532871.gif=0 => hello_html_m17a08d5c.gif - искомое ур-ние плоскости.

Выбранный для просмотра документ 2(2).doc

библиотека
материалов

Взаимное расположение плоскостей.

Пусть плоскости hello_html_m545ea507.gif заданы соответственно уравнениями:

(30) hello_html_66ddd4b2.gif,

(31) hello_html_49f2bc03.gif.

Возможны три случая взаимного расположения двух плоскостей:

  1. Плоскости hello_html_63686ef5.gif совпадаю hello_html_63864b51.gif (рис. а);

  2. Плоскости hello_html_63686ef5.gif пересекаются hello_html_m6993627c.gif (рис. б);

  3. Плоскости hello_html_63686ef5.gif параллельны hello_html_m2e0f9e18.gif (рис. в).

hello_html_m482b6240.jpg

Пусть в некоторой аффинной системе координат плоскости hello_html_m6b45e064.gif, hello_html_m5af21f1e.gif, hello_html_61eddd97.gif заданы соответственно уравнениями:

(30) hello_html_66ddd4b2.gif,

(31) hello_html_49f2bc03.gif

(32) hello_html_bc67156.gif.

Вопрос о взаимном расположении плоскостей hello_html_m6b45e064.gif, hello_html_m5af21f1e.gif, hello_html_61eddd97.gif полностью

сводится к исследованию системы линейных уравнений (30), (31), (32).

Возможны восемь следующих случаев взаимного расположения этих плоскостей:

а) плоскости имеют единственную общую точку;

б) плоскости попарно пересекаются, но не имеют общей точки;

в) плоскости попарно различны, но проходят через одну прямую;

г) две из плоскостей параллельны, а третья их пересекает;

д) три плоскости попарно параллельны;

е) две плоскости совпадают, а третья их пересекает;

ж) две плоскости совпадают, а третья им параллельна;

з) все три плоскости совпадают.



hello_html_m3c81e4d7.jpg















Примеры решения типовых задач.

  1. Взаимное расположение 2-х плоскостей

Дано: Ур-ния плоскости hello_html_6d8f1fe4.gif:hello_html_5c0b2023.gif,

hello_html_49c8e0b5.gif:hello_html_2a7f73ae.gif.

Решение: Возможны три случая взаимного расположения 2-х плоскостей:

  1. Плоскости hello_html_73585f51.gif пересекаются hello_html_596037ba.gif

  2. Плоскости hello_html_73585f51.gif совпадаю hello_html_7b9c7ae0.gif

  3. Плоскости hello_html_73585f51.gif параллельны hello_html_m268957e1.gif

Пример: Дано: hello_html_6f57334b.gif и hello_html_10ca88b0.gif.

Решение: Т.к плоскости заданы ур-ниями вида:hello_html_61c9bbc2.gif:hello_html_5c0b2023.gif, hello_html_49c8e0b5.gif:hello_html_2a7f73ae.gif, то из условия => hello_html_33e24e6e.gif=2 hello_html_4b6542b1.gif=-3 hello_html_m730329c8.gif=5 hello_html_7cf98580.gif-7 ; hello_html_102a3f23.gif=2 hello_html_68ad33fc.gif=-3 hello_html_m9560678.gif=5 hello_html_m5cc56935.gif3 => hello_html_m798b7096.gif hello_html_16399a2e.gif => Плоскости hello_html_6d8f1fe4.gif и hello_html_49c8e0b5.gif параллельны.





Выбранный для просмотра документ 2(3).doc

библиотека
материалов

Угол между плоскостями

Пусть в прямоугольной системе координат даны две пересекающиеся плоскости σ 1 и σ2 соответственно уравнениями (30) и (31).

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла, и любой из этих углов называется углом между данными плоскостями.

Так как векторы hello_html_m15219659.gif и hello_html_m938720a.gif перпендикулярны соответственно данным плоскостям, то угол hello_html_m3486a8c6.gif равен линейному углу одного из двугранных углов, образованных плоскостями σ 1 и σ2 .

Условие перпендикулярности:

(33) hello_html_m6507acd3.gif.

Если плоскости не перпендикулярны, то угол между ними вычисляется по формуле:

(34)hello_html_67907874.gif



Выбранный для просмотра документ 2(4).doc

библиотека
материалов

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть hello_html_2d1f80d4.gif – точка, не лежащая на плоскости σ. Длина перпендикуляра, проведенного из точки hello_html_2d1f80d4.gif на плоскость σ, называется расстоянием от точки hello_html_2d1f80d4.gif до плоскости σ.

В прямоугольной системе координат расстояние от точки hello_html_6698a3a5.gif до плоскости σ, заданной уравнением hello_html_m473d9f85.gif вычисляется по формуле:

(35) hello_html_4008a1fc.gif

Расстояние между параллельными плоскостямиhello_html_m395d10fb.gif и hello_html_m7fb999e4.gif вычисляется по формуле:

(36) hello_html_78ba5bed.gif



Выбранный для просмотра документ 3(1).doc

библиотека
материалов

Уравнение прямой в пространстве.

Пусть d – прямая в пространстве. Любой ненулевой вектор, параллельный этой пря­мой, называется ее направляющим вектором. Множество всех направляющих векторов прямой, вме­сте с нулевым вектором, образуют одномерное векторное подпространство, которое назы­вается направляющим подпространством прямой d.

Положение прямой d в пространстве определяется полностью, если даны:

а) на­правляющий вектор прямой d и некоторая ее точка (рис. а)

б) две точки прямой (рис. б)

в) две плоскости, пересекающиеся по прямой d (рис. в).



hello_html_3b0e81e4.png

Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и в этой системе из­вестны координаты некоторой точки M0(x0,y0,z0) и координаты направляющего вектора hello_html_5bc7068.gif прямой d.

Если ни одна из координат вектора hello_html_1c4c4cec.gif не равна нулю, то

(37) hello_html_610754b8.gif.

Если одна из координат вектора hello_html_1c4c4cec.gif равна нулю, например hello_html_e515782.gif, hello_html_m5505dadf.gif, hello_html_m2cc264f2.gif, то уравнение прямой запишется так:

(38) hello_html_m3e141dc9.gif

Если равны нулю две координаты вектора hello_html_1c4c4cec.gif, например hello_html_m60038ad0.gif, hello_html_m5505dadf.gif, то уравнение прямой принимает вид:

(39) hello_html_65bb2d7.gif

Уравнения (37), (38), (39) называются каноническими уравнениями прямой.

(40) hello_html_40731b31.gif – параметрическое уравнение прямой с параметром t.

Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат и в этой системе из­вестны координаты двух точек hello_html_m5207652f.gif, hello_html_m4c63103d.gif прямой d.

(41) hello_html_3d35b17a.gif – уравнение прямой заданной двумя точками.

Пусть прямая d является линией пересечения плоскостей hello_html_m6b45e064.gif и hello_html_m5af21f1e.gif, которые в аффинной системе координат заданы соответственно уравнениями: hello_html_66ddd4b2.gif, hello_html_49f2bc03.gif. Тогда прямую d можно задать системой:

(42) hello_html_23b205c7.gif

Лемма: Если в аффинной системе координат прямая задана системой уравнений (42), то вектор

(43) hello_html_607752d0.gif является направляющим вектором этой прямой.



Выбранный для просмотра документ 3(2).doc

библиотека
материалов

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Пусть в пространстве даны: прямая d1 - точкой hello_html_7e6f4c2e.gif и направляющим вектором hello_html_m42cfc3f6.gif и прямая d2 - точкой hello_html_m53185dd8.gif и на­правляющим вектором hello_html_m73783c8c.gif (рис. 17). Возможны четыре случая их взаимного расположения:

1) прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости) hello_html_m1879a04c.gif;

2) прямые пересекаются hello_html_3ea966a8.gif и hello_html_40f896b3.gif;

3) прямые параллельны hello_html_m368151cb.gif, но hello_html_m5c59992e.gif;

4) прямые совпадают hello_html_7c14765e.gif попарно коллинеарны.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

  1. Прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

  2. Прямая параллельна плоскости;

  3. Прямая лежит в плоскости.

Пусть в аффинной системе координат прямая d задана точкой hello_html_2e0c5d46.gif и направляющим вектором hello_html_16cc2c40.gif, а плоскость σ – общим уравнением hello_html_4a9efa85.gif.

Рассмотрим аналитические условия, соответствующие каждому из возможных случаев их взаимного расположения.

  1. Прямая d пересекает плоскость σ hello_html_373594dc.gif.

Чтобы найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, надо решить систему, состоящую из уравнений прямой и уравнения плоскости.

  1. Прямая d параллельна плоскости σ hello_html_f33a75c.gif

  2. Прямая d лежит в плоскости σ hello_html_m1b284bb8.gif

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.



Выбранный для просмотра документ 3(3).doc

библиотека
материалов

Угол между прямыми

Пусть в пространстве даны две непараллельные прямые d1 и d2 . Возьмем произвольную точку А пространства и проведем через нее прямые d1' и hello_html_m5babbeaa.gif , соответственно параллельные прямым hello_html_m37a5b4ae.gifи hello_html_m364d3137.gif. Прямые d1' и hello_html_m5babbeaa.gif образуют четыре угла с вершиной А. Каждый из этих углов называется углом между прямыми d 1 и d2



hello_html_m6c3ea07.jpghello_html_1b14eaf0.jpg

Если hello_html_576ca2b2.gif- направляющие векторы данных прямых hello_html_m37a5b4ae.gifи hello_html_m364d3137.gif, то угол α между этими прямыми вычисляется по формуле:

(44) hello_html_774d1467.gif.

Условие перпендикулярности двух прямых:

(45) hello_html_7c77f84e.gif

Замечание: две взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как скрещивающимися, так и пересекающимися.

Угол между прямой и плоскостью.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°.

Если прямая d не перпендикулярна плоскости σ, то угол между прямой d и плоскостью σ называется острым углом между d прямой и ее проекцией на плоскость σ.

Пусть в прямоугольной системе координат прямая d имеет направляющий вектор hello_html_5bc7068.gif, а плоскость σ – уравнение hello_html_m6346a7d3.gif. Тогда угол между ними вычисляется по формуле:

(46) hello_html_49eb4590.gif где hello_html_m6b21a174.gif – нормальный вектор плоскости σ.



Автор
Дата добавления 14.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров213
Номер материала ДВ-156384
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх