Инфоурок Информатика Другие методич. материалыЭлектронный курс по информатике для профильного обучения учащихся 10-11 классов на тему "Логические основы ЭВМ"

Электронный курс по информатике для профильного обучения учащихся 10-11 классов на тему "Логические основы ЭВМ"

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ ЭК_Логические основы ЭВМ.docx

                                       business_graph-048-gr-0048Элективный курс       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логические основы ЭВМ
 

 

 

 

 

 

 


для профильного обучения учащихся

10-11 классов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КунакбаеваАйгуль Аликовна,

студентка гр. № Z4И41,

физико-математического факультета

специальность «Информатика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Салават, 2014 г.

Введение

 

Процесс информатизации общества, связанный с бурным развитием информационных и коммуникационных технологий, их аппаратной базы и программного обеспечения, объективно ставят перед современным специалистом любого профиля задачу рационализации интеллектуальной деятельности на основе внедрения достижений информатики и математики.

В данный период развития общества производство информации становится основным видом деятельности. Проблемы «искусственного интеллекта», которые актуальны в настоящее время, основаны полностью на математической логике. Изучение раздела математической логики является определяющим  на этапе внедрения информационных технологий в профильное обучение в образовательных учреждениях, что позволяет качественно улучшить процесс образования.

Развитие предметной области ставит перед системой образования задачи:

üразвитие культуры мышления или познания;

üразвитие творческого потенциала;

üумение пользоваться современными вычислительными средствами;

üразработки критериев оценки качества подготовки выпускников учебных заведений всех уровней к жизни и труду в современном информационном обществе.

Поэтому настоящая программа актуальна.

Элективный курс рассчитан на учащихся инновационных общеобразовательных учреждений и включает в себя программу по изучению алгебры логики и ее связи с двоичным кодированием и компьютерной техникой.

 

Новизна программы

 

Логика является основным инструментом при решении, как математических задач, так и задач по программированию, а программирование является «стержнем информатики». Алгебра логики лежит в основе теории искусственного интеллекта. Умение логически мыслить позволяет работать творчески в любой области знаний. Результаты работы специалистов, работающих на «стыке» математики и информатики, достижения в вычислительной технике, огромный опыт формализации и решения сложнейших проблем в самом программировании, связанный с созданием больших программных комплексов с использованием современных принципов программирования, основанных на глубоком знании математики, позволяет строить модели знаний, являющиеся основой компьютерных систем искусственного интеллекта. Учащиеся получают навыки решения логических задач различными способами, используя ЭВМ,  логические высказывания и выражения.

Таким образом данная система решает несколько задач:

·      развитие логического мышления;

·      знакомство с основами искусственного интеллекта;

·      использование компьютерных технологий для решения логических задач;

·      применение и сравнение различных способов решения логических задач.

 

Методологическое обоснование программы

 

Современная школьная программа по информатике дает очень узкое представление о булевой алгебре и области ее применения в информационной технологии. Данный спецкурс знакомит не только с булевой алгеброй, но и с практическим применением полученных знаний при решении логических задач разными методами, что и диктует построение программы элективного курса.

Данная программа разработана в соответствии с требованиями к образовательному стандарту. Элективный курс позволяет самостоятельно ориентироваться не только в информационном пространстве, но и переносить приобретенные знания, умения, навыки на поиск решения проблемных ситуаций, способствующих решению задач различными способами. Программу курса следует рассматривать как расширение вариативной части учебного плана школы.

 Программа предназначена для учащихся 10-11классов, желающих углубить свой образовательный уровень.

Элективный курс рассчитан на 11 учебных часов.

Изучение курса начинается с введения понятий  алгебры логики. Рассматриваются основные формы мышления, логические операции и действия над ними, изучаются способы решения логических задач, также рассматривается связь между алгеброй логики и двоичным кодированием. 

В результате изучения курса «Логические основы ЭВМ» учащиеся должны научиться логически мыслить и применять полученные знания в других образовательных дисциплинах. Знать возможности и технологии комплексного использования ЭВМ, уметь решить на ЭВМ конкретную логическую задачу, начиная с постановки задачи.

 

Цель элективного курса: развитие логического и творческого мышления учащихся: от алгоритмического к структурному, а затем к эвристическому мышлению.

 

Задачи спецкурса:

o  изучить способы решения логических задач;

o  развить логическое мышление учащихся;

o  развить у учащихся эвристический стиль мышления.

 

Ожидаемые результаты

 

Учащиеся должны знать:

·основные законы алгебры логики;

·понятие графа, основные элементы графа;

·способы решения содержательных логических задач;

·способы записи условия задачи;

·понятие «логическая величина», «логическое выражение»;

·как выполняются логические операции;

·правила записи и вычисления логических выражений.

 

Учащиеся должны уметь:

·выбирать способ решения содержательной задачи;

·записывать условие задачи в соответствии с выбранным способом решения;

·решать задачу в соответствии с выбранным способом;

·применять основные логические законы для решения задачи алгебраическим способом;

·анализировать информацию, сравнивать и сопоставлять ее;

·определять истинность высказываний (логических выражений);

·записывать логические выражения с использованием основных логических операций: И, ИЛИ, НЕ;

·решать задачи с переключательными схемами.

 

В результате изучения элективного курса учащиеся должны приобрести следующие умения и навыки:

·         выделять существенные высказывания в тексте задачи;

·         формализовать эти высказывания;

·         представлять условия и решение задачи в различных видах (таблицы, формулы, графы);

·         решать одну и ту же задачу несколькими методами и уметь оценивать эти методы.

 

 

Содержание курса

 

Введение в алгебру логики. Понятие выказывания. Логические операции. Таблица истинности

Цель: ознакомить с историей появления науки о логике; дать определение алгебры логики;

иметь представление о терминах и связке высказываний; знать определения логики, понятия, высказывания, умозаключения; уметь приводить примеры основных форм мышления;

иметь представление об алгебре высказываний; уметь выделять в составных высказываниях простые, находить значения логических выражений;

знать определения конъюнкции, дизъюнкции, инверсии; уметь записывать любое высказывание с помощью логических операций; знать приоритет логических операций; иметь представление о таблице истинности;

сформировать навыки построения таблиц истинности; сформировать у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера.

 

Логические законы

Цель: иметь представление об использовании логических законов и правил преобразования логических выражений; знать логические законы, приоритет выполнения логических операций.

 

Канонические формы логических функций. Теорема о СДНФ

Цель: сформировать у учащихся представление о канонических формах логических функцийи правил представления логических функций в СКНФ и СНДФ.

 

Преобразование логических выражений

Цель: иметь представление об использовании логических законов и правил преобразования логических выражений; знать логические законы, приоритет выполнения логических операций.

 

Методы решения задач

Цель: иметь представление о решении логических задач с помощью рассуждений, таблиц, средствами алгебры логики.

 

Логические схемы. Переключательная схема

Цель: сформировать у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера; сформировать навыки построения логических схем;

сформировать у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера; ознакомить  с применением аппарата алгебры логики в вычислительной технике в виде переключательных схем.

 

Построение переключательных схем

Цель: закрепить навыки построения переключательных схем

 

Триггер и сумматор

Цель: показать учащимся практическое применение логических элементов в вычислительной технике; показать назначение и принцип работы сумматора и триггера.

 

Контрольная работа «Логические основы ЭВМ»

Цель: углубить, систематизировать и закрепить теоретические знания учащихся;

проверить степень усвоения курса «Логические основы ЭВМ».

 

 

 

Календарно-тематическое планирование

элективного курса «Логические основы ЭВМ»

 

№ урока

Тема

Кол-во часов

1

Введение в алгебру логики. Понятие высказывания. Логические операции. Таблица истинности.

1

2

Логические законы.

1

3

Канонические формы логических функций. Теорема о СДНФ.

1

4

Преобразование логических выражений.

1

5-6

Методы решения логических задач.

2

7

Логические схемы. Переключательная схема.

1

8-9

Построение переключательных схем.

2

10

Триггер и сумматор.

1

11

Контрольная работа «Логические основы ЭВМ»

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок 1. Введение в алгебру логики. Понятие высказывания. Логические операции. Таблица истинности.

 

Цели:

·ознакомить с историей появления науки о логике;

·дать определение алгебры логики;

·иметь представление о связке высказываний;

·знать определения логики, высказывания, умозаключения;

·уметь приводить примеры основных форм мышления.

 

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·          историю возникновения науки о логике;

·          определение алгебры логики;

·          основоположников алгебры логики.

Учащиеся должны уметь:

·      решать несложные логические задачи;

·      приводить примеры логических задач;

Ход урока

I.Постановка целей урока

·      Что изучает алгебра логики?

·      Почему возникла наука – алгебра логики?

·      Кто является основоположником алгебры логики?

II.Актуализация знаний

·      Какие задачи называются логическими?

·      Решаете ли вы на уроках математики логические задачи?

III.Изложение нового материала

С самого начала возникновения науки, ученые и философы задумывались над тем, как правильно мыслить. Как мыслить так, чтобы получаемые выводы были правильными, чтобы им можно было верить. Оказывается, это очень серьёзная проблема и очень часто вполне очевидные рассуждения приводят к нелепым результатам. Рассмотрим Парадокс Парикмахера: Предположим, что в некоторой деревне живут мужчины, про которых известно, что они либо бреются сами, либо их бреет парикмахер. Парикмахер живёт в этой же деревне. Вопрос: Кто бреет парикмахера?

Рассуждения: Возможны два варианта ответа на поставленный вопрос: парикмахер бреется сам и его бреет кто-то другой. Рассмотрим эти два варианта:

1.  Парикмахер бреется сам. Тогда он мужчина, который бреется сам, но таких мужчин парикмахер не бреет. Отсюда следует, что парикмахер себя не бреет. Получили противоречие.

2.  Парикмахера бреет кто-то другой. Тогда парикмахер – мужчина, который сам не бреется, но всех таких мужчин в деревне бреет парикмахер. Отсюда следует, что парикмахер бреется сам. И мы опять получили противоречие.

        Оба возможных варианта привели к противоречию. Таким образом, ответа на такой, казалось простой вопрос, не существует. Заключение: самый важный вывод из всего вышесказанного – необходимо изучать мышление, так же как мы изучаем природу. Нужно открыть законы мышления, которые объясняли бы почему иногда не получается хороших выводов несмотря на то, что мы вроде мыслим правильно и как надо рассуждать, чтобы приходить к верным результатам. Нужна наука о мышлении. 

N Логика – это наука о формах и законах человеческого мышления. В зависимости от набора правил вывода умозаключений различают несколько вариантов логики: формальная, математическая, вероятностная, диалектическая.

Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных рассуждений, выражаемых разговорным языком.  

Основоположником формальной логики является Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления  от его содержания.

Математическая логика, являясь частью формальной логики, изучает только суждения и рассуждения, для которых можно однозначно решить: истинны они или ложны.

Суждения и утверждения математической логики называются высказываниями и предикатами.

Высказывания – это конкретные частные утверждения (2 + 3 = 5).

Предикаты – это утверждения о переменных (x + y> 5). 

Алгебра – это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями. Такая алгебра называется алгеброй логики, которая используется для математического описания работы вычислительных устройств и их программного проектирования. 

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Алгебра логики – определенная часть математической логики, называемая исчислением высказываний. Она отвлекается от смысловой содержательности высказываний и принимает во внимание только истинность или ложность высказывания.

Упражнение 1.Ответь, правильны ли данные рассуждения? Если нет, то почему?

а) Пианино – это музыкальный инструмент. У Вовы дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома пианино.

б) Классные комнаты надо проветривать. Квартира – это не классная комната. Значит, квартиру не надо проветривать.

в) Если одно число при счете называют раньше, чем другое, то это число меньше.

N Логика - это наука о формах и способах мышления.  

Основными формами мышления являются: понятие, высказывание и умозаключение.

Понятие выделяет существенные признаки объекта, которые отличают его от других объектов. Объекты, объединенные понятием, образуют некоторое множество. Например, понятие "компьютер" объединяет множество электронных устройств. "Автомобиль" объединяет множество механизмов, служащих для перемещения по дорогам.

N Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний. Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением.

N Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.

О предметах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может быть истинным или ложным.

Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Примером истинного высказывания может служить следующее: "Процессор является устройством обработки информации".

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности, например: "Процессор является устройством печати".

В естественном языке высказывания выражаются повествовательными переложениями.

N Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, так как оценка их истинности или ложности невозможна.

Высказывания имеют определенную логическую форму. Понятие о предмете мысли называется субъектом и обозначается буквой S, а понятие о свойствах и отношениях предмета мысли называется предикатом и обозначается буквой P. Оба эти понятия – субъект и предикат называются терминами суждения. Отношения между субъектом и предикатом выражаются связкой «есть», «не есть», «является», «состоит» и т.д.

Таким образом, каждое высказывание состоит из трех элементов – субъекта, предиката и связки.

В современной логике предикат рассматривается как функциональная зависимость. В общем случае предикат от n переменных выражается формулой:

P(x1, x2, …,xn), где n>0.

При n=1, когда один из терминов является неопределенным понятием, мы имеем предикат первого порядка, например, «х – число».

При n=2, когда два термина не определены, мы имеем предикат второго порядка, например, «х делитель у».

При n=3, когда неопределенны три термина, мы имеем предикат третьего порядка, например, «х – делитель у и z»

Упражнение 2.  Определить, что в суждении «Компьютер состоит из процессора, памяти и внешних устройств» является субъектом, предикатом и связкой.

Ответ: «Компьютер» - субъект, «процессора, памяти и внешних устройств» - предикат, «состоит» - связка.

Упражнение 3 (устно). Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность?

1.Какой длины эта лента?

2.Прослушайте объявление.

3.На зарядку становись!

4.Назовите устройства хранения информации.

5.Кто отсутствует?

6.Москва – столица России.

7.Число 7 является простым.

8.3+7=11

9.Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

10.Сложите числа 4 и 8.

11.Моржи живут на юге.

12.Все медведи – бурые.

13.Чему равно расстояние от Урмары до Чебоксар?

N Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое знание о предметах реального мира  (вывод или заключение).

Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

N Высказывание называется простым(элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

N Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным(сложным).

Простые высказывания  в алгебре логики обозначаются  заглавными  латинскими буквами:

А = {Аристотель - основоположник логики}

В = {На яблонях растут бананы}.

 Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры  логики.  Например,  истинность  или  ложность  высказывания: "Сумма углов треугольника равна 180 градусам" устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.  Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Теперь можно определить понятия логической переменной, логической функции и логической операции.

N Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (например, А, В, Х, Y и т.д.). Значением логической переменной могут быть только константы ИСТИНА и ЛОЖЬ (1 и 0).

N Логическая функция – это составное высказывание, которая содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций. Ее символическое обозначение F(A, B, …).

На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Над высказываниями можно производить логические операции, в результате  которых получаются новые, составные высказывания.

 

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ:

·          в естественном языке соответствует союзу и;

·          обозначение:  &;

·          в языках программирования обозначение: and;

·          иное название: логическое умножение.

N Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний: F=A & B. Сама функция логического умножения F может принимать лишь два значения "истина" и "ложь". Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов. 

 

 

 

Таблица истинности функции логического умножения

 

А

В

А&В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ:

·          в естественном языке соответствует союзу или;

·          обозначение: V ;

·          в языках программирования обозначение: or;

·          иное название: логическое сложение.  

N Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны  и  истинным,  когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

 

Таблица истинности функции логического сложения

 

А

В

АVВ

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

 Логическая операция ИНВЕРСИЯ:

·          в естественном языке соответствует словам "Неверно, что... " и частице не;

·     обозначение:;

·          в языках программирования обозначение: not;

·          иное название: отрицание.

N Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие  составное  высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. 

Таблица истинности функции логического отрицания

 

A

0

1

1

0

 

 

 

 

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ:

·          в естественном языке соответствует обороту  «Если ..., то ...»;

·          обозначение:  => ;

·          иное название: логическое следование.

 N Импликация -   это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Таблица истинности функции логической импликации

 

А

В

А =>В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

 

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ: 

·          в естественном языке соответствует оборотам речи «Тогда и только тогда и в том и только в том случае»;

·          обозначение: <=>,  ~ ;

·          иное название: равнозначность.

N Эквиваленция – это логическая операция,  ставящая  в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

 

Таблица истинности функции логической эквиваленции

     

А

В

А~В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

N Логические операции имеют следующий приоритет:

действия в скобках, инверсия , &, V , =>, <=>.

Упражнение 4. Определите истинность составного высказывания:

&) & (CVD), состоящего из простых высказываний:

А= {Принтер – устройство вывода информации},

B= {Процессор – устройство хранения информации},

C= {Монитор – устройство вывода информации},

D= {Клавиатура – устройство обработки информации}.

Решение: сначала на основании знания устройств компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: А=1, В=0, С=1, D=0.

Определим теперь истинность составного высказывания, используя таблицы истинноcти логических операций:

(&) & (1 V 0) = (0 & 1) & (1 V 0) = 0

Составное высказывание ложно.

 

 

 

Таблицы истинности

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.

N Таблицу, показывающую,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний,  называют таблицей истинности составного высказывания.

Алгоритм построения  таблицы  истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице m = 2n;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов в таблице:  число переменных  плюс  число операций;

6. выписать наборы входных переменных  с  учетом  того,  что  они представляют собой  натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2n—1;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбикам,  выполняя логические операции в соответствии с установленной  в  п.4  последовательностью.

Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

а) определить количество наборов входных переменных;

б) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю —1;

в) разделить колонку  значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;

г) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.

Упражнение 5. Построим таблицу истинности для выражения F=(AVB) & (V).

Решение.

1.Количество строк = 22 (2 переменных) + 1 (заголовки столбцов) = 5

2.Количество столбцов = 2 логические переменные (А, В) + 5 логических операций (V, &, ¬, V, ¬) = 7.

3.Расставим порядок выполнения операций:     1       5    2  4   3.

          (AVB) & (V)

4.Построим таблицу:

 

А

В

A V B

 V

(AVB)&(V)

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

 

IV.Закрепление изученного

Задача 1. В ящике имеется 3 черных и 5 белых шаров. Какое наименьшее число шаров нужно взять из ящика (не заглядывая в него), чтобы среди вынутых шаров:

a)        оказался хотя бы один черный;

b)       оказался хотя бы один белый;

c)        оказались хотя бы два черных;

d)       оказались хотя бы два белых?

Ответы: а) 6 шаров; б) 4 шара; в) 7 шаров; г) 5 шаров.

Задача 2. Из двух простых высказываний постройте сложное высказывание, используя логические связки «И» и «ИЛИ». Запишите логические высказывания с помощью логических операций и определите их истинность.

1.Антон младше Саши. Наташа старше Антона.

2.Один десятый класс идет на экскурсию в музей. Второй десятый класс идет в театр.

3.На полке стоят учебники. На полке стоят справочники.

4.Часть детей – девочки. Остальные – мальчики.

Задача 3.

Запишите следующие высказывания в виде логических выражений:

1.Число 17 нечетное и двухзначное.

2.Неверно, что корова – хищное животное.

3.На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты исследований учителю.

4.Если число делится на 2, то оно – четное.

5.На уроке информатики необходимо соблюдать особые правила поведения.

6.При замерзании воды выделяется тепло.

7.Если Маша – сестра Саши, то Саша – брат Маши.

8.Водительские права можно получить тогда и только тогда, когда тебе исполнится 18 лет.

9.Тише едешь – дальше будешь.

Задача 4.

1. Определите истинность простых высказываний:

А = {Сканер – устройство ввода информации},

В = {Винчестер – устройство вывода информации},

С = {Колонки – устройство вывода информации},

D = {Модем – устройство хранения информации}.

 2. Определите истинность составного высказывания:

     ( & ) & (C VD)

V.Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI.Домашнее задание

§1, 2 электронного учебника «Логические основы ЭВМ», выполнить задания в конце каждого параграфа.

 

 

 

 

 

 

Урок 2. Логические законы

Цели: иметь представление об использовании логических законов и правил преобразования логических выражений; знать логические законы, приоритет выполнения логических операций.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·законы логики;

·правила использования законов логики.

Учащиеся должны уметь:

·    применять законы логики.

Ход урока

I. Постановка целей урока

·Существуют ли законы логики? Каковы они?

·Как из достаточно сложного выражения F= получить простоеF=BVA&C?

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

1. Логические законы.

В алгебре логики имеется ряд законов,  позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

А = .

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

        — для логического сложения:

АVB = BVA;

        — для логического умножения:

A&B = B&A.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре a + b = b + a, a * b = b * a.

3. Сочетательный (ассоциативный)  закон:

        — для логического сложения:

(A V B) V C = A V (B V C);

        — для логического умножения:

(A&B) &C = A& (B&C).

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

В обычной алгебре:

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,

(а * b) * c = a * (b * c) = a * b * c.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

        — для логического сложения:

(AVB)&C  = (A&C) V (B&C);

        — для логического умножения:

(A&B) VC = (AVC) & (BVC).

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

В обычной алгебре:

(a + b) * c = a * c + b * c.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

        — для логического сложения

ab = a&b;

        — для логического умножения:

a_b =  aVb

_______              __

(A =>B)  =  A&B

А =>B = VB

 6. Закон идемпотентности( от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный):

        — для логического сложения:

AVA= A;

        — для логического умножения:

A&A = A.

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

        — для логического сложения:

AV 1 = 1,      AV 0 = A;

        — для логического умножения:

A& 1 = A,     A& 0 = 0.

8. Закон противоречия:

A &= 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

AV  = 1.

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

10. Закон поглощения:

        — для логического сложения:

AV (A&B) = A;

        — для логического умножения:

A& (AVB) = A.

 

11. Закон исключения (склеивания):

        — для логического сложения:

(A&B) V (&B) = B;

        — для логического умножения:

(AVB)&( VB) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(A <=>B) = (B <=>A).

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.

Организационный момент.

Раздать учащимся заранее подготовленные таблицы с законами логики для приклеивания в рабочую тетрадь и договориться об использовании нумерации законов при преобразовании логических выражений.

Законы логики

Закон логики

Название закона логики

1

А = a_

Закон двойного отрицания

2

А V B = B VA

A&B = B&A

Переместительный (коммутативный) закон

3

(A V B) V C = A V (B V C)

(A&B) &C = A& (B&C)

Сочетательный (ассоциативный)  закон

4

(A V B)&C  = (A&C) V (B&C)

(A &B) V C = (A V C) & (B V C)

Распределительный (дистрибутивный) закон

5

ab= a&b

a_baVb

_______              __

(A => B)  =  A & B

А =>B = V B

 

Закон общей инверсии

(законы де Моргана)

 

6

AVA= A

A&A = A

 

Закон идемпотентности

7

AV 1 = 1,      AV 0 = A

A &1 = A,     A &0 = 0

Законы исключения констант

8

A &= 0

Закон противоречия

9

AV  = 1

Закон исключения третьего

10

A V (A &B) = A

A & (A V B) = A

Закон поглощения

 

11

(A &B) V (&B) = B

(A V B)&( V B) = B

Закон исключения

(склеивания)

12

(A <=>B) = (B <=>A)

Закон контрапозиции

(правило перевертывания)

13

_______              __

(A => B)  =  A & B

 

 

Упражнение 1.

Упростите логическое выражение F=(AVBVC) &.

Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходного и полученного логического выражения.

Решение.

5

 
Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону де Моргана) и закону двойного отрицания:

(A V B V C) &= (A V B V C) & (& B &).

Согласно распределительному закону для логического сложения:

4

 
 


(A V B V C) & (& B &) = (А&) V (B &) V (C &) V (A & B) V (B & B) V (C & B) V (A &) V (B &) V (C &).

Согласно закону противоречия:

(A&) = 0; (C&) = 0.

Согласно закону идемпотентности:

(B&B) = B.

Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

0 V (A & B) V (& B) V B V(C & B) V (& B) V (C&)V(A &)V 0.

Согласно закону исключения (склеивания):

(A&B) V (&B) = B; (C&B) V (&B) = B.

Подставляем значения и получаем:

0 VBVBVBV (C&) V (A&) V 0.

Согласно закону исключения констант для логического сложения и закону идемпотентности:

0 VBVBVBV 0 = B.

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения:

4

 
(C &) V (A &) = (С V A) & (C V ) &  ( V A) & ( V).

Согласно закону исключения третьего:

(CV) = 1;  (VA)  = 1.

Подставляем значения и окончательно получаем:

F = B&&.

Проверим правильность преобразования логического выражения с использованием электронной таблицы EXCEL. Для этого необходимо запустить MicrosoftExcel и построить таблицу истинности для исходного и конечного логических выражений. После ввода аргументов и формул на листе появится таблица истинности логического выражения. Сравнить последние столбцы в таблицах между собой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 2.

Найдите Х, если V = B.

Решение.

7

 

9

 
Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания:

4

 

1

 

5

 
V  =   (&) V (&)  =  (&) V (&A)  =  &(VA)  =  &1 = .

Полученную левую часть приравняем правой:

 = В.

Окончательно получим:

Х = .

 

IV. Закрепление материала (самостоятельная работа)

Упражнение 3.

Упростите логические выражения:

1.  F= A&BV&CVA&C; (ответ:A&BV&C)

2.  F = (VB&) & (VA&V).

(ответ:VC)

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

1.знать формулы законов и правил логики.

2.решите  задачи из электронного учебника «Логические основы ЭВМ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок 3. Канонические формы логических функций. Теорема о СДНФ.

Цель:научиться восстанавливать аналитический вид булевой функции по таблице истинности (алгоритм построения СДНФ по таблице истинности).

 

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·Каноническую форму логических функций;

·правила преобразования логических выражений.

Учащиеся должны уметь:

·    применять законы логики;

·    упрощать сложные логические выражения.

 

Ход урока

I. Постановка целей урока

·Нельзя ли упростить сложное логическое выражение?

·Как правильно пользоваться законами алгебры логики?

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

Всякая логическая формула определяет некоторую булеву функцию. В то же время ясно, что для всякой булевой функции можно записать бесконечно много формул, ее представляющих. Действительно, если имеется хотя бы одна формула, выражающая булеву функцию, то, используя тождественные преобразования, можно изменить эту формулу, построив сколь угодно равносильную формулу.

Одна из основных задач алгебры логики - нахождение канонических форм (т.е. формул, построенных по определенному правилу, канону), а также наиболее простых формул, представляющих булевы функции.

Если логическая функция выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание переменных, то такая форма представления называется нормальной.

Среди нормальных форм выделяют такие, в которых функции записываются единственным образом. Их называют совершенным.

Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией одной или нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания. Одну переменную или ее отрицание считают одночленнойэлементарной конъюнкцией.

Пример 1.Формулы x1, , x1&x3, x1&x3 &x1 &являются элементарными конъюнкциями; первые две из них – одночленными.

Формула называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией неповторяющихся элементарных конъюнкций. ДНФ записывается в виде А1VA2 VAn, где каждое Аiэлементарная конъюнкция.

Пример 2. Приведем две дизъюнктивные нормальные формы: x2Vx1&x3, Vx2&x1V.

Формула А от k переменных называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), если:

1)А является ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция есть конъюнкция k переменных x1, x2, …, xn, причем на i-м месте этой конъюнкции стоит либо переменная xi, либо ее отрицание;

2)Все элементарные конъюнкции в такой ДНФ попарно различны.

Задание. Даны формулы . Определить, является ли они СДНФ двух переменных.

Решение. элементарной дизъюнкцией Формула А является СДНФ двух переменных. Формулы В и С не являются СДНФ. Формула В зависит от трех переменных, но количество переменных в элементарных конъюнкциях меньше трех. В формуле С переменная x2 дважды входит в одну и ту же элементарную конъюнкцию.

Формула называется, если она является дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных.

Пример 3. Приведем три элементарные дизъюнкции:  .

Формула называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией неповторяющихся элементарных дизъюнкций. КНФ записывается в виде , где каждое Аi–элементарная дизъюнкция.

Пример 4. Формулы является конъюнктивными нормальными формами.

Формула А от k переменных называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ), если:

1)А является КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция есть дизъюнкция k переменных x1, x2,… , xk, причем на i-ом месте этой дизъюнкции стоит либо переменная xi, либо ее отрицание;

2)Все элементарные дизъюнкции в такой КНФ попарно различны.

Задание. Даны формулы . Определить, являются ли они СКНФ.

Решение. Формула А является СКНФ, а формула В не является СКНФ. Поскольку переменная x1дважды входит в первый конъюнктивный член, кроме того, количество переменных в каждой элементарной дизъюнкции меньше трех, в то время как формула зависит от трех переменных.

Теорема 1. Пусть f(x1, x2, …, xn) –булева функция от n переменных, не равная тождественно нулю. Тогда существует совершенная дизъюнктивная нормальная форма, выражающая функцию f.

Доказательство. Сначала докажем, что для всякой булевой функции fот nпеременных выполняется соотношение:

, (1)

где xi – любая из n переменных.

Формулу (1) легко получить, последовательно подставляя вместо переменной xiвсе ее возможные значения (0 и 1):

Соотношение (1) позволяет «выносить» переменную xiза знак функции. Последовательно вынося x1, x2, …, xnза знак функции f, мы получим следующую формулу:

Так как применение преобразования (1) к каждой из переменных увеличивает количество дизъюнктивных членов в два раза, то для функции nпеременных в формуле (3.2) мы имеем 2nдизъюнктивных членов. Причем каждый из них соответствует значению функции на одном из 2nвозможных наборов значений nпеременных. Если на некотором наборе f=0, то весь соответствующий дизъюнктивный член в (3.2) также равен 0, и в представлении данной функции он фактически не нужен. Если же f=1, то в соответствующем дизъюнктивном члене само значение функции можно опустить. В результате для произвольной булевой функции fмы получили формулу, состоящую из n-членных попарно различных элементарных конъюнкций, объединенных дизъюнкциями, т.е. искомая СДНФ построена.

Теорема доказана.

На основании теоремы 1 можно предложить следующий алгоритм построения СДНФ по таблице истинности функции f.

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности

1.В таблице истинности отмечаем наборы переменных, на которых значение функции f равно единице.

2.Записываем для каждого отмеченного набора конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 1, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае – ее отрицание.

3.Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции.

 

Следствие.Для любой формулы можно найти равносильную ей ДНФ.

Теорема 2. Пусть f(x1, x2, …, xn) –булева функция от n переменных, не равная тождественно единице. Тогда существует совершенная конъюнктивная нормальная форма, выражающая функцию f.

На основании теоремы 2 можно предложить следующий алгоритм построения СКНФ по таблице истинности функции f.

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

1.В таблице истинности отмечаем наборы переменных, на которых значение функции f равно нулю.

2.Записываем для каждого отмеченного набора дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 0, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае – ее отрицание.

3.Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.

Следствие.Для любой формулы можно найти равносильную ей КНФ.

Из алгоритмов построения СДНФ и СКНФ следует, что если на большей части наборов значений переменных функция равна 0, то для получения ее формулы проще построить СДНФ, в противном случае – СКНФ.

Пример 5. Требуется построить формулу для функции f(x1, x2, x3), заданной таблицей истинности:

X1

X2

X3

f(x1, x2, x3)

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

 

Используя описанный выше алгоритм, построим для нее СДНФ:

IV. Закрепление материала

Упражнение 1.

Выразим функцию импликация с помощью операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Для этого запишем таблицу истинности функции импликация:

X1

X2

F(x1, x2)=x1→x2

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

Так как в таблице истинности только один набор переменных, на котором функция принимает значение 0, то проще построить СКНФ.

Ответ: F(x1, x2)=x1x2=

Упражнение 2.

С помощью отрицания, дизъюнкции и конъюнкции постройте наиболее простое аналитическое представление для функций эквивалентность и разделительная дизъюнкция.

Решение.

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

§ 4 электронногоучебника «Логические основы ЭВМ», выполнить задания в конце параграфа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок 4. Преобразование логических выражений

Цели: иметь представление об использовании логических законов и правил преобразования логических выражений; знать логические законы, приоритет выполнения логических операций.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·законы логики;

·правила преобразования логических выражений.

Учащиеся должны уметь:

·    применять законы логики;

·    упрощать сложные логические выражения.

 

Ход урока

I. Постановка целей урока

·Нельзя ли упростить сложное логическое выражение?

·Как правильно пользоваться законами алгебры логики?

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

1. Правила преобразования логических выражений.

Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют:

·знаки эквивалентности;

·знаки импликации;

·двойного отрицания;

·знаки отрицания находятся только при логических переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул:

1)

  0060

(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами);

2)  

0061

(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией);

3)

  0062

(повторяется второй сомножитель, что разрешено законом идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания);

4)  

0063

(вводится вспомогательный логический сомножитель (0064); затем комбинируются два крайних и два средних логических слагаемых и используется закон поглощения);

5)  

0065

(сначала добиваемся, чтобы знак отрицания стоял только перед отдельными переменными, а не перед их комбинациями, для этого дважды применяем правило де Моргана; затем используем закон двойного отрицания);

 

6)  

0066

(выносятся за скобки общие множители; применяется правило операций с константами);

7)  

0067

(к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);

8)  

0068

(общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции 0069применяется правило операции переменной с её инверсией);

9)  

0070

(используются распределительный закон для дизъюнкции, правило операции переменной с ее инверсией, правило операций с константами, переместительный закон и распределительный закон для конъюнкции);

10)   0071

(используются правило де Моргана, закон двойного отрицания и закон поглощения).

      Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге. Навыки приходят с опытом.

Упражнение 1.

Упростите логическое выражение F = F=.

Решение.

Это логическое выражение необходимо привести к нормальной форме, т.к. в нем присутствует импликация и отрицание логической операции.

1)Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (5). Получится:

 = AVB) &.

2)Применим закон двойного отрицания (1).получим:

(AVB) &= (AVB) & (BVC).

3)Применим правило дистрибутивности (4). Получим:

(A V B) & (B V C) = B V A & C.

Ответ: F =  = B V A & C.

IV. Закрепление изученного материала (самостоятельная работа)

Упражнение 2.

Упростите логическое выражение:

1.F= V . (ответ: V )

2.F = (A => B) V (B => A). (ответ:1)

3.F = A & C V & C. (ответ: C )

4.F =  V VV A V B V C. (ответ: 1 )

5.F = (X V Z) & (X V ) & (V Z). (ответ: X & ( V Z))

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

§5  электронного учебника «Логические основы ЭВМ», выполнить задания в конце параграфа

 

 

 

 

Урок 5-6. Методы решения логических задач

Цели: иметь представление о решении логических задач с помощью рассуждений, таблиц, средствами алгебры логики

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·что такое рассуждение;

·как решать логические задачи с помощью рассуждений;

·как заполнять таблицу;

·как решать логические задачи с помощью таблиц.

·законы логики;

·правила преобразования логических выражений.

 

Учащиеся должны уметь:

·    решать логические задачи с помощью рассуждений;

·    решать логические задачи с помощью таблиц.

·    применять законы логики;

·    упрощать сложные логические выражения:

·    решать логические задачи средствами алгебры логики.

 

Ход урока

I. Постановка целей урока

·Как решать логические задачи?

·Какие способы решения логических задач существуют?

·Как решить логическую задачу с помощью рассуждений, таблиц и средствами алгебры логики?

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

·    с помощью рассуждений;

·    табличный;

·    средствами алгебры логики.

Познакомимся с ними поочередно.

Решение логических задач с помощью рассуждений

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

·Вадим изучает китайский;

·Сергей не изучает китайский;

·Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Задача 2. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия — Молотов, а фамилия Бориса — Хрущев". Антон сказал: "Молотов — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Брежнев". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Молотов". Вадим сказал: "Моя фамилия — Брежнев, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1.ДМ и БХ;

2.АМ и ВБ;

3.ВТ и БМ;

4.ВБ и ГЧ;

5.ГЧ и АТ.

Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.

Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: БХ истинно => БМ ложно =>ВТ истинно => АТ ложно => ГЧ истинно => ВБ ложно => АМ истинно.

Ответ: Борис — Хрущев, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Молотов, Дима — Брежнев.

Решение логических задач с помощью таблиц

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Задача 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

1.Смит самый высокий;

2.играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

3.играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

4.когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

5.Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:

 

скрипка

флейта

альт

кларнет

гобой

труба

Браун

0

0

1

1

0

0

Смит

 

 

0

0

 

0

Вессон

 

 

0

0

 

 

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.

Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон" можно заполнить нулями:

 

скрипка

флейта

альт

кларнет

гобой

труба

Браун

0

0

1

1

0

0

Смит

0

 

0

0

 

0

Вессон

1

0

0

0

0

1

 

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.

 

скрипка

флейта

альт

кларнет

гобой

труба

Браун

0

0

1

1

0

0

Смит

0

1

0

0

1

0

Вессон

1

0

0

0

0

1

 

Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит — на флейте и гобое, Вессон — на скрипке и трубе.

Задача 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение).

Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.

Имя

Юра

Тимур

Влад

Профессия

 

врач

 

Увлечение

 

туризм

 

Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:

Имя                     

Юра

Тимур

Влад

Профессия

физик

врач

юрист

Увлечение

бег

туризм

регби

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

Решение логических задач средствами алгебры логики

Следующие логические задачи мы решим с помощью средств алгебры логики. 

Задача 1. Представим такую ситуацию: по телевизору синоптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее:

1.Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2.Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3.Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра?

Решение:

а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

A – «Ветра нет»

B – «Пасмурно»

      С – «Дождь»

б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:

              __

AB&C

 

2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:

             С → B&A

 

3.  Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра

BC&A

в) Запишем произведение указанных функций:

_

 F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A)

 

г) Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

 

 

_

 F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) =

             _             _         _                     _

 = (A v B & C) & (C v B&A) & (B v C&A) =

     _             _         _                     _

= (A v B & C) & (B v C&A) & (C v B&A) =

     _     _            _    _    _                        _ 

= (A & B v B&C&B v A&C&A v B&C&C&A) & (C v B&A)=

    _     _                     _           _           _    _          _

= A & B &(C v B&A) =A&B&C v A&B&B&A =

_    _    _

= A&B&C

д) Приравняем результат  единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:

       _   _    _

F = A&B&C = 1

 

е) Проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

Поэтому:

               _             _              _ 

A = 1;     B = 1;      C = 1;

Значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

 

Задача 2. Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

  Решение.

Введем обозначения для логических высказываний:

Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Джон: &X;

Ник: Ш&;

Питер: .

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание             

 

                                                                                              _______

(&X) & (Ш&) &V (&X) &&V (&X) & (Ш &) &=

= (Ш V) & Ш &&= Ш&&.

Высказывание  Ш&& истинно только при  Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ: победителем этапа гонок стал Шумахер.

Эвристическая беседа. Ребята, вы познакомились с новым методом решения логических задач. Как вам кажется, какой из трех способов решения логических задач является самым точным? (Прослушать ответы учеников и сделать вывод)

Вывод: Как правило, логические задачи формулируются на естественном языке. При решении задач средствами алгебры логики мы переводим задачу на математический язык, где можно получить один единственно правильный ответ. Поэтому более точным будет ответ, полученный при помощи языка алгебры логики, если соблюдать при этом следующие этапы:

1.Внимательно изучить условие.

2.Выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами.

3.Записать условие задачи на языке алгебры логики.

4.Составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение к единице.

5.Упростить формулу.

6.Проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых значение функции равно 1.

7.Записать ответ.

IV. Закрепление изученного

Метод рассуждений

Задача 1.

Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто-нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Мы раньше никогда не прогуливали астрономию, Саша всегда лжет». Саша сказал: «Вовсе мы и не прогуливали. Вас ввели в заблуждение». Миша сказал: «Коля постоянно говорит неправду». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз».

Ответ: Коля, Саша, Миша.

С помощью таблиц

Задача 2. (самостоятельная работа)

Три девочки – Роза, Маргарита и Анюта представили на конкурс цветоводов корзины выращенных ими роз, маргариток и анютиных глазок. Девочка, вырастившая маргаритки, обратила внимание Розы на то, что ни у одной из девочек имя не совпадает с названием любимых цветов. Какие цветы вырастила каждая из девочек?

Ответ: Аня вырастила маргаритки,  Роза – анютины глазки, Маргарита – розы.

Средствами алгебры логики

 

Задача 3. (самостоятельная работа)

Андрею, Саше и Егору предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Андрей показал, что преступники скрылись на синем Мерседесе, Саша сказал, что это был черный Джип, а Егор утверждал, что это был Форд Мустанг и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки была машина? (Учитель помогает детям записать правильно логическое выражение.)

 

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

Решить задачи к § 6 электронного учебника «Логические основы ЭВМ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок 7. Логические схемы. Переключательная схема.

Цели: сформировать у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера; сформировать навыки построения логических схем; ознакомить с применением аппарата алгебры логики в вычислительной технике в виде переключательных схем.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·основные базовые элементы логических схем;

·правила составления логических и переключательных схем.

 

Учащиеся должны уметь:

·    составлять логические  и переключательные схемы.

 

Ход урока

I. Постановка целей урока

·Каким образом алгебра логики связана с компьютером?

·Почему компьютер не был изобретен раньше?

·Что такое логические и переключательные схемы?

 

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

1.Логические схемы

Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880-1933), кстати, несколько лет работавший в России, писал еще в 1910 году: «…Пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить:

1.будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции;

2.не содержит ли она излишних усложнений.

Созданная позднее М.А.Гавриловым (1903-1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

Посмотрим на микросхему. На первый взгляд ничего того, что нас удивило бы, мы не видим. Но если рассматривать ее при сильном увеличении она поразит нас своей стройной архитектурой. Чтобы понять, как она работает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов. Поговорим о них.

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет. В связи с этим поговорим о различных вариантах управления включением и выключением обыкновенной лампочки (лампочка тоже работает на электричестве). Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции.

 

 

 

 

 

 

 


Схема 1

Схема 2

А

 

 

 

 

 

 

 


Схема 3

 

На рисунках контакты обозначены латинскими буквами А и В. Введем обозначение: 1 – контакт замкнут, 0 – контакт разомкнут. Цепь на схеме 1 с последовательным соединением контактов соответствует логической операции «И». Цепь на схеме 2 с параллельным соединением контактов соответствует логической операции «ИЛИ». Цепь на схеме 3 соответствует логической операции «НЕ».

Докажем это, рассмотрев состояния схем при различных состояниях контактов.

Попросите детей приготовить в тетради таблицу:

Конъюнкция

Дизъюнкция

Инверсия

 

 

 

 

 

 

Заполняйте ее по ходу объяснения материала.

Схема 1. (составляем таблицу истинности).

1.Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

2.Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.

3.Обратная ситуация. Лампочка не горит.

4.Оба контакта в положении выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Вывод: первая схема действительно реализует логическую операцию «И».

Схема 2. (составляем таблицу истинности).

1.Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

2.Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток  идет, лампочка  горит.

3.Обратная ситуация. Лампочка  горит.

4.Оба контакта в положении выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «ИЛИ».

Схема 3. (составляем таблицу истинности).

В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. Когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

Вывод: третья первая схема действительно реализует логическую операцию «НЕ».

Недостатками контактных схем являлись их низкая надежность и быстродействие, большие размеры и потребление энергии. Поэтому попытка использовать такие схемы в ЭВМ не оправдала себя. Появление вакуумных и полупроводниковых приборов позволило создавать логические элементы с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду. Именно такие электронные схемы нашли свое применение в качестве элементной базы ЭВМ. Вся теория, изложенная для контактных схем, была перенесена на электронные схемы. Элементы, реализующие базовые логические операции, назвали базовыми логическими элементами или вентилями и характеризуются они не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе элемента.

Их названия (конъюнктор, дизъюнктор, инвертор) и условные обозначения являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютера.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

Заполненная таблица:

Конъюнкция

Дизъюнкция

Инверсия

 

 

 

 

 

Схема 1

Схема 2

X

 

 

 

 

 

Схема 3

Х

Y

Результат

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

X

Y

Результат

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

X

Результат

0

1

1

0

Конъюнктор

Дизъюнктор

Инвертор

0006

0007

0009

 

2.Построение логических  схем

Правило построения логических схем:

1.Определить число логических переменных;

2.Определить количество базовых логических операций и их порядок;

3.Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль;

4.Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Упражнение 1. Пусть Х = истина, Y = ложь. Составить логическую схему для следующего логического выражения: F = XVY&X.

Решение.

1.Две переменные: Х и Y.

2.Две логические операции: V и &.

3.Строим схему:

 

 

 

 

 

 


Ответ: 1 V 0 & 1 = 0.

Упражнение 2. Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X&YV. Вычислить значения выражения для Х=1, Y=0.

Решение.

1.Переменных две: Х и Y.

2.Логических операций три: конъюнкция и две дизъюнкции.

3.Схему строим направо в соответствии с порядком логических операций:

 

 

 

 

 


4.Вычислим значение выражения: F = 1 & 0 V= 0.

 

3.Что такое переключательная схема?

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что здесь с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

I Переключательная схема — это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Будем считать, что два переключателя Х и 0072связаны таким образом, что когда Х замкнут, то 0072разомкнут, и наоборот. Следовательно, если переключателю Х поставлена в соответствие логическая переменная х, то переключателю 0072должна соответствовать переменная 0073.

Всей переключательной схеме также можно поставить в соответствие логическую переменную, равную единице, если схема проводит ток, и равную нулю — если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a)   0074

Схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F=1;
 

б)   0075

Схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F=0;
 

в)   0076

Схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

 

г)   0077

Схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = 0073;

 

д)   0078

Схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты, следовательно, F(x) = x . y;

е)
 

../images/0079.gif

Схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут, следовательно, F(x)=x v y;

ж)  
 

../images/0080.gif

../images/0081.gifСхема состоит из двух параллельных ветвей и описывается функцией:

 

N Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

N Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

Задача нахождения среди равносильных схем наиболее простых является очень важной. Большой вклад в ее решение внесли российские учёные Ю.И. Журавлев, С.В. Яблонский и др.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

1.составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;

2.упрощению этой функции;

3.построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:

1.определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.

2.получению упрощённой формулы.

Упражнение 3. Построим схему, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Решение. В этом случае можно обойтись без построения таблицы истинности. Очевидно, что функция проводимости имеет вид F(x, y, z, t) = t . (x v y v z), а схема выглядит так:

0082

Упражнение 4. Построим схему с пятью переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно четыре из этих переключателей.

0083

Схема имеет вид:

0084

 

IV. Закрепление изученного

Упражнение 5. (самостоятельная работа)

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению, и найдите значение логического выражения:

1.F = AVB&, если А = 1, В = 1, С = 1 (ответ: 1)

2.F = , если А = 0, В = 1, С = 1 (ответ: 1)

3.F = VB&C, если А = 1, В = 0, С = 1 (ответ: 0)

4.F = (AVB) & (CVB), если А = 0, В = 1, С = 0 (ответ: 1)

Упражнение 6.

Постройте логическое выражение по логической схеме:

А)

Ответ: F = A& (BVC).

Б)

 

 

Ответ: F = & ((&B) VA).

В)

Ответ: F = DVA&B&C& (V).

Г)

Ответ: F = (C&) V.

Упражнение 7. Найдем функцию проводимости схемы:

0085

Решение. Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e : через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости F(a, b, c, d, e) = a . b   v   a . e . d   v   c . d   v   c . e . b.

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

1.Знать, что такое логическая и переключательная схема, уметь строить переключательные схемы.

2.§7, 8 электронного учебника «Логические основы ЭВМ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Урок 8-9. Построение переключательных схем.

Цель:  закрепление материала предыдущего урока “Логические схемы. Переключательная схема”

Образовательная:

1. Закрепить навыки построения переключательных схем;

Развивающая:

1. Развитие любознательности, инициативы;

Воспитательная:

1. Воспитание информационной культуры.

 

Ход урока

I.Постановка целей урока

·Каким образом алгебра логики связана с вычислительной техникой?

·Что такое переключательная схема?

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

Мы продолжим изучение темы «Переключательные схемы», и закрепим навыки построения переключательных схем.

Упражнения 1. Упростите переключательные схемы:

а)

../images/0086.gif

 

 

 

 

Решение:    0087

Упрощенная схема: 0076

б)   ../images/0088.gif

.

 

 

../images/0089.gif

 

Здесь первое логическое слагаемое 0090является отрицанием второго логического слагаемого 0091, а дизъюнкция переменной с ее инверсией равна 1.

Упрощенная схема :0074

 

 

в)

 0092

0093

 

Упрощенная схема: 0075

г)  

0094

0095

Упрощенная схема: 0096

 

д)  

0097

0098(по закону склеивания)

Упрощенная схема: 0099

е)  

0100

Решение:

0101

Упрощенная схема:

 0102

Упражнение 2. Постройте схему для формулы:

1)

Ответ:

 01.JPG

2);

Ответ:

02.JPG

3);

Ответ:

03.JPG

4)

Ответ:

04.JPG

5)

Ответ:

05.JPG

6)

Ответ:

06.JPG

7)

Ответ:

07.JPG

8)

Ответ:

08.JPG

Упражнение 3. Построить схемы, реализующие следующие булевы операции:

1)Импликацию

Ответ:

146.JPG

2)Эквивалентность

Ответ:

1462.JPG

Упражнение 4. Построить схему для, если известно, что:

1)

Ответ:

1471.JPG

2)

Ответ:

1472.JPG

3)

Ответ:

1473.JPG

4)

Ответ:

1474.JPG

5)

 

Ответ:

1475.JPG

6) а остальные  значения функции F равны нулю.

Ответ:

1476.JPG

Упражнение 5. Упростите схему:

1)

1.JPG

Ответ:

1481.JPG

2)

2.JPG

Ответ:

1482.JPG

3)

3.JPG

Ответ:

1483.JPG

 

4)

4.JPG

Ответ:

1484.JPG

5)

5.JPG

Ответ:

1485.JPG

6)

6.JPG

Ответ:

1486.JPG

7)

7.JPG

Ответ:

1487.JPG

 

8)

8.JPG

Ответ:

1488.JPG

Упражнение 6. По данной схеме найти функцию проводимости и условия работы:

1)

1,1.JPG

Ответ:

2)

1,2.JPG

Ответ:

3)

1,3.JPG

Ответ:

4)

1,4.JPG

Ответ:

5)

1,5.JPG

Ответ:

6)

1,6.JPG

Ответ: функция проводимости имеет вид:

Упражнение 7. Проверить равносильность схем:

1)

7,1.JPG

2)

7,2.JPG

3)

7,3.JPG

4)

7,4.JPG

Ответ: В случае 1) схемы не равносильны, в остальных случаях равносильны.

Упражнение 8. Электрическая цепь, изображенная на рис. 1, содержит только двухпозиционные выключатели (при одном состоянии переключателя ток через него проходит, при другом не проходит). Можно ли эту цепь заменить более простой цепью, изображенной на рис. 2?

8,1.JPG

Ответ: можно.

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

1.Знать, что такое переключательная схема, уметь строить переключательные схемы.

2.Решите  задачи §8электронного учебника «Логические основы ЭВМ»

 

 

 

Урок 10. Триггер и сумматор

Цели: показать учащимся практическое применение логических элементов в вычислительной технике; показать назначение и принцип работы сумматора и триггера.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

·что такое сумматор, триггер, их назначение и устройство.

Учащиеся должны уметь:

·    строить логическую схему сумматора и триггера и объяснять принцип их работы.

 

Ход урока

I. Постановка целей урока

·      Как компьютер выполняет арифметические действия? Как устроен его «ум»?

·      Как компьютер запоминает информацию? Какова память компьютера?

II. Проверка домашнего задания.

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения и уровня знания.

III. Изложение нового материала

1.Полусумматор. Сумматор.

Логические схемы используются в вычислительной технике:

1.Для реализации выполнения математических операций;

2.Для хранения информации.

Как это он  делает? Рассмотрим на уроке.

Итак, как процессор выполняет математические операции?

Прежде всего, обратите внимание на следующие моменты:

·Каким образом должна быть представлена информация, чтобы с ней мог работать компьютер? (В двоичном коде, т.е. в виде 0 и 1)

·Чтобы компьютер мог выполнять математические операции с числами, в какой системе счисления они должны быть представлены? (В двоичной)

·Почему? (Потому что двоичную систему счисления наиболее просто реализовать в технических устройствах)

·Какие сигналы подаются на входы логических вентилей? (0 и 1)

Вывод: таким образом и в двоичной системе счисления и в алгебре логики информация представлена в виде двоичных кодов.

И второй момент. Для того чтобы максимально упростить работу компьютера, все математические операции (вычитание, деление, умножение и т.д.) сводятся к сложению.

Вспомним таблицу сложения двоичных чисел. Запишем ее в несколько иной форме:

А

В

 

S

0

0

 

0

0

1

 

1

1

0

 

1

1

1

1

0

Обратите внимание на дополнительный столбец. Его мы ввели потому, что при сложении происходит перенос в старший разряд. Обозначим его P и закончим заполнение таблицы:

А

В

P

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

Проанализируем полученный результат.

·Таблице истинности какой логической функции аналогичен столбец P? (Логическое умножение)

·Таблице истинности какой логической функции аналогичен столбец S? (Логическое сложение, кроме случая, когда на входы подаются две единицы )

Логическое выражение, по которому можно определить сумму S, записывается следующим образом: S = (AVB) &.

Построим к этому логическому выражению логическую схему:

 

 

 

 

 


Проследим за изменением сигнала при прохождении через схему:

 

 

 

 

 

 


С какого элемента можно снимать сигнал Р, если мы выяснили, что результат Р соответствует логическому умножению? (С первого вентиля, реализующего операцию конъюнкции)

 

 

 

 

 

 

Полученная нами схема выполняет сложение двоичных одноразрядных чисел и называется полусумматором, так как не учитывает перенос из младшего разряда в старший (выход Р).

Для учета переноса из младшего разряда необходимы два полусумматора.

Более «умным» является устройство, которое при сложении учитывает перенос из младшего разряда. Называется оно полный одноразрядный сумматор.

NСумматор это логическая электронная схема, выполняющая сложение двоичных чисел. Сумматор является главной частью процессора.

Рассмотрим принцип работы одноразрядного двоичного сумматора.

Одноразрядный сумматор должен иметь три входа: A, B –слагаемые и Р0 – перенос из предыдущего разряда и выходы: S – сумма и Р – перенос.

Нарисуем одноразрядный сумматор в виде единого функционального узла:

 

 

 

 

 

 

 

 


Построим таблицу сложения:

А

В

Р0

Р

S

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

Логические выражения для Р и S будут иметь следующий вид:

S = (A V B V P0) &V(A & B & P0).

P = (A&B) V (A&P0) V (B&P0).

Но процессор, как правило, складывает многоразрядные двоичные числа. Например, 1012+1102=10112. Для того чтобы вычислить сумму n-разрядных двоичных чисел, необходимо использовать многоразрядный сумматор, в котором на каждый разряд ставится одноразрядный сумматор и выход-перенос сумматора младшего разряда подключается к входу сумматора старшего разряда.

 

 

 

 

 


Упражнение 1. Проследите на схеме за изменением сигнала  на примере сложения 1012+1102=10112.

2. Триггер

Триггер (trigger – защелка, спусковой крючок) – это устройство, позволяющее запоминать, хранить и считывать информацию.

Каждый триггер хранит 1 бит информации, т.е. он может находиться в одном из двух устойчивых состояний – логический «0» или логическая «1».

Триггер способен почти мгновенно переходить из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Логическая схема триггера выглядит следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Входы триггера расшифровываются следующим образом – S (от английского Set –установка) и R (Reset – сброс). Они используются для установки триггера в единичное состояние и сброса в нулевое. В связи с этим такой триггер называется RS-триггер.

Выход Q называется прямым, а противоположный – инверсный. Сигналы на прямом и инверсном выходах, конечно же, должны быть противоположны.

Рассмотрим, как работает эта схема.

Пусть для определенности на вход S подан единичный сигнал, а R=0. Тогда независимо от состояния другого входа, который подсоединен к выходу Q (иначе говоря, вне зависимости от предыдущего состояния триггера), верхний по схеме элемент ИЛИ-НЕ получит на выходе 0 (результат ИЛИ, естественно, равен 1, но его инверсия – 0). Этот нулевой сигнал передается на вход другого логического элемента, где на втором входе R тоже установлен 0. В итоге после выполнения логических операций ИЛИ-НЕ над двумя входными нулями этот элемент получает на выходе 1, которую возвращает первому элементу на соответствующий вход. Последнее обстоятельство очень важно: теперь, когда на этом входе установилась 1, состояние другого входа (S) больше не играет роли. Иными словами, если даже теперь убрать входной сигнал S, внутреннее распределение уровней сохранится без изменения. Поскольку согласно нашим рассуждениям Q=1, триггер перешел в единичное состояние, и пока не придут новые сигналы, сохраняет его. Итак, при подаче сигнала на вход S триггер переходит в устойчивое единичное состояние.

При противоположной комбинации сигналов R=1 и S=0 вследствие полной симметрии схемы все происходит совершенно аналогично, но теперь на выходе Q уже получается 0. Иными словами, при подаче сигнала на вход R-триггер сбрасывается в устойчивое нулевое состояние.

Особо отметим, что окончание действия сигнала в обоих случаях приводит к тому, что R=0 и S=0. Мы видели, что при этом триггер сохраняет на выходе Q тот сигнал, который был установлен входным импульсом (S или R). Отсюда такой режим часто называют режимом хранения информации. Итак, при отсутствии входных сигналов триггер сохраняет последнее занесенное в него значение сколь угодно долго.

Оставшийся режим S=1 и R=1, когда сигнал подается на оба входа одновременно, считается запрещенным, поскольку в этом случае после снятия входных сигналов (особенно одновременного!) результат непредсказуем.

В ходе объяснения заполняется таблица:

Вход S

Вход R

Выход Q

Выход

Режим триггера

1

0

1

0

Установка 1

0

1

0

1

Установка 0

0

0

Последние значения

Хранение информации

1

1

Запрещено!

Итак, мы выяснили, как работает триггер.

Без преувеличения триггер является одним из существенных узлов при проектировании ЭВМ. Так как триггер может хранить только 1 бит информации, то несколько триггеров объединяют вместе.

Полученное устройство называется регистром. Регистры содержатся во всех вычислительных узлах компьютера – начиная с центрального процессора, памяти и заканчивая периферийными устройствами, и позволяют также обрабатывать информацию. В регистре может быть 8, 16, 32 или 64 триггера.

 

Виды регистров

Назначение

Регистры памяти (ячейки)

Служат для хранения информации

Счетчик команд

Хранит адрес выполняемой в данный момент команды, по которому она находится в ОЗУ

Регистр команд

Служат для вычисления адреса ячейки, где хранятся данные, требуемые программе

 

IV. Закрепление изученного

Ответьте на вопросы, поставленные в начале урока.

V. Итоги урока

Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание

·Знать назначения сумматора и триггера; области использования сумматора и триггера.

·Выполнить задания в конце §9 электронного учебника «Логические основы ЭВМ»

 

 

 

 

 

 

Урок 11. Контрольная работа «Логические основы ЭВМ»

 

Вариант №1

1) Операция логического умножения (конъюнкция) – AND.

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B) = не(A V B) при A = 1, B = 0.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B)=(А&B)®A.

4) При каких значениях переменных A, B значение F = не(АVВ)®(неАÛнеВ) = 1.

5) Даны: А = 34(10); В = 10111(2); С = 50(10). Вычислить значение логической функции: F = A&ВVС. Результат записать в десятичной системе счисления.

6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

7) На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Трое жителей острова – А, В и С – разговаривали между собой  в саду. Проходивший мимо незнакомец спросил у А: «Вы рыцарь или лжец?». Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец спросил у В: «Что сказал А?». «А сказал, что он лжец, - ответил В. «Не верьте В! Он лжет!» - вмешался в разговор островитянин С. Кто из островитян В и С рыцарь, а кто лжец?

 

Ответы: 2) = 0; 3) 1; 4) при любых значениях А и В; 5) F = 50(10); 7) В – лжец, С – рыцарь.

 

Вариант №2

1) Операция логического сложения (дизъюнкция) – OR.

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B) = AÛB при A = 0, B = 1.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B,C) = не(А&В&С).

4) При каких значениях переменных A, B, C значение F = А&В&С = 1.

5) Даны: А = 19(10); В = 1111(2); С = 33(10). Вычислить значение логической функции: F = АVВVС. Результат записать в десятичной системе счисления.

6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

F = (XVY) & (ZVQ).

7) На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял жителя острова в проводники. Они пошли и увидели другого жителя острова. Путешественник послал проводника узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал, что туземец говорит, что он абориген. Кем был проводник: пришельцем или аборигеном?

 

Ответы: 2) = 0; 3)F= (неА)V(неВ)V(неС); 4) = 1, = 1, = 1; 5) = 63(10); 7) Проводник – абориген.

 

Вариант №3

1) Операция отрицания (инверсия) – NOT.

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B) = A&B при A = 1, B = 0.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B,C) = (A&В)V(A&С).

4) При каких значениях переменных A, B, C значение F = не(А&В&С) = 0.

5) Даны: А = 57(10); В = 18(10); С = 11011(2). Вычислить значение логической функции: F = неAV неBV неC. Результат записать в десятичной системе счисления.

6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

F = &VX&Y.

7) Жители города А говорят только правду, жители города Б – только ложь, жители города В – попеременно правду и ложь. Дежурному пожарной части по телефону сообщили: «У нас пожар, приезжайте скорее!» «Где!» - спросил дежурный. «В городе В», - ответили ему. Куда должна выехать пожарная машина? (Пожар действительно был)

 Ответы: 2) = 0; 3)F=A&(BVC)  ; 4) = 1, = 1, = 1; 5) = 47(10); 7) В город А.

 

Вариант №4

1) Логическая операция импликация – IMP.

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B) = неA®B при A = 1, B = 1.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B,C) = ((АVВ)&С) Û ((А&С)V(В&С)).

4) При каких значениях переменных A, B, C значение = ®®С)) V®С) = 0.

5) Даны: А = 39(10); В = 46(10); С = 1110(2). Вычислить значение логической функции: F = АVВ&С. Результат записать в десятичной системе счисления.

 6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

F = & (YV).

7) Алеша, Борис и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:

1.Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».

2.Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».

3.Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».

Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

 

Ответы: 2) = 1; 3) 1; 4) При C=0 и В=1; 5) F = 47(10); 7) Сосуд финикийский, изготвлен в V веке.

 

Вариант №5

1) Равнозначность двух высказываний (эквиваленция, двойная импликация) – EQV.

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B) = A®B при A = 0, B = 1.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B,C) = ((А®неВ)V(А®С)) &неС.

4) При каких значениях переменных A, B, C значение F = ®В)®®С®А®®С)) = 0.

5) Даны: А = 31(10); В = 1011(2); С = 23(10). Вычислить значение логической функции: F = А®В V неС. Результат записать в десятичной системе счисления.

6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

7) Обсуждая конструкцию нового трехмоторного самолета, трое конструкторов поочередно высказали следующие предположения:

1.при отказе второго двигателя надо приземляться, а при отказе третьего можно продолжать полет;

2.при отказе первого двигателя лететь можно и при отказе третьего двигателя лететь нельзя;

3.при отказе третьего двигателя лететь можно, но при отказе хотя бы одного из остальных надо садиться.

Летные испытания подтвердили правоту каждого из конструкторов. Определите, при отказе какого из двигателей нельзя продолжать полет.

 

Ответы: 2) = 1; 3) F=(неС)&(неАVнеВ); 4) = 1, = 1, = 0; 5) = 11(10); 7) При отказе второго двигателя нельзя продолжать полет.

 

Вариант №6

1) Отрицание логического умножения – функция Шеффера (функция И – НЕ).

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B,C) = (A®B)®C, при A = 1, B = 1, C = 0.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B,C) = (А & В) V (неВ&С) Û А&В.

4) При каких значениях переменных A, B, C значение F = ®В)®((А®С)®А®В&С) = 0.

5) Даны: А = 278(10); В = 93(10); С = 101111(2). Вычислить значение логической функции: F = не(А V В &неС) V не(В&А). Результат записать в десятичной системе счисления.

6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

F =   V (XVY).

7) В соревнованиях по плаванию участвовали Андрей, Виктор, Саша и Дима. Их друзья высказали предположения о возможных победителях:

1.первым будет Саша, Виктор будет вторым;

2.вторым будет Саша, Дима будет третьим;

3.Андрей будет вторым, Дима будет четвертым.

По окончании соревнований оказалось, что в каждом из предположений только одно из высказываний истинно, а другое ложно.

Какое место на соревнованиях занял каждый из юношей, если все они заняли разные места.

 

Ответы: 2) = 0; 3) F=(AVнеВ) &CÛA&B; 4) При любых; 5) F = 495(10); 7) Саша – первое место, Андрей – второе, Дима – третье, Виктор - четвертое.

 

Вариант №7

1) Отрицание логического сложения – функция Пирса (функция ИЛИ – НЕ).

2) Определите значение логической функции при заданных значениях переменных:

F(A,B,C) = AVB®C, при A = 0, B = 1, C = 0.

3) Упростите логическое выражение и проверьте правильность преобразований построением таблиц истинности для исходного и упрощенного выражений:

F(A,B,C) = ®В) & (А®неВ)®(неСVА).

4) При каких значениях переменных A, B, C, D значение F = ®В)®С V (D®А) = 0.

5) Даны: А = 231(10); В = 91(10); С = 101010(2). Вычислить значение логической функции: F = не(А V В &неС) V не(В&А). Результат записать в десятичной системе счисления.

6) Постройте логическую схему для следующего выражения:

 F =(X&Y) V.

7) В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырех богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой, и спрашивает их царь: «Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царева дочь и полцарства?». Засмущались добры молодцы и ответы дали туманные.

Сказал Илья Муромец: «Это все Алеша Попович, царь-батюшка».

Алеша Попович возразил: «То был Микула Селянинович».

Микула Селянинович: Не прав Алеша, не я это.

Добрыня Никитич: «И не я, батюшка».

Повернулась тут Баба-яга и говорит царю: «А прав-то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами».

Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?

 

Ответы: 2) = 1; 3) F=неС; 4) = 0, = 0, = 0, = 0; 5) = 188(10); 7) Добрыня Никитич.

 

 

 

 

 

 

Литература

 

1.Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. Элективный курс.- М., БИНОМ, 2005.

2.Босова Л.Л., Босова А.Ю., Коломенская Ю.Г. Занимательные задачи по информатике. – М.: БИНОМ, 2006.

3.Босова Л.Л., Савельева В.С. Разноуровневые дидактические материалы по информатике. – М.: Образование и Информатика, 2007.

4.Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения:Учебное пособие. 3-е изд., испр. – СПб: Издательство «Лань», 2008.

5.Программная и методическая поддержка по ИИТ. Компьютерный практикум на CD-ROM к учебно-методическому комплексу Н.Угриновича.

6.Соколова. Поурочные разработки по информатике: базовый уровень. 10-11 классы. – М.:ВАКО, 2007.

7.Угринович Н. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.:БИНОМ, 2008.

8.Шауцукова Л.З. Информатика: Учебное пособие для 10-11 кл.общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2007.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Электронный курс по информатике для профильного обучения учащихся 10-11 классов на тему "Логические основы ЭВМ""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

SMM-менеджер

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Элективный курс позволяет самостоятельно ориентироваться не только в информационном пространстве, но и переносить приобретенные знания, умения, навыки на поиск решения проблемных ситуаций, способствующих решению задач различными способами. Программу курса следует рассматривать как расширение вариативной части учебного плана школы.

Программа предназначена для учащихся 10-11классов, желающих углубить свой образовательный уровень.

Элективный курс рассчитан на 11 учебных часов.

Также разработан электронный вариант курса с итоговым зачетом в виде тестирования.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 671 материал в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Сценарий внеклассного мероприятия. Квест-игра по информатике для учащихся 4 классов «Спасение капитана КОДа».
  • Учебник: «Информатика (в 2 частях)», Матвеева Н.В., Челак Е.Н., Конопатова Н.К., Панкратова Л.П., Нурова Н.А.
  • Тема: 1. Человек в мире информации
  • 14.02.2020
  • 944
  • 38

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 14.02.2020 716
    • RAR 19 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кунакбаева Айгуль Аликовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кунакбаева Айгуль Аликовна
    Кунакбаева Айгуль Аликовна
    • На сайте: 7 лет и 2 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1921
    • Всего материалов: 3

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 40 человек из 20 регионов

Курс повышения квалификации

Методика преподавания информатики в начальных классах

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика и информатика")

Учитель математики и информатики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 16 регионов

Мини-курс

Басня как педагогическая технология

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Цифровая трансформация в управлении и информационных технологиях

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы психологических трансформационных игр

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 45 человек из 30 регионов