Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Есеп шығаруға үйренудің әдістері
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Есеп шығаруға үйренудің әдістері

библиотека
материалов



Есепті қалай шығарамыз?



Д.Пойа осы сұраққа жауап беруге тырысқан және белгілі дәрежеде жауап тапқан. Осы есеп шығаруға үйренудің әдістерін былай баяндаған.



1.1- кесте.

Есеп шығаруға үйренудің әдістері

1.

Есепті анық түсіну қажет.


Есептің қойылуын түсіну.

Не белгісіз? Не берілген? Есептің шарты неден тұрады? Осы шартты қанағаттандыру мүмкін бе? Белгісізді анықтап табу үшін берілген шарт жеткіліктіме? Әлде жеткіліксіз бе? Немесе артық па? Немесе қайшылықта ма? Сызбасын салыңыздар? Ыңғайлы белгілеулерді енгізіңіздер.

(1.1- кесте жалғасы)

2.

Берілгендер мен белгісіз-дер арасында-ғы байланыс-ты табу. Егер ол байланыс-тар бірден табылмаса, онда қосалқы есептерді қарастыру қажет. Есепті шығару жоспарына келу қажет.



Шешу жоспарын құру.

Есеп шығаруға әсерін тигізетін теореманы, тұжырымды білесізбе? Белгісізді анықтап қараңыздар. Осындай немесе оған ұқсас белгісізі бар есепті еске түсіруге тырысыңыз. Берілген есепке ұқсас және шешуі белгілі есеп табылды делік. Ол есептің шешу тәсілін қолдануға болама? Осы тәсілді пайдалану мүмкіндігін туғызу үшін қандай да бір қосымша элемент енгізудің қажеті бар ма? Егер берілген есепті шығара алмасаңыз, онда алдымен оған ұқсас есеп шығаруға тырысыңыз. Есептің бір бөлігін жеке қарастырып шешуге болмай ма? Есеп шартының белгілі бір бөлігін қалдырып, басқа бөлігін алып тастасақ, онда есептің сұрағын іздеп табу қалай өзгереді? Белгісізді анықтап табуға болатын басқа бір берілгендерді ойлап табуға болмай ма?

Белгісізді немесе берілгенді, қажет болған жағдайда екеуін де өзгертіп, жаңадан шыққан белгісізді және, берілгенді біріне-бірін байланыстыруға болар ма екен? Сіз барлық берілгендерді пайдаландыңыз ба? Барлық шарттарды? Есептегі барлық негізгі ұғымдарға назар аудардыңыз ба?

3.

Шығару жоспарын іске асыру керек.


Жоспарды іске асыру

Шығару жоспарын жүзеге асырғанда әрбір қадамды бақылау қажет. Сіз жасаған қадамның дұрыстығына көзіңіз жете ме? Оңың дұрыс екенін дәлелдей аласызба?

4.


Табылған шешуді зерттеп білу қажет.

Алынған шешімді зерттеу.

Алынған қорытындыны тексеруге болмас па есен? Шешу жолын тексеруге бола ма? Сол шыққан қорытындыны басқа жолмен алуға болар ма екен? Оны бірден анықтауға бола ма? Алынған қорытынды немесе қолданылған тәсілді қандай да бір басқа есепті шығаруға пайдалануға болмас па екен? Қолданылған тәсілді жалпылауға бола ма?



Сонымен, мәтінді есепті шығарудың көрсетілген барлық әдіс-тәсілдерін мұғалімі толық меңгеріп, өздерінің іс-тәжірибелерінде оқушыларға осы әдіс-тәсілдердің мән-жайын түсіндіріп, оларды қолдануды біртіндеп үйретудің нәтижесінде ғана олар өздігімен мәтінді есеп шығаруға білуде жетістікке жете алады.

Қолданбалы математиканы математикадан тысқары пайда болатын есептерді оңтайлы шешу туралы ғылым деп сипаттауға болады. Сондықтан, қолданбалы есеп математикадан тысқары қойылған және математикалық құралдармен шешілетін есеп. Зерттеу авторларының көпшілігі қолданбалы есепті шешудегі 3 кезенді бөліп көрсетеді.

1. Қалыпқа келтіру, яғни берілген есепті табиғи тілден
математикалық терминдер тіліне аударып, оның моделін құру. Бұл
кезең, әдетте математикалық есеп моделін құру деп аталады.

2. Есепті модель ішінде шешу.

3. Алынған нәтижені талдау, яғни, алынған нәтижені
(математикалық шешімді) бастапқы есептің табиғи тіліне аудару.

Мәтінді есептерді шешкен кезде оқушы үшін бірінші кезең өте қиын болады. Есеп шарты, әдетте табиғи тілде жазылатыны белгілі. Сондықтан бұл қиындықтардан шығу үшін есепті табиғи тілден математикалық тілге аударуда оқушылардың дерексіздендіре білу деңгейінің жеткілікті дәрежеде жоғары болуы қажет. Шынайы объектімен оның сипаттарынан аулақтау негізінде математикалық объектіге өту күрделі операция, сондықтан, есепті табиғи тілден математикалық тілге аударуға баса назар аударылуы тиіс.

Есеп. Шаруашылық күн сайын 40 га жерге егін егуі керек еді. Егіншілер күн сайын 52 га жерге егін егіп, жұмысты жоспарланған мерзімнен 2 күн бұрын аяқтады. Егер жоспарланған жер көлемінен 4 га артық жерге егін егілсе, онда егіншілер неше гектар жерге егін еккенін табыңыздар.

Есепте ізделінді егістік алқабын х-пен белгілесек, оның берілген шамаларға тәуелділігін арифметикалық жолмен табу қиынға соғады және ол ыңғайлы емес. Сондықтан есепті жеңіл арифметикалық есеп түрінде қайта құрып жазып қарастыру теңдеу құра білуге көмектеседі.

Айталық, "есептің 40 га, 52 га және х га берілгендері бойынша 2 күн элементін табайық". Жұмыстың неше күн бұрын аяқталғанын білу үшін егіншілердің неше күнде жұмысты бітіргендерін ( hello_html_3908a2d1.gif күнде) және олардың жұмысты жоспар бойынша қанша күнде бітіру керек екендігін (hello_html_4983a0a3.gif күнде) анықтап, бұл өрнектердің айырмасын 2-ге теңестіру керек (2 күн бұрын бітірді), аламыз:

hello_html_m10740ccf.gif


Егер есептің ізделінді х элементі ретінде оның кез келген шамаларының біреуін белгілесек, онда бұған сәйкес арифметикалық амалдардың әр алуан қиындығы болады. Сондықтан есептің ізделінді х элементін сәйкес арифметикалық есеп мейілінше жеңіл болатындай етіп таңдаған дұрыс болады. Есептерді теңдеу құру арқылы шешу әдетте жоғарыда көрсетілген жоспар бойынша жүргізіледі.

Есеп. Тракторшылар бригадасы 240 га жерді жырту керек еді. Бригада күндік жоспарын 1 га артық орындап, жұмысты жоспарлаған мерзімнен 8 күн бұрын бітірді. Бригаданың бастапқы күндік нормасы қанша гектар және жоспар бойынша барлық жұмысты неше күнде бітіруі тиіс еді?

Осы есепті шығару үшін жұмыс мөлшері – бригаданың күндік нормасын сол жұмысты бітіруге кететін уақытқа көбейткен нәтижеге тең болатындығын білу керек, яғни hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_37ca4542.gif, мұндағы hello_html_38fa53ee.gif - жұмыс мөлшері, hello_html_2b8a2485.gif -бастапқы күндік норма, hello_html_m5b07b31b.gif - осы жұмысты бітіру уақыты. Бұдан жұмыс мөлшері мен уақыт белгілі болғанда, күндік норманы табуға болатындығы шығады, яғни hello_html_7db5d5b8.gif. Талдау жасау кезінде осы айтылғандардан басқа "Есепте шамалардың қандай мәндері туралы айтылып тұр және олардың қайсылары белгілі?" деген сұраққа жауап берген жоқ.

Есепте бригаданың жұмыс мөлшері белгілі, ол – 240 га, бригада күндік нормадан 1 га артық орындады және ол жұмысты жоспарлаған мерзімнен 8 күн бұрын бітірді. Сонымен қатар шамалардың төрт сан мәні белгісіз. Олар: бригаданың күндік нормасы, барлық жұмысты жоспар бойынша бітіру уақыты; күніне қанша гектар жер жыртқандығы және барлық жұмысты қанша уақытта бітіргендігі. Осылайша есепті талдап орындауға болады.

