,
…,
.
и
,
являющихся крайними точками отрезка.
или
,
то есть, задача имеет допустимые решения, но не имеет оптимального плана.
,
то есть, у задачи нет планов, она не имеет ни допустимых, ни оптимальных
решений.
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie11.doc
Скачать материал "Электронный учебник для студентов БУ-20"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie12.doc
Скачать материал "Электронный учебник для студентов БУ-20"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie21.doc
Государственное областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Липецкий техникум городского хозяйства и отраслевых технологий»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по организации и выполнению практических работ
по дисциплине: «ЕН.01 Элементы высшей математики».
(код и наименование УД, МДК)
по специальности СПО: «080110 Банковское дело»
Липецк, 2020 г.
Методические указания по организации и выполнению практических работ по специальности СПО: «080110 Банковское дело» разработаны в соответствии с требованиями к результатам обучения ФГОС по профессии:
« 080110 Банковское дело»
Разработчики: Андреева О.И., преподаватель математики, ГОБПОУ «Липецкий техникум городского хозяйства и отраслевых технологий»; Жучкова Е.А., преподаватель математики, ГОБПОУ «Липецкий техникум городского хозяйства и отраслевых технологий»;
|
Рассмотрено на заседании методического объединения протокол №___ от «__» ____ 2016 г. Председатель методического объединения ______________ Андреева О.А. (роспись) (инициалы, фамилия) |
|
СОДЕРЖАНИЕ
|
|
стр. |
|
|
1 |
Введение………………………………………………………………………….. |
4 |
|
2 |
Общие требования для студентов по выполнению практических работ……………………………………………………………… |
5 |
|
3 |
Критерии оценивания работ……………………………………………………. |
6 |
|
4 |
Требования к технике безопасности при выполнении практических работ… |
6 |
|
5 |
Содержание практических работ………………………………………………. |
7 |
ü Практическая работа №1 «Выполнение операций над множествами»……. 9-11
ü Практическая работа №2 «Решение задач на метод математической индукции». 12-15
ü Практическая работа №3 «Метод математической индукции. Основные понятия математической логики.»…………………………………………………………….16-21
ü Практическая работа №4 «Сложение и умножение вероятностей»…………. ….. 22-27
ü Практическая работа №5 «Построение графической диаграммы выборки, расчёт характеристик выборки». ………………………………………………………….. 28-36
ü Практическая работа №6-7 «Составление уравнений прямых и плоскостей.
Определение взаимного расположения прямой и плоскости». …………………. 37-45
ü Практическая работа №8«Вычисление определителей, ранга матриц.». 46-50
ü Практическая работа №9«Решение систем линейных уравнений методом обратных
матриц». …………………………………………………………………………… 51-54
ü Практическая работа №10«Решение систем линейных уравнений
методом Крамера»……………………………………………………………………..55-58
ü Практическая работа №11-12«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»………………………………………………………………………………….59-62
ü Практическая работа №13-14«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»…………………………………………………………………...63-68
ü Практическая работа №15-16«Вычисление односторонних пределов.
Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва». 69-74
ü Практическая работа №17«Дифференцирование сложной функции». 75-78
ü Практическая работа №18«Физические и геометрические приложения
производной». …………………………………………………………………………...79-82
ü Практическая работа №19-20«Вычисление пределов, частных производных и
дифференциалов функций нескольких действительных переменных»……..…… 83-85
ü Практическая работа №21«. Вычисление пределов, частных производных и
дифференциалов функций нескольких действительных переменных.». ………… 86-88
ü Практическая работа №22«Вычисление неопределенных интегралов»…………… 89-94
ü Практическая работа №23«Вычисление определенных интегралов»……………… 95-99
ü Практическая работа №24«Вычисление площадей плоских фигур и объемов
тел вращения»………………………………………………………………………..
100-108
1. Введение
Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам.
Методические указания созданы в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим работам, правильного составления отчетов.
Приступая к выполнению практической работы, необходимо внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами (ФГОС), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Все задания к практической работе необходимо выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.
Отчет о практической работе необходимо выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.
Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине «Элементы высшей математики» и допуска к зачету, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую необходимо найти время для ее выполнения или пересдачи.
Цель методических указаний - обеспечить четкую организацию проведения практических занятий со студентами по специальности СПО:« 080110 Банковское дело» по дисциплине «ЕН.01 Элементы высшей математики» и предоставить возможность студентам, отсутствовавшим на практическом занятии, самостоятельно выполнить работу.
Практические работы направлены на освоение следующих результатов обучения:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
- решать системы линейных уравнений;
- производить действия над векторами, составлять уравнения прямых и определять их взаимное расположение;
- вычислять пределы функций;
- дифференцировать и интегрировать функции;
- моделировать и решать задачи линейного программирования.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
- основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии;
- основные понятия и методы математического анализа;
- виды задач линейного программирования и алгоритм их моделирования.
Количество практических работ по семестрам:
В 3 семестре проводится 14 практических занятий.
Во 4 семестре проводится 10 практических занятий.
2. Общие требования для студентов по выполнению
практических работ:
2.1.Практические работы проводятся после изучения теоретического
материала в учебном кабинете математики. Студенты должны иметь методические рекомендации по выполнению практических работ, конспекты лекций, измерительные и чертежные инструменты, средство для вычислений.
2.2.При выполнении практических работ надо придерживаться следующих правил:
1.Практическую работу следует выполнять в тетради чернилами черного или синего цвета, оставляя поля.
2.На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия обучающегося, его инициалы, номер специальности, название дисциплины, номер группы.
2.В заголовке работы должны быть указаны номер практической работы, тема практической работы, номер варианта.
3.В работу должны быть включены задачи, указанные в практической работе, строго по предложенному варианту.
4.Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.
5.Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.
6.После получения проверенной работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки.
2.3.Требования к обработке результатов расчетов и оформлению отчетов.
Отчет по практической работе должен содержать:
1.Номер и тему практической работы, номер варианта.
2.Номер задачи и ее условие.
3.Подробное решение каждой задачи.
4.Полный ответ к каждой задаче.
5. Сделать вывод.
2.4.Порядок проведения практического занятия
1. Опрос студентов по теме практической работы в различных формах.
2. Краткое сообщение преподавателя о целях практического занятия, порядке его проведения и оформления работы.
3. Выдачу вариантов заданий.
4. Выполнение практической работы студентами.
5. Подведение итогов практического занятия преподавателем.
2.5. Обязательное выполнение условия
Студенты, отсутствовавшие на практических занятиях, при выполнении практических работ самостоятельно, имеют право на получение консультаций у преподавателя.
Неудовлетворительная оценка, полученная студентом при выполнении практической работы, должна быть исправлена и повторно проверена преподавателем.
Студент, имеющий к концу семестра более 75% практических работ, написанных на неудовлетворительную оценку, не может быть допущен к экзамену по дисциплине.
Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
3.Критерии выставления оценок
Оценка «5» ставится, если:
• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обоснованиях решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Оценка «4» ставится, если:
• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Оценка «3» ставится, если:
• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Оценка «2» ставится, если допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
4.Техника безопасности при выполнении практических работ.
На первом занятии преподаватель проводит первичный инструктаж по технике безопасности и напоминает студентам о бережном отношении к оборудованию и о материальной ответственности каждого из них за сохранность оборудования и обстановки.
При работе в учебном кабинете запрещается:
· находиться в кабинете в отсутствии преподавателя и на перемене;
· вставать со своего места и ходить по кабинету без разрешения преподавателя;
· размещать на рабочем месте посторонние предметы.
Обучающийся обязан:
· спокойно, не торопясь, не задевая столы, входить в кабинет и занять отведенное ему место,
· во время перемены покинуть кабинет,
· работать на одном, закрепленном за ним месте,
· приступать к работе по указанию преподавателя,
· по окончанию работы сдать выданные материалы преподавателю,
· привести свое рабочее место в порядок.
5.Содержание практических работ
|
Название работы |
Нагрузка в часах |
|
Практическая работа №1 «Выполнение операций над множествами». |
1 |
|
Практическая работа №2 «Решение задач на метод математической индукции». |
1 |
|
Практическая работа №3 «Метод математической индукции. Основные понятия математической логики.». |
1 |
|
Практическая работа №4 «Сложение и умножение вероятностей». |
1 |
|
Практическая работа №5 «Построение графической диаграммы выборки, расчёт характеристик выборки». |
1 |
|
Практическая работа №6 «Составление уравнений прямых и плоскостей». |
1 |
|
Практическая работа №7«Определение взаимного расположения прямой и плоскости». |
1 |
|
Практическая работа №8«Вычисление определителей, ранга матриц.». |
1 |
|
Практическая работа №9«Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц». |
1 |
|
Практическая работа №10«Решение систем линейных уравнений методом Крамера». |
1 |
|
Практическая работа №11«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса». |
1 |
|
Практическая работа №12«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса». |
1 |
|
Практическая работа №13«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей». |
1 |
|
Практическая работа №14«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей». |
1 |
|
Практическая работа №15«Вычисление односторонних пределов. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва». |
1 |
|
Практическая работа №16«Вычисление односторонних пределов. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва». |
1 |
|
Практическая работа №17«Дифференцирование сложной функции». |
1 |
|
Практическая работа №18«Физические и геометрические приложения производной». |
1 |
|
Практическая работа №19«Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных». |
1 |
|
Практическая работа №20«Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных». |
1 |
|
Практическая работа №21«. Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных.». |
1 |
|
Практическая работа №22«Вычисление неопределенных интегралов». |
1 |
|
Практическая работа №23«Вычисление определенных интегралов». |
1 |
|
Практическая работа №24«Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения». |
1 |
Обеспеченность занятия (средства обучения):
Основные источники:
1. Атурин В.В., Годин В.В. Высшая математика. Задачи с решениями для студентов экономических специальностей. – М.: Академия, 2013.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2014.
3. Высшая математика для экономических специальностей / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юрайт, 2014
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособ. – М.: Юрайт, 2013.
5. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Высшая школа, 2014.
6. Турецкий В. Я. Математика и информатика: учебник. – М.: ИНФРА-М, 2014.
Дополнительные источники:
1. Дадаян А.А. Математика: учеб. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2014.
2. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. – М., 2013.
3. Кастрица О.А. Высшая математика для экономистов. – М.: Новое знание, 2010.
4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. – М.: Форум, 2014.
5. Морозов А.В. Высшая математика. Ответы на вопросы, решение типовых задач. – М.: Экзамен, 2014.
Технические средства обучения:
- Калькулятор.
Раздел 1. Введение в дискретную математику.
Тема 1.1. Множества и операции над ними.
Практическая работа №1
Тема: «Выполнение операций над множествами».
научиться выполнение операций над множествами
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- выполнять операции над множествами.
знать:
- основные свойства и правила по выполнению операций над множествами.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Любая совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых элементами, называется множеством. Или, множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п Множества обозначаются прописными буквами, а элементы – строчными. Запись аϵА обозначает, что а элемент множестваA. Если b не принадлежит множеству А, то записывается: b∉А
Если каждый элемент множества А является и элементов множества В, то говорят, что множество А является подмножеством В (А ⊆ В )
Если при этом в множестве В есть элементы, не принадлежащие множеству А, то пишут А ⊂В. Сумма двух множеств А∪ В является множеством, каждый элемент которого принадлежит либо к А либо к В. Пересечением двух множеств А ∩В является множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В.
Множество, состоящее из некоторого натурального числа элементов, называется конечным множеством. Если не существует такого числа, определяющего количество элементов в множестве, то такое множество называется бесконечным.
N –множество натуральных чисел; Zмножество целых чисел; R- множество действительных чисел; Q- множество рациональных чисел. важные операции, которые можно производить с двумя множествами А и В – объединение двух множеств и построение их пересечения.
Объединение двух множеств – новое множество, состоящее из элементов как множества А, так и множества В. Это множество обозначается А∪ В
Пересечением двух множеств называется множество, в которое входят только те элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам А и В. Обозначается это множество через А ∩ В
Операции объединения и пересечения можно производить с любым конечным числом множеств, а также - и с бесконечным числом.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪(ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства:
Свойства перестановочности:
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Круги Эйлера (Эйлера-Вена) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Пример: Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
Контрольные вопросы
1.Дайте определение понятия множества.
2.Что такое подмножество?
3.Дайте определение суммы множеств.
4.Что называют пересечением множеств?
5.Какое множество называется конечным? Бесконечным?
Задания практической работы:
1) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:
а) А={е, о, р, х} В={х, у}
2) Найти множества А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:
а) А={12, 13, 14, 15} В={12, 14, 16}
3) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:
а) только один язык?
б) испанский язык?
в) только немецкий язык?
г) знают английский и немецкий, но не знают французский?
4) На 1 курсе учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 – французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают только один испанский язык. Сколько студентов знают:
а) ровно два языка?
б) только французский язык?
в) знают немецкий и французский, но не знают английский?
г) не знают испанский язык?
Тема 1.2. Метод математической индукции.
Практическая работа № 2
Тема: «Решение задач на метод математической индукции»
Цель работы: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- формулировать задачи логического характера и применять средства математической логики для их решения.
знать:
- основные принципы математической логики, теории множеств и теории алгоритмов;
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной.
Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:
Прямое рассуждение (доказательство). Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B - ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (А®В) принимает ложное значение.
Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.
По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.
Пример 1. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы - горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.
Обратное рассуждение (доказательство). Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)®(не А)), что согласно таблице, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (А®В).
Метод «от противного». Этот метод часто используется в математике. Пусть а - тезис
или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т.
е. истинно не-а (или 
).
Из допущения 
выводим
следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам.
Имеем 
, при этом - ложно, значит, истинно его
отрицание, т.е. 
,
которое по закону двузначной классической логики (
→а) дает а. Значит, истинно а,
что и требовалось доказать.
Пример 2. Теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.
Метод математической индукции.
В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.
Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если
1. оно справедливо для n = 1 и
Установлено, что 
верно. (Это утверждение
называется базой индукции.)
2.
из справедливости
утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k следует
его справедливость для n = k+1 (Для любого n доказано,
что если верно 
, то верно 
. (Это утверждение
называется индукционным переходом).
То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:
1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);
2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральномn=k;
3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.
Тогда все утверждения нашей последовательности верны.
Пример 3. Доказать, что для всех
натуральных 
справедливо равенство
Обозначим через 
левую часть равенства, а
через 
— его правую часть.
1) Докажем сначала, что 
.
![\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
s_1={1\over 1\cdot2\cdot3}={1\over 6}\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
z_1={1\cdot(1+3)\over 4\cdot(1+1)\cdot(1+2)}={1\cdot4\over<br />
4\cdot2\cdot3}={1\over 6}.<br />
\end{array}](https://documents.infourok.ru/989340ca-0cf5-4974-85ef-f8c91092be72/2/image015.gif)
2) Дано: 
. Нужно
доказать: 
.
![\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
z_k={k(k+3)\over 4(k+1)(k+2)}; z_{k+1}={(k+1)(k+4)\over 4(k+2)(k+3)}\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
s_{k+1}=s_k+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}=z_k+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={k(k+3)\over 4(k+1)(k+2)}+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}={k(k+3)^2+4\over<br />
4(k+1)(k+2)(k+3)}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={k^3+9k+6k^2+4\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
z_{k+1}={(k+1)^2(k+4)\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}={k^3+6k^2+9k+4\over<br />
4(k+1)(k+2)(k+3)}\\[3mm]<br />
s_{k+1}=z_{k+1}.<br />
\end{array}](https://documents.infourok.ru/989340ca-0cf5-4974-85ef-f8c91092be72/2/image018.gif)
Тем самым,
утверждение доказано для любого , поскольку из его истинности для 
следует,
что оно истинно для 
, из его истинности при следует
его истинность для 
и т.д.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 1 + 5 + 9 +…+(4n - 3) = n(2n-1) для всех натуральных чисел n.
Вариант 2
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 12+22+…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 для всех натуральных чисел n.
Вариант 3
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 
для всех натуральных
чисел n.
Вариант 4
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 1*1! + 2* 2!+…+-n*n! = (n + 1)! - 1 для всех натуральных чисел n.
Вариант 5
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что при каждом натуральном
n число 
делится на b: 
, b=33
Контрольные вопросы:
1. В чем разница между доказательством прямым рассуждением, обратным, от противного?
2. Что означает математическая индукция? Объясните принцип математической индукции.
Практическая работа № 3
Метод математической индукции
Тема:«Основные понятия математической логики.»
Цель работы: изучить основы алгебры логики
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- формулировать задачи логического характера и применять средства математической логики для их решения.
знать:
- основные принципы математической логики, теории множеств и теории алгоритмов;
- формулы алгебры высказываний;
- методы минимизации алгебраических преобразований.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Пример 1. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.
Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример 2. Предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием.
Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Пример 3. «x+2>5» - высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).
Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (таблица1.1).
Таблица 1.1 - Основные логические операции
|
Обозначение операции |
Читается |
Название операции |
Альтернативные обозначения |
|
¬ |
НЕ |
Отрицание (инверсия) |
Черта сверху |
|
|
И |
Конъюнкция (логическое умножение) |
∙ & |
|
|
ИЛИ |
Дизъюнкция (логическое сложение) |
+ |
|
→ |
Если … то |
Импликация |
|
|
↔ |
Тогда и только тогда |
Эквиваленция |
~ |
|
|
Либо …либо |
Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2) |
XOR |
Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание ¬А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Операция, выражаемая
связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или
логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться
знаками 
или
&). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания
А и В истинны.
Операция, выражаемая
связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или
логическим сложением и обозначается знаком 
(или плюсом). Высказывание АВ
ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «... влечет …», называется импликацией(лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
Операция, выражаемая
связками «Либо … либо», называется исключающее
ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или 
.
Высказывание А
В
истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.
Импликацию можно
выразить через дизъюнкцию и отрицание: 
.
Эквиваленцию можно
выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: 
.
Исключающее ИЛИ можно
выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: 
.
Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Приоритет выполнения: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее или, импликация и эквиваленция.
Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).
Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.
Пример 4. 
–
логическая функция двух переменных A и B.
Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.
Приведем таблицу истинности основных логических операций (таблица 1.2)
Таблица 1.2
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Пример 5. Составить
таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так: 
.
1. Определить количество строк:
На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =22+1=5.
2. Определить количество столбцов:
Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (таблица 1.3).
Таблица 1.3. Таблица истинности для логической операции
|
A |
B |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Логические формулы можно также представлять с помощью языка логических схем.
Существует три базовых логических элемента, которые реализуют три основные логические операции :
1. Определить число логических переменных.
2. Определить количество логических операций и их порядок.
3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.
4. Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.
Пример 6. По заданной логической
функции 
построить
логическую схему.
1. Число логических переменных = 2 (A и B).
2. Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.
3. Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.
4. Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).
Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.
1. Закон двойного
отрицания: 
;
2. Переместительный (коммутативный) закон:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
5. Законы де Моргана:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
6. Закон идемпотентности:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
7. Законы исключения констант:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
8. Закон
противоречия:
;
9. Закон исключения
третьего: 
;
10. Закон поглощения:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
11. Правило
исключения импликации: 
;
12. Правило
исключения эквиваленции: 
.
Справедливость этих законов можно доказать составив таблицу истинности выражений в правой и левой части и сравнив соответствующие значения.
Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.
Пример
7. Упростить
логическое выражение 
.
Согласно закону де
Моргана: 
.
Согласно
сочетательному закону: 
.
Согласно закону
противоречия и закону идемпотентности: 
.
Согласно закону
исключения 0: 
Окончательно получаем
/
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными A & ¬(¬B v C) и A & B & ¬C
5. Определить истинность или ложность высказываний (¬(X<5) v (X<3)) & (¬(X<2) v (X<1)) при X=1
Вариант 2
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить логическое
выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными ¬(¬A & B v A & (B v ¬C)) и ¬B & (¬A v C)
5. Определить истинность или ложность высказываний (¬(X<5) v (X<3)) & (¬(X<2) v (X<1) при X=3
Вариант 3
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными ¬C v ¬B v ¬(A v ¬C) и ¬A & B v ¬C & B
5. Определить истинность или ложность высказываний X>1 & (¬(X<5) v (X<3)) при X=2
Вариант 4
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными ¬(А v ¬В) v ¬B & C и ¬A & (B ∨ C)
5. Определить истинность или ложность высказываний ¬((X>2) v (X<2)) v (X>4) при X=1
Вариант 5
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
.
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными
5. Определить истинность или ложность высказываний X>1 & (¬(X<5) v (X<3)) при X=2
Контрольные вопросы:
1. Что такое высказывание (приведите пример)?
2. Что такое составное высказывание (приведите пример)?
3. Укажите приоритеты выполнения логических операций.
4. Составьте таблицу истинности для следующих операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
5. Изобразите функциональные элементы: конъюнктор, дизъюнктор, инвертор.
6. Какие логические выражения называются равносильными?
7. Запишите основные законы алгебры логики.
Тема 1.3. Элементы комбинаторики.
Практическая работа № 4
Тема: «Сложение и умножение вероятностей».
Учебная цель: научиться вычислять вероятности событий с помощью теорем умножения и сложения вероятностей
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Тема 1.3. Элементы комбинаторики. Практическая работа № 4
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Операции над событиями
Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в
наступлении хотя бы одного из событий А или В. Символически это записывают так:
.
Произведением или пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в
одновременном наступлении А и В. Символически произведение записывают так: С=АВ
или 
. Если А и В — несовместные события,
то 
, т. е. их пересечение пусто (невозможное
событие).
Два случайных события называются противоположными,
если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит
другое. Событие, противоположное событию А,
обозначают через 
(читают «не А»).
Противоположные события образуют полную систему попарно несовместных событий,
т. е. 
.
Теоремы умножения вероятностей
Произведение двух событий состоит из тех элементарных событий, которые благоприятствуют и первому, и второму событию, то есть принадлежат их пересечению АВ = А ∩ В. Вероятность произведения событий зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий А и В называются безусловными; и вероятность произведения таких событий равна произведению их вероятностей
Р(АВ) = Р(А) Р(В) (1)
|
(4.1) |
Вероятность совместного появления нескольких независимых событий в совокупности равна произведению вероятностей этих:
P(A1 А2 .. Аn) = P(A1) Р(А2) …· Р(Аn) (1.1)
События А и В зависимые, если вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что А уже осуществилось, называется условной вероятностью и обозначается РА(В).
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(А)РА(В) или Р(АВ) = Р(В)РВ(А). (2)
Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий (произведения событий) равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже произошли (теорема умножения вероятностей для зависимых событий):
Р(А1 А2 ..... Аn) = P(A1) PA1 (A2)Р А1 А2 (А3) ..... P A1 А2 .... An-1 (An) (2.1)
Теорема сложения вероятностей
В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления и определяется по формуле:
(3)
Очевидно, что если события несовместны, то вероятность их совместного наступления равна нулю. Поэтому для двух несовместных событий вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (4)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1 + А2 +.... +Аn) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) (4.1)
Формулы для определения вероятности суммы большего числа совместных событий достаточно громоздки. Если число событий возрастает, то часто бывает удобнее использовать вероятность противоположных событий. В самом деле, событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из нескольких элементарных событий, противоположно событию - «не наступит ни одно из них», поэтому можно использовать формулу: Р(А1 + А2 + ... + Аn) = 1- Р(Ā1 Ā2 … Ān) (5)
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей, причем в первом ящике - 8, во втором – 7 и в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали будут стандартные.
Решение: вероятность того, что из первого ящика
вынута стандартная деталь (событие А) равна 
.
Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В)
равна 
.Вероятность того, что из третьего ящика
вынута стандартная деталь (событие С) равна 
.
Событие «все три вынутые детали будут стандартные» -есть произведение событий А,
В,С. Т.к. события А, В, С – попарно независимы , то по теореме
умножения вероятностей для независимых событий имеем:
.
Пример 2. В вазе лежит 3 шоколадных и 7 вафельных конфет. Наудачу берется одна конфета, затем другая. Найти вероятность того, что первая конфета была шоколадной, а вторая – вафельной?
Решение: вероятность того, что первая конфета -
шоколадная (событие А) 
. Вероятность того, что вторая конфета –
вафельная, вычисленная в предположении, что первая конфета была шоколадной, т.е.
условная вероятность равна 
. Т.е. по теореме
умножения для зависимых событий имеем: Р(АВ) = Р(А)РА(В) =
Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании извлечен белый шар (событие А), при втором - черный шар (событие В), при третьем – синий (событие С)?
Решение: Вероятность появления белого шара в первом
испытании равна
. Вероятность появления черного
шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании
вынут белый шар, т.е. условная вероятность равна
.
Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в
предположении, что при первом испытании вынут белый шар, а при втором – черный,
т.е. условная вероятность равна 
.Окончательно имеем:
Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С)=
Пример 4. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете (событие А).
Решение: событие А - «хотя бы один из взятых учебников будет в переплете» будут осуществлено, если произойдет любое из трех несовместных событий: В – «один учебник в переплете», С- «два учебника в переплете» , В - «три учебника в переплете». Т.е. событие А=В+С+D. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем:
. Вычислим
отдельно вероятности событий В, С, D:
.
Используя эти результаты, получим: 
.
Пример 5. Вероятность попадания в цель
при стрельбе из трех орудий таковы: 
Найти вероятность
хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение: вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия), А3 (попадание третьего орудия) – независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям А1, А2,
А3 (т.е. вероятности промахов) соответственно равны 
Тогда искомая вероятность
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. В ящике 10 деталей, среди которых четыре окрашены. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окрашена;
2. Во время учебных маневров два танка пытаются прорваться в расположение противотанковой батареи «противника». Какова вероятность того, что будет подбит хотя бы один танк, если вероятность того, что будет подбит один танк равна 2/3, а два танка 2/5?
3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишеньпри одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
4. В корзине 4 яблока, 3 лимона и 6 персиков. Каждое испытание состоит в том, что из корзины случайным образом падает один фрукт. Найти вероятность того, что из корзины при первом испытании выпадет яблоко, при втором – лимон, при третьем – персик.
5. В двух ящиках находятся детали: в первом - 12 (из 4 стандартных), во втором -10 (из них 7 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что они обе будут стандартными.
Вариант 2
1. На полке в случайном порядке расставлено семь учебников, причем четыре из них - по математике. Студент наудачу берет два из них. Найти вероятность того, что хотя бы один из них – по математике.
2. Электронный прибор состоит из двух последовательно включенных блоков. Вероятность выхода из строя за 1 месяц работы первого блока равна 1/3, второго -1/4, а обоих – 1/6. Найдите вероятность бесперебойной работы прибора в течение месяца.
3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо
работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
4. В ящике 4 белых, 7 синих и 3 красных мяча. Каждое испытание состоит в том, что из ящика случайным образом выкатывается один мяч. Найти вероятность того, что из ящика при первом испытании выкатится синий мяч, при втором – красный, а при третьем – белый;
5. В первой вазе находится 5 красных и 3 белых гвоздики, во второй – 4 красных и 8 белых гвоздики. Из каждой вазы наудачу берут по одной гвоздике. Какова вероятность того, что будут выбраны красные гвоздики.
Вариант 3
1. Из урны, содержащей 10 белых, 8 черных и 1 оранжевых шаров, наугад извлекают три шара. Найти вероятность того, что это будут шары одного цвета.
2. На тактических занятиях зенитная батарея стреляет по двум беспилотным самолетам. Найти вероятность того, что самолеты не будут сбиты, если вероятность сбить один самолет равна 1/2 , а два самолета – 1/8;
3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное;
4. В коробке находится 6 синих, 4 красных и 6 зеленых флажков. Каждое испытаниесостоит в том, что из корзины случайным образом выбирается один флажок. Найти вероятность того, что при первом испытании будет выбран зеленый флажок, при втором – красный, а при третьем – синий;
5. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 деталей (из них 7 окрашенных), во втором- 8 деталей (из них 5 окрашенных). Из каждого ящика наудачу выбирают по одной детали. Какова вероятность того, что обе будут окрашенные.
Вариант 4
1. В ящике 12 деталей, среди них 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2-х деталей окажется не более одной нестандартной детали.
2. Из чисел 1, 2,3,4…100 выбирают число. Найти вероятность того, что выбранное число делится хотя бы на одно из чисел: 4 и 6.
3. Вероятность того, что при измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая некоторую заданную точность, равна 0,4. Произведено два независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
4. На полке вперемежку расставлено 4 учебника по геометрии, 5 учебников по географии и 3 учебника по астрономии. Каждое испытание состоит в том, что библиотекарь случайным образом выбирает один учебник. Найти вероятность того, что при первом испытании будет выбран учебник по астрономии, при втором – по геометрии, а в третьем – по географии;
5. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой из них вероятность того, что она включена в данный момент равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент ни одна из них не включена.
Контрольные вопросы
1. Что понимают под суммой нескольких событий?
2. Что понимают под произведением нескольких событий?
3. Какие события называются независимыми?
4. Какие случайные события называются зависимыми?
5. Чему равна вероятность совместного появления двух независимых событий?
6. Чему равна вероятность совместного появления двух зависимых событий?
7. Чему равна вероятность суммы двух, трех или нескольких случайных событий? От чего зависит формула вероятности суммы случайных событий?
8. Чему равна вероятность произведения двух, трех или нескольких случайных событий? От чего зависит формула вероятности произведения случайных событий?
9. Дайте определение условной вероятности случайного события. Вероятности каких случайных событий можно вычислить по этой формуле?
Практическая работа № 5
«Построение графической диаграммы выборки, расчёт характеристик выборки»
Учебная цель: научиться строить графические диаграммы выборки, рассчитывать характеристики выборки
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
В самых различных областях производственной и научной деятельности приходится проводить изучение (обследование, измерение, проверку) объектов, принадлежащих некоторой совокупности, по какому-либо признаку. При этом иногда приходится исследовать каждый объект совокупности, т. е. проводить сплошное исследование. Однако на практике гораздо чаще применяется выборочное исследование. При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию. При этом совокупность всех исследуемых объектов называют генеральной совокупностью.
Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Под случайным отбором при образовании выборки понимают такой отбор, при котором все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Выборку можно проводить двумя основными способами. При первом способе объект извлекают из генеральной совокупности, исследуют и возвращают в исходную генеральную совокупность; затем снова извлекают некоторый объект, исследуют и возвращают в генеральную совокупность и т. д. Полученную таким образом выборку называют повторной. При втором способе после исследования объекты в генеральную совокупность не возвращают, и выборку в этом случае называют бесповторной.
Число объектов выборочной или генеральной совокупности называют объемом выборки. Например, если из 10 000 изделий для контроля отобрано 100 изделий, то объем генеральной совокупности N=10 000, а объем выборки n=100.
Для того чтобы по выборке можно было с определенной уверенностью судить о всей генеральной совокупности, выборка должна достаточно полно отражать изучаемое свойство объектов генеральной совокупности,т.е быть репрезентативной. Для этого необходимо, чтобы отбор объектов в выборку осуществлялся действительно случайно и чтобы изучаемому свойству была присуща статистическая устойчивость .
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка
x1, х2, x3, … xn , (1)
Разность между наибольшим значением числовой выборки и ее наименьшим значением называют размахом выборки.
Наблюдавшиеся значения хi признака Х называются вариантами, а неубывающую последовательность вариант называют вариационным рядом.
Пусть при исследовании некоторой генеральной совокупности получена
числовая выборка объема n, причем значение х1
встретилось в выборке n1 раз,
значение х2 - n2 раз, ..., значение хk — nk раз.
Числа n1 , n2 , …, nk называют
частотами, а их отношения к объему выборки, т. е. отношения 
- относительными частотами
соответствующих значений x1, х2, x3, … хk выборки.
Очевидно, что сумма частот равна объему выборки, а сумма относительных частот
равна единице, т. е.
n1 + n2 + …+ nk =
n , 
(2)
Последовательность пар (х1 ; n1 ); (х2 ; n2 ); ( х3 ; n3 ); … (хk ; nk )
называют статистическим рядом. Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы:
|
х1 |
х2 |
х3 |
… |
xi |
… |
хk |
|
n1 |
n2 |
n3 |
… |
ni |
… |
nk |
(3)
Следующей таблицей задается так называемое выборочное распределение, в которой указываются все значения выборки и их соответствующие относительные частоты:
|
х1 |
х2 |
х3 |
… |
xi |
… |
хk |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
(4)
Графические изображения выборки. Полигон и гистограмма
Для наглядного представления о выборке часто используют различные графические изображения выборки. Простейшими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. Пусть выборка задана вариационным рядом: (х1 ; n1 ); (х2 ; n2 ); ( х3 ; n3 ); … (хk ; nk ) . Полигоном частот называют ломаную с вершинами в указанных точках.
Полигоном относительных частот называют ломаную с вершинами в точках
(х1 ; 
); (х2 ; 
); ( х3 ; 
); … (хk ; 
)
Ясно, что полигон относительных частот получается из полигона частот сжатием вдоль оси ординат в n раз, где n — объем выборки.
При большом объеме выборки более наглядное представление о ней дает гистограмма.
Чтобы построить гистограмму частот, промежуток от наименьшего значения выборки
до наибольшего ее значения разбивают на несколько частичных промежутков длины h.
Для каждого частичного промежутка вычисляют сумму si частот
значений выборки, попавших в этот промежуток. Значение xi выборки, совпавшее с правым концом промежутка,
относят к следующему промежутку (если xi — не наибольшее значение выборки). Затем на
каждом частичном промежутке, как на основании, строят прямоугольник с высотой 
. Объединение всех построенных таким
образом прямоугольников называют гистограммой частот. Итак, гистограммой
частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями
которых являются частичные промежутки длины h, а высотами —
отрезки длины , где si —
сумма частот значений выборки, попавших
в i-й промежуток.
Из определения гистограммы ясно, что ее площадь равна объему выборки.
При решении задач в зависимости от объема выборки в большинстве случаев целесообразно брать 10-20 частичных промежутков.
Аналогично определяют и строят гистограмму относительных частот.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которых являются частичные промежутки длины h, а
высотами — отрезки длины 
, где wi - суммы
относительных частот значении выборки, попавших в i-й
промежуток. Площадь гистограммы относительных частот, очевидно, равна единице.
Пусть имеется некоторая выборка объема n: x1, х2, x3, … xn . Выброчной средней называется среднее арифметическое значений выборки:
(5)
Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу (5) естественно записать в следующем виде:
(6)
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней.
(7)
Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу (7) можно записать так:
(8)
Формулы (7) и (8) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду:
(9)
т. е. выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений выборки без квадрата выборочной средней.
Исправленной выборочной дисперсией называется
(10)
где S0 — выборочная дисперсия, п — объем выборки. Отсюда, используя формулу (7),
(11)
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Составить для выборки 1, 10, -2, 1,0, 1, 10, 7, -2, 10, 10, 7
вариационный ряд и найти ее размах.
Решение: записав заданную выборку в виде неубывающей последовательности, получим вариационный ряд
-2,-2,0, 1, 1, 1,7,7, 10, 10, 10, 10.
Размах данной выборки равен 10 - (-2) =12.
Пример 2 Для выборки 3,8,-1,3, 0, 5,3,-1,3, 5 определить объем и размах. Записать выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найти выборочное распределение. Построить полигон частот.
Решение: Объем выборки n = 10, ее размах равен 8 - (-1) = 9. Записав значения выборки в виде неубывающей последовательности получим вариационный ряд
-1,-1,0, 3,3, 3,3, 5, 5, 8.
Статистический ряд можно записать в виде последовательности пар чисел - (-1;2), (0;1), (3;4), 5;2), (8;1) или в виде таблицы
|
-1 |
0 |
3 |
5 |
8 |
|
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
Для контроля находим сумму частот: 2+ 1 +4 + 2+ 1 = 10 и убеждаемся в том, что она равна объему выборки.
Вычислив относительные частоты, найдем выборочное распределение:
|
-1 |
0 |
3 |
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
Для контроля убеждаемся в том, что сумма относительных частот равна единице:
+
+
++
=1.
Полигон частот для заданной выборки имеет вид:
Пример 3. При измерении напряжения в электросети получена следующая выборка:
218, 221, 215, 225, 225, 217,
224, 220, 220, 219, 221, 219,
222, 227, 218, 220, 223, 230,
223, 216, 224, 227, 220, 222
(данные выражены в вольтах). Построить гистограмму частот, если число частичных промежутков равно 5.
Решение: наименьшее значение выборки равно 215, наибольшее — 230.
Находим длину частичных промежутков 
.
Подсчитываем с учетом кратности число значений выборки, попавших в каждый
промежуток.
Для первого промежутка
[215; 218) это число равно 3, для второго [218; 221) оно равно 8, для третьего
[221; 224) — 6, для четвертого [224; 227) — 5, для пятого [227; 230] — 2.
Следовательно, высоты прямоугольников (слева направо), образующих гистограмму,
равны 
По полученным данным строим гистограмму
Для контроля убеждаемся в том, что площадь гистограммы равна объему выборки:
Пример 4. На основании данных о средней заработной плате работников в области в тыс. руб., которые помещены в интервальный вариационный ряд в таблицу, построить гистограмму распределения частот зарплаты работников:
|
Заработная плата |
1-3 |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
11-13 |
|
Число Работников
|
12 |
23 |
37 |
19 |
15 |
9 |
Решение: при построении гистограммы по оси абсцисс откладываются значения изучаемого признака (границы интервалов), а по оси у – соответствующие частоты, в том случае, если интервалы одинаковой величины. Используя мастер диаграмм в MS Excel, получим гистограмму:
Гистограмма распределения частот зарплаты работников
Пример 3. Для выборки 4,5,3,2, 1,2,0,7,7,3
найти выборочную среднюю 
,
выборочную дисперсию S0, исправленную выборочную
дисперсию S.
Решение: объем выборки п = 10. По формуле (5) находим выборочную среднюю:
Чтобы найти выборочную дисперсию, воспользуемся формулой (9). Для этого вычислим среднее квадратов значений выборки:
Теперь по формуле (9) находим S0 = 16,6 -3,42= 5,04. Наконец, используя формулу (10), вычисляем исправленную выборочную дисперсию:
Пример 4. Для выборки 3,8-1,3,0,5,3,4,3,5
найти выборочную среднюю 
,
выборочную дисперсию S0, исправленную выборочную
дисперсию S.
Решение: статистический ряд для для данной выборки имеет вид
|
-1 |
0 |
3 |
5 |
8 |
|
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
Объем выборки п=10. Выборочную среднюю найдем по формуле (6):
Вычислим среднее квадратов значений выборки:
Согласно формуле (9) находим выборочную дисперсию:
S0 = 15,2-2,82= 7,36.
Для вычисления исправленной выборочной дисперсии воспользуемся формулой (10):
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Для выборки 1,1,2,-5,4,3,3,8,8,1 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
5 |
2 |
1 |
3 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот;
3. Для выборки, заданной вариационным рядом -5, -5, 2, 3,
5,10,15, 15, 20, 20, найдите выборочную среднюю 
; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S.
4. Произведено выборочное обследование коммерческих фирм по затратам на ре
кламу, результаты которого представлены в таблице:
|
Затраты на рекламу (усл. ден. ед.) |
Кол-во фирм |
|
40-60 |
4 |
|
60-80 |
3 |
|
80-100 |
5 |
|
100-120 |
6 |
|
120-140 |
2 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Вариант 2
1. Для выборки -3,1,2,4,3,4,4,1,2,1 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
-1 |
1 |
3 |
7 |
|
1 |
3 |
4 |
2 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот
3. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
-1 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
найдите выборочную среднюю 
; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S;
4. В результате выборочного обследования коммерческих банков о размере прибыли за год получено следующее распределение:
|
Размер прибыли (млн руб.) |
Число банков |
|
10- 20 20-30 30-40 40-50 50-60 |
5 10 20 15 10 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Вариант 3
1. Для выборки 4,8,8,-4,2, 3,2,7,2,2 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
0 |
3 |
7 |
9 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот
3. Для выборки, заданной вариационным рядом 2,
4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 10, 10, найдите выборочную среднюю 
; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S;
4. На заводе проведено выборочное обследование выработки деталей рабочими в день. По результатам наблюдений построили вариационный ряд.
|
Количество деталей |
48 |
52 |
56 |
60 |
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
|
Количество рабочих |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
30 |
18 |
8 |
7 |
5 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Вариант 4
1. Для выборки 3,4,5,6,7,2,-4,-2,3,6 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
5 |
6 |
8 |
10 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот;
3. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
найдите выборочную среднюю ; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S.
4. Выборочные данные декоративных изделий показали отклонения от стандартного размера, которые помещены в вариационный рад:
|
Отклонение |
10,2 |
10,4 |
10,6 |
10,8 |
11 |
11,2 |
11,4 |
11,6 |
11,8 |
12 |
|
Количество изделий |
2 |
3 |
8 |
13 |
15 |
20 |
12 |
10 |
6 |
1 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Контрольные вопросы
1. Что называют: а) генеральной совокупностью; б) выборочной совокупностью; в) объемом выборки?
2. Дайте определение вариационного ряда. Что называют размахом выборки?
3. Как для данной выборки получают статистический ряд и выборочное распределение?
4. Какие графические изображения выборок вы знаете?
5. Чему равна площадь гистограммы относительных частот?
6. Дайте определение выборочных характеристик: а) выборочной средней;
б) выборочной дисперсии;
7. Как связаны между собой выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия?
Раздел 2. Введение в линейную алгебру.
Тема 2.1. Векторы на плоскости и в пространстве.
Практическая работа № 6 -7
Тема: «Составление уравнений прямых и плоскостей. Определение взаимного расположения прямой и плоскости.»
Цель работы: научиться составлять различные уравнения прямых на плоскости,
определять их взаимное положение.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых
второго порядка на плоскости.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и
аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Общее уравнение прямой
Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат x и y
Ax+By+C=0, (1)
где A и B одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.
Верно и обратное утверждение: в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени вида (1). Уравнение (1) называется общим уравнением прямой. Частные случаи уравнения (1) приведены в следующей таблице.
|
Значение коэффициентов |
Уравнение прямой |
Положение прямой |
|
С=0 А=0 В=0 А=0, С=0 В=0, С=0 |
Ах+Ву=0 у=b, где b= -С / В x=a, где a= -C / A y=0 x=0 |
Проходит через начало координат Параллельна оси Ох Параллельна оси Оу Совпадает с осью Ох Совпадает с осью Оу |
Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой
Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол φ, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до её совпадения с данной прямой. Направление любой прямой характеризуется её угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона φ этой прямой к оси Ох, т.е. k=tg φ. Исключения составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающий ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде:
y=kx+b. (2)
Угловой коэффициент k прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0, находится как коэффициент k прямой, заданной двумя точками А(ха; уа) и В(хВ;уВ), вычисляется по формуле:
(3)
Уравнение прямой в отрезках
Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:
(4)
где а и b – абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, т.е. длины
отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с соответствующими знаками.
Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении
Уравнение прямой, проходящей через т.у А(ха; уа) и имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде
у – уа=k (x – xa). (5)
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение прямой, проходящей через две точки т. А (х1; у1) и т.В (х2; у2), имеет вид
(6)
Если точки А и В определяют прямую, параллельную оси Ох (у1 = у2) или оси Оу (х1 = х2), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде:
у = у1 или х = х1 (7)
Нормальное уравнение прямой
Пусть дана
прямая С, проходящая через данную точку Мо(Хо; Уо) и перпендикулярная вектору 
(А;В). Любой вектор 
, перпендикулярный данной прямой 
, называется ее нормальным вектором.
Выберем на прямой произвольную т. М(х;у). Тогда 
, а значит их скалярное произведение 
. Это равенство можно записать в
координатах
А( х-хо )+В( у-уо )=0 (8)
Уравнение (8) называется нормальным уравнением прямой.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Пусть прямая l задана начальной точкой М0 (х0; у0)
и направляющим вектором 
(а1;а2),.
Пусть т. М(х ; у) – любая точка, лежащая на прямой l . Тогда вектор 
коллинеарен вектору . Следовательно, 
=
. Записывая это уравнение в
координатах, получаем параметрическое уравнение прямой
(9)
Исключим параметр t из уравнения (9). Это возможно, так как
вектор 
, и потому хотя бы одна из его координат
отлична от нуля.
Пусть 
и 
, тогда 
, 
и, следовательно,
= 
.
(10)
Уравнение (10) называется каноническим уравнением прямой с направляющим вектором
=(а1; а2).
Если а1 =0 и , то уравнения (9) примут вид
.
Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси, Оу и проходящая через точку
М0 (х0; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид
х=х0 (11)
Если 
, 
, то
уравнения (9) примут вид
Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку
М0 (х0; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид
у=у0
(12)
Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух
прямых
Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями:
и 
Тогда угол φ между ними определяется по формуле:
(13)
Условие
параллельности 2-х прямых:
(14)
Условие
перпендикулярности 2-х
прямых: 
(15)
Условие
параллельности в этом случае
имеет вид: 
(17)
Условие
перпендикулярности
прямых: 
(18)
Если две прямые заданы каноническими уравнениями:
и 
то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:
(19)
Условие
параллельности прямых: 
(20)
Условие
перпендикулярности
прямых: 
(21)
Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки М(х1; у1) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле
(22)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Построить прямую 3х–2у+6=0.
Решение: Для построения прямой достаточно знать какие-либо две её точки, например, точки её пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью Ох можно получить, если в уравнении прямой принять у=0.Тогда имеем 3х+6=0, т.е. х=-2. Таким образом, А(–2;0).
Тогда В пересечения прямой с осью Оу имеет абсциссу х=0; следовательно, ордината точки В находится из уравнения –2у+6=0, т.е. у=3. Таким образом, В(0;3).
Пример 2. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуплоскости Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол φ =30˚.
Решение: Прямая пересекает ось Оу
в точке В (0;–2) и имеет угловой коэффициент k=tg φ= =
.
Полагая в уравнении (2) k=
и b =
–2, получим искомое уравнение
или 
.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (–1; 2) и
В (0;–3). (указание: угловой коэффициент прямой находится по формуле (3))
Решение: 
.Отсюда
имеем 
. Подставив в это уравнение координаты т.В,
получим: 
, т.е. начальная ордината b = –3 . Тогда получим уравнение 
.
Пример 4. Общее уравнение прямой 2х – 3у – 6 = 0 привести к уравнению в отрезках.
Решение:
запишем данное уравнение в виде 2х – 3у=6 и разделим обе его
части на свободный член: 
. Это и есть уравнение
данной прямой в отрезках.
Пример 5. Через точку А (1;2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
Решение: Пусть уравнение искомой прямой
имеет вид По условию а=b. Следовательно, уравнение принимает вид х + у = а.
Так как точка А (1; 2) принадлежит этой прямой, значит ее координаты
удовлетворяют уравнению х + у = а; т.е. 1 + 2 = а,
откуда а = 3. Итак, искомое уравнение записывается следующим образом:
х + у = 3, или х + у – 3 = 0.
Пример 6. Для прямой 
написать
уравнение в отрезках. Вычислить площадь треугольника, образованного этой прямой
и осями координат.
Решение: Преобразуем данное уравнение
следующим образом: 
, или 
.
В результате получим уравнение 
, которое и является уравнением данной
прямой в отрезках. Треугольник, образованный данной прямой и осями
координат, является прямоугольным треугольником с катетами, равными 4 и 3,
поэтому его площадь равна S= 
(кв. ед.)
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящий через точку (–2; 5) и образующей с осью Ох угол 45º.
Решение: Угловой коэффициент искомой прямой k= tg 45º = 1. Поэтому, воспользовавшись уравнением (5), получаем у – 5 = x – (–2), или х – у + 7 = 0.
Пример 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 5) и В(7; –2).
Решение: Воспользуемся уравнением (6):
,
или 
, откуда 7х + 10у – 29
= 0.
Пример 9. Проверить, лежат ли точки А(5; 2), В(3; 1) и С(–1; –1) на одной прямой.
Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С:
, или 
Подставляя в это уравнение координаты
точки В (хВ = 3 и уВ = 1),
получим (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), т.е. получаем верное равенство. Т. о.,
координаты точки В удовлетворяют уравнению прямой (АС), т.е. 
.
Пример 10: Составить уравнение прямой, проходящую через т. А(2;-3).
Перпендикулярную 
=(-1;5)
Решение: Пользуясь формулой (8), находим уравнение данной прямой -1(х-2)+5(у+3)=0,
или окончательно, х – 5 у - 17=0.
Пример 11: Даны точки М1 (2;-1) и М2(4;
5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно
вектору 
Решение:
Нормальный вектор искомой прямой 
имеет координаты (2;6),
следовательно по формуле (8) получим уравнение 2(х-2)+6(у+1)=0 или х+3у
+1=0.
Пример 12: Вычислить угол между прямыми 
и 
.
Решение: 
; 
.
Пример 13: Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение: а) 
;
б)
Пример 14: Вычислить угол между прямыми 
Решение: 
Пример 15: Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение: 
Пример 16: найти угол между прямыми 
и 
.
Решение: 
.
Пример 17: выяснить взаимное расположение прямых:
а)
и 
;
б) 
и 
.
Решение: а)
- прямые параллельны;
б)
- значит, прямые перпендикулярны.
Пример 18: Вычислить расстояние от точки М(6; 8) до
прямой 
Решение: по формуле
(22) получим: 
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Привести общее уравнение прямой 2x+3y-6=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей
через точку М0 (-2;4) и параллельной вектору 
(6;-1);
4. Вычислить угол между прямыми
а) 
и 
;
б) 
и 
;
5. Определить взаимное расположение 2-х прямых 2x – 5y – 20 = 0 и 5x + 2y – 10 = 0;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(1; 6) и т.В(9; 8).
Вариант 2
1. Привести общее уравнение прямой 3x-4y+12=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (4;2), точки В (1;5), точки
С (-2;6). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой,
проходящей через точку М0 (3;-4) и параллельной вектору 
(-7;5);
4. Вычислить угол между прямыми:
а) 2x - 3y + 7 =
0 и 3x - y + 5 = 0 ; б) 
и y = 2x – 4;
5.Определить взаимное
расположение 2-х прямых 
и 
;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(18;8) и т.В(-2; -6).
Вариант 3
1. Привести общее уравнение прямой 4x-5y+20=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (3;-2), точки В (7;3), точки
С (0;8). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0 (-1;-2) и
параллельной вектору 
(3;-5);
4. Вычислить угол между прямыми
а) 3x + y - 7 =
0 и x - y + 4 = 0; б) 
и
;
5. Определить
взаимное расположение 2-х прямых 
и y = 5x + 3;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(4;-3) и т.В(-6; 5).
Вариант 4
1. Привести общее уравнение прямой 12x-5y+60=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (0;-2), точки В (3;6), точки С (1;-4). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой,
проходящей через точку M0(4;4) и параллельной вектору (-2;7);
4.Вычислить угол между прямыми
а) x +4 y + 8 =
0 и 7x - 3y + 5 = 0; б) 
и
;
5. Определить
взаимное расположение 2-х прямых 
и 
;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(-4; 8) и т.В(0; 4).
Контрольные вопросы
1. Назовите уравнения прямой на плоскости, когда известны точка, через которую она проходит и ее направляющий вектор;
2. Какой вид имеет нормальное, общее уравнения прямой на плоскости;
3. Назовите уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом;
4. Перечислите формулы для вычисления угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
5. Как найти расстояние от точки до прямой?
Тема 2.2. Квадратные матрицы 2-го и 3-го порядков с действительными элементами.
Практическая работа № 8
Тема: «Вычисление определителей, ранга матриц.»
Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определители.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- выполнять операции над матрицами.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде
или сокращенно: 
, где 
(т.е. 
) – номер строки, 
(т.е.
) - номер столбца. Матрицу 
называют матрицей размера 
и пишут 
. Числа
,
составляющие матрицу, называются ее элементами.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем
же номером, называется матрицей транспонированной к данной и
обозначается 
.
Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух
матриц 
и 
называется
матрица 
такая, что
(
,
).Аналогично определяется разность
матриц.
Умножение вектора на число
Произведением матрицы 
на
число k называется матрица такая,
что 
(
,
).
Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится
только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы на матрицу 
называется
матрица 
такая, что
, где ,
т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
Тогда произведение 
не определено, так как число столбцов матрицы
А (их 3) не совпадает с числом строк матрицы В (их 2). При этом
определено произведение 
, которое считают
следующим образом:
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. 
3. 
2. 
4. 
Определитель матрицы
Квадратной матрице А порядка n можно
сопоставить число det А (или 
, или 
), называемое ее определителем,
следующим образом:
1. 
2. 
3. 
Свойства определителей
Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Свойство1. («Элементарные преобразования определителей»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Минором некоторого элемента определителя
n-го порядка называется определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный
элемент. Обозначается 
. Так если:
то 
Алгебраическим дополнением элемента определителя
называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма 
четное
число, и со
знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается 
.
Свойство 2. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»).
Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го порядка свойство 7 означает, что
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A≠0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.
Союзная и обратная матрицы
Матрицей союзной к матрице А называется матрица:
A*= 
,
где А
- алгебраическое дополнение элемента а данной матрицы А. Матрица А
называется обратной матрице
А, если выполняется условие А·А=А·А=Е,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Пусть А – невырожденная матрица
A=
, и
det
A≠0.
Составим союзную матрицу
A*=
Тогда A=
, т.е. A=
·
.
Отметим свойства обратной матрицы:
) =;=B·A;)
=(A).Пример по выполнению практической работы
Пример 1. 
Пример 2. 
Пример 3. 
.
Пример 4. Найти определитель
матрицы 
.
Решение: 
Пример 5. Вычислить определитель
Ответ: =4.
Пример 7. Найти А,
если 
Решение: 
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
Союзная матрица будет
следующей: 
. Вычислим обратную матрицу:
Проверкой 
убеждаемся, что обратная матрица найдена
верно.
Задания для практического занятия:
Даны матрицы А и В. Найти:
:
Вариант 1 Вариант 2
A=
; B =
;
A =
; B =
Вариант 3 Вариант 4
A =
; B =
;
A =
; B =
;
Контрольные вопросы
1. Что называется матрицей? Дать определения основных понятий матрицы;
2. Какая матрица называется квадратной? Единичной?
3. Какие операции можно производить над матрицами?
4. Что такое определитель матрицы? Перечислите его свойства;
5. Как вычислить минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы А?
7. Как найти союзную и обратную матрицы для матрицы А?
Практическая работа № 9
«Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Система линейных уравнений. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1)
где числа 
, называются коэффициентами системы,
числа 
- свободными членами.
Подлежат нахождению числа 
. Такую систему удобно
записывать в компактной матричной форме:
(2)
здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
вектор
- столбец из неизвестных 
вектор - столбец из свободных членов 
(3)
Расширенной матрицей
системы называется матрица 
, дополненная столбцом
членов
(4)
Решением
системы называется 
значений неизвестных 
, 
, 
, при подстановке которых все уравнения
системы обращаются в верные равенства.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система совместна, значит найти ее общее значение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Решение систем методом обратных матриц
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными:
(5)
или в матричной
форме 
. Основная матрица А такойсистемы квадратная.
Определитель этой матрицы:
называется
главным определителем системы. Если определитель системы
отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем
решение данной системы уравнений в случае 
. Умножив обе
части уравнения слева на матрицу 
,
получим 
Поскольку 
и 
, то
(6)
Отыскание решения системы по формуле (1) называют методом обратных матриц решения системы.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему уравнений методом обратных матриц:
Решение: 
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
Союзная матрица будет
следующей: .
Вычислим обратную матрицу:
Найдем решение системы по формуле (6):
.
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1)
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в) 
Вариант 2
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в) 
Вариант 3
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в)
Вариант 4
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в)
Контрольные вопросы
1. Укажите общий вид системы n линейных уравнений с n неизвестными;
2. Что значит решить систему уравнений? Дать определение общего и частного решений;
3. Опишите метод обратных матриц решения систем линейных уравнений.
Тема 2.3. Системы 2-х и 3-х линейных уравнений с действительными коэффициентами.
Практическая работа № 10
Решение систем линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Матричное равенство 
запишем в виде:
(7)
или
(8)
Отсюда следует,
что 
(9)
Но 
есть разложение определителя
по элементам первого
столбца. Определитель 
получается из определителя 
путем замены первого столбца коэффициентов
столбцом свободных членов. Итак, 
.
Аналогично 
, где 
получен
из путем замены второго столбца
коэффициентов столбцом свободных членов, 
Формулы
(10)
называются формулами Крамера.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему методом Крамера:
3x1
+ x2
– 2x3 =
6;
5x1 – 3x2 + 2x3 = -4;
4x1 – 2x2 – 3x3 = -2.
Находим главный определитель системы:
3 1 -2
∆ = 5 -3 2 = 3∙(-3) ∙ (-3) + 1∙ 2∙ 4 + 5∙(-2) ∙ (-2) – 4∙(-3) ∙ (-2) – 5∙ 1∙(-3) –
4 -2 -3 - (-2) ∙ 2∙ 3 =27 +8 +20 -24 + 15 + 12 = 58.
Так как главный определитель системы не равен нулю, то она совместна. Находим определители: ∆x1, ∆x2, ∆x3. Определитель ∆x1 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём первого столбца на столбец свободных членов.
6 1 -2
∆x1 = -4 -3 2 = 54 – 4 – 16 + 12 – 12 + 24 = 58.
-2 -2 -3
Т.к. ∆x1 отличен от нуля, значит решение системы единственное. Определитель ∆x2 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём второго столбца на столбец свободных членов.
3 6 -2
∆x2 = 5 -4 2 = 36 + 48 + 20 – 32 + 90 + 12 = 174.
4 -2 -3
Определитель ∆x3 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём третьего столбца на столбец свободных членов.
3 1 6
∆x3 = 5 -3 -4 = 18 – 16 – 60 + 72 + 10 – 24 = 0.
4 -2 -2
По формулам Крамера: x1 = = 
=1;
x2
= 
=
3 ;
=
= 0.
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 3; 0).
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б)
в) 
Вариант 2
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б) 
в) 
Вариант 3
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б)
в) 
Вариант 4
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б) 
в)
Контрольные вопросы
1. В каком случае система уравнений будет несовместной при решении методом Крамера;
2. Напишите общий вид формул Крамера;
3. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений.
Практическая работа № 11-12
Решение систем линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.
«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений
(11)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду:
(12)
где 
Коэффициенты 
называются
главными элементами системы. На втором этапе (обратный ход) идет
последовательно определении неизвестных из этой ступенчатой системы.
Замечание 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной,
т. е. 
, то
исходная система (11) имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим 
из
предпоследнего уравнения 
далее поднимаясь по
системе вверх, найдем все остальные неизвестные 
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему методом Гаусса:
Решение: в результате элементарных преобразований над расширенной матрицей
системы:
Исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение
системы: 
Если положить,
например, 
найдем одно из частных решений этой
системы 
Пример 2. Решить систему методом Гаусса:
Решение. Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
Полученная матрица соответствует системе
Осуществляя обратный
ход, находим 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б)
в) 
Вариант 2
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б) 
в)
Вариант 3
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б) 
в)
Вариант 4
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б) 
в)
Контрольные вопросы
1. В каком случае исходная система имеет единственное решение?;
2. С чем работают на практике для упрощения преобразований над системой?;
3. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Раздел 3. Введение в математический анализ.
Тема 3.1. Теория пределов.
Практическая работа № 13-14
Тема: «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»
Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хn¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), nÎN сходится к числу В.
В этом случае пишут: 
Короче, 
, если 
для
любой последовательности хn¹а, nÎN, сходящейся к а, т.е. xn®a при n®¥.
Свойства пределов сформулируем в виде теорем:
Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:
,
Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:
,
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
,
Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
,
Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.
1) Предел многочлена. Вычислить 
Решение:
Т.о. для вычисления предела
многочлена f (x) при x →а достаточно
вместо переменной x поставить значение а, к которому она
стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е. 
2) Предел
отношения двух многочленов, 
, где а– число.
а) Если g (а) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.
б) Если g (а) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если ƒ(а)
= A ≠ 0, то 
, если же ƒ(а)
= 0 – имеем неопределённость вида (0/0). В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов ƒ(x) и g(x) на множители.
Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х®+¥ и при х®-¥.
Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом
функции f(x) при х®+¥,
если 
для любой последовательности (xn)
такой, что 
. В этом случае пишут 
. Аналогично, 
,
если 
для любой последовательности (xn)
такой, что 
В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х®+¥ и при х®-¥. Например,
для функции 
, определенной для всех х ¹ 1, имеем:
,
.
Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как 
, так и 
.
Сформулируем определение бесконечного предела функции:
Если для любой
последовательности значений аргумента (xn) такой, что xn ¹ а имеет место 
, то
говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут 
.
3) Предел
отношения многочленов 
при x
→ ∞ .
4) Пределы
некоторых иррациональных функций. Для вычисления 
,
где ƒ (x)
≥ 0 и 
,
воспользуемся равенством 
, которое принимается
нами без доказательства. Например,
.
Так как 
,(пример 6) то теорему о пределе частного
применить нельзя. Имеем неопределённость вида (0/0). Умножая числитель и
знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим (пример7)
Данный пример демонстрирует технику раскрытия неопределенности вида (¥-¥).
Если 
, то функция f(x) называется бесконечно большой при х®а.
Если же 
, то функция f(x) называется бесконечно малой при х®а.
Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х®+¥,
х®-¥.
Заметим, что
имеет место следующее утверждение: если функция f(x) – бесконечно малая при х®а и f(x) ¹ 0
для х ¹ а из некоторой окрестности точки а, то функция 
-
бесконечно большая
при х®а. Верно и обратное утверждение: если функция f(x) – бесконечно большая при х®а, то функция 
- бесконечно малая при х®а.
5) Применение
замечательных пределов 
и 
Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов ( пример 8).
Здесь мы воспользовались известным пределом 
. (
пример 9)
Заменяя 
и учитывая, что y → ∞ при
x → ∞, можем написать ( пример 10)
.
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Пусть требуется вычислить 
Решение: f (x) = x3 – 2x – 3 и g (x) = x2 + 3x + 3. Так как g (3)
= 32 + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем: 
Пример 2. Вычислить 
.
Решение: здесь ƒ (2) = 22 - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 22 - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем
.
Пример 3. Вычислить 
.
Решение:
.
Пример 4. Вычислить
.
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение: 
.
Пример 6. Вычислить 
.
Пример7. Найти предел 
.
=
=
=
=0
Пример 8. Вычислить 
Решение: 
,
заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при
x → 0, получаем: 
.
Пример 9. Вычислить 
.
Решение:
Пример 10. Вычислить 
Решение: 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
;
в) 
; г)
Вариант 2
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в ) 
;
г) 
;
Вариант 3
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
;
б)
; в) 
;
г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б)
;
в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
;
б) 
; в) 
;
г) 
;
Вариант 4
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
;
б) 
; в) 
;
г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б)
;
в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
;
б) 
; в) 
;
г) 
;
Контрольные вопросы
1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?
2.Какие свойства пределов функций вы знаете?
3.Как раскрывать неопределенности?
4.Какие замечательные пределы вы знаете?
Практическая работа №15-16
Тема: «Вычисление односторонних пределов. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва»
Цель работы: научиться вычислять односторонние пределы, исследовать функций на
непрерывность, классифицировать точки разрыва.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Односторонние пределы
Вспомним определение предела функции в точке. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хn¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), nÎN, сходится к числу В.
В приведенном выше определении предела функции в точке аргумент х принимает значение хn из окрестности точки а, кроме х=а, как слева, так и справа от а.
Если при нахождении предела рассматривать значения х только слева от а, то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается
; 
или 
,
если рассматривать значения х только справа от точки а, такой предел называется правым или правосторонним и обозначается
; 
или 
,
Левый и правый пределы называются односторонними пределами, а
предел функции в точке иногда называется двусторонним. В случае, когда изучают
односторонние пределы в точке х=0 (т.е. при х®0), запись упрощают и пишут для левостороннего предела 
, а для правостороннего - 
.
Из определений
следует, что если у f(x) существует предел в точке а и 
, (1)
то односторонние
пределы и также
существуют и
, (2)
Верно и обратное утверждение: если имеет место (2), то имеет место и (1).
Таким образом, для установления существования предела функции f(x) в точке а достаточно проверить выполнение следующих трех условий:
а) существование левого предела;
б) существование правого предела;
в) совпадение односторонних пределов.
Непрерывность функции в точке
Функция f(x), х є (а; b) называется непрерывной в точке х0 є (а; b), если
предел функции f(x) в точке х0 существует и равен значению функции в этой точке:
Согласно данному определению непрерывность функции f в точке х0 означает выполнимость следующих условий:
1) функция f (х) должна быть определена в токе х0 ;
2) у функции f (х) должен существовать предел в точке х0
3) предел функции f (х) в точке х0 совпадает со значением функции в этой точке.
Например, функция f(x) =
х2 определена
на всей числовой прямой и 
Так как f(1)
= = 1, т.е. значение f(x) = х2 в точке х
= 1 совпадает с пределом при х → 1, то, согласно определению,
функция f(x) = х2 непрерывна в точке х
= 1.
Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Дадим другое определение непрерывности функции в точке.Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она в этой точке определена
и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции, т.е. 
Если функция 
непрерывна в точке , то точка называется
точкой непрерывности. В противном случае точка - называется точкой разрыва.
Если функция имеет в точке разрыв, то для определения характера
разрыва следует найти предел функции при 
слева и справа. В зависимости от
характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают 2 основных
вида разрыва:
1) разрыв I рода – в этом случае
существуют конечные пределы 
2) разрыв II рода – в этом
случае хотя бы один из пределов 
или 
не существует или бесконечен.
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Найти предел функции f(x) = |x| при x®0
Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как f(x)=-x для х, удовлетворяющих неравенству x<0, то
.
Так как f(x)=x, при x>0
.
Таким образом, f(+0)=f(-0)=0. Так как односторонние пределы в точке нуль совпали, то предел функции f(x) в точке нуль существует и равен их общему значению, т.е.:
.
Пример 2. Доказать, что функция 
не имеет предела в
точке х=1.
Данная функция определена на всей числовой прямой. Вычислим односторонние пределы этой функции в точке х=1:
,
.
Итак, f(1-0)¹f(1+0). Следовательно, данная функция не имеет предела в точке х=1.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию 
в
точке 
.
Решение: воспользуемся определением 1:
1) Т.к. определена
на всей числовой прямой, то условие 1) выполнено;
2) 
; 
;
значит предел функции в точке существует
и 
.
3) 
;
Отсюда имеем, что 
, т.е. предел функции
при 
равен значению
функции при 
.
Следовательно, функция 
в точке х=3
непрерывна.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию 
в
точке 
.
Решение: опять воспользуемся определением 1:
1) в точке 
функция не определена, значит
нет выполнения первого условия, и непрерывности в точке нет.
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию 
Решение: функция 
определена на всей
числовой оси. В таких случаях удобно для исследования на непрерывность
пользоваться вторым определением.
Дадим аргументу 
приращение 
и
найдем приращение функции 
:
Найдем предел при 
:
Т.к. равенство справедливо при любом
конечном значении , поэтому функция 
непрерывна при любом значении .
Пример 6. Найти точки разрыва функций и определить их характер: а) 
; б) 
.
Решение: а) т.к. в
точке функция не определена, значит ее точкой разрыва
будет точка . Для
определения характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при
: 
; 
. Значит, функция в
точке имеет разрыв II рода.
б) Функция имеет единственную точку
разрыва 
, в которой функция не определена.
Вычислим односторонние пределы функции при 
: 
; 
.
Т.к. левый и правый пределы функции в точке 
конечны,
то точка - точка разрыва I рода.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 2x2 + 8x в точке x0 = -1; б) y = sin x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 2
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. , если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = -2x2 + 5x в точке x0 = 2: б) y = x3 на (-∞;+∞)
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 3
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = x2 + 7x в точке x0 = 3; б) y =sin 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 4
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. 
функции f(x) , заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 4x2 – 3x + 1 в точке x0 = 2; б) y = cos 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер
а) 
; б)
Контрольные вопросы
1. Дайте определение односторонних пределов функции;
2. Сформулируйте условие существования предела функции в точке;
3. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?
4. Какие три условия необходимо проверить при исследовании функции на непрерывность?
5. Что такое точка непрерывности и точка разрыва?
6 . Как определить характер точки разрыва?
Тема 3.2. Понятие бесконечно малой величины.
Практических работ- нет
Тема 3.3. Дифференциал и его геометрический смысл.
Практическая работа № 17
«Дифференцирование сложной функции»
Цель работы: научиться дифференцировать.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Понятие производной функции
Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Производной функции ƒ (x) в точке x0 называется отношение приращения функции ∆ƒ (x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x0).
(1)
Производную функции y
= ƒ (x), x є ( a;b
) в точке x
обозначают ƒ’(x), y’(x),
, 
, причём все эти
обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется дифференцированием
функции. Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой
в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке
интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале;
при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a ;b).
Таблица производных элементарных функций
Правила дифференцирования
На практике применяют следующие правила дифференцирования
1. 
2.
,
3. 
, 
;
4. 
,
где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.
Теорема. Пусть дана сложная функция 
, где 
. Если
функция дифференцируема в некоторой точке х0,
а функция определена на множестве значений функции 
и дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
в данной точке х0
имеет производную, которая находится по формуле
или 
Пример по выполнению практической работы
,
если 
.Решение:
, если 
Решение:
Пример 3. Вычислить ,
если 
Решение:
1) 
;
2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
;
5); 
6) 
;
2. Вычислить 
, если 
;
3. Вычислить 
, если 
.
Вариант 2
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
5) 
; 6) 
;
2. Вычислить 
, если 
;
3. Найти 
, если 
.
Вариант 3
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
2. Вычислить 
), если 
;
3. Найти , если
.
Вариант 4
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
; 2) 
; 3)
;
4) 
5) 
; 6) 
;
2. Вычислить 
, если 
;
3. Найти 
, если 
.
Контрольные вопросы
1. Что называется производной функции в точке?
2. Что такое дифференцирование?
3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
4. Перечислите табличные производные.
5. Какие правила дифференцирования вы знаете?
Практическая работа № 18
«Физические и геометрические приложения производной»
Цель работы: научиться применять физический и геометрический смысл
производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Геометрическое приложение производной
Производная функции y = y (x) при данном значении аргумента x = x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой x0. (См. рис.):
y' (x0) = tg α .
(1)
Уравнение касательной к графику
функции y = y (x) в точке
М0 (x0 ; y0) имеет вид
y - y0 = y’(x0) (x - x0) . (2)
Если y (x) имеет при x = x0 бесконечную производную, то уравнение касательной таково:
x = x0. (3)
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания М0 (x0 ; y0) перпендикулярно касательной, записывается в виде:
(4)
Физическое приложение производной
Производная 
от
функции y = y (x), вычисленная при значении аргумента x
= x0,
представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой
переменной x в точке x = x0.
В частности, если зависимость между пройденным путём s и
временем t при прямолинейном движении выражается формулой s
= s (t), то скорость движения в любой момент времени
t есть 
, а ускорение (т.е.
скорость изменения скорости движения) есть:
.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе y = 2x2 - 6x + 3 в точке
М0 (1 ; -1).
Решение. Найдём производную функции y = 2x2 - 6x + 3 при x = 1. Имеем y’ = 4x - 6, откуда y’ (1) = -2.
Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое уравнение касательной :
y - (-1) = -2 (x - 1), или 2x + y - 1 = 0.
Уравнение нормали получим, используя уравнение (4) :
,
или x - 2y - 3 = 0.
Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой
x = t2 - 1,
y = t2 + t - 3
в точке М (3 ; -1).
Решение. Определим прежде всего значение t, соответствующее точке М (3 ; -1). Это значение должно одновременно удовлетворять уравнениям:
t2 - 1 = 3 и t2 + t - 3 = -1,
т.е.
t2 = 4 и t2 + t - 2 = 0.
Корни первого уравнения t1 = -2 и t2 = 2 ; корни второго уравнения t1 = -2 и t2 = 1. Таким образом, точке М соответствует значение t = -2.
Угловой
коэффициент касательной к кривой в точке М равен значению производной
в этой точке :
Следовательно, искомое уравнение касательной имеет вид
, или 3x -
4y - 13 = 0.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону 
(s выражается в метрах, t -
в секундах). Найти скорость и ускорение через 1 сек после начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:
Отсюда v (1) = 4 (м/с).
Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени :
и, следовательно, а (1) = 6 (м/с2).
Задания для практического занятия:
Вариант 1.
1. Найти угол наклона
касательной, проведённой к кривой y = sin x в точке
.
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = sin 3x в точке (
; 0 )
.
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = 2(x – 9)2 + 12, в которой касательная
параллельна OX.
4. На параболе 
найдите точку, в которой касательная
параллельна прямой
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 5t + 1. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 5c.
Вариант 2.
1. Найти угол наклона
касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке 
.
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = cos 3x в точке (
;0).
3. Найти абсциссу
точки графика функции ƒ(x) = 
(x
– 6)2 - 12, в
которой касательная
параллельна OX.
4. В какой точке
касательная к параболе 
перпендикулярна прямой 
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 4t - 5. Найти мгновенную скорость и
ускорение точки в момент времени t = 2c.
Вариант 3.
1. Найти угол наклона касательной, проведённой к
кривой y = tg x в точке
.
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке ( ;
).
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = ln 3x - x, в которой касательная параллельна
OX.
4. Вычислите острые
углы, образуемые при пересечении параболы 
с
прямой
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t2 + 3t + 2. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 3c.
Вариант 4
1. Найти угол наклона
касательной, проведённой к кривой y = ctgx в
точке .
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = cos 2x в точке (
; ).
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =6(x – 1)2 + 5, в которой касательная
параллельна OX.
4. Вычислите острые
углы, образуемые при пересечении парабол 
и .
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 + 8t + 10. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 1c.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается геометрическое приложение производной?
2. В чем заключается физическое приложение производной?
Тема 3.4. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Практическая работа 19-20
Тема: «Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных»
Цель работы: научиться вычислять пределы, частные производные и дифференциалы функций нескольких действительных переменных.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Функции нескольких действительных переменных
Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z. Функции двух переменных обозначают символами z=f(x, у), z = F(x,y), z = z(x, у) и т. п. Значение функции z=f(x, у) при х = а и у = b обозначают через f(a, b). Упорядоченная пара значений х и у называется точкой М(х; у), а функция двух переменных — функцией этой точки z=f(M). Переменная величина u называется функцией трех переменных величин х, у, z, если каждой упорядоченной тройке значений х, у, z соответствует единственное значение u. Аналогично определяется функция n переменных.
Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения (существования) функции. Некоторую замкнутую область D на плоскости, ограниченную данными линиями, можно задать с помощью одной или нескольких систем неравенств вида
(1)
Число А называется пределом функции z=z(x,y)=z(P) в
точке 
(;),если для любого числа 
>0 существует такое число б>0,
что для всех точек P(x;y), лежащих внутри круга с центром в точке P0 и радиусом б (кроме,быть может,самой
точки P0), выполняется неравенство 
.
Коротко это записывается так же:
или 
(2)
Отметим, что этот предел не должен зависеть от способа приближения точки P к точке P0, т.е. точка P стремится к точке P0 по любой траектории.
Для функции двух переменных имеют место теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного, аналогичные соответствующим теоремам для функции одного аргумента.
Функция z=z(x,y)=z(P) называется непрерывной в точке P0(x0;y0)
если 
т.е. если предельное значение функции в точке равно ее частному значению в этой точке.
Функция, непрерывная в каждой точке какой-либо области, называется непрерывной в этой области.
Точка P0 называется точкой разрыва функции z=z(P), если эта функция определена в некоторой окрестности точки P0 и в ней непрерывность функции нарушается.
Функция z=z(P) может иметь разрывы не только в изолированных точках, но так же и на множестве точке, например на линиях разрыва.
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций двух аргументов в некоторой точке так же являются непрерывными функциями в этой точке. Аналогично определяются понятия предела и непрерывности для функций трех и большего числа переменных.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти область определения функции 
Решение: Данная функция определена,
если 
, т.е. 
.
Этому соотношению удовлетворяют координаты всех точек плоскости,
которые находятся внутри круга радиуса R = 3 с центром в начале координат, а также на его границе.
Областью определения данной функции и является указанный круг.
Пример 2. Найти область определения функции 
Решение: Первое слагаемое определено при x ≥ 0, второе - при у > 0. Следовательно, область определения есть I-ая четверть плоскости хОу.
Пример 3. Дана функция 
Вычислить 
.
Решение:
Пример 4. Найти пределы: 1) 
2) 
Решение. 1) Так как 
то 
.
2) Здесь требуется вычислить предел при условии 
,
т.е. при условии 
. Находим:
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1) Найти область определения функции 
2) Вычислить значение функции f(1;2), если 
Вариант 2
1) Найти область определения функции 
;
2) Вычислить значение функции f(-2;3), если 
Вариант 3
1) Найти область определения функции
;
2) Вычислить значение функции f(5;-3), если 
;
Вариант 4
1) Найти область определения функции 
;
2) Вычислить значение функции f(-2;6), если 
Контрольные вопросы
1.Дать определение функции двух действительных переменных;
2. Что представляет собой область определения функции двух действительных переменных?
3.Дать определение предела функции двух действительных переменных.
Практическая работа №21
Тема: «Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных»
Цель работы: научиться вычислять пределы, частные производные и дифференциалы функций нескольких действительных переменных.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Частные производные и полный дифференциал
Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется производная этой функции при постоянном
значении переменной у; она обозначается 
или z'x.
Частной производной функции z=f(x, у) по
переменной у называется
производная по у при постоянном значении переменной х; она
обозначается 
или z'y.
Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.
Полным дифференциалом функции z=f(x, у) в некоторой точке М(х,у) называется выражение
(3)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1.Найти частные производные функций:
Решение: 1) Находим частную производную по переменной х при
постоянном у: 
Находим частную производную по переменной у при постоянном х:
Пример 2. Вычислить значение частной производной функции 
в точке М(-2; 3).
Решение: Находим
В полученные выражения подставим значения х= -2 и у = 3:
Пример 3. Вычислить полный дифференциал функции 
в
точке (1; -1)
Решение: Находим частные производные:
Тогда с учетом формулы (3) имеем: 
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1) Вычислить предел: 
;
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
; б) 
Вариант 2
1) Вычислить предел: 
;
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
; б) 
.
Вариант 3
1) Вычислить предел: 
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
б) 
;
Вариант 4
1) Вычислить предел: 
;
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
; б) 
Контрольные вопросы
1.Дать определение предела функции двух действительных переменных;
2. Какая функция двух действительных переменных называется непрерывной в точке?
3. Дать определение частных производных и полного
дифференциала функции двух действительных переменных
Тема 3.5. Первообразная и интеграл.
Практическая работа № 22
«Вычисление неопределенных интегралов»
Цель работы: научиться вычислять неопределенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке 
, если в любой точке
этого промежутка ее производная равна f(x):
(1)
Совокупность всех первообразных функций F(x) + c для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается
,
(2)
где 
называется подынтегральным
выражением, х – переменной интегрирования, а С -произвольной постоянной
интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)
1.
+С;
2. 
+С; 
3. 
+С;
4. 
+С;
5. 
+С; 6.
+С;
7. 
+С;
8. 
+С;
9. 
+С; 10.
11. 
12. 
13. 
14. 
+С;
15. 
+С; 16. 
+С;
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:
4.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:
, 
.
Метод непосредственного интегрирования
Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.
Интегрирование способом подстановки
Сущность интегрирования методом подстановки заключается в
преобразовании интеграла 
в интеграл 
, который легко вычисляется по какой-либо
из основных формул интегрирования. Для нахождения заменяем
переменную х новой переменной u с помощью подстановки 
. Дифференцируя это равенство, получаем 
.
Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения , выраженные через u du , имеем:
(3)
После того, как
интеграл относительно новой переменной и будет найден, с помощью
подстановки 
он приводится к переменной х.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции 
и 
имеют непрерывные производные на
некотором промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:
.
Так как по условию функции 
и 
непрерывны, можно проинтегрировать обе
части этого равенства,
,
или
но
,
следовательно
(4)
В правой части
формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она фактически
присутствует в интеграле 
. Формула (4)
называется формулой интегрирования по частям.
Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его
названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное
выражение 
представляется в виде произведения
множителей 
и 
; при
этом 
обязательно входят в . В результате получается, что заданный
интеграл находят по частям: сначала находят 
, а
затем . Естественно, что этот метод применим
лишь в случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста,
чем нахождение заданного интеграла.
При вычислении интегралов методом
интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального
выражения на множители и . Общих
установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов,
вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.
1. В интегралах вида:
, 
, 
,
где Р(х) – многочлен
относительно х, а – некоторое число, полагают 
, а все
остальные сомножители за .
2. В интегралах вида:
, , 
,
,
полагают 
,
а остальные сомножители за .
3. В интегралах вида:
, 
, где
a и b числа,
за можно принять
любую из функций 
или sin bx (или cos bx).
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить: 1) 
; 2) 
Решение:
1) 
;
2) 
Пример 2. Вычислить 1)
; 2)
3) 
4) 
;
5) 
;
Решение:
1) Положим 1+x
= z. Продифференцируем
это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz. Заменим в интеграле: 
.
2) Сделав замену : 
, получим 
Тогда:
3) Положим 
где 
;
4) Пусть 
, тогда 
.
Поэтому
5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:
.
Поэтому, имеем 
;
Пример 3. Вычислить 1) 
;
2) 
;
Решение:
1) положим 
, 
;
тогда 
, 
, т.е.
. Используя формулу (4), получим 
.
2) ; положим u=lnx,
dv=xdx; тогда 
; 
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б)
в) 
г)
;
д) 
; е) 
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б)
;
в)
; г) 
;
д) 
е) 
;
ж) 
; з) 
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
б) 
Вариант 2
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б)
; в)
;
г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з);
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
; б)
Вариант 3
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
; в)
г)
; д)
; е) 
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б)
; в)
; г) 
;
д)
; е) 
;
ж) 
; з) 
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
; б) 
;
Вариант 4
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
;
в) 
;
59
г)
; д)
; е) 
.
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
;
д) 
; е) 
;
ж) 
; з) ;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
; б) 
.
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется первообразной для функции
?
2. Что называется неопределенным интегралом
функции на некотором промежутке?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Перечислите основные табличные интегралы.
5. Какие методы интегрирования вы знаете?
Практическая работа № 23
«Вычисление определенных интегралов»
Цель работы: научиться вычислять определенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Определённый интеграл
Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций F (x) + C функции f (x) при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом от a до b функции f (x):
(1)
Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования. Формула (1) называется формулой Ньютона - Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
Если интегрируемая на отрезке [a;b]
функция f (x) неотрицательна, то определённый интеграл 
численно равен площади S
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью
абсцисс и прямыми x = a и x = b :
Свойства определённого интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен
алгебраической сумме их интегралов, т.е.
3. Если a<c<b, то 
;
4. Если функция f (x) неотрицательная на отрезке [a;b], где a<b, то 
;
5. Если f (x)≥ g (x) для всех x 
[a;b], где a<b, то 
6. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a;b], где
a<b,
то 
7. (Теорема о среднем). Если функция f
(x) непрерывна
на отрезке [a;b], то существует точка 
такая, что 
Методы вычисления определенного интеграла
Непосредственное интегрирование предполагает использование основных свойств определенного интеграла и формулы Ньютона – Лейбница.
Метод подстановки сводит
определенный интеграл с помощью
подстановки 
к определенному интегралу относительно новой
переменной и. При этом старые пределы интегрирования а и b
заменяются соответственно новыми пределами интегрирования 
и 
,
которые находятся из исходной подстановки: 
.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле производится по формуле
,
где полагается, что функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке 
.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1: Вычислить 
.
Решение:
Пример 2: Вычислить 
Решение: 
Пример 3. Вычислить 
:
Решение: 
Пример 4. Вычислить 
Решение:
Пример 5. Вычислить 
.
Решение: Положим 
. Тогда 
. Если 
, если
. Поэтому
Пример 6. Вычислить 
.
Решение: Положим 
. Отсюда, учитывая
формулу интегрирования по частям, получим:
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
; 2) 
;
3) 
;
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
; 2) 
Вариант 2
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
2) 
;
3) 
;
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2) 
; 3)
;
4) 
5) 
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
2)
Вариант 3
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2)
; 3) 
;
4) 
5)
;
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
2)
Вариант 4
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
; 2) 
;
3) 
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2) 
; 3)
;
4) 
5) 
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
2) 
Контрольные вопросы
1. Что называется определенным интегралом, и в чем его геометрический смысл?
2. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.
3. Перечислите свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
5. В чем заключается метод замены переменной интегрирования?
Практическая работа № 24
«Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения»
Цель работы: научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел
вращения.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Вычисление площади плоской фигуры
При вычислении площадей плоских фигур с применением определенного интеграла мы рассмотрим следующие случаи:
1. Фигура ограничена непрерывной и
неотрицательной на отрезке 
функции f(x),
осью ОХ и прямыми 
и 
. В этом случае согласно геометрическому
смыслу определенного интеграла площадь S фигуры численно равна 
, т.е.
S= 
(1)
2.
Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке 
функции f (x), осью ОХ и прямыми и
Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси ОХ, а следовательно, их площади S1 и S равны.
Но
Поэтому
(2)
3.
Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а , х
= b и графиком функции f (x), которая
непрерывна на отрезке и
меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае
разбивают отрезок на такие частичные отрезки, на
которых функция f (x) знакопостоянна на соответствующих
отрезках. В нашем примере имеется три таких отрезка:
:
Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции f (x) на соответствующих отрезках. Так, например, площадь фигуры, представленной на рисунке , вычисляется по формуле
4.
Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке 
функций
f(x) и g(x) и прямыми х = а , х = b,где 
и 
(рис. 52) В этом случае искомая площадь S
вычисляется по формуле:
(3)
5.
Фигура ограничена графиками трех и более непрерывных на отрезке функций. В этом случае стараются искомую
площадь представить в виде алгебраической суммы площадей, вычисление каждой из
которых сводиться к одному из предыдущих четырех случаев. Так, например,
площадь фигуры, изображенной на рисунке
вычисляется по формуле 
Вычисление объема тела вращения
Объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,
ограниченной кривой 
, осью ОХ и
прямыми х=а и х=b, вычисляется по формуле:
(4)
Аналогично, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОУ
криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
,
осью ОХ и прямыми х=с и х=d,
вычисляется по формуле
(5)
Вычисление длины плоской дуги
Пусть плоская крива АВ задана уравнением , причем 
-
непрерывные функции при 
. Тогда дифференциал
дуги АВ выражается формулой
, (6)
Длина дуги АВ вычисляется по формуле:
, (7)
где а и b - значения независимой переменной х в точках А и В.
Вычисление площади поверхности фигуры вращения с помощью определенного интеграла
При вращении дуги АВ плоской кривой y=f(x) вокруг оси Ох образуется поверхность вращения, площадь которой вычисляется по формуле:
(8)
где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В.
Аналогичным образом, при вращении дуги АВ вокруг оси Оу имеем 
, откуда
(9)
где с и d—значения независимой переменной у в точках А и В.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение: построим графики функций. Применив формулу (1), найдем площадь фигуры
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = –х2 – 1, у = 0, х = –1. х = 2.
Решение. Построим графики заданных функций:
По формуле (2) находим
Пример 3. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = sin x, y = 0, x = -
/2, x = .
Решение: очевидно, что 
для всех 
и 
для
всех 
.
Поэтому:
Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Из рисунка видно, что искомая площадь 
или
Пример 5. Вычислить объем фигуры, образованной
вращением площади, ограниченной линиями 
, y=0 и х=4 вокруг оси Ох.
Решение: выполним построение плоской фигуры. При вращении этой фигуры вокруг оси ОХ получим параболоид. Пределы интегрирования а=0 и b=4. По формуле (4) получим
(куб. ед.)
Пример 6. Вычислить объем фигуры, образованной вращением площади,
ограниченной линиями 
и у=0 вокруг
оси Ох.
Решение: Выполним построение плоской фигуры. В силу
симметрии фигуры относительно оси Оу возьмем пределы интегрирования от 0
до 3, а затем полученный результат удвоим. По формуле (4) находим
Пример 7. Найти длину окружности 
.
Решение: дифференцируя уравнение окружности, имеем 
. По формуле (7) вычислим длину четверти
окружности, взяв пределы интегрирования от 0 до r,
тогда получим:
Тогда длина всей окружности равна 
.
Пример 8. Найти длину дуги параболы 
, заключенную между
точками О(0; 0) и 
.
Решение: Дифференцируя уравнение параболы, получим 
.подставим полученный результат в формулу
(7),получим:
Пример 9. Найти площадь поверхности шара,
образованного вращением окружности 
вокруг оси Ох.
Решение: дифференцируя уравнение окружности , получим
, 
. Найдем дифференциал дуги:
Подставив значение дифференциала dl в формулу (1) и взяв пределы интегрирования от –r до r, получим
.
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги
окружности 
,заключенной между точками 
Решение: дифференцируя уравнение окружности по х, получим:
.
Тогда:
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
;
в)
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
; б) 
;
3. Найти длину дуги параболы 
между точками ее пересечения с осью ОХ
4. Найти площадь поверхности шарового пояса,
образованного вращением вокруг оси ОХ дуги окружности 
,
заключенной между точками А
Вариант 2
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, , , ; б) 
, 
в)
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
; б) 
;
3. Найти длину дуги параболы 
между
точками О(0; 0) и А
;
4. Найти площадь поверхности шарового пояса,
образованного вращением вокруг оси ОХ дуги окружности 
,
заключенной между точками А
Вариант 3
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
, ;
б) 
в) 
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
; б) 
3. Найти длину дуги полукубической параболы
между точками О(0; 0) и А
;
4. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением
вокруг оси ОХ дуги окружности 
, заключенной между
точками А
Вариант 4
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, , 
, ; б) 
, 
;
в)
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
; б) 
;
3. Найти длину дуги полукубической параболы
между точками О(0; 0) и А
;
4. Найти площадь поверхности вращения,
образованной вращением вокруг оси ОХ дуги параболы
,
заключенной между точками 
Контрольные вопросы
1. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
2. Перечислите все пять случаев применения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
3. Как найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ, ОУ?
4. Назовите формулы для вычисления длины плоской дуги;
5. Как вычислить площадь поверхности вращения с помощью определенного интеграла?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie31.doc
1. Множества. Операции над множествами.
1.1. Множество. Способы задания множеств.
Дискретная математика изучает в основном конечные множества и операции на них.
В 1872 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, дал следующие определения для множества:
Множество – это объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью.
Множество – это определенная совокупность объектов. Эти объекты называются элементами множества.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, X, Y, A1, A2, …, элементы множеств – строчными буквами: a, b, x, y, a1, a2, … .
Числовые множества:
N - множество всех натуральных чисел;
N0 - множество неотрицательных целых чисел
Z -множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
I - множество иррациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
C - множество комплексных чисел;
Символ Î обозначает принадлежность.
Запись 
означает, что элемент x принадлежит множеству A.
Если элемент x не принадлежит множеству A, то пишут 
.
Множества бывают:
1) конечные; частный случай – единичное (одноэлементное) множество, например, множество преподавателей в этой аудитории, или множество десятичных цифр;
2) бесконечные; пример – множество натуральных чисел;
3) пустое (Ø).
Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента.
Способы задания (описания) множеств:
1) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1, a2, …, an, т.е. записывается в виде: A={a1, a2, …, an}. При задании множества перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурных скобках и разделяют запятыми.
Перечислением можно задавать только конечные множества.
2) Множество A определяется как
совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T, которые обладают общим свойством P(x). В этом случае используется обозначение 
, т.е. элементы множества задается характеристическим
предикатом (условием).
Характеристическим предикатом можно задать как конечные, так и бесконечные множества.
3) Множество A можно задать порождающей
процедурой (рекурсивное задание, задание алгоритмом). Используется
обозначение 
.
Порождающая процедура – это процедура, которая в процессе работы порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определенного множества.
Пример 1.1. 
–
множество натуральных чисел от 1 до 4. Множество задано перечислением
всех своих элементов. Причем, элемент 3ÎA, а 5ÏA.
Пример 1.2. M={C, C++, Java, C#} – множество языков программирования, имеющих С-подобный синтексис. Задано перечислением.
Пример 1.3. Множество A
из примера 1.1. можно задать характеристическим предикатом 
.
Пример 1.4. Зададим рекурсивно множество X алгоритмом:
1) 3ÎX;
2) если xÎX, то элемент 
и (1-x) принадлежат X;
3) других элементов в X нет.
Заметим, что это множество – конечное, и его можно было задать выписыванием его элементов
.
Частным случаем рекурсивного задания множества является способ задания, основанный на процедуре, называемой математической индукцией. Рассмотрим его на примере задания множества натуральных чисел.
Пример 1.5. Множество N задается следующими правилами:
1) задается базис индукции (исходный элемент):
1ÎN;
2) указывается индуктивный переход:
если nÎN, то (n+1)ÎN;
3) устанавливается правило замыкания:
других элементов, кроме построенных правилами 1 и 2, в N нет.
,
Задача: Определить различными способами множество М2n-1 всех нечетных чисел, не превышающих 10.
1.2. Подмножество. Равенство множеств.
Универсум. Булеан.
Определение 1.1. Множество A называется подмножеством множества B (обозначается AÍB), если каждый элемент A есть элемент B, т.е. если xÎA, то xÎB.
Символ Í обозначает отношение включение между множествами.
Пример 1.6. Пусть 
и 
. Тогда BÍA.
Но 
.
В частности, каждое множество есть подмножество самого себя, т.е. AÍA.
Определение 1.2. Пусть A и B – некоторые множества. Говорят, что A равно B, и пишут A=B, если для любого x имеем: xÎA тогда и только тогда, когда xÎB.
Иначе говоря, A=B тогда и только тогда, когда AÍB и BÍA.
Если AÍB и A¹B, то это записывается AÌB, и говорят, что A есть собственное подмножество B. Пустое множество есть подмножество любого данного множества A, т.е. ÆÌA.
Таким образом, доказательство равенства двух множеств A и B состоит из двух этапов:
1) Доказать, что A есть подмножество B.
2) Доказать, что B есть подмножество A.
Определение 1.3. Универсальное множество U (или универсум) есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
В теории чисел универсальное множество обычно совпадает с множеством всех целых или натуральных чисел. В математическом анализе универсальное множество может быть множество всех действительных чисел или множество всех точек n-мерного пространства.
Следует отметить, что универсальное множество U, хотя, и названо универсальным, однозначно не определено, если точно не указана область рассмотрения (предметная область). Конечно, любое множество, содержащее U, может быть использовано как универсальное множество.
По определению, каждое множество есть подмножество универсального множества.
Пример 1.7. Так, для множества 
за универсум можно взять множество
натуральных чисел, т.е. U=N.
Определение 1.4. Булеаном множества A (обозначается P(A)) называется множество, состоящее из всех подмножеств множества A.
Пример 1.8. Пусть 
.
Следовательно, булеан множества A есть
множество P(A)=
.
Множество A из примера 1.8. содержит три элемента, а булеан P(A) состоит из 23=8 элементов. В общем случае, если множество A содержит n элементов, множество P(A) включает 2n элементов, т.к. A имеет 2n подмножеств.
По этой причине P(A) часто обозначают через 2A.
1.3. Операции над множествами.
Множество часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера [Л. Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик, механик и физик].
Например, задание множеств M1={a,
b, c, d} и M2={a, c, e, f} приведено на рисунке, где замкнутые линия,
называемые кругами Эйлера, ограничивают элементы одного множества.
В дальнейшем графическое изображение множеств было плодотворно исследовано Дж. Венном (1834-1923), создавшим диаграммную теорию изучения множеств различной природы.
Диаграммы, задающие множества, принято называть диаграммы Эйлера-Венна.
Если имеются некоторые множества, то из них можно получать новые с помощью определенных операций. Для наглядного изображения операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера-Венна.
Определение 1.5. Объединением множеств A и B называется множество, (которое обозначается AÈВ) состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Пример 1.9. Пусть 
, 
.
Тогда 
.
Определение 1.6. Пересечением множеств А и В называется множество, (которое обозначается АÇВ) которое состоит из общих элементов этих множеств.
Пример 1.10. Пусть 
, 
. Тогда 
.
Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество, (которое обозначается А\В) всех тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат В.
Определение 1.8. Симметрическая разность множеств А и В (обозначается А∆В) есть множество (А\В)È(В\А).
Пример 1.11. Пусть 
, 
.
Тогда 
, 
,
.
Определение 1.9. Дополнением множества А (обозначается 
) – это
множество элементов универсума, которые не принадлежат А, т.е. 
.
Пример 1.12. Пусть
.
Тогда, если 
, то 
.
Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение.
Пусть задано семейство множеств 
, где 
. Тогда
Операции над множествами обладают рядом важных свойств.
Теорема 1.1. Пусть задан универсум U. Тогда " A, B, C Ì U выполняются следующие свойства:
1. Свойства коммутативности: АÈВ=ВÈА
АÇВ=ВÇА
2. Свойства ассоциативности: АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС
АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС
3. Свойства дистрибутивности: АÇ(ВÈС)=(АÇВ)È(АÇС)
АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС)
4. Свойства тождества: АÈÆ=А АÇÆ=Æ
АÈU=U АÇU=А
5. Законы идемпотентности: АÈA=A
АÇA=A
6. Свойства поглощения: АÈ(АÇВ)=А
АÇ(АÈВ)=А
7. Двойное дополнение: 
8. Свойства дополнения: АÈ
=U
АÇ=Æ
9. Законы де
Моргана: 
Кроме того, 
.
Докажем свойство дистрибутивности È относительно Ç:
АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС).
Доказательство.
Пусть M= АÈ(ВÇС) и K=(АÈВ)Ç(АÈС).
1) Докажем, что MÍK.
Пусть элемент xÎM, тогда либо xÎA, либо xÎ(ВÇС).
Значит, MÍK.
2) Докажем, что KÍM.
Пусть элемент xÎK, тогда xÎ(АÈВ)Ç(АÈС).
Это возможно только тогда, когда и xÎ(АÈВ) и xÎ(АÈС).
Здесь возможны 2 варианта.
Значит, KÍM.
3) Так как MÍK и KÍM, то M=K, то есть АÈ(ВÇС)=(АÈВ)Ç(АÈС).
Остальные тождества доказываются аналогично.
Определение 1.10. Покрытием множества A называется набор подмножеств 
, где I – некоторое множество индексов, если каждый элемент A принадлежит хотя бы одному из Ai.
Пример 1.13. Пусть A={W, V, d, à}.
Тогда {{W}, {V, W}, {d, V, à}} является покрытием множества A.
Определение 1.11. Разбиением множества
A называется набор его попарно непересекающихся
подмножеств 
, где I –
некоторое множество индексов.
- разбиение множества A, если выполняются два условия:
1) 
;
2) 
, т.е. aÎA тогда и только тогда,
когда aÎAi для некоторого iÎI.
Пример 1.12. Пусть A={W, V, d, à}.
Тогда множество
<A>={{W}, {d, V, à}} является разбиением
множества A.
Всего возможны 17 вариантов разбиения множества A.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie310.doc
Практическая работа № 5
«Построение графической диаграммы выборки, расчёт характеристик выборки»
Учебная цель: научиться строить графические диаграммы выборки, рассчитывать характеристики выборки
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
В самых различных областях производственной и научной деятельности приходится проводить изучение (обследование, измерение, проверку) объектов, принадлежащих некоторой совокупности, по какому-либо признаку. При этом иногда приходится исследовать каждый объект совокупности, т. е. проводить сплошное исследование. Однако на практике гораздо чаще применяется выборочное исследование. При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию. При этом совокупность всех исследуемых объектов называют генеральной совокупностью.
Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Под случайным отбором при образовании выборки понимают такой отбор, при котором все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Выборку можно проводить двумя основными способами. При первом способе объект извлекают из генеральной совокупности, исследуют и возвращают в исходную генеральную совокупность; затем снова извлекают некоторый объект, исследуют и возвращают в генеральную совокупность и т. д. Полученную таким образом выборку называют повторной. При втором способе после исследования объекты в генеральную совокупность не возвращают, и выборку в этом случае называют бесповторной.
Число объектов выборочной или генеральной совокупности называют объемом выборки. Например, если из 10 000 изделий для контроля отобрано 100 изделий, то объем генеральной совокупности N=10 000, а объем выборки n=100.
Для того чтобы по выборке можно было с определенной уверенностью судить о всей генеральной совокупности, выборка должна достаточно полно отражать изучаемое свойство объектов генеральной совокупности,т.е быть репрезентативной. Для этого необходимо, чтобы отбор объектов в выборку осуществлялся действительно случайно и чтобы изучаемому свойству была присуща статистическая устойчивость .
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка
x1, х2, x3, … xn , (1)
Разность между наибольшим значением числовой выборки и ее наименьшим значением называют размахом выборки.
Наблюдавшиеся значения хi признака Х называются вариантами, а неубывающую последовательность вариант называют вариационным рядом.
Пусть при исследовании некоторой генеральной совокупности получена
числовая выборка объема n, причем значение х1
встретилось в выборке n1 раз,
значение х2 - n2 раз, ..., значение хk — nk раз.
Числа n1 , n2 , …, nk называют
частотами, а их отношения к объему выборки, т. е. отношения 
- относительными частотами
соответствующих значений x1, х2, x3, … хk выборки.
Очевидно, что сумма частот равна объему выборки, а сумма относительных частот
равна единице, т. е.
n1 + n2 + …+ nk =
n , 
(2)
Последовательность пар (х1 ; n1 ); (х2 ; n2 ); ( х3 ; n3 ); … (хk ; nk )
называют статистическим рядом. Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы:
|
х1 |
х2 |
х3 |
… |
xi |
… |
хk |
|
n1 |
n2 |
n3 |
… |
ni |
… |
nk |
(3)
Следующей таблицей задается так называемое выборочное распределение, в которой указываются все значения выборки и их соответствующие относительные частоты:
|
х1 |
х2 |
х3 |
… |
xi |
… |
хk |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
(4)
Графические изображения выборки. Полигон и гистограмма
Для наглядного представления о выборке часто используют различные графические изображения выборки. Простейшими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. Пусть выборка задана вариационным рядом: (х1 ; n1 ); (х2 ; n2 ); ( х3 ; n3 ); … (хk ; nk ) . Полигоном частот называют ломаную с вершинами в указанных точках.
Полигоном относительных частот называют ломаную с вершинами в точках
(х1 ; 
); (х2 ; 
); ( х3 ; 
); … (хk ; 
)
Ясно, что полигон относительных частот получается из полигона частот сжатием вдоль оси ординат в n раз, где n — объем выборки.
При большом объеме выборки более наглядное представление о ней дает гистограмма.
Чтобы построить гистограмму частот, промежуток от наименьшего значения выборки
до наибольшего ее значения разбивают на несколько частичных промежутков длины h.
Для каждого частичного промежутка вычисляют сумму si частот
значений выборки, попавших в этот промежуток. Значение xi выборки, совпавшее с правым концом промежутка,
относят к следующему промежутку (если xi — не наибольшее значение выборки). Затем на
каждом частичном промежутке, как на основании, строят прямоугольник с высотой 
. Объединение всех построенных таким
образом прямоугольников называют гистограммой частот. Итак, гистограммой
частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями
которых являются частичные промежутки длины h, а высотами —
отрезки длины , где si —
сумма частот значений выборки, попавших
в i-й промежуток.
Из определения гистограммы ясно, что ее площадь равна объему выборки.
При решении задач в зависимости от объема выборки в большинстве случаев целесообразно брать 10-20 частичных промежутков.
Аналогично определяют и строят гистограмму относительных частот.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которых являются частичные промежутки длины h, а
высотами — отрезки длины 
, где wi - суммы
относительных частот значении выборки, попавших в i-й
промежуток. Площадь гистограммы относительных частот, очевидно, равна единице.
Пусть имеется некоторая выборка объема n: x1, х2, x3, … xn . Выброчной средней называется среднее арифметическое значений выборки:
(5)
Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу (5) естественно записать в следующем виде:
(6)
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней.
(7)
Если выборка задана статистическим рядом (3) или выборочным распределением (4), то формулу (7) можно записать так:
(8)
Формулы (7) и (8) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду:
(9)
т. е. выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений выборки без квадрата выборочной средней.
Исправленной выборочной дисперсией называется
(10)
где S0 — выборочная дисперсия, п — объем выборки. Отсюда, используя формулу (7),
(11)
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Составить для выборки 1, 10, -2, 1,0, 1, 10, 7, -2, 10, 10, 7
вариационный ряд и найти ее размах.
Решение: записав заданную выборку в виде неубывающей последовательности, получим вариационный ряд
-2,-2,0, 1, 1, 1,7,7, 10, 10, 10, 10.
Размах данной выборки равен 10 - (-2) =12.
Пример 2 Для выборки 3,8,-1,3, 0, 5,3,-1,3, 5 определить объем и размах. Записать выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найти выборочное распределение. Построить полигон частот.
Решение: Объем выборки n = 10, ее размах равен 8 - (-1) = 9. Записав значения выборки в виде неубывающей последовательности получим вариационный ряд
-1,-1,0, 3,3, 3,3, 5, 5, 8.
Статистический ряд можно записать в виде последовательности пар чисел - (-1;2), (0;1), (3;4), 5;2), (8;1) или в виде таблицы
|
-1 |
0 |
3 |
5 |
8 |
|
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
Для контроля находим сумму частот: 2+ 1 +4 + 2+ 1 = 10 и убеждаемся в том, что она равна объему выборки.
Вычислив относительные частоты, найдем выборочное распределение:
|
-1 |
0 |
3 |
5 |
8 |
|
|
|
|
|
|
Для контроля убеждаемся в том, что сумма относительных частот равна единице:
+
+
++=1.
Полигон частот для заданной выборки имеет вид:
Пример 3. При измерении напряжения в электросети получена следующая выборка:
218, 221, 215, 225, 225, 217,
224, 220, 220, 219, 221, 219,
222, 227, 218, 220, 223, 230,
223, 216, 224, 227, 220, 222
(данные выражены в вольтах). Построить гистограмму частот, если число частичных промежутков равно 5.
Решение: наименьшее значение выборки равно 215, наибольшее — 230.
Находим длину частичных промежутков 
.
Подсчитываем с учетом кратности число значений выборки, попавших в каждый
промежуток.
Для первого промежутка
[215; 218) это число равно 3, для второго [218; 221) оно равно 8, для третьего
[221; 224) — 6, для четвертого [224; 227) — 5, для пятого [227; 230] — 2.
Следовательно, высоты прямоугольников (слева направо), образующих гистограмму,
равны 
По полученным данным строим гистограмму
Для контроля убеждаемся в том, что площадь гистограммы равна объему выборки:
Пример 4. На основании данных о средней заработной плате работников в области в тыс. руб., которые помещены в интервальный вариационный ряд в таблицу, построить гистограмму распределения частот зарплаты работников:
|
Заработная плата |
1-3 |
3-5 |
5-7 |
7-9 |
9-11 |
11-13 |
|
Число Работников
|
12 |
23 |
37 |
19 |
15 |
9 |
Решение: при построении гистограммы по оси абсцисс откладываются значения изучаемого признака (границы интервалов), а по оси у – соответствующие частоты, в том случае, если интервалы одинаковой величины. Используя мастер диаграмм в MS Excel, получим гистограмму:
Гистограмма распределения частот зарплаты работников
Пример 3. Для выборки 4,5,3,2, 1,2,0,7,7,3
найти выборочную среднюю 
,
выборочную дисперсию S0, исправленную выборочную
дисперсию S.
Решение: объем выборки п = 10. По формуле (5) находим выборочную среднюю:
Чтобы найти выборочную дисперсию, воспользуемся формулой (9). Для этого вычислим среднее квадратов значений выборки:
Теперь по формуле (9) находим S0 = 16,6 -3,42= 5,04. Наконец, используя формулу (10), вычисляем исправленную выборочную дисперсию:
Пример 4. Для выборки 3,8-1,3,0,5,3,4,3,5
найти выборочную среднюю 
,
выборочную дисперсию S0, исправленную выборочную
дисперсию S.
Решение: статистический ряд для для данной выборки имеет вид
|
-1 |
0 |
3 |
5 |
8 |
|
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
Объем выборки п=10. Выборочную среднюю найдем по формуле (6):
Вычислим среднее квадратов значений выборки:
Согласно формуле (9) находим выборочную дисперсию:
S0 = 15,2-2,82= 7,36.
Для вычисления исправленной выборочной дисперсии воспользуемся формулой (10):
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Для выборки 1,1,2,-5,4,3,3,8,8,1 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
2 |
4 |
6 |
8 |
|
5 |
2 |
1 |
3 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот;
3. Для выборки, заданной вариационным рядом -5, -5, 2, 3,
5,10,15, 15, 20, 20, найдите выборочную среднюю 
; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S.
4. Произведено выборочное обследование коммерческих фирм по затратам на ре
кламу, результаты которого представлены в таблице:
|
Затраты на рекламу (усл. ден. ед.) |
Кол-во фирм |
|
40-60 |
4 |
|
60-80 |
3 |
|
80-100 |
5 |
|
100-120 |
6 |
|
120-140 |
2 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Вариант 2
1. Для выборки -3,1,2,4,3,4,4,1,2,1 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
-1 |
1 |
3 |
7 |
|
1 |
3 |
4 |
2 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот
3. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
-1 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
найдите выборочную среднюю ; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S;
4. В результате выборочного обследования коммерческих банков о размере прибыли за год получено следующее распределение:
|
Размер прибыли (млн руб.) |
Число банков |
|
10- 20 20-30 30-40 40-50 50-60 |
5 10 20 15 10 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Вариант 3
1. Для выборки 4,8,8,-4,2, 3,2,7,2,2 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
0 |
3 |
7 |
9 |
|
2 |
4 |
1 |
3 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот
3. Для выборки, заданной вариационным рядом 2,
4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 10, 10, найдите выборочную среднюю ; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S;
4. На заводе проведено выборочное обследование выработки деталей рабочими в день. По результатам наблюдений построили вариационный ряд.
|
Количество деталей |
48 |
52 |
56 |
60 |
64 |
68 |
72 |
76 |
80 |
84 |
|
Количество рабочих |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
30 |
18 |
8 |
7 |
5 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Вариант 4
1. Для выборки 3,4,5,6,7,2,-4,-2,3,6 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.
2. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
5 |
6 |
8 |
10 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
постройте 1) полигон частот; 2) полигон относительных частот;
3. Для выборки, заданной статистическим рядом
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
1 |
3 |
2 |
1 |
3 |
найдите выборочную среднюю ; выборочную дисперсию S0, несмещенную
выборочную дисперсию S.
4. Выборочные данные декоративных изделий показали отклонения от стандартного размера, которые помещены в вариационный рад:
|
Отклонение |
10,2 |
10,4 |
10,6 |
10,8 |
11 |
11,2 |
11,4 |
11,6 |
11,8 |
12 |
|
Количество изделий |
2 |
3 |
8 |
13 |
15 |
20 |
12 |
10 |
6 |
1 |
По данным выборочного обследования постройте гистограмму частот, используя мастер диаграмм в MS Excel.
Контрольные вопросы
1. Что называют: а) генеральной совокупностью; б) выборочной совокупностью; в) объемом выборки?
2. Дайте определение вариационного ряда. Что называют размахом выборки?
3. Как для данной выборки получают статистический ряд и выборочное распределение?
4. Какие графические изображения выборок вы знаете?
5. Чему равна площадь гистограммы относительных частот?
6. Дайте определение выборочных характеристик: а) выборочной средней;
б) выборочной дисперсии;
7. Как связаны между собой выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3111.doc
Лекция №5 «Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнения прямой и плоскости.»
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
=
;
(3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
.
(3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе 
; такая
прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система 
равносильна
системе x = x1, y
= y1; прямая параллельна оси Oz.
Пример 1.15. Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3)
является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в
виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости,
найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.
Пример 1.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y-
z-7=0
угол 60о.
Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением
Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями
.
Решая квадратное уравнение 3m2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m1 = 1/3, m2 = -3, откуда получаем две плоскости
1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.
Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:
где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x1, y1, z1 ), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n1(5,1,1) и n2(2,3,-2). Тогда
Канонические уравнения прямой
имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.
Пример 1.18. В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).
Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:
(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.
Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:
(2u+v)×1 + ( -u + v)×0 + (5u + 2v )×1 -3u + v =0, или v = - u.
Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:
u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.
Т.к. u¹0 ( иначе v=0, а это противоречит определению пучка ), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:
(2u+ v)×1 + (v - u)×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, или v = - 19/5u.
Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:
u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311101.doc
Лекция №9
Теоремы о пределах функций
Пусть 
и 
-
функции, для которых существуют пределы при 
: 
, 
.
Теорема. Пусть
функции 
определены
в некоторой окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а, и
функции 
имеют
в этой точке предел, равный А , 
.
Кроме того, пусть выполнены неравенства: 
.
Тогда 
22. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
Два замечательных предела
Теорема (первый
замечательный предел). Предел функции 
в
точке x=0 существует и равен единице, т.е 
.
Теорема (второй
замечательный предел). Предел функции 
при
x стремящемся к бесконечности существует и равен е, т.е. 
23. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.
Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе.
Опр. Функция 
называется
непрерывной в точке а, если:
;
.Опр. Функция называется
непрерывной справа (слева) в точке а, если правый (левый) предел этой функции в
точке а и ее значение в этой точке равны, т.е. 
, 
.
Если функция непрерывна в точке а и слева, и справа, то она непрерывна в этой точке.
Точки, в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва.
Теорема. Пусть функции и непрерывны в точке а.
Тогда функции 
, 
,
также
непрерывны в точке а (частное при условии 
.
Свойства функций, непрерывных в точке
Поскольку точки 
непрерывности
функции 
задаются условием 
, то часть свойств функций,
непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов.
Сформулируем их в виде следующей теоремы
Теорема 3.1 Пусть
функции и 
непрерывны в точке .
Тогда функции 
, 
, 
непрерывны в
точке . Если 
, то функция 
также непрерывна в точке .
Предложение 3.3 Рассмотрим
множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной
окрестности 
точки и
непрерывных в этой точке. Тогда это множество 
является
линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на
постоянные:
и 
--
это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда
непpеpывны в точке пpоизведения 
и 
. Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в
точке и сумма 
Теорема 3.2 Пусть
функции 
и 
таковы,
что существует композиция 
, 
. Пусть функция непрерывна в точке 
, а функция непрерывна в
соответствующей точке 
. Тогда
композиция 
непрерывна в точке .
означает,
что при 
будет 
. Значит,
(последнее равенство следует из непрерывности
функции в точке 
). Значит,
а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .
или 
и получить аналогичные утверждения для непрерывности
слева или справа:Теорема 3.3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .
Теорема 3.4 Пусть
функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция 
непрерывна
в точке 
. Тогда
композиция непрерывна слева (соотв. справа) в
точке .
24. Точки разрыва функции. Их классификация.
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
|
|
|
|
|
Непрерывна при x = a. |
Имеет разрыв при x = a. |
|
|
|
|
|
Непрерывна при x = a. |
Имеет разрыв при x = a. |
|
|
Рисунок 1. |
||
1. Устранимый разрыв.
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если
предел функции в этой точке существует, но в точке а функция либо не
определена, либо ее значение 
не
равно пределу в этой точке
2. Разрыв первого рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
3. Разрыв второго рода.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.
Пусть функция 
определена на некотором
промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке 
произвольное
приращение 
так, чтобы точка 
также принадлежала Х. Тогда
соответствующее приращение функции составит 
.
Опр. Производной функции 
в точке 
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению аргумента при 
(если этот предел существует).
Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производная также является функцией от аргумента х, определенной на Х.
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Опр. Касательной к графику функции 
в точке М называется предельное
положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой .
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку 
,
имеет вид
Угловой коэффициент секущей равен 
Тогда угловой коэффициент касательной равен
Отсюда следует наглядный вывод о том, что 
.
В этом и состоит геометрический
смысл производной.
·
Механический смысл производной. Рассмотрим
простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём
закон движения задан: координата x движущейся
точки – известная функция x ( t )
времени t. В течение интервала времени от t0
до t0 + 
точка перемещается
на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 )
= 
, а её средняя
скорость равна: va = / . При 
0 значение
средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной
скоростью v ( t0 )
материальной точки в момент времени t0 . Но
по определению производной мы имеем:
· отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Уравнение касательной к
графику функции в точке 
имеет вид: 
26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.
Правила дифференцирования.
1. Производная постоянной равна нулю
.
2. Производная аргумента равна единице.
.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.
.
1. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Производные основных элементар-ных функций.
1. (C)” = 0, где C = const
2. (xa)” = axa-1, где a не равно 0
3. (ax)” = axln a, где a > 0
4. (ex)” = ex
5. (loga x)” =1/x lna, где a > 0
6. (ln x)” =1/x
7. (sin x)” = cos x
8. (cos x)” = - sin x
9. (tg x)” =1/cos2x
10. (ctg x)” = -1/sin2x
11. (arcsin x)” = 1/~1-x2
12. (arccos x)’ = -1/~1-x2
13. (arctg x)” =1/1+x2
14. (arcctg x)” = -1/1+x2
27. Производная сложной функции. Производные высших порядков.
Производная сложной функции
Теорема. Пусть
функция 
имеет
производную в точке 
,
функция имеет производную в точке 
.
Тогда сложная функция 
имеет
производную в точке и справедлива следующая формула: 
.
Формула нахождения
производной сложной функции. 
Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интервале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).
Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой производной или производной первого порядка функции f(x).
Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции y = f(x) в точке х называется первая производная производной (n-1)-го порядка функции y = f(x) при условии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) '.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
28. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.
Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.
29. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на от-резке, интервале.
Необходимое условие экстремума.
Для того чтобы функция у = f(x) имела экстремум в точке x0 необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f'(x0 ) = 0) или не существовала.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (илистационарными).
Теорема. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции у = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у = f(x), а если с минуса на плюс, то точка х0 есть точка минимума.
Схема исследования функции у=f(x) на экстремум
1°. Находим производную у' = f'(x).
2°. Находим критические точки функции, в которых производная f'(х)= 0 или не существует.
3°. Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и делаем вывод о наличии экстремумов функции.
4°. Находим экстремумы (экстремальные значения) функции.
Теорема. Если первая производная f'(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f"(х0) положительна, то х0 есть точка минимума функции f(x); если f"(х0) отрицательна, то х0 — точка максимума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и интервале
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.
Схема отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке
1°. Находим производную f'(x).
2°. Определяем критические точки функции, в которых f'(x) = О или не существует.
3°. Находим значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбираем из них наибольшее и наименьшее.
Замечание. Если функция у = f(x) непрерывна на интервале (а, b), то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения.
В частном случае, если дифференцируемая функция на интервале (а, b) имеет лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (или наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (или минимумом) этой функции
30. Выпуклость функции. Точки перегиба.
Выпуклость функции. Точки перегиба
Опр. 1. Функция у
= f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если
для любых двух значений
из
этого промежутка выполняется неравенство:
Опр. 2. Функция называется выпуклой вверх на промежутке X, если для любых двух значений из этого промежутка выполняется неравенство
Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
Опр. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Точки перегиба — это точки экстремума первой производной.
Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна нулю, т.е. f"(x)= 0.
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная f"(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба ее графика.
Схема исследования функции на выпуклость и наличие точек перегиба
1. Находим вторую производную функции f"(x).
2. Находим точки, в которых вторая производная f"(х)=0 или не существует.
3. Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4. Находим значения функции в точках перегиба.
31. Асимптоты графика функции.
Асимптоты функции
Асимптотой графика функции у =f(х) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат
Теорема 1. Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции слева или справа равен бесконечности. Тогда прямая х = х0является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x).
Теорема 2. Пусть функция у=f(х)
определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции 
.
Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = f(x).
Теорема 3. Пусть функция у =
f(x) определена при достаточно больших х, и существуют ее конечные
пределы 
, 
.
Тогда прямая у = kx +b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x).
Общий план исследования функций
Исследование функций состоит в нахождении:
1) области определения функции;
2) четности( нечетности) функции;
3) точек разрыва функции, вертикальных асимптот;
4) горизонтальных и наклонных асимптот;
5) интервалов монотонности функции, точек максимума и минимума;
6) интервалов выпуклости функции, точек перегиба;
7) точек пересечения с осями, дополнительных точек.
32. Схема исследования функции и построение ее графика
Общий план исследования функций
Исследование функций состоит в нахождении:
1) области определения функции;
2) четности( нечетности) функции;
3) точек разрыва функции, вертикальных асимптот;
4) горизонтальных и наклонных асимптот;
5) интервалов монотонности функции, точек максимума и минимума;
6) интервалов выпуклости функции, точек перегиба;
7) точек пересечения с осями, дополнительных точек.
33. Применение производной в экономике (предельные показатели в микроэко-номике, максимизация прибыли, закон убывающей эффективности производ-ства).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3111010.doc
Лекция №12
Первообразная и неопределенный интеграл
Решаем дифференциальное уравнение
на интервале 
,
т.е. находим такую функцию
,
что
.
Так как
,
то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:
Любое решение такого уравнения называется
первообразной функции 
.
Итак, функция называетсяпервообразной функциина интервале , если
для
всех
.
Случаи
и/или
не
исключаются. Ясно, что если первообразная, то и
также
первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух
переменных
называется
общим решением уравнения (1) или, по-другому,неопределенным интеграломфункции
, если при подстановке вместо
любого
числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения
(1) получается таким образом.
Неопределённый интеграл обозначается 
.
Функция называется подинтегральной, дифференциал
называется
подинтегральным выражением, а
--
знак интеграла (растянутая латинская букваS, первая буква словаSum– сумма).
Возникает вопрос о существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе
«Определенный интеграл»,§Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что
первообразная непрерывной функции всегда существует.
Лемма. Пусть 
тождественно
для всех . Тогда 
-- константа
на этом интервале.
Доказательство. Обозначим 
для
какой-либо точки
.
Возьмём произвольную точку и к разности
применим
теорему Лагранжа:
для
некоторой точки
.
Отсюда
и
лемма доказана.□
Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.
Доказательство. Пусть и 
--
первообразные функции . Тогда
откуда,
по лемме
--
константа. Следовательно,
.□
Следствие. Если --
первообразная функции , то 
.
Заметим, что если в качестве ОДЗ функции взять
не интервал, а, например, такое несвязное множество как объединение двух
интервалов
,
то любая функция вида
имеет нулевую производную, и тем самым лемма и теорема о первообразных перестает быть верной в этом случае.
2Простейшие свойства неопределенного интеграла.
1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
2. Константу можно выносить за знак интеграла:
3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.
4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.
5. (Линейная замена переменных) Если , то 
(здесь
).
Таблица основных интегралов
В частности,
Для исключительного случая 
имеем:
Далее
2.1Дополнительная таблица интегралов
3Замена переменной в неопределённом интеграле
Определение неопределенного интеграла
распространим на более общий случай: полагаем по определению 
.
Таким образом, например
.
Теорема.Пусть
--
дифференцируемая функция. Тогда
Доказательство. Пусть 
.
Тогда
что и требовалось доказать.□
В частном случае, когда 
получаем
линейную замену переменных (см. свойство 5,§1). Применение формулы (1)
"слева на право" и будет означать замену переменной . Применение
формулы (1) в обратном направлении, "справа налево" называется
занесением под знак дифференциала.
Примеры.А.
3.1Метод интегрирования функций вида
и
(a≠
0).
1. Выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:
2. Тогда
3. Для вычисления первого интеграла в (2) применяем занесение под знак дифференциала:
Для вычисления второго интеграла выделяем в квадратном трехчлене полный квадрат и линейной заменой переменных сводим его к табличному.
Таким же методом вычисляются и интегралы
вида 
Примеры
В.
Г.
4Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Теорема. Для дифференцируемых
функций
и
имеет
место соотношение
Доказательство. Интегрируя левую и правую часть
формулы 
,
получаем:
Так как по определению 
и
,
то формула (1) следует.□
Пример.
4.1Метод интегрирования функций вида
.
Здесь и далее 
–
многочлен степени n. Метод интегрирования состоит в занесении экспоненты или
гармоники под знак дифференциала, а затем применяется формула интегрирования по
частям. Повторяем эту процедуру n раз.
Пример.
4.2Метод интегрирования функций вида
:
Для интегрирования таких функций заносим многочлен под знак дифференциала и применяем формулу интегрирования по частям. Процедуру повторяем k раз.
Пример. 
5Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробьюназывается функция
вида
,
где
–
многочлены. Если
,
то рациональную дробь называютправильной. В противном случае ее называютнеправильной.
Следующие рациональные дроби называют простейшими
(1 тип) 
,
(2 тип) 
(3 тип) 
(4 тип) 
,
Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби.
Доказательство. Пусть – неправильная
рациональная дробь. Поделим числитель на знаменатель с остатком: 
Здесь
--
многочлены, причем
Тогда
Дробь 
правильная
в силу неравенства
.□
Теорема 2.Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.
Алгоритм разложения.
а) Знаменатель правильной дроби раскладываем в произведение неприводимых многочленов (линейных и квадратичных с отрицательным дискриминантом):
Здесь 
и
--
кратности соответствующих корней.
б) Раскладываем дробь в сумму простейших с неопределенными коэффициентами по следующим принципам:
соответствует
k простейших дробей первого и второго типов с неопределенными
коэффициентами в числителе:
соответствует
m простейших дробей третьего и четвертого типов:
Так мы поступаем для каждого линейного множителя и для каждого квадратичного множителя.
в) Получившееся разложение умножаем на общий
знаменатель 
,
и неопределенные коэффициенты отыскиваем из условия тождественности левой и
правой части. Действуем комбинацией двух методов
корни
знаменателя как действительные так и комплексные;??? – обоснование алгоритма
Примеры.А. Разложим
в
сумму простейших
Отсюда следует, что 
.
Подставляя в это соотношение
находим
сразу
.
Итак
Б. Разложим рациональную дробь 
в
сумму простейших. Разложение этой дроби с неопределенными коэффициентами имеет
вид 
Умножая на общий знаменатель, получаем соотношение
Подставляя сюда 
,
находим 
,
откуда 
.
Подставляя 
находим 
.
Приравнивая коэффициенты при 
получаем
систему
Отсюда 
и 
.
Складывая равенства последней системы, получаем 
и 
.
Тогда 
и
Следовательно,
/**/ Задача. Обобщить результат примера А и доказать равенство
5.1Метод интегрирования простейших дробей 4 типа.
а) Выделяя в числителе производную знаменателя,
разложим интеграл 
в
сумму двух интегралов.
б) Первый из получившихся интегралов, после занесения под знак дифференциала, станет табличным.
в) Во втором в знаменателе выделяем полный
квадрат и сводим вычисление к интегралу вида 
.
К этому интегралу применяем следующую рекуррентную процедуру
К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям:
Итак, если обозначить 
,
то
Это представляет собой рекуррентную формулу
вычисления интегралов 
cучетом
начального значения
.
Пример
6Интегрирование иррациональных выражений
Далее 
--
рациональная функция одной или нескольких переменных.
Интегралы вида 
,
где m/n,...,r/s -- рациональные числа с общим знаменателем k, сводятся к
интегралу от рациональной функции заменой
Тогда 
суть
рациональные выражения, следовательно, после подстановки, получается интеграл
от рациональной дроби:
Вычислив этот интеграл (см. пар. 4) и сделав
обратную замену 
,
получим ответ.
Аналогично, интегралы вида
где ad-bc≠ 0, аkимеет тот же смысл как и выше, сводятся к интегралам от рациональной дроби заменой
Примеры. А. Вычислим интеграл
Б. Вычислим интеграл
Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:
6.1Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы вида 
сводятся
к интегралам от рациональной функции универсальной заменой
Тогда
поэтому получаем интеграл от рационального выражения
В частных случаях ò R(sin x) cos x dx, òR(cosx)sinxdxи òR(sin2x, cos2x, tg x, ctg
x) dx лучше пользоваться заменами
соответственно.
Примеры. А.
Б.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3111011.doc
Практическая работа № 22
«Вычисление неопределенных интегралов»
Цель работы: научиться вычислять неопределенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в промежутке 
,
если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(x):
(1)
Совокупность всех первообразных функций F(x) + c для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается
,
(2)
где 
называется подынтегральным
выражением, х – переменной интегрирования, а С -произвольной постоянной
интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)
1.
+С;
2. 
+С; 
3. 
+С;
4. 
+С;
5. 
+С;
6. 
+С;
7. 
+С;
8. 
+С;
9. 
+С;
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
+С;
15. 
+С;
16. 
+С;
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций:
4.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:
, 
.
Метод непосредственного интегрирования
Под непосредственным интегрированием понимают способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводятся к одному или нескольким табличным интегралам.
Интегрирование способом подстановки
Сущность интегрирования методом подстановки заключается в
преобразовании интеграла 
в
интеграл 
, который легко
вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования. Для нахождения заменяем переменную х новой переменной
u с помощью подстановки 
.
Дифференцируя это равенство, получаем 
.
Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения , выраженные через u du , имеем:
(3)
После того, как интеграл
относительно новой переменной и будет найден, с помощью подстановки
он приводится к
переменной х.
Метод интегрирования по частям
Пусть функции 
и 
имеют непрерывные производные на
некотором промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:
.
Так как по условию функции 
и
непрерывны, можно
проинтегрировать обе части этого равенства,
,
или
но
,
следовательно
(4)
В правой части
формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она фактически
присутствует в интеграле 
.
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.
Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его
названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное
выражение 
представляется в виде
произведения множителей 
и 
; при этом 
обязательно
входят в . В результате получается,
что заданный интеграл находят по частям: сначала находят 
, а затем .
Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения
указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.
При вычислении интегралов методом
интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального
выражения на множители и . Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако, для
некоторых типов интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям,
сделать это возможно.
1. В интегралах вида:
, 
, 
,
где Р(х) – многочлен
относительно х, а – некоторое число, полагают 
, а
все
остальные сомножители за .
2. В интегралах вида:
, 
, 
,
, 
полагают 
, а остальные
сомножители за .
3. В интегралах вида:
, 
, где a и b числа, за можно
принять
любую из функций 
или sin
bx (или cos bx).
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить: 1) 
; 2) 
Решение:
1) 
;
2) 
Пример 2. Вычислить 1)
;
2) 
3) 
4) 
;
5) 
;
Решение:
1) Положим 1+x
= z. Продифференцируем
это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz. Заменим в интеграле: 
.
2) Сделав замену : 
, получим 
Тогда:
3) Положим 
где 
;
4) Пусть 
, тогда 
. Поэтому
5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:
.
Поэтому, имеем 
;
Пример 3. Вычислить 1) 
;
2) 
;
Решение:
1) положим 
, 
;
тогда 
, 
, т.е. 
.
Используя формулу (4), получим 
.
2) ; положим u=lnx,
dv=xdx; тогда 
; 
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
в) 
г)
; д) 
; е) 
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б)
; в)
; г) 
;
д) 
е) 
; ж) 
; з) 
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
б) 
Вариант 2
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б)
; в)
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з)
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
;
б) 
Вариант 3
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
г)
; д) 
; е) 
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
; б)
; в)
; г) 
;
д)
; е) 
; ж) 
; з) 
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
; б) 
;
Вариант 4
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
;
59
г)
; д) 
; е) 
.
2. Методом подстановки вычислить:
а) 
;
б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
; з) 
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) 
;
б) 
.
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется первообразной для функции
?
2. Что называется неопределенным интегралом
функции 
на некотором промежутке?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Перечислите основные табличные интегралы.
5. Какие методы интегрирования вы знаете?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3111012.doc
Практическая работа № 23
«Вычисление определенных интегралов»
Цель работы: научиться вычислять определенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Определённый интеграл
Приращение F (b) – F (a) любой из первообразных функций F (x) + C функции f (x) при изменении аргумента от x = a до x = b называется определённым интегралом от a до b функции f (x):
(1)
Числа a и b называются пределами интегрирования, а – нижним, b – верхним. Отрезок [a;b] называется отрезком интегрирования. Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а переменная x – переменной интегрирования. Формула (1) называется формулой Ньютона - Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
Если интегрируемая на отрезке [a;b]
функция f (x) неотрицательна, то определённый интеграл 
численно равен площади S
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью
абсцисс и прямыми x = a и x = b :
Свойства определённого интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен
алгебраической сумме их интегралов, т.е.
3. Если a<c<b, то 
;
4. Если функция f (x) неотрицательная на отрезке [a;b], где a<b, то 
;
5. Если f (x)≥ g (x) для всех x 
[a;b], где a<b, то 
6. Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a;b], где
a<b,
то 
7. (Теорема о среднем). Если функция f
(x) непрерывна
на отрезке [a;b], то существует точка 
такая, что 
Методы вычисления определенного интеграла
Непосредственное интегрирование предполагает использование основных свойств определенного интеграла и формулы Ньютона – Лейбница.
Метод подстановки сводит
определенный интеграл с
помощью подстановки 
к
определенному интегралу относительно новой переменной и. При этом
старые пределы интегрирования а и b заменяются
соответственно новыми пределами интегрирования 
и
, которые находятся из
исходной подстановки: 
.
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле производится по формуле
,
где полагается, что функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке 
.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1: Вычислить 
.
Решение:
Пример 2: Вычислить 
Решение: 
Пример 3. Вычислить 
:
Решение: 
Пример 4. Вычислить 
Решение:
Пример 5. Вычислить 
.
Решение: Положим 
. Тогда
. Если 
, если 
. Поэтому
Пример 6. Вычислить 
.
Решение: Положим 
.
Отсюда, учитывая формулу интегрирования по частям, получим:
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2)
; 3) 
;
4) 
;
5) 
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
;
2) 
Вариант 2
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
5) 
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
2) 
Вариант 3
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
; 2)
; 3) 
;
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
5) 
;
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
2) 
Вариант 4
1. Вычислить методом непосредственного интегрирования:
1) 
; 2) 
; 3) 
4) 
; 5) 
;
2. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
5) 
3.Вычислить методом интегрирования по частям:
1) 
2) 
Контрольные вопросы
1. Что называется определенным интегралом, и в чем его геометрический смысл?
2. Назовите формулу Ньютона-Лейбница.
3. Перечислите свойства определенного интеграла.
4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
5. В чем заключается метод замены переменной интегрирования?
Практическая работа № 24
«Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения»
Цель работы: научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел
вращения.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Вычисление площади плоской фигуры
При вычислении площадей плоских фигур с применением определенного интеграла мы рассмотрим следующие случаи:
1. Фигура ограничена непрерывной и
неотрицательной на отрезке 
функции f(x), осью ОХ и прямыми 
и 
. В
этом случае согласно геометрическому смыслу определенного интеграла
площадь S фигуры численно равна 
, т.е.
S= (1)
2.
Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке 
функции f (x), осью ОХ и прямыми и
Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси ОХ, а следовательно, их площади S1 и S равны.
Но
Поэтому
(2)
3.
Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а , х
= b и графиком функции f (x), которая
непрерывна на отрезке 
и меняет свой знак конечное число раз
на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок на такие
частичные отрезки, на которых функция f (x) знакопостоянна на соответствующих
отрезках. В нашем примере имеется три таких отрезка:
:
Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции f (x) на соответствующих отрезках. Так, например, площадь фигуры, представленной на рисунке , вычисляется по формуле
4.
Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке 
функций f(x)
и g(x) и прямыми х = а , х = b,где 
и 
(рис. 52) В этом случае искомая площадь S
вычисляется по формуле:
(3)
5.
Фигура ограничена графиками трех и более непрерывных на отрезке 
функций. В этом случае стараются искомую
площадь представить в виде алгебраической суммы площадей, вычисление каждой из
которых сводиться к одному из предыдущих четырех случаев. Так, например,
площадь фигуры, изображенной на рисунке
вычисляется по формуле 
Вычисление объема тела вращения
Объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,
ограниченной кривой 
,
осью ОХ и прямыми х=а и х=b,
вычисляется по формуле:
(4)
Аналогично, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОУ
криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, осью ОХ и прямыми х=с и х=d,
вычисляется по формуле
(5)
Вычисление длины плоской дуги
Пусть плоская крива АВ задана уравнением 
, причем 
- непрерывные функции при 
. Тогда дифференциал дуги АВ выражается
формулой
, (6)
Длина дуги АВ вычисляется по формуле:
, (7)
где а и b - значения независимой переменной х в точках А и В.
Вычисление площади поверхности фигуры вращения с помощью определенного интеграла
При вращении дуги АВ плоской кривой y=f(x) вокруг оси Ох образуется поверхность вращения, площадь которой вычисляется по формуле:
(8)
где а и b—значения независимой переменной х в точках А и В.
Аналогичным образом, при вращении дуги АВ вокруг оси Оу имеем 
, откуда
(9)
где с и d—значения независимой переменной у в точках А и В.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение: построим графики функций. Применив формулу (1), найдем площадь фигуры
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = –х2 – 1, у = 0, х = –1. х = 2.
Решение. Построим графики заданных функций:
По формуле (2) находим
Пример 3. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = sin x, y = 0, x = -
/2, x = .
Решение: очевидно, что 
для
всех 
и 
для всех 
.
Поэтому:
Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Из рисунка видно, что искомая площадь 
или
Пример 5. Вычислить объем фигуры, образованной
вращением площади, ограниченной линиями 
, y=0 и х=4 вокруг оси Ох.
Решение: выполним построение плоской фигуры. При вращении этой фигуры вокруг оси ОХ получим параболоид. Пределы интегрирования а=0 и b=4. По формуле (4) получим
(куб. ед.)
Пример 6. Вычислить объем фигуры, образованной вращением площади,
ограниченной линиями 
и у=0
вокруг оси Ох.
Решение: Выполним построение плоской фигуры. В силу
симметрии фигуры относительно оси Оу возьмем пределы интегрирования от 0
до 3, а затем полученный результат удвоим. По формуле (4) находим
Пример 7. Найти длину окружности 
.
Решение: дифференцируя уравнение окружности, имеем 
. По формуле (7) вычислим длину четверти
окружности, взяв пределы интегрирования от 0 до r,
тогда получим:
Тогда длина всей окружности равна 
.
Пример 8. Найти длину дуги параболы 
, заключенную между
точками О(0; 0) и 
.
Решение: Дифференцируя уравнение параболы, получим 
.подставим полученный результат в формулу
(7),получим:
Пример 9. Найти площадь поверхности шара,
образованного вращением окружности 
вокруг
оси Ох.
Решение: дифференцируя уравнение окружности 
, получим
, 
. Найдем дифференциал дуги:
Подставив значение дифференциала dl в формулу (1) и взяв пределы интегрирования от –r до r, получим
.
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги
окружности 
,заключенной между точками 
Решение: дифференцируя уравнение окружности по х, получим:
.
Тогда:
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
, 
, 
; б) 
, 
;
в)
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
;
б) 
;
3. Найти длину дуги параболы 
между точками ее пересечения с осью ОХ
4. Найти площадь поверхности шарового пояса,
образованного вращением вокруг оси ОХ дуги окружности 
,
заключенной между точками А
Вариант 2
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, , , ; б) 
, 
в)
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
;
б) 
;
3. Найти длину дуги параболы 
между
точками О(0; 0) и А
;
4. Найти площадь поверхности шарового пояса,
образованного вращением вокруг оси ОХ дуги окружности 
,
заключенной между точками А
Вариант 3
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
, ; б) 
в) 
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
;
б) 
3. Найти длину дуги полукубической параболы
между точками О(0; 0) и А
;
4. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением
вокруг оси ОХ дуги окружности 
, заключенной между
точками А
Вариант 4
1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
а) 
, 
, 
, ; б) 
, 
;
в)
;
2. Вычислить объемы фигур, образованных вращением вокруг оси ОХ площадей, ограниченных линиями:
а) 
;
б) 
;
3. Найти длину дуги полукубической параболы
между точками О(0; 0) и А
;
4. Найти площадь поверхности вращения,
образованной вращением вокруг оси ОХ дуги параболы
, заключенной между точками 
Контрольные вопросы
1. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
2. Перечислите все пять случаев применения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
3. Как найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ, ОУ?
4. Назовите формулы для вычисления длины плоской дуги;
5. Как вычислить площадь поверхности вращения с помощью определенного интеграла?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3111013.doc
Вопросы дифференцированного зачета
1. Матрицы, действия над матрицами.
2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников.
3. Определители n-го порядка. Теорема Лапласа.
4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
5. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
6. Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.
7. Векторы и операции над ними.
8. Проекция вектора на ось и ее свойства.
9. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
10. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.
11. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е.
12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции. Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента. Приращение функции.
13. Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.
14. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.
15. Схема исследования функции. Область определения функции. Множество значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило нахождения экстремумов функции.
16. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Исследование функции с помощью второй производной.
17. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
18. Таблица неопределенных интегралов.
19. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям.
20. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции).
21. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.
22. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
23. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
24. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.
25. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
26. Методы решения дифференциальных уравнений.
Задания дифференцированного зачета
|
|
|
æ |
|
7 ö |
5 x |
|
|
|
1. |
Вычислить предел |
|
. |
|
|||
|
lim 1 |
+ |
|
÷ |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
3x ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
||
|
2. |
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) lim |
5x4 - x3 +1 |
; б) lim |
x3 + 2x |
; в) |
lim |
x2 |
- 4 |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
x®¥ |
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®¥ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2x |
|
+ x |
x - 4 |
|
|
|
x |
|
+ 2x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3. |
Вычислить предел lim |
sin17x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. |
Вычислить предел lim |
|
sin 5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5. |
Вычислить предел lim |
|
3x2 + x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
- |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6. |
Вычислить предел lim |
|
|
|
x2 |
-10x +16 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x -8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7. |
Исследовать функцию |
f (x) = |
|
|
5x |
|
на непрерывность в точке x0 = 6 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x - 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Исследовать функцию f (x) = 3x2 - x3 и построить ее график.
9. Вычислить значение производной следующих функций в точке x0 = 4 :
а) f (x) = 8x2 - ln x ; б) f (x) = x3 +
10. Найти производную функции y =
11. Найти производную функции y =
12. Найти производную функции y =
13. Найти производную функции y =
14. Найти неопределенный интеграл
5x .
(x4 - 5x2 + x)7 .
11x - 8 .
2x +
4
e2 x5 -8 .
ln(8x4 - 3x2 + 2).
ò 4 - x3 + x2 - 2dx . x
15. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной òx2 ×e x3 dx .
16. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной ò(6x +11)4 dx .
17. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной òcos(6x -1)dx .
18. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной òsin 6 x ×cos xdx .
|
|
3 |
|
|
|
19. Вычислить определенный интеграл |
ò |
(5x +1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
20. Вычислить определенный интеграл |
ò |
(x - 5)xdx . |
|
|
|
|
|
0
|
Вычислить определенный интеграл |
2 |
2x3 + x4 |
dx . |
|
||
|
ò |
|
|
|
|||
|
x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
Скорость движения точки изменяется по закону v = 5t 2 + 4t + 2 (м/с). Найти путь s, |
|
||||
|
|
пройденный точкой за 4 с от начала движения. |
|
||||
|
23. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 , y = 0 , x =1 , x = 2 . |
|
||||
|
24. |
Решить дифференциальное уравнение y¢¢ -9y¢ + 20y = 0 . |
|
||||
|
25. |
Решить задачу Коши: y¢ = 6x2 + 4x , y(1) = 9 . |
|
|
|||
|
26. |
Решить дифференциальное уравнение y¢ =11x . |
|
||||
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3111014.doc
Перечень вопросов и заданий для домашних контрольных работ.
Вопрос № 1.
1. Предел последовательности.
2. Предел функции в точке.
3. Теоремы о пределах.
4. Предел функции на бесконечности
5. Первый замечательный предел
6. Второй замечательные пределы.
7. Элементарные функции и их свойства.
8. Производная. Ее механический смысл.
9. Производная. Ее и геометрический смысл
10. Формулы дифференцирования. Вывод 2-3 формул.
11. Производная сложной функции.
12. Применение производной для исследования функций.
13. Неопределенный интеграл и его свойства.
14. Формулы интегрирования.
15. Интегрирование методом замены переменной.
16. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
17. Приложение определенного для нахождения площади криволинейной трапеции.
18. Приложение определенного интеграла в экономике. Понятия потребительского излишка и излишка производителя.
19. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
20. Понятие выборки, варианты и ее частоты в статистике.
21. Графическое представление статистических данных.
22. Характеристики выборки (математическое ожидание и дисперсия).
23. Решение задач на проценты на примерах экономических задач.
24. Сложные проценты.
25. Матрицы и операции над ними. Свойства операций.
26. Обратная матрица. Определение и способы ее нахождения.
27. Определители матриц. Определение и способы нахождения.
28. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
29. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
30. Решение систем линейных уравнений при помощи обратной матрицы.
Примерные задания:
Вопрос № 2.
а) 
, б) 
, в) 
, г)
,
д) 
2. Найдите производную функции:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
3. Исследуйте функцию с помощью
производной и постройте ее график: 
.
4. Вычислите определенные и неопределенные интегралы:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2 + 2, у = 2х + 10, у = 0, х = 0.
Вопрос № 3
1. Для выборки 2, -5, 1, 0, 0, -4, -3, -1, 2, 1.
а) найдите математическое ожидание (среднее выборочное).
б) найдите дисперсию.
в) постройте гистограмму и полигон.
Найдите:
а) матрицу 2А+3В, б) матрицу А-В, в) матрицу А×В, г) определитель матрицы А, д) матрицу В-1 .
а) Методом Гаусса, б) методом Крамера, в) используя обратную матрицу.
Расчетное задание
Текст задания
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
3 |
0ö |
æ |
-1 0 |
3ö |
|
|||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
1. Найти матрицу C=A+3B, если |
A = ç |
- 2 |
1 |
8 |
÷ |
, B = ç |
2 |
4 |
1 |
÷ . |
|
|
|
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
|
ì x1 + 2x2 |
- x3 |
= 1, |
|
|
|||||||||||
|
ï |
2x1 - x2 |
+ x3 |
= 5, |
|
|
||||||||||
|
í |
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
+ x3 |
= 7. |
|
|
||||||||||
|
î3x1 + 2x2 |
|
|
|||||||||||||
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
æ |
2 |
3 |
0ö |
|
æ |
-1 0 |
3ö |
|
||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|||||
|
1. Найти матрицу C=2A-B, если A = ç |
- 2 |
1 |
8 |
÷ |
, |
B = ç |
2 |
4 |
1 |
÷ . |
|
|||||
|
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
|
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
|
|||||
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
|
ìx1 - x2 + 2x3 |
= -2, |
|
||
|
ï |
x1 + 2x2 |
- x3 |
= 7, |
|
|
í |
|
|||
|
ï |
2x1 + x2 |
- 3x3 = 5. |
|
|
|
î |
|
|||
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
3 |
0ö |
æ |
-1 0 |
3ö |
|
|||
|
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
1. Найти матрицу C=3A+B, если A = ç |
- 2 |
1 |
8 |
÷ |
, B = ç |
2 |
4 |
1 |
÷ . |
|
|
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
|
|
è |
ø |
è |
ø |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
|
ìx1 + 3x2 |
- 2x3 |
= 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
- x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í x1 + 4x2 |
= 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
+ x3 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î 2x1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 3 |
0ö |
|
æ |
-1 0 |
3ö |
|
||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
1. Найти матрицу C=A-4B, если A = ç |
- 2 |
1 |
8 |
÷ |
, |
B = ç |
2 |
4 |
1 |
÷ . |
|
||
|
|
|
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
|
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
|
ìx1 + 2x2 |
- x3 |
= 3, |
|
|
|
ï |
x1 + 3x2 |
+ x3 |
= 6, |
|
|
í |
|
|||
|
ï |
2x1 - x2 |
+ x3 |
= 4. |
|
|
î |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
3 |
0ö |
|
æ |
-1 0 |
3ö |
|
|||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
1. Найти матрицу C=4A-B, если |
A = ç |
- 2 |
1 |
8 |
÷ |
, |
B = ç |
2 |
4 |
1 |
÷ . |
|
|
|
ç |
2 |
4 |
3 |
÷ |
|
ç |
1 |
3 |
0 |
÷ |
|
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
|
x 2 -16 |
|
|
|
sin12x |
Текст задания
Вариант 1
1. Вычислить предел функции:
|
lim |
|
x 2 - 9 |
. |
|
|
x 2 |
- 8x +15 |
|
||
|
x®3 |
|
|
2. Вычислить предел функции:
|
lim |
x + 5 |
. |
|
|
|
|
||
|
x®2 |
3x - 6 |
|
|
3. Вычислить предел функции:
lim sin17x .
x®0
4. Вычислить предел функции:
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
æ |
|
7 |
ö |
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|||
|
limç1 |
+ |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x®¥ |
|
x ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
||
Вариант 2
1. Вычислить предел функции:
lim x 2 + x - 20 .
x®4
2. Вычислить предел функции:
lim 3x + 6 . x®2 2x - 4
3. Вычислить предел функции:
|
lim |
sin 7x |
. |
|
|
|
|
||
|
x®0 |
sin13x |
|
|
4. Вычислить предел функции:
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
æ |
|
12 ö |
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
||||
|
limç1 |
+ |
|
|
÷ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x®¥ |
|
|
x ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
||
Вариант 3
1. Вычислить предел функции:
|
lim |
|
x 2 |
- 49 |
. |
|
|
x 2 |
- |
5x -14 |
|
||
|
x®7 |
|
|
2. Вычислить предел функции:
lim x 2 + 4 . x®3 2x - 6
3. Вычислить предел функции:
Вариант 4
1. Вычислить предел функции:
lim x 2 -12x + 35 .
2
|
x®5 |
x |
- 25 |
|
|
|
|
2. Вычислить предел функции:
lim x 2 -1 . x®5 2x -10
3. Вычислить предел функции:
|
lim |
sin 8x |
. |
|
|
|
|
||
|
x®0 |
sin19x |
|
|
4. Вычислить предел функции:
|
æ |
|
4 |
ö |
2 x |
|
|
limç1 |
+ |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
||||
|
x®¥ |
|
x ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
||
Вариант 5
1. Вычислить предел функции:
lim x 2 - 3x -18 .
2
|
x®6 |
x |
- 36 |
|
|
|
|
2. Вычислить предел функции:
lim 2x - 3 . x®4 3x -12
3. Вычислить предел функции:
|
lim |
sin 5x |
. |
|
|
|
|
||
|
x®0 |
sin14x |
|
|
4. Вычислить предел функции:
|
æ |
|
10 |
ö |
3x |
|
|
|
limç1 |
+ |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x®¥ |
|
|
x ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
||
Вариант 6
1. Вычислить предел функции:
|
lim |
|
x 2 - 81 |
|
. |
|
|
x 2 |
-11x + |
18 |
|
||
|
x®9 |
|
|
lim 3x - 5 . x®6 2x -12
3. Вычислить предел функции:
lim sin19x . x®0 sin 3x
Расчетное задание
Текст задания
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать функцию |
f (x) = |
1 |
на непрерывность в точке x0 = 0 . |
|
|||
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследовать функцию |
|
|
ìx 2 |
при |
x ¹ 0, |
на непрерывность в точке |
|
|
f (x) = í |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
при |
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3
Исследовать функцию f (x) = x2 на непрерывность в точке x0 = 0 .
Расчетное задание
Текст задания
Вариант 1
1. Найти производную функции y = sin 6 (4x3 - 2).
2. Найти производную третьего порядка функции y = 3x4 + cos 5x .
|
3. Написать уравнение |
касательной к графику функции f (x) = |
3 |
в точке с |
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
абсциссой x0 = -1 , x0 |
= 1 . |
|
|
|
4. Материальная точка движется по закону x(t) = - 13 t 3 + 2t 2 + 5t . Найти скорость
и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 2
1. Найти производную функции y = cos 4 (6x2 + 9).
2. Найти производную третьего порядка функции y = 2x5 - sin 3x .
|
3. |
Написать уравнение касательной к графику функции f (x) = 2x - x2 в точке с |
|
|
|
абсциссой x0 = 0 , x0 |
= 2 . |
|
4. |
Материальная точка |
движется по закону x(t) = t 3 - 4t 2 . Найти скорость и |
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 3
1. Найти производную функции y = tg 5 (3x4 -13).
2. Найти производную третьего порядка функции y = 4x3 - e5 x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f (x) = x2 +1 в точке с абсциссой x0 = 0 , x0 = 1 .
|
4. Материальная точка движется по закону |
x(t) = |
1 |
t |
4 |
+ t |
2 |
. Найти скорость и |
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 4
1. Найти производную функции y = ctg 4 (5x3 + 6).
2. Найти производную третьего порядка функции y = 5x4 - cos 4x .
|
|
Написать уравнение касательной к графику функции f (x) = x3 -1 в точке с |
|
|
|
абсциссой x0 = -1 , x0 |
= 2 . |
|
4. |
Материальная точка |
движется по закону x(t) = t 4 - 2t . Найти скорость и |
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 5
1. Найти производную функции y = arcsin 3 7x2 .
2. Найти производную третьего порядка функции y = 4x4 + sin 2x .
3. Написать уравнение касательной к графику функции f (x) = tgx в точке с
|
абсциссой x0 = |
p |
, |
x0 |
= |
p |
. |
|
|
4 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4. Материальная |
точка |
движется по закону x(t) = 2t 3 - 8 . Найти скорость и |
|
||||
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 6
1. Найти производную функции y = arctg 6 5x4 .
2. Найти производную третьего порядка функции y = 6x5 + e4 x .
|
3. |
Написать уравнение касательной к графику функции |
f (x) = 1 + cos x в точке с |
|
|||
|
|
абсциссой x0 = 0 , x0 |
= |
p |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Материальная точка |
движется по закону x(t) = t 4 |
+ 2t . Найти скорость и |
|
||
|
|
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) |
|
||||
Устный ответ
Сформулировать правила дифференцирования и записать производные основных элементарных функций:
c¢ = (xa )¢ = В частности, x¢ = (kx + b)¢ = (a x )¢ =
В частности, (e x )¢ = (log a x)¢ = В частности, (ln x)¢ = (lg x)¢ =
(sin x)¢ = (cos x)¢ =
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
|
14о. |
(u + v)¢ = |
|
|||
|
15о. |
(u - v)¢ = |
|
|||
|
16о. |
(uv)¢ = |
|
|||
|
17о. |
(cu)¢ = |
|
|||
|
18о. |
æ u ö |
¢ |
|
||
|
|
= |
|
|||
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
è v ø |
|
|
||
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
19о. f (j(x))¢ =
Расчетное задание
Текст задания
Исследовать функцию и построить ее график.
Вариант 1
f (x) = x2 - 2x + 8 .
Вариант 2
f (x) = - 2x 2 + x + 2 .
3 3
Вариант 3
f (x) = -x2 + 5x + 4 .
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
x 2 |
+ |
|
x |
+ |
1 |
. |
|
|
4 |
16 |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 5
f (x) = -x3 + 3x - 2 .
Вариант 6
f (x) = x4 - 2x2 - 3 .
Вариант 7
f (x) = x3 + 3x + 2 .
Вариант 8
Расчетное задание
Текст задания
Вариант 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8). |
|
|||||||||||||||
|
6. |
ò(8x - 4)3 dx . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
7. |
ò |
|
12x3 |
+ 5 |
|
dx . |
|
|
|
|
||||||
|
3x 4 + 5x - 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
8. |
ò x5 × e x6 dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
9. |
Найти |
|
|
неопределенный интеграл методом интегрирования по частям: |
|
|||||||||||
ò(x + 5)cos xdx .
Текст задания
Записать табличные интегралы:
|
1о. |
ò |
0dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2о. |
ò |
|
x |
a |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, |
ò |
d x = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3о. |
ò |
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4о. |
ò |
a x dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, |
ò |
e x dx = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5о. |
ò |
cos xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6о. |
ò |
sinxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7о. |
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ò cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
8о. |
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ò sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9о. |
ò |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a 2 |
- x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
В частности, |
|
|
|
dx |
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ò |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 - x 2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10о. |
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ò a 2 |
|
+ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 1
2
1. Вычислить определенный интеграл: ò(4x 2 + x - 3)dx .
0
3
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки: ò(2x -1)3 dx .
2
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной
|
|
линиями: y = -x2 + 4, |
y = 0, x = -2, |
x = 2 . |
|
||
|
4. |
Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс |
|||||
|
|
криволинейной |
трапеции, |
ограниченной |
линиями: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x, y = 0, x = 1, x = 4 . |
|
|
|||
|
5. |
Скорость движения точки изменяется по закону v = 3t 2 + 2t +1 |
(м/с). Найти |
||||
|
|
путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения. |
|
||||
Вариант 2
3
1. Вычислить определенный интеграл: ò(2x 2 - x + 4)dx .
0
1
2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки: ò(3x +1)4 dx .
0
3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x2 +1, y = 0, x = -1, x = 1 .
4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс
|
криволинейной |
трапеции, |
ограниченной |
линиями: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x, y = 0, x = 0, x = 1. |
|
|
|||
5. Скорость движения точки изменяется по закону v = 9t 2 - 8t (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду.
Текст задания
Вариант 1
Найти частные производные функций.
1. z = x × ln y + xy .
2. z = ln(x2 + 2 y3 ).
3. z = (1 + x2 )y .
Вариант 2
Найти частные производные функций.
1. z = x y .
2. z = x3 y 2 - 2xy 3 .
3. z = ln x y .
Вариант 1
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).
|
1. |
y = c e-5x + c |
e x , y¢¢ + 4 y¢ - 5y = 0 . |
|
|||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2. |
y = c e x |
+ c |
2 |
xe x , y¢¢ + 2 y¢ + y = 0 . |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4. |
y = e4 x + 2, y¢ = 4 y . |
|
5. |
Решить задачу Коши: y¢ = 4x3 - 2x + 5, y(1) = 8 . |
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).
|
6. |
y¢ = |
1 |
|
|
+ x 4 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
7. |
y¢ = -6 y . |
|
|
|
|
|
||||
|
8. |
y¢ = |
|
x -1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
||
|
9. |
y¢ = |
|
y |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 - x 2 |
|
||||||
10. y¢ - 3y + 5 = 0 .
11. y¢¢ - 7 y¢ +10 y = 0 .
12. y¢¢ + 4 y¢ + 4 y = 0 .
Вариант 2
Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).
|
1. |
y = c e-2 x + c |
2 |
xe-2 x , y¢¢ + 4 y¢ + 4 y = 0 . |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
2. |
y = c e3x |
+ c |
e x , y¢¢ - y¢ - 6 y = 0 . |
|
|||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
3. |
y = e3x - 5, y¢ = 3y +15 . |
|
|||||
|
4. |
y = |
5 |
, y¢ = -y 2 . |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
5. |
Решить задачу Коши: y¢ = 3x2 - 2x + 6, y(2) = 19 . |
|
|||||
Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).
|
6. y¢ = |
1 |
|
- x7 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
1 - x 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
7. y¢ = 8y .
Устный ответ
Текст задания
1. Сформулировать общие положения при составлении дифференциального уравнения по условию задачи.
2. Записать дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания и получить его решение. Привести примеры прикладных задач, решаемых с его помощью.
3. Сформулировать задачу о радиоактивном распаде, записать для нее дифференциальное уравнение.
4. Сформулировать задачу о гармонических колебаниях, записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
5. Сформулировать задачу о падении тел в атмосферной среде, записать для нее дифференциальное уравнение.
Показатели и критерии оценивания компетенций
Устный ответ
|
Критерии |
Критерии |
|||
|
Отлично |
Хорошо |
Удовлетворительно |
Неудовлетворительно |
|
|
Владение понятийным аппаратом |
Свободно владеет понятийным аппаратом, умеет использовать его в решении практических задач. |
Владеет понятийным аппаратом, но при использовании его допускает неточности. |
. В основном знает содержание понятий, но допускает ошибки в их использовании |
Не владеет основными понятиями по дисциплине. |
|
Владение фактическим материалом по теме |
Знание и свободное владение фактиче- ским материалом по теме. |
Незначительные не- точности в изложении фактического материала. |
Испытывает затруднения в изложении фактического мате- риала. |
Не владеет фактическим материалом. |
|
Умение применять теоретический материал в решении прак- тических задач |
Умеет выявлять и анализировать методы и приемы решения практических задач. Умеет оценивать ре- зультат. |
Допускает отдельные неточности и затруд- нения при решении практических задач |
Испытывает значительные трудности при решении прак- тических задач |
Не умеет анализировать и находить способы решения прак- тических задач. |
|
Логичность изложения материала |
Свободное владение речью, логичность и последовательность в изложении материала.. |
Испытывает отдельные затруднения в логичности и после- довательности изложения материала. |
Материал в значительной степени из- лагается бессистемно, с нарушением логических связей |
Отсутствие логики в изложении материала. |
Отметка «отлично» ставится в том случае, если по трем из четырех критериев ответ оценивается «отлично» и по одному – на «хорошо».
Отметка «хорошо» – если по трем критериям – не ниже «хорошо» и по одному «удовлетворительно».
Отметка «удовлетворительно» – если по трем критериям не ниже «удовлетворительно» и по одному – «неудовлетворительно»
Отметка «неудовлетворительно» – если по двум и более критериям «неудовлетворительно
Практическое задание
|
Оценка |
Описание |
|
«отлично» |
выполнена работа в полном объеме, в рассуждениях и обосновании нет неточностей и ошибок. |
|
«хорошо» |
задание выполнено с незначительными ошибками. |
|
«удовлетворительно» |
задание выполнено с существенными ошибками. |
|
«неудовлетворительно» |
задание не выполнено. |
Тестовые задания
|
Оценка |
Правильно выполнено заданий |
Итоговая сумма баллов |
|
5 (отлично) |
19-20 |
20 |
|
4 (хорошо) |
17-18 |
18 |
|
3 (удовлетворительно) |
14-16 |
16 |
|
2 (неудовлетворительно |
1-13 |
13 |
Критерии оценивания
Оценки выставляются в соответствии с коэффициентом усвоения (КУ)
|
|
количество баллов, набранных студентом |
|
максимальное количество баллов, которое можно набрать в тесте |
|
Если |
КУ менее |
1 - 13 баллов |
- «неудовлетворительно» |
|
|
КУ |
14-16баллов |
- «удовлетворительно» |
|
|
КУ |
17-18 баллов |
- «хорошо» |
|
|
КУ |
19-20 баллов |
- «отлично» |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311102.doc
Практическая работа № 13-14
Тема: «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»
Цель работы: научиться вычислять пределы, раскрывать неопределенности.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хn¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), nÎN сходится к числу В.
В этом случае пишут: 
Короче, 
, если 
для любой последовательности хn¹а, nÎN,
сходящейся к а, т.е. xn®a
при n®¥.
Свойства пределов сформулируем в виде теорем:
Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:
,
Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:
,
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
,
Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:
,
Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.
1) Предел многочлена. Вычислить 
Решение:
Т.о. для вычисления предела
многочлена f (x) при x →а достаточно
вместо переменной x поставить значение а, к которому она
стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е. 
2) Предел
отношения двух многочленов, 
, где а– число.
а) Если g (а) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.
б) Если g (а) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если ƒ(а)
= A ≠ 0, то 
, если же ƒ(а)
= 0 – имеем неопределённость вида (0/0). В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов ƒ(x) и g(x) на множители.
Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х®+¥ и при х®-¥.
Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом
функции f(x) при х®+¥,
если 
для любой
последовательности (xn) такой, что 
. В этом случае
пишут 
. Аналогично, 
, если 
для
любой последовательности (xn) такой, что 
В ряде случаев
поведение функции f(x) разное при х®+¥ и при х®-¥. Например, для функции 
, определенной для всех х ¹ 1, имеем:
, 
.
Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как 
, так и 
.
Сформулируем определение бесконечного предела функции:
Если для любой
последовательности значений аргумента (xn) такой, что xn ¹ а имеет место 
, то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и
пишут 
.
3) Предел
отношения многочленов 
при
x → ∞
.
4) Пределы
некоторых иррациональных функций. Для вычисления 
,
где ƒ (x)
≥ 0 и 
, воспользуемся равенством 
, которое принимается нами без
доказательства. Например,
.
Так как 
,(пример 6) то теорему о пределе частного
применить нельзя. Имеем неопределённость вида (0/0). Умножая числитель и
знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим (пример7)
Данный пример демонстрирует технику раскрытия неопределенности вида (¥-¥).
Если 
, то функция f(x) называется бесконечно большой при х®а.
Если же 
, то функция f(x) называется бесконечно малой при х®а.
Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х®+¥,
х®-¥.
Заметим, что
имеет место следующее утверждение: если функция f(x) – бесконечно малая при х®а и f(x) ¹ 0
для х ¹ а из некоторой окрестности точки а, то функция 
-
бесконечно большая
при х®а. Верно и обратное утверждение: если функция f(x) – бесконечно большая при х®а, то функция 
- бесконечно
малая при х®а.
5) Применение
замечательных пределов 
и
Пользуясь этими формулами, можно вычислить ряд пределов ( пример 8).
Здесь мы воспользовались известным пределом 
. ( пример 9)
Заменяя 
и
учитывая, что y → ∞ при x → ∞, можем написать ( пример 10)
.
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Пусть требуется вычислить 
Решение: f (x) = x3 – 2x – 3 и g (x) = x2 + 3x + 3. Так как g (3)
= 32 + 3 ∙ 3 + 3 = 21 ≠ 0. то имеем: 
Пример 2. Вычислить 
.
Решение: здесь ƒ (2) = 22 - 5∙2 + 6 = 0, g (2) = 22 - 6∙2 + 8 = 0. Так как x ≠ 2, имеем
.
Пример 3. Вычислить 
.
Решение:
.
Пример 4. Вычислить
.
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение: 
.
Пример 6. Вычислить 
.
Пример7. Найти предел 
.
=
=
=
=0
Пример 8. Вычислить 
Решение: 
,
заменяя 3x = y и учитывая, что y → 0 при
x → 0, получаем: 
.
Пример 9. Вычислить 
.
Решение:
Пример 10. Вычислить 
Решение: 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г)
Вариант 2
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в ) 
; г) 
;
Вариант 3
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
Вариант 4
1. Вычислить пределы функций в точке:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
2. Вычислить пределы функций на бесконечности:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
;
3. Вычислить, используя замечательные пределы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
Контрольные вопросы
1.Что называется пределом функции в точке? На бесконечности?
2.Какие свойства пределов функций вы знаете?
3.Как раскрывать неопределенности?
4.Какие замечательные пределы вы знаете?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311103.doc
Практическая работа №15-16
Тема: «Вычисление односторонних пределов. Исследование функций на непрерывность. Классификация точек разрыва»
Цель работы: научиться вычислять односторонние пределы, исследовать функций на
непрерывность, классифицировать точки разрыва.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Односторонние пределы
Вспомним определение предела функции в точке. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента хn¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), nÎN, сходится к числу В.
В приведенном выше определении предела функции в точке аргумент х принимает значение хn из окрестности точки а, кроме х=а, как слева, так и справа от а.
Если при нахождении предела рассматривать значения х только слева от а, то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается
; 
или 
,
если рассматривать значения х только справа от точки а, такой предел называется правым или правосторонним и обозначается
; 
или 
,
Левый и правый пределы называются односторонними пределами, а
предел функции в точке иногда называется двусторонним. В случае, когда изучают
односторонние пределы в точке х=0 (т.е. при х®0), запись упрощают и пишут для левостороннего предела 
, а для правостороннего - 
.
Из определений
следует, что если у f(x) существует предел в точке а и 
, (1)
то односторонние
пределы и также существуют и
, (2)
Верно и обратное утверждение: если имеет место (2), то имеет место и (1).
Таким образом, для установления существования предела функции f(x) в точке а достаточно проверить выполнение следующих трех условий:
а) существование левого предела;
б) существование правого предела;
в) совпадение односторонних пределов.
Непрерывность функции в точке
Функция f(x), х є (а; b) называется непрерывной в точке х0 є (а; b), если
предел функции f(x) в точке х0 существует и равен значению функции в этой точке:
Согласно данному определению непрерывность функции f в точке х0 означает выполнимость следующих условий:
1) функция f (х) должна быть определена в токе х0 ;
2) у функции f (х) должен существовать предел в точке х0
3) предел функции f (х) в точке х0 совпадает со значением функции в этой точке.
Например, функция f(x) =
х2 определена
на всей числовой прямой и 
Так
как f(1) = = 1, т.е. значение f(x) =
х2 в точке х = 1 совпадает с пределом при х
→ 1, то, согласно определению, функция f(x) =
х2 непрерывна в точке х = 1.
Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Дадим другое определение непрерывности функции в точке.Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она в этой точке определена
и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции, т.е. 
Если функция 
непрерывна в
точке , то точка называется точкой непрерывности.
В противном случае точка -
называется точкой разрыва.
Если функция имеет в точке разрыв, то для определения характера
разрыва следует найти предел функции при 
слева и справа. В зависимости от
характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают 2 основных
вида разрыва:
1) разрыв I рода – в этом случае
существуют конечные пределы 
2) разрыв II рода – в этом
случае хотя бы один из пределов 
или 
не существует или бесконечен.
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Найти предел функции f(x) = |x| при x®0
Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как f(x)=-x для х, удовлетворяющих неравенству x<0, то
.
Так как f(x)=x, при x>0
.
Таким образом, f(+0)=f(-0)=0. Так как односторонние пределы в точке нуль совпали, то предел функции f(x) в точке нуль существует и равен их общему значению, т.е.:
.
Пример 2. Доказать, что функция 
не
имеет предела в точке х=1.
Данная функция определена на всей числовой прямой. Вычислим односторонние пределы этой функции в точке х=1:
,
.
Итак, f(1-0)¹f(1+0). Следовательно, данная функция не имеет предела в точке х=1.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию 
в
точке 
.
Решение: воспользуемся определением 1:
1) Т.к. определена на всей числовой прямой, то
условие 1) выполнено;
2) 
; 
;
значит предел функции в точке существует
и 
.
3) 
;
Отсюда имеем, что 
, т.е.
предел функции при 
равен значению функции при 
. Следовательно,
функция 
в точке х=3
непрерывна.
Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию 
в точке 
.
Решение: опять воспользуемся определением 1:
1) в точке 
функция не
определена, значит нет выполнения первого условия, и непрерывности в точке нет.
Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию 
Решение: функция 
определена
на всей числовой оси. В таких случаях удобно для исследования на непрерывность
пользоваться вторым определением.
Дадим аргументу 
приращение 
и
найдем приращение функции 
:
Найдем предел при 
:
Т.к. равенство справедливо
при любом конечном значении ,
поэтому функция 
непрерывна при
любом значении .
Пример 6. Найти точки разрыва функций и определить их характер: а) 
; б) 
.
Решение: а) т.к. в
точке функция
не определена, значит ее
точкой разрыва будет точка . Для определения характера разрыва найдем
левый и правый пределы функции при
: 
; 
. Значит, функция в точке имеет разрыв II рода.
б) Функция имеет
единственную точку разрыва 
, в
которой функция не определена. Вычислим односторонние пределы функции при 
: 
; 
. Т.к. левый и правый пределы функции в точке
конечны, то точка - точка разрыва I рода.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 2x2 + 8x в точке x0 = -1; б) y = sin x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 2
1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = -2x2 + 5x в точке x0 = 2: б) y = x3 на (-∞;+∞)
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 3
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. 
функции f(x), заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = x2 + 7x в точке x0 = 3; б) y =sin 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:
а) 
; б) 
;
Вариант 4
1. Указать чему равны односторонние пределы в т. 
функции f(x) , заданной графиком:
2. Выяснить,
существует ли предел функции f(x) в т. 
, если
3. Исследовать на непрерывность функцию:
а) y = 4x2 – 3x + 1 в точке x0 = 2; б) y = cos 2x на (-∞;+∞);
4. Найти точки разрыва функции и определить их характер
а) 
;
б) 
Контрольные вопросы
1. Дайте определение односторонних пределов функции;
2. Сформулируйте условие существования предела функции в точке;
3. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?
4. Какие три условия необходимо проверить при исследовании функции на непрерывность?
5. Что такое точка непрерывности и точка разрыва?
6 . Как определить характер точки разрыва?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311104.doc
Лекция №10
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
1) Пусть и — бесконечно малые при . 1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут . 2. Если , где —число, отличное от нуля, то говорят, что и — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись ~ означает, что и —эквивалентные бесконечно малые. Если , то это означает, что . Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е. 3. Если и —бесконечно малые одного и того же порядка, причем , то говорят, что бесконечно малая имеет порядок по сравнению с . Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин: 1o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , то и . 2o. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т. е. если , . 3o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если , ~, ~, то .
2) Б.м. функции и называютсяэквивалентнымиилиравносильными б.м. одного порядка при, если
Обозначают: при .
Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Пусть - бесконечно малая при .
7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой
переменной (формулировка).
1) ТЕОРЕМА: (о предельном переходе в неравенстве.).
Пусть при всех n выполняется неравенство ,и переменные и имеют пределы:
;
Тогда:, т. е. .
Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.
Доказательство:
Предположим, что
Выделим вокруг точек и столь малые E – окрестности, чтобы они не пересекались.
По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные и попадут в свои E – окрестности предельных точек.
Это означает, что, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.
Замечание:
Если при всех n выполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.
2) ТЕОРЕМА: (о сжатой переменной).
Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.
8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей
конечный предел, с бесконечно малой.
1) Теорема. (Теорема о
сохранении знака непрерывной функции). Если 
, 
,
то 
.
Доказательство. Достаточно
доказать, что если 
,
то и 
.
Действительно, взяв
получаем
по определению непрерывности окрестность 
.
2) Теорема Для
того, чтобы функция 
имела
предел в точке aравный А, необходимо и достаточно, чтобы имело
место представление :
,
где 
-
бесконечно малая функция в точке a .
ДОК. (1) Если 
,
то функция 
б.м.ф.
Действительно,
(2) 
.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311105.doc
Практическая работа № 17
«Дифференцирование сложной функции»
Цель работы: научиться дифференцировать.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Понятие производной функции
Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Производной функции ƒ (x) в точке x0 называется отношение приращения функции ∆ƒ (x0) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ’(x0).
(1)
Производную функции y
= ƒ (x), x є ( a;b
) в точке x
обозначают ƒ’(x), y’(x),
, 
, причём
все эти обозначения равноправны. Операция нахождения производной называется дифференцированием
функции. Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой
в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке
интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале;
при этом производную ƒ’(x) можно рассматривать как функцию на (a
;b).
Таблица производных элементарных функций
Правила дифференцирования
На практике применяют следующие правила дифференцирования
1. 
2. 
,
3. 
, 
;
4. 
,
где u и υ обозначают дифференцируемые функции переменной x, C - константа.
Теорема. Пусть дана сложная функция 
, где 
.
Если функция дифференцируема в
некоторой точке х0, а функция определена
на множестве значений функции 
и
дифференцируема в точке 
, то
сложная функция 
в данной точке
х0 имеет производную, которая находится по формуле
или 
Пример по выполнению практической работы
, если 
.Решение:
, если 
Решение:
Пример 3. Вычислить ,
если 
Решение:
1) 
;
2) данная функция является суперпозицией трех функций, поэтому имеем
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
;
2) 
; 3) 
;
4) 
;
5); 
6) 
;
2. Вычислить 
, если 
;
3. Вычислить 
, если 
.
Вариант 2
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
5)
; 6) 
;
2. Вычислить 
, если 
;
3. Найти 
, если
.
Вариант 3
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
;
2) 
; 3) 
;
4) 
;
5) 
; 6) 
;
2. Вычислить 
), если 
;
3. Найти ,
если 
.
Вариант 4
1. Вычислить производные следующих функций:
1) 
;
2) 
; 3)
;
4) 
5)
; 6) 
;
2. Вычислить 
, если 
;
3. Найти 
, если
.
Контрольные вопросы
1. Что называется производной функции в точке?
2. Что такое дифференцирование?
3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
4. Перечислите табличные производные.
5. Какие правила дифференцирования вы знаете?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311106.doc
Практическая работа № 18
«Физические и геометрические приложения производной»
Цель работы: научиться применять физический и геометрический смысл
производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Геометрическое приложение производной
Производная функции y = y (x) при данном значении аргумента x = x0 равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой x0. (См. рис.):
y' (x0) = tg α
. (1)
Уравнение касательной к графику
функции y = y (x) в точке
М0 (x0 ; y0) имеет вид
y - y0 = y’(x0) (x - x0) . (2)
Если y (x) имеет при x = x0 бесконечную производную, то уравнение касательной таково:
x = x0. (3)
Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку касания М0 (x0 ; y0) перпендикулярно касательной, записывается в виде:
(4)
Физическое приложение производной
Производная 
от
функции y = y (x), вычисленная при значении аргумента x
= x0,
представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой
переменной x в точке x = x0.
В частности, если зависимость между пройденным путём s и
временем t при прямолинейном движении выражается формулой s
= s (t), то скорость движения в любой момент времени
t есть 
, а ускорение (т.е.
скорость изменения скорости движения) есть:
.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к параболе y = 2x2 - 6x + 3 в точке
М0 (1 ; -1).
Решение. Найдём производную функции y = 2x2 - 6x + 3 при x = 1. Имеем y’ = 4x - 6, откуда y’ (1) = -2.
Воспользовавшись уравнением (2), получим искомое уравнение касательной :
y - (-1) = -2 (x - 1), или 2x + y - 1 = 0.
Уравнение нормали получим, используя уравнение (4) :
,
или x - 2y - 3 = 0.
Пример 2. Составить уравнение касательной к кривой
x = t2 - 1,
y = t2 + t - 3
в точке М (3 ; -1).
Решение. Определим прежде всего значение t, соответствующее точке М (3 ; -1). Это значение должно одновременно удовлетворять уравнениям:
t2 - 1 = 3 и t2 + t - 3 = -1,
т.е.
t2 = 4 и t2 + t - 2 = 0.
Корни первого уравнения t1 = -2 и t2 = 2 ; корни второго уравнения t1 = -2 и t2 = 1. Таким образом, точке М соответствует значение t = -2.
Угловой
коэффициент касательной к кривой в точке М равен значению производной
в этой точке :
Следовательно, искомое уравнение касательной имеет вид
, или 3x -
4y - 13 = 0.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону 
(s выражается в метрах, t -
в секундах). Найти скорость и ускорение через 1 сек после начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени:
Отсюда v (1) = 4 (м/с).
Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени :
и, следовательно, а (1) = 6 (м/с2).
Задания для практического занятия:
Вариант 1.
1. Найти угол наклона
касательной, проведённой к кривой y = sin x в точке
.
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = sin 3x в точке (
; 0 )
.
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = 2(x – 9)2 + 12, в которой касательная
параллельна OX.
4. На параболе 
найдите точку, в которой касательная
параллельна прямой
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 5t + 1. Найти мгновенную
скорость и ускорение точки в момент времени t = 5c.
Вариант 2.
1. Найти угол наклона
касательной, проведённой к кривой y = cos x в точке 
.
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = cos 3x в точке (
;0).
3. Найти абсциссу
точки графика функции ƒ(x) = 
(x
– 6)2 - 12, в
которой касательная
параллельна OX.
4. В какой точке
касательная к параболе 
перпендикулярна прямой 
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t2 + 4t - 5. Найти мгновенную скорость и
ускорение точки в момент времени t = 2c.
Вариант 3.
1.
Найти угол наклона касательной, проведённой к кривой y = tg x в
точке
.
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = sin 2x в точке ( ;
).
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) = ln 3x - x, в которой касательная параллельна
OX.
4. Вычислите острые
углы, образуемые при пересечении параболы 
с
прямой
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 4t2 + 3t + 2. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 3c.
Вариант 4
1. Найти угол наклона
касательной, проведённой к кривой y = ctgx в
точке .
2. Составить
уравнение касательной к кривой y = cos 2x в точке (
; ).
3. Найти абсциссу точки графика функции ƒ(x) =6(x – 1)2 + 5, в которой касательная
параллельна OX.
4. Вычислите острые
углы, образуемые при пересечении парабол 
и 
.
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t2 + 8t + 10. Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t = 1c.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается геометрическое приложение производной?
2. В чем заключается физическое приложение производной?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311107.doc
Лекция №11
Понятие дифференциала функции. Свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/Dх=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.
Таким образом, приращение функции ∆у
представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно
малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного
порядка с ∆х, так как
а
второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ'(х)•∆х. (1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (1) можно записать так:
dy=ƒ'(х)dх, (2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
Дифференциал обладает следующими основными свойствами.
1. d(с)=0.
2. d(u+w-v)= du+dw-dv.
3. d(uv)=du·v+u·dv.
d(сu)=сd(u).
4. 
.
5. y=f(z), 
, 
,
.
Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.
24. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Функция F (х)
называется первообразной функцией для данной
функции f (х) (или, короче, первообразной данной
функции f (х)) на данном промежутке, если на этом
промежутке
. Пример. Функция 
является
первообразной функции 
на
всей числовой оси, так как 
при любом х.
Отметим, что вместе с функцией первообразной
для является любая функция вида 
, где С —
произвольное постоянное число (это следует из того, что производная
постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.
Теорема 1. Если ](https://documents.infourok.ru/989340ca-0cf5-4974-85ef-f8c91092be72/17/image013.gif){kind=small}
и ](https://documents.infourok.ru/989340ca-0cf5-4974-85ef-f8c91092be72/17/image014.gif){kind=small}
—
две первообразные для функции f (х) в некотором
промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному
числу.
Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х)
данной функции f (х), то все множество
первообразных для f (х) исчерпывается функциями F (х)
+ С.
Выражение F (х) + С, где F (х)
— первообразная функции f (х) и С —
произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от
функции f (х) и обозначается символом 
,
причем f (х) называется подынтегральной
функцией ;
— подынтегральным
выражением,
х — переменной интегрирования;
∫ — знак неопределенного интеграла.
Таким образом, по определению 
если .
Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х)
существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл?
Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на
[a ; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует
первообразная.
Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому
рассматриваемые нами далее в этом параграфе интегралы
существуют.
25. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g -
функции переменной x, F - первообразная
функции f,
а, k, C - постоянные величины.
· 
· 
· 
· 
Интегралы элементарных функций
Список интегралов от рациональных функций
(первообразная от нуля
есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)
Список интегралов от логарифмических функций
Список интегралов от экспоненциальных функций
Список интегралов от иррациональных
функций
(«длинный
логарифм»)
список интегралов от тригонометрических функций, список интегралов от обратных тригонометрических функций
26. Метод замены переменной, метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличнымили к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл 
Сделаем подстановку 
где 
— функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда 
и
на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного
интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:
Или:
В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл
где 
— многочлен 
-й
степени.
30. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
Основные свойства определенного інтеграла
Свойства определенного интеграла
где k -
константа;
для всех 
, то 
.
в интервале [a,
b], то 
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311108.doc
Практическая работа 19-20
Тема: «Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных»
Цель работы: научиться вычислять пределы, частные производные и дифференциалы функций нескольких действительных переменных.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Функции нескольких действительных переменных
Переменная величина z называется функцией двух переменных величин х и у, если каждой паре допустимых значений х и у соответствует единственное значение z. Функции двух переменных обозначают символами z=f(x, у), z = F(x,y), z = z(x, у) и т. п. Значение функции z=f(x, у) при х = а и у = b обозначают через f(a, b). Упорядоченная пара значений х и у называется точкой М(х; у), а функция двух переменных — функцией этой точки z=f(M). Переменная величина u называется функцией трех переменных величин х, у, z, если каждой упорядоченной тройке значений х, у, z соответствует единственное значение u. Аналогично определяется функция n переменных.
Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения (существования) функции. Некоторую замкнутую область D на плоскости, ограниченную данными линиями, можно задать с помощью одной или нескольких систем неравенств вида
(1)
Число А называется пределом функции z=z(x,y)=z(P) в
точке 
(
;
),если
для любого числа 
>0 существует
такое число б>0, что для всех точек P(x;y), лежащих внутри круга с центром в точке P0 и радиусом б (кроме,быть может,самой
точки P0), выполняется неравенство 
.
Коротко это записывается так же:
или 
(2)
Отметим, что этот предел не должен зависеть от способа приближения точки P к точке P0, т.е. точка P стремится к точке P0 по любой траектории.
Для функции двух переменных имеют место теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного, аналогичные соответствующим теоремам для функции одного аргумента.
Функция z=z(x,y)=z(P) называется непрерывной в точке P0(x0;y0)
если 
т.е. если предельное значение функции в точке равно ее частному значению в этой точке.
Функция, непрерывная в каждой точке какой-либо области, называется непрерывной в этой области.
Точка P0 называется точкой разрыва функции z=z(P), если эта функция определена в некоторой окрестности точки P0 и в ней непрерывность функции нарушается.
Функция z=z(P) может иметь разрывы не только в изолированных точках, но так же и на множестве точке, например на линиях разрыва.
Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций двух аргументов в некоторой точке так же являются непрерывными функциями в этой точке. Аналогично определяются понятия предела и непрерывности для функций трех и большего числа переменных.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Найти область определения функции 
Решение: Данная функция определена,
если 
, т.е. 
. Этому соотношению удовлетворяют
координаты всех точек плоскости, которые находятся внутри круга радиуса R
= 3 с центром в начале
координат, а также на его границе. Областью определения данной функции
и является указанный круг.
Пример 2. Найти область определения функции 
Решение: Первое слагаемое определено при x ≥ 0, второе - при у > 0. Следовательно, область определения есть I-ая четверть плоскости хОу.
Пример 3. Дана функция 
Вычислить
.
Решение:
Пример 4. Найти пределы: 1) 
2) 
Решение. 1) Так как 
то 
.
2) Здесь требуется вычислить предел при условии 
, т.е. при условии 
.
Находим:
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1) Найти область определения функции 
2) Вычислить значение функции f(1;2), если 
Вариант 2
1) Найти область определения функции 
;
2) Вычислить значение функции f(-2;3), если 
Вариант 3
1) Найти область определения функции
;
2) Вычислить значение функции f(5;-3), если 
;
Вариант 4
1) Найти область определения функции 
;
2) Вычислить значение функции f(-2;6), если 
Контрольные вопросы
1.Дать определение функции двух действительных переменных;
2. Что представляет собой область определения функции двух действительных переменных?
3.Дать определение предела функции двух действительных переменных.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie311109.doc
Практическая работа №21
Тема: «Вычисление пределов, частных производных и дифференциалов функций нескольких действительных переменных»
Цель работы: научиться вычислять пределы, частные производные и дифференциалы функций нескольких действительных переменных.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Частные производные и полный дифференциал
Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется производная этой функции при постоянном
значении переменной у; она обозначается 
или
z'x.
Частной производной функции z=f(x, у) по
переменной у называется
производная по у при постоянном значении переменной х; она
обозначается 
или z'y.
Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.
Полным дифференциалом функции z=f(x, у) в некоторой точке М(х,у) называется выражение
(3)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1.Найти частные производные функций:
Решение: 1) Находим частную производную по переменной х при
постоянном у: 
Находим частную производную по переменной у при постоянном х:
Пример 2. Вычислить значение частной производной функции 
в точке М(-2; 3).
Решение: Находим
В полученные выражения подставим значения х= -2 и у = 3:
Пример 3. Вычислить полный дифференциал функции 
в
точке (1; -1)
Решение: Находим частные производные:
Тогда с учетом формулы (3) имеем: 
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1) Вычислить предел: 
;
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
; б) 
Вариант 2
1) Вычислить предел: 
;
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
;
б) 
.
Вариант 3
1) Вычислить предел: 
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
б) 
;
Вариант 4
1) Вычислить предел: 
;
2) Вычислить частные производные и полный дифференциал функции:
а) 
; б) 
Контрольные вопросы
1.Дать определение предела функции двух действительных переменных;
2. Какая функция двух действительных переменных называется непрерывной в точке?
3. Дать определение частных производных и полного дифференциала функции двух действительных переменных
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3112.doc
Практическая работа № 6 -7
Тема: «Составление уравнений прямых и плоскостей. Определение взаимного расположения прямой и плоскости.»
Цель работы: научиться составлять различные уравнения прямых на плоскости,
определять их взаимное положение.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых
второго порядка на плоскости.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и
аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Общее уравнение прямой
Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат x и y
Ax+By+C=0, (1)
где A и B одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.
Верно и обратное утверждение: в декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени вида (1). Уравнение (1) называется общим уравнением прямой. Частные случаи уравнения (1) приведены в следующей таблице.
|
Значение коэффициентов |
Уравнение прямой |
Положение прямой |
|
С=0 А=0 В=0 А=0, С=0 В=0, С=0 |
Ах+Ву=0 у=b, где b= -С / В x=a, где a= -C / A y=0 x=0 |
Проходит через начало координат Параллельна оси Ох Параллельна оси Оу Совпадает с осью Ох Совпадает с осью Оу |
Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой
Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол φ, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до её совпадения с данной прямой. Направление любой прямой характеризуется её угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона φ этой прямой к оси Ох, т.е. k=tg φ. Исключения составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающий ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде:
y=kx+b. (2)
Угловой коэффициент k прямой, заданной уравнением Ax+By+C=0, находится как коэффициент k прямой, заданной двумя точками А(ха; уа) и В(хВ;уВ), вычисляется по формуле:
(3)
Уравнение прямой в отрезках
Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:
(4)
где а и b – абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, т.е. длины
отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с соответствующими знаками.
Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении
Уравнение прямой, проходящей через т.у А(ха; уа) и имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде
у – уа=k (x – xa). (5)
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение прямой, проходящей через две точки т. А (х1; у1) и т.В (х2; у2), имеет вид
(6)
Если точки А и В определяют прямую, параллельную оси Ох (у1 = у2) или оси Оу (х1 = х2), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде:
у = у1 или х = х1 (7)
Нормальное уравнение прямой
Пусть дана
прямая С, проходящая через данную точку Мо(Хо; Уо) и перпендикулярная вектору 
(А;В).
Любой вектор 
, перпендикулярный данной прямой 
, называется ее нормальным
вектором. Выберем на прямой произвольную т. М(х;у). Тогда 
, а
значит их скалярное произведение 
. Это равенство можно записать в координатах
А( х-хо )+В( у-уо )=0 (8)
Уравнение (8) называется нормальным уравнением прямой.
Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Пусть прямая l задана начальной точкой М0 (х0; у0)
и направляющим вектором 
(а1;а2),. Пусть т. М(х ; у) –
любая точка, лежащая на прямой l . Тогда вектор 
коллинеарен вектору . Следовательно, =
. Записывая это уравнение в координатах, получаем
параметрическое уравнение прямой
(9)
Исключим параметр t из уравнения (9). Это возможно, так как
вектор 
, и потому хотя бы одна из
его координат отлична от нуля.
Пусть 
и 
, тогда 
, 
и, следовательно,
= 
. (10)
Уравнение (10) называется каноническим уравнением прямой с направляющим вектором
=(а1;
а2). Если а1 =0 и
, то уравнения (9) примут
вид
.
Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси, Оу и проходящая через точку
М0 (х0; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид
х=х0 (11)
Если , 
,
то уравнения (9) примут вид
Этими уравнениями задается прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку
М0 (х0; у0). Каноническое уравнение такой прямой имеет вид
у=у0
(12)
Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух
прямых
Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями:
и 
Тогда угол φ между ними определяется по формуле:
(13)
Условие
параллельности 2-х прямых:
(14)
Условие
перпендикулярности 2-х
прямых: 
(15)
Условие
параллельности в этом случае
имеет вид: 
(17)
Условие
перпендикулярности
прямых: 
(18)
Если две прямые заданы каноническими уравнениями:
и 
то угол φ между этими прямыми определяется по формуле:
(19)
Условие
параллельности прямых: 
(20)
Условие
перпендикулярности
прямых: 
(21)
Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от точки М(х1; у1) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле
(22)
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Построить прямую 3х–2у+6=0.
Решение: Для построения прямой достаточно знать какие-либо две её точки, например, точки её пересечения с осями координат. Точку А пересечения прямой с осью Ох можно получить, если в уравнении прямой принять у=0.Тогда имеем 3х+6=0, т.е. х=-2. Таким образом, А(–2;0).
Тогда В пересечения прямой с осью Оу имеет абсциссу х=0; следовательно, ордината точки В находится из уравнения –2у+6=0, т.е. у=3. Таким образом, В(0;3).
Пример 2. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуплоскости Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол φ =30˚.
Решение: Прямая пересекает ось Оу
в точке В (0;–2) и имеет угловой коэффициент k=tg φ= =
. Полагая в уравнении
(2) k=
и b = –2, получим искомое уравнение
или 
.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (–1; 2) и
В (0;–3). (указание: угловой коэффициент прямой находится по формуле (3))
Решение: 
.Отсюда имеем 
.
Подставив в это уравнение координаты т.В, получим: 
, т.е. начальная
ордината b = –3 . Тогда получим уравнение 
.
Пример 4. Общее уравнение прямой 2х – 3у – 6 = 0 привести к уравнению в отрезках.
Решение:
запишем данное уравнение в виде 2х – 3у=6 и разделим обе его
части на свободный член: 
. Это и есть уравнение
данной прямой в отрезках.
Пример 5. Через точку А (1;2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.
Решение: Пусть уравнение искомой прямой
имеет вид 
По условию а=b.
Следовательно, уравнение принимает вид х + у = а. Так
как точка А (1; 2) принадлежит этой прямой, значит ее координаты удовлетворяют
уравнению х + у = а; т.е. 1 + 2 = а, откуда а
= 3. Итак, искомое уравнение записывается следующим образом: х + у = 3,
или х + у – 3 = 0.
Пример 6. Для прямой 
написать уравнение в отрезках. Вычислить площадь треугольника,
образованного этой прямой и осями координат.
Решение: Преобразуем данное уравнение
следующим образом: 
, или 
.
В результате получим уравнение 
, которое и является уравнением данной
прямой в отрезках. Треугольник, образованный данной прямой и осями
координат, является прямоугольным треугольником с катетами, равными 4 и 3,
поэтому его площадь равна S= 
(кв. ед.)
Пример 7. Составить уравнение прямой, проходящий через точку (–2; 5) и образующей с осью Ох угол 45º.
Решение: Угловой коэффициент искомой прямой k= tg 45º = 1. Поэтому, воспользовавшись уравнением (5), получаем у – 5 = x – (–2), или х – у + 7 = 0.
Пример 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(–3; 5) и В(7; –2).
Решение: Воспользуемся уравнением (6):
, или 
,
откуда 7х + 10у – 29 = 0.
Пример 9. Проверить, лежат ли точки А(5; 2), В(3; 1) и С(–1; –1) на одной прямой.
Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С:
, или 
Подставляя в это уравнение координаты
точки В (хВ = 3 и уВ = 1),
получим (3–5) / (–6)= = (1–2) / (–3), т.е. получаем верное равенство. Т. о.,
координаты точки В удовлетворяют уравнению прямой (АС), т.е. 
.
Пример 10: Составить уравнение прямой, проходящую через т. А(2;-3).
Перпендикулярную 
=(-1;5)
Решение: Пользуясь формулой (8), находим уравнение данной прямой -1(х-2)+5(у+3)=0,
или окончательно, х – 5 у - 17=0.
Пример 11: Даны точки М1 (2;-1) и М2(4;
5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно
вектору 
Решение:
Нормальный вектор искомой прямой 
имеет координаты (2;6), следовательно по формуле (8) получим
уравнение 2(х-2)+6(у+1)=0 или х+3у +1=0.
Пример 12: Вычислить угол между прямыми 
и 
.
Решение: 
; 
.
Пример 13: Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение: а) 
;
б)
Пример 14: Вычислить угол между прямыми 
Решение: 
Пример 15: Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение: 
Пример 16: найти угол между прямыми 
и
.
Решение: 
.
Пример 17: выяснить взаимное расположение прямых:
а)
и 
;
б) 
и 
.
Решение: а)
- прямые параллельны;
б)
- значит, прямые
перпендикулярны.
Пример 18: Вычислить расстояние от точки М(6; 8) до
прямой 
Решение: по формуле
(22) получим: 
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Привести общее уравнение прямой 2x+3y-6=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (-3;4), точки В (-4;-3), точки С (8;1). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой,
проходящей через точку М0 (-2;4) и параллельной вектору 
(6;-1);
4. Вычислить угол между прямыми
а) 
и 
; б) 
и 
;
5. Определить взаимное расположение 2-х прямых 2x – 5y – 20 = 0 и 5x + 2y – 10 = 0;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(1; 6) и т.В(9; 8).
Вариант 2
1. Привести общее уравнение прямой 3x-4y+12=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (4;2), точки В (1;5), точки
С (-2;6). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой,
проходящей через точку М0 (3;-4) и параллельной вектору (-7;5);
4. Вычислить угол между прямыми:
а) 2x - 3y + 7 =
0 и 3x - y + 5 = 0 ; б) 
и y = 2x – 4;
5.Определить взаимное
расположение 2-х прямых 
и 
;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(18;8) и т.В(-2; -6).
Вариант 3
1. Привести общее уравнение прямой 4x-5y+20=0 к уравнению в отрезках и вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от соответствующего координатного угла;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (3;-2), точки В (7;3), точки
С (0;8). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через точку M0 (-1;-2) и
параллельной вектору 
(3;-5);
4. Вычислить угол между прямыми
а) 3x + y - 7 =
0 и x - y + 4 = 0; б) 
и 
;
5. Определить
взаимное расположение 2-х прямых 
и y = 5x + 3;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(4;-3) и т.В(-6; 5).
Вариант 4
1. Привести общее уравнение прямой 12x-5y+60=0 к уравнению в отрезках и вычислить длину отрезка, который отсекается от этой прямой соответствующим координатным углом;
2. В ∆ABC вершины имеют координаты точки А (0;-2), точки В (3;6), точки С (1;-4). Составить уравнения стороны (AB), высоты (ВК) и медианы (CМ);
3. Вычислить угловой коэффициент прямой,
проходящей через точку M0(4;4) и параллельной вектору 
(-2;7);
4.Вычислить угол между прямыми
а) x +4 y + 8 =
0 и 7x - 3y + 5 = 0; б) 
и
;
5. Определить
взаимное расположение 2-х прямых 
и 
;
6. Вычислить расстояние от середины отрезка АВ
до прямой 
, если известны координаты концов отрезка
т.А(-4; 8) и т.В(0; 4).
Контрольные вопросы
1. Назовите уравнения прямой на плоскости, когда известны точка, через которую она проходит и ее направляющий вектор;
2. Какой вид имеет нормальное, общее уравнения прямой на плоскости;
3. Назовите уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом;
4. Перечислите формулы для вычисления угла между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
5. Как найти расстояние от точки до прямой?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3113.doc
Лекция № 6
Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
Над матрицами можно производить следующие операции: умножение на число, сложение, умножение матриц и нахождение обратной матрицы. Первые две операции называются линейными.
Определение. Произведением матрицы A размера m´n на число l, называется матрица B=lA размера m´n, каждый элемент bij которой равен laij.
Пример 1. 
Определение. Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица C=A+B того же размера, каждый элемент cij которой равен aij+bij.
Пример 2. 
Матрицы разного размера складывать нельзя.
Эти операции обладают свойствами:
а) коммутативности: A+B=B+A,
б) ассоциативности: (A+B)+C=A+(B+C),
в) дистрибутивности: l(A+B)=lA+lB.
Операцию умножения матриц определим в два этапа.
Определение. Произведением строки A из n элементов на столбец B из n элементов называется число AB, равное сумме произведений соответствующих элементов строки и столбца, т.е.
Строку и столбец разной длины перемножать нельзя.
Пример 3. 
Определение. Произведением матрицы A размера m´n на матрицу B размера n´k называется матрица C размера m´k, каждый элемент cij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на j–ый столбец матрицы B, т.е.
Пример 4. Пусть 
, 
.
Найдём матрицы AB и BA.
Мы видим, что AB¹BA, т.е. умножение матриц свойством коммутативности не обладает.
Единичная матрица E играет роль единицы при умножении на квадратную матрицу, т.е. для любой квадратной матрицы A верно равенство
AE=EA=A.
Произведение матриц соответствующих размеров обладает свойствами:
а) ассоциативности: A (BC)=(AB) C;
б) дистрибутивности: A (B+C)=AB+AC и (B+C) A=BA+CA.
Кроме того, для квадратных матриц |AB|=|A|×|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется такая матрица A-1, что выполняется равенство A×A-1=A-1×A=E.
Определение. Квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.
Пример 5. Матрица 
–
вырождена, 
–
невырождена.
Из соотношения |A|×|A-1|=|E|=1 следует, что у вырожденной матрицы не может быть обратной (0×|A-1|¹1).
Определение. Присоединённой
матрицей для квадратной матрицы A называется
матрица 
,
элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов
матрицы A,т.е.
Пример 6. Пусть 
,
тогда
A11=(–1) 1+1×4=4,
A12=(–1) 1+2×3= –3,
A21=(–1) 2+1×2= –2,
A22=(–1) 2+2×1=1,
Теорема об обратной матрице. Невырожденные матрицы и только они имеют обратные матрицы, которые находятся по формуле
(Здесь 
–
присоединённая транспонированная матрица).
Пример 7. Найдём
обратную матрицу для матрицы 
.
Поскольку 
,
то обратная матрица существует. В предыдущем примере мы получили, что
,
поэтому
и 
.
Сделаем проверку.
т.е. AA-1= A-1A=E.
Обратная матрица обладает следующими свойствами:
Если A и B невырожденные матрицы, то (A-1)-1=A, (AB)-1= B-1 A-1, |A-1|=|A|-1.
§ 1.5. Ранг матрицы
Рассмотрим одну числовую характеристику любой (необязательно квадратной) матрицы. Ранг матрицы определяет число так называемых базисных строк или столбцов матрицы, через которые с помощью линейных операций можно получить все остальные строки или столбцы матрицы.
Определение. Минором k-го порядка матрицы A называется определитель, составленный из элементов стоящих на пересечении произвольно выбранных k -столбцов и k-строк этой матрицы.
Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
Он обозначается символом r(A) или rangA. r(A) – целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и столбцов матрицы A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Для нахождения r(A) формально необходимо рассмотреть все миноры A, начиная с 1-го порядка и проверить их на вырожденность.
Метод окаймляющих миноров позволяет сократить эту процедуру. Он состоит в следующем. Выбираем любой невырожденный минор 1-го порядка (ненулевой элемент матрицы A). Обозначим его через M1. Затем рассматриваем все миноры 2-го порядка, содержащие M1 (окаймляющие его). Если все они вырождены, тоr(A)=1, если нет, то невырожденный минор 2-го порядка обозначаем через M2 и так далее. Если у матрицыA есть невырожденный минор k-го порядка и все окаймляющие его миноры (если они есть) вырождены, тоr(A)=k, иначе выбираем минор Mk+1 и продолжаем этот процесс.
Пример 9. Найдём
ранг матрицы 
.
У матрицы выбираем невырожденный минор 1-го
порядка M1=(a11)=1. Среди окаймляющих
его миноров есть один невырожденный 
.
Единственный минор 3-го порядка окаймляющий M2 – это сама
матрица A. Но, поскольку 
,
то A – вырождена и r(A)=2.
Рассмотрим ещё один метод нахождения r(A), который называется методом элементарных преобразований или методом Гаусса.
Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования:
1. Перестановка строк или столбцов местами.
2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.
3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число l.
4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.
Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований матрица A приводится к треугольному виду с ненулевыми элементами на главной диагонали (если матрица не квадратная, то она приводится к ступенчатому виду). Число этих ненулевых элементов совпадает с рангом матрицы.
Перестановку строк или столбцов местами будем обозначать символом ↕, где стрелки указывают на переставляемые строки или столбцы, а третье элементарное преобразование символом (l), где стрелка начинается у строки, которую умножаем на l и заканчивается у изменяемой строки.
Пример 10. Найдём
ранг матрицы 
.
Проведём элементарные преобразования согласно методу Гаусса.
~
~
~
.
Следовательно, r(A)=2.
Определение. Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r(A).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3114.doc
Практическая работа № 8
Тема: «Вычисление определителей, ранга матриц.»
Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определители.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- выполнять операции над матрицами.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде
или сокращенно: 
, где 
(т.е. 
)
– номер строки, 
(т.е. 
) - номер столбца. Матрицу 
называют матрицей размера 
и пишут 
. Числа
,
составляющие матрицу, называются ее элементами.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем
же номером, называется матрицей транспонированной к данной и
обозначается 
.
Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух
матриц 
и 
называется
матрица 
такая,
что
(,).Аналогично определяется разность
матриц.
Умножение вектора на число
Произведением матрицы на
число k называется матрица такая,
что 
(
,).
Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится
только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы на матрицу 
называется
матрица 
такая, что
, где ,
т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.
Тогда произведение 
не определено, так как число столбцов матрицы
А (их 3) не совпадает с числом строк матрицы В (их 2). При этом
определено произведение 
, которое считают
следующим образом:
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1. 
3. 
2. 
4. 
Определитель матрицы
Квадратной матрице А порядка n можно
сопоставить число det А (или 
, или 
), называемое ее определителем,
следующим образом:
1. 
2. 
3. 
Свойства определителей
Если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.
Свойство1. («Элементарные преобразования определителей»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Минором некоторого элемента определителя
n-го порядка называется определитель n - 1-го порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный
элемент. Обозначается 
. Так если:
то 
Алгебраическим дополнением элемента определителя
называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма 
четное
число, и со
знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается 
.
Свойство 2. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»).
Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. В случае определителей 3-го порядка свойство 7 означает, что
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель ∆ = det A≠0. В противном случае (∆ = 0) матрица А называется вырожденной.
Союзная и обратная матрицы
Матрицей союзной к матрице А называется матрица:
A*= 
,
где А
- алгебраическое дополнение элемента а данной матрицы А. Матрица А
называется обратной матрице
А, если выполняется условие А·А=А·А=Е,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Пусть А – невырожденная матрица
A=
, и det A≠0.
Составим союзную матрицу
A*=
Тогда A=
, т.е. A=
·
.
Отметим свойства обратной матрицы:
) =;=B·A;)
=(A).Пример по выполнению практической работы
Пример 1. 
Пример 2. 
Пример 3. 
.
Пример 4. Найти определитель
матрицы 
.
Решение: 
Пример 5. Вычислить определитель
Ответ: =4.
Пример 7. Найти А, если 
Решение: 
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
Союзная матрица будет
следующей: 
. Вычислим обратную матрицу:
Проверкой 
убеждаемся, что обратная матрица найдена
верно.
Задания для практического занятия:
Даны матрицы А и В. Найти:
:
Вариант 1 Вариант 2
A=
; B =
; A =
; B =
Вариант 3 Вариант 4
A =
; B =
; A =
; B =
;
Контрольные вопросы
1. Что называется матрицей? Дать определения основных понятий матрицы;
2. Какая матрица называется квадратной? Единичной?
3. Какие операции можно производить над матрицами?
4. Что такое определитель матрицы? Перечислите его свойства;
5. Как вычислить минор и алгебраическое дополнение элемента 
матрицы А?
7. Как найти союзную и обратную матрицы для матрицы А?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3115.doc
Практическая работа № 9
«Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Система линейных уравнений. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
(1)
где числа 
, называются коэффициентами системы,
числа 
- свободными членами.
Подлежат нахождению числа 
. Такую
систему удобно записывать в компактной матричной форме:
(2)
здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:
вектор - столбец из неизвестных 
вектор - столбец из
свободных членов 
(3)
Расширенной
матрицей системы называется матрица 
,
дополненная столбцом членов
(4)
Решением
системы называется 
значений неизвестных 
, 
,
, при подстановке которых
все уравнения системы обращаются в верные равенства.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или не совместна и если система совместна, значит найти ее общее значение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы чаще всего получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Решение систем методом обратных матриц
Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными:
(5)
или в матричной
форме 
. Основная матрица А такойсистемы
квадратная. Определитель этой матрицы:
называется
главным определителем системы. Если определитель системы
отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем
решение данной системы уравнений в случае 
.
Умножив
обе части уравнения слева на
матрицу 
, получим 
Поскольку 
и 
, то
(6)
Отыскание решения системы по формуле (1) называют методом обратных матриц решения системы.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему уравнений методом обратных матриц:
Решение: 
Составим союзную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения:
Союзная матрица будет
следующей: 
.
Вычислим обратную матрицу:
Найдем решение системы по формуле (6):
.
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 2; -1)
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в) 
Вариант 2
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б)
в) 
Вариант 3
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в)
Вариант 4
1. Методом обратных матриц найти решение системы:
а) 
б) 
в)
Контрольные вопросы
1. Укажите общий вид системы n линейных уравнений с n неизвестными;
2. Что значит решить систему уравнений? Дать определение общего и частного решений;
3. Опишите метод обратных матриц решения систем линейных уравнений.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3116.doc
Лекция № 7
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения, правило Крамера.
Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:
(1.1)
Здесь переменные x1,x2,...,xn называются неизвестными системы, числа aij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,nназываются коэффициентами системы, а числа b1,b2,...,bm – свободными членами.
Числа x1,x2,...,xn, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, инеопределенной, если она имеет более одного решения.
Пример1. Система 
совместна, так
как имеет решение x1=1, x2=2.
Система 
несовместна.
Имеется более краткая запись С.Л.А.У., она состоит в следующем.
Обозначаем через A матрицу размера m´n, составленную из коэффициентов при неизвестных
.
Она называется матрицей системы.
Столбец свободных членов обозначим через 
, а столбец из неизвестных системы
через 
.
Тогда систему (1.1) можно записать в виде матричного уравнения:
или, короче, AX=B.
Эта запись называется матричной формой записи системы.
В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A-1.
Теорема. С. Л. А. У. , имеющая квадратную невырожденную
матрицу, имеет единственное решение, которое находится по формуле: X=A-1B.
Доказательство. Умножим обе части равенства AX=B слева на A-1, получим A-1AX=A-1B, отсюда EX=A-1B и X=A-1B.
Метод решения С.Л.А.У. с использованием соотношения X=A-1B называется матричным методом решения.
Пример2. Решим систему матричным методом.
Матрица этой системы 
– невырожденная, |A|=–3. Найдём обратную матрицу 
. Для данной системы 
, поэтому 
,
cледовательно x1=1, x2=2.
Данный метод решения систем можно записать и в несколько ином виде, который называется правилом Крамера.
Следствие. Пусть
С.Л.А.У. имеет квадратную матрицу A n-го порядка, |A|=D¹0. Пусть Di – определитель
матрицы системы, в которой вместо i-го столбца подставлен столбец свободных
членов. Тогда эта система имеет единственное решение, которое находится по
формулам
Эти
формулы называются формулами Крамера.
Пример3. Решим систему по правилу Крамера.
поэтому: 
§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
Матричный метод и правило Крамера обладают двумя существенными недостатками. Во–первых, они применимы только для систем с невырожденной квадратной матрицей и не работают в случае, когда D=0. Во–вторых, с ростом n объём вычислений для этих методов слишком быстро возрастает и для n>10 они уже практически неприменимы. Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.
Исследовать систему – это значит определить совместна ли она и, в случае совместности, определить, сколько решений она имеет.
Определение. Расширенной матрицей С.Л.А.У. называется матрица, полученная из матрицы системы приписыванием справа столбца свободных членов системы.
Для системы из m уравнений
с n неизвестными, она имеет размер m´(n+1) и обозначается
через 
.
Свободные члены обычно отделяются вертикальной чертой.
Понятно, что ранг 
либо равен рангу A, либо превышает его на
1. Следующая теорема позволяет устанавливать факт совместности или
несовместности системы.
Теорема Кронекера – Капелли. Система
линейных алгебраических уравнений совместна только в том случае, когда ранг её
матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы (r(A)= r(
)).
Если r(A)
r(), то СЛАУ решений не имеет.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
Пусть r<n. r неизвестных 
называются базисными,
если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор)
отличен от нуля. Остальные n-r называются свободными.
При решении системы линейных уравнений не нужно отдельно вычислять ранги, а затем их сравнивать. Достаточно сразу применить метод Гаусса.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не над самими уравнениями, а над матрицей их коэффициентов.
Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими :
Пример4.
Исследовать и решить систему
Запишем расширенную матрицу 
и приведём её к треугольному
виду:
т.к. r(
)= r(A)=3 система совместна и
имеет единственное решение. По последней матрице восстанавливаем систему и
решаем её, начиная с последнего
уравнения.
Мы получили, что r(A)=2, r()=3 т.е. r(A) r(). Система решений не имеет.
Пример 5. Исследовать и решить
систему 
Запишем и приведем к треугольному виду
матрицу 
.
Мы получили, что r(A)=2, r()=3 т.е. r(A) r(). Система решений не имеет.
Пример 6. Исследовать и
решить систему 
.
Запишем и приведем к треугольному виду матрицу .
Здесь r(A)=r(
)=2<3. Система имеет бесконечно
много решений зависящих от 3–2=1 свободного неизвестного 
. Задавая свободному неизвестному
произвольные значения =с, найдем бесконечное множество решений
системы. Восстановим систему по последней матрице и решим её.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3117.doc
Практическая работа № 10
Решение систем линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Матричное равенство 
запишем в виде:
(7)
или
(8)
Отсюда следует,
что 
(9)
Но 
есть разложение определителя
по элементам первого
столбца. Определитель 
получается
из определителя 
путем замены
первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Итак, 
.
Аналогично 
, где 
получен
из путем замены второго
столбца коэффициентов столбцом свободных членов, 
Формулы
(10)
называются формулами Крамера.
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему методом Крамера:
3x1
+ x2
– 2x3 =
6;
5x1 – 3x2 + 2x3 = -4;
4x1 – 2x2 – 3x3 = -2.
Находим главный определитель системы:
 |
3 1 -2
∆ = 5 -3 2 = 3∙(-3) ∙ (-3) + 1∙ 2∙ 4 + 5∙(-2) ∙ (-2) – 4∙(-3) ∙ (-2) – 5∙ 1∙(-3) –
4 -2 -3 - (-2) ∙ 2∙ 3 =27 +8 +20 -24 + 15 + 12 = 58.
Так как главный определитель системы не равен нулю, то она совместна. Находим определители: ∆x1, ∆x2, ∆x3. Определитель ∆x1 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём первого столбца на столбец свободных членов.
|
|
6 1 -2
∆x1 = -4 -3 2 = 54 – 4 – 16 + 12 – 12 + 24 = 58.
-2 -2 -3
Т.к. ∆x1 отличен от нуля, значит решение системы единственное. Определитель ∆x2 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём второго столбца на столбец свободных членов.
3 6 -2
∆x2 = 5 -4 2 = 36 + 48 + 20 – 32 + 90 + 12 = 174.
4 -2 -3
Определитель ∆x3 получается из главного определителя ∆ путём замены в нём третьего столбца на столбец свободных членов.
|
|
3 1 6
∆x3 = 5 -3 -4 = 18 – 16 – 60 + 72 + 10 – 24 = 0.
4 -2 -2
По формулам Крамера: x1 = = 
=1; x2 = =
3
; 
=
= 0.
Итак, решением системы будет тройка чисел (1; 3; 0).
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б) 
в) 
Вариант 2
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б) 
в)
Вариант 3
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б)
в) 
Вариант 4
1. Решить систему методом Крамера:
а) 
б) 
в)
Контрольные вопросы
1. В каком случае система уравнений будет несовместной при решении методом Крамера;
2. Напишите общий вид формул Крамера;
3. Опишите метод Крамера решения систем линейных уравнений.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3118.doc
Практическая работа № 11-12
Решение систем линейных алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.
«Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»
Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- решать системы линейных уравнений.
знать:
- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений
(11)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду:
(12)
где 
Коэффициенты 
называются
главными элементами системы. На втором этапе (обратный ход) идет
последовательно определении неизвестных из этой ступенчатой системы.
Замечание 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной,
т. е. 
, то
исходная система (11) имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим 
из
предпоследнего уравнения 
далее поднимаясь по
системе вверх, найдем все остальные неизвестные 
Пример по выполнению практической работы
Пример 1. Решить систему методом Гаусса:
Решение: в результате элементарных преобразований над расширенной матрицей
системы:
Исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение
системы: 
Если положить,
например, 
найдем одно из частных решений этой
системы 
Пример 2. Решить систему методом Гаусса:
Решение. Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
Полученная матрица соответствует системе
Осуществляя обратный
ход, находим 
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б)
в) 
Вариант 2
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б) 
в)
Вариант 3
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б) 
в)
Вариант 4
1. Найти решение системы методом Гаусса:
а) 
б) 
в)
Контрольные вопросы
1. В каком случае исходная система имеет единственное решение?;
2. С чем работают на практике для упрощения преобразований над системой?;
3. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie3119.doc
Лекция №8
Постановка задачи линейного программирования. Геометрический метод решения задач линейного программирования. Основные понятия, теоремы, следствия.
1.1. Постановка задачи линейного программирования
Среди оптимизационных задач наиболее известны задачи линейного программирования (ЛП), в которых функция f(x) является линейной, а ограничения задаются либо линейными равенствами, либо неравенствами.
Существует ряд экономических задач, которые сводятся к линейным математическим моделям.
Для практического решения экономической задачи математическими методами ее следует записать с помощью экономико-математической модели.
Экономико-математическая модель – это математическое описание исследуемого математического процесса или объекта. Модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений [7].
Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели [12].
При решении задач оптимизации можно встретить различные виды задач ЛП.
Виды задач ЛП:
Постановка задачи линейного программирования (ЛП).
В общем виде математическая запись задачи линейного программирования формулируется следующим образом:
Заданы переменные 
,
,
…,
.
Требуется найти такие значения переменных , ,
…, , которые приводят к экстремальному значению целевой функции 
(1),
|
|
(1) |
удовлетворяют системе 
линейных
ограничений (2)
|
|
(2) |
а также удовлетворяют и, при необходимости, условию неотрицательности
|
|
(3) |
Система линейных ограничений (2) может содержать как равенства, так и неравенства.
Таким образом, общей задачей ЛПназывается задача, в которой имеютсяограничения, какв виде равенств, так ив виде неравенств, кроме того, требованиенеотрицательностиможет быть наложеноне на все переменные [8].
Стандартная задача– это задача с однотипными ограничениями –неравенствамиинеотрицательными переменными. В стандартных задачах соотношение между числами неизвестныхnи числом ограниченийmможет быть произвольным [8].
Каноническая задача – задача, гдевсе переменные не являются отрицательными, аограниченияимеютформу равенства. В канонической задаче количество неизвестных всегда больше числа уравнений(n>m) [8].
Замечание: Любая задача ЛП может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче, т.е. задачи эквивалентны между собой.
Отразим основные черты задач линейного программирования в нижеприведенной таблице 1.
Таблица 1
Виды задач ЛП
|
Задача ЛП в общем виде: |
Стандартная задача: |
Каноническая задача |
|
Переменные:
|
Переменные: , , …, . Соотношение между числами неизвестныхnи числом ограниченийmможет быть произвольным |
Переменные: , , …, . В канонической задаче количество неизвестных всегда больше числа уравнений(n>m) |
|
Целевая функция (ЦФ):
|
ЦФ:
|
ЦФ: |
|
Система ограничений (СО):
|
СО:
|
СО:
|
|
Условие неотрицательности (УН) не на все переменные
|
УН:
|
УН: |
Допустимым решением (планом)
задачи линейного программирования называется любой 
-мерный
вектор 
,
удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такоедопустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
1.2. Геометрический метод решения задач ЛП
Существует несколько методов решения задач ЛП. Одним из способов решения задач оптимизации для двух переменных является геометрический метод.
Основные теоремы[7]
Теорема 1. Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное значение в одной из угловых точек многоугольника решений, если целевая функция принимает максимальное значение более чем в одной угловой точке, то она принимает его в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.
Данная теорема указывает путь решения задач ЛП, то есть вместо исследования бесконечного множества допустимых решений для нахождения среди них искомого оптимального решения необходимо исследовать только конечное число угловых точек многоугольника решений.
Теорема 2. Каждому допустимому базисному решению в задачи ЛП соответствуют угловая точка многоугольника решений и наоборот каждой угловой точке многоугольника решений соответствует допустимое базисное решение.
Следствие. Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то оно совпадает, по крайней мере, с одним из ее допустимых базисных решений.
Вывод: оптимальное значение целевой функции в задаче ЛП следует искать среди конечного числа ее допустимых базисных решений.
Алгоритм решения задач ЛП геометрическим методом [3]:
–
вектора наискорейшего возрастания целевой функции.Варианты ОДР:
Таблица 2
Соотношение вариантов ОДР и вариантов
оптимальных планов
|
Возможные варианты ОДР |
Оптимальный план в соответствии с ОДР |
|
1. Выпуклая многоугольная область |
1. Координаты одной из угловых точек, задача имеет единственное решение. 2.
Координаты точек отрезка, то есть все точки отрезка оптимальны. Ответ
записывается как промежуток между координатами двух точек по оси |
|
2. Выпуклая многоугольная область |
1. Координаты одной из угловых точек. 2. 3. Координаты точек отрезка, то есть все точки отрезка оптимальны. |
|
3. Пустое множество |
1. |
|
4. Единственная точка |
1. Координаты точки. |
Основные трудности, с которыми приходится сталкиваться при реализации геометрического метода, связаны с неточностью ручных построений, а также с нахождением искомой ОДР и определением оптимального плана. Вышеперечисленные проблемы легко разрешимы при помощи использования возможностей математических пакетов.
Математические пакеты предоставляют широкие графические возможности и могут применяться для решения широкого класса задач, в частности, для решения задач линейного программирования геометрическим методом.
Перед выполнением лабораторных работ №1, №2 и №3 ответьте на теоретические вопросы.
Теоретические вопросы
?
при
решении задачи линейного программирования геометрическим методом при
целевой функцииf(x)=c1x1+c2x2"max?
относительно
допустимых и оптимальных решений?
относительно
допустимых и оптимальных решений?Лабораторная работа №1. Геометрическое решение задачи ЛП при помощи математического пакетаMathCad
Задание. Реализуйте все нижеприведенные шаги в математическом пакетеMathCad, необходимые для решения задачи ЛП графическим методом.
Поясним последовательность действий при решения задачи на примере.
Рассмотрим задачу в стандартной форме с двумя переменными.
Задача. Найти значения
переменныхx1 иx2, при которых
при ограничениях
Поскольку в задаче только две переменные, можно рассмотреть геометрическую интерпретацию данной задачи на плоскости и найти ее решение геометрическим методом.
Порядок выполнения работы:
I. Оформление исходных данных.
II. Определение области допустимых решений
Не забудьте вести логическое равенство. Таким образом, первое ограничение задает полуплоскость, относительно прямой
Выразите x2.
Для этого:
- выделите x2;
- выберите команду Symbolics-Variable – Solve;
- получите выражение
.
.Для этого:
- на панели инструментов выберите иконку для построения графиков в декартовой системе координат;
- введите все функции y1(x),y2(x),y3(x),y4(x)через запятую в окне построения графика функций;
- щелкните дважды ЛКМ на окне построения графиков функций, и в появившемся окне выберите тип Crossed;
- задайте по осям Ox иOy только положительные
значения с клавиатуры, учитывая, что
по
условию определяют первую координатную четверть.
- увеличьте окно, отображающее графики функций (рис. 1).
Рис. 1. Прямые, ограничивающие искомые полуплоскости.
Введите функцию, которая поможет определить какую полуплоскость, верхнюю или нижнюю, задает первое ограничение. Для этого запрограммируйте проверку принадлежности точки искомой полуплоскости. Если точка принадлежит полуплоскости, то в итоге должна получиться «истина»-«1», иначе – «0».
- введите u1(x):=
- выберите панель программирования и на ней Add line;
- поставьте курсор в появившийся маркер первой строки и наберите 1(верно);
- выберите на панели программирования if;
- наберите в появившемся маркере первое неравенство, как оно задано в системе ограничений;
- поставьте курсор в появившийся маркер второй строки и наберите 0;
- выберите на панели программирования if;
- наберите в появившемся маркере первое неравенство системы ограничений, но с противоположным знаком;
Таким образом, для первого ограничения функция имеет вид:
.
Точка с координатами 
первой
прямой, то есть ее можно взять в качестве контрольной для определения
полуплоскости.
- введите u1(0,0)=, т.е. подставьте в функциюu1(x1,x2) точку с координатами (0, 0)
- получите 
,
т.е. точка (0,0) принадлежит полуплоскости, разделяемой прямойy1(x), в
противном случае не принадлежит
.
Для последних двух ограничений системы точка с
координатами 
не
принадлежит искомым полуплоскостям.
III. Построение линии уровня
Для этого:
- введите уравнение прямой x1+2x2=C;
- выделите x2;
- выберите команду Symbolics-Variable – Solve;
- получите выражение
;
- присвойте функции L(x1,C)значение данного выражения;
;
.
Рис. 2. Построение уровня
IV. Нахождение оптимального плана и оптимального значения целевой функции
Рис. 3. Построение уровня при С:=7.
Команда Given … Find
.
Ознакомиться с полным вариантом решения задачи ЛП геометрическим методом в пакете MathCad можно в приложении 1.
Лабораторная работа №2. Геометрическое решение задачи ЛП при помощи математического пакетаMaple
Задание. Выполните предложенный набор действий в математическом пакетеMaple, необходимый для решения задачи ЛП.
Работа в пакете Maple происходит в режиме сессии(session). Пользователю предоставляется возможность вводить предложения (команды, выражения, процедуры и др.), которые определенным образом воспринимаются системой. Нажатиеклавиши <Enter>запускает выполнение предложения. Есливвод предложения завершается разделителем";", то в строке под предложением появляется результат выполненной команды или сообщение об ошибке.Разделитель":"используется для «отложенного» ввода, это знак фиксации конца предложения, предотвращающий вывод результата на экран.
Рассмотрим реализацию геометрического метода средствами математического пакета Mapleна примере задачи, рассмотренной в лабораторной 1 согласно алгоритму.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie32.doc
Скачать материал "Электронный учебник для студентов БУ-20"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie33.doc
2. Декартово произведение. Мощность множества.
2.1. Декартово произведение множеств.
Упорядоченная пара 
определяется как совокупность, состоящая
из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары и 
считаются
равными тогда и только тогда, когда x=u
и y=v.
Определение 2.1. Пусть A и B – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит A, а второй принадлежит B:
.
Пример 2.1. Пусть 
и 
. Тогда
.
.
,
Пример 2.2. На координатной плоскости построить следующее множество:
(-1; 3]×[1; 3)
Решение. Первое множество помещаем на оси OX, второе на оси OY. Множество всех пар, т.е. декартово произведение, изображается точками заштрихованного прямоугольника, но без левой и нижней стороны.
,
В общем случае,
точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, то есть
двумя точками на координатных осях. Поэтому координатную плоскость можно задать
в виде 
. Метод координат ввел в употребление Рене
Декарт (1596-1650), отсюда и название «декартово произведение».
Диаграмма Венна, иллюстрирующая декартово произведение АхВ
В частности, если A пусто или B пусто, то, по определению, A´B пусто.
Понятие прямого произведения допускает обобщение.
Прямое произведение множеств A1, A2, …, An – это множество наборов (кортежей):
.
Множества Ai не обязательно различны.
Степенью множества A называется его прямое произведение самого на себя. Обозначение:
.
Соответственно, 
и вообще 
.
Пример 2.3. Пусть B={0, 1}. Описать множество Bn.
Решение. Множество Bn состоит из последовательностей нулей и единиц длины n. Они называются строкой бит или битовой строкой длины n.
,
2.2. Мощность множества.
Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A соответствует один и только один элемент множества B и каждому элементу множества B соответствует некоторый элемент множества A. В этом случае говорят также, что множества A и B изоморфны и используют обозначение A~B.
Определение 2.2. Два множества A и B называются эквивалентными, или равномощными, если между этими множествами может быть установлено взаимно однозначное соответствие. В этом случае пишут: A~B, или |A|=|B|, и говорят, что множества A и B имеют равные мощности.
Пример 2.4.
1) Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека.
2) Множество четных натуральных чисел (2N) равномощно множеству всех натуральных чисел (N).
Определение 2.3. Множество A называется конечным, если оно эквивалентно Jn при некотором n, где Jn={1, 2, …, n} – множество n первых натуральных чисел.
Определение 2.4. Мощностью конечного множества A, которое содержит k элементов, называется число его элементов. Она обозначается |A|=k. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т.е. |Æ|=0.
Таким образом, если множество A конечно, т.е. |A|=k, то элементы A всегда можно перенумеровать, то есть поставить в соответствие элементам номера из отрезка натурального ряда 1..k с помощью некоторой процедуры. Наличие такое процедуры подразумевается, когда употребляется запись A={a1, a2, …, ak}.
Пример 2.5. В компьютере все множества реальных объектов конечны: множество адресуемых ячеек памяти, множество исполнимых программ, множество тактов работы процессора.
Множества, которые не являются конечными, называются бесконечными. Если некоторое множество A равномощно множеству натуральных чисел N, т.е. A~N, то множество A называется счетным. Счетное множество A – это такое множество, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательность a1, a2, …, an, …, так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер n и каждое натуральное число n было бы номером лишь одного элемента множества A.
Мощность счетного множества принято
обозначать через 
(
–
первая буква древнееврейского алфавита, называемая «алеф», символ читается: «алеф-нуль»).
Наименьшая бесконечная мощность – мощность множества натуральных чисел
|N|=.
Пример 2.7. Множество Z – множество целых чисел также счетно.
Решение. Рассмотрим множество целых чисел Z:
…, -n, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, n, … .
На первый взгляд, кажется, что это множество невозможно перенумеровать. Однако эту нумерацию можно осуществить, применив следующую хитрость: двигаясь не в одном направлении, а все время менять его.
Иными словами, будем нумеровать так: числу 0 дадим номер 1, числу 1 – номер 2, числу -1 – номер 3, числу 2 – номер 4, числу -2 – номер 5, и т.д. Таким образом, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством Z и N. А значит, множество Z счетно.
Множество A называется несчетным, если его мощность больше
мощности множества N. В таком случае множество A называется континуальным или континуумом.
Мощность континуума обозначается 
. Следующую теорему
примем без доказательства.
Теорема 2.1. Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, т.е. |R|=C.
2.3. Теоремы сложения и умножения.
Формула включений и исключений.
Теорема 2.2. (Теорема сложения)
Пусть 
–
конечные попарно непересекающиеся множества, т.е. 
.
Тогда
(2.3.1.)
Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции.
Базис индукции. Пусть n=2. Пусть множества X1=A и X2=B, мощности которых соответственно равны k1 и k2, т.е. |A|=k1, |B|=k2. Так как AÇB=Æ, то
.
Индуктивный переход. Пусть теорема верна для n. Покажем, что для n+1 будет тоже справедливо. Тогда
Теорема 2.3. (Теорема умножения)
Пусть заданы конечные множества 
. Тогда
(2.3.2.)
т.е. число элементов декартова произведения множеств равно произведению количеств элементов сомножителей.
Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции.
Базис индукции. Пусть n=2. Пусть множества X1=A и X2=B, мощности которых соответственно равны k1 и k2, т.е. |A|=k1, |B|=k2. Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать k1 способами, второй – k2 способами. Таким образом, всего имеется k1×k2 различных упорядоченных пар. Значит,
.
Индуктивный переход. Утверждение теоремы справедливо для n. Покажем, что оно будет справедливо и для n+1. Имеем:
Пример 2.7. Сколько существует целых чисел между 0 и 1000, содержащих ровно одну цифру 6?
Решение. Пусть S – множество целых чисел между 0 и 1000, содержащих ровно одну цифру 6. Рассмотрим три подмножества S1, S2 и S3 множества S.
S1 – множество, которое содержит число, состоящее из одной цифры, и эта цифра 6;
S2 – множество, содержащее двузначные числа ровно с одной цифрой, равной 6;
S3 – множество, содержащее трехзначные числа ровно с одной цифрой, равной 6.
Множество S1 содержит только один элемент – число 6. Значит, | S1|=1.
В множестве S2 каждый элемент, содержащей 6, имеет ее либо первой, либо второй цифрой. Если 6 – вторая цифра, то существует 8 различных чисел, которые будут стаять на первом месте, поскольку первое число не может быть 0 или 6. Если 6 – первая цифра, то таких чисел 9, поскольку вторая цифра не может быть 6. Таким образом, S2 содержит 8+9=17 элементов, т.е. | S2|=17.
Элемент из S3 содержит 6 как первою, вторую или третью цифру.
Если 6 – первая цифра, то существует 9 вариантов выбора второй цифры и 9 вариантов выбора третьей цифры. Согласно комбинаторному принципу умножения, S3 содержит 9 ´9=81 чисел с первой цифрой 6.
Если 6 – вторая цифра, то имеются 9 вариантов выбора третьей цифры и 8 вариантов выбора первой цифры, поскольку первая цифра не может быть нулем. Следовательно, S3 содержит 9´8=72 числа, у которых 6 – вторая цифра.
Аналогично, S3 содержит 72 числа, у которых 6 – третья цифра. Следовательно, всего S3 содержит 81+72+72=225 элементов, т.е. |S3|=225.
Поскольку 
и
множества S1, S2 и S3 попарно непересекающиеся, то
.
,
Поставим задачу подсчитать число элементов в объединении
X=X1ÈX2È…ÈXm
конечных множеств 
, которые могут иметь
непустые пересечения между собой, т.е. объединение может быть не разбиением.
Теорема 2.4. (Формула включений и исключений).
Для конечных множеств , справедлива формула включений и
исключений.
(2.3.3.)
В частности для двух множеств эта формула примет вид:
.
Для трех множеств формула включений и исключений примет вид:
.
Название этой теоремы подчеркивает использование последовательных включений и исключений элементов подмножеств.
Пример 2.8. Сколько положительных целых чисел, меньших 101, делятся на 2 или на 3?
Решение. Пусть X – множество положительных целых чисел, которые делятся на 2 или 3. Рассмотри два подмножества X1 и X2 множества X.
X1 – множество положительных целых чисел,
которые делятся на 2. Число элементов или мощность этого множества равно 
.
X2 – множество положительных целых чисел,
которые делятся на 3. Число элементов или мощность этого множества равно 
.
Тогда множество X1ÇX2 – множество положительных целых чисел,
которые делятся и на 2 и на 3. Число элементов или мощность этого множества
равно 
.
Воспользуемся формулой включения и исключения, чтобы найти число элементов множества X.
Получаем
.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie34.doc
Практическая работа № 2
Тема: «Решение задач на метод математической индукции»
Цель работы: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- формулировать задачи логического характера и применять средства математической логики для их решения.
знать:
- основные принципы математической логики, теории множеств и теории алгоритмов;
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной.
Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:
Прямое рассуждение (доказательство). Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B - ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (А®В) принимает ложное значение.
Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.
По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.
Пример 1. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы - горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.
Обратное рассуждение (доказательство). Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)®(не А)), что согласно таблице, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (А®В).
Метод «от
противного». Этот метод часто
используется в математике. Пусть а - тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем
от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а (или 
). Из допущения выводим следствия, которые
противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем 
, при этом - ложно, значит, истинно его
отрицание, т.е. 
,
которое по закону двузначной классической логики (→а) дает а. Значит, истинно а,
что и требовалось доказать.
Пример 2. Теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.
Метод математической индукции.
В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции.
Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если
1. оно справедливо для n = 1 и
Установлено, что 
верно. (Это утверждение
называется базой индукции.)
2. из
справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n
= k следует его справедливость для n = k+1 (Для
любого n доказано, что если верно 
, то верно 
.
(Это утверждение называется индукционным переходом).
То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:
1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);
2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральномn=k;
3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.
Тогда все утверждения нашей последовательности верны.
Пример 3. Доказать, что для всех
натуральных 
справедливо равенство
Обозначим через 
левую часть равенства, а
через 
— его правую часть.
1) Докажем сначала, что 
.
![\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
s_1={1\over 1\cdot2\cdot3}={1\over 6}\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
z_1={1\cdot(1+3)\over 4\cdot(1+1)\cdot(1+2)}={1\cdot4\over<br />
4\cdot2\cdot3}={1\over 6}.<br />
\end{array}](https://documents.infourok.ru/989340ca-0cf5-4974-85ef-f8c91092be72/30/image012.gif)
2)
Дано: 
. Нужно доказать: 
.
![\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
z_k={k(k+3)\over 4(k+1)(k+2)}; z_{k+1}={(k+1)(k+4)\over 4(k+2)(k+3)}\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
s_{k+1}=s_k+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}=z_k+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={k(k+3)\over 4(k+1)(k+2)}+{1\over (k+1)(k+2)(k+3)}={k(k+3)^2+4\over<br />
4(k+1)(k+2)(k+3)}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={k^3+9k+6k^2+4\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
z_{k+1}={(k+1)^2(k+4)\over 4(k+1)(k+2)(k+3)}={k^3+6k^2+9k+4\over<br />
4(k+1)(k+2)(k+3)}\\[3mm]<br />
s_{k+1}=z_{k+1}.<br />
\end{array}](https://documents.infourok.ru/989340ca-0cf5-4974-85ef-f8c91092be72/30/image015.gif)
Тем самым, утверждение доказано для любого , поскольку из его
истинности для 
следует, что оно истинно
для 
, из его истинности при следует его истинность для 
и
т.д.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 1 + 5 + 9 +…+(4n - 3) = n(2n-1) для всех натуральных чисел n.
Вариант 2
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 12+22+…+n2 = n(n+1)(2n+1)/6 для всех натуральных чисел n.
Вариант 3
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической
индукции, что 
для всех
натуральных чисел n.
Вариант 4
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической индукции, что 1*1! + 2* 2!+…+-n*n! = (n + 1)! - 1 для всех натуральных чисел n.
Вариант 5
1. Используя методы доказательства:
- Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m — четные числа ® n+m — число четное.
- Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число ® n — четное.
- Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число ® одно из слагаемых является четным, а другое — нечетным.
2. Докажите методом математической
индукции, что при каждом натуральном n число 
делится на b: 
, b=33
Контрольные вопросы:
1. В чем разница между доказательством прямым рассуждением, обратным, от противного?
2. Что означает математическая индукция? Объясните принцип математической индукции.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie35.doc
3. Отношения на множествах. Свойства бинарных отношений.
3.1. Бинарные отношения.
В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения двух множеств A и B (A´B) выделяются «особые» пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «особые» отношения, которых нет у других пар.
В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь университета и множество K читаемых там курсов. В прямом произведении S´K можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, k), обладающих свойством: студент s слушает курс k. Построенное подмножество отражает отношение
«… слушает …»,
возникающее между множествами студентов и курсов.
Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.
Определение 3.1. Бинарным (или двухместным) отношением r между множествами A и B называется произвольное подмножество A´B, т.е.
a r b Û (a,b)Î r, где rÍA´B.
В частности, если A=B (то есть rÍA2), то говорят, что r есть отношение на множестве A.
Элементы a и b называются компонентами (или координатами) отношения r.
Замечание. Договоримся, что для обозначения отношений между элементами множеств использовать греческий алфавит: r, t, j, s, w и т.д.
Определение 3.2. Областью определения бинарного отношения r называется множество Dr={a | $ b, что arb} (левая часть). Областью значений бинарного отношения r называется множество Rr={b | $ a, что arb} (правая часть).
Пример 3.1. Пусть даны два множества A={1; 3; 5; 7} и B={2; 4; 6}.
Отношение зададим следующим образом t={(x; y)ÎA´B | x+y=9}.
Это отношение будет состоять из следующих пар (3; 6), (5; 4) и (7; 2), которые можно записать в виде t={(3; 6), (5; 4), (7;2)}. В данном примере Dt={3; 5; 7} и Rt= B={2; 4; 6}.
s={(x; y)ÎA´B | x<y}, s={(1;2), (1; 4), (1;6), (3,4), (3,6), (5,6)}.
,
Пример 3.2. Отношение равенства на множестве действительных чисел есть множество r={(x; y) | x и y – действительные числа и x равно y}. Для этого отношения существует специальное обозначение «=». Область определения совпадает с областью значений и является множеством действительных чисел, Dr= Rr.
,
Пример 3.3. Пусть A – множество товаров в магазине, а B – множество действительных чисел. Тогда j={(x; y)ÎA´B | y – цена x} – отношение множеств A и B.
Способы задания отношений:
1) с помощью подходящего предиката;
2) множеством упорядоченных пар;
3) в графической форме: пусть A и B – два конечных множества и r – бинарное отношение между ними.
Элементы этих множеств изображаем точками на плоскости.
Для каждой упорядоченной пары отношения r рисуют стрелку, соединяющую точки, представляющие компоненты пары. Такой объект называется ориентированным графом или орграфом, точки же, изображающие элементы множеств, принято называть вершинами графа.
4) в виде матрицы: пусть A={a1, a2, …, an} и B={b1, b2, …, bm}, r – отношение на A´B.
Матричным представлением r называется матрица M=[mij] размера n´m, определенная соотношениями
Пример 3.4. Пусть даны два множества A={1; 3; 5; 7}и B={2; 4; 6}. Отношение задано предикатом t={(x; y) | x+y=9}. Задать данное отношение другими способами.
Решение. 1) t={(3; 6), (5; 4), (7; 2)} - есть задание отношения как множества упорядоченных пар;
2) соответствующий ориентированный граф показан на рисунке.
3) в матричном представлении это отношение имеет вид
. ,
Пример: s={(x; y)ÎA´B | x<y},
1) s={(1;2), (1; 4), (1;6), (3,4), (3,6), (5,6)}.
Пример: s={(x; y)ÎA´А | x делитель y}, A={1,2,3,4,5,6}
Введем обобщенное понятие отношения.
Определение 3.3. n-местное (n-арное) отношение r – это подмножество прямого произведения n множеств, то есть множество упорядоченных наборов (кортежей)
rÍA1´…´An={(a1, …, an)| a1ÎA1Ù … ÙanÎAn}
Многоместные отношения удобно задавать с помощью реляционных таблиц. Такое задание соответствует перечислению множества кортежей отношения r.
Реляционные таблицы широко используются в компьютерной практике в реляционных базах данных. Заметим, что реляционные таблицы нашли применение в повседневной практике. Всевозможные производственные, финансовые, научные и другие отчеты часто имеют форму реляционных таблиц.
Слово «реляционная» происходит от латинского слова relation, которое в переводе на русский язык означает «отношение». Поэтому в литературе для обозначения отношения используют букву R (латинскую) или r (греческую).
Далее – только бинарные отношения.
Определение 3.4. Пусть rÍA´B есть отношение на A´B. Тогда отношение r-1 называется обратным отношением к данному отношению r на A´B, которое определяется следующим образом:
r-1={(b, a) | (a, b)Îr}.
Определение 3.5.
Пусть r ÍA´B есть отношение на A´B, а
s ÍB´C – отношение на B´C. Композицией отношений s и r называется отношение t ÍA´C,которое определяется следующим образом:
t=s◦r= {(a, c)| $ b Î B, что (a, b)Îr и (b, c)Îs}.
Пример 3.6. Пусть 
, 
и C={,, !, d, à}. И пусть отношение r на A´B и отношение s на B´C заданы в виде:
r={(1, x), (1, y), (3, x)};
s={(x, ,), (x, !), (y, d), (y, à)}.
Найти r-1 и s◦r, r◦s.
Решение.
1) По определению r-1={(x, 1), (y, 1), (x, 3)};
2) Используя определение композиции двух отношений, получаем
s◦r={(1, ,), (1, !), (1, d), (1, à), (3, ,), (3, !)},
поскольку из (1, x)Îr и (x, ,)Îs следует
(1, ,)Îs◦r;
из (1, x)Îr и (x, !)Îs следует
(1, !)Îs◦r;
из (1, y)Îr и (y, d)Îs следует
(1, d)Îs◦r;
…
из (3, x)Îr и (x, !)Îs следует
(3, !)Îs◦r.
3) r◦s=Æ.
Теорема 3.1. Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
-
ассоциативность композиции.
Доказательство. Свойство 1 очевидно.
Докажем свойство 2. Для доказательства второго свойства покажем, что множества, записанные в левой и правой частях равенства, состоят из одних и тех же элементов.
Пусть (a; b) Î (s◦r)-1 Û (b; a) Î s◦r Û $ c такое, что (b; c) Î r и
(c; a) Î s Û $ c такое, что (c; b) Î r-1 и (a; c) Î s-1
Û (a; b) Î r -1◦s -1.
Свойство 3 доказать
самостоятельно.
3.2. Свойства бинарных отношений.
Рассмотрим специальные свойства бинарных отношений на множестве A.
Свойства бинарных отношений.
1. Отношение r на A´A называется рефлексивным, если (a,a) принадлежит r для всех a из A.
2. Отношение r называется антирефлексивным, если из (a,b)Îr следует a¹b.
3. Отношение r симметрично, если для a и b, принадлежащих A, из (a,b)Îr следует, что (b,a)Îr.
4. Отношение r называется антисимметричным, если для a и b из A, из принадлежности (a,b) и (b,a) отношению r следует, что a=b.
5. Отношение r транзитивно, если для a, b и c из A из того, что (a,b)Îr и (b,c)Îr, следует, что (a,c)Îr.
Пример 3.7.
1. Отношения «=» и «£» являются рефлексивными отношениями на множестве N, но отношение «<» таковым не является.
2. Отношение «=» является симметричным, а «<» и «£» - нет.
3. Отношение на N «являются взаимно простыми» является симметричным.
4. Отношения «<», «£» и «=» являются транзитивными, а отношение r = {(a,b): a,b ÎN и b = a+1} – нет, так как 3r4 и 4r5, но не 3r5.
Как по матрице представления
определить свойства бинарного отношения
1. Рефлексивность: на главной диагонали стоят все единицы, звездочками обозначены нули или единицы.
.
2. Антирефлексивность: на главной диагонали все нули.
3. Симметричность: если 
.
4. Антисииметричность:
Mij=1, i ≠j, Mji=0
Рассмотрим
два конечных множества A ={a1,a2,…,am}
и B={b1,b2,…,bn}
и бинарное отношение 
.
Определим
матрицу 
размера m×n
бинарного отношения Р по следующему правилу:
Полученная матрица содержит полную информацию о связях между элементами.Любая матрица, состоящая из 0 и 1, является матрицей некоторого бинарного отношения.
 |
, A={1,2,3},
заданного на рисунке
имеет
вид 
Основные свойства матриц бинарных отношений:
1. Если 
то 
и 
,
где сложение осуществляется по правилам 0+0=0, 1+1=0+1=1+0=1, а умножение –
обычным способом.
Итак, 
2. Матрица
получается перемножением соответствующих
элементов из 
и 
: 
.
3. Если 
, то 
, где умножение матриц производится по
обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов – по
определённым в свойстве 1 правилам.
4. Матрица
обратного отношения Р-1 равна транспонированной матрице отношения Р:
.
5. Если 
, то 
.
6. Матрица тождественного отношения idA единична:
ПРИМЕР
2. Пусть 
-
матрицы отношений P и Q. Тогда
ПРИМЕР 3.
Если
, то 
Рассмотрим свойства отношений на языке матриц.
Пусть
Р – бинарное отношение на множестве 
.
Отношение Р:
· рефлексивно, если на главной диагонали матрицы отношения расположены только единицы;
· симметрично, если матрица симметрична относительно главной диагонали;
· антисимметрично,
если в матрице 
все элементы вне главной
диагонали являются нулевыми;
· транзитивно,
если выполнено соотношение 
.
ПРИМЕР
4. Проверим, какими свойствами обладает отношение 
,
А={1,2,3}, изображённое на рисунке.
Составим
матрицу отношения Р: 
Так
как в матрице 
на главной диагонали имеются
нулевые элементы, отношение Р не рефлексивно.
Несимметричность
матрицы 
означает, что отношение Р не
симметрично.
Для
проверки антисимметричности вычислим матрицу 
.
Поскольку в полученной матрице все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, отношение Р антисимметрично.
Так
как 
(проверьте!), то есть Р является транзитивным
отношением.
3.3 Отношение эквивалентности.
Отношение частичного порядка.
Определение 3.6. Отношение r на A есть отношение эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Отношение эквивалентности arb часто обозначается: a ~ b.
Пример 3.8. Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентности.
,
Пример 3.9. Отношение «одного роста» есть отношение эквивалентности на множестве людей X.
Пример 3.10. На множестве натуральных чисел можно определить отношение эквивалентности, считая числа a и b эквивалентными, если их сумма чётна.
1. (а + а) – всегда чётна Þ оно рефлексивно;
2. (а + b) = (b + а) Þ оно симметрично;
3. Если (а + b) и (b + с) - чётные числа, то а + с = (а + b) + (b + с) – 2b – также чётно
ß
R – транзитивно
Эквивалентные элементы, т.е. находящиеся в отношении эквивалентности, обладают какими-то общими признаками.
Если на множестве задано отношение эквивалентности, то все его элементы можно естественным способом разбить на непересекающиеся подмножества.
Все элементы в любом из таких подмножеств эквивалентны друг другу в прямом смысле. Наличие такого разбиения – движущая сила любой классификации.
Определение 3.8. Пусть R – отношение эквивалентности на множестве А. Определим класс эквивалентности, содержащий элемент аÎА (обозначение R[a]), как множество элементов из А, находящихся в отношении R с элементом а, т.е
R[a] = {x| xÎA и xRa}
Теорема 3.2(основное свойство классов эквивалентности):
Отношение эквивалентности R разбивает множество А на попарно непересекающиеся классы эквивалентных элементов таким образом, что каждый элемент А принадлежит точно одному классу эквивалентности.
Определение 3.9. Если R – отношение эквивалентности, то число классов эквивалентности называется рангом отношения R.
Класс эквивалентности произвольного вещественного числа x определяется по формуле
R[x]
= {z| zÎR
и z-x-целое число}
или Ex
Множество всех классов эквивалентности множества А по отношению R равно
Определение 3.7. Отношение r на A есть отношение частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно и обозначается символом °.
Частичный порядок важен в тех ситуациях, когда мы хотим как-то охарактеризовать старшинство.
Иными словами, решить при каких условиях считать, что один элемент множества превосходит другой.
Пример 3.11. Отношение x£y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка.
Пример 3.12. Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение AÍB есть отношение частичного порядка.
Пример 3.13. Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.
Множества с частичным порядком принято называть частично упорядоченными множествами.
Если R – отношение частичного порядка на множестве А, то при x≠y и xRy мы называем x предшествующим элементом, а y последующим.
У произвольного взятого элемента y может быть много предшествующих элементов.
Однако, если x предшествует y, и не существует таких
элементов z , для которых xRz и zRy, мы называем x
непосредственным предшественником y и пишем x
y.
Непосредственных предшественников можно изобразить с помощью графа, известного как диаграмма Хассе.
Вершины графа изображают элементы частично упорядоченного множества А,
и если x
y, то вершина x
помещается ниже вершины y и соединяется с ней ребром.
Диаграмма Хассе выдаст полную информацию об исходном частичном порядке, если подняться по всем цепочкам ребер.
Линейным порядком на множестве А называется отношение частичного порядка, при котором, из любой пары элементов можно выделить предшествующий и последующий.
Различные сортирующие процедуры в информатике требуют, чтобы элементы сортируемых множеств были линейно упорядочены. В этом случае они могут выдавать упорядоченный список.
Другие приложения используют частичный порядок. Предполагая, что в любом частично упорядоченном множестве найдется минимальный элемент (не имеющий предшественников), и максимальный (не имеющий последующих элементов).
Определение 3.10. Отношение r на A есть отношение толерантности, если оно рефлексивно и транзитивно.
Пример 3.14. Пусть Н – произвольное множество,
В1(Н) – множество непустых подмножеств множества Н.
Определим отношение R на элементах множества В1(Н) условием
xRy Û x Ç y ¹ Æ, x,yÎ В1(Н)
Симметричность и рефлексивность данного отношения очевидны, поэтому оно будет отношением толерантности.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie36.doc
Практическая работа № 3
Метод математической индукции
Тема:«Основные понятия математической логики.»
Цель работы: изучить основы алгебры логики
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- формулировать задачи логического характера и применять средства математической логики для их решения.
знать:
- основные принципы математической логики, теории множеств и теории алгоритмов;
- формулы алгебры высказываний;
- методы минимизации алгебраических преобразований.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Пример 1. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.
Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример 2. Предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием.
Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Пример 3. «x+2>5» - высказывательная форма, которая при x>3 является истинной, иначе ложной.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).
Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (таблица1.1).
Таблица 1.1 - Основные логические операции
|
Обозначение операции |
Читается |
Название операции |
Альтернативные обозначения |
|
¬ |
НЕ |
Отрицание (инверсия) |
Черта сверху |
|
|
И |
Конъюнкция (логическое умножение) |
∙ & |
|
|
ИЛИ |
Дизъюнкция (логическое сложение) |
+ |
|
→ |
Если … то |
Импликация |
|
|
↔ |
Тогда и только тогда |
Эквиваленция |
~ |
|
|
Либо …либо |
Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2) |
XOR |
Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ¬). Высказывание ¬А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Операция, выражаемая
связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или
логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться
знаками 
или
&). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания
А и В истинны.
Операция, выражаемая
связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или
логическим сложением и обозначается знаком 
(или плюсом). Высказывание АВ
ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.
Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «... влечет …», называется импликацией(лат. implico – тесно связаны) и обозначается знаком → . Высказывание А→В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «... равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или ~ . Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
Операция, выражаемая
связками «Либо … либо», называется исключающее
ИЛИ или сложением по модулю 2 и обозначается XOR или 
.
Высказывание АВ
истинно тогда и только тогда, когда значения А и В не совпадают.
Импликацию можно
выразить через дизъюнкцию и отрицание: 
.
Эквиваленцию можно
выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: 
.
Исключающее ИЛИ можно
выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: 
.
Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Приоритет выполнения: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, исключающее или, импликация и эквиваленция.
Логическая формула - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).
Логическая функция - это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.
Пример 4. 
–
логическая функция двух переменных A и B.
Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.
Приведем таблицу истинности основных логических операций (таблица 1.2)
Таблица 1.2
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Пример 5. Составить
таблицу истинности для формулы И–НЕ, которую можно записать так: 
.
1. Определить количество строк:
На входе два простых высказывания: А и В, поэтому n=2 и количество строк =22+1=5.
2. Определить количество столбцов:
Выражение состоит из двух простых выражений (A и B) и двух логических операций (1 инверсия, 1 конъюнкция), т.е. количество столбцов таблицы истинности = 4.
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций (таблица 1.3).
Таблица 1.3. Таблица истинности для логической операции
|
A |
B |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Логические формулы можно также представлять с помощью языка логических схем.
Существует три базовых логических элемента, которые реализуют три основные логические операции :
1. Определить число логических переменных.
2. Определить количество логических операций и их порядок.
3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.
4. Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.
Пример 6. По заданной логической
функции 
построить
логическую схему.
1. Число логических переменных = 2 (A и B).
2. Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.
3. Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.
4. Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).
Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.
1. Закон двойного
отрицания: 
;
2. Переместительный (коммутативный) закон:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
5. Законы де Моргана:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
6. Закон идемпотентности:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
7. Законы исключения констант:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
8. Закон
противоречия:
;
9. Закон исключения
третьего: 
;
10. Закон поглощения:
· для логического сложения: 
;
· для логического умножения: 
;
11. Правило
исключения импликации: 
;
12. Правило исключения
эквиваленции: 
.
Справедливость этих законов можно доказать составив таблицу истинности выражений в правой и левой части и сравнив соответствующие значения.
Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.
Пример
7. Упростить
логическое выражение 
.
Согласно закону де
Моргана: 
.
Согласно
сочетательному закону: 
.
Согласно закону
противоречия и закону идемпотентности: 
.
Согласно закону
исключения 0: 
Окончательно получаем
/
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными A & ¬(¬B v C) и A & B & ¬C
5. Определить истинность или ложность высказываний (¬(X<5) v (X<3)) & (¬(X<2) v (X<1)) при X=1
Вариант 2
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными ¬(¬A & B v A & (B v ¬C)) и ¬B & (¬A v C)
5. Определить истинность или ложность высказываний (¬(X<5) v (X<3)) & (¬(X<2) v (X<1) при X=3
Вариант 3
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными ¬C v ¬B v ¬(A v ¬C) и ¬A & B v ¬C & B
5. Определить истинность или ложность высказываний X>1 & (¬(X<5) v (X<3)) при X=2
Вариант 4
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными ¬(А v ¬В) v ¬B & C и ¬A & (B ∨ C)
5. Определить истинность или ложность высказываний ¬((X>2) v (X<2)) v (X>4) при X=1
Вариант 5
1. Составить таблицу
истинности логического выражения 
.
2. Построить
логическую схему функции 
3. Упростить
логическое выражение 
4. Определить, являются ли два высказывания эквивалентными
5. Определить истинность или ложность высказываний X>1 & (¬(X<5) v (X<3)) при X=2
Контрольные вопросы:
1. Что такое высказывание (приведите пример)?
2. Что такое составное высказывание (приведите пример)?
3. Укажите приоритеты выполнения логических операций.
4. Составьте таблицу истинности для следующих операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.
5. Изобразите функциональные элементы: конъюнктор, дизъюнктор, инвертор.
6. Какие логические выражения называются равносильными?
7. Запишите основные законы алгебры логики.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie37.doc
4. Комбинаторика (продолжение).
4.6. Перестановки с повторениями.
Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.
Пусть имеется n1 предметов 1-го типа, n2 предмета 2-го, nk предметов k-го типа и при этом n1 + n2 + … + nk = n. Количество разных перестановок предметов:
(5)
Для обоснования сначала будем переставлять n предметов в предположении, что они все различны. Число таких перестановок равно n!
Затем заметим, что в любой выбранной перестановке перестановка n1 одинаковых предметов не меняет комбинации, аналогично перестановка n2 одинаковых предметов также не меняет комбинации и т. д. Поэтому получаем выражение (5).
Задача. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии шахматной доски?
Решение. На первой линии могут находиться король, ферзь, 2 ладьи, 2 коня и 2 слона. Без учета общепринятых шахматных правил образуются кортежи длины 8, имеющие указанный состав (1, 1, 2, 2, 2). Тогда число перестановок с размещениями найдем по формуле (5):
Задача. Сколько разных слов можно составить из всех букв слова МАТЕМАТИКА?
Решение. Имеем следующее количество разных букв: М – 2, А – 3, Т – 2, Е – 1, И – 1, К – 1. Всего 10 букв.
Т.о., образуются кортежи длины 10, имеющие указанный состав (2, 3, 2, 1, 1, 1). Число перестановок с размещениями найдем по формуле (5):
Задача. В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?
Решение. Каждая покупка – это выборка из 4 элементов по 7, причем с повторениями, так как 4 < 7. Порядок следования сорта пирожных внутри выборки не важен. Следовательно, число таких покупок равно числу всех сочетаний с повторениями:
Задача. У врача 3 таблетки одного лекарства, 2 таблетки – другого и 4 таблетки – третьего. Сколькими способами он может распределить прием имеющихся таблеток по одной в день?
Решение. Порядок приёма таблеток важен. Есть повторяющиеся таблетки. Общее число таблеток 3 + 2 + 4 = 9 равно числу дней приема лекарств. Решение задачи сводится к нахождению числа всех перестановок с повторениями из 9 элементов:
Задача. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова огород так, чтобы три буквы "о" не стояли бы рядом?
Решение. Общее количество различных слов, полученных перестановкой букв слова огород, равно
Если в каком-то слове все три буквы "о" стоят рядом, то тройную "о" можно считать единым символом, и количество слов, в которых три буквы "о" стоят рядом, равно Р(4) = 4! =24.
В итоге получаем: 120 - 24 = 96.
Задача. Найти разложение (a+b)6, используя треугольник Паскаля.
Решение.
Задача. Написать разложение бинома (x–2y)5.
Решение.
Задача. Найти наибольший член
разложения бинома 
.
Решение.
Задача. Из данной пропорции
найти x и y.
Решение.
Записав отдельно отношение первого члена пропорции ко второму и второго к третьему, после сокращения получим:
В силу условия задачи мы приходим к системе: 
Решая её, получаем x=5 и y=1.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie38.ppt
Скачать материал "Электронный учебник для студентов БУ-20"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
❤tt♣✿✴✴♠❛t❤❝②❜✳❝s✳♠s✉✳s✉
2 слайд
3 слайд
Комбинаторика – раздел дискретной математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, как правило, конечного множества в соответствии с заданными свойствами.
В простейших комбинаторных задачах требуется подсчитать число способов
выбрать k элементов из n–элементного множества.
То, что получается в результате выбора, называется
выборкой из n по k или (n,k)–выборкой.
4 слайд
Понятие выборки отличается от понятия подмножества:
в выборках может допускаться повторение элементов, т.е. выборки могут быть как с повторениями, так и без повторений;
выборки могут быть упорядоченными или неупорядоченными.
Упорядоченность означает, что выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, считаются различными.
Итак, 4 выбора : выборки могут быть с
повторениями и без повторений,
упорядоченными и неупорядоченными
5 слайд
Упорядоченная (n, k)– выборка без повторений называется (n, k)– размещением (перестановкой) или размещением из n элементов по k.
Упорядоченная (n, k)– выборка с повторениями называется (n, k)– размещением с повторениями.
(n, n)– размещение без повторений называется перестановкой из n элементов.
Неупорядоченная (n, k)–выборка без повторений называется (n, k) -сочетанием или сочетанием из n элементов по k, другими словами, это k–элементное подмножество множества А.
Неупорядоченная (n, k)– выборка с повторениями называется (n, k)– сочетанием с повторениями.
6 слайд
Например, рассмотрим множество A ={a1,a2,a3}. Составим выбор из трех элементов по два (3,2):
Размещения - Повторения не разрешены, порядок существенен (a1, a2), (a2, a1), (a2, a3), (a3, a2), (a1, a3), (a3, a1).
Размещения с повторениями - Повторения разрешены, порядок существенен (a1,a1), (a1,a2), (a2,a1), (a2,a2), (a1,a3), (a3,a1), (a2,a3), (a3,a2), (a3,a3).
Сочетания - Повторения не разрешены, порядок несущественен (a1, a2), (a1, a3), (a2, a3).
Сочетания с повторениями - Повторения разрешены, порядок несущественен из (a1, a1), (a1, a2), (a1, a3), (a2, a2), (a2, a3), (a3, a3).
Перестановки из трех элементов − это следующие упорядоченные без повторений (3,3)-выборки: (a1,a2,a3), (a1,a3,a2), (a2,a1,a3), (a2,a3,a1), (a3,a1,a2), (a3,a2,a1).
7 слайд
8 слайд
9 слайд
10 слайд
Правило суммы гласит, что если А и В -несвязанные события, и существует n1 возможных исходов события A,
и n2 возможных исходов события B, то возможное число исходов события A или B равно сумме n1+n2.
Правило произведения – если дана последовательность событий k с n1 возможными исходами первого, n2 -второго, и т.д., вплоть до nk возможных исходов последнего, то общее число исходов последовательности k событий равна произведению n1*n2*nk.
11 слайд
Правило суммы
Если элемент х может быть выбран k способами, а элемент у может быть выбран n другими способами,
тогда выбор элемента х либо у может быть осуществлен
( k+n ) способами.
Правило произведения
Пусть набор (х, у) образуется в результате последовательного выбора элементов х и у , причем элемент х может быть выбран k способами, и при каждом выборе элемента х элемент у может быть выбран n способами,
тогда выбор всех упорядоченных пар (х, у) может быть осуществлен n⋅ k способами.
12 слайд
Очень многие комбинаторные задачи решаются применением трех простых правил: равенства, суммы и произведения.
Правило равенства. Если между конечными множествами A и B есть взаимно однозначное соответствие, то
.
Правило суммы. Если A и B – конечные множества и , , то . .
Правило произведения. Для любых конечных множеств A и B имеет место равенство :
13 слайд
Правило суммы – частный случай формулы включений и исключений. Если рассматривать А и B как множества исходов, то | A| = n1, |B|=n2; а поскольку события А и B не связаны с друг другом, то можно считать, что соответствующие множества не пересекаются .
Тогда, по формуле включений и исключений
т.е. множество содержит n1+n2 элементов.
Это означает, что имеется возможность n1+n2 исходов события А или B.
Правило произведения. Пусть А1 множество n1 исходов первого события, А2 – множество n2 исходов второго события и т.д. Тогда любую последовательность k событий можно рассматривать как элемент декартова произведения , чья мощность равна
= n1 *n2 *…*nk
14 слайд
15 слайд
16 слайд
Задача 4. Сколько существует двузначных четных чисел с разными цифрами?
Решение. Пусть α = α1α2 − двузначное четное число, у которого все цифры различны. Тогда α2∈ {0,2,4,6,8} ,а
α1∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {α2}.
Если α1 − нечетная цифра, т.е. α1∈{1, 3, 5, 7, 9}, получаем, что первая цифра α1 может быть выбрана 5 способами.
При каждом выборе первой цифры α1, вторая цифра α2 может быть выбрана 5 способами.
По правилу произведения получим, что существуют 5 ⋅ 5 = 25 двузначных четных чисел, у которых первая цифра нечетная.
Если α1 − четная цифра, тогда α1∈{2, 4, 6, 8},
а α2∈{0, 2, 4, 6, 8} \ {α1}, т.е. элемент α2 может быть выбран 4 способами.
По правилу произведения, число α может быть выбрано
4 ⋅ 4 = 16 способами.
17 слайд
Задача 5. Сколько существует четырехзначных чисел, делящихся на 5, у которых все цифры различны?
Решение. Пусть А ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр, α= α1α2α3α4− четырехзначное число, где α1∈A\{0}, α4∈{0,5}\{α1},α2∈A\{α1,α4},α3∈A\{α1,α2,α4}.
Если α4=0, тогда цифра α1 может быть выбрана 9 способами, цифра α2 может быть выбрана 8 способами, а α3 – 7 способами. По правилу произведения получаем, что число α может быть получено 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 способами.
Если α4=5, тогда α1∈A\{0, 5 }, т.е. цифра α1 может быть выбрана 8 способами, цифра α2 может быть выбрана также 8 способами, а α3 – 7 способами. По правилу произведения получаем, что число α может быть выбрано 8⋅8⋅7=448 способами.
Таким образом, используя правило суммы, получаем, что существует 504 + 448 = 952 четырехзначных чисел, делящихся на 5, у которых все цифры различные.
18 слайд
Эту же задачу можно решить другим способом.
Рассмотрим четное двузначное число α = α1α2, где
α1∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а α2∈{0, 2, 4, 6, 8}.
Первая цифра α1 может быть выбрана 9 способами.
Для каждой фиксированной цифры α1,
вторая цифра α2 может быть выбрана 5 способами.
По правилу произведения получаем, что существует 9 ⋅ 5 = 45 различных четных двузначных чисел.
Среди них четыре числа: 22, 44, 66, 88 – с одинаковыми цифрами.
Отсюда получаем, что существует 45 – 4 = 41 двузначных четных чисел с различными цифрами.
19 слайд
20 слайд
21 слайд
22 слайд
23 слайд
А –первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок
24 слайд
25 слайд
Задача 5. Сколько различных четырехбуквенных «слов» можно составить , используя буквы f,c,o,n,e, если под «словом» понимать любую последовательность неповторяющихся букв.
Решение. Имеем дело с подсчетом числа размещений без повторений. Следовательно,
26 слайд
27 слайд
28 слайд
P – первая буква французского слова
permutation что означает перестановка
29 слайд
30 слайд
ПРИМЕР: Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?
Количество ладей
Занимаемые места на доске (1 в горизонтали и 1 в вертикали)
31 слайд
32 слайд
33 слайд
34 слайд
35 слайд
Размещение с повторениями из n элементов множества M по k - это всякая конечная последовательность, состоящая из k членов данного множества M,
все k элементов которой не обязательно различны.
Два размещения с повторениями считаются различными, если хотя бы на одном месте они имеют различные элементы множества M.
Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить?
Сколько таких наборов получиться, если буквы могут повторяться?
Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.
36 слайд
37 слайд
38 слайд
39 слайд
40 слайд
Сколькими способами из колоды в 36 карт можно вытащить 5 карт так, чтобы среди них были три карты червовой масти и две крестовой масти?
Решение. Всего в колоде имеем по 9 карт каждой из 4 мастей. Три карты червовой масти можем вытащить
способами, а две карты крестовой масти можно
вытащить способами.
По правилу произведения получаем, что существует
* способов вытащить из колоды 5 карт определенным образом.
41 слайд
42 слайд
43 слайд
44 слайд
44
СОЧЕТАНИЯ с повторениями.
Пусть имеем неупорядоченное n-элементное множество А, элементы которого разбиты на n классов (в каждом классе по 1 элементу), которые будут называться типами элементов.
Комбинацией из n элементов по k с повторениями называется k -элементное подмножество, каждый элемент которого принадлежит одному из n типов.
Совокупность таких комбинаций называют сочетаниями с повторениями из n элементов по k.
45 слайд
45
Есть n ящиков, в которых размещается k шариков.
Нас интересует только количество шариков в каждом ящике.
То есть результатом эксперимента является набор чисел
, в котором — число шариков в ящике с номером i , и
Числа принимают натуральные значения или равны 0.
Изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а кружки — находящиеся в ящиках шарики:
46 слайд
46
размещение 9 шариков по 7 ящикам.
Здесь 1-й ящик содержит 3 шарика, 2-й и 6-й ящики пусты, 3-й и 7-й ящики содержат по одному шарику, и в 4-м и 5-м ящиках есть по 2 шарика.
Переложим один шарик из первого ящика во второй и изобразим таким же образом еще один результат размещения:
47 слайд
47
И еще один:
Получим, что все размещения можно получить, меняя между собой шарики и перегородки, или расставляя k шариков на
n-1+k месте.
Число n-1+k получается так: у n ящиков есть ровно n+1 перегородка, считая крайние,
или n-1 перегородка, если не считать крайние, которые двигать нельзя.
И есть k шариков.
Перебрав все возможные способы расставить k шариков на этих n-1+k местах (и ставя на оставшиеся места перегородки), переберем все нужные размещения.
48 слайд
48
Но способов расставить k шариков на n-1+k местах ровно — это в точности число способов выбрать из
n-1+k номеров мест k номеров мест
(без учета порядка и без повторения), на которые нужно поместить шарики.
Общее количество выборок в схеме выбора
k элементов из n с повторением и без учета порядка определяется формулой
49 слайд
Задача. В магазине продается 4 сорта пирожных: бизе, эклеры, песочные, наполеоны. Сколькими способами можно выбрать 7 пирожных?
Решение. Каждая покупка – это выборка из 4 элементов по 7, причем с повторениями, так как 4 < 7.
Порядок следования сорта пирожных внутри выборки не важен. Следовательно, число таких покупок равно числу всех сочетаний с повторениями:
50 слайд
50
Основные свойства сочетаний
ФОРМУЛА СИММЕТРИИ
ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ
ЧИСЛО ВСЕХ ПОДМНОЖЕСТВ
N-ЭЛЕМЕНТНОГО МНОЖЕСТВА
51 слайд
51
52 слайд
52
Перестановки с повторениями
Число различных перестановок, которые можно построить из n элементов, среди которых находятся
n1 - элементов первого типа,
n2 - элементов второго типа,…,
nk - элементов k-го типа равно
53 слайд
53
Число элементов в каждой перестановке равно
Поэтому если бы все элементы были различны,
то число перестановок равнялось бы . Но из-за того, что
некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Возьмем перестановку
В которой сначала выписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,…,наконец, все элементы k-го типа. Элементы первого типа можно переставлять с друг другом способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют перестановок второго типа и т.д.
54 слайд
54
Например, в перестановке «ммаа» ничего не изменится, если переставит первый элемент со вторым, или третий с четвертым.
Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому по правилу произведения элементы нашей перестановки можно переставлять друг с другом
способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов.
Поэтому множество всех перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая. Значит число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов равно
55 слайд
55
56 слайд
56
ПРИМЕР:
Сколько различных слов можно построить перестановкой букв в слове «лаваш»?
Слово «лаваш» включает по одному экземпляру букв «л», «в», «ш» и два экземпляра буквы «а», а общее количество букв – 5.
По формуле находим:
57 слайд
Задача. У врача 3 таблетки одного лекарства,
2 таблетки – другого и 4 таблетки – третьего.
Сколькими способами он может распределить прием имеющихся таблеток по одной в день?
Решение. Порядок приёма таблеток важен.
Есть повторяющиеся таблетки.
Общее число таблеток 3 + 2 + 4 = 9 равно числу дней приема лекарств.
Решение задачи сводится к нахождению числа всех перестановок с повторениями из 9 элементов:
58 слайд
Задача. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова ОГОРОД так, чтобы три буквы "о" не стояли бы рядом?
Решение. Общее количество различных слов, полученных перестановкой букв слова огород, равно
Если в каком-то слове все три буквы "о" стоят рядом, то тройную "о" можно считать единым символом, и количество слов, в которых три буквы "о" стоят рядом, равно Р(4) = 4! =24.
В итоге получаем: 120 - 24 = 96.
59 слайд
Найти количество перестановок букв в слове КОЛОБОК .
В слове есть 3 буквы О и 2 буквы К, меняя их , не получим новых слов. Так как , ,
То можем получить всего
разных слов из слова КОЛОБОК
60 слайд
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Электронные учебникиЭлектронный учебник для группы БУCEB_EBookEB_ConfigSoderzhanie39.doc
Практическая работа № 4
Тема: «Сложение и умножение вероятностей».
Учебная цель: научиться вычислять вероятности событий с помощью теорем умножения и сложения вероятностей
Образовательные результаты:
Студент должен
уметь:
- вычислять вероятности событий с использованием элементов комбинаторики;
знать:
- основы теории вероятностей и математической статистики;
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.
Тема 1.3. Элементы комбинаторики.
Практическая работа № 4
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы
Операции над событиями
Суммой или объединением двух событий
А
и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А
или В. Символически это записывают так: 
.
Произведением или пересечением двух
событий
А и В называется событие С, состоящее в одновременном наступлении А и В.
Символически произведение записывают так: С=АВ или 
.
Если А и В — несовместные события, то 
, т.
е. их пересечение пусто (невозможное событие).
Два случайных события называются противоположными,
если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит
другое. Событие, противоположное событию А,
обозначают через 
(читают «не А»).
Противоположные события образуют полную систему попарно несовместных событий,
т. е. 
.
Теоремы умножения вероятностей
Произведение двух событий состоит из тех элементарных событий, которые благоприятствуют и первому, и второму событию, то есть принадлежат их пересечению АВ = А ∩ В. Вероятность произведения событий зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми. События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий А и В называются безусловными; и вероятность произведения таких событий равна произведению их вероятностей
Р(АВ) = Р(А) Р(В) (1)
|
(4.1) |
Вероятность совместного появления нескольких независимых событий в совокупности равна произведению вероятностей этих:
P(A1 А2 .. Аn) = P(A1) Р(А2) …· Р(Аn) (1.1)
События А и В зависимые, если вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что А уже осуществилось, называется условной вероятностью и обозначается РА(В).
Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:
Р(АВ) = Р(А)РА(В) или Р(АВ) = Р(В)РВ(А). (2)
Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий (произведения событий) равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события уже произошли (теорема умножения вероятностей для зависимых событий):
Р(А1 А2 ..... Аn) = P(A1) PA1 (A2)Р А1 А2 (А3) ..... P A1 А2 .... An-1 (An) (2.1)
Теорема сложения вероятностей
В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления и определяется по формуле:
(3)
Очевидно, что если события несовместны, то вероятность их совместного наступления равна нулю. Поэтому для двух несовместных событий вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (4)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1 + А2 +.... +Аn) = Р(А1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) (4.1)
Формулы для определения вероятности суммы большего числа совместных событий достаточно громоздки. Если число событий возрастает, то часто бывает удобнее использовать вероятность противоположных событий. В самом деле, событие, состоящее в том, что наступит хотя бы одно из нескольких элементарных событий, противоположно событию - «не наступит ни одно из них», поэтому можно использовать формулу: Р(А1 + А2 + ... + Аn) = 1- Р(Ā1 Ā2 … Ān) (5)
Примеры по выполнению практической работы
Пример 1. Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей, причем в первом ящике - 8, во втором – 7 и в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали будут стандартные.
Решение: вероятность того, что из первого
ящика вынута стандартная деталь (событие А) равна 
. Вероятность того, что из второго ящика
вынута стандартная деталь (событие В) равна 
.Вероятность
того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С) равна 
. Событие «все три вынутые детали будут
стандартные» -есть произведение событий А, В,С. Т.к. события А, В, С
– попарно независимы , то по теореме умножения вероятностей для независимых
событий имеем:
.
Пример 2. В вазе лежит 3 шоколадных и 7 вафельных конфет. Наудачу берется одна конфета, затем другая. Найти вероятность того, что первая конфета была шоколадной, а вторая – вафельной?
Решение: вероятность того, что первая
конфета - шоколадная (событие А) 
. Вероятность того, что вторая конфета – вафельная, вычисленная в
предположении, что первая конфета была шоколадной, т.е. условная вероятность
равна 
. Т.е. по теореме умножения для зависимых
событий имеем: Р(АВ) = Р(А)РА(В) =
Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании извлечен белый шар (событие А), при втором - черный шар (событие В), при третьем – синий (событие С)?
Решение: Вероятность появления белого шара
в первом испытании равна
. Вероятность появления
черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом
испытании вынут белый шар, т.е. условная вероятность равна
. Вероятность появления синего шара в
третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут
белый шар, а при втором – черный, т.е. условная вероятность равна 
.Окончательно имеем:
Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С)=
Пример 4. На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете (событие А).
Решение: событие А - «хотя бы один из взятых учебников будет в переплете» будут осуществлено, если произойдет любое из трех несовместных событий: В – «один учебник в переплете», С- «два учебника в переплете» , В - «три учебника в переплете». Т.е. событие А=В+С+D. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем:
. Вычислим отдельно вероятности событий В,
С, D:
.
Используя эти результаты, получим: 
.
Пример 5. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех
орудий таковы: 
Найти вероятность хотя бы
одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение: вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия), А3 (попадание третьего орудия) – независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям А1,
А2, А3 (т.е. вероятности промахов) соответственно
равны 
Тогда
искомая вероятность
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. В ящике 10 деталей, среди которых четыре окрашены. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окрашена;
2. Во время учебных маневров два танка пытаются прорваться в расположение противотанковой батареи «противника». Какова вероятность того, что будет подбит хотя бы один танк, если вероятность того, что будет подбит один танк равна 2/3, а два танка 2/5?
3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишеньпри одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.
4. В корзине 4 яблока, 3 лимона и 6 персиков. Каждое испытание состоит в том, что из корзины случайным образом падает один фрукт. Найти вероятность того, что из корзины при первом испытании выпадет яблоко, при втором – лимон, при третьем – персик.
5. В двух ящиках находятся детали: в первом - 12 (из 4 стандартных), во втором -10 (из них 7 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что они обе будут стандартными.
Вариант 2
1. На полке в случайном порядке расставлено семь учебников, причем четыре из них - по математике. Студент наудачу берет два из них. Найти вероятность того, что хотя бы один из них – по математике.
2. Электронный прибор состоит из двух последовательно включенных блоков. Вероятность выхода из строя за 1 месяц работы первого блока равна 1/3, второго -1/4, а обоих – 1/6. Найдите вероятность бесперебойной работы прибора в течение месяца.
3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо
работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
4. В ящике 4 белых, 7 синих и 3 красных мяча. Каждое испытание состоит в том, что из ящика случайным образом выкатывается один мяч. Найти вероятность того, что из ящика при первом испытании выкатится синий мяч, при втором – красный, а при третьем – белый;
5. В первой вазе находится 5 красных и 3 белых гвоздики, во второй – 4 красных и 8 белых гвоздики. Из каждой вазы наудачу берут по одной гвоздике. Какова вероятность того, что будут выбраны красные гвоздики.
Вариант 3
1. Из урны, содержащей 10 белых, 8 черных и 1 оранжевых шаров, наугад извлекают три шара. Найти вероятность того, что это будут шары одного цвета.
2. На тактических занятиях зенитная батарея стреляет по двум беспилотным самолетам. Найти вероятность того, что самолеты не будут сбиты, если вероятность сбить один самолет равна 1/2 , а два самолета – 1/8;
3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное;
4. В коробке находится 6 синих, 4 красных и 6 зеленых флажков. Каждое испытаниесостоит в том, что из корзины случайным образом выбирается один флажок. Найти вероятность того, что при первом испытании будет выбран зеленый флажок, при втором – красный, а при третьем – синий;
5. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 деталей (из них 7 окрашенных), во втором- 8 деталей (из них 5 окрашенных). Из каждого ящика наудачу выбирают по одной детали. Какова вероятность того, что обе будут окрашенные.
Вариант 4
1. В ящике 12 деталей, среди них 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2-х деталей окажется не более одной нестандартной детали.
2. Из чисел 1, 2,3,4…100 выбирают число. Найти вероятность того, что выбранное число делится хотя бы на одно из чисел: 4 и 6.
3. Вероятность того, что при измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая некоторую заданную точность, равна 0,4. Произведено два независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
4. На полке вперемежку расставлено 4 учебника по геометрии, 5 учебников по географии и 3 учебника по астрономии. Каждое испытание состоит в том, что библиотекарь случайным образом выбирает один учебник. Найти вероятность того, что при первом испытании будет выбран учебник по астрономии, при втором – по геометрии, а в третьем – по географии;
5. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой из них вероятность того, что она включена в данный момент равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент ни одна из них не включена.
Контрольные вопросы
1. Что понимают под суммой нескольких событий?
2. Что понимают под произведением нескольких событий?
3. Какие события называются независимыми?
4. Какие случайные события называются зависимыми?
5. Чему равна вероятность совместного появления двух независимых событий?
6. Чему равна вероятность совместного появления двух зависимых событий?
7. Чему равна вероятность суммы двух, трех или нескольких случайных событий? От чего зависит формула вероятности суммы случайных событий?
8. Чему равна вероятность произведения двух, трех или нескольких случайных событий? От чего зависит формула вероятности произведения случайных событий?
9. Дайте определение условной вероятности случайного события. Вероятности каких случайных событий можно вычислить по этой формуле?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 651 494 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Андреева Ольга Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.