Элементы комбинаторики и теории вероятностей

• 1 слайд

  Элементы комбинаторики и теории вероятностей в курсе математики основной школы
  

• 2 слайд

  С тех пор, как существует мирозданье,
  Такого нет, кто б не нуждался в знанье.
  Какой мы не возьмем язык и век -
  Всегда стремился к знанью человек…
  
  

• 3 слайд

  Эта линия развивает у учащихся вероятностно-статистический тип мышления:
  -умение воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах,
  -понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей,
  -производить простейшие вероятностные расчеты,
  -осуществлять рассмотрение различных случаев,
  -перебирать и подсчитывать число вариантов в простейших прикладных задачах
  

• 4 слайд

  Статистика
  Статистика –наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе.
  
  
  

• 5 слайд

  Модель статистики
  СТАТИСТИКА
  мода
  размах
  медиана
  Ср\арифм.
  

• 6 слайд

  Задача
  Учащиеся 7 класса получили
  за контрольную работу по
  математике следующие
  оценки:
  3, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 4.
  Найти среднее арифметическое, размах, моду и медиану числового ряда.
  
  

• 7 слайд

  Среднее арифметическое
  Включив свои знания,
  смекалку, сообразительность и чувство юмора
  постарайтесь отыскать среднее арифметическое
  не чисел, а тех предметов и существ,
  которые нас окружают.
  

• 8 слайд

  Назовите среднее
  арифметическое…
  Портфеля и рюкзака
  

• 9 слайд

  Ранец
  
  

• 10 слайд

  Назовите среднее
  арифметическое…
  Женщины и рыбы
  

• 11 слайд

  Русалка
  
  

• 12 слайд

  Назовите среднее
  арифметическое…
  Мужчины и коня
  

• 13 слайд

  Кентавр
  

• 14 слайд

  Назовите среднее
  арифметическое…
  Носка и чулка
  

• 15 слайд

  Гольф
  
  

• 16 слайд

  Назовите среднее
  арифметическое…
  Велосипеда и мотоцикла
  

• 17 слайд

  Мопед
  

• 18 слайд

  Среднее арифметическое
  3, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 4
  ( 3+4+5+5+4+4+4+3+3+5+4):11=4
  

• 19 слайд

  Мода
  

• 20 слайд

  Мода
  3, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 4
  «4»
  

• 21 слайд

  Медиана
  

• 22 слайд

  Медиана
  3, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 4.
  3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.
  «4»
  

• 23 слайд

  Размах
  

• 24 слайд

  Размах
  3, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 4.
  
  Максимальное число - 5
  Минимальное число - 3
  5-3=2
  «2»
  

• 25 слайд

  Задача - практикум
  Заработная плата учителя С(к)ОШ №24 за пять месяцев 2015 года будет следующая:
  январь – 35 т. р;
  февраль – 36 т. р;
  март – 47 т. р;
  апрель – 40 т. р;
  май – 47 т. р.
  Найдите среднее арифметическое, моду, медиану и размах числового ряда.
  

• 26 слайд

  Решение
  35000;3600;47000;40000;47000
  Среднее арифметическое
  (35000+3600+47000+40000+47000):5=41000
  Мода
  47000
  Медиана
  35000; 36000; 40000; 47000; 47000.
  Размах
  47000-35000=12000
  

• 27 слайд

  Что такое комбинаторика?
  
  Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
  
  

• 28 слайд

  Задача
  Буратино пришел в школу и встретил своих друзей Артемона, Пьеро, Мальвину.
  Они все обменялись рукопожатиями.
  Сколько всего
  рукопожатий было?
  
  

• 29 слайд

  Решение
  БА БП БМ - 3 рукопожатия
  АП АМ - 2 рукопожатия
  ПМ - 1 рукопожатие
  способ перебора 3+2+1= 6
  Ответ: 6 рукопожатий
  А
  Б М - граф-дерево переборов
  П
  

• 30 слайд

  Задача
  Из дома Буратино в
  театр ведут три дороги,
  а из театра в школу еще
  три дороги. Сколькими
  способами может
  Буратино пройти в
  школу, посетив театр?
  

• 31 слайд

  Решение
  
  Дом Театр Школа
  
  ** ** ** ** ** ** ** ** **
  1) способ перебора возможных вариантов
  
  2) комбинаторное правило умножения 3 ∙ 3 = 9
  
  Ответ: 9 способов
  
  

• 32 слайд

  Задача - практикум
  В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
  

• 33 слайд

  Решение
  Б Р
  
  
  Г К С П Г К С П
  БГ; БК; БС; БП; РГ; РК; РС; РП.
  2 ∙ 4=8
  Ответ: 8 вариантов
  

• 34 слайд

  Перестановки
  Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
  Pn = n!
  Пример: 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
  

• 35 слайд

  Задача
  Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
  Решение
  4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24(способа)
  

• 36 слайд

  Размещения
  Размещением из n элементов по k (k ˂ n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.
  Ank = 𝒏! 𝒏−𝒌 !
  
  

• 37 слайд

  Задача
  Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
  Ank = 𝒏! 𝒏−𝒌 !
  A94 = 𝟗! 𝟗−𝟒 ! = 𝟗! 𝟓! = 𝟓!∙𝟔 ∙𝟕∙ 𝟖 ∙𝟗 𝟓! = 6 ∙7 ∙8 ∙9 =3024 (способа)
  
  

• 38 слайд

  Сочетания
  Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
  Cnk = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
  
  

• 39 слайд

  Задача
  Из 15 учащихся класса для уборки территории около школы требуется выделить 3 человек. Сколькими способами можно это сделать?
  Cnk = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
  
  C153 = 𝟏𝟓! 𝟑! 𝟏𝟓−𝟑 ! = 𝟏𝟓! 𝟑!𝟏𝟐! = 𝟏𝟐! ∙𝟏𝟑∙𝟏𝟒∙𝟏𝟓 𝟏𝟐!∙𝟏∙𝟐∙𝟑 = 13∙7∙5 =455(способов)
  
  

• 40 слайд

  Теория вероятностей
  Случайными событиями называются события, которые могут произойти или не произойти.
  Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий.
  

• 41 слайд

  Относительная частота
  Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.
  

• 42 слайд

  Задача
  В классе 12 учащихся. Опоздали на урок 3 человека. Какова относительная частота случайного события?
  P(М)= 𝒎 𝒏
  n – общее число испытаний,
  m – число испытаний, при которых произошло событие
  Р(М)= 3 12 = 1 4
  
  
  

• 43 слайд

  Задача - практикум
  Для лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 100 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
  𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎𝟎 = 𝟏 𝟏𝟓
  
  

• 44 слайд

  Задача
  Из 25 билетов по ОБЖ ученик подготовил 11первых и 9 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
  25- (11+9)=5(билетов) – не подготовил
  Р(М) = 5 25 = 1 5
  
  

• 45 слайд

  Задача - практикум
  В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или последнем этаже?
  93-(3+6)=84(кв.)- благоприятные исходы
  𝟖𝟒 𝟗𝟑 = 𝟐𝟖 𝟑𝟏
  
  

• 46 слайд

  Задача
  Равными вероятностями появления орла и решки при бросании монеты часто пользуются для принятия решения в спорных ситуациях «например, при розыгрыше ворот в футболе».
  
  Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих выпадет решка.
  Равновозможные исходы: ОО, ОР, РО, РР
  Р(А) = 1 4
  
  
  

• 47 слайд

  Задача
  В одной комнате общежития живут Антон, Борис и Василий. Нужно регулярно назначать дежурного по комнате. Юноши подбрасывают две монеты и в зависимости от результата определяют дежурного:
  - если выпали орёл и решка, дежурит Антон,
  - если выпали два орла, дежурит Борис,
  - если выпали две решки, дежурит Василий.
  Справедлив ли такой подход к выбору дежурного?
  
  

• 48 слайд

  Решение
  Такой подход не является справедливым, так как вероятность появления орла и решки ( ОР или РО ) равна 1/2 ( два благоприятствующих из четырёх возможных исходов), а вероятности появления двух решек или двух орлов одинаковы и равны 1/4. Так как ½ / ¼ = 2 , то можно сказать, что Антону, по всей вероятности, придётся в 2 раза чаще дежурить, чем каждому из его друзей.
  
  

• 49 слайд

  Задача
  В черном ящике 6 красных шариков и 3 синих шарика. Какова вероятность того, что 2 вынутых шара окажутся красными?
  
  Равновозможные исходы: С92 =36
  Благоприятные исходы: С62 = 15
  𝟏𝟓 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟏𝟐
  

• 50 слайд

  
  
  Я имею
  некоторое представление о «Статистике, комбинаторике и теории вероятностей»
  

• 51 слайд