Есеп шығарудың екінші кезеңі айнымалыны енгізу. Берілген белгісіз төрт шаманың біреуін ғана х-пен белгілейміз. Есептің сұрағы бойынша табылатын белгісізді (жұмыстың күндік нормасы) х-пен белгілеген ыңғайлы екендігін мұғалімдер тәжірибесі көрсетіп жүр.

Берілген есепте шамалар уақыт (күн) және аудан (га) өлшемдерімен берілгендеріне оқушылардың назарын аудару керек.

Есеп шығарудың үшінші кезеңін қарастырайық. Мұнда оқушылар назарын қалған үш белгісіз шамаларды (жұмыс жоспары бойынша бітіру уақыты, бригаданың күніне жыртқан жер алқабы және барлық жұмысты неше күнде бітіргені) берілген 1 га, 8 күн шамалармен және х айнымалы арқылы өрнектеуге аудару қажет. Мұнда х айнымалысын белгілі сан деп ұйғарып, осы жағдайда есепті арифметикалық тәсілмен шығарған жөн. Сондықтан берілген есепті осы жағдайға сәйкес қайта тұжырымдаймыз:

«Тракторшылар бригадасы 240 га жерді жырту керек еді. Бригада күндік нормасын 1 га артық орындап, жұмысты жоспарлаған мерзімнен 8 күн бұрын бітірді». Мұнда келесі белгісіз шамаларды өрнектеуді анықтау керек:

1) Бригаданың жоспар бойынша жұмысты бітіру мерзімі: hello_html_m777dd4d1.gif күн;

2) Оның күніне қанша гектар жер жыртқандығы: hello_html_49f8209a.gifга;

3) Барлық жұмысты неше күнде бітіргендігі hello_html_7a1e3a4c.gif күн.

Төртінші кезеңде оқушылар теңдеу құрулары керек. Теңдеу есептің пайдаланбаған шарты (бригаданың жұмысты 8 күнде бітіргені) бойынша құрылады: hello_html_2b7dd9e.gif, яғни бригаданың жұмысты бітіруінің жоспарлаған мерзімі ( күн) 8 күнге кемиді (бұрын бітіреді).

Есептің шешуін тексерудің негізгі мақсаты-теңдеу түбірінің сан мәні оның сұрағына жауап болатын-болмайтындығын анықтау.

Есеп. Арақашықтығы 2720 км болатын А және В пункттен бір мезгілде біріне-бірі қарама-қарсы бағытта екі пойыз шығып, 20 сағаттан кейін кездесті. Олардың біреуі 4 сағатта 304 км жүрді. Екінші пойыздың жылдамдығын табыңдар.

Шешу:


Шамалар

Пойыздар

Пойыздардың жылдамдығы (км/сағ)

Пойыздардың жүрген жолы (км)

Бірінші пойыз

Екінші пойыз

2) hello_html_m51e1fe81.gif

1) х

3) hello_html_7940618b.gif

4) hello_html_45962e09.gif


Теңдеу құрамыз: hello_html_33b240ea.gif.

Сонымен мәтінді есепті теңдеу құру арқылы шығару мына біліктерді қамтиды:

- шамаларды бөліп көрсету және оларды әріптермен таңбалау;

- сөзбен тұжырымдалған тәуелділікті өрнек түрінде жазу;

- теңесетін өрнектерді құрастыру;

- шамалар арасындағы тепе-теңдіктердің көмегімен өрнектеу;

- теңдеу шешуді берілген есеп "тілінде" түсіндіру.

Мектептегі математика курсындағы кейбір тақырыптарды оқытудың қолданбалы бағытын нығайту үшін, есептер жүйесіне практикалық жағдайды модельдеуге математикалық білімді колдануды көрнекі көрсетуге немесе керісінше, қандай-да бір математикалық модельмен сипатталатын әр түрлі табыстарға мысалдар келтіру арқылы формуланың практикада қолданылуын, математиканың рөлін, абстрактілі ғылым екенін оқушыларға көрсетуге мүмкіндік беретін есептерді енгізу қажет.

Мысалы:

Есеп. hello_html_m6f05d627.gif теңдеуін шешіңдер.

Есеп. Ұзындығы 116 м құрылыс материалы бар. Онымен
қ
ұс фермасындағы ауданы 4,8 а, тіктөртбұрыш тәрізді үйрек
қамайтын орынды қоршап
шығуға бола ма? Оның қабырғаларының ұзындығын анықтандар.

3. Есеп. Зауыт белгіленген уақытта 480 машина жасап
шығаруы керек еді. Әр күні бір машинадан артық жасай отырып,
белгіленген уақыттан бір күн артық жұмыс істеп, жоспардан артық
59 машина жасады. Завод белгіленген уақытта жоспардан артық
неше машина жасады?

4. Есеп. Ауылдан қалаға қарай велосипедші қашықтығы 24 км
жолмен шықты. Ол қайтарда ұзындығы 30 км жолмен жүріп ауылға
келді. Қайтар жолда жылдамдығын 2 км/сағ арттырса да, жолға 6
мин артық жұмсады. Велосипедші қайтар жолында қандай
жылдамдықпен жүрді?

Берілген есептер бірден қарағанда әр түрлі сияқты, өйткені есептердің құрылымы және шығарылу әдістері әр түрлі. Мысалы,

1-есеп. Квадрат теңдеуді шешуді талап етеді.

2-есеп, Практикалық мазмұнды, ол құрылымы қосындысы және көбейтіндісі бойынша сандарды табуға берілген есепке жатады.

3-есеп. Жұмысқа байланысты берілген.

4-есеп. Қозғалысқа берілген.

2, 3, 4 есептердің математикалық моделін құрайық.

2-есеп.hello_html_m4aadd892.gif , мұнда х - қабырға ұзындығы.

3-есеп. hello_html_37daecb5.gif , мұнда х - бір күнгі шығарылатын

машинаның саны.

4-есеп. hello_html_ae6b918.gif, мұнда х - велосипедшінің ауылдан қалаға барғандағы жылдамдығы.

Осы теңдеулерді шешу hello_html_m6f05d627.gif теңдеуін немесе 1-мысалды шешуге келтіріледі.

2-4 есептерді талдап, шешкеннен кейін оқушылар теориялық мәселелердің өмір практикасымен байланысты екеніне көздері жетеді.

Мұндай топтағы есептерді қолданудың артықшылығы математиканың өмірде қолданылуын көрсетуде септігін тигізіп, соның негізінде оқушылардың ойлауының кеңдік, тереңдік, тиімділік сияқты сапаларын тиімді қалыптастыруға көмектеседі.

2-4 есептердің әрқайсысының табиғаты әр түрлі, бірақ та, осы есептердің элементтерінің арасындағы тәуелділікті математикалық өрнектеу, ол тәуелділікті осы есептердің математикалық моделі болатын мынадай теңдеу арқылы: hello_html_64ac9f77.gif жазуға жол ашады. Бұл теңдеу есептердегі элементтердің байланысын "таза" түрде, нақты мазмұннан тыс көрсетеді.

Әртүрлі мазмұнды арнайы есептерді пайдалану, яғни оларды 5-тен 9-шы сыныптарға жүйелі түрде ұсыну, есептердің мазмұны арқылы нәтиже алуға, оқушылардың есепке деген қызығушылығын оятуға бағытталған әдістемелік амалдарды қолдану оқушылардың білімін жетілдіруге жағдай жасап, олардың математикалық білімін жаңа құбылыстарды, фактілерді талдау үшін қолдануына мүмкіндік береді.

Есеп. Жұмыс уақыты 7 сағаттан 6 сағатқа қысқартылды. Жұмысшының еңбек ақысы 5% арту үшін еңбек өнімділігін неше процентке арттыру керек.

Шешуі:

  1. 7 сағатта табатын ақша hello_html_m5547f17b.gif

  2. hello_html_778bac61.gif% өскен ақша hello_html_m61845bb5.gif

  3. hello_html_m11fb3721.gif- 1 сағатта өндіріліген еңбекке төленетін ақша

4) 1 сағатта табатын ақша hello_html_m1a017650.gif

  1. 6 сағатта табатын ақша hello_html_m554993fa.gif

  2. еңбек өнімділігін арттырсақ, hello_html_2162c868.gif-ға арттырсақ, одан


hello_html_m377da333.gifhello_html_76cc86b1.gif

Жауабы: 22,5%


Есеп. Жүк машинасымен 10 км қашықтыққа тасымалдағанда жұмсалатын толық шығын 750 теңге, ал 30 км қашықтыққа тасымалдағанда - 1500 теңге. Жүк тасымалдағанда жұмсалатын толық шығынды сипаттау үшін сызықтық функцияны құрыңыз. Жүкті 24 км қашықтыққа тасымалдау шығынын анықтаңыз.

Шешуі:

Ізделінді түзудің екі нүктесі берілген. А(10; 750), В(3;1500).

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің формуласын құрамыз.

hello_html_m761fd857.gif

Жүкті 24 км қашықтыққа тасымалдау шығынын анықтаймыз.

у = 37,5 ·24 + 375 =1275

Жауабы: 1275 теңге

Оқушылардың жақын әрі қол жететін фактілермен жұмыс істеуі өз кезінде олардың танымдық және бағалау тәжірибесін байытуға жағдай жасайды, оқушылардың сезімі мен көңіл күйіне әсер етіп, бұл фактілерді терең меңгеруіне, жақын қабылдауына ықпал етеді.

Есеп. Жанұя мүшелері екі бөлмеге орналасқан. Әрбір бөлменің ұзындықтары 5,2 м, бір бөлменің ені 3,6 м, екінші бөлменің ені 4,4 м. Жалпы жанұя тұратын бөлменің ауданын анықтандар.

2. Белсенді ойлау әрекетін ұйымдастыру немесе есеппен жұмыс істеуге шығармашылық элементтерін енгізу әдіс-тәсілдеріне, фактілеріне сәйкес материалға оқушылардың назарын аудару.

Есеп. Екі топтың балалары 60 жәшік алмұрт жинаған. Оны мектеп асханасына өткізгенде біреуінің жинаған 9 жәшік алмұртының салмағы екіншілер жинаған үш жәшіктің салмағындай болған. Әрбір топ қанша жәшіктен жинаған? Жауабы: I топ - 15 жәшік, II топ - 45 жәшік.

Есептердің шешімі оқушылардан сипатталған оқиғаның математикалық моделін құра білуді, сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді ғана емес, сондай-ақ алдын ала шамалар арасындағы тәуелділікті белгілеуді, жетпейтін мәліметтерді анықтауды, оларды анықтамалық әдебиеттерден табуды, онымен есептер мазмұнын толықтыруды талап етеді. Осындай есептерді шығару балалардың үлкен қызығушылығын тудырады, олардың ойын онда қарастырылып отырған экономикалық мәселеге аударып, экономикалық ойлауының қалыптасуына әсерін тигізеді.

3. Есептің сұрағы оқушылардың назарын қажетті аспектіге аударатындай, қарастырылған мәселеге өз пікірін немесе қарым-қатынасын білдіруге, өзіндік ой түюге итермелейтіндей етіп қойылады.

Мысалы, оқушыларға мынандай есептер ұсынуға болады:

1. Бір бөлмелі пәтердің құрылысына мемлекет 420000 теңге жұмсайды. Елдегі орташа пәтерақы 1 м2 алаңға 14 теңге. Ауданы 20 м2 болатын бір бөлмелі пәтердің бір жылдағы, он жылдағы, жиырма жылдағы пәтерақысын есептеп шығарыңдар. Көрсетілген пәтерақы бойынша 420000 теңгені неше жылда төлеп шығуға болады?

2. Біз асханадан сатып алатын бір тілім нан 1 теңге түрады, салмағы - 80 грамдай болады. Егер бір тілім нанның әрқайсысының 1/4 бөлігін тастасаңдар, біздің мектеп оқушылары бір жылда қанша нан рәсуә етеді? Сендер бір күнде пайдаланылатын нанның канша пайызы ысырап болады?

Мұндай есептерді шешу оқушылардан жоспарлы материалды меңгеру ғана емес, күнделікті өмірде кездесетін бірқатар мәліметтерді (мектептегі оқушылар саны, бір жылдағы күн саны, тәуліктегі пайдаланылатын нан көлемі) білуді де талап етеді.

Мектеп курсының "Проценттер", "Арифметикалық орта","Диаграмма", "Графиктер" және т.б. тақырыптарының қолданбалы бағытын күшейтудің кейбір әдістемелік аспектілеріне тоқталайық.

Есеп мазмұны шаруашылықта жиі кездесетін процентке берілген мәтіндік есептерден басқа "Проценттер" тақырыбы бойынша 5-9 сыныптардың бүкіл математика курсында қайталауға арналған жаттығулар қолданбалы бағдардағы есептермен толықтырылды. Мысалы, оқушыларға бірнеше шама (бес жыл ішінде алынған мұнай, зауыттың рентабельділігі, 1 га-дан астықтың түсімі және т.б.) ұсынылады. Олардың ішінен процентпен көрсетуге болатындарын алу керек. Есепті тексергенде балалар әр түрлі мысалдар қарастырып соның негізінде ойларын жинақтап, мысалы еңбек өнімділігінің артуы, уақытты үнемдеу, жоспарды орындау және т.б. процентпен өрнектелетінін айтады.

Осы сияқты тәсілдерді "Арифметикалық орта" тақырыбын өткенде де пайдаланады. Арифметикалық орта болып табылатын шамаларды меңгертуде, шаруашылықтың дамуының жылдық орташа көрсеткішін есептеу жаттығулары пайдаланылады.

Мәселе есептерді шешуде қандай да бір ортақ шешу әдісі жоқ, алайда есептерді шығарғанда, келесі нұсқаны ұстанған дұрыс:

1. Белгісізді анықтау. Көп жағдайда есепте анықталатын шаманы белгісіз ретінде алады. Белгісіз шамалар көп болса, теңдеулер немесе теңсіздіктерді құру жеңіл болады.

2. Теңдеулерді құру . Теңдеулер жүйесін құру барысында есептің барлық шарттарын қолдануға болады.Теңдеулер саны белгісіздер санына сәйкес болуы керек.

3. Қажетті белгісізді немесе белгісіздер комбинациясын анықтау. Есептің шартына қарай шешу барысында кейбір түбірлерді ескермеуге болады. Мәтінді есептерді төмендегі топтарға жіктеуге болады:

  1. Қозғалысқа арналған есептер.

  2. Жұмыс және еңбек өнімділігіне арналған есептер.

  3. Концентрация және проценттік құрамға арналған есептер.

  4. Арифметикалық амалдар компоненттерінің арасындағы байланыстарға есептер.

  5. Процентке арналған есептер.

Қозғалысқа арналған есептер

Бұл типтегі есептердің негізгі компоненттері:

hello_html_e8783a9.gif- жылдамдық, hello_html_25ca66e5.gif уақыт.

hello_html_3faa6296.gif- hello_html_25ca66e5.gifуақыт ішінде жылдамдықпен жүрілген жол.

hello_html_38c9e42.gif; hello_html_42fbd27.gif; hello_html_m7ad446bd.gif

Шешу жоспары:

1) Белгісіз шама ретінде қашықтықты немесе қозғалыстағы обьектінің жылдамдығын қарастырады.

2) Мұндай есептерде теңдеулер құру үшін келесі ережелер ескеріледі:

а) Егер екі обьект бір уақытта қарама-қарсы бағытта қозғалысты бастаса, олардың кездесуіне дейінгі уақыт hello_html_7885aff9.gif шамасына тең болады.

ә) Егер обьектілер қозғалысты әр түрлі уақытта бастаған болса, онда кездесуге дейінгі уақытты бұрынырақ шыққан обьект көбірек жұмсайды.

б) Егер обьектілер бірдей қашықтықты жүріп өткен болса, онда бұл қашықтықты осы есептің жалпы белгісізі деп қарастырған дұрыс.

в) Егер екі обьект бір бағытта қозғалыс жасаса hello_html_m67e667d5.gif, бірінші объектінің екіншісін қуып жету уақыты hello_html_m4d034166.gif.

Есеп: Екі жүгіруші 2 минут аралығымен бірінен соң бірі жүгіреді. Екінші жүгіруші біріншісін бастапқы орыннан 1 км қашықтықта қуып жетеді, ал бастапқы нүктеден 5 км қашықтыққа келгенде, кері бұрылып ол бірінші жүгірушімен кездесті. Бұл кездесу бірінші жүгірушінің стартынан 20 минут уақыттан соң жүзеге асты. Екінші жүгірушінің жылдамдығын анықтаңдар.

Шешуі:

Жүгірушілердің жылдамдығын hello_html_aaed039.gif (км\сағ), hello_html_215e2227.gifдеп белгілейміз.

Шамалар

Қозғалыс

1 жүгіруші

2 жүгіруші

1 жүгіруші

2 жүгіруші

hello_html_38c9e42.gif(км)

1

1

hello_html_53689d74.gif

hello_html_m655366f2.gif

hello_html_m704a5657.gif(км/сағ)

hello_html_347c04f0.gif

hello_html_5c4c257b.gif

hello_html_347c04f0.gif

hello_html_5c4c257b.gif

hello_html_m7ad446bd.gif

(сағ)

hello_html_5b037ed9.gif

hello_html_ma967f21.gif

hello_html_m76044bad.gif

hello_html_34352fab.gif

hello_html_m61a415cb.gif2 мин артық



hello_html_30af0262.gifекенін ескере отырып, теңдеулер жүйесін құрып оны шешеміз:

hello_html_m7da2ae13.gif


Бірінші теңдеуді екіншісіне бөлеміз:


hello_html_7b2347f.gif


Жауабы: 20км\сағ.

Есеп. Арақашықтығы 2200 км болатын А және В аэродромдарынан бір уақытта екі ұшақ шығып, олар 2 сағаттан соң кездесті. Біріншісі В пунктіне екінші А пунктіне жетуіне қарағанда 4 сағат 35 минут бұрын жетті. Ұшақтардың жылдамдықтарын анықтаңдар.

Шешуі:

Ұшақтар жылдамдықтарын hello_html_aaed039.gif (км\сағ), hello_html_m2d7144a3.gifдеп белгілейміз.





Шамалар

Қозғалыс

Жалпы шамалар

1 ұшақ

2 ұшақ

hello_html_38c9e42.gif(км)

2200

2200

2200

hello_html_m704a5657.gif(км\сағ)

hello_html_347c04f0.gif

hello_html_5c4c257b.gif

hello_html_62bb9499.gif

hello_html_m6586b97a.gif(сағ)

hello_html_m1852b81b.gif

hello_html_b100f06.gif


2

4 сағ 35 мин кем

hello_html_2b3ff2d2.gif



hello_html_mb5f3187.gifекенін ескере отырып, теңдеулер жүйесін құрып оны шешеміз:

hello_html_3d618fdd.gif

hello_html_540b9e0d.gif

Теңдеулер жүйесін ықшамдап, мына теңдеуді шешеміз:


hello_html_700e7375.gif


hello_html_m732a9d36.gifесептің шартын қанағаттандырмайды. Сонымен, hello_html_79b2e502.gif

Жауабы: 800, 300 км\сағ.

Есеп: А пунктінен В пунктіне және В пунктінен А пунктіне 2 жолаушы шықты. Бірінші жолаушы жолдың жартысынан өткенде, екінші жолаушының 24 км жолы қалады. Ал екіншісі жолдың жартысын жүріп өткенде, бірінші жолаушының 15 км жолы қалады.

Бірінші жолаушы жүретін жолының соңына жеткенде екінші жолаушының жүруіне қанша шақырым қалады?

Шешуі. А пунктінен В пунктіне дейінгі қашықтық S (км), бірінші жолаушының жылдамдығы – х (км/сағ), екінші жолаушының жылдамдығы – у (км/сағ).

hello_html_e8802a6.gif

Шарты

Теңдеу

Бірінші жолаушы жолдың жартысынан өткенде, екіншісінің 24 км жолы қалады.

hello_html_m3e4770f8.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Екінші жолаушы жолдың жартысын жүріп өткенде, біріншісінің 15 км жолы қалады.

hello_html_25df09d4.gif


Теңдеулер жүйесін құрамыз:


hello_html_m50f62c39.gif

Белгілеу енгізенміз:hello_html_1cd9ba14.gif

hello_html_m5441a283.gif


Жүйенің сол жақ, оң жақ бөліктерін сәйкесінше көбейтіп, төмендегі квадрат теңдеуді аламыз:

hello_html_m74f005d7.gif

hello_html_m5c2e42a5.gif


hello_html_m4cd63463.gif шартты қанағаттандырмайды. Себебі hello_html_27e8b6b8.gif


hello_html_1ba8dd8c.gif


Демек, бірінші жолаушы жүретін жолының соңына жеткенде екінші жолаушының жүруіне


hello_html_71c8122d.gif

километр шақырым қалады.

Жауабы: 8 км.


Шеңбер бойымен қозғалыс

Берілген тақырыптағы есептерді шығару үшін келесі жағдайлар ескерілуі тиіс:

а) бір нүктеден шеңбер бойымен бір мезгілде екі обьект қозғалатын болса, олардың біреуі екіншісін алғашқыда қуып жетсе, онда осы сәтке дейінгі олардың жүріп өтетін қашықтығының айырмасы шеңбердің ұзындығына тең болады;

б) егер радиусы hello_html_m1c13e92f.gif шеңбер бойымен екі обьект hello_html_20c9c1fc.gif және hello_html_m1e5196f0.gif тұрақты жылдамдықтарыпен әр түрлі бағытта қозғалатын болса, онда олардың кездесетін уақыты hello_html_ma9fc649.gif формуласымен анықталады.

в) егер радиусы hello_html_m1c13e92f.gif шеңбер бойымен екі обьект hello_html_20c9c1fc.gif, hello_html_m1e5196f0.gif тұрақты жылдамдықпен бір бағытта қозғалатын болса, онда екеуінің кездесу уақыты hello_html_m25421d5c.gif hello_html_m3545840f.gif формуласымен табылады.

Есеп: Ұзындығы 60 м шеңбер бойымен бір бағытта бірқалыпты 2 нүкте қозғалады. Олардың біреуі екіншісінен 5с жылдамдырақ толық айналым жасайды. Әрбір келесі 1 минут сайын нүктелер сәйкес келіп отырады. Нүктелердің жылдамдықтарын анықтау керек.

Шешуі. Бірінші нүктеде x(сек) – уақытта толық айналым жасайды десек, онда екінші нүкте hello_html_m639a865.gif (сек), hello_html_m21419c8f.gif толық айналым жасайды.



жылдамдық

уақыт

арақашықтық

1 нүкте

hello_html_m5853653b.gif

hello_html_m5547f17b.gif

60

2 нүкте

hello_html_3a57b4a5.gif

hello_html_m5cc7e84.gif

60


hello_html_m7e6ba98c.gifнүктелер бір бағытта қозғалатынын ескеріп, теңдеулер құрамыз: hello_html_ma478ae0.gif hello_html_1b801560.gif

hello_html_m58a3867f.gif, hello_html_m41618f01.gif

hello_html_51d70094.gifшартты қанағаттандырмайды. Демек, бірінші нүктенің жылдамдығы - 4 м\с, екінші нүктенің жылдамдығы – 3м\с.

Жауабы: 4м/с, 3м/с.


Есеп: Ұзындығы 1350 м шеңбер бойымен бір бағытта екі велосипедші қозғалады. Бірінші екіншісін әр 27 мин қуып жетеді. Қарама-қарсы бағытта қозғалып олар әрбір 3 минутта кездеседі. Велосипедшілердің жылдамдықтарын анықтаңдар.

Шешуі: Велосипедшілер жылдамдығы х м\с, екінші нүктенің жылдамдығы – у м\с, hello_html_215e2227.gif

Шеңбер бойымен обьектілер қозғалысын анықтау формуласын қолданып, анықтайтынымыз:

hello_html_m794c57e0.gif


Жауабы: 15 км\сағ, 12 км\сағ.


Өзен бойымен қозғалыс

Өзен бойымен қозғалысқа арналған есептерде есте сақтау керек:



hello_html_413f052.gif

hello_html_6e2c9fda.gif


Есеп: Пароход өзен ағысымен 3сағ., ал өзен ағысына кері қарай 5 сағ. уақыт жұмсады. Ағыс жылдамдығы 5 км/сағ. Тынық судағы пароход жылдамдығын табыңыз.

Шешуі. Тынық судағы пароход жылдамдығы х км/сағ. x>5.


Шамалар

Өзен бойымен қозғалыс

ағыс бойымен

ағысқа қарсы

hello_html_m4167b76a.gif(км)

hello_html_3006d2f4.gifhello_html_4bf59708.gif

hello_html_42058509.gif

тең


hello_html_m704a5657.gif(км/сағ)

hello_html_358265a3.gif

hello_html_2e43a811.gif

hello_html_m69710f0c.gif(сағ)

3

5


Теңдеу құрамыз:

hello_html_m120bbd04.gif


Жауабы: 20 км\сағ.







Есеп: Моторлы қайық өзен ағысына қарсы 12 км және өзен ағысымен 12 км жүзіп өтті. Егер ол Өзен ағысына қарсы, өзен ағысымен жүрген уақыттан, 1 сағ артық жұмсаса және тынық судағы жылдамдығы 9 км/сағ болса, өзен ағысының жылдамдығын табыңыз.

Шешуі. Өзен ағысының жылдамдығы х км/сағ (0

Шамалар

Өзен бойымен қозғалыс

ағыс бойымен

ағысқа қарсы

hello_html_m4167b76a.gif(км)

hello_html_379ab46.gif

hello_html_379ab46.gif

hello_html_m704a5657.gif(км/сағ)

hello_html_m3ad6d8d4.gif

hello_html_2902d30f.gif

hello_html_m5b07b31b.gif(сағ)

hello_html_2e72c319.gif

hello_html_m606724e6.gif

hello_html_m236370b.gif1сағат көп



Теңдеу құрамыз:

hello_html_430c0627.gif


Жауабы: 3 км\сағ.


Есеп: Катер 96 км\сағ жылдамдықпен өзеннің ағысы бойымен А нүктесінен В нүктесіне дейін және кері қарай 14 сағат жүреді. А пунктінен бір мезгілде ағаш қайық шығады. Қайтар жолда катер мен қайық А пунктінен 24 км қашықтықта кездеседі. Катер тынық судағы жылдамдығын және ағыстың жылдамдығын анықтаңдар.

Шешуі: Катердің тынық судағы жылдамдығы х м\с, ағыс жылдамдығы – у м\с, hello_html_m2d7144a3.gif


Шамалар

Өзен бойымен қозғалыс


Жалпы

Өзен бойымен қозғалыс

ағыс бойымен

ағысқа қарсы

ағыс бойымен

ағысқа қарсы

қайық

hello_html_3faa6296.gif(км)

hello_html_7d945590.gif

hello_html_7d945590.gif


hello_html_7d945590.gif

hello_html_m584d4c8.gif

24

hello_html_e8783a9.gif(км/сағ)

hello_html_421a082d.gif

hello_html_45a2b989.gif


hello_html_17196b9d.gif

hello_html_m256f418.gif

hello_html_6f36e2df.gif

hello_html_3a8bf880.gif(сағ)

hello_html_m7e6fd2ae.gif

hello_html_m67afb210.gif

hello_html_2837a9e7.gif

hello_html_7b5a761e.gif

hello_html_2326606.gif

hello_html_16968d6e.gif

hello_html_78580d4b.gif






Теңдеулер жүйесін құрамыз:

hello_html_5983ec4a.gif


hello_html_4ce9ce66.gif

hello_html_m1fcdba5c.gif

Жауабы: 14км\сағ, 2км\сағ.


Жұмысқа және еңбек өнімділігіне байланысты есептер

Бұл типтегі есептердің негізгі компоненттері: hello_html_mf42da8a.gif - жұмыс, hello_html_m5b07b31b.gif - уақыт, hello_html_7ed5d375.gif-жұмыстың еңбек өнімділігі уақыт бірлігіндегі еңбек өнімділігі.

hello_html_282bbdd1.gif

Есепті шығаруда келесі жоспарды қолданымыз:

1) Бітірілуі тиіс жұмысты бірге теңестіріп аламыз.

2) Әр жұмысшының еңбек өнімділігін жеке тауып аламыз, яғни hello_html_6e268a16.gif, мұндағы hello_html_25ca66e5.gif – әр жұмысшының жеке алғанда жұмысты толық бітіре алу уақыты.

3) Әр жұмысшының жеке жұмыс істеген уақыттағы орындағын жұмысын табамыз.

4) Әр жұмысшының жеке жасаған жұмысының қосындысын жұмыс көлеміне теңестіру арқылы теңдеу құраймыз (егер есептің шартында жұмысшылар бірге орындаған болса).

Жұмысқа арналған бірнеше қарапайым есептерді қарастырайық.

Есеп. Жоспар бойынша тракторлық бригада 14 күнде егіс алқабын жыртуы тиіс еді. Бригада күніне жоспарланған межеден 5 га артық жер жыртады, сондықтан жұмысты 12 күнде аяқтады. Қанша гектар жер жыртылады?

Шешуі: Бригаданың еңбек өнімділігін x-деп белгілейік (га\күн), х>0


Шамалар

Жер жыртылуы


hello_html_679ae943.gif(га)


Жоспар бойынша

Іс жүзінде

hello_html_m1e5931a4.gif

hello_html_360001af.gif

hello_html_2d4ce154.gif бірдей


hello_html_7ed5d375.gif(га\күн)

hello_html_m5547f17b.gif

hello_html_36f9f2ba.gif

hello_html_25ca66e5.gif(күндер)

hello_html_2837a9e7.gif

hello_html_379ab46.gif

Теңдеу құрып шешеміз:

hello_html_7cc315ed.gif

Жоспар бойынша өнімділік 30 га\күн, ал жыртылған жер бетінің ауданы: hello_html_4b5b37c6.gif

Жауабы:420 га(гектар).

Есеп: Бір ағаш шебері жұмысын 12 күнде, ал екіншісі сондай жұмысты 6 күнде орындайды. Екеуі бірлескенде осы жұмысты неше күнде орындайды?

Шешуі:

1) Барлық жұмысты 1-ге тең деп қабылдаймыз.

2) Бірінші шебердің еңбек өнімділігі 1/12, ал екіншісінікі 1/6.

hello_html_m75060a78.gif

Жауабы: 4 күн



Құбырлармен толтырылатын бассейнге байланысты есептер

Жұмысқа байланысты мәселе есептерде насостармен сұйықтықтарды айдау, толтыруға байланысты тапсырмалар да кездеседі. Бұл жағдайларда атқарылған жұмыс ретінде айдалған сұйық көлемі алынады.

Есеп: Бассейн бір мезгілде 2 сағат ішінде 2 құбырмен суға толады. Егер бірінші құбыр екіншісіне қарағанда 3 сағат бұрын су толтыратын болса, неше сағатта бірінші құбыр бассейнді толтыра алады?

Шешуі: Бірінші құбырдың бассейнді толтыруға жұмсайтын уақытын х (сағ) деп белгілейік, х>0.


Уақыт hello_html_m5b07b31b.gif

Өнімділік hello_html_7ed5d375.gif

Жұмыс hello_html_5f30c8d4.gif

І құбыр

hello_html_347c04f0.gif

hello_html_m36af509e.gif

1

ІІ құбыр

hello_html_3061e295.gif

hello_html_m4859bb1d.gif

1

І+ІІ

2 сағ.

hello_html_m778dfa00.gif

1

Теңдеу құрып шешеміз:

hello_html_m4bb19f24.gif

hello_html_6898b005.gif

hello_html_5b611dfc.gif

hello_html_3a574297.gifесептің шартын қанағаттандырмайды.

Жауабы: 3 сағ

Есеп: Екі құбыр бірігіп бассейнді 10 сағатта толтырады. Жеке бірінші құбырдан екіншіге қарағанда әр сағат сайын 2 есе кем су ағатыны болса, құбырыдың әрқасысы жеке-жеке қанша уақытта бассейнді толтыра алтынын есептеңіз.

Шешуі: Екінші құбырдың бассейнді толтыруға жұмсайтын уақытын х (сағ) деп белгілейік, х>0.



Уақыт

Өнімділік

Жұмыс

І құбыр

hello_html_3afce63b.gif

hello_html_m38ca153b.gif

1

ІІ құбыр

hello_html_347c04f0.gif

hello_html_8736b07.gif

1

І+ІІ

10 сағ.

hello_html_6b833c09.gif

1



Теңдеу құрып шешеміз:

hello_html_m3a52c692.gif

hello_html_m6a351f2f.gif

hello_html_m5f9b6978.gif


Жауабы: 30 сағ, 15 сағ.


Концентрация және проценттік құрамға арналған есептер


Барлық мәселе есептеріндегідей, бұл жағдайда да есептің шартын толық түсіну және есепті неғұрлым қарапайым түрге келтіру қажет.

Массалық концентрация деп белгілі бір компоненттің барлық массаның қандай бөлігін құрайтынын көрсететін өлшемді айтамыз. Егер қоспаның (қорытындының, ерітіндінің) массасы hello_html_465b1232.gif болса және ол массалары hello_html_59f58876.gif болатын сәйкес

hello_html_49dda179.gif

заттарынан тұрса, онда

hello_html_m43bf7ec0.gif

өлшемдерін hello_html_m4e5acff7.gifзаттарының концентрациясы, ал hello_html_2fa07ff1.gif

өлшемдерін заттардың пайыздық құрамы деп атайды.

Сонымен қатар төмендегі теңдік орындалады:

hello_html_m1fa356b7.gif

Есеп: Теңіз суында 5% тұз бар.Тұздың концентрациясы 4,5% болуы үшін 80 кг теңіз суына қанша мөлшерде тұщы су қосу керек?

Шешуі: Тұзды суға х кг тұщы қосу керек болсын hello_html_m31559288.gif

Тұзды – таза зат деп қарастырамыз.


Қоспаның күйі

Таза зат мөлшері

hello_html_m2d1890ae.gif

Қоспаның жалпы мөлшері М

Массалық концентрацияhello_html_mec9a79b.gif

1

hello_html_452c4c43.gif

hello_html_m867566d.gif

hello_html_m40278850.gif

Су қосу

hello_html_m40278850.gif

hello_html_m42ec5b3f.gif

hello_html_2d349f9a.gif


Кестенің екінші бағанындағы мәліметтер бойынша теңдеу құрамыз:

hello_html_1a3ce258.gif

hello_html_m185a2cd.gif

Жауабы: 20 кг


Есеп: Мыс және күміс балқымасында күмістің мөлшері мысқа қарағанда 1845 г артық бар. Егер балқымаға таза күміс массасының 1/3 бөлігіндей мөлшерін қосатын болса, онда жаңа балқымадағы күмістің мөлшері 83,5% болады. Балқыманың массасы және оның бастапқы құрамындағы күмістің проценттік мөлшері қандай?

Шешуі: Балқымадағы күміс мөлшері х г , ал мыс мөлшері (х-1845) г болсын. Балқыманың массасы (2х-1845) г.



hello_html_m2b832974.gif

hello_html_m3896c7ce.gif

hello_html_419eed31.gif

күміс

hello_html_2b8a2485.gif

hello_html_726975b2.gif

hello_html_m5a4ccc1c.gif

мыс

hello_html_m346ec764.gif

hello_html_m5a4ccc1c.gif

қосылғаны

hello_html_m132594e7.gif

hello_html_m132594e7.gif

hello_html_m5a4ccc1c.gif

араласқаны

hello_html_m5c579713.gif

hello_html_49c676e5.gif

hello_html_40b39259.gif


Теңдеу құрып, шешеміз:

hello_html_5228e5fa.gif

hello_html_31ccaf36.gif

hello_html_117a1482.gifhello_html_m5cbb3b3d.gif

hello_html_3a112d87.gif

hello_html_m3ac6e85d.gif


Балқымадағы күміс - 2505г, мыс -660г. Балқыманың массасы - 3165г.

Күмістің бастапқы проценттік мөлшері:

hello_html_5e74583b.gif
Жауабы: 3165г; 79,1%


Есеп: 40кг тұз ерітіндісін екі ыдысқа бөліп құйды. Сонда екінші ыдыстағы таза тұздың массасы бірінші ыдыспен салыстырғанда 2 кг-ға артық болды. Егер екінші ыдысқа 1 кг тұз қосылса, ондағы тұздың мөлшері бірінші ыдыспен салыстырғанда 2 есе көп болады. Бірінші ыдыстағы ерітіндінің массасын анықтаңдар.

Шешуі. Бірінші ыдыстағы тұз - hello_html_2b8a2485.gif кг. Екінші ыдыстағы тұз - hello_html_5ad7d5e.gif кг.

Есептің шарты бойынша: hello_html_m13051ae4.gif кг.

Бірінші ыдыстағы ерітіндінің массасын у (кг) деп белгілейік.


Балқыма(қоспа) күйі

Таза заттың мөлшері

hello_html_m5fde3965.gif

Қоспаның жалпы мөлшері М

Массалық концентрация

hello_html_m3e719e95.gif

1

3

hello_html_m11fb3721.gif

hello_html_m48770c36.gif

2

5

hello_html_m2a8c82ee.gif

hello_html_3961bd88.gif

Ерітіндідегі тұздың концентрациясы бірдей деп қарап, теңдеу құрамыз:

hello_html_794ba547.gif

Жауабы:15 кг


Процентке арналған есептер


Процентке пропорция құрылып, шешілетін есептер

А санының проценті дегеніміз оның жүздік үлесі деп аталады. Демек санның өзі 100% болып табылады. Бір процент деген санның жүзден бірі.

Мысалы: 100 санының hello_html_7a08e179.gif- hello_html_7cf8ece3.gif

120 санының hello_html_13ea9ed6.gif- hello_html_m62598693.gif

х санының hello_html_7cbe51d6.gif- hello_html_m43a551af.gif


Проценттерге есеп шығарғанда hello_html_m2b5da43f.gif шамасын hello_html_m59b9216e.gif, ал оның бөлігі hello_html_d872e6f.gif шамасы hello_html_48bd9641.gif деп қаралып, пропорция құрастырылады

hello_html_1699d9ee.gif

Екі белгілі шама арқылы үшінші белгісізін анықтау үшін пропорцияның негізгі қасиетін қолданамыз.

hello_html_m20a99a64.gif


Есеп: Цехтың жұмысшылар жиналысына 69 адам қатысты, бұл барлық жұмысшылардың hello_html_7139429b.gifін құрайды. Жиналысқа қатыспаған адамдар санын анықтаңыз.

Шешуі. Барлық адам x деп алып. пропорция құрамыз:

hello_html_323412f5.gif

Олай болса жиналысқа қатыспаған адам: hello_html_49e4cdbc.gif

Жауабы: 6 адам.


Есеп. 1990 жылы зауыт шығаратын өнім 5%-ға артты, ал келесі жылы 8% артты. Екі жылдың ішіндегі өнімнің жыл сайынғы орташа өсімін тап.

Шешуі:

Зауыт шығаратын өнім х: I жылы 5%-га артты 1,05х

ІІ жылы 8%-ға артты hello_html_m2796308d.gif

hello_html_167809c9.gif

Жауабы: 1,092


Есеп: Жас саңырауқұлақтар салмағының hello_html_68034304.gifы, ал кептірілгеннің hello_html_m5ac8178f.gifы су болады. 22 кг жас саңырауқұлақтан қанша килограмм кептірілген саңырауқұлақ алуға болады.

Шешуі. Жас саңырауқұлақтың кептірілгенінің салмағы оның hello_html_m43f21612.gifын құрайды, яғни 22 кг – нан 2,2 кг кептірілген.

Кептірілген саңырауқұлақтың таза кепкен салмағы hello_html_m1d58db4d.gifөйткені оның hello_html_m5ac8178f.gifы су, яғни ізделінді сан hello_html_347c04f0.gif болса, онда таза кепкен салмақ hello_html_6de804e2.gif

Қоспаның күйі


hello_html_44db48d2.gif

М


hello_html_m2544388.gif

Жаңа жиналған саңырауқұлақ

2,2

22

hello_html_m7bf71c16.gif

Құрғақ саңырауқұлақ

0,8hello_html_m5547f17b.gif

hello_html_m5547f17b.gif

hello_html_m2ca165cb.gif


Кепкен заттың салмағы тұрақты болғандықтан, келесі теңдеуді құрамыз:


hello_html_m2b0644a7.gif

Жауабы: 2,5 кг.


Есеп: Кепкен жемісте 20% су, ал жаңа жиналған жемістерде -72% су болады. 7 кг кептірілген жемістер дайындау үшін жаңа піскен жемістерден қанша керек болады?

Шешуі: Жаңа піскен жемісте 72% су болса, құрғақ заттар 28% болады.

Кепкен жемістерде құрғақ заттар -80% болады.

Қоспаның күйі


hello_html_44db48d2.gif

М


hello_html_m2544388.gif

Жаңа піскен жемістер

hello_html_7971b0c9.gif

hello_html_m5547f17b.gif

0,28

Кепкен жемістер

5,6

7

hello_html_56dc3fa.gif

Құрғақ заттың массасы hello_html_7999a021.gifтұрақты болғандықтан теңдеу құрамыз:

hello_html_m64bbcd4c.gif

Жауабы: 20 кг

Күрделі проценттік өсу

Күрделі процентер формуласы:

hello_html_m392faf1d.gif

Бұл формула қарастырылатын мөлшер белгілі уақыт аралығында бастапқы мәнін есептегенде р-процентке артатын немесе кемитін жағдайлардың бәрінде колданылады.

Есеп: hello_html_m4161124f.gifкірісі бар шотқа 2000 теңге салынса, 4 жылдан соң сомасы қанша болады?

Шешуі:

hello_html_m12663fd.gif

hello_html_m6af463a8.gif


Жауабы: 5712,2 тг.


Есеп: Екі жыл ішінде бірізділікпен бағаның төмендеуінен фотоаппараттың құны 300тг 192 теңгеге дейін төмендеді. Фотоаппараттың құны әрбір жолы неше процентке төмендеді?

Шешуі:

hello_html_29a4228f.gif

hello_html_21af78d2.gif

x=180 - есептің шартын қанағаттандырмайды

Жауабы: 20%


Есеп: Банктің жылдық өсімі 30% болса, екі жылда 845 000 теңгеге жетуі үшін бастапқы салым қандай болуы тиіс?

Шешуі:

hello_html_7ab4a2.gif

Жауабы: 500 000 тг.

Қорыта келгенде, математиканы оқыту үрдісінде мектеп оқушыларына білім берудің мақсаты осы заманға тіршілік құрылымын танудан, ондағы өз орнын сезінуден, экономикалық мәдениеттің ережелерін меңгеруден, тиісті іс-әрекет дағдыларын ұштаудан құралады демекпіз.



Жиі кездесетін тақырыптар бойынша типтік есептер қарастырып, оларды шығару ерекшеліктерін көрсетелік.

1. Моторлы қайық ағыс бағытымен 20 км жүзіп А қаласынан В қаласына барып,ол жерде кідірмей кері қайтты. Барлық жолға 5сағат уақыт жіберді. Қайықтың меншікті жылдамдығын анықтаңдар.

Шешуі. Белгілеу енгізелік

hello_html_347c04f0.gif км/сағ – қайықтың меншікті жылдамдығы, hello_html_5c4c257b.gif км/сағ - өзен ағысының жылдамдығы.Сонда есептің шарттарын пайдаланып

hello_html_2275c9df.gif

теңдеуін аламыз. Алайда бір теңдеуден екі белгісіз табылмайтындығы белгілі. Осыдан есептің шарттары толық еместігін көреміз.

2. Үш жұмысшылар бригадасы бір күнде 96 деталь жасап шығарды. Бірінші бригада, екіншіге қарағанда, 18 деталь артық дайындады, ал үшінші бригада бірінші және екінші бригада шығарған детальдардың 5/11 бөлігіне тең детальдар дайындады. Әрбір бригада қанша деталь дайындап шығарды?

Шешуі. Айталық hello_html_347c04f0.gif - бірінші бригада дайындаған детальдар саны. Сонда

hello_html_430fb216.gif- екінші бригада дайындаған детальдар саны, ал hello_html_2613f952.gif - бірінші және екінші бригадалар дайындаған детальдар саны. Олай болса hello_html_750812de.gif - үшінші бригада дайындаған детальдар саны.

Осыдан есептің шарты бойынша мына теңдеуді аламыз:

hello_html_m667b85f6.gif

Теңдеуді шешкенде hello_html_m4ce1153a.gif болады, яғни бірінші бригада 42 деталь дайындаған. Демек, екінші бригада

hello_html_m1de234ec.gif

деталь дайындаған, ал үшінші бригада

hello_html_m56c9e715.gif

деталь дайындаған.

3. Екі шкафқа кітаптар салынған. Егер екінші шкафтан 7 кітап алып бірінші шкафқа салса, онда екінші шкафтағы қалған кітаптар саны бірінші шкафтағы кітаптар санынан 1,4 есе көп болады. Егерде бірінші шкафтан 53 кітап, ал екінші шкафтан 67 кітап алынса, ондабірінщі шкафтағы қалған кітаптар санының екінші шкафтағы қалған кітаптар санына қатынасы 3:5 қатынасындай болады. Әрбір шкафта қанша кітап бар еді?

Шешуі. Айталық hello_html_347c04f0.gif және hello_html_5c4c257b.gif- сәйкес бірінші және екінші шкафтағы кітап саны. Екінші шкафтан 7 кітап алып, бірінші шкафқа салғаннан кейін бірінші шкафта hello_html_2f79e6a1.gif кітап, ал екінші шкафта hello_html_64ed1d78.gif кітап болды. Есептің шарты бойынша мына теңдеуді құрамыз:

hello_html_m7911412b.gif

Енді бірінші шкафтан 53 кітап алғаннан соң, ал екіншісінен 67 кітап алған соң бұл шкафтарда сәйкес hello_html_m1115f64d.gif және hello_html_m6e583644.gif кітаптар қалды. Есептің шартын ескеріп мына теңдеуді құрамыз:

hello_html_db1e73c.gif

Сонымен, қорытындысында екі белгісізі бар екі теңдеу алдық:

hello_html_mce449c0.gif

Осыдан hello_html_610dc567.gif , hello_html_7344072b.gif, яғни алғашында бірінші шкафта 143, ал екінші шкафта 217 кітап болған екен.

4. Мотоциклші белгілі бір қашықтықты үш күнде жүріп өтті. Ол бірінші күні екінші күн жүріп өткен жолдың 5/14 бөлігін жүрді, ал үшінші күні бірінші күні жүріп өткен жолдан 2,5 есе артық жол жүрді. Мотоциклші бірінші күні 5 кг бензин жұмсады. Сонда барлық жолға ол қанша килограмм бензин жұмсаған?

Шешуі. Айталық hello_html_347c04f0.gif км – бірінші күні жүріп өткен жолы. Олай болса hello_html_m7ad2a722.gif км оның екінші күні, ал hello_html_m36c79fcf.gif км – үшінші күні жүріп өткен жолдары. Есептің шарты бойынша ол бірінші күні 5 кг бензин жұмсаған, сондықтан енді екінші күні hello_html_616db387.gif кг және үшінші күні hello_html_m5945218d.gif кг жұмсаған бензиннің мөлшерін анықтау үшін сәйкес төмендегі пропорция құрамыз:

hello_html_m1815afe8.gif, hello_html_2a056846.gif

Осы пропорциялардан hello_html_799cbdf4.gif кг, hello_html_12ab7e2f.gif кг екенін анықтаймыз. Сонымен, мотоциклші үш күнде

hello_html_m6f5c8904.gifкг

бензин жұмсаған екен.

5. Бір жыл ішінде завод өнім шығаруды екі рет бірдей процентке өсірді. Егер заводтың жыл басында айына 600 бұйым, ал жыл аяғында айына 726 бұйым шығарғандығы белгілі болса, онда оның өнім шығаруын әр кез қанша процентке өсіргенін табыңдар.

Шешуі: Айталық завод жыл басында айына hello_html_mcd9c74f.gif бұйым шығардыhello_html_m53d4ecad.gif(есептің шарты бойынша hello_html_m148bf757.gif) және оны hello_html_347c04f0.gif% - ке өсірді делік. Сонда өнімді бірінші рет өсіргеннен кейін ол айына

hello_html_4a7bbd17.gif

бұйым шығарып тұрған. Ал екінші рет тагы да hello_html_347c04f0.gif% -ке өсіргенде ол айына

hello_html_m440059ee.gif

Бұйым шығарып тұрған. Есептің шарты бойынша hello_html_m148bf757.gif, hello_html_m367eeec4.gif.

Осыдан

hello_html_m6e882dbc.gif

немесе

hello_html_mcc4ce11.gif, hello_html_m63a71b65.gif%.

Сонымен, завод екі рет өнімін 10% -ке өсірген екен.

6. Белгісіз екі таңбалы санның оның цифрларының орындарын ауыстырып жазғаннан кейін пайда болған саннан айырымы 18 –ге тең. Ал осы санның оның цифрларының көбейтіндісіне қатынасы 2hello_html_42567408.gif -ке тең. Екі таңбалы санды табыңдар.

Шешуі: Белгілеу енгізелік: hello_html_347c04f0.gif - бірліктерінің саны, hello_html_5c4c257b.gif - ондықтарының саны. Сонда белгісіз екі таңбалы сан hello_html_m70b7e3e6.gif түрінде жазылады,ал оның цифрларының орнын ауыстырып жазғанда пайда болған сан hello_html_m5535c02c.gif түрінде жазылады.Сондай-ақ hello_html_37ef6d42.gif осы санның цифрларының көбейтіндісі.Енді есептің шарттарын ескеріп мына теңдеулерді жазамыз:


hello_html_m4295198e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m1b134251.gif(*)


Бұл жүйені шешіп екі шешім аламыз:

hello_html_547e0878.gif, hello_html_f5e0b7f.gif; hello_html_20068d72.gif, hello_html_366d832c.gif.

Бұл шешімдердің екеуі де (*) жүйені қанағаттандырады. Алайда, белгілеуіміз бойынша hello_html_347c04f0.gif және hello_html_5c4c257b.gif сәйкес бірліктердің және ондықтардың саны болғандықтан олар оң бүтін сандар болуы керек. Сондықтан бірінші шешім есептің шартын қанағаттандырмайды. Демек, теңдеу құруға арналған есептер шығарғанда, алынған шешімдердің есептің шарттарына сәйкес болатындығын қадағалау қажеттігі туындайды. Сөйтіп бір ғана шешім hello_html_m776bfd12.gif, hello_html_3ffa2f20.gif болады, яғни іздеп отырған екі таңбалы сан 64 екен.

7. Екі жұмысшы, оның екіншісі, біріншісіне қарағанда, 1,5 күн кейін бастап, белгілі бір жұмысты 7 күнде бітірді. Егер осы жұмысты олар жеке істеген болса, оның біріншісіне, екіншісіне қарағанда, 3 күн артық қажет болар еді. Олардың әрқайсысы осы жұмысты жеке істеп неше күнде бітірер еді?

Шешуі: Есептің шартында жұмыстың түрі, оның көлемі жөнінде ешқандай дерек жоқ. Олай болса бұл кез келген жұмыс болуы мүмкін және оның көлемі де әр түрлі болуы мүмкін. Сондықтан мұндай жағдайда жұмыстың көлемін 1-ге тең алады. Айталық бірінші жұмысшы жеке істегенде жұмысты hello_html_347c04f0.gif күнде бітірді делік, сонда екінші жұмысшы жеке істеп осы жұмысты hello_html_33fca3b1.gif күнде бітірер еді. Олай болса hello_html_m25ceab27.gif және hello_html_m1a66d39d.gif олардың сәйкес жұмыс өнімділіктері болады. Бұл жерде hello_html_m70ba33db.gif , hello_html_m36506a9a.gif екені анық, себебі hello_html_347c04f0.gif және hello_html_33fca3b1.gif күн саны, олар оң болуға тиіс. Осы теңсіздіктерден hello_html_7059b49a.gif екенін көреміз. Енді екінші жұмысшының жұмысты 1,5 күн кейін бастағанын ескеріп, теңдеу құралық:

hello_html_1bdc2c5e.gifhello_html_39bcdcee.gifhello_html_m38d21407.gif

Теңдеуді шешіп hello_html_m48e75e0.gif және hello_html_6e2a9082.gif екі түбір аламыз.Алдында ескерткеніміздей hello_html_7059b49a.gif, олай болса hello_html_m65982642.gif. Сөйтіп жұмысты жеке істесе бірінші жұмысшы 14 күнде, ал екінші жұмысшы 11 күнде бітірер еді.

8. Екі труба бірігіп істеп бакті 1 сағат 20 минутта толтырды. Егер бірінші трубаны 10 минутқа, ал екіншісін 12 минутқа ашса, онда бактің hello_html_m55bbfe1f.gif бөлігі толтырылады. Әрбір труба жеке істеп бакті қанша сағатта толтырар еді?

Шешуі: Есептің шартында бактің көлемі жөнінде дерек жоқ. Сондықтан оның көлемін 1-ге тең деп аламыз.

Шығарудың 1- жолы. Белгілеу енгізелік.hello_html_4919b4d1.gif және hello_html_ma7bcac1.gif сәйкес бірінші және екінші трубалар жеке істегенде бакті толтыруға жұмсалатын уақыттар. Сонда hello_html_m25ceab27.gif және hello_html_53532cd9.gif сәйкес олардың жұмыс өнімділіктері болады.

hello_html_3cf70a1.gif(1)

Бұл жүйені hello_html_2d4b1b0d.gif, hello_html_m5fa4bcb.gif арқылы шешуге болады.

Шығарудың 2-жолы. hello_html_347c04f0.gif және hello_html_5c4c257b.gif арқылы сәйкес бірінші және екінші трубалардың жұмыс өнімділіктерін белгілейік. Сонда hello_html_m25ceab27.gif және hello_html_53532cd9.gif сәйкес олардың жеке істегенде бакті толтыруға жұмсалатын уақыттары. Есептің шарттары бойынша мына теңдеулерді аламыз:

hello_html_27d27db9.gif(2)

Соңғы жүйені шешіп hello_html_2b6fb356.gifсағ, hello_html_m546aff6a.gifсағ аламыз. Байқап отырғанымыздай (2) жүйенің түрі (1) жүйеге қарағанда қарапайым. Бұл есептің екі шығару жолын келтіріп отырғанымыздың себебі мынада:

Теңдеу құруға арналған есептерді шығарғанда белгісіз ретінде есептің сұрауында келтірілген шаманы алу міндет емес екеніне көңіл аударамыз. Белгісіз енгізуге қойылатын негізгі талап, ол алынған теңдеулердің мейлінше қарапайым болып шыққандығында.

9. hello_html_mcd9c74f.gif станциясынан hello_html_54b57ca0.gif станциясына қарай шыққан пойыз, жолды қар басып қалуына байланысты, 450 км жүргеннен кейін тоқтады. Бұл жүріп өткен жол hello_html_mcd9c74f.gif -дан hello_html_54b57ca0.gif -ға дейінгі қашықтықтың 75% -ті болатын. Жарты сағаттан кейін жол тазартылып, hello_html_54b57ca0.gif станциясына кешікпей жету үшін алғашқы жылдамдықты 15 км/сағ ұлғайтып пойыз жүріп кетті. Пойыздың алғашқы жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: Екі станция аралығын hello_html_3faa6296.gif деп белгілейік.Осы қашықтықты табу үшін пропорция құралық:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_13c46538.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_3a6f0092.gif

Сонда пойызға әлі 600-450=150 км жол жүру керек. Енді hello_html_347c04f0.gif км/сағ - пойыздың алғашқы жылдамдығы болсын. Сонда есептің шартын пайдаланып теңдеу құрамыз:

hello_html_6b74ca6.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_794650a9.gif

Осыдан hello_html_3ea719b2.gif, hello_html_m4cc296df.gif. Екінші түбір есептің шартын қанағаттандырмайды. Сөйтіп пойыздың алғашқы жылдамдығы 60 км/сағ.

10. Қайықтың ағысқа қарсы 22,5 км, ал ағыс бойымен 28,5 км жүзіп барлық жолға 8 сағат уақыт жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 2,5 км/сағ. Қайықтың тынық судағы жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: hello_html_347c04f0.gif км/сағ арқылы қайықтың тынық судағы жылдамдығын белгілейік. Сонда hello_html_m722215f0.gif км/сағ – қайықтың ағыс бойымен жүзгендегі , ал hello_html_6c72fddd.gif км/сағ – ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдықтары. Енді hello_html_m26d04f01.gif ағыс бойымен жүзгенде жұмсаған уақыт. Сонда


hello_html_1f1f1d05.gif, hello_html_2fac0efc.gif Теңдеуді шешіп hello_html_33c9b5d0.gif, hello_html_m1c62a3e7.gif аламыз.

Екінші түбір есептің шартын қанағаттандырмайды (жылдамдық теріс болмайды). Сөйтіп қайықтың тынық судағы жылдамдығы 7 км/сағ.

11. Жаңа терілген таңқурайдың hello_html_3f206df8.gif -і су болады, ал кептірілгені - hello_html_47392dc.gif. Кептірілген таңқурайдың салмағын есептеңіз, егер жаңа терілгені 36 кг болса.

Шешуі. Жаңа терілген: hello_html_3f206df8.gif -і су, hello_html_3f49528d.gif -і құрғақ зат.

hello_html_m5c7b55f7.gifкг (құрғақ зат)

Кептірілген: hello_html_47392dc.gif -і су, hello_html_m138e12d7.gif -і құрғақ зат.

hello_html_3b9bb6d4.gifкг (құрғақ таңқурай)






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 21.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров957
Номер материала ДВ-363426
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх