Инфоурок › Математика ›Конспекты›Элементы теории вероятностей и математической статистики

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Скачать материал

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Московской области «Ногинский колледж»

подразделение «Балашиха»

И.А. Каверина

Элементы теории вероятностей и математической статистики

Балашиха

2016

I. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Раздел I. Теория вероятностей

1. Случайные и достоверные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятности.

2. Общее определение вероятности: аксиомы Колмогорова.

3. Теоремы сложения. Условная вероятность и независимость событий.

4. Теоремы умножения. Формула полной вероятности и формула Бейеса.

5. Случайные величины: дискретные, непрерывные. Функция распределения и ее свойства.

6. Плотность вероятности распределения непрерывной случайной величины.

7. Числовые характеристики случайных величин (и их вероятностный смысл): математическое ожидание; дисперсия и среднее квадратическое отклонение; мода и медиана; коэффициент вариации; асимметрия, эксцесс.

8. Модельные законы распределения.

· Биномиальное распределение и его числовые характеристики. Схема Бернулли-схема формирования биномиальной случайной величины. Формула Бернулли. Теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа.

· Гипергеометрическое распределение и его числовые характеристики. Урновая схема- схема формирования гипергеометрического распределения.

· Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

· Равномерное распределение. Числовые характеристики.

· Показательное распределение. Числовые характеристики.

· Нормальное распределение. Числовые характеристики. Правило 3 сигм.

9. Предельные теоремы: Закон больших чисел; центральная предельная теорема.

10. Система случайных величин. Зависимость случайных величин: ковариация и корреляция.

Раздел II. Элементы математической статистики

1. Первичная обработка данных. Генеральная совокупность и выборка. Полигон и гистограмма.

2. Выборочные оценки числовых характеристик.

3. Теория оценивания. Точечные оценки и их свойства: несмещенность; состоятельность; эффективность. Метод моментов.

4. Оценки максимального правдоподобия и их свойства.

5. Доверительные интервалы для средней и дисперсии нормальной генеральной совокупности.

6. Доверительные интервалы для неизвестной вероятности.

7. Проверка гипотез. Общая схема проверки гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. F, T- критерии.

8. Критерий Колмогорова, Колмогорова Смирнова.

9. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. c²-критерий.

10. Схема дисперсионного анализа.

11. Понятие регрессии. Линейная регрессия. Ошибка линейного прогноза.

12. Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение линейной регрессии.

13. Множественная линейная регрессия. Частные коэффициенты регрессии.

14. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение и его свойство.

II. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

С каждой задачей теории вероятностей явно или неявно связывают случайный эксперимент, проведенный при определенном (неизменяемом) комплексе условий, причем исход случайного эксперимента нельзя однозначно предсказать заранее из-за действия случайных факторов. Считается, что комплекс условий, относящийся к данному эксперименту, может воспроизводиться неограниченное число раз. Такие эксперименты еще называют опытом или испытанием. Наглядными примерами опытов, демонстрирующих действие механизма случайности, являются: подбрасывание монет или игральных костей; разыгрывание лотерейных выигрышей; расклады в карточных играх.

Отдельно взятый результат случайного эксперимента будем называть элементарным исходом и обозначать буквой ω (греческое омега-малое), возможно с индексом . Множество, содержащее все элементарные исходы данного эксперимента называется пространством элементарных исходов и обозначается буквой Ω (греческое омега-большое).

Случайным событием называется такое событие, которое при заданном комплексе условий может, как произойти, так и не произойти в отдельно взятом эксперименте. Очевидно, что случайное событие – состоит из элементарных исходов. Случайные события, как правило, обозначается заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D,... Говорят, что событие А произошло в опыте, если результатом опыта является один из элементарных исходов, входящий в событие А.

Достоверное событие – это событие, которое всегда происходит в опыте. Очевидно, что само Ω является случайным событием и является достоверным.

Невозможное событие – это событие, которое никогда не происходит в опыте и обозначается оно Ø. Очевидно, что невозможное событие не содержит ни одного элементарного исхода.

Отметим, что введенные понятия относятся к категории теоретико-множественных, следовательно, могут быть описаны следующими способами:

1) перечислением элементов;

2) словесное описание данного множества;

3) при помощи характеристического свойства.

Классическое определение вероятностей. Пусть выполнены следующие условия:

1) множество элементарных исходов Ω конечно;

2) все исходы равновозможны.

Тогда вероятность события A определяется по формуле

Замечание 1.1. По поводу обозначения: Probability – вероятность.

Замечание 1.2. Урновая схема: все исходы нумеруются; им ставятся в соответствии шары с теми же номерами; шары опускаются в урну и перемешиваются. Случайным образом достают шар (или серию шаров) из урны. Так можно имитировать случайный эксперимент с равновозможными исходами. Следовательно, классическое определение используется только в случае, если исходную задачу можно свести к «Урновой схеме», тогда условие «равновозможности исходов» становится очевидным.

Пример 1. Эксперимент: бросается игральная кость. Результат эксперимента {на верхней грани i точек}, . Следовательно . Определим события:

A={выпало четное число точек } = .

В={число точек меньше трех} = .

С={выпала хотя бы одна точка} = Ω – достоверное событие.

Найдем вероятности данных событий по классическому определению:

; ; .

Отметим, что вероятность достоверного события (всегда 1), а вероятность невозможного 0.

Пример 2. Подбрасывают три монеты. Найти вероятность того, что выпадет не менее двух гербов.

Решение: Результат, где - герб {Г} или решка {Р}. Опишем пространство элементарных исходов и обозначим его Ω (ПЭИ).

,Ω = {(Г,Г,Г), (Г,Г,Р), (Г,Р,Г), (Г,Р,Р), (Р,Г,Г), (Р,Г,Р), (Р,Р,Г), (Р,Р,Р)}, n=8- общее число исходов..

Множество А = {(ГГГ), (ГГР), (ГРГ), (РГГ)} является случайным событием состоящим в том, что выпадет не менее двух гербов. Событие А происходит, если осуществляется одна из этих четырех комбинаций.

m=4- число исходов благоприятствующих А. Тогда по классическому определению вероятности .

Ответ: 0,5.

Пример 3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень в 45 случаях. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень.

Решение: Подсчитаем относительною частоту события

А={стрелок поразит мишень при одном выстреле}.

Таким образом, искомая относительная частота (А)=0,45.

Ответ: 0,45.

Пример 4. Вероятность того, что событие А произойдет в опыте равна 0,75; вероятность того, что событие В произойдет в опыте- 0,4. Вероятность того, что оба события произойдут в опыте равна 0,25. Найти вероятность того, что хотя бы одно событие произойдет в опыте.

Решение: Обозначим: А={событие А произошло в опыте},

В={событие В произошло в опыте}. Тогда А×В={события А и В произошли в опыте одновременно}. Р(А)=0,75; Р(В)=0,4; Р(А×В)=0,25.

Используя теорему о сумме двух совместных событий, получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А×В)=0,75+0,4-0,25=0,9.

Ответ: 0,9.

Пример 5 Деталь проходит три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0,02, второй- 0,01, третьей- 0,03. Найти вероятность: а) выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями; б) выхода бракованной детали.

Решение: а) введем события:

А={на выходе появилась стандартная деталь},

А_i={i-я операция обработки прошла без брака}, i=1,2,3. Тогда А=А₁×А₂×А_3.

По условию задачи Р(А₁)=0,98; Р(А₂)=0,99; Р(А₃)=0,97.

Используя теорему умножения для независимых событий, получаем

Р(А)=Р(А₁×А₂×А₃)=Р(А₁)×Р(А₂)×Р(А₃)=0,98×0,99×0,97=0,9411.

б) ={на выходе появилась бракованная деталь}.

Тогда

Ответ: а) 0,9411, б) 0,0589.

Пример 6. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0, 6, а второй - с вероятностью 0, 7. Первый делает 2 выстрела по цели, а второй- 3 выстрела. Найти вероятность того, что ни одна пуля не попала в цель.

Решение. Пусть А = {ни одна пуля не попала в цель}, А₁ = {попадание в цель первым стрелком при одном выстреле}, А₂ = {попадание в цель вторым стрелком при одном выстреле}. Тогда. Так как первый и второй стрелки стреляют независимо друг от друга, то

= 0,16 × 0,027 = 0,004.

Ответ: 0,004.

Пример 7. Партия из 100 деталей, среди которых 5 бракованных, подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой?

Решение. Пусть А = {партия деталей не принята}, a B_k = {каждая проверенная деталь доброкачественная}, k = 1, 2, 3, 4, 5. Будем искать вероятность противоположного события `А = {партия деталей принята}. Очевидно, Следовательно, P(`A) = P(B₁B₂B₃B₄B₅) = P(B₁)P(B₂ /B₁)P(B₃/B₁B₂)P(B₄ /B₁B₂B₃ ). Вероятность события B₁:, т.к. всего деталей 100, а пригодных 95. После осуществления события B₁ деталей остается 99, среди которых пригодных 94, по этому Аналогично,

Таким образом, Тогда .

Ответ: 0,23.

Пример 8. Партия деталей содержит 70% деталей первого завода и 30% деталей второго завода. Вероятность того, что деталь с первого завода проработает без отказа более 1000 часов (надежность) равна 0,95 , а для деталей со второго завода эта вероятность равна 0,9.

а) Найти вероятность того, что случайно взятая из партии деталь проработает без отказа более 1000 часов.

б) Деталь прошла испытание и проработала безотказно 1000 часов. Найти вероятность того, что она с первого завода.

Решение: а) введем события

А={деталь проработает без отказа более 1000 часов},

H_i={взятая деталь с завода i} , i=1,2, по условию задачи

P(H₁)=0,7 ; P(H₂)=0,3 ; P(A/H₁)=0,95 ; P(A/H₂)=0,9.

По формуле полной вероятности

P(A)= P(H₁)× P(A/H₁)+ P(H₂)× P(A/H₂)=0,7×0,95+0,3×0,9=0,935

Таким образом партия деталей (большое количество) будет содержать где-то 93,5% деталей с заданной надежностью.

б) сохраним обозначения п. а). по формуле Бейеса

Ответ: а) 0,935, б) 0,7112.

Пример 9. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

Х	-4	0	8
Р	0,2	р	0,6

Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2

МХ=-4×0,2+0×0,2+8×0,6=4

DX=MX²-(MX)²=(-4)²×0,2+0²×0,2+8²×0,6-(4)²=25,6

Среднее квадратическое отклонение

коэффициент вариации

Мода(Х)=8, т.к. 8 имеет наибольшую вероятность, равную 0,6.

Коэффициент асимметрии

График функции распределения

Пример 10. Случайная величина Х имеет плотность распределения

Найти: а) коэффициент а; б) вероятность того, что в результате испытания с.в. Х примет значение, заключенное в интервале (0, ).

Решение. а) Коэффициент а найдем из условия . В нашем случае

или

Мх=- математическое ожидание.

б) Найдем вероятность того, что с.в. x примет значение, заключенное в интервале (0, )

Ответ: а) , б)

Пример 11. Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму расходов на транспорт, равна 0,8. Какова вероятность того, что за три рабочих дня база уложится в норму 2 раза. Найти числовые характеристики с.в. Х- число дней, когда база укладывается в норму транспортных расходов в течение трех рассматриваемых дней.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли, а следовательно с.в. Х имеет биномиальное распределение. По условию задачи n=3 , p=0,8.

Тогда

Основные числовые характеристики с.в. Х равны:

а) математическое ожидание

MX= n×p=3×0,8=2,4;

б) дисперсия

DX= n×p×q=3×0,8×0,2=0,48; q=1-p=0,2

»0,7;

в) коэффициент вариации

;

г) коэффициент асимметрии

;

д) коэффициент эксцесса

;

е) Мода (наивероятнейшее число) находится из неравенства

np-q£Мода(Х)<np+p , т.е.

3×0,8-0,2£Мода(Х)<3×0,8+0,8

2,2£Мода(Х)<3,2ÞМода(Х)=3.

Ответ: 0,364; 0,0589.

Пример 12. В условиях предыдущего примера, найти вероятность того, что из 100 рабочих дней торговая база уложится в норму транспортных расходов:

а) ровно 80 раз;

б) от 75 до 85 дней включительно.

Решение: а) в нашем случае n=100; p=0,8; q=0,2.

Воспользоваться точной формулой для вычисления Р(Х=80) практически невозможно, поэтому воспользуемся приближенной. Так как npq=100×0,8×0,2=16>9,

то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.

j(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);

б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.

=2Ф(1,25)=2×0,39435=0,7887

здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице 4 приложения.

Ответ: а) 0,0997, б) 0,7887.

Пример 13. Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:

а) ровно 3 ошибки;

б) от 2 до 4 ошибок включительно.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001.

Тогда npq=30000×0,0001×0,9999»3<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:

, l=np, k=0,1,2,...

а)воспользуемся таблицей 1 приложения, получим

, l=np=3.

б)

=0,22404+0,22404+0,16803=0,61611.

Ответ: а) 0,22404, б) 0,61611.

Пример 14. Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.

Решение: Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):

, k=0,1,2,... q=1-p.

В нашем случае:

N=6+4=10 - общее число шаров в урне;

n=3 - число шаров, которые достаются из урны;

Np=6 - количество черных шаров, Þ p=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);

Nq=4 - число белых шаров,Þ q=0,4.

Итак: .

Числовые характеристики с.в. Х равны

MX=n×p=3×0,6=1,8 ;

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Коэффициент асимметрии

Пример15. С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности:

а) Р(Х=0); б) Р(Х³1); в) Р(Х>7).

Решение: Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром l известно, что МХ=l. Следовательно, из условия задачи (среднее) МХ=1,5 находим, что l=1,5.

Числовые характеристики Х равны:

математическое ожидание МХ=l=1,5,

дисперсия DХ=l=1,5,

среднее квадратическое отклонение ,

коэффициент вариации ,

коэффициент асимметрии ,

коэффициент эксцесса .

Моду с.в. Х найдем по таблице 1 приложения:

мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность,

а) По таблице 1 находим Р(Х=0)=0,22313;

б) Р(Х³1)=1-Р(Х=0)=0,77687;

в) Р(Х>7)=0,00017.

Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.

Ответ: а) 0,22313, б) 0,77687, в) 0,00017.

Пример 16. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром l=2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1<X<3).

Решение: Числовые характеристики с.в. Х вычисляются по формулам:

-математическое ожидание;

-дисперсия;

-среднее квадратическое отклонение;

V(X)=100% -коэффициент вариации всегда равен 100% ;

Медиана(Х)=.

График плотности с.в. Х имеет вид изображенный на рис.1. Из этого графика видно, что локальный максимум плотности находится в точке х=0. Следовательно Мода(Х)=0.

Коэффициент асимметрии А_s=2 (всегда 2).

Коэффициент эксцесса Е_х=6 (всегда 6).

рис.1

Ответ: 0,1329.

Пример 17. С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, s²=36.

а) найти числовые характеристики с.в. Х;

б) выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности;

в) найти границы за которые практически не выходит с.в. Х;

г) вычислить Р(135<X<165).

Решение:

а) найдем числовые характеристики Х:

МХ=Мода(х)=Медиана()=а=150,

D(X)=s²=36Þs(x)==s=6.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0. Коэффициент вариации .

б) выпишем плотность с.в. Х:

Рис. 2

в) Используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-3s<X<a+3s, т.е. 150-3×6<X<150+ 3×6sÞ132<X<168.

г) Р(135<X<165)=Ф =

Здесь Ф(×)-функция Лапласа, значение которой найдено по таблице 4 приложения. Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х),

поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.

Ответ: а) 150, 6, б) в) 132<X<168, г)

Пример 18. Найдите выборочные числовые характеристики по выборке: 3,5,6,3,3,6,3,7,5,5,3.

Решение: Построим статистический ряд частот:

Варианты х_i	3	5	6	7
Частота n_i	5	3	2	1

Объем выборки n=n₁+n₂+n₃+n₄=5+3+2+1=11.

Среднее равно: .

Несмещенная оценка дисперсии

Оценки являются несмещенными "хорошими" для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка является малой.

Мода (Х)=3, т.к. значение 3 встречается большее число раз (пять).

Построим вариационный ряд: 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7

Т.к. n-нечетно (n=11), то на месте (n+1)/2=6 в вариационном ряде стоит медиана: Медиана(Х)=5.

Коэффициент асимметрии

А_s=

Пример 19. По выборочным данным найти моду, медиану. Построить гистограмму.

Интервал	Частота n_i
5-11	18
11-17	25
17-23	14
23-29	8
29-35	2

Решение: Построим гистограмму частот

Для удобства вычислений составим таблицу.

Интервал	Середина интервала	Частота n_i	Накопленная частота
5-11	8	18	18
11-17	14	25	43
17-23	20	14	57
23-29	26	8	65
29-35	32	2	67
		S=67

При вычислении

Медиана оценивается по формуле

Медиана= L+i

Здесь L- нижняя граница интервала, в котором находится медиана (медианный интервал);

i- величина медианного интервала;

n- объем выборки;

f- частота медианного интервала;

F- накопленная частота интервала, предшествующему медианному.

В нашем случае n=67, следовательно, медиана равна члену, стоящему на (n+1)/2=34-м месте в вариационном ряду. По накопленным частотам заключаем, что этот член находится в интервале (11,17). Следовательно, медианный интервал (11,17). Тогда L=11, i=6, (n+1)/2=34, f=25, F=18 и, следовательно

Медиана = 11+6×

Мода находится по формуле

Мода= L+i

где L- нижняя граница модального интервала,

i- величина модального интервала

f_мо, f_мо-1, f_мо+1 частота модального, предшествующего модальному и следующего за модальным интервала.

В нашем случае модальный интервал [11,17], т.к. имеет наибольшую частоту. Тогда L=11, i=6, f_мо=25, f_мо-1=18, f_мо+1=14;

Мода =

Ответ: 15,6; 42,5; 14,84; 13,33.

Пример 20. Найти 97,5% доверительный интервал для неизвестного параметра а нормально распределенного признака, если известно s=7,3. По выборке объема n=64 найдено .

Решение: Требуемый доверительный интервал равен

, где надежность g=0,975 позволяет найти U_g из уравнения 2Ф(U_g)=0,975. Из таблицы 4 приложения находим U_g=2,24. Тогда

120,3-2,044<a<120,3+2,044,

118,256<a<122,344.

Ответ: 118,256<a<122,344.

Пример 21. В условиях предыдущего примера, определите минимальный объем выборки, чтобы с надежностью g=0,975 точность оценки была не больше 0,5.

Решение: Точность оценки зависит от выражения

Подставляя U_g=2,24 ; s²=7,3²=53,29 ; e²=0,5²=0,25, получим

Таким образом минимальный объем выборки должен составлять 1070 измерений.

Ответ:1070.

Пример 22. По выборке объема n=25 найдены Считая, что наблюдаемый признак имеет нормальное распределение найдите доверительный интервал с надежностью 0,9.

Решение. Искомый доверительный интервал равен где находится по таблице 5 приложения: Здесь a=1-g=0,1; К=n-1=25-1=24, тогда t_0,1(24)=1,711. Итак, e; 16,3-0,71<a<16,3+0,7, 15,59<a<17,01.Ответ: 15,59<a<17,01.

Пример 23. Признак имеет нормальное распределение. По выборке объема n=30 найдена оценка дисперсии S²=1,5. Найдите 95% доверительный интервал для дисперсии.

Решение: Доверительный интервал определяется так

Здесь a=1-0,95=0,05; тогда из таблицы 7 приложения находим .

Ответ: 0,95<s²<2,7.

Пример 24. Произведено 529 испытаний, в которых события А наблюдалось 70 раз. Найдите 93% доверительный интеграл для вероятности р события А.

Решение. Искомый доверительный интервал находится так: р₁<p<p₂, где , здесь g=0,93, U_g находится из уравнения Ф(U_g)=g/2=0,465Þ по таблице 4 функции Лапласа находим U_g=1,811. Вычислим

Итак: 0,1323-0,0267<p<0,1323+0,0267.0,1056<p<0,159.

Ответ: 0,1056<p<0,159.

Пример 25. Необходимо проверить точность работы двух агрегатов А и В по контролируемому признаку. Для этого были взяты две выборки n_A=9, n_B=12 соответственно, по которым найдено . Требуется проверить гипотезу о том, что точность работы агрегатов одинакова, если известна, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.

Решение: Проверку проведем по F-критерию: , здесь

m₁=n_A-1=9-1=8, т.к. А имеет большую дисперсию

m₂=n_В-1=12-1=11. По таблице 6 приложения, находим при a=0,1 F_кр=F(a/2=0,05;8;11)=2,95. Т.к. F_наб.<F_кр., то нет основания считать, что точность работы агрегатов разная.

Пример 26. Нужно проверить влияние двух различных кормовых добавок на увеличение веса свиней. Для этого 10 свиней кормили с добавкой А, а других 8 с добавкой В. По выборочным данным вычислено

Решение. Выбираем уровень значимости возьмем a=0,1.

Первый этап. Проверим гипотезу о равенстве дисперсии .

Т.к. F_наб<F_кр, то гипотезу о равенстве дисперсий принимаем.

Второй этап. Проверим гипотезу о равенстве увеличения веса для двух добавок (Н₀:МХ=МУ). Используем t – критерий:

Выберем a=0,05. Найдем для k=n₁+n₂-2=10+8-2=16 степеней свободы по таблице 5 приложения t_кр=t(0,05;16)=2,12. Т.к.½t_наб½>t_кр, то различия признаются существенными. Следовательно добавка В дает больший привес в весе.

Пример 27. Фактический сбыт в шести районах характеризуется таблицей (выборкой).

Район	1	2	3	4	5	6
Объем сбыта	90	130	110	85	75	110

Согласуются ли эти результаты с предложением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков?

Решение: Выберем уровень значимости a=0,05. Если гипотеза Н₀: сбыт одинаков - верна, то теоретически объем сбыта в 600 у.е. (90+130+ +110+85+75+110=600) должен распределиться одинаково по шести районам, т.е. по 100 у.е. на каждый район. Дальнейшие вычисления сведем в промежуточную таблицу.

Район

130

110

100

900

100

225

625

100

2,25

6,25

20,5

Таким образом:

Т.к. мы не оценивали ни один параметр, то по числу степеней свободы k=6-1=5 и уровню значимости a=0,05 по таблице 7 приложения находим , то различие в сбыте по районам признается значимым и не может быть объяснено действием случайного фактора.

Пример 28. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки:

Интервал	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Частота	2	4	8	12	16	10	3

Решение: Для проверки гипотезы будем использовать критерий Пирсона. Уровень значимости выберем a=0,1. Т.к. нормальное распределение определяется двумя параметрами а и s², то оценим их по выборке, объем которой равен:

n=2+4+8+12+16+10+3=55.

Среднее равно:

Несмещенная оценка дисперсии

Для удобства вычисления статистики будем промежуточные результаты вносить в таблицу. Объединим крайние интервалы с соседними, так, чтобы выполнилось условие

I	II	III	IV	V	VI
№ интервала	Интервал		P_i
1 2 3 4 5	-¥;14 14;16 16;18 18;20 20;+¥	6 8 12 16 13	0,0959 0,1686 0,2576 0,2484 0,2295	5,274 9,273 14,168 13,662 12,623	0,010 0,175 0,332 0,400 0,011
		n=55	1		0,928

Здесь Р_i- вероятность того, что с.в. Х попадает в соответствующий интервал D_i при условии, что она имеет нормальное распределение с параметрами а=17,84; s²=8,53 (s=2,92). Например, используя таблицу 4 приложения, находим:

Значения в V столбце вычисляются так:

и т.д.

Значения в VI столбце вычисляются так:

Тогда сумма VI столбца даст значение

Теперь найдем по таблице 7 приложения при уровне значимости a=0,1. Т.к. после объединения интервалов у нас осталось r=5- интервалов и по выборке мы оценили два (S=2) параметра а и s, то для нахождения параметр число степеней свободы будет равен k=r-s-1=5-2-1=2.

Тогда

Так как (т.е. 0,928<4,61), то гипотезу о нормальном распределении можно принять.

Пример 29. Построить линию регрессии в виде Можно ли использовать ее в дальнейших прогнозах?

x_i	4	5	8	8	10	12
y_i	0,5	4,2	12,7	13,6	19,2	24,8

Решение: Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид , где

-условная средняя (при фиксированным х);

-выборочные средние;

-несмещенные оценки дисперсии;

r_B- выборочный коэффициент корреляции:

Приступим к вычислениям

n=6, т.к. наблюдалось 6 точек вида (x_i;y_i);

S_x=3 ; S_y=9,06

=4×0,5+5×4,2+8×12,7+8×13,6+10×19,2+12××24,8=723

r_B=(723-6×7,83×12,5)/(6×3×9,06)=0,832.

Уравнение регрессии: .

Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, т.е. H₀: r=0, H₁:r¹0.

Вычислим статистику критерия:

По уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы k=n-2=6-2=4 из таблицы 5 приложения находим двухстороннюю критическую область t_кр=2,776. Так как ½t_наб½>t_кр , то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем, т.е. считаем, что r¹0.

Найдем, коэффициент детерминации

Так как R²<0,75 (0,75-шаблонное значение), то уравнением регрессии пользоваться не рекомендуется.

В дальнейшим, т.к. зависимость между X и Y существует (r¹0), следует либо изменить вид зависимости, либо увеличить число наблюдений и провести анализ зависимости снова.

Вопросы к экзамену

1. Пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними.

2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятностей. Пример.

3. Размещения, сочетания, перестановки. Свойства сочетаний.

4. Геометрическое определение вероятности. Пример.

5. Условная вероятность. Обоснование формулы условной вероятности в классическом случае. Формула умножения вероятностей. Независимость событий.

6. Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример.

7. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Пример. Предельные теоремы Пуассона и Муавра – Лапласа.

8. Случайная дискретная величина. Ряд распределения. Пример.

9. Функция распределения и ее свойства. Пример.

10. Непрерывная с. в. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

11. Математическое ожидание дискретной и непрерывной с. в. и его свойства.

12. Дисперсия и ее свойства.

13. Мода и медиана распределения. Начальные и центральные моменты случайная величина

14. Дискретное распределение: биномиальное, Пуассона, геометрическое и их характеристики.

15. Равномерное и показательное распределение и их основные характеристики. Лемма о равномерном распределении.

16. Нормальное распределение и его характеристики. Лемма о нормальном распределении. Вероятность событий, связанных с нормальным распределением.

17. Двумерная функция распределения и ее свойства. Связь с одномерными ф.р.

18. Система двух дискретных случайная величина Матрица распределений. Связь с рядами распределения одномерных случайная величина

19. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства. Ковариационная матрица.

20. Условное математическое ожидание и его свойства.

21. Условные законы распределения дискретных и непрерывных случайная величина Понятие регрессии. Уравнение регрессии.

22. Независимость дискретных и непрерывных случайная величина Критерии независимости.

23. Неравенство Чебышева. Следствие.

24. Понятие о законе больших чисел. Закон больших чисел в форме Чебышева. Следствие.

25. Закон больших чисел в форме Бернулли.

26. Понятие о центральной предельной теореме. Центральная предельная теорема для независимых, одинаково распределенных случайная величина

27. Понятие выборки и генеральной совокупности. Выборочный метод. Выборочное распределение и его характеристики. Понятие статистики.

28. Распределение ^, Стьюдента, Фишера. Понятие критических точек.

29. Лемма Фишера. Лемма о распределениях Стьюдента и Фишера.

30. Точечные оценки неизвестных параметров. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Выборочное среднее и дисперсия как оценки.

31. Метод моментов и метод максимального правдоподобия.

32. Интервальные оценки неизвестных параметров. Доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии нормального распределения генеральной совокупности.

33. Статистическая гипотеза. Критерий. Критическая область. Ошибки первого и второго ряда. Критерии Пирсона. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности.

34. Понятие регрессии. Линейная регрессия. Ошибка линейного прогноза.

35. Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение линейной регрессии.

36. Множественная линейная регрессия. Частные коэффициенты регрессии.

37. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение и его свойство.

Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ (далее К.Р.) необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая К.Р. выполняется в отдельной тетради в клетку (или распечатывается на бумаге формата А4) чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной не менее 2 см для замечаний рецензента.

2. Внешнее оформление К.Р.: на обложке тетради должны быть ясно написаны название учебного заведения; название дисциплины; вариант; фамилия студента, его инициалы; проставлена дата ее сдачи и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по соответствующему варианту. В случае не выполнения этого требования ставится «незачет».

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

5. К.р. представляется не позднее установленных сроков. В случае не выполнения этого требования проверка К.Р. производится в неустановленные сроки (после сессии).

6. Если К.Р. «не зачтено», то ее необходимо переделать в соответствии с указаниями, данными в рецензии, и с надписью «повторная», сдать на проверку, приложив рецензию к работе.

7. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8. К.Р. с оценкой «зачет» обязательно представляется на экзамене (зачете).

Таблица выбора заданий по вариантам для выполнения контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Номер варианта соответствует номеру в списке группы.

Задание варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	2	6	1	3	1	10	1	5	8	8	2	10	1
2	10	3	2	10	2	9	3	1	2	10	1	4	4
3	5	10	3	1	4	3	5	8	7	9	9	1	2
4	3	5	4	7	3	6	1	2	5	6	4	2	8
5	4	8	1	9	5	4	6	10	10	7	6	3	2
6	9	9	7	5	7	8	1	2	4	8	7	5	7
7	6	10	4	5	8	7	2	3	2	9	8	8	6
8	3	1	3	6	6	6	5	2	1	10	6	7	9
9	1	9	8	3	9	4	6	7	9	2	9	9	6
10	9	2	5	1	10	5	2	10	8	5	5	10	5
11	9	10	3	1	11	3	5	8	6	9	9	1	2
12	4	5	4	7	12	6	1	2	4	6	4	2	8
13	3	8	1	9	13	4	6	10	5	7	6	3	2
14	6	9	7	5	14	8	1	2	6	8	7	5	7
15	9	10	4	5	15	7	2	3	1	9	8	8	6
16	1	1	3	6	16	6	5	2	10	10	6	7	9
17	3	9	8	3	17	4	6	7	9	2	9	9	6
18	2	2	5	1	18	5	2	10	8	5	5	10	5
19	5	1	3	6	19	6	5	2	7	10	6	7	9
20	1	9	8	3	20	4	6	7	6	2	9	9	6
21	2	2	5	1	10	5	2	10	5	5	5	10	5
22	3	10	3	1	4	3	5	8	4	9	9	1	2
23	4	5	4	7	3	6	1	2	3	6	4	2	8
24	5	8	1	9	5	4	6	10	2	7	6	3	2
25	6	9	7	6	7	8	1	2	3	8	7	5	7
26	7	10	4	5	8	7	2	3	3	9	8	8	6
27	8	1	3	8	6	4	5	2	2	10	6	7	9
28	9	8	8	3	9	1	6	7	10	2	5	9	6
29	10	2	5	1	3	5	2	10	9	5	5	7	5
30	5	4	3	2	1	6	7	8	9	10	9	8	7

III. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАДАНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1. В ящике находится 60 красных и 30 белых шаров. Наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он а) красный б) белый

2. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) три; б) меньше трех.

3. Случайным образом выбирается число из множества {1,2,3,4,5,6,7,8}. Какова вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 4.

4. Студент знает 15 вопросов из 25. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент а) знает б) не знает.

5. Монета подбрасывается дважды. Построить множество элементарных исходов. Рассчитать вероятность того, что хотя бы один раз выпадет "герб".

6. Из колоды в 36 карт случайным образом достается одна. Какова вероятность того, что а) эта "картинка"; б) дама черви или король черви.

7. Из слова "математика" наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что это будет а) буква "М"; б) гласная буква

8. В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет, попадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов по 50 руб. и на 60 билетов по 10 руб. Некто покупает 1 билет. Какова вероятность, что он выиграет а) 50 рублей; б) не менее 50 рублей.

9. Некто, набирая номер телефона, забыл последнюю цифру. Какова вероятность, что набирая ее случайным образом, он правильно наберет номер.

10.Подбрасывают три монеты. Найти вероятность того, что выпадет не более двух гербов.

ЗАДАНИЕ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1. Для определения доли бракованных изделий были взяты случайным образом 200 изделий. При проверке оказалось, что среди них 5 бракованных. Какова вероятность, что произведенная деталь является а) бракованной б) стандартной.

2. Обследование показало, что из 1000 зашедших в магазин потенциальных покупателей, действительно приобрело товар 190. Какова вероятность того, что зашедший в магазин человек а) приобретет товар б) не приобретет товар.

3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень 57 раз. Какова вероятность, что стрелок поразит мишень.

4. Из 500 телевизоров 490 проработало без поломок 10 000 часов и более. Какова вероятность, что произведенный по данной технологии телевизор проработает не менее 10 000 часов без поломок.

5. За последние 100 дней курс доллара повышался 25 раз. Какова вероятность, что на следующих торгах курс доллара повысится.

6. Статистика показала, что из последних 1000 новорожденных 560-мальчики. Какова вероятность того, что следующий новорожденный будет мальчик.

7. Из 1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 у.е. Какова вероятность, что отдельная семья имеет доход выше 1000 у.е.

8. При аттестации 100 сотрудников не аттестованными оказались 8. Какова вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.

9. Относительная частота появления бракованных изделий на автоматической срочной линии составляет 0,02. Сколько проверялось изделий, если известно, что бракованных было 8?

10.Из 1000 проверенных деталей оказалось, что 110 из них с дефектом. Какова вероятность, что приобретенный товар является с дефектом?

ЗАДАНИЕ 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

1. Вероятность того, что студент изучает английский равна 0,8, а немецкий 0,3. Вероятность того, что студент изучает оба языка равна 0,2. Найти вероятность того, что случайно взятый студент а) изучает хотя бы один язык; б) не изучает ни одного.

2. Вероятность того, что индекс N ценной бумаги А возрастет равна 0,4, а для ценной бумаги В эта вероятность равна 0,3. Вероятность того, что индекс N возрастет одновременно для обоих ценных бумаг равна 0,15. Какова вероятность того, что а) индекс N возрастет хотя бы для одной ценной бумаги; б) индекс N не возрастет ни у одной ценной бумаги.

3. По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,1 и 0,2. Тогда вероятность банкротства только одного предприятия равна…

4. Брошены две игральные кости. Событие А={выпадение шестерки на первой кости}. Событие В={сумма выпавших очков равна 7}.Являются ли события А и В независимы?

5. Случайным образом выбирается число из множества S={1,2,3,4,5,6,7}. Рассмотрим события А={1,2,3} и В{2,4,6}. Являются ли события А,В- независимыми?

6. В группе из 1000 человек, 450 имеют текущие счета, 320-депозитные счета, 270-и текущий и депозитный счета. Являются ли события "обладание депозитным счетом" и "обладание текущем счетом" независимыми?

7. Технологический процесс контролируется тремя независимо работающими приборами, вероятности отказа которых 0,1;0,1;0,2 соответственно. Определите вероятность выхода из строя хотя бы одного прибора.

8. Вероятность того, что стрелок №1 попадет в цель равна 0,8, а для стрелка №2-0,6. Вероятность того, что оба стрелка попадут в цель равна 0,5. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

9. Случайным образом выбирается число из множества S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Событие А={взятое число <5}, В={взятое число >6}. Используя теорему сложения, найдите вероятность того, что взятое число принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

10.Рабочий обслуживает три станка, вероятности отказа станков в течении смены р₁=0,4; р₂=0,25; р₃=0,15 соответственно. Найти вероятность того, что в течении смены откажут ровно два станка.

ЗАДАНИЕ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА

1. В магазин поступили телевизоры с двух заводов в соотношении 30% с завода №1 и 70% с завода №2. Продукция завода №1 содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, а завода №2-10%. Найти вероятность того, что купленный телевизор содержит скрытый дефект.

2. С первого станка на сборку поступает 60%, со второго 40% всех деталей. Среди деталей первого станка 70% стандартных, второго 90%. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

3. В урне 1 содержится 3 белых и 3 черных шара, а в урне №2 содержится 5 белых и 1 черный шар. Из случайно выбранной урны достается один шар. Какова вероятность того, что это белый шар?

4. В условиях предыдущей задачи, стало известно, что вынутый шар оказался белый. Какова вероятность того, что случайно выбрана была урна №2.

5. Известно, что 5% всех мужчин и 3% всех женщин - дальтоники. В группе из 100 человек 60 мужчин и 40 женщин. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек - дальтоник.

6. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи и предположим, что выбранный человек - дальтоник. Какова вероятность, что это женщина.

7. Вероятность того, что "хороший" эксперт оценит неправильно ценную бумагу равна 0,05, эта вероятность для "среднего" эксперта 0,15. В конторе работает 5 "хороших" и 3 "средних" эксперта. Для оценки ценной бумаги случайным образом выбран эксперт. Найти вероятность того, что ценная бумага будет оценена неправильно.

8. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. И пусть известно, что ценная бумага оценена неправильно. Какова вероятность того, что ошибку допустил "хороший" эксперт.

9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее на удачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

10. В условиях предыдущей задачи стало известно, что деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1.

ЗАДАНИЕ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В следующих задача дискретная случайная величина задана законом распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

1.	х	0	1	4
	p	0.3	0.6	0.1

2.	х	-1	1	2
	p	0.25	0.25	0.5

3.	x	-1	0	4
	p	0.1	0.3	0.6

4.	x	-2	0	2
	p	0.1	0.3	0.6
5.	x	-5	0	5
	p	0.1	0.6	0.3

6.	X	-1	0	2
	P	0.2	0.2	0.6

7.	X	0	1	6
	P	0.5	0.4	0.1

8.	X	-3	0	3
	P	0.4	0.2	0.4

9.	X	-2	0	5
	P	0.5	0.1	0.4

10.	X	-1	0	1
	P	0.4	0.2	0.4

В следующих задачах непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятности:

Требуется вычислить константу А и математическое ожидание Х. Найти вероятность Р(с<x<d) и изобразить это решение на графике плотности распределения.

11. a=0, b=3, c=1, d=2

12. a=0, b=2, c=1, d=3

13. a=1, b=5, c=2, d=3

14. a=1, b=7, c=5, d=10

15. a=1, b=10, c=5, d=7

16. a=3, b=8, c=0, d=5

17. a=3, b=10, c=1, d=2

18. a=4, b=8, c=1, d=5

19. a=5, b=10, c=0, d=7

20. a=5, b=8, c=7, d=8

ЗАДАНИЕ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

1. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий будет а) два бракованных, б) не более двух бракованных, в) от2 до 3 бракованных, г) хотя бы одна бракованная.

2. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретая 8 облигаций, выиграет больше половины из них?

3. Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Случайная величина Х- число родившихся мальчиков среди 1000 новорожденных. Найти числовые характеристики Х и вероятности а) Р (X=520) б) Р(510£ X £530).

4. Вероятность того, что клиенту страховой компании понадобится страховка равна 0,01. Случайная величина Х- число клиентов, которые обратятся в страховую компанию за страховкой из 10000 застраховавшихся. Найти числовые характеристики Х и вероятности а) Р(х=100) б) Р(90£ х £110).

5. Вероятность того, что зашедший в магазин посетитель приобретет товар равна 0,35. Случайная величина Х- число посетителей, которые приобрели товар из 1000 вошедших в магазин. Найти числовые характеристики Х и вероятности а) Р(Х=350) б) Р(320£Х£380).

6. Вероятность нарушения герметичности банки консервов 0,001. Найти вероятность того, что среди 20000 банок с нарушениями окажутся а) ровно 20; б) от 15 до 25.

7. Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность того, что среди 200 посаженных семян взойдет а) ровно 160; б) от 140 до 180.

8. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка будет повреждена равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит поврежденными: а) ровно 3 бутылки; б) более 5 бутылок.

9. Книга издается тиражом 10000 экземпляров. Технология изготовления предполагает, что вероятность того, что в книге будет иметься дефект брошюровки равна 0,0003. Найти среднее число книг с дефектом брошюровки. Найти вероятность того, что число книг с дефектом брошюровки будет: а) хотя бы одна; б) более 4.

10. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,005. Найти числовые характеристики Х- числа элементов отказавших в течении часа. Найти вероятность того, что в течении часа откажет а) хотя бы один элемент; б) от 4 до 6 элементов.

ЗАДАНИЕ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. РАВНОМЕРНОЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Число сообщений Х, поступающих на пульт диспетчера в течении часа, подчиняется закону Пуассона с параметром l=5(сообщений в час). Найти числовые характеристики Х и вероятности следующих событий: а) Р(Х=0); б) Р(Х>3).

2. В порт в среднем приходит 2,5 судна в день. Предполагается, что Х- число судов зашедших в порт в течении суток, имеет распределение Пуассона. Найдите числовые характеристики Х и вероятности следующих событий: а) Р(Х³1); б) Р(х£3).

3. Интервалы времени между приходами в порт судов распределены по показательному закону с интенсивностью l=5 (часов). Найти числовые характеристики Х- время между приходами двух судов. Вычислить: а) Р(Х(1,2)); б) Р(Х(4,6))

4. Время между двумя сообщениями, поступающими на торговую площадку (с.в.Х), имеет показательное распределение с параметрами l=0,5 (часа). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности а) Р(Х<0,2); б) Р(0,3<X<0,7).

5. С.в. Х - время безотказной работы элемента имеет показательное распределение, причем известно, что среднее время безотказной работы элемента рано 1,5 суток. Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности: а) Р(Х<1); б) Р(1,4<Х<1,6).

6. Случайная величина Х- время обслуживания клиентов в мастерской имеет показательное распределение с функцией распределения F(х)=1-е^-3х(отсчет времени берется в часах). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности а) Р(Х<0,5) б) Р(0,2<X<0,4).

7. Автобусы некоторого маршрута имеют интервал движения 10 мин. С.в. Х - время, в течении которого пассажиру придется ждать автобус, имеет равномерное распределение. Найти числовые характеристики Х и вероятность того, что пассажир будет ждать автобус более 3 минут.

8. С.в. Х - имеет равномерное распределение на отрезке [2,6]. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятности, числовые характеристики Х и вероятность Р(Х(3,4)).

9. С.в. Х - имеет равномерное распределение с параметрами а=-1, в=4. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятности, числовые характеристики Х и вероятность Р(Х(0,2)).

10. С.в. Х - имеет равномерное распределение на отрезке [0,3]. Найти функцию распределения, числовые характеристики Х, вероятн ость Р(Х(1,2)), если плотность распределения вероятности

ЗАДАНИЕ 8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛО 3-Х СИГМ

1. Автомат штампует детали. Контролируемый размер является случайной величиной Х, имеющей нормальное распределение с параметром а=50, =0,02. Выписать функцию распределения и плотность распределения с.в. Х. Деталь считается годной, если ее размеры попадают в интервал от 49,94 до 50,04. Найдите процент бракованных деталей.

2. Жирность молока коров в область (в %) есть нормально распределенная с.в. с математическим ожиданием равным 4% и среднеквадратическим отклонением 0,05. Вычислить вероятность того, что в наудачу взятой пробе жирность молока будет: а) более 4%; б) менее 4%; в) от 3,95 до 4,05%. Выписать плотность распределения данной с.в.

3. Продолжительность работы прибора есть нормально распределенная с.в. с параметрами а=1000 ч. и ²=900 ч. Найти вероятность того, что продолжительность горения лампы составляет: а) более 1000 ч. б) менее 1000 ч. в) от 940 ч. до 1060 ч. Выписать плотность распределения данной с.в. и изобразить решение п. в) на графике плотности.

4. Рост людей призывного возраста предполагается нормально распределенным со средним 170 см. и средним квадратическим отклонением 7 см. Определить процент лиц, имеющих рост а) более 170 см. б) менее 170 см. в) от 170 до 180 см. Решение п. в) изобразить схематично на графике плотности распределения.

5. Изменение индекса ценной бумаги на фондовой бирже может быть смоделировано как нормально распределенная случайная величина с параметрами а=1 и ²=0,01. Найти вероятность того, что на следующих торгах индекс ценной бумаги будет а) более 1 б) менее 1 в) от 0,8 до 1,3. Выписать функцию распределения и плотность распределения данной с.в.

6. Средний процент выполнения плана предприятиями отрасли составляет 103%, среднее квадратическое отклонение 2%. Предполагая, что выполнение плана предприятиями подчиняется нормальному закону, определить процент предприятий, выполняющих план: а) более 103% б) менее 103% в) от 99% до 107%. Решение п. в) схематично изобразить на графике плотности распределения.

7. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является с.в., имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием равным а=5 см. и дисперсией 0,0004. В каких границах можно практически гарантировать диаметр деталей. Если данная с.в. выйдет за эти границы, то объясните ситуацию. Подсчитайте процент деталей, заключенных в пределах от 4,96 до 5,04.

8. На автомате изготовляют заклепки. Диаметр заклепок можно считать нормально распределенной с.в. со средним 3 мм и среднем квадратическим отклонением 0,1. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью: а) 0,95; б) 0,9973. Что можно сказать о решении п. б).

9. Контролируемый размер детали представляет собой нормально распределенную с.в. с параметрами МХ=150 мм (Х)=2 мм. а) Найти вероятность брака, если допустимые размеры должны быть 150±3 мм. б) Какую точность контролируемого размера можно гарантировать с вероятностью 0,97. в) За какие границы практически не выйдет контролируемый размер детали. Если он выйдет за эти границы, то постарайтесь объяснить ситуацию.

10.Вес отдельной коробки конфет представляет собой нормально распределенную с.в. со средним 500 гр. и средним квадратическим отклонением 10 гр. а) Найти процент коробок, вес которых более 500 гр. б) Найти процент коробок, вес которых заключен в пределах 500±15 гр. в) За какие пределы практически не выйдет вес коробок.

РАЗДЕЛ II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЗАДАНИЕ 9. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПО НЕСГРУППИРОВАННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

1-10. В следующих задачах дана выборка. Требуется:

а) Построить статистический ряд распределения частот и полигон частот;

б) Вариационный ряд;

в) Найти "хорошие" оценки математического ожидания и дисперсии;

г) Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

1. 0,1,1,3,1,2,2,0,1,0.

2. 1,5,1,2,1,3,2,3,1,2.

3. 10,8,10,11,9,10,8,9,10,10.

4. 50,45,45,55,45,50,40,45,50,45.

5. 20,22,20,24,20,22,20,20,25,22.

6. -1,1,0,1,1,2,-1,1,2,1.

7. 9,5,5,7,5,7,3,5,9,7.

8. 15,12,8,15,10,15,8,12,15,12.

9. 10,20,20,5,15,20,5,10,20,5.

10. 0,-1,2,-2,0,0,-1,2,-1,-2.

ЗАДАНИЕ 10. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

1. 25 рабочих контролировались в течении месяца по признаку - процент выполнения норм выработки за месяц. По выборочным данным были рассчитаны =102,3% - средний процент выработки и дисперсия S²=16. Найти 95% доверительный интервал для генеральной средней, если известно, что признак имеет нормальное распределение.

2. Используя данные задачи 1, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того, чтобы оценить среднюю месячную норму выработки с 95% надежностью и с максимальной ошибкой (точностью) не более 0,5(%).

3. Из большой партии электроламп случайным образом взята выборка из 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы, оцененная по выборке оказалась равной 1200 ч. Из предыдущих проверок известно, что данный признак имеет нормальное распределение с дисперсией s²=2500. Найти 97% доверительный интервал для генеральной средней.

4. Используя данные задачи 3, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того, чтобы оценить среднюю продолжительность горения лампы с 99% надежностью и с точностью не более 100 (ч).

5. Произведено 15 замеров контролируемого признака детали, изготовляемой станком-автоматом. По выборочным данным найдено S²=20 мкм. Найти точность работы станка с надежностью 0,95. Предполагается, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.

6. По предварительному опросу населения большого города, в котором участвовало 900 жителей, за мероприятие Х, готовы проголосовать 400 человек из опрошенных жителей. Найти 90% доверительный интервал, в котором находится истинный процент готовых проголосовать за мероприятие Х.

7. Используя данные задачи 6, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того, чтобы оценить истинный процент "за" с 95% надежностью и с точностью не более 2%.

8. Недельные доходы фирмы подчинены нормальному закону распределения. По 25-еженедельным наблюдениям за доходами фирмы найдено S²=1200. Найдите 95% доверительный интервал для среднего квадратического отклонения недельных доходов.

9. Средний привес 16 поросят, которым давали в пищу добавку А, составил 30 кг, а S²=1,5. Считая, что данный признак имеет нормальное распределение, найдите 90% доверительный интервал для генеральной средней.

10.Среди 400 деталей, изготовленных станком-автоматом, 20 оказалось нестандартных. Найдите доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,98 неизвестную вероятность "брака".

ЗАДАНИЕ 11. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. F,T - КРИТЕРИИ

1-5. Для сравнения организации работы на двух однотипных

предприятиях, были взяты выборочные данные объемами n₁ и n₂ соответственно по признаку - объемы выпущенной продукции в у.е. Оценки дисперсии и даны ниже. Можно ли считать, что предприятия работают одинаково точно. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

1. n₁=10, n₂=15;

2. n₁=16, n₂=9;

3. n₁=12, n₂=17;

4. n₁=8, n₂=17;

5. n₁=11, n₂=9;

6-10. Для сравнения производительности работы двух однотипных отделов торговли, были взяты две соответствующие выборки объемами n₁ и n₂ соответственно, по которым подсчитаны выборочные характеристики: Проверьте гипотезу о том, что производительность отделов одинакова. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

6. n₁=15, n₂=20;

7. n₁=20, n₂=16;

8. n₁=12, n₂=8;

9. n₁=9, n₂=14;

10. n₁=8, n₂=20;

ЗАДАНИЕ 12. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА

1-3. Ниже приведены данные о фактических объемах сбыта (в у.е.) в пяти районах. Согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

1.	Район	1	2	3	4	5
	Объем сбыта	75	90	85	70	80

2.	Район	1	2	3	4	5
	Объем сбыта	85	120	140	70	85

3.	Район	1	2	3	4	5
	Объем сбыта	50	65	70	80	35

4-10. В следующих задачах для приведенных группировочных данных проверить гипотезу о том, что они получены из нормальной генеральной совокупности. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

4.	Границы интервала	0-6	6-12	12-18	18-24	24-30	30-36	36-42
	Частота	2	9	19	35	24	13	6

Граница интервала

0-4

4-8

8-12

12-16

16-20

20-24

Частота

Граница интервала

10-14

14-18

18-22

22-26

26-30

30-34

Частота

Граница интервала

1-5

5-9

9-13

13-17

17-21

21-25

25-29

Частота

Граница интервала

14-16

16-18

18-20

20-22

22-24

24-26

Частота

Граница интервала

7-9

9-11

11-13

13-15

15-17

17-19

19-21

Частота

10.

Граница интервала

30-32

32-34

34-36

36-38

38-40

40-42

42-44

Частота

101

ЗАДАНИЕ 13. РЕГРЕССИЯ

В следующих задачах следует построить уравнение регрессии вида Сделать вывод о возможности использования линиию регрессии в дальнейших прогнозах.

1) Данные о выпуске продукции (Y) и энерговооруженности (X) на 6 предприятиях.

X_i	2	3	5	6	6	7
Y_i	2,5	5,5	10	10	11,5	13,5

2) Данные об удельной величине спроса товаров (Y) и среднедушевого дохода (Х).

X_i	1	2	3	4	6	6
Y_i	3,5	6,1	7,5	7,8	8,2	8,1

3) Данные об объеме валового продукта (Y) и затратами на капитальные вложения (Х) по 6 предприятиям.

X_i	1	1	2	4	6	8
Y_i	4,5	5,1	10,3	18,1	19,2	19,8

4) Данные об объеме выпуска продукции (Y) и ее себестоимости.

X_i	2	2	3	4	5	6
Y_i	8,5	9,1	11,2	12,8	15,1	17,3

5) Данные о долговечности элемента (Y) и величине эксплуатационного напряжения (Х).

X_i	6	7	7	8	9	9
Y_i	40,1	45,4	46,2	53,2	59,5	60,2

6) Данные об урожайности (Y) и количестве весенних осадках (Х).

X_i	1	2	2	3	4	5
Y_i	0,8	3,5	4,2	7,1	9,8	13,1

7) Данные об урожайности (Y) и механовооруженности (Х)

X_i	1	1	2	2	3	5
Y_i	4,2	3,9	4,8	5,1	6,2	7,7

8) Данные о зависимости стоимости сооружения (Y) и срока ее эксплуатации (Х).

X_i	1	2	3	3	4	6
Y_i	0,7	4,2	7,3	7,1	10,3	15,6

9) Данные об изменении массы просят (Y) и возраста (Х).

X_i	4	5	7	7	8	10
Y_i	12,6	14,2	16,3	15,9	17,4	18,8

10) Данные о производительности труда (Y) и фондовооруженности (Х).

X_i	2	4	6	6	7	8
Y_i	0,8	5,2	8,7	9,2	11	13,2

Литература

Основная литература:

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов рек. МО / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Высшее образование, 2010. - 479 с.

2. Гмурман В.Е. . Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 9-е изд. стер. - М. : Высшая школа, 2008. - 406с.

3. Кочетков Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Е. С. Кочетков, Смерчинская С.О., Соколов В. В. - М.: ФОРУМ : ИНФРА-М, 2009. - 240с.

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов рек. МО / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд, перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2011. - 573 с.

5. Фадеева Л. Н. Математика для экономистов : Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций : учеб. пособие рек. УМО / Л. Н. Фадеева. - М. : Эксмо, 2008. - 400 с.

Дополнительная литература:

6. Горелова Г. В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel : учеб. пособие для вузов рек. МО / Г. В. Горелова, И. А. Кацко. - 3-е изд., доп. и перераб. - Ростов н/Д : Феникс, 2005. - 476 с.

7. Каверина И. А. Регрессионный анализ: подход с использованием EXCEL : Методические указания / Каверина И.А., Скрябина Е.С. - Тольятти : ВУиТ, 2006. - 33 с. : ил. - 3-71.

8. Ковалев Е. А. Вероятность и статистика : учеб. пособие / Ковалев Е.А. - Тольятти : ВУиТ, 2003. - 244 с.

9. Ковалев Е.А. Задачник по теории вероятностей : Учеб.-метод.пособие / Ковалев Е.А. - Тольятти : ВУиТ, 2003. - 64 с.

V. ТАБЛИЦЫ

Таблица 1. Распределение Пуассона

P(X=k)= l^ke^-l/k!

k	l
k	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,5	2,0	2,5
0	0,904837	0,818731	0,670320	0,548812	0,449329	0,367879	0,223130	0,135335	0,082085
1	0,090484	0,163746	0,268128	0,329287	0,359463	0,367879	0,334695	0,270671	0,205212
2	0,004524	0,016375	0,053626	0,098786	0,143785	0,183940	0,251021	0,270671	0,256516
3	0,000151	0,001092	0,007150	0,019757	0,038343	0,061313	0,125511	0,180447	0,213763
4	0,000004	0,000055	0,000715	0,002964	0,007669	0,015328	0,047067	0,090224	0,133602
5	0	0,000002	0,000057	0,000356	0,001227	0,003066	0,014120	0,036089	0,066801
6	0	0	0,000004	0,000036	0,000164	0,000511	0,003530	0,012030	0,027834
7	0	0	0	0,000003	0,000019	0,000073	0,000756	0,003437	0,009941
8	0	0	0	0	0,000002	0,000009	0,000142	0,000859	0,003106
9	0	0	0	0	0	0,000001	0,000024	0,000191	0,000863
10	0	0	0	0	0	0	0,000004	0,000038	0,000216
11	0	0	0	0	0	0	0	0,000007	0,000049
12	0	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000010
13	0	0	0	0	0	0	0	0	0,000002

k	l
k	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0
0	0,049787	0,030197	0,018316	0,011109	0,006738	0,004087	0,002479	0,001503	0,000912
1	0,149361	0,105691	0,073263	0,049990	0,033690	0,022477	0,014873	0,009772	0,006383
2	0,224042	0,184959	0,146525	0,112479	0,084224	0,061812	0,044618	0,031760	0,022341
3	0,224042	0,215785	0,195367	0,168718	0,140374	0,113323	0,089235	0,068814	0,052129
4	0,168031	0,188812	0,195367	0,189808	0,175467	0,155819	0,133853	0,111822	0,091226
5	0,100819	0,132169	0,156293	0,170827	0,175467	0,171401	0,160623	0,145369	0,127717
6	0,050409	0,077098	0,104196	0,128120	0,146223	0,157117	0,160623	0,157483	0,149003
7	0,021604	0,038549	0,059540	0,082363	0,104445	0,123449	0,137677	0,146234	0,149003
8	0,008102	0,016865	0,029770	0,046329	0,065278	0,084871	0,103258	0,118815	0,130377
9	0,002701	0,006559	0,013231	0,023165	0,036266	0,051866	0,068838	0,085811	0,101405
10	0,000810	0,002296	0,005292	0,010424	0,018133	0,028526	0,041303	0,055777	0,070983
11	0,000221	0,000730	0,001925	0,004264	0,008242	0,014263	0,022529	0,032959	0,045171
12	0,000055	0,000213	0,000642	0,001599	0,003434	0,006537	0,011264	0,017853	0,026350
13	0,000013	0,000057	0,000197	0,000554	0,001321	0,002766	0,005199	0,008926	0,014188
14	0,000003	0,000014	0,000056	0,000178	0,000472	0,001087	0,002228	0,004144	0,007094
15	0,000001	0,000003	0,000015	0,000053	0,000157	0,000398	0,000891	0,001796	0,003311
16	0	0,000001	0,000004	0,000015	0,000049	0,000137	0,000334	0,000730	0,001448
17	0	0	0,000001	0,000004	0,000014	0,000044	0,000118	0,000279	0,000596
18	0	0	0	0,000001	0,000004	0,000014	0,000039	0,000101	0,000232
19	0	0	0	0	0,000001	0,000004	0,000012	0,000034	0,000085
20	0	0	0	0	0	0,000001	0,000004	0,000011	0,000030
21	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000003	0,000010
22	0	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000003
23	0	0	0	0	0	0	0	0	0,000001

Таблица 2. Распределение Пуассона «хвостов».

P(X>k)=S_i_>_k l^ke^-l/k!

k	l
k	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,5	2,0	2,5
0	0,095163	0,181269	0,329680	0,451188	0,550671	0,632121	0,776870	0,864665	0,917915
1	0,004679	0,017523	0,061552	0,121901	0,191208	0,264241	0,442175	0,593994	0,712703
2	0,000155	0,001148	0,007926	0,023115	0,047423	0,080301	0,191153	0,323324	0,456187
3	0,000004	0,000057	0,000776	0,003358	0,009080	0,018988	0,065642	0,142877	0,242424
4	0	0,000002	0,000061	0,000394	0,001411	0,003660	0,018576	0,052653	0,108822
5	0	0	0,000004	0,000039	0,000184	0,000594	0,004456	0,016564	0,042021
6	0	0	0	0,000003	0,000021	0,000083	0,000926	0,004534	0,014187
7	0	0	0	0	0,000002	0,000010	0,000170	0,001097	0,004247
8	0	0	0	0	0	0,000001	0,000028	0,000237	0,001140
9	0	0	0	0	0	0	0,000004	0,000046	0,000277
10	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000008	0,000062
11	0	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000013
12	0	0	0	0	0	0	0	0	0,000002
13	0	0	0	0	0	0	0	0	0

k	l
k	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0
0	0,950213	0,969803	0,981684	0,988891	0,993262	0,995913	0,997521	0,998497	0,999088
1	0,800852	0,864112	0,908422	0,938901	0,959572	0,973436	0,982649	0,988724	0,992705
2	0,576810	0,679153	0,761897	0,826422	0,875348	0,911624	0,938031	0,956964	0,970364
3	0,352768	0,463367	0,566530	0,657704	0,734974	0,798301	0,848796	0,888150	0,918235
4	0,184737	0,274555	0,371163	0,467896	0,559507	0,642482	0,714943	0,776328	0,827008
5	0,083918	0,142386	0,214870	0,297070	0,384039	0,471081	0,554320	0,630959	0,699292
6	0,033509	0,065288	0,110674	0,168949	0,237817	0,313964	0,393697	0,473476	0,550289
7	0,011905	0,026739	0,051134	0,086586	0,133372	0,190515	0,256020	0,327242	0,401286
8	0,003803	0,009874	0,021363	0,040257	0,068094	0,105643	0,152763	0,208427	0,270909
9	0,001102	0,003315	0,008132	0,017093	0,031828	0,053777	0,083924	0,122616	0,169504
10	0,000292	0,001019	0,002840	0,006669	0,013695	0,025251	0,042621	0,066839	0,098521
11	0,000071	0,000289	0,000915	0,002404	0,005453	0,010988	0,020092	0,033880	0,053350
12	0,000016	0,000076	0,000274	0,000805	0,002019	0,004451	0,008827	0,016027	0,027000
13	0,000003	0,000019	0,000076	0,000252	0,000698	0,001685	0,003628	0,007100	0,012811
14	0,000001	0,000004	0,000020	0,000074	0,000226	0,000599	0,001400	0,002956	0,005717
15	0	0,000001	0,000005	0,000020	0,000069	0,000200	0,000509	0,001160	0,002407
16	0	0	0,000001	0,000005	0,000020	0,000063	0,000175	0,000430	0,000958
17	0	0	0	0,000001	0,000005	0,000019	0,000057	0,000151	0,000362
18	0	0	0	0	0,000001	0,000005	0,000018	0,000051	0,000130
19	0	0	0	0	0	0,000001	0,000005	0,000016	0,000044
20	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000005	0,000014
21	0	0	0	0	0	0	0	0,000001	0,000005
22	0	0	0	0	0	0	0	0	0,000001
23	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица 3. Плотность стандартного нормального распределения.

0,39894

0,39892

0,39886

0,39876

0,39862

0,39844

0,39822

0,39797

0,39767

0,39733

0,1

0,39695

0,39654

0,39608

0,39559

0,39505

0,39448

0,39387

0,39322

0,39253

0,39181

0,2

0,39104

0,39024

0,38940

0,38853

0,38762

0,38667

0,38568

0,38466

0,38361

0,38251

0,3

0,38139

0,38023

0,37903

0,37780

0,37654

0,37524

0,37391

0,37255

0,37115

0,36973

0,4

0,36827

0,36678

0,36526

0,36371

0,36213

0,36053

0,35889

0,35723

0,35553

0,35381

0,5

0,35207

0,35029

0,34849

0,34667

0,34482

0,34294

0,34105

0,33912

0,33718

0,33521

0,6

0,33322

0,33121

0,32918

0,32713

0,32506

0,32297

0,32086

0,31874

0,31659

0,31443

0,7

0,31225

0,31006

0,30785

0,30563

0,30339

0,30114

0,29887

0,29659

0,29431

0,29200

0,8

0,28969

0,28737

0,28504

0,28269

0,28034

0,27798

0,27562

0,27324

0,27086

0,26848

0,9

0,26609

0,26369

0,26129

0,25888

0,25647

0,25406

0,25164

0,24923

0,24681

0,24439

0,24197

0,23955

0,23713

0,23471

0,23230

0,22988

0,22747

0,22506

0,22265

0,22025

1,1

0,21785

0,21546

0,21307

0,21069

0,20831

0,20594

0,20357

0,20121

0,19886

0,19652

1,2

0,19419

0,19186

0,18954

0,18724

0,18494

0,18265

0,18037

0,17810

0,17585

0,17360

1,3

0,17137

0,16915

0,16694

0,16474

0,16256

0,16038

0,15822

0,15608

0,15395

0,15183

1,4

0,14973

0,14764

0,14556

0,14350

0,14146

0,13943

0,13742

0,13542

0,13344

0,13147

1,5

0,12952

0,12758

0,12566

0,12376

0,12188

0,12001

0,11816

0,11632

0,11450

0,11270

1,6

0,11092

0,10915

0,10741

0,10567

0,10396

0,10226

0,10059

0,09893

0,09728

0,09566

1,7

0,09405

0,09246

0,09089

0,08933

0,08780

0,08628

0,08478

0,08329

0,08183

0,08038

1,8

0,07895

0,07754

0,07614

0,07477

0,07341

0,07206

0,07074

0,06943

0,06814

0,06687

1,9

0,06562

0,06438

0,06316

0,06195

0,06077

0,05959

0,05844

0,05730

0,05618

0,05508

0,05399

0,05292

0,05186

0,05082

0,04980

0,04879

0,04780

0,04682

0,04586

0,04491

2,1

0,04398

0,04307

0,04217

0,04128

0,04041

0,03955

0,03871

0,03788

0,03706

0,03626

2,2

0,03547

0,03470

0,03394

0,03319

0,03246

0,03174

0,03103

0,03034

0,02965

0,02898

2,3

0,02833

0,02768

0,02705

0,02643

0,02582

0,02522

0,02463

0,02406

0,02349

0,02294

2,4

0,02239

0,02186

0,02134

0,02083

0,02033

0,01984

0,01936

0,01888

0,01842

0,01797

2,5

0,01753

0,01709

0,01667

0,01625

0,01585

0,01545

0,01506

0,01468

0,01431

0,01394

2,6

0,01358

0,01323

0,01289

0,01256

0,01223

0,01191

0,01160

0,01130

0,01100

0,01071

2,7

0,01042

0,01014

0,00987

0,00961

0,00935

0,00909

0,00885

0,00861

0,00837

0,00814

2,8

0,00792

0,00770

0,00748

0,00727

0,00707

0,00687

0,00668

0,00649

0,00631

0,00613

2,9

0,00595

0,00578

0,00562

0,00545

0,00530

0,00514

0,00499

0,00485

0,00470

0,00457

0,00443

0,00430

0,00417

0,00405

0,00393

0,00381

0,00370

0,00358

0,00348

0,00337

3,1

0,00327

0,00317

0,00307

0,00298

0,00288

0,00279

0,00271

0,00262

0,00254

0,00246

3,2

0,00238

0,00231

0,00224

0,00216

0,00210

0,00203

0,00196

0,00190

0,00184

0,00178

3,3

0,00172

0,00167

0,00161

0,00156

0,00151

0,00146

0,00141

0,00136

0,00132

0,00127

3,4

0,00123

0,00119

0,00115

0,00111

0,00107

0,00104

0,00100

0,00097

0,00094

0,00090

3,5

0,00087

0,00084

0,00081

0,00079

0,00076

0,00073

0,00071

0,00068

0,00066

0,00063

3,6

0,00061

0,00059

0,00057

0,00055

0,00053

0,00051

0,00049

0,00047

0,00046

0,00044

3,7

0,00042

0,00041

0,00039

0,00038

0,00037

0,00035

0,00034

0,00033

0,00031

0,00030

3,8

0,00029

0,00028

0,00027

0,00026

0,00025

0,00024

0,00023

0,00022

0,00021

продолжение таблицы 3

3,9	0,00020	0,00019	0,00018	0,00018	0,00017	0,00016	0,00016	0,00015	0,00014	0,00014
4	0,00013	0,00013	0,00012	0,00012	0,00011	0,00011	0,00011	0,00010	0,00010	0,00009
4,1	0,00009	0,00009	0,00008	0,00008	0,00008	0,00007	0,00007	0,00007	0,00006	0,00006
4,2	0,00006	0,00006	0,00005	0,00005	0,00005	0,00005	0,00005	0,00004	0,00004	0,00004
4,3	0,00004	0,00004	0,00004	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003	0,00003
4,4	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002	0,00002
4,5	0,00002	0,00002	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001
4,6	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001
4,7	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0,00001	0	0	0	0
4,8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица 4. Функция Лапласа.


( заштрихованная площадь под кривой равна значению функции Лапласа )


								о	x
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,00000	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,02790	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,04380	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,12930	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,15910	0,16276	0,16640	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,20540	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,22240
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,25490
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,26730	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,28230	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1,0	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,36650	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,37900	0,38100	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,40320	0,40490	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,42220	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,44520	0,44630	0,44738	0,44845	0,44950	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,46080	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,47320	0,47381	0,47441	0,47500	0,47558	0,47615	0,47670
2,0	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,48030	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,48300	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,48500	0,48537	0,48574
2,2	0,48610	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,48840	0,48870	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,49010	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,49180	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,49430	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,49520
2,6	0,49534	0,49547	0,49560	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,49720	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,49760	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3,0	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,49900
3,1	0,49903	0,49906	0,49910	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,49940	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,49950
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,49960	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,49970	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,49980	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,49990	0,49990	0,49990	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
4,0	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998
4,5	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000	0,50000

Таблица 5. Распределение Стьюдента.

t-распределение.

(k-степени свободы, a - заданная вероятность )

0,10

0,05

0,025

0,020

0,010

0,005

0,003

0,002

0,001

6,314

12,706

25,452

31,821

63,656

127,321

212,193

318,289

636,578

2,920

4,303

6,205

6,965

9,925

14,089

18,217

22,328

31,600

2,353

3,182

4,177

4,541

5,841

7,453

8,891

10,214

12,924

2,132

2,776

3,495

3,747

4,604

5,598

6,435

7,173

8,610

2,015

2,571

3,163

3,365

4,032

4,773

5,376

5,894

6,869

1,943

2,447

2,969

3,143

3,707

4,317

4,800

5,208

5,959

1,895

2,365

2,841

2,998

3,499

4,029

4,442

4,785

5,408

1,860

2,306

2,752

2,896

3,355

3,833

4,199

4,501

5,041

1,833

2,262

2,685

2,821

3,250

3,690

4,024

4,297

4,781

1,812

2,228

2,634

2,764

3,169

3,581

3,892

4,144

4,587

1,796

2,201

2,593

2,718

3,106

3,497

3,789

4,025

4,437

1,782

2,179

2,560

2,681

3,055

3,428

3,707

3,930

4,318

1,771

2,160

2,533

2,650

3,012

3,372

3,639

3,852

4,221

1,761

2,145

2,510

2,624

2,977

3,326

3,583

3,787

4,140

1,753

2,131

2,490

2,602

2,947

3,286

3,535

3,733

4,073

1,746

2,120

2,473

2,583

2,921

3,252

3,494

3,686

4,015

1,740

2,110

2,458

2,567

2,898

3,222

3,459

3,646

3,965

1,734

2,101

2,445

2,552

2,878

3,197

3,428

3,610

3,922

1,729

2,093

2,433

2,539

2,861

3,174

3,401

3,579

3,883

1,725

2,086

2,423

2,528

2,845

3,153

3,376

3,552

3,850

1,721

2,080

2,414

2,518

2,831

3,135

3,355

3,527

3,819

1,717

2,074

2,405

2,508

2,819

3,119

3,335

3,505

3,792

1,714

2,069

2,398

2,500

2,807

3,104

3,318

3,485

3,768

1,711

2,064

2,391

2,492

2,797

3,091

3,302

3,467

3,745

1,708

2,060

2,385

2,485

2,787

3,078

3,287

3,450

3,725

1,706

2,056

2,379

2,479

2,779

3,067

3,274

3,435

3,707

1,703

2,052

2,373

2,473

2,771

3,057

3,261

3,421

3,689

1,701

2,048

2,368

2,467

2,763

3,047

3,250

3,408

3,674

1,699

2,045

2,364

2,462

2,756

3,038

3,239

3,396

3,660

1,697

2,042

2,360

2,457

2,750

3,030

3,230

3,385

3,646

1,684

2,021

2,329

2,423

2,704

2,971

3,160

3,307

3,551

1,676

2,009

2,311

2,403

2,678

2,937

3,120

3,261

3,496

1,671

2,000

2,299

2,390

2,660

2,915

3,094

3,232

3,460

100

1,660

1,984

2,276

2,364

2,626

2,871

3,042

3,174

3,390

1,645

1,960

2,241

2,326

2,576

2,807

2,968

3,090

3,291

Таблица 6. Распределение Фишера.

F-распределение

m1-число степеней свободы для большей дисперсии

m2-число степеней свободы для меньшей дисперсии

(В таблицах по заданным a находятся F_a)

m₂

m₁(значения для a=0,05)

161,45

199,50

215,71

224,58

230,16

233,99

236,77

238,88

240,54

241,88

242,98

243,90

248,02

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,35

19,37

19,38

19,40

19,41

19,45

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

8,79

8,76

8,74

8,66

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

5,96

5,94

5,91

5,80

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,77

4,74

4,70

4,68

4,56

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

4,10

4,06

4,03

4,00

3,87

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

3,64

3,60

3,57

3,44

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

3,39

3,35

3,31

3,28

3,15

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

3,14

3,10

3,07

2,94

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

2,98

2,94

2,91

2,77

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

2,85

2,82

2,79

2,65

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

2,80

2,75

2,72

2,69

2,54

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

2,83

2,77

2,71

2,67

2,63

2,60

2,46

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

2,65

2,60

2,57

2,53

2,39

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,71

2,64

2,59

2,54

2,51

2,48

2,33

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

2,49

2,46

2,42

2,28

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,61

2,55

2,49

2,45

2,41

2,38

2,23

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

2,46

2,41

2,37

2,34

2,19

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21

2,16

2,13

2,09

1,93

4,03

3,18

2,79

2,56

2,40

2,29

2,20

2,13

2,07

2,03

1,99

1,95

1,78

100

3,94

3,09

2,70

2,46

2,31

2,19

2,10

2,03

1,97

1,93

1,89

1,85

1,68

m₂

m₁(значения для a=0,01)

4052

4999

5404

5624

5764

5859

5928

5981

6022

6056

6083

6107

6209

98,50

99,00

99,16

99,25

99,30

99,33

99,36

99,38

99,39

99,40

99,41

99,42

99,45

34,12

30,82

29,46

28,71

28,24

27,91

27,67

27,49

27,34

27,23

27,13

27,05

26,69

21,20

18,00

16,69

15,98

15,52

15,21

14,98

14,80

14,66

14,55

14,45

14,37

14,02

16,26

13,27

12,06

11,39

10,97

10,67

10,46

10,29

10,16

10,05

9,96

9,89

9,55

13,75

10,92

9,78

9,15

8,75

8,47

8,26

8,10

7,98

7,87

7,79

7,72

7,40

12,25

9,55

8,45

7,85

7,46

7,19

6,99

6,84

6,72

6,62

6,54

6,47

6,16

11,26

8,65

7,59

7,01

6,63

6,37

6,18

6,03

5,91

5,81

5,73

5,67

5,36

10,56

8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,61

5,47

5,35

5,26

5,18

5,11

4,81

10,04

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,20

5,06

4,94

4,85

4,77

4,71

4,41

9,65

7,21

6,22

5,67

5,32

5,07

4,89

4,74

4,63

4,54

4,46

4,40

4,10

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,64

4,50

4,39

4,30

4,22

4,16

3,86

9,07

6,70

5,74

5,21

4,86

4,62

4,44

4,30

4,19

4,10

4,02

3,96

3,66

8,86

6,51

5,56

5,04

4,69

4,46

4,28

4,14

4,03

3,94

3,86

3,80

3,51

8,68

6,36

5,42

4,89

4,56

4,32

4,14

4,00

3,89

3,80

3,73

3,67

3,37

7,56

5,39

4,51

4,02

3,70

3,47

3,30

3,17

3,07

2,98

2,91

2,84

2,55

7,17

5,06

4,20

3,72

3,41

3,19

3,02

2,89

2,78

2,70

2,63

2,56

2,27

100

6,90

4,82

3,98

3,51

3,21

2,99

2,82

2,69

2,59

2,50

2,43

2,37

2,07

Таблица 7. Распределение Пирсона.

c²-распределение

k-число степеней свободы

(В таблицах по заданным a находятся c²_a )

0,99

0,975

0,95

0,9

0,01

0,025

0,05

0,1

0,00016

0,00098

0,00393

0,01579

6,63489

5,02390

3,84146

2,70554

0,0201

0,0506

0,1026

0,2107

9,2104

7,3778

5,9915

4,6052

0,1148

0,2158

0,3518

0,5844

11,3449

9,3484

7,8147

6,2514

0,297

0,484

0,711

1,064

13,277

11,143

9,488

7,779

0,554

0,831

1,145

1,610

15,086

12,832

11,070

9,236

0,872

1,237

1,635

2,204

16,812

14,449

12,592

10,645

1,239

1,690

2,167

2,833

18,475

16,013

14,067

12,017

1,647

2,180

2,733

3,490

20,090

17,535

15,507

13,362

2,088

2,700

3,325

4,168

21,666

19,023

16,919

14,684

2,558

3,247

3,940

4,865

23,209

20,483

18,307

15,987

3,053

3,816

4,575

5,578

24,725

21,920

19,675

17,275

3,571

4,404

5,226

6,304

26,217

23,337

21,026

18,549

4,107

5,009

5,892

7,041

27,688

24,736

22,362

19,812

4,660

5,629

6,571

7,790

29,141

26,119

23,685

21,064

5,229

6,262

7,261

8,547

30,578

27,488

24,996

22,307

5,812

6,908

7,962

9,312

32,000

28,845

26,296

23,542

6,408

7,564

8,672

10,085

33,409

30,191

27,587

24,769

7,015

8,231

9,390

10,865

34,805

31,526

28,869

25,989

7,633

8,907

10,117

11,651

36,191

32,852

30,144

27,204

8,260

9,591

10,851

12,443

37,566

34,170

31,410

28,412

8,897

10,283

11,591

13,240

38,932

35,479

32,671

29,615

9,542

10,982

12,338

14,041

40,289

36,781

33,924

30,813

10,196

11,689

13,091

14,848

41,638

38,076

35,172

32,007

10,856

12,401

13,848

15,659

42,980

39,364

36,415

33,196

11,524

13,120

14,611

16,473

44,314

40,646

37,652

34,382

12,198

13,844

15,379

17,292

45,642

41,923

38,885

35,563

12,878

14,573

16,151

18,114

46,963

43,195

40,113

36,741

13,565

15,308

16,928

18,939

48,278

44,461

41,337

37,916

14,256

16,047

17,708

19,768

49,588

45,722

42,557

39,087

14,953

16,791

18,493

20,599

50,892

46,979

43,773

40,256

15,655

17,539

19,281

21,434

52,191

48,232

44,985

41,422

16,362

18,291

20,072

22,271

53,486

49,480

46,194

42,585

17,073

19,047

20,867

23,110

54,775

50,725

47,400

43,745

17,789

19,806

21,664

23,952

56,061

51,966

48,602

44,903

19,960

22,106

24,075

26,492

59,893

55,668

52,192

48,363

22,164

24,433

26,509

29,051

63,691

59,342

55,758

51,805

Скачать материал
- 26.07.2016 3044
- DOCX 601 кбайт
- 12 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Каверина Ирина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Каверина Ирина Александровна
- На сайте: 7 лет и 8 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 15952
- Всего материалов: 8