Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Начальные классы / Другие методич. материалы / Элементы логики как средство достижения понимания математики младшими школьниками
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Начальные классы

Элементы логики как средство достижения понимания математики младшими школьниками

библиотека
материалов


Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа№129»

Пермского края города Перми







Статья

Элементы логики как средство

достижения понимания математики

младшими школьниками



подготовила

учитель начальных классов

Ощепкова Екатерина Анатольевна










Пермь

2015

Содержание

Введение.................................................................................................................

3

Теоретические основы формирования логических умений младших школьников


    1. Формирование логического мышления с психологической точки зрения................................................................................................................

7

    1. Мыслительные приемы и логические операции...........................................

10

    1. Анализ учебных пособий для начальной школы..........................................

22

Список литературы................................................................................................

56


Введение

В настоящее время именно математике отводится ответственная роль в развитии и становлении активной, самостоятельно мыслящей личности, готовой конструктивно и творчески решать возникающие перед обществом задачи. Именно математика вносит большой вклад в развитие логического мышления детей, воспитание таких важных качеств научного мышления, как критичность и обобщенность, формирование способности к анализу и синтезу, умений выдвинуть и сформулировать логически обоснованную гипотезу и т.д. Математикой воспитываются и такие качества ума и речи, как точность, четкость, ясность.1

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в объяснительных записках к учебным программам, об этом пишут в методической литературе для учителей. Однако конкретной программы формирования логических приемов мышления, пока неизвестно. В результате работа над развитием логического мышления школьников идет «вообще» - без знания системы необходимых приемов, без знания их содержания и последовательности формирования. Это приводит к тому, что большинство учащихся не овладевают начальными приемами мышления даже в старших классах школы, а эти приемы не­обходимы уже младшим школьникам: без них не происходит полноценного усвоения материала.2

Некоторые учителя пытаются внедрить элементы логики уже в первых классах, но естественно, есть учителя, которые считают, что слишком рано формировать знание такого рода на данном этапе обучения, это можно увидеть, например, в учебнике Истоминой за первый класс. Между тем, стоит отметить еще и то, что большинство авторов предлагало изучать элементы логики и математической логики в рамках факультативных курсов. Другими словами, разработанные программы были рассчитаны только на учащихся, занимающихся математикой дополнительно.3

B настоящее время элементы логики начинают постепенно вводиться в содержание курса математики начальной школы. Однако анализ современных учебно-методических комплектов по математике показал, что они, как правило, не содержат материала по логике.

Таким обрaзом, несмотря на актуaльность проблемы формирования y школьников знаний и умений по логике и математической логике, в настоящее время отсутствует необходимое методическое обеспечение.

Кроме того, накопленный в данной области опыт не полностью снимает ряд противоречий, связанных c логической подготовкой школьников:

- противоречие между потребностями в знании школьниками элементов математической логики и фактическим уровнем их логической грамотности;

- противоречие между необходимостью создания целостной системы обучения логике в начальной школе и ориентацией созданных методик на формирование и рaзвитие отдельных групп умений, а не всей совокупности логических и общелогических умений;

- противоречие между целесообрaзностью длительного изучения логики, a именно, на протяжении всего периода обучения в школе, и локaльностью предлагаемых методик, охватывающих лишь какую-то конкретную ступень обучения в школе.

- противоречие между целесообразностью изучения логического материала на уроках математики и возможностью развивать логические умения средствами других предметов (русского языка, природоведения, чтения).

Говоря о принципиальной возможности организации подобного обучения, мы подразумеваем две вещи: 1) математический материал может быть трансформирован таким образом, что одновременно будет происходить формирование у школьников и математических, и логических знаний и умений; 2) интеллектуальные возможности учащихся начальной школы вполне достаточны для того, чтобы ими был адекватно воспринят материал по математической логике.

В ходе данной работы были поставлены задачи:

  1. Выявить соответствие между требованиями к знаниям учащихся по математике и материалом учебника.

  2. Рассмотреть предлагаемые пособия для развития логического мышления.



Глава 1 Теоретические основы формирования логических умений младших школьников

    1. Формирование логического мышления с психологической точки зрения

Среди первоклассников в среднем 15 - 20% детей сталкиваются с трудностями при принятии новой для них социальной позиции школьника, иначе говоря, вхождение в школьную жизнь для них затруднено. Школьная жизнь вос­принимается ими, прежде всего, с формальной стороны, а со­держательные стороны учебной деятельности - ориентация на самоизменение и присвоение научного знания - не высту­пают для них в качестве актуальных.4

Исходя из вышесказанного, важно на начальном этапе обучения создавать для детей условия, органично сочетающие игровой и учебный типы жизнедеятельности: необходимо орга­низовать своеобразную комплементарную деятельность детей (от лат. complementum - дополнение), являющуюся игровой по форме, знакомой и привлекательной для ребенка, но учебной по своей направленности. Такая деятельность должна предпола­гать достижение целей, связанных с занятием ребенком позиции субъекта по присвоению нового учебно-игрового опыта.5

Начальные приемы логического мышления

Мысль о том, что в школе необходимо вести работу по формированию логического мышления начиная с младших классов, в психолого-педагогических науках общепризнана. Необходимо научить детей приемам логического мышления, без них полноценного усвоения учебного мате­риала не происходит. Поэтому математическая подготовка должна сочетаться с развитием логического мышления и внимания.6

Развитие мышления происходит при условии овладе­ния тремя формами мышления: наглядно - действенным, наглядно - образным и логическим. Логические задания позволяют на доступном детям математическом материале, опираясь на жизненный опыт, строить правильные суждения без предварительного теорети­ческого освоения самих законов и правил логики. Под руководством учителя, путем задач и упражнений дети практически знакомятся с применением логических приемов. Естественно, что с любого логического приема ра­боту начинать нельзя, так как внутри системы логических приемов мышления существует строго определенная после­довательность. Один прием строится на другом.

Сначала, в 3-4 года, формируется наглядно-действенное мышление. Это мышление в действии. Ребенок пытается последовательно собрать пирамидку, а потом сам переходит к сравниванию, сопоставлению и т. д.

В 5-6 лет формируется наглядно-образное мышле­ние, которое позволяет выделять самое существенное в пред­метах, а также видеть соотношение этих предметов друг с другом и соотношение их частей (ребенок играет в «шко­лу», «магазин», с большим интересом рассматривает картин­ки, лепит, рисует).

В дальнейшем развитое образное мышление подводит ребенка к воротам логики. Ребенок учится рассуждать, анали­зировать, устанавливать простые закономерности, делать умозаключения в соответствии с законами логики.7

Само слово «логика» происходит от древнегреческого logike, обозначающего понятие, слово, мысль, закон, рассуж­дение. Это наука о способах доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Этимология слова «логика» показывает, что это наука, имеющая отношение к обоснованию мысли, слова. Действительно, логика рассуж­дений - и в математике, и в повседневной жизни - теснейшим образом связана с языком, с его коммуникативным аспектом. Являясь наукой о законах правильного мышления, логика оп­ределяет требования, предъявляемые к последовательному и доказательному рассуждению8.

Все действия входящие в деятельность учения можно по­делить на два класса: а) общие (не специфические), б) специфические.

Общие виды познавательной деятельности (общие приемы) потому и называются общими, что они используются в разных областях, при работе с разными знаниями. К их числу относятся, например, умение планировать свою деятельность, умение контролировать выполнение любой деятельности и др. К общим видам познавательной деятельности относятся и все приемы логического мышления: они независимы от конкретного материала, хотя всегда выполняются с использованием каких-то предметных (специфических) знаний. К числу логи­ческих приемов относятся: сравнение, подведение под понятие, выведение следствий, приемы доказательства, классификации и др.9

Существует два вида деятельности: репродуктивная и продуктивная. Репродуктивная характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, а продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими приемами мышления.10

Обучая ребёнка логичности мышления, учитель, особенно в начале обучения младшего школьника, должен использовать не искусственный, а естественный логический язык, базовый язык мышления и лишь постепенно намечать переход к освоению символической логики, если это необходимо.11



















1.2. Мыслительные приёмы и логические операции

Мыслительный прием – сравнение.

Содержание. Целенаправленное выделение внешних отличительных и внутренних существенных признаков предметов и называние их словом. Признаки (основания) сравнения – цвет, величина, форма, материал изготовления, функциональное назначение предметов, а так же расположение отдельных деталей на пространстве рисунка, характер расположения действующих лиц, цели действий персонажей рисунка и пр.

Для этого приема характерны задания на группировку предметов, изображений с одинаковыми признаками, сравнение речевых выражений в устной и письменной форме, обнаружение в них ошибок типа «разные признаки сравнения» (подмена основания), сравнение объектов по наглядному изображению и по представлению. В результате отработки приема у детей формируются:

Знания:

  • нескольких признаков сравнения объектов;

  • алгоритма проведения сравнения.

Умения:

  • Различать предметы по их качествам и характеризовать показатели сравнения связной речью;

  • Замечать непоследовательность в речи и исправлять ее.

Мыслительный прием – сериация.

Содержание. Наблюдение признаков предметов, свойств в развитии. Выделение отличительных признаков объектов, элементов рисунка. Установление закономерности в наборе и изменении признаков; сопоставление предшествующих элементов и на их основе выведение последующих.

Для этого приема характерны задания на сериацию объектов по одному или двум признакам. Признаки сериации: цвет, форма, величина, объем, количество, пространственное расположение. В результате у детей формируются:

Умения:

  • Определять признак изменения изображения, расположения объектов;

  • Составлять последовательности объектов (материальных и графических) в соответствии с выбранными признаками динамики.

Мыслительный прием – анализ.

Содержание. Анализ - как расчленение целого на составные части и как внимательное прочтение условий логических и математических задач.

Трансформация графического изображения по заданным условиям на основе анализа и синтеза. Определение пространственных соотношений между объектами.

Для этого приема характерны задания: анализ групп фигур, установление закономерности в наборе признаков. Анализ цветового и композиционного расположения фигур. Группировка объектов (с использованием мыслительных приемов сравнения, последовательности, сериации, анализа) по признакам цвета, формы, величины и пр., анализ по наглядному изображению и по представлению.

Формируются умения:

  • Анализировать строение предметов изображений;

  • Обосновывать собственное решение и ответ задачи.

Мыслительный прием – синтез.

Содержание. Составление целого из отдельных частей.

Для этого приема характерны задания на выделение существенных признаков предметов и синтезирование их в единое представление. Построение целостного образа предмета по совокупности его существенных признаков, синтез по наглядному изображению и по представлению.

Умения:

  • Составлять слова из букв и слогов, предложения из слов, рисунки по деталям и элементам;

  • Конструировать изображения по словесно заданным условиям.

Мыслительный приём- абстрагирование.

Содержание. Выделение существенных признаков объектов как основа приёма абстрагирования.

Для этого приема характерны задания на абстрагирование при выявлении заданных элементов рисунка или при обнаружении лишних, при цифровой и буквенной записи, при слуховом восприятии слов и предложений, выявление в беспорядочном нагромождении линий конкретных изображений предметов. Выявление из ряда предлагаемых понятий тех, которые соответствуют заданным условиям.

Умения:

  • Различать существенные и несущественные признаки объектов;

  • Выделять и группировать объекты по заданным условиям.

Мыслительный приём- составление алгоритма.

Содержание. Ознакомление с алгоритмом - правилом, предписывающим при решении задачи четко выполнять действия в определенной, закреплённой последовательности.

Строгое соблюдение порядка действий - основное условие результативности алгоритма.

Целенаправленное наблюдение за образцом рассуждения при словесном описании алгоритма.

Установление отношений «сначала - потом». Понятие о командах- указателях действий как о составляющих алгоритма.

Использование в качестве опоры для запоминания и исполнения алгоритма в работе картинок или пунктов плана.

Средства. Выведение предписаний последовательности операций в бытовой и учебной ситуациях: алгоритмов режимов дня, перехода улицы и т.п.; алгоритмов сложения и вычитания двухзначных чисел; алгоритм определения проверяемой гласной в корне слова и др., установление порядка действий в предложенных и сконструированных с помощью учителя алгоритмах, фиксирование последовательности действий порядковым номером и применение алгоритма на практике. Составление «программы» работы для робота из двух – трех действий.

Знание:

  • Объяснение термина «алгоритм».

Умения:

  • Точно придерживаться очередности в умственных и физических действиях при решении игровых и учебных задач;

  • Располагать действия алгоритма в нужном порядке;

  • Нумеровать команды;

  • Восстанавливать в алгоритме пропущенный пункт;

  • Точно исполнять составленный алгоритм.

Логическая операция – обобщение понятий.

Содержание. Установление понятия по его обобщенным существительным признакам.

Для этого приема характерны задания на выделение и обобщение признаков, свойственных материальным и графическим объектам; подведение их под родовые понятия, обобщение по наглядному изображению и по представлению.

Умения.

  • Устанавливать родо-видовые связи между понятиями;

  • Подводить ряд наименований под общее понятие;

  • Подбирать обобщающее слово.

Логическая операция – деление понятий, классификация.

Содержание. Нахождение смысловых связей между объектами одного свойства.

Для этого приема характерны задания на установление признака деления на группы, группировка предметов, изображений по одному или двум не противоречащим признакам, перегруппировка одних и тех же объектов в зависимости от выбранных признаков деления; образование и подсчет различных комбинаций, наглядно-предметная и абстрактно-словесная группировка.

Знания:

  • Правил деления на группы;

  • Нескольких признаков деления объектов на группы.

Умения:

  • Различать предметы по их качествам и характеризовать эти различия связной речью;

  • Обнаруживать ошибки в предложенном делении – разные признаки деления;

  • Определять признаки для группировки объектов;

  • Самостоятельно распределять на группы, классы известные понятия.


Логическая операция – выделение существенных признаков.

Содержание. Существенные признаки, как наиболее важные, характерные, устойчивые признаки предмета; признаки, отделяющие данный предмет от всех других. Ознакомление и использование в работе термина «существенные признаки предмета».

Для этого приема характерны задания на выделение главного на основе существенных признаков, определение существенного признака как основания для приемов сравнения, анализа, деления на группы.

Знания:

  • Объяснение термина «существенные признаки предмета».

Умения:

  • Отличать существенные признаки от несущественных;

  • Делать вывод о предмете, явлении, животном и пр. по набору существенных признаков;

  • Рассуждать вслух, подводить итоги сказанному.


Логическая операция – выделение главного.

Содержание. Выделение главного как разграничение, отделение наиболее существенного материала от несущественного.

Для этой логической операции характерны задания на обнаружение существенных признаков предметов, выделение главного - как необходимое условие для выполнения любого познавательного задания и каждой учебной задачи, выделение главного при ответе на вопрос учителя.

Умения:

  • Выделять главное в условии математической задачи;

  • Находить главный математический материал и отбрасывать излишний;

  • Рассуждать и делать вывод.


Логическая операция – ограничение понятий.

Содержание. Ограничение понятий - как прием суждения объема понятия путем непосредственного перехода от родового понятия к видовому или посредством добавления к содержанию родового понятия видообразующих признаков. Усвоение термина «ограничение (уменьшение) понятий (слов)».

Для этой логической операции характерны задания на определение родо-видовых и видо-родовых отношений между понятиями, подразделение обобщающего понятия на ряд составляющих его наименований, установление отношения подчинения понятий.

Умения:

  • Располагать словесные ряды в порядке увеличения признаков понятия;

  • Ограничивать понятия в три – четыре ступени.


Логическая операция – обобщение понятий.

Содержание. Обобщение понятий как прием расширения объема понятия путем непосредственного перехода от видового понятия к родовому или посредством отбрасывания от содержания видового понятия его видообразующих признаков. Усвоение термина «обобщающее слово»; использование его в работе.

Для этой логической операции характерны задания на определение видо-родовых и родо-видовых отношений между понятиями, подведение ряда наименований под их обобщающее понятие, установление отношения подчинения понятий.

Умения:

  • Подбирать обобщающее слово к нескольким видовым понятиям;

  • Располагать словесные ряды в порядке уменьшения признаков понятия;

  • Обобщать понятие в три – четыре ступени.


Логическая операция – определение понятий.

Содержание. Определение как прием, раскрывающий содержание понятия или устанавливающий значение термина; прием, указывающий на сущность отражаемых в понятии предметов и явлений.

Для этой логической операции характерны задания на свободный переход от родового понятия к видовому и от видового к родовому, подбор к понятиям их существенных признаков.

Виды определений:

  1. показ картинки (остенсивное).

  2. замена слова (вербальное).

  3. подробное словесное объяснение (реальное).

Знания:

  • объяснение термина «определение»;

  • видов определений;

  • алгоритма составления реального определения;

  • видов ошибок.

Умения:

  • обобщать и ограничивать понятия;

  • самостоятельно давать определения известным понятиям всеми тремя способами;

  • давать реальное определение (через род и видовое отличие) в устной и письменной форме;

  • дифференцировать правильные и ошибочные определения.


Логическая операция – приемы, сходные с определением понятий: описание, характеристика.

Содержание. Описание как словесное устное или письменное изображение субъекта, объекта: изложение особенностей, признаков, состава чего-либо. Пересечение внешних черт предмета с целью отличия его от сходных с ним предметов.

Перечисление при описании как существенных, так и несущественных признаков.

Для этой логической операции характерны задания на внесение коррекционных правок фактического и стилистического характера в описательный текст, чтение загадок, пословиц, художественных отрывков, где используется описание. Узнавание субъекта, объекта по описанию. Составление описательного текста из нескольких предложений с использований данной темы, опорных слов и словосочетаний.

Умения:

  • представлять предмет и, удерживая его в памяти, устно описывать;

  • давать описания на предложенную или придуманную тему по образцу;

  • точно излагать мысли при описании в устной и письменной форме.

Содержание. Характеристика как перечисление отличительных свойств, черт предметов, явлений. Перечисление внутренних существенных свойств, качеств субъекта, объекта.

Для этой логической операции характерны задания на отличие характеристики от описания, установление существенных характеристик признаков предметов, внесение коррекционных поправок фактического и стилистического характера в текст с элементами характеристики, чтение загадок, пословиц, художественных отрывков с использованием характеристики. Узнавание субъекта, объекта по перечислению их характерных признаков. Составление текста характеристики из нескольких предложений с использованием данной темы, опорных слов и словосочетаний. Нахождение в отдельных сказках и рассказах отрывков с описанием и характеристикой.

Умения.

  • Представлять предмет и, удерживая его в памяти, давать ему устную характеристику;

  • Давать характеристику на придуманную или предложенную тему по образцу;

  • Вставлять в готовый текст недостающие описания и характеристики персонажей;

  • Точно излагать мысли при характеристике чего-либо в устной и письменной форме.


Логическая операция – установление причинно-следственных связей.

Содержание. Причинно-следственные связи как взаимные отношения между чем-либо. Ознакомление с причиной как явлением, обстоятельством, непосредственно порождающим другое явление – следствие, и следствием как выводом, результатом этой причины. усвоение и использование в работе терминов «причина» («по причине») и следствие («вследствие»).

Для этой логической операции характерны задания на установление отношений «сначала - потом», причинные связи между явлениями. Нахождение в действиях, поступках, происшествиях причины как основания, главного источника, первопричины для последующих событий – следствия. Использование в предложениях с причинно-следственной связью структур «Если…, то…» и «…, поэтому…». Нахождение причины и следствия в предложениях без вышеназванных слов – подсказок.

Знания.

  • Объяснение терминов «причина», «следствие»;

  • Структуры предложения с причинно-следственной связью.

Умения:

  • Выводить следствия из названных причин;

  • Определять причины по перечисленным следствиям;

  • Придумывать ситуации и составлять предложения с причинно-следственными отношениями к образцу;

  • Предавать связной речью свое понимание динамики ситуаций.12

Последовательность изучения материала

Из-за несформированности умений пользоваться приемами в первых классах, дети старших классов не владеют достаточной системой приемов и поэтому возникают все большие трудности при изучении новых приемов логического мышления.13

Естественно, что с любого логического приема работу на­чинать нельзя, так как внутри системы логических приемов мышления существует строго определенная последователь­ность, один прием строится на другом.

Первое, чему необходимо научить учащегося - это уме­нию выделять в предметах свойства. Дети первого класса обычно выделяют в предмете всего два-три свойства, в то время как в каждом предмете бесконечное множество различ­ных свойств. Больше, чем два-три свойства, они не могут выделить. Поэтому необхо­димо специально обучать детей умению видеть в предмете множество свойств. Для этого полезно показать им прием по выделению свойств в предметах - прием сопоставления дан­ного предмета с другими предметами, обладающими другими свойствами. Заранее подбирая для сравнения различные пред­меты и последовательно сопоставляя с ними исходный, можно постепенно научить детей видеть в предметах множество та­ких свойств, которые ранее были от них скрыты.

Как только дети научатся выделять в предметах множество различных свойств, можно переходить к следующему компо­ненту логического мышления - формированию понятия об общих и отличительных признаках предметов.

После того как учащиеся научатся выделять в предметах общие и отличительные свойства, можно сделать следующий шаг - научить детей отличать в предметах существенные (важные) свойства, с точки зрения определенного понятия, от свойств несущественных (неважных), второстепенных. Таким образом, если изменить несущественные свойст­ва, предмет будет относиться по-прежнему к тому же поня­тию, а если изменить существенное свойство, предмет стано­вится другим.

Показав это на нескольких примерах, важно указать, что таким путем можно отличить в предметах свойства сущест­венные (важные) от свойств несущественных (неважных).

Следующий шаг в формировании логического мышления учащихся - знакомство их с признаками необходимыми и достаточными. Научить детей различать эти признаки не так просто, так как объективно их отношения весьма сложны. Нередко даже взрослые думают, что всякий достаточный при­знак является одновременно признаком необходимым. Фак­тически же это не так.

После знакомства с необходимыми признаками вводится понятие признаков достаточных и признаков необходимых и одновременно достаточных. Здесь важно показать, что не всякий необходимый признак является достаточным. Нередко учащиеся допускают подобные ошибки.

Далее - подведение под понятие. Отнесение любого объекта к тому или иному понятию предполагает установление наличия у этого объекта признаков данного понятия, достаточных или необходимых и одновременно достаточных.

Говоря о действии подведения под понятие, объект относится к тому или иному понятию тогда и только тогда, когда обладает всей системой необходимых и одновременно достаточных признаков. Но так бывает только при подведении под понятия, где признаки связаны союзом «и - и» (конъюнктивная структура понятия). Кроме них, есть понятия с другой структурой признаков: связанных союзом «или - или» (дизъюнктивная структура признаков). В этом случае правило подведения под понятие другое: для отнесения предмета к данному классу предметов достаточно наличия лишь одного из указанных признаков. При работе с учащимися эти два случая подведения под понятие необходимо различать. Если же этого не делать, то у учащихся не сформируются умение «подведение под понятие», а, следовательно, дети бу­дут ошибаться.

В школе учащийся не знакомится с логической структурой определений: он просто заучивает огромное число различных конкретных определений. И если ученик что-то забывает в определении, то не может путем логического рассуждения восстановить забытое, так как не знает структуры определе­ний, не владеет правилами их построения.

Таким образом, родо-видовые отношения понятий и логи­ческие правила определений должны войти в программу фор­мирования логического мышления учащихся.

Следующий логический прием, который широко использу­ется в процессе обучения и без которого невозможно полноцен­ное мышление человека - прием выведения следствий с соблюде­нием требований закона контрапозиции. Этот прием, как и пре­дыдущие, также обычно не выступает в школе в качестве пред­мета специального усвоения. В силу этого далеко не все уча­щиеся даже старших классов понимают, что одно и то же след­ствие может быть связано с разными основаниями, и поэтому от наличия следствия нельзя переходить к утверждению нали­чия основания. В чем состоит этот закон? Этот закон указывает, когда мы имеем право делать вы­вод, а когда не имеем.

Необходимо постепенно подвести школьников к обобщен­ному выражению закона контрапозиции и дать его схемати­ческую запись.

Очень важным приемом логического мышления, исполь­зуемым в процессе всего школьного обучения, является также прием классификации. Часто этот логический прием оказыва­ется не сформирован даже у людей с высшим образованием.

Все это говорит о том, что без специальной работы прием классификации усваивается неудовлетворительно. В состав этого приема входят такие действия, как выбор критерия для классификации; деление по этому критерию всего множества объектов, входящих в объем данного понятия; построение иерархической классификационной системы.

Естественно, что формирование этого приема должно про­исходить постепенно, на материале разных учебных предметов. Все рассмотренные приемы и операции необходимы для полноценного усвоения изучаемых в школе предметов: дейст­вия, стоящие за этими приемами, и будут служить средством усвоения различных предметных знаний. Важно отметить и то, что на основе этих приемов можно формировать и более сложные методы логического мышления.14

Ранее был рассмотрен первый компонент познавательной дея­тельности - логические приемы мышления. Важность их фор­мирования у учащихся не требует доказательств, это очевид­но. Именно поэтому задача формирования логического мыш­ления ставится перед всеми учителями, при изучении всех предметов. Однако такая общая постановка задачи явно не­достаточна. Как видно, логическое мышление нельзя фор­мировать с любого приема: они связаны между собой внутрен­ней логикой, поэтому могут быть сформированы только в оп­ределенной последовательности.

Второе важное положение состоит в том, что приемы ло­гического мышления оказываются не усвоенными значитель­ным числом школьников не только в начальных классах, но и в старших. Объясняется это тем, что в процессе обучения учи­теля не делают их предметом специального усвоения, не рас­крывают перед учащимися их структуру, не формируют тех логических понятий, которые необходимы для понимания и правильного выполнения логических приемов мышления.

Из всего вышесказанного следует, что уже в начальной школе при построении содержания обучения необходимо предусмотреть всю систему логических приемов мышления, необходимых для работы с планируемыми предметными знаниями, для решения задач, предусмотренных целями обучения. При этом важно отметить, что хотя логические приемы формируются и используются на каком-то конкретном предметном материале, в то же время они не зависят от этого материала, носят общий, универсаль­ный характер. В силу этого логические приемы, будучи усвое­ны при изучении одного учебного материала, могут в даль­нейшем широко применяться при усвоении других учебных предметов как готовые познавательные средства.15

Следовательно, при отборе логических приемов, сле­дует учитывать межпредметные связи. Если какие-то логиче­ские операции были сформированы ранее, то нет необходимости формировать их заново.16

1.3Анализ учебных пособий для начальной школы

Изучая различную литературу по развитию логического мышления, обязательно натолкнёшься на тот факт, что представление об элементах логики у учителей разное, соответственно и содержание предлагаемого обучения тоже.

Итак, были проанализированы статьи Жалдака Н. (прил1), кандидата филосовских наук, доцента, руководителя межвузовской лабораторией «Логичность» Белогородского педагогического колледжа17, Пентеговой Г.А. (прил.2), учителя средней школы №70 города Кирова18, Н.В.Мельник (прил. 5) - учитель школы №10 города Зимы Иркутской области19, Швайк С.И. - учителя одной из школ Московской области 20, Зака А.З (прил. 3 )21, Русанова В.Н. (прил. 4 )22- и стало видно, что развитие логического мышления они понимают по-разному.

Жалдак предлагает задания на интуитивное освоение логических средств языка, которое в свою очередь делит на три занятия: 1-логические формы вопросов; 2-логические союзы; 3-формы суждений о свойствах.

Пентегова же применяет некоторые нестандартные задания, которые развивают различные виды мышления, например: наглядно-действенного, словесно-логического и т.д.

Мельник - вводит задания, решение которых связано с умением правильно делать выводы.

Швайк использовала межпредметную связь с чтением, при этом она обнаружила, что решение логических задач повышает интерес к чтению, и что сказочные персонажи помогают детям в освоении основ логики.

Зак А.З. в своей методике приводит задания для развития логического мышления ориентированные на развитие умения правильно делать выводы.

Русанов разработал игровое занятие, в основе которого - комбинаторика.

Все эти приведенные статьи говорят только о том, что учителя понимают необходимость введения в обучение детей заданий на развитие логических умений, но, к сожалению, не встречается единой схемы по внедрению, кроме отдельных факультативных курсов, кружковых занятий и т.п.

Существует множество учебных пособий, направленных на развитие логического мышления:

  • Тонких А.П, Кравцова Т.П., Лысенко Е.А и др. Логические игры и задачи на уроках математики.23

Данное пособие предназначено для формирования и развития логического мышления учащихся начальных классов. Здесь представлены задачи на смекалку, задачи-шутки, числовые фигуры, задачи с геометрическим содержанием, задания для раскрашивания и др. Задания сгруппированы по темам изучения математического материала и по классам. В пособии представлен разнообразный материал, задания в игровой форме.

  • Труднев В.П. Считай, смекай, отгадывай.24

Брошюра предназначена для самостоятельного чтения её учениками 1-3 классов. В ней собраны занимательные вопросы и задачи, задачи- игры. Содержание разделено на несколько разделов, одним из которых является «логические упражнения». Здесь собраны упражнения позволяющие сравнивать, делать выводы и т.д. Особенностью данной брошюры является то, что представлен не только математический материал, но и упражнения связанные с другими изучаемыми детьми учебными предметами.

  • Гин С. Мир логики25

Главная цель курса - научить детей сознательно использовать основные мыслительные операции: сравнивать и находить закономерности, классифицировать, давать определения, использовать алгоритм, строить умозаключения, рассуждать и делать выводы, т.е грамотно обращаться с информацией.

Курс предназначен для 3 (1-3) и 4(1-4) классов. Предлагается такая структура работы: дается материал, который потом в течении всей недели подкрепляется другими предметами. Уроки проходят в форме групповых и фронтальных бесед, с немногочисленными записями.

Распределение тем:

1 год - знакомство, выделение признаков, различие, сходство, существенные признаки, характерные признаки, упорядочивание признаков, правила сравнения, значение сравнения.

2 год - понятие о классах, правила классификации, вопросы, алгоритм, закономерности в числах и фигурах, закономерности в буквах и слогах, логические задачи.

3 год - Причина и следствие, причинно-следственные цепочки, противоположные отношения между понятиями, отношения родо-видовые между понятиями, упорядочивание по родо-видовым отношениям, виды отношений между понятиями, определение, ошибки в построении определения, язык и логика.

4 год - придумывание по аналогии, использование аналогии, продолженная аналогия, рассуждения, ошибки в рассуждении, юмор и логика, подведение итогов обучения.

Преимуществом данного курса является то, что материал выстроен в соответствии с доступной логикой развития логических умений.

  • « Логика. Для обучения детей в семье, детском саду и далее… Екатеринбург. «У-Фактория»2000»26

Учебное пособие посвящено развитию мышления и других познавательных процессов и способностей у детей 5-7 лет. Книга в занимательной и доступной форме вводит детей в мир логики. Путешествуя по её страницам вместе с Карандашом, Самоделкиным, клоунами Торопышкой и Фитилём, дети учатся познавать мир, пользуясь логическими приемами мышления. Они анализируют и синтезируют, сравнивают объекты действительности, глубже изучая их свойства; учатся обобщать и конкретизировать, выполнять сериацию и классификацию предметов и явлений.

Положительной чертой данного курса является то, что он построен в соответствии с уровнем познания окружающей действительности детьми, т.е много наглядного материала, рассуждения ведутся на доступном языке, а так же содержание курса достаточно богато насыщенно научными терминами и понятиями.

  • Барташников А.А, Барташникова И.А. Учись мыслить.27

Содержание материала предназначено для использования во внеклассных занятиях с детьми. В книге представлены главы для развития всех сторон мышления: памяти, внимания…, и логического мышления. В главе на развитие логического мышления дети сравнивают, обобщают, классифицируют, систематизируют, соотносят.

Положительным фактором этого издания можно считать подход к развитию мышления в целом, т.е развитие мышления с каждой её стороны.

  • Гетманова А.Д. Занимательная логика28.

Здесь представлены основные темы логики: «Понятие», «Суждение», «Умозаключение», «Законы правильного мышления» и др. Книга ярко иллюстрирована. Материал и методика апробированы автором в трех школах Москвы и Подмосковья. Множество логических задач, загадок, рисунков, кроссвордов помогает овладеть основами логики, развивать логическое и образное (творческое) мышление учащихся, способствует их эстетическому воспитанию.

  • Нежинская О.Ю. Логика. Занимательные материалы для развития логического мышления29.

Материал распределен по классам и имеет постоянно растущую степень трудности. В этом курсе представлен как теоретический материал, так и практический. Практический материал включает в себя:

  • Логические упражнения

  • Логические задачи

  • Задачи- смекалки

  • Задачи-шутки

  • Загадки

  • Логические игры.

Преимуществами курса можно назвать: распределение по классам, соответствие уровня трудности возрастным возможностям школьника, постоянно растущий уровень трудности, разнообразие подходов к формированию логических умений, игровые задания.

  • Волина В. Праздник числа. Занимательная математика для детей.30

Сборник веселых стихотворений, считалок загадок, скороговорок, пословиц, физкультминуток, подобранных на каждую цифру. Такое обучение математике позволяет сделать урок интересным, светлым, расширить кругозор ребенка. Несмотря на видимое отсутствие логических тем, этот сборник все- таки развивает логические умения школьников, например: абстрагирование, так как детям при слушании задачи в стихотворном виде необходимо абстрагироваться от формы и уловить содержание.

  • Керова Г.В. Нестандартные задачи по математике.31

Пособие содержит задачи интеллектуально-занимательного характера, способствующие формированию у детей логического, алгоритмического, пространственного мышления. Все задачи сгруппированы по классам и темам в соответствии с учебником Моро, но могут полноценно использоваться и с другими учебными пособиями.

Особенностью этой книги является то, что задачи разбиваются по классам, а это значительно облегчает подготовку учителей. Логические задачи «вплетены» в задания геометрического и др. материала, что является положительным фактором, так как задача любого учителя состоит не в том, чтобы отделить логические задачи от всех известных, а наоборот, соединить их с изучаемым материалом.

  • Сухих И.Г. Занимательные материалы.32

В пособии приводятся скороговорки, загадки, викторины, кроссворды, чайнворды, тесты, дидактические рассказы и сказки, загадки, ребусы, нестандартные игры, шуточные задания, логические и математические головоломки. Материал распределен по классам. Логические задания стоят обособленно от развития речи и математики.

  • Волина В. Занимательное азбуковедение.33

Книга представляет собой сборник веселых и занимательных стихотворений, поговорок, пословиц, игровых упражнений, подобранных на каждую букву алфавита. Здесь представлены задания, которые формируют такие логические операции как анализ, синтез, абстрагирование, обобщение и др. Данная книга раздвигает границы формирования логических умений, она позволяет взглянуть на логику не только с математической точки зрения, но и сточки зрения русского языка, проявляя свое многообразие.

  • Учебник математики для начальной школы. Составители: М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др.34

Из объяснительной записки

Основные цели начального курса математики — обеспечить числовую грамотность учащихся и умение производить все арифметические действия в области неотрицательных целых чисел, сформировать элементарные навыки работы на калькуляторе, способствовать начальному математическому развитию, включающему в себя умения наблюдать и сравнивать, сопоставлять, анализировать, проводить простейшие обобщения и объяснять их на новых конкретных примерах, а также развитию математической памяти и речи. Это позволит учащимся более свободно ориентироваться в простейших математических закономерностях окружающей действительности, использовать накопленные знания при дальнейшем изучении курса, станет пропедевтикой математического типа мышления, заложит основу для повышения уровня математической культуры.

В процессе формирования вычислительных навыков решение тренировочных примеров дополняется заданиями логического, познавательного характера, нацеливающими детей на проведение наблюдений, сравнений, анализа рассматриваемых математических выражений и примеров (групп примеров), что ведет к установлению причинно-следственных связей и закономерностей, способствует осознанию практической значимости операции сравнения и анализа.35 Логические задания предлагаются как дополнительные.

  • Учебник математики для начальной школы. Программа «Школа 2000…». Составители Петерсон Л.Г36

Из объяснительной записки

В основе построения данного курса лежит идея гуманизации математического образования, соответствующая современным представлениям о целях школьного образования и уделяющая особое внимание личности ученика, его интересам и способностям. В основе отбора методов и средств обучения лежит деятельностный подход.
Курс позволяет обеспечить требуемый уровень подготовки школьников, предусматриваемый государственным стандартом математического образования, а также позволяет осуществлять при этом такую их подготовку, которая является достаточной для углубленного изучения математики.

Цели обучения математике обусловлены общими целями образования, концепцией математического образования, статусом и ролью математики в науке, культуре и жизнедеятельности общества, ценностями математического образования, новыми образовательными идеями, среди которых важное место занимает развивающее обучение.

Основная цель обучения математике состоит в формировании всесторонне образованной и инициативной личности, владеющей системой математических знаний и умений, идейно-нравственных, культурных и этических принципов, норм поведения, которые складываются в ходе учебно-воспитательного процесса и готовят ученика к активной деятельности и непрерывному образованию в современном обществе.
Исходя из общих положений концепции математического образования, начальный курс математики призван решать следующие задачи:
– обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
– обеспечить интеллектуальное развитие, сформировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для полноценной жизни в обществе;

сформировать умение учиться;

сформировать представление об идеях и методах математики, о математике, как форме описания и методе познания окружающего мира;
– сформировать представление о математике, как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса;
– сформировать устойчивый интерес к математике;

выявить и развить математические и творческие способности.
В курсе математики выделяется несколько содержательных линий.

1. Числа и операции над ними. Понятие натурального числа является одним из центральных понятий начального курса математики. Формирование этого понятия осуществляется практически в течение всех лет обучения. В результате раскрываются три подхода к построению математической модели понятия «число»: количественное число, порядковое число, число как мера величины.

В тесной связи с понятием числа формируется понятие о десятичной системе счисления. Раскрывается оно постепенно, в ходе изучения нумерации и арифметических операций над натуральными числами. Важное место в начальном курсе математики занимает понятие арифметической операции. Смысл каждой арифметической операции раскрывается на конкретной основе в процессе выполнения операций над группами предметов, вводится соответствующая символика и терминология. При изучении каждой операции рассматривается возможность ее обращения.
В предлагаемом курсе изучаются некоторые основные законы математики и их практические приложения:

коммутативный закон сложения и умножения;

ассоциативный закон сложения и умножения;

дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Все эти законы изучаются в связи с арифметическими операциями, рассматриваются на конкретном материале и направлены, главным образом, на формирование вычислительных навыков учащихся, на умение применять рациональные приемы вычислений. Главное – научить детей применять эти законы при выполнении устных и письменных вычислений, в ходе решения задач, выполнении измерений. Для усвоения устных вычислительных приемов используются различные предметные и знаковые модели.

2. Величины и их измерение. Величина также является одним из основных понятий начального курса математики. В процессе изучения математики у детей необходимо сформировать представление о каждой из изучаемых величин (длина, масса, время, площадь, объем и др.) как о некотором свойстве предметов и явлений окружающей нас жизни, а также умение выполнять измерение величин.

3. Текстовые задачи. В начальном курсе математики особое место отводится простым (опорным) задачам. Умение решать такие задачи – фундамент, на котором строится работа с более сложными задачами.

4. Элементы геометрии. Изучение геометрического материала служит двум основным целям: формированию у учащихся пространственных представлений и ознакомлению с геометрическими величинами (длиной, площадью, объемом). Наряду с этим одной из важных целей работы с геометрическим материалом является использование его в качестве одного из средств наглядности при рассмотрении некоторых арифметических фактов. Кроме этого, предполагается установление связи между арифметикой и геометрией на начальном этапе обучения математике для расширения сферы применения приобретенных детьми арифметических знаний, умений и навыков.

Геометрический материал изучается в течение всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых уроков. В изучении геометрического материала просматриваются два направления:

1) формирование представлений о геометрических фигурах;

2) формирование некоторых практических умений, связанных с построением геометрических фигур и измерениями.

5. Элементы алгебры. В курсе математики для начальных классов формируются некоторые понятия, связанные с алгеброй. Это понятия выражения, равенства, неравенства (числового и буквенного уравнения) и формулы. Суть этих понятий раскрывается на конкретной основе, изучение их увязывается с изучением арифметического материала. У учащихся формируются умения правильно пользоваться математической терминологией и символикой.

6. Элементы стохастики. Наша жизнь состоит из явлений стохастического характера. Поэтому современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике. В этой связи элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики входят в школьный курс математики в виде одной из сквозных содержательно-методических линий, которая дает возможность накопить определенный запас представлений о статистическом характере окружающих явлений и об их свойствах.

7. Нестандартные и занимательные задачи. В настоящее время одной из тенденций улучшения качества образования становится ориентация на развитие творческого потенциала личности ученика на всех этапах обучения в школе, на развитие его творческого мышления, на умение использовать эвристические методы в процессе открытия нового и поиска выхода из различных нестандартных ситуаций и положений.37

Учебник выгодно выделяется наличием логических упражнений, но эта программа не нашла широкого применения.

Так же существует множество различных сборников, брошюр, задачников по развитию логического мышления. Некоторые из них :

  • Копытов Н.А. Задачи на развитие логики: Введение в язык математики. М.,1998

  • Светлова И.Е. Логика. М.,2002

  • Кэрролл.Л. Логическая игра. М.,1991.

  • Агаева Е.Л., Брофман В.В. Чего на свете не бывает.-М.: Просвещение,1991.

  • Чилингирова, Спиридонова. Играя, учимся математике.-М.: Просвещение,1993.

  • Жигалкина Т.К. Игровые и занимательные задания по математике. М.: Просвещение,1989.

В настоящее время активно вводится тестирование учеников. Выпускники начальной школы тоже проходят тестирование. И самое интересное то, что в ЕМТ (Единый муниципальный тест) встречаются задания, ориентированные на знание логических операций.

Пример: задания из ЕМТ 2008 года.

В данном тесте встречаются задания на правильность суждений.

  • Выбери верные утверждения. При помощи умножения находится: А) неизвестный первый множитель Б) неизвестное делимое В) неизвестное частное Г) неизвестный делитель Д) неизвестный второй множитель Е) неизвестное произведение.

Б, г, е а, б, в а, д, е

Для правильного выполнения этого задания дети должны обладать знаниями о верности утверждений.

Так же тест содержит комбинаторные задачи.

  • Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи числа не должно быть одинаковых цифр?


В выпускной работе четвероклассника есть задача связанная со множествами, что не изучают на уроках математики.

  • hello_html_3d60d9a2.jpgНа рисунке кругами обозначены девочки, любители кошек и голубоглазые дети.

Девочки




Любители кошек голубоглазые дети

Какая часть круга обозначает голубоглазых мальчиков, которые не любят кошек?

Наиболее распространенные задания, которые встречаются в тесте, это задания на анализ, синтез, аналогию.

  • В названии какой одежды все согласные звуки твёрдые?

куртка, футболка, джинсы рубашка, пуловер, шорты

свитер, брюки, топик жилет, костюм, шляпа

  • Составь из заданных слов новое, соединяя слоги. Из каждого слова возьми только по одному слогу. Заданные слова: мука, рагу, диван.

Одним из видов заданий логического характера являются задания на установление отношений.

  • В каком предложении все части речи - имена существительные и прилагательные?
    Пермь стоит на уральской реке Кама.

У Вани и Лизы много весёлых книжек.

Красный, синий, Роза, черёмуха.

Москва - столица великой державы.

Исходя из заданий теста, следует, что дети младшего школьного возраста должны обладать знаниями по логике.









Вывод

Таким образом, рассмотрен психологический взгляд на проблему введения элементов логики в содержание уроков математики. Отчетливо видно, что многие учителя знают о необходимости введения элементов логики в школьный курс математики и пытаются внедрить её различными способами. Существуют разные сборники и пособия для формирования логических умений школьников, но проблема заключается в том, что все пособия «стоят отдельно» от математики и задача учителя заключается в том, что необходимо в доступной для детей форме «слить воедино» и программный математический материал и элементы логики. В выпускной работе четвероклассника (ЕМТ) присутствуют задания на знание основ логики, следовательно, изучение логического материала необходимо ученикам начальной школы.



Литература

  1. Агаева Е.Л., Брофман В.В. Чего на свете не бывает. М.: Просвещение,1991.

  2. Афонькин С.Ю. Учимся мыслить логически: Увлекательные задачи для развития логического мышления. СПб.,2002.

  3. Береславский Л.Я. Азбука логики: как помочь ребенку учиться легко и с удовольствием. М.,2001.

  4. Барташников А.А, Барташникова И.А. Учись мыслить. Харьков. «Фолио» 1998.

  5. Варегина Ф.В., Смирнова С.В. Дидактические игры и логические задачи на уроках математики в начальных классах .Тула,1990.

  6. Волина В. Занимательное азбуковедение. М.: Просвещение,1991.

  7. Волина В.Праздник числа. Занимательная математика для детей. М.: Знание,1993.

  8. Гайтшут А.Г. Математика в логических упражнениях. Киев:1985.

  9. Гетманова А.Д. Занимательная логика. М.: Владос,1998.

  10. Гин.С. Мир логики. М.,2001.

  11. Жалдак Н.Н. Развитие логичности мышления у младших школьников // Начальная школа. 2000. №7.

  12. Жигалкина Т.К. Игровые и занимательные задания по математике.- М.: Просвещение,1989.

  13. Задания развивающего характера в новом едином учебнике «Математика» // Начальная школа. 1997. №7.

  14. Зак. А.З. Задачи для развития логического мышления// Начальная школа. 1996. № 6.

  15. Зак А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления детей. Ярославль,1998.

  16. Истомина. Методика обучения математики в начальной школе

  17. Камалова Т., Никольская И. Логические упражнения: Задания для учащихся 1-3 кл. М., 1980.

  18. Керова В.Г. Нестандартные задачи по математике. М.: Вако,2006.

  19. Киселёва Н. Введение в основы логики // Частная школа. 1996. №6.

  20. Копытов Н.А. Задачи на развитие логики: Введение в язык математики. М.,1998.

  21. Кэрролл.Л. Логическая игра. М.,1991.

  22. Логика. Для обучения детей в семье, детском саду и далее… Екатеринбург У- Фактория 2000.

  23. Лоповок Л.М. Математика на досуге.- М.: Просвещение,1981.

  24. Лукьянова М. Развитие мышления школьников в учебном процессе // Учитель. 2001. №1.

  25. Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики//Начальная школа. 1997. №5.

  26. Нежинская О.Ю.Логика. Занимательные материалы для развития логического мышления. Волгоград, 2004.

  27. Пентегова.Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики //Начальная школа. 2000. №11.

  28. Программы общеобразовательных учреждений. М; Просвещение, 1996.

  29. Психологический словарь. «Издательство Союз» С-Пб, 2000

  30. Русанов.В.Н. Игровое занятие Заяц и Ёж// Начальная школа 1997, № 6

  31. Светлова И.Е. Логика. М., 2002

  32. Советский энциклопедический словарь-М.: советская энциклопедия, 1982

  33. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология, М.,1998

  34. Тихомирова Л.Ф., Басов А.В. Развитие логического мышления детей. Ярославль, 1996.

  35. Тонких А.П, Кравцова Т.П., Лысенко Е.А и др. Логические игры и задачи на уроках математики. Ярославль. «академия развития». 1997.

  36. Труднев. В.П. Считай, смекай, отгадывай. СПб.: Лань, 1994

  37. Труднев В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе. М.: Просвещение, 1975.

  38. Учебник математики для начальной школы. Сост. Моро, Бантова, Бельтюкова и др.

  39. Учебник математики для начальной школы. Сост. Петерсон Л.Г

  40. Чилингирова, Спиридонова. Играя, учимся математике.-М.: Просвещение, 1993.

  41. Швайк С.И. Решение логических задач повышает интерес к чтению. //Начальная школа 1997 № 6.

  42. www.bsu.edu.ru




Приложение 1.

Жалдак Н.Н. Развитие логичности мышления у младших школьников // Начальная школа. 2000. №7.

Занятие 1.

1.Предоставьте предмет для обсуждения, фиксируя на доске те вопросы, на которые дети отвечали при построении рассказа о предмете. Затем прочтите стихотворение Киплинга:

Есть у меня шестёрка слуг,

Проворных, удалых,

И всё, что вижу я вокруг,

Всё знаю я от них.

Они по знаку моему

Являются в нужде.

Зовут их : Как и Почему,

Кто, Что, Когда и Где…

Поставьте вопрос: «В правильном ли порядке поставлены вопросы?». Попросите рассказать об этом предмете как можно подробнее, но так чтобы вопросы ставились последовательно.

Занятие 2.

  1. Столбцы.

*

*





В столбце справа укажите (обведите овалом) правильные ответы.

  1. Скажите, в 1 столбце есть * и ▲ да нет

  2. Во 2 столбце есть* и ▲ да нет

  3. В 3 столбце есть* и ▲ да нет

  4. В 4 столбце есть и да нет

  5. Укажите столбец, в котором нет ни * ни▲ 1234

  6. В 1 столбце есть* или ▲ да нет

  7. Во 2 столбце есть* или ▲ да нет

  8. В 3 столбце есть* или ▲ да нет

  9. В 4 столбце есть* или ▲ да нет

  10. Укажите столбцы, в которых есть * или▲1234

  11. В 1 столбце либо* либо ▲ да нет

  12. Во 2 столбце есть либо* либо▲ да нет

  13. В 3 столбце есть либо* либо▲ да нет

  14. В 4 столбце есть либо* либо▲ да нет

  15. Если в столбце есть*, то в нем должен быть ▲ Который из столбцов не удовлетворяет этому требованию 1234

  16. В столбце должна быть* если в нем есть ▲ Который из столбцов не удовлетворяет этому требованию 1234

  17. Только если в столбце есть ▲ то в нем должна быть * Который из столбцов не удовлетворяет этому требованию 1234

В столбце должна быть только*сли в нем есть▲ Который из столбцов не удовлетворяет этому требованию 1234

Пояснение: Дайте каждому ученику листок с заданием. Полоска с возможными ответами может быть напечатана отдельно

и при выполнении задания должна прикладываться к вопросам справа. Ответы учеников покажут, правильно ли они понимают союзы при их употреблении в письменной речи. Если есть ошибки, с детьми надо устно обсудить каждый из этих вопросов и указать правильные ответы.

  1. Методика составления: Ученикам надо предоставить 4 предмета такими сочетаниями признаков: 1-АБ, 2-А не -Б, 3- не-АВ, 4- не –А не –В).

Сделайте (назовите что) с предметом (назвать его), у которого есть А и В (вместо А и В изобразите или назовите признаки). (Например: «Сдвиньте карточку с синей и красной линией».)

  1. Ученикам говорите следующее, сопровождая слова соответствующими действиями: «Будем обсуждать восемь пальцев ваших рук. Большие пальцы не в счет, говоря «пальцы», их в виду не имею. Я буду показывать возможные положения пальцев, а вы делайте то же самое за мной.»


п\п

Положение пальцев на поднятых руках учителя

Слова ученикам

Требуемое положение рук учеников

I

II

III

IV

1

Согнуты и касаются

Пальцы согнуты и касаются

Руки подняты, пальцы согнуты и касаются

2

Согнуты и касаются

Не согнуты и не касаются

Руки подняты, пальцы согнуты и не касаются

3

Согнуты и не касаются

Не согнуты и касаются

Руки подняты, пальцы не согнуты и касаются

4

Не согнуты и не касаются

Не согнуты и не касаются

Руки подняты, пальцы не согнуты и не касаются

5

Согнуты и касаются

Пальцы согнуты и касаются

Руки подняты ,пальцы согнуты и касаются

6

Согнуты и не касаются

Согнуты или касаются

Руки подняты, пальцы согнуты и не касаются

7

Не согнуты и касаются

Согнуты или касаются

Руки подняты, пальцы не согнуты и касаются

8

Не согнуты и не касаются

Согнуты или касаются

Руки опущены

9

Согнуты и касаются

Пальцы либо согнуты либо касаются

Руки опущены

10

Согнуты и касаются

Либо согнуты либо касаются

Руки подняты пальцы согнуты и не касаются

11

Не согнуты и касаются

Либо согнуты либо касаются

Руки подняты пальцы не согнуты и касаются

12

Не согнуты и не касаются

Либо согнуты либо касаются

Руки опущены



  1. Рассмотрите таблицу. В каждой из строчек 1 – 10 обведите кружком номер каждого столбца, указанного в той же строчке. Листки с такого рода заданиями можно раздать ученикам и можно заменить буквами или чем-то другим.


п\п

Столбцы, № которых надо обвести кружком

Столбцы

*






1

С и*

1

2

3

4

5

6

7

8

2

С●. или*

1

2

3

4

5

6

7

8

3

Либо с ▲ либо с*

1

2

3

4

5

6

7

8

4

Ни с▲ ни с*

1

2

3

4

5

6

7

8

5

С▲ притом с● или*

1

2

3

4

5

6

7

8

6

С ● но либо с▲ либо с*

1

2

3

4

5

6

7

8

7

С▲ или с * притом не с●

1

2

3

4

5

6

7

8

8

С ▲ и с● но или с ● или с*

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Либо с ▲ либо с * но● и*

1

2

3

4

5

6

7

8

10

С * или без▲ но с ▲или●

1

2

3

4

5

6

7

8


Занятие 3. Формы суждений о свойствах.

  1. Возьмите по 4 предмета разных видов А и В. (Например: А – красные карточки, а В – зеленые карточки.). разделите какую-нибудь площадку на две половины. Разместите все предметы на первой половине. Примерные команды для передвижения могут быть такими:

  • Сделайте так, чтобы на правой половине были все предметы А.

  • Сделайте так, чтобы на левой половине были все предметы В.

  • Чтобы не правой половине были только предметы А

  • Чтобы не правой половине были не только предметы А.

  • Чтобы не правой половине были только все предметы А

  • Чтобы не правой половине были не только все предметы А

  • Чтобы не правой половине были все эти предметы, кроме предметов А.

Следите за тем, чтобы не требовать делать то, что уже имеется, например, сделать так, чтобы на данной половине были только предметы А, если там только они.

  1. Предлагайте одному или группе учеников поднять руки. Попросите сгибать пальцы по следующим указаниям:

Сделайте так: 1) чтобы на левой руке все пальцы были согнуты. 2) чтобы на левой руке не все пальцы были согнуты. 3) чтобы на правой руке были только согнутые пальцы. 4) чтобы на правой руке были не только согнутые пальцы. 5) чтобы на правой руке были только все согнутые пальцы. 6) чтобы на правой руке были не только все согнутые пальцы. 7) чтобы все, кроме пальцев левой руки, были согнуты.

Давайте сравним два случая: (запись на доске).

1) на левой руке все пальцы согнуты. 2) все пальцы, которые согнуты, находятся на левой руке. В каком случае могут быть согнутые пальцы на правой руке, а в каком не согнутые могут быть на левой?

  1. Анкета на выяснение значений, придаваемых логическим формам суждений.

1. ■■■□□□□□

  1. Есть подчеркнутые ■.

  2. Некоторые ■ подчеркнутые.

  3. Нет подчеркнутых □.

  4. Ни один □ не подчеркнут.

  5. Только □ подчеркнут.

  6. Все □ подчеркнуты.

  7. Лишь ■ подчеркнут.

  8. Не только ■ подчеркнуты.

  9. Только все □ подчеркнуты.

2. ■■■■□□□□

3. ■■■■■□□□

4. □□■■■■□□

5. □□□□□■■■

6. □□□□■■■■

7. ■■■■■■■■



  1. Даны 6 рисунков с подписями. В начале всех подписей вместо многоточия надо расставить по одному следующие выражения:

  • Все фигуры, кроме

  • Только все

  • Все

  • Ни одна не

  • Некоторые

  • Только

При этом каждая подпись должна соответствовать своему рисунку и


1

▲▲▲*■*■●

Стоят над линией

2

▲▲▲▲▲▲●■

Стоят над линией

3

*■*■●▲▲▲

Стоят над линией

4

*▲▲▲▲▲□■

Стоят над линией

5

▲▲▲▲●*●*

Стоят над линией

6

□■□●▲▲▲▲

Стоят над линией


Выберете правильный вариант ответа:

  1. 1-б, 2-д, 3-а, 4-в, 5-е, 6-г.

  2. 1-в, 2-е, 3-г, 4-д, 5-б, 6-а.

  3. 1-в, 2-д, 3-а, 4-б, 5-е, 6-г.

  4. 1-б, 2-е, 3-д, 4-в, 5-г, 6-а.

Приложение 2

Пентегова.Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики //Начальная школа. 2000. №11.

1.Задания на определение темы урока.

- На грядке сидит 6 воробьёв. К ним прилетели ещё 4 воробья. Сколько воробьёв осталось на грядке?

***

-Сегодня цифра спряталась на дне недели, который предшествует субботе. Какая это цифра?. Какая тема урока?

***

-Даны карточки с геометрическими фигурами. Внимательно посмотрите на карточки. Какую карточку в нижнем ряду надо переставить, чтобы в обоих рядах фигуры имели одинаковый порядок.

















***

-Работа с игровым полем из 9 или 12 клеток, где можно зашифровать тему урока или новый для детей математический термин.

И

-

Г

-

М

|


|


|

А

-

?

-

Р.

|


|


|

О

-

Т

-

Л


2. Задания логического характера для устного счета.

  1. Игровое поле. Составление цепочек. Посмотрите внимательно на поле. Скажите, какое действие надо выполнить, чтобы получить данный результат. Составьте числовые цепочки. Как называются такие примеры? (можно ходить через дорожку только наискосок).

8

-

1

-

7

|


|


|

2

-

?

-

3

|


|


|

9

-

4

-

6


  1. Эвристические задачи.

Первый уровень – оперирование одним суждением. Пример: Петя и Миша решали примеры. Один решал у доски, другой в тетради. Где решал примеры Миша, если Петя решал у доски?

Второй уровень – оперирование двумя суждениями. Пример: Коля, Ваня и Сережа учили таблицу умножения. Один учил таблицу на пять, другой на шесть, третий на 9. кто какую таблицу учил, если Коля знал таблицу умножения на 6 и на 9, а Ваня знал таблицу на 9?

Третий уровень – необходимо соотнести три суждения. Пример: Олег, Боря, Женя и Ваня выполняли задания по выбору: решить задачу, примеры, уравнения или найти периметр фигуры. Кто какое задание выполнял, если Олег не решал уравнения, задач и примеров; Боря не решал примеров и задач, а Ваня не решал задач?

  1. Перебор вариантов отношений. Пример: на дереве сидели 4 голубя и 6 воробьев. 5 птиц улетело. Улетел ли среди них хоть один голубь?

  2. Установление пространственных, временных и функциональных отношений. Пример: Сережа шел по лестнице, шагая через 2 ступени. Он считал 1, 2, 3, 4… Когда ему нужно было сказать 5, то оказалось, что осталась 1 ступенька. Сколько всего ступенек на лестнице?

  3. Комбинаторные действия. Пример: составьте все возможные трехзначные числа, используя цифры 5, 7, 3; составьте все возможные фигуры из заданных геометрических элементов.

3. Логические задачи при изучении нового материала.

  1. Нахождение закономерностей: 22, 25, 28…5, 15, …, 35 739, 638… 909, 899,…,…, 869.

  2. Значения разрядности чисел. Пример: какое будет число,

если в числе 427 число десятков увеличить на 4, а число единиц уменьшить на два.

  1. Составление задач по данному выражению, а так же задач, где известны лишь общие характеристики данных. Пример: составьте задачу, где известно одно из слагаемых.

4. Для самостоятельной работы используются задачи с поэтапным осложнением.

  1. Задачи на сравнение вида «одинаковое - иное».





















  1. Задачи с мысленным наложением двух рисунков друг на друга, и их детальным сравнением.

Условие задачи

























Ответы к задаче















  1. Словесно – логические задачи.

  • Если на лист простой бумаги синего цвета положить лист копировальной бумаги красного цвета и провести по нему линию карандашом желтого цвета, то какого цвета будет линия на листе простой бумаги?

  • Через 5 лет Коле будет столько же лет, сколько сейчас Маше. Кто младше?

  • Через 4 года Ване будет на 2 года меньше, чем Славе через 7 лет. Кто старше?

  • Юля веселее Аси, Ася легче Сони. Соня сильнее Юли, Юля тяжелее Сони, Соня печальнее Аси, Ася слабее Юли. Кто самый веселый, самый легкий, самый сильный?


Приложение 3

Зак А.З. Задачи для развития логического мышления// Начальная школа. 1996. № 6.

Задача 1. было 3 фигурки: треугольник, круг и квадрат ( учитель одновременно изображает это в левой части доски). Каждая из них жила в одном из трёх домиков:1- с высокой крышей и маленьким окном, 2- с высокой крышей и большим окном, 3- с низкой крышей и большим окном ( говоря это учитель рисует домики). Треугольник и круг жили в домиках с большим окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей. Нужно отгадать, в каком домике живет каждая фигурка?.

Задача 2.Три буквы Г,Б, Л входили в состав трёх разных слов: в слове 1 начальная буква была Н, а последняя А, а в слове 2 начальная буква С, а последняя О, в слове 3 начальная буква Н, а последняя О. Буквы Г и Д были в словах с начальной буквой Н, а буквы Б,Л – в словах с последней буквой О .нужно узнать, в каком слове была каждая буква.

Задача 3. Четыре фигурки: круг, треугольник, квадрат и полукруг жили по одной в четырех разных домиках. Первый домик – с круглым окном и без трубы. Второй – с квадратным окном и трубой. Третий – с круглым окном и трубой. Четвертый – с квадратным окном и без трубы. Круг и треугольник жили в домиках с трубой, а треугольник и полукруг жили в домиках с квадратным окном. В каком домике жила каждая фигурка?

Задача 4. Катя, Соня, Галя и Тамара родились 2-го марта, 17-го мая, 2-го июля, 20-го марта. Соня и Галя родились в одном месяце, а у Гали и Кати день рождения обозначались одинаковыми числами. Кто, какого числа и в каком месяце родился?

Задача 5. Миша, Сережа, Дима, Валера, Костя рисовали машины. Кто-то рисовал пожарную красным карандашом, кто-то гоночную синим фломастером, кто-то грузовую коричневой ручкой, кто-то легковую синим карандашом, кто-то легковую коричневым фломастером. Миша и Сережа рисовали карандашом, Сережа и Дима рисовали одинаковые машины, Дима и Костя рисовали одинаковым цветом. Кто что рисовал?

Задача 6. Наташа, Валя, Маша и Лена вырезали из бумаги разные фигурки. Кто-то вырезал круг из бумаги в линейку, кто-то квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадраты из бумаги в линейку, кто-то вырезал флажки из белой бумаги. Валя и Галя вырезали круги, Галя и Наташа вырезали из бумаги в клетку, Наташа и Маша вырезали квадраты. Кто что вырезал?

Приложение 4

Русанов.В.Н. Игровое занятие Заяц и Ёж// Начальная школа. 1997. № 6.


- Ребята, вы, наверное, помните веселую сказку «Заяц и еж». Ее написали братья Гримм.

- Каким был заяц?

-Заяц был очень важный, гордый и глупый.

- Почему еж проучил зайца?

- Потому что заяц незаслуженно обидел его.

- Каким образом он проучил зайца?

Дети рассказывают.

- Сколько раз еж вынудил зайца пробежать поле?

- 73 раза!

Далее учитель сообщает, что это не единственный спор ежа с зайцем. Вот еще один.

- Однажды на полянке, она была совсем квадратной, гулял еж. Подходит к нему заяц и говорит:

- Это моя полянка! Я вчера гулял здесь со своей зайчихой.

- А я с ежихой и ежатами – позавчера. Моя полянка!

Заяц решил обмануть ежа.

- Не будем зря спорить. Давай-ка лучше поиграем. Кто выиграет, тот и станет хозяином.

- Давай ответил еж. – а как?

- Поляна – квадратная, поэтому разделим ее на 9 одинаковых клеток.

Так они и поступили.

Учитель показывает плакат и раздает карточки с фишками.

Заяц продолжал:

- А теперь встанем в противоположных углах (рис.1). Будем поочередно продвигаться из одной клетки в соседнюю (имеющую с первой общую сторону): вперед, назад, вправо или лево – как захочется, если, конечно, клетка свободна, но уж если один из нас окажется на клетке, имеющей общую вершину с клеткой противника, (на рис.2. такие клетки показаны штриховкой), то другой при своем очередном ходе может занять эту клетку, а первый на всегда покинет поляну.



З



Е






hello_html_m449ed5d9.gif






рис.1 рис.2

Задумался еж, затем спрашивает зайца:

- А кто первый ходит?

- Конечно же, я!. – ответил заяц.

- Как по-вашему, ребята, кто выиграет?

Дети рассматривают ситуацию, используя карточки с фишками. Учитель с помощью детей показывает на демонстрационной доске, как выигрывает заяц. (рис.3).

hello_html_7149c097.png

рис.3

Еж мгновенно сообразил, что такое условие выгодно для зайца. Но он не показал вида, что догадался об этом, и ответил:

- Что ж, согласен оставить за тобой право первого хода, но боюсь, что ежиха на нас может обидеться: ведь мы не учитываем ее интереса, а она так же имеет право на эту поляну. Давай играть вчетвером: я с ежихой, а ты с зайчихой. Встанем по углам: ты – рядом с зайчихой, а я рядом с ежихой.

- Если уж я один сумею прогнать ежа, - подумал заяц, - то с зайчихой и подавно это сделаю. И он согласился.

- Давайте, ребята, посмотрим, как мог передвигаться умный еж, стараясь оставить полянку за собой. Пусть один из зайцев займет клетку ниже, тогда игра будет развиваться так, как показано на рис.4.а. Во всех случаях следующий ответный ход зайца приведет его к проигрышу (рис.4.б.).

hello_html_m7e2d9c89.png

рис.4.б

Если же один из зайцев займет клетку левее (правее), то ход то ход игры будет соответствовать рис.5.а. И по-прежнему во всех случаях заяц проиграет (рис5.б.).

hello_html_6573286e.png

рис.5.а

рис.5.б

Очень важно сообразить, что после второго хода зайца ему не нужно торопиться прогонять зайца с полянки: это можно успешно сделать чуть позже.

После того как дети под руководством учителя разберутся в ситуации, выигрышной для ежей, можно продолжить игру, изменив условия, например, так: когда ежи сделали свой хитрый ход, заяц увидел что ему с зайчихой придется навсегда покинуть полянку. И тогда заяц стал спорить:

- Мы можем встать по-другому: я с зайчихой – в противоположных углах, и ты с ежихой – таким же образом. Умный еж не стал вступать напрасно в спор, он принял предложение. И вновь выиграл. На этот раз его победа была окончательной: заяц признал свое поражение.

- Ребята, подумайте дома как еж добился победы?

На рис.6.а и б показано, как может еж добиться победы, если зайцы встанут в противоположных углах клетки.

hello_html_m2cc3f09c.png

рис.6.а

рис.6.а

Приложение 5.

Мельник Н.В.Развитие логического мышления при изучении математики// Начальная школа. 1997. № 5.


  1. Назовите свойства кубика.

  2. Сравните три предмета: линейку, треугольник и карандаш – и выделите общие и отличительные свойства.

  3. Н

    А

    Б

    е считая изображения предметов и геометрических фигур, определите, где их больше, а где меньше.

hello_html_79d77a51.png

А

А

Б

Б

  1. Выберете предметы, в которых вы хотите выделить свойства.

  2. Учитель называет свойства предмета, а дети должны назвать сам предмет.

  3. Учитель выделяет основные свойства предмета, без которых он не может существовать. Дети называют предмет.

  4. Петя не выше Вали. Валя не выше Пети. Валя имеет рост 142 см. какой рост у Пети?

  5. В стране Величия наступает праздник. Надо разучить танцы. Рост танцоров в паре должен быть одинаковым. Вызываются два мальчика – Петя и Коля, у которых одинаковый рост. Но, оказывается, что в паре должны быть девочка и мальчик. Петю сравнивают по росту с несколькими девочками и среди них находят Таню, такого же роста. Сможет ли Таня танцевать в паре и с Колей?

  6. Коля и Петя идут в школу. Они вышли из своих домов на встречу друг другу. Петя шел со скоростью 5 км/ч, Коля – 4 км/ч, через 2 часа они встретились. Кто из них оказался ближе к школе в момент встречи?

  7. Найти неизвестное число:

Селедка

Лед

Солистка

Лист

72350

?


Самолет

Лом

Скворец

Ров

350291

?


1 Программы общеобразовательных учреждений .М; Просвещение, 1996.

2 Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики// Начальная школа. 1997. №5.


3 Гайтшут А.Г. Математика в логических упражнениях. Киев, 1985.

4 Варегина Ф.В., Смирнова С.В. Дидактические игры и логические задачи на уроках математики в начальных классах. Тула, 1990.

5 Труднев В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе. М.: Просвещение, 1975.

6 Лоповок Л.М. Математика на досуге. М.: Просвещение, 1981.

7 Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М., 1998.


8 Советский энциклопедический словарь М.: советская энциклопедия, 1982 .

9 Истомина. Методика обучения математики в начальной школе.

10 Зак А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления детей. Ярославль, 1998.

11 Береславский Л.Я. Азбука логики: как помочь ребенку учиться легко и с удовольствием. М., 2001.

12 Киселёва Н. Введение в основы логики // Частная школа. 1996. №6.


13 Афонькин С.Ю. Учимся мыслить логически: Увлекательные задачи для развития логического мышления. СПб., 2002.

14 Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М., 1998.


15 Тихомирова Л.Ф., Басов А.В. Развитие логического мышления детей. Ярославль, 1996.

16 Камалова Т., Никольская И. Логические упражнения: Задания для учащихся 1-3 кл. М., 1980

17 Жалдак Н.Н. Развитие логичности мышления у младших школьников // Начальная школа 2000 №7


18 Пентегова.Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики //Начальная школа 2000 №11


19 Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики//Начальная школа 1997 №5


20 Швайк С.И. Решение логических задач повышает интерес к чтению. //Начальная школа 1997 № 6.



21 Зак.А.З Задачи для развития логического мышления// Начальная школа 1996 № 6


22 Русанов.В.Н. Игровое занятие Заяц и Ёж// Начальная школа 1997 № 6


23 Тонких А.П, Кравцова Т.П., Лысенко Е.А и др. Логические игры и задачи на уроках математики. Ярославль, 1997.

24 Труднев В.П. Считай, смекай, отгадывай. Спб., Лань,1994.

25 Гин С. Мир логики. М., 2001.

26 Логика. Для обучения детей в семье, детском саду и далее… Екатеринбург У- Фактория, 2000.



27 Барташников А.А, Барташникова И.А. Учись мыслить. Харьков. «Фолио», 1998.


28 Гетманова А.Д. Занимательная логика. М.: Владос, 1998.

29 Нежинская О.Ю.Логика. Занимательные материалы для развития логического мышления. Волгоград, 2004.

30 Волина В.Праздник числа. Занимательная математика для детей. М.: Знание,1993.

31 Керова В.Г. Нестандартные задачи по математике.М.: Вако,2006.

32 Сухих И.Г. Занимательные материалы. М.: Вако,2004.

33 Волина В. Занимательное азбуковедение. М.: Просвещение, 1991.

34 Учебник математики для начальной школы. Сост. Моро, Бантова, Бельтюкова и др.

35 Программы общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1996.

36 Учебник математики для начальной школы. Сост. Петерсон Л.Г

37 www.dsu.edu.ru


Краткое описание документа:

В настоящее время именно математике отводится ответственная роль в развитии и становлении активной, самостоятельно мыслящей личности, готовой конструктивно и творчески решать возникающие перед обществом задачи. Именно математика вносит большой вклад в развитие логического мышления детей, воспитание таких важных качеств научного мышления, как критичность и обобщенность, формирование способности к анализу и синтезу, умений выдвинуть и сформулировать логически обоснованную гипотезу и т.д. Математикой воспитываются и такие качества ума и речи, как точность, четкость, ясность.

Данная статья поможет взглянуть на систему математического образования с другой стороны.

Автор
Дата добавления 18.01.2015
Раздел Начальные классы
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров885
Номер материала 315647
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх