Есеп шығаруға үйренудің әдістері

Есепті  қалай  шығарамыз?

Д.Пойа  осы  сұраққа  жауап  беруге  тырысқан  және  белгілі  дәрежеде  жауап  тапқан. Осы  есеп  шығаруға  үйренудің  әдістерін  былай  баяндаған.

                                                                                                   1.1- кесте.

Есеп  шығаруға  үйренудің  әдістері

1.	Есепті  анық  түсіну қажет.	Есептің  қойылуын  түсіну.
		Не  белгісіз? Не  берілген? Есептің  шарты  неден тұрады? Осы шартты  қанағаттандыру  мүмкін  бе? Белгісізді  анықтап  табу  үшін берілген шарт жеткіліктіме? Әлде  жеткіліксіз бе? Немесе  артық  па? Немесе қайшылықта  ма? Сызбасын  салыңыздар? Ыңғайлы  белгілеулерді  енгізіңіздер.

                                                                                            (1.1- кесте жалғасы)

2.	Берілгендер мен  белгісіз-дер  арасында-ғы  байланыс-ты табу. Егер ол  байланыс-тар  бірден  табылмаса, онда қосалқы  есептерді қарастыру қажет. Есепті шығару жоспарына  келу  қажет.	Шешу  жоспарын  құру.
		Есеп шығаруға әсерін тигізетін теореманы, тұжырымды білесізбе? Белгісізді  анықтап  қараңыздар. Осындай немесе  оған  ұқсас  белгісізі бар  есепті  еске  түсіруге  тырысыңыз. Берілген  есепке  ұқсас  және  шешуі  белгілі  есеп  табылды  делік. Ол  есептің шешу  тәсілін  қолдануға  болама? Осы  тәсілді  пайдалану  мүмкіндігін  туғызу  үшін  қандай  да  бір  қосымша  элемент  енгізудің  қажеті  бар ма? Егер  берілген  есепті  шығара  алмасаңыз, онда  алдымен  оған  ұқсас  есеп  шығаруға  тырысыңыз. Есептің бір  бөлігін  жеке  қарастырып  шешуге  болмай  ма? Есеп  шартының  белгілі  бір  бөлігін  қалдырып, басқа  бөлігін  алып  тастасақ, онда  есептің  сұрағын  іздеп  табу  қалай  өзгереді? Белгісізді  анықтап  табуға  болатын  басқа  бір  берілгендерді  ойлап  табуға  болмай ма? Белгісізді  немесе  берілгенді, қажет  болған  жағдайда  екеуін  де  өзгертіп, жаңадан  шыққан  белгісізді  және, берілгенді  біріне-бірін  байланыстыруға  болар  ма  екен? Сіз  барлық  берілгендерді  пайдаландыңыз  ба? Барлық  шарттарды? Есептегі  барлық  негізгі  ұғымдарға  назар  аудардыңыз ба?
3.	Шығару  жоспарын  іске  асыру  керек.	Жоспарды  іске  асыру
		Шығару  жоспарын  жүзеге  асырғанда  әрбір  қадамды  бақылау  қажет. Сіз  жасаған  қадамның  дұрыстығына  көзіңіз  жете  ме? Оңың  дұрыс  екенін  дәлелдей  аласызба?
4.	Табылған  шешуді  зерттеп білу  қажет.	Алынған  шешімді  зерттеу.
		Алынған  қорытындыны  тексеруге  болмас па  есен? Шешу  жолын  тексеруге  бола ма? Сол  шыққан  қорытындыны  басқа  жолмен  алуға  болар  ма  екен? Оны  бірден  анықтауға  бола  ма? Алынған  қорытынды  немесе  қолданылған  тәсілді  қандай  да бір  басқа  есепті  шығаруға  пайдалануға  болмас  па екен? Қолданылған  тәсілді  жалпылауға  бола  ма?

Сонымен, мәтінді  есепті  шығарудың  көрсетілген  барлық  әдіс-тәсілдерін мұғалімі  толық  меңгеріп, өздерінің  іс-тәжірибелерінде  оқушыларға  осы  әдіс-тәсілдердің  мән-жайын  түсіндіріп, оларды  қолдануды  біртіндеп  үйретудің  нәтижесінде  ғана  олар  өздігімен  мәтінді есеп  шығаруға  білуде  жетістікке  жете  алады.

Қолданбалы математиканы математикадан тысқары пайда болатын есептерді оңтайлы шешу туралы ғылым деп сипаттауға болады. Сондықтан, қолданбалы есеп – математикадан тысқары қойылған және математикалық құралдармен шешілетін есеп. Зерттеу авторларының көпшілігі қолданбалы есепті шешудегі 3 кезенді бөліп көрсетеді.

1. Қалыпқа  келтіру,  яғни  берілген  есепті табиғи тілден
математикалық терминдер тіліне аударып, оның моделін құру. Бұл
кезең, әдетте математикалық есеп моделін құру деп аталады.

2.  Есепті модель ішінде шешу.

3. Алынған нәтижені талдау, яғни, алынған нәтижені
(математикалық шешімді) бастапқы есептің табиғи тіліне аудару.

Мәтінді есептерді шешкен кезде оқушы үшін бірінші кезең өте қиын болады. Есеп шарты, әдетте табиғи тілде жазылатыны белгілі. Сондықтан бұл қиындықтардан шығу үшін есепті табиғи тілден математикалық тілге аударуда оқушылардың дерексіздендіре білу деңгейінің жеткілікті дәрежеде жоғары болуы қажет. Шынайы объектімен оның сипаттарынан аулақтау негізінде математикалық объектіге өту – күрделі операция, сондықтан, есепті табиғи тілден математикалық тілге аударуға баса назар аударылуы тиіс.

Есеп. Шаруашылық  күн  сайын  40 га  жерге  егін  егуі  керек  еді. Егіншілер  күн  сайын  52 га  жерге  егін  егіп,  жұмысты  жоспарланған  мерзімнен  2  күн  бұрын  аяқтады.  Егер  жоспарланған  жер  көлемінен  4 га  артық  жерге  егін  егілсе, онда  егіншілер  неше  гектар  жерге  егін  еккенін  табыңыздар.

Есепте  ізделінді  егістік  алқабын  х-пен  белгілесек,  оның  берілген  шамаларға  тәуелділігін  арифметикалық  жолмен табу  қиынға  соғады  және  ол  ыңғайлы  емес.  Сондықтан  есепті  жеңіл  арифметикалық   есеп  түрінде  қайта  құрып  жазып  қарастыру  теңдеу  құра  білуге  көмектеседі.

Айталық, "есептің  40 га, 52 га  және  х га  берілгендері  бойынша  2 күн  элементін  табайық". Жұмыстың  неше  күн  бұрын  аяқталғанын  білу  үшін  егіншілердің  неше  күнде  жұмысты  бітіргендерін (   күнде)  және  олардың  жұмысты  жоспар  бойынша  қанша  күнде  бітіру  керек  екендігін  (  күнде) анықтап, бұл  өрнектердің  айырмасын  2-ге  теңестіру керек (2 күн  бұрын  бітірді), аламыз:

Егер  есептің  ізделінді  х  элементі  ретінде  оның  кез  келген  шамаларының  біреуін  белгілесек, онда  бұған  сәйкес  арифметикалық  амалдардың  әр  алуан  қиындығы  болады.  Сондықтан  есептің  ізделінді  х  элементін  сәйкес  арифметикалық  есеп  мейілінше  жеңіл  болатындай  етіп  таңдаған  дұрыс  болады.  Есептерді  теңдеу  құру  арқылы  шешу  әдетте  жоғарыда  көрсетілген  жоспар  бойынша  жүргізіледі.

Есеп. Тракторшылар  бригадасы  240 га  жерді  жырту  керек  еді. Бригада  күндік  жоспарын  1 га  артық  орындап, жұмысты  жоспарлаған  мерзімнен  8  күн  бұрын  бітірді. Бригаданың  бастапқы  күндік  нормасы  қанша  гектар  және  жоспар  бойынша  барлық  жұмысты  неше  күнде  бітіруі  тиіс  еді?

Осы  есепті  шығару  үшін  жұмыс  мөлшері – бригаданың  күндік  нормасын  сол  жұмысты  бітіруге  кететін  уақытқа  көбейткен  нәтижеге  тең  болатындығын  білу  керек, яғни  , мұндағы  - жұмыс  мөлшері,   -бастапқы  күндік  норма,    - осы  жұмысты  бітіру  уақыты. Бұдан  жұмыс  мөлшері  мен  уақыт  белгілі  болғанда, күндік  норманы  табуға  болатындығы  шығады, яғни .  Талдау  жасау  кезінде  осы  айтылғандардан  басқа "Есепте  шамалардың  қандай  мәндері  туралы  айтылып  тұр  және  олардың  қайсылары  белгілі?"  деген  сұраққа  жауап  берген  жоқ.

Есепте  бригаданың  жұмыс  мөлшері  белгілі, ол – 240 га, бригада  күндік  нормадан  1 га  артық  орындады  және  ол  жұмысты  жоспарлаған  мерзімнен  8 күн  бұрын  бітірді. Сонымен  қатар  шамалардың  төрт  сан  мәні  белгісіз. Олар: бригаданың  күндік  нормасы, барлық  жұмысты  жоспар  бойынша  бітіру  уақыты; күніне  қанша  гектар  жер  жыртқандығы  және  барлық  жұмысты  қанша  уақытта  бітіргендігі. Осылайша  есепті  талдап  орындауға  болады.

Есеп  шығарудың  екінші кезеңі  айнымалыны  енгізу. Берілген  белгісіз  төрт  шаманың  біреуін  ғана  х-пен  белгілейміз. Есептің  сұрағы  бойынша  табылатын  белгісізді (жұмыстың  күндік  нормасы) х-пен  белгілеген  ыңғайлы  екендігін  мұғалімдер  тәжірибесі  көрсетіп  жүр.

Берілген  есепте  шамалар  уақыт (күн) және  аудан (га) өлшемдерімен  берілгендеріне  оқушылардың  назарын  аудару  керек.

Есеп  шығарудың  үшінші  кезеңін  қарастырайық. Мұнда  оқушылар  назарын  қалған  үш  белгісіз  шамаларды (жұмыс  жоспары  бойынша  бітіру  уақыты, бригаданың  күніне  жыртқан  жер  алқабы  және  барлық  жұмысты  неше  күнде  бітіргені) берілген  1 га,  8  күн  шамалармен  және  х  айнымалы  арқылы  өрнектеуге  аудару  қажет. Мұнда  х  айнымалысын  белгілі  сан  деп  ұйғарып, осы  жағдайда  есепті  арифметикалық  тәсілмен  шығарған  жөн. Сондықтан  берілген  есепті  осы  жағдайға  сәйкес  қайта  тұжырымдаймыз:

«Тракторшылар  бригадасы  240 га  жерді  жырту  керек  еді. Бригада  күндік  нормасын  1 га  артық  орындап, жұмысты  жоспарлаған  мерзімнен  8  күн  бұрын  бітірді». Мұнда  келесі  белгісіз  шамаларды  өрнектеуді  анықтау  керек:

1) Бригаданың  жоспар  бойынша  жұмысты  бітіру  мерзімі:   күн;

2) Оның  күніне  қанша  гектар  жер  жыртқандығы: га;

3) Барлық  жұмысты  неше  күнде  бітіргендігі   күн.

Төртінші  кезеңде  оқушылар  теңдеу  құрулары  керек. Теңдеу  есептің  пайдаланбаған  шарты (бригаданың  жұмысты  8  күнде  бітіргені)  бойынша  құрылады: , яғни  бригаданың  жұмысты  бітіруінің  жоспарлаған  мерзімі  ( күн) 8 күнге  кемиді (бұрын  бітіреді).

Есептің  шешуін  тексерудің  негізгі  мақсаты-теңдеу  түбірінің  сан  мәні  оның  сұрағына  жауап  болатын-болмайтындығын  анықтау.

Есеп. Арақашықтығы  2720  км  болатын  А және  В  пункттен  бір  мезгілде  біріне-бірі  қарама-қарсы  бағытта  екі  пойыз  шығып,  20  сағаттан  кейін  кездесті. Олардың  біреуі  4 сағатта  304 км  жүрді. Екінші  пойыздың  жылдамдығын  табыңдар.

Шешу:

Шамалар Пойыздар	Пойыздардың  жылдамдығы (км/сағ)	Пойыздардың  жүрген  жолы (км)
Бірінші  пойыз Екінші  пойыз	2)                1) х	3)            4)

          Теңдеу құрамыз: .

Сонымен  мәтінді  есепті  теңдеу  құру  арқылы  шығару  мына  біліктерді  қамтиды:

         - шамаларды  бөліп  көрсету  және  оларды  әріптермен  таңбалау;

- сөзбен  тұжырымдалған  тәуелділікті  өрнек  түрінде  жазу;

- теңесетін  өрнектерді  құрастыру;

- шамалар  арасындағы  тепе-теңдіктердің  көмегімен  өрнектеу;

- теңдеу  шешуді  берілген  есеп "тілінде" түсіндіру.

Мектептегі математика курсындағы кейбір тақырыптарды оқытудың қолданбалы бағытын нығайту үшін, есептер жүйесіне практикалық  жағдайды модельдеуге  математикалық    білімді колдануды  көрнекі  көрсетуге  немесе  керісінше,  қандай-да  бір математикалық модельмен сипатталатын әр түрлі  табыстарға мысалдар келтіру арқылы формуланың практикада қолданылуын, математиканың рөлін,  абстрактілі ғылым екенін оқушыларға көрсетуге мүмкіндік беретін есептерді енгізу қажет.

Мысалы:

Есеп.  теңдеуін шешіңдер.

Есеп. Ұзындығы 116 м құрылыс материалы бар. Онымен
құс фермасындағы ауданы 4,8 а, тіктөртбұрыш тәрізді үйрек
қамайтын орынды қоршап шығуға бола ма? Оның қабырғаларының ұзындығын анықтандар.

3.  Есеп.   Зауыт  белгіленген  уақытта  480  машина  жасап
шығаруы керек еді. Әр күні бір машинадан артық жасай отырып,
белгіленген уақыттан бір күн артық жұмыс істеп, жоспардан артық
59 машина жасады. Завод белгіленген уақытта жоспардан артық
неше машина жасады?

4. Есеп. Ауылдан қалаға қарай велосипедші қашықтығы 24 км
жолмен шықты. Ол қайтарда ұзындығы 30 км жолмен жүріп ауылға
келді. Қайтар жолда жылдамдығын 2 км/сағ арттырса да, жолға 6
мин  артық   жұмсады.   Велосипедші   қайтар   жолында   қандай
жылдамдықпен жүрді?

Берілген есептер бірден қарағанда әр түрлі сияқты, өйткені есептердің құрылымы және шығарылу әдістері әр түрлі. Мысалы,

1-есеп. Квадрат теңдеуді шешуді талап етеді.

2-есеп, Практикалық мазмұнды, ол құрылымы қосындысы және көбейтіндісі бойынша сандарды табуға берілген есепке жатады.

3-есеп. Жұмысқа байланысты берілген.

4-есеп. Қозғалысқа берілген.

2, 3, 4  есептердің математикалық моделін құрайық.

2-есеп. , мұнда х - қабырға ұзындығы.

3-есеп.  ,  мұнда х - бір күнгі шығарылатын

машинаның  саны.

4-есеп.  , мұнда х - велосипедшінің ауылдан қалаға  барғандағы жылдамдығы.

Осы теңдеулерді шешу  теңдеуін немесе 1-мысалды шешуге келтіріледі.

2-4 есептерді талдап, шешкеннен кейін оқушылар теориялық мәселелердің өмір практикасымен байланысты екеніне көздері жетеді.

Мұндай топтағы есептерді қолданудың артықшылығы математиканың өмірде қолданылуын көрсетуде септігін тигізіп, соның негізінде оқушылардың ойлауының кеңдік, тереңдік, тиімділік сияқты сапаларын тиімді қалыптастыруға көмектеседі.

2-4 есептердің әрқайсысының табиғаты әр түрлі, бірақ та, осы есептердің элементтерінің арасындағы тәуелділікті математикалық өрнектеу, ол тәуелділікті осы есептердің математикалық моделі болатын мынадай теңдеу арқылы:  жазуға жол ашады. Бұл теңдеу есептердегі элементтердің байланысын "таза" түрде, нақты мазмұннан тыс көрсетеді.

Әртүрлі мазмұнды арнайы есептерді пайдалану, яғни оларды 5-тен 9-шы сыныптарға жүйелі түрде ұсыну, есептердің мазмұны арқылы нәтиже алуға, оқушылардың есепке деген қызығушылығын оятуға бағытталған әдістемелік амалдарды қолдану оқушылардың білімін жетілдіруге жағдай жасап, олардың математикалық білімін жаңа құбылыстарды, фактілерді талдау үшін қолдануына мүмкіндік береді.                                  

Есеп. Жұмыс уақыты 7 сағаттан 6 сағатқа қысқартылды. Жұмысшының еңбек ақысы 5% арту үшін еңбек өнімділігін неше процентке арттыру керек.

Шешуі:

1)    7 сағатта табатын ақша

2)     % өскен ақша  

3)     - 1 сағатта өндіріліген еңбекке төленетін ақша

4)  1 сағатта табатын ақша                          

5)     6 сағатта табатын ақша

6)     еңбек өнімділігін арттырсақ, -ға арттырсақ, одан

  

Жауабы: 22,5%

         Есеп. Жүк машинасымен 10 км қашықтыққа тасымалдағанда жұмсалатын толық шығын 750 теңге, ал 30 км қашықтыққа тасымалдағанда - 1500 теңге. Жүк тасымалдағанда жұмсалатын толық шығынды сипаттау үшін сызықтық функцияны құрыңыз. Жүкті 24 км қашықтыққа тасымалдау шығынын  анықтаңыз.

Шешуі:

Ізделінді түзудің екі нүктесі берілген. А(10; 750), В(3;1500).

Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуінің формуласын  құрамыз.

Жүкті 24 км қашықтыққа тасымалдау шығынын анықтаймыз.

      у = 37,5 ·24 + 375 =1275

                                                                                 Жауабы: 1275 теңге    

Оқушылардың жақын әрі қол жететін фактілермен жұмыс істеуі өз кезінде олардың танымдық және бағалау тәжірибесін байытуға жағдай жасайды, оқушылардың сезімі мен көңіл күйіне әсер етіп, бұл фактілерді терең меңгеруіне, жақын қабылдауына ықпал етеді.

Есеп. Жанұя мүшелері екі бөлмеге орналасқан. Әрбір бөлменің ұзындықтары 5,2 м, бір бөлменің ені 3,6 м, екінші бөлменің ені 4,4 м. Жалпы жанұя тұратын бөлменің ауданын анықтандар.

2. Белсенді ойлау әрекетін ұйымдастыру немесе есеппен жұмыс  істеуге   шығармашылық элементтерін енгізу әдіс-тәсілдеріне, фактілеріне сәйкес материалға оқушылардың назарын аудару.

Есеп. Екі топтың балалары 60 жәшік алмұрт жинаған. Оны мектеп асханасына өткізгенде біреуінің жинаған 9 жәшік алмұртының салмағы екіншілер жинаған үш жәшіктің салмағындай болған. Әрбір топ қанша жәшіктен жинаған? Жауабы: I топ - 15 жәшік, II топ - 45 жәшік.

Есептердің шешімі оқушылардан сипатталған оқиғаның математикалық моделін құра білуді, сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді ғана емес, сондай-ақ алдын ала шамалар арасындағы тәуелділікті белгілеуді, жетпейтін мәліметтерді анықтауды, оларды анықтамалық әдебиеттерден табуды, онымен есептер мазмұнын толықтыруды талап етеді. Осындай есептерді шығару балалардың үлкен қызығушылығын тудырады, олардың ойын онда қарастырылып отырған экономикалық мәселеге аударып, экономикалық ойлауының қалыптасуына әсерін тигізеді.

3. Есептің сұрағы оқушылардың назарын қажетті аспектіге аударатындай, қарастырылған мәселеге өз пікірін немесе қарым-қатынасын  білдіруге,  өзіндік  ой  түюге  итермелейтіндей  етіп қойылады.

Мысалы, оқушыларға мынандай есептер ұсынуға болады:

1. Бір бөлмелі пәтердің құрылысына мемлекет 420000 теңге жұмсайды. Елдегі орташа пәтерақы 1 м² алаңға 14 теңге. Ауданы 20 м²   болатын бір бөлмелі пәтердің бір жылдағы, он жылдағы, жиырма жылдағы пәтерақысын есептеп шығарыңдар. Көрсетілген пәтерақы бойынша 420000 теңгені неше жылда төлеп шығуға болады?

2. Біз асханадан сатып алатын бір тілім нан 1 теңге түрады, салмағы - 80 грамдай болады. Егер бір тілім нанның әрқайсысының 1/4 бөлігін тастасаңдар, біздің мектеп оқушылары бір жылда қанша нан рәсуә етеді? Сендер бір күнде пайдаланылатын нанның канша пайызы ысырап болады?

Мұндай есептерді шешу оқушылардан жоспарлы материалды меңгеру ғана емес, күнделікті өмірде кездесетін бірқатар мәліметтерді (мектептегі оқушылар саны, бір жылдағы күн саны, тәуліктегі пайдаланылатын нан көлемі) білуді де талап етеді.

Мектеп курсының "Проценттер", "Арифметикалық орта","Диаграмма", "Графиктер" және т.б. тақырыптарының қолданбалы бағытын күшейтудің кейбір әдістемелік аспектілеріне тоқталайық.

Есеп мазмұны шаруашылықта жиі кездесетін процентке берілген мәтіндік есептерден басқа "Проценттер" тақырыбы бойынша 5-9 сыныптардың бүкіл математика курсында қайталауға арналған жаттығулар қолданбалы бағдардағы есептермен толықтырылды. Мысалы, оқушыларға бірнеше шама (бес жыл ішінде алынған мұнай, зауыттың рентабельділігі, 1 га-дан астықтың түсімі және т.б.) ұсынылады. Олардың ішінен процентпен көрсетуге болатындарын алу керек. Есепті тексергенде балалар әр түрлі мысалдар қарастырып соның негізінде ойларын жинақтап, мысалы еңбек өнімділігінің артуы, уақытты үнемдеу, жоспарды орындау және т.б. процентпен өрнектелетінін айтады.

Осы сияқты тәсілдерді "Арифметикалық орта" тақырыбын өткенде де пайдаланады. Арифметикалық орта болып табылатын шамаларды меңгертуде, шаруашылықтың дамуының жылдық орташа көрсеткішін есептеу жаттығулары пайдаланылады.

Мәселе  есептерді  шешуде  қандай  да  бір  ортақ  шешу  әдісі  жоқ, алайда  есептерді  шығарғанда, келесі  нұсқаны ұстанған дұрыс:

1. Белгісізді анықтау. Көп жағдайда есепте анықталатын шаманы белгісіз ретінде алады. Белгісіз шамалар көп болса, теңдеулер немесе теңсіздіктерді құру жеңіл болады.

2. Теңдеулерді құру . Теңдеулер жүйесін құру барысында есептің барлық шарттарын қолдануға болады.Теңдеулер саны белгісіздер санына сәйкес болуы керек.

3. Қажетті белгісізді немесе белгісіздер комбинациясын анықтау. Есептің шартына қарай шешу барысында кейбір түбірлерді ескермеуге болады. Мәтінді есептерді төмендегі топтарға жіктеуге болады:

1.     Қозғалысқа арналған есептер.

2.     Жұмыс және еңбек өнімділігіне арналған есептер.

3.     Концентрация және проценттік құрамға арналған есептер.

4.     Арифметикалық амалдар компоненттерінің арасындағы байланыстарға есептер.

5.     Процентке арналған есептер.

Қозғалысқа арналған есептер

Бұл типтегі есептердің негізгі компоненттері: 

- жылдамдық,   уақыт.

-  уақыт ішінде  жылдамдықпен жүрілген жол.

  ;   ;  

Шешу жоспары:

1) Белгісіз шама ретінде қашықтықты немесе қозғалыстағы обьектінің жылдамдығын қарастырады.

2) Мұндай есептерде теңдеулер құру үшін келесі ережелер ескеріледі:

а) Егер екі обьект бір уақытта қарама-қарсы бағытта қозғалысты бастаса, олардың кездесуіне дейінгі уақыт    шамасына тең болады.

ә) Егер обьектілер қозғалысты әр түрлі уақытта бастаған болса, онда кездесуге дейінгі уақытты бұрынырақ шыққан обьект көбірек жұмсайды.

б) Егер обьектілер бірдей қашықтықты жүріп өткен болса, онда бұл қашықтықты осы есептің жалпы белгісізі деп қарастырған дұрыс.

в) Егер екі обьект бір бағытта қозғалыс  жасаса , бірінші объектінің екіншісін қуып жету уақыты  .

Есеп: Екі жүгіруші 2 минут аралығымен бірінен соң бірі жүгіреді. Екінші жүгіруші біріншісін бастапқы орыннан 1 км қашықтықта қуып жетеді, ал бастапқы нүктеден 5 км қашықтыққа келгенде, кері бұрылып ол бірінші жүгірушімен кездесті. Бұл кездесу бірінші жүгірушінің стартынан 20 минут уақыттан соң жүзеге асты. Екінші жүгірушінің жылдамдығын анықтаңдар.

Шешуі:

Жүгірушілердің жылдамдығын  (км\сағ), деп белгілейміз.

Шамалар	Қозғалыс
	1 жүгіруші	2 жүгіруші	1 жүгіруші	2 жүгіруші
(км)	1	1
(км/сағ)
(сағ)
	2 мин артық

  екенін ескере отырып, теңдеулер жүйесін құрып оны шешеміз:                            

Бірінші теңдеуді екіншісіне бөлеміз:

  

                                                                                       Жауабы: 20км\сағ.

Есеп. Арақашықтығы 2200 км болатын А және В аэродромдарынан бір уақытта екі ұшақ шығып, олар 2 сағаттан соң кездесті. Біріншісі В пунктіне екінші А пунктіне жетуіне қарағанда 4 сағат 35 минут бұрын жетті. Ұшақтардың жылдамдықтарын анықтаңдар.

Шешуі:

Ұшақтар жылдамдықтарын  (км\сағ), деп белгілейміз.

Шамалар	Қозғалыс		Жалпы шамалар
	1 ұшақ	2 ұшақ
(км)	2200	2200	2200
(км\сағ)
(сағ)			2
	4 сағ 35 мин кем

 екенін ескере отырып, теңдеулер жүйесін құрып оны шешеміз:

                            

Теңдеулер жүйесін ықшамдап, мына теңдеуді шешеміз:

  

 есептің шартын қанағаттандырмайды. Сонымен,

                                                                                       Жауабы: 800, 300 км\сағ.

Есеп: А  пунктінен В пунктіне және В пунктінен А пунктіне 2 жолаушы шықты. Бірінші жолаушы жолдың жартысынан өткенде, екінші жолаушының 24 км жолы қалады. Ал екіншісі жолдың жартысын жүріп өткенде, бірінші жолаушының 15 км жолы қалады.

Бірінші жолаушы жүретін жолының соңына жеткенде екінші жолаушының жүруіне қанша шақырым қалады?

Шешуі. А  пунктінен В пунктіне дейінгі қашықтық  S (км), бірінші жолаушының жылдамдығы – х (км/сағ), екінші жолаушының жылдамдығы – у (км/сағ).

Шарты	Теңдеу
Бірінші жолаушы жолдың жартысынан өткенде, екіншісінің 24 км жолы қалады.
Екінші жолаушы жолдың жартысын жүріп өткенде, біріншісінің 15 км жолы қалады.

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

Белгілеу енгізенміз:

Жүйенің сол жақ, оң жақ бөліктерін сәйкесінше көбейтіп, төмендегі квадрат теңдеуді аламыз:

          шартты қанағаттандырмайды. Себебі 

Демек, бірінші жолаушы жүретін жолының соңына жеткенде екінші жолаушының жүруіне

километр шақырым қалады.

                                                                                                Жауабы: 8 км.

Шеңбер бойымен қозғалыс

Берілген тақырыптағы есептерді шығару үшін келесі жағдайлар ескерілуі тиіс:

а) бір нүктеден шеңбер бойымен бір мезгілде екі обьект қозғалатын болса, олардың біреуі екіншісін алғашқыда қуып жетсе, онда осы сәтке дейінгі олардың жүріп өтетін қашықтығының айырмасы шеңбердің ұзындығына тең болады;

б) егер радиусы   шеңбер бойымен екі обьект  және  тұрақты жылдамдықтарыпен әр түрлі бағытта қозғалатын болса, онда олардың кездесетін уақыты     формуласымен анықталады.

в) егер радиусы   шеңбер бойымен екі обьект  ,  тұрақты жылдамдықпен бір бағытта қозғалатын болса, онда екеуінің кездесу уақыты   формуласымен табылады.

 Есеп: Ұзындығы 60 м шеңбер бойымен бір бағытта бірқалыпты 2 нүкте қозғалады. Олардың біреуі екіншісінен 5с жылдамдырақ толық айналым жасайды. Әрбір келесі 1 минут сайын нүктелер сәйкес келіп отырады. Нүктелердің жылдамдықтарын анықтау керек.

Шешуі. Бірінші нүктеде x(сек) – уақытта толық айналым жасайды десек, онда екінші нүкте   (сек),  толық айналым жасайды.

	жылдамдық	уақыт	арақашықтық
1 нүкте			60
2 нүкте			60

  нүктелер бір бағытта қозғалатынын ескеріп, теңдеулер құрамыз:          

,   

 шартты қанағаттандырмайды. Демек, бірінші нүктенің жылдамдығы - 4 м\с, екінші нүктенің жылдамдығы – 3м\с.

                                                                                          Жауабы: 4м/с, 3м/с.

Есеп:  Ұзындығы 1350 м шеңбер бойымен бір бағытта екі велосипедші қозғалады. Бірінші екіншісін әр 27 мин қуып жетеді. Қарама-қарсы бағытта қозғалып олар әрбір 3 минутта кездеседі. Велосипедшілердің жылдамдықтарын анықтаңдар.

        Шешуі: Велосипедшілер жылдамдығы х м\с, екінші нүктенің жылдамдығы –  у м\с,   

Шеңбер бойымен обьектілер қозғалысын анықтау формуласын қолданып, анықтайтынымыз:

                                                                    Жауабы: 15 км\сағ, 12 км\сағ.

Өзен бойымен қозғалыс

Өзен бойымен қозғалысқа арналған есептерде есте сақтау керек:

Есеп: Пароход өзен ағысымен 3сағ., ал өзен ағысына кері қарай 5 сағ. уақыт жұмсады.   Ағыс жылдамдығы 5 км/сағ. Тынық судағы пароход жылдамдығын табыңыз.

Шешуі. Тынық судағы пароход жылдамдығы х км/сағ. x>5. 

Шамалар	Өзен бойымен қозғалыс
	ағыс бойымен	ағысқа қарсы
(км)
	тең
(км/сағ)
(сағ)	3	5

Теңдеу құрамыз:

                                                                                   Жауабы: 20 км\сағ.

Есеп: Моторлы қайық өзен ағысына қарсы 12 км және өзен ағысымен 12 км жүзіп өтті. Егер ол Өзен ағысына қарсы, өзен ағысымен жүрген уақыттан, 1 сағ артық жұмсаса және тынық судағы жылдамдығы 9 км/сағ болса, өзен ағысының жылдамдығын табыңыз.

Шешуі. Өзен ағысының жылдамдығы х км/сағ (0<x<9) деп белгілейік.

Шамалар	Өзен бойымен қозғалыс
	ағыс бойымен	ағысқа қарсы
(км)
(км/сағ)
(сағ)
	1сағат көп

Теңдеу құрамыз:

                                                                                   Жауабы: 3 км\сағ.

Есеп: Катер 96 км\сағ жылдамдықпен өзеннің ағысы бойымен А нүктесінен В нүктесіне дейін және кері қарай 14 сағат жүреді. А пунктінен бір мезгілде ағаш қайық шығады. Қайтар жолда катер мен қайық А пунктінен 24 км қашықтықта кездеседі. Катер тынық судағы жылдамдығын және ағыстың жылдамдығын анықтаңдар.

         Шешуі: Катердің тынық судағы жылдамдығы х м\с, ағыс жылдамдығы –  у м\с,   

Шамалар	Өзен бойымен қозғалыс		Жалпы	Өзен бойымен қозғалыс
	ағыс бойымен	ағысқа қарсы		ағыс бойымен	ағысқа қарсы	қайық
(км)						24
(км/сағ)
(сағ)

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

   

Жауабы: 14км\сағ, 2км\сағ.

Жұмысқа және еңбек өнімділігіне байланысты есептер

         Бұл типтегі есептердің негізгі компоненттері:  - жұмыс,  - уақыт, -жұмыстың еңбек өнімділігі уақыт бірлігіндегі еңбек өнімділігі.

Есепті  шығаруда  келесі  жоспарды  қолданымыз:

1) Бітірілуі  тиіс  жұмысты  бірге  теңестіріп  аламыз.

2) Әр  жұмысшының  еңбек  өнімділігін  жеке  тауып  аламыз, яғни , мұндағы  – әр  жұмысшының  жеке  алғанда  жұмысты  толық  бітіре  алу уақыты.

3) Әр  жұмысшының  жеке  жұмыс  істеген  уақыттағы  орындағын  жұмысын  табамыз.

4) Әр  жұмысшының  жеке  жасаған  жұмысының  қосындысын  жұмыс  көлеміне  теңестіру  арқылы  теңдеу  құраймыз (егер  есептің  шартында  жұмысшылар  бірге  орындаған  болса).

Жұмысқа арналған бірнеше қарапайым есептерді қарастырайық.

         Есеп. Жоспар бойынша тракторлық бригада 14 күнде егіс алқабын жыртуы тиіс еді. Бригада күніне жоспарланған межеден 5 га артық жер жыртады, сондықтан жұмысты 12 күнде аяқтады. Қанша гектар жер жыртылады?

Шешуі: Бригаданың еңбек өнімділігін x-деп белгілейік (га\күн), х>0 

Шамалар	Жер жыртылуы
(га)	Жоспар бойынша	Іс жүзінде
	бірдей
(га\күн)
(күндер)

     Теңдеу құрып шешеміз:

Жоспар бойынша өнімділік 30 га\күн, ал жыртылған жер бетінің ауданы:

                                                                                          Жауабы:420 га(гектар).

Есеп: Бір ағаш шебері жұмысын 12 күнде, ал екіншісі сондай жұмысты 6 күнде орындайды. Екеуі бірлескенде осы жұмысты неше күнде орындайды?

         Шешуі:

1) Барлық жұмысты 1-ге тең деп қабылдаймыз.

2) Бірінші шебердің еңбек өнімділігі  1/12, ал екіншісінікі 1/6.

                                                                                          Жауабы: 4 күн

Құбырлармен толтырылатын бассейнге байланысты есептер

Жұмысқа байланысты мәселе есептерде насостармен сұйықтықтарды айдау, толтыруға байланысты тапсырмалар да кездеседі. Бұл жағдайларда атқарылған жұмыс ретінде айдалған сұйық көлемі алынады.

Есеп: Бассейн бір мезгілде 2 сағат ішінде 2 құбырмен суға толады. Егер бірінші құбыр екіншісіне қарағанда 3 сағат бұрын су толтыратын болса, неше сағатта бірінші құбыр бассейнді толтыра алады?

         Шешуі: Бірінші құбырдың бассейнді толтыруға жұмсайтын уақытын        х (сағ) деп белгілейік, х>0.

	Уақыт	Өнімділік	Жұмыс
І  құбыр			1
ІІ  құбыр			1
І+ІІ	2 сағ.		1

Теңдеу құрып шешеміз:

есептің  шартын қанағаттандырмайды.

                                                                                                            Жауабы: 3 сағ

Есеп: Екі құбыр бірігіп бассейнді 10 сағатта толтырады. Жеке бірінші құбырдан екіншіге қарағанда әр сағат сайын 2 есе кем су ағатыны болса, құбырыдың әрқасысы жеке-жеке қанша уақытта бассейнді толтыра алтынын есептеңіз.

         Шешуі: Екінші  құбырдың бассейнді толтыруға жұмсайтын уақытын        х (сағ) деп белгілейік, х>0.

	Уақыт	Өнімділік	Жұмыс
І  құбыр			1
ІІ  құбыр			1
І+ІІ	10 сағ.		1

Теңдеу құрып шешеміз:

                                                                                                Жауабы: 30 сағ, 15 сағ.

Концентрация және проценттік құрамға арналған есептер

Барлық мәселе есептеріндегідей, бұл жағдайда да есептің шартын толық түсіну және есепті неғұрлым қарапайым түрге келтіру қажет.

         Массалық концентрация деп белгілі бір компоненттің барлық массаның қандай бөлігін құрайтынын көрсететін өлшемді айтамыз. Егер қоспаның (қорытындының, ерітіндінің) массасы  болса және ол массалары  болатын сәйкес

заттарынан тұрса, онда

өлшемдерін  заттарының концентрациясы, ал

өлшемдерін заттардың пайыздық құрамы деп атайды.

Сонымен қатар төмендегі теңдік орындалады:

Есеп: Теңіз суында 5% тұз бар.Тұздың концентрациясы 4,5% болуы үшін 80 кг теңіз суына қанша мөлшерде тұщы су қосу керек?

Шешуі: Тұзды суға х кг тұщы қосу керек болсын

Тұзды – таза зат деп қарастырамыз.

Қоспаның күйі	Таза зат мөлшері	Қоспаның жалпы мөлшері  М	Массалық концентрация
1
Су қосу

Кестенің екінші бағанындағы мәліметтер бойынша теңдеу құрамыз:

                                                                                                    Жауабы: 20 кг

Есеп: Мыс және күміс балқымасында күмістің мөлшері мысқа қарағанда 1845 г артық бар. Егер балқымаға таза күміс массасының 1/3 бөлігіндей мөлшерін қосатын болса, онда жаңа балқымадағы күмістің мөлшері 83,5% болады. Балқыманың массасы және оның бастапқы құрамындағы күмістің проценттік мөлшері қандай?

Шешуі: Балқымадағы күміс мөлшері  х г , ал мыс мөлшері (х-1845) г болсын. Балқыманың массасы (2х-1845) г.

күміс
мыс
қосылғаны
араласқаны

Теңдеу құрып, шешеміз:

Балқымадағы күміс -  2505г, мыс -660г. Балқыманың массасы - 3165г.

Күмістің бастапқы проценттік мөлшері:

                                                                         Жауабы: 3165г; 79,1%

Есеп: 40кг тұз ерітіндісін екі ыдысқа бөліп құйды. Сонда екінші ыдыстағы таза тұздың массасы бірінші ыдыспен салыстырғанда 2 кг-ға артық болды. Егер екінші ыдысқа 1 кг тұз қосылса, ондағы тұздың мөлшері бірінші ыдыспен салыстырғанда 2 есе көп болады. Бірінші ыдыстағы ерітіндінің массасын анықтаңдар.

Шешуі. Бірінші ыдыстағы тұз -   кг. Екінші ыдыстағы тұз -  кг.  

Есептің шарты бойынша:  кг.

          Бірінші ыдыстағы ерітіндінің массасын у (кг) деп белгілейік.

Балқыма(қоспа) күйі	Таза заттың мөлшері	Қоспаның жалпы мөлшері М	Массалық концентрация
1	3
2	5

Ерітіндідегі тұздың концентрациясы бірдей деп қарап, теңдеу құрамыз:

                                                                                             Жауабы:15 кг

Процентке арналған есептер

Процентке пропорция құрылып, шешілетін есептер

А санының проценті дегеніміз оның жүздік үлесі деп аталады. Демек санның өзі 100% болып табылады. Бір процент деген санның жүзден бірі.

Мысалы: 100 санының  -   

                           120 санының  -     

                           х санының  -     

Проценттерге есеп шығарғанда  шамасын , ал оның бөлігі  шамасы  деп қаралып, пропорция құрастырылады

Екі белгілі шама арқылы үшінші белгісізін анықтау үшін пропорцияның негізгі қасиетін қолданамыз.

Есеп:  Цехтың жұмысшылар жиналысына 69 адам қатысты, бұл барлық жұмысшылардың ін құрайды. Жиналысқа қатыспаған адамдар санын анықтаңыз.

Шешуі. Барлық адам x деп алып. пропорция құрамыз:

Олай болса жиналысқа қатыспаған адам:

                                                                                           Жауабы: 6 адам.

Есеп. 1990 жылы зауыт шығаратын өнім 5%-ға артты, ал келесі жылы 8% артты. Екі жылдың ішіндегі өнімнің жыл сайынғы орташа өсімін тап.

Шешуі:

Зауыт шығаратын өнім х:  I жылы  5%-га артты 1,05х

                                                       ІІ жылы  8%-ға артты       

                                                                                            Жауабы: 1,092

Есеп:  Жас саңырауқұлақтар салмағының ы, ал кептірілгеннің ы су болады. 22 кг жас саңырауқұлақтан қанша килограмм кептірілген саңырауқұлақ алуға болады. 

Шешуі. Жас саңырауқұлақтың кептірілгенінің салмағы оның ын құрайды, яғни 22 кг – нан 2,2 кг кептірілген.

Кептірілген саңырауқұлақтың таза кепкен салмағы өйткені оның ы су, яғни ізделінді сан  болса, онда таза кепкен салмақ  

Қоспаның  күйі		М
Жаңа жиналған саңырауқұлақ	2,2	22
Құрғақ саңырауқұлақ	0,8

Кепкен заттың салмағы тұрақты болғандықтан, келесі теңдеуді құрамыз:

                                                                                            Жауабы:  2,5 кг.

Есеп: Кепкен жемісте 20% су, ал жаңа жиналған жемістерде -72% су болады. 7 кг кептірілген жемістер дайындау үшін жаңа піскен жемістерден қанша керек болады?

Шешуі: Жаңа піскен жемісте 72% су болса, құрғақ заттар 28% болады.  

Кепкен жемістерде құрғақ заттар -80% болады.

Қоспаның  күйі		М
Жаңа піскен жемістер			0,28
Кепкен жемістер	5,6	7

Құрғақ заттың массасы  тұрақты болғандықтан теңдеу құрамыз:

Жауабы: 20 кг

Күрделі проценттік өсу

         Күрделі процентер формуласы:

Бұл формула қарастырылатын мөлшер белгілі уақыт аралығында бастапқы мәнін есептегенде р-процентке артатын  немесе кемитін жағдайлардың бәрінде колданылады.

Есеп: кірісі бар шотқа 2000 теңге салынса, 4 жылдан соң сомасы қанша болады?

Шешуі:

                                                                                                      Жауабы: 5712,2 тг.

Есеп: Екі жыл ішінде бірізділікпен бағаның төмендеуінен фотоаппараттың құны 300тг 192 теңгеге дейін төмендеді. Фотоаппараттың құны әрбір жолы неше процентке төмендеді?

Шешуі:

 x=180 - есептің шартын қанағаттандырмайды

                                                                                                 Жауабы: 20%

Есеп: Банктің жылдық өсімі 30% болса, екі жылда 845 000 теңгеге жетуі үшін бастапқы салым қандай болуы тиіс?

Шешуі:

                                                                                      Жауабы: 500 000 тг.

Қорыта келгенде, математиканы оқыту үрдісінде мектеп оқушыларына білім берудің мақсаты осы заманға тіршілік құрылымын танудан, ондағы өз орнын сезінуден, экономикалық мәдениеттің ережелерін меңгеруден, тиісті іс-әрекет дағдыларын ұштаудан құралады демекпіз.

Жиі кездесетін тақырыптар бойынша типтік есептер қарастырып, оларды шығару ерекшеліктерін көрсетелік.

1. Моторлы қайық ағыс бағытымен 20 км жүзіп А қаласынан В қаласына барып,ол жерде кідірмей кері қайтты. Барлық жолға 5сағат уақыт жіберді. Қайықтың меншікті жылдамдығын анықтаңдар.

          Шешуі. Белгілеу енгізелік

           км/сағ – қайықтың меншікті жылдамдығы,  км/сағ - өзен ағысының жылдамдығы.Сонда есептің шарттарын пайдаланып

теңдеуін аламыз. Алайда бір теңдеуден екі белгісіз табылмайтындығы белгілі. Осыдан есептің шарттары толық еместігін көреміз.

2. Үш жұмысшылар бригадасы бір күнде 96 деталь жасап шығарды. Бірінші бригада, екіншіге қарағанда, 18 деталь артық дайындады, ал үшінші бригада бірінші және екінші бригада шығарған детальдардың 5/11 бөлігіне тең детальдар дайындады. Әрбір бригада қанша деталь дайындап шығарды?

          Шешуі. Айталық   - бірінші бригада дайындаған детальдар саны. Сонда 

- екінші бригада дайындаған детальдар саны, ал  - бірінші және екінші бригадалар дайындаған детальдар саны. Олай болса   - үшінші бригада дайындаған детальдар саны.

         Осыдан есептің шарты бойынша мына теңдеуді аламыз:

         Теңдеуді шешкенде  болады, яғни бірінші бригада 42 деталь дайындаған. Демек, екінші бригада

деталь дайындаған, ал үшінші бригада

деталь дайындаған.

3. Екі шкафқа кітаптар салынған. Егер екінші шкафтан 7 кітап алып бірінші шкафқа салса, онда екінші шкафтағы қалған кітаптар саны бірінші шкафтағы кітаптар санынан 1,4 есе көп болады. Егерде бірінші шкафтан 53 кітап, ал екінші шкафтан 67 кітап алынса, ондабірінщі шкафтағы қалған кітаптар санының екінші шкафтағы қалған кітаптар санына қатынасы 3:5 қатынасындай болады. Әрбір шкафта қанша кітап бар еді?

          Шешуі. Айталық  және - сәйкес бірінші және екінші шкафтағы кітап саны. Екінші шкафтан 7 кітап алып, бірінші шкафқа салғаннан кейін бірінші шкафта  кітап, ал екінші шкафта  кітап болды. Есептің шарты бойынша мына теңдеуді құрамыз:

         Енді бірінші шкафтан 53 кітап алғаннан соң, ал екіншісінен  67 кітап алған соң бұл шкафтарда сәйкес  және  кітаптар қалды. Есептің шартын ескеріп мына теңдеуді құрамыз:

Сонымен, қорытындысында екі белгісізі бар екі теңдеу алдық:

          Осыдан  , , яғни алғашында бірінші шкафта 143, ал екінші шкафта 217 кітап болған екен.        

4. Мотоциклші белгілі бір қашықтықты үш күнде жүріп өтті. Ол бірінші күні екінші күн жүріп өткен жолдың 5/14 бөлігін жүрді, ал үшінші күні бірінші күні жүріп өткен жолдан 2,5 есе артық жол жүрді. Мотоциклші бірінші күні 5  кг бензин жұмсады. Сонда барлық жолға ол қанша килограмм бензин жұмсаған?

          Шешуі. Айталық  км – бірінші күні жүріп өткен жолы. Олай болса   км оның екінші күні, ал  км – үшінші күні жүріп өткен жолдары. Есептің шарты бойынша ол бірінші күні 5  кг бензин жұмсаған, сондықтан енді екінші күні  кг және үшінші күні  кг жұмсаған бензиннің мөлшерін анықтау үшін сәйкес төмендегі пропорция құрамыз:

,    

Осы пропорциялардан  кг,  кг екенін анықтаймыз. Сонымен, мотоциклші үш күнде

 кг

бензин жұмсаған екен.

5. Бір жыл ішінде завод өнім шығаруды екі рет бірдей процентке өсірді. Егер заводтың жыл басында айына 600 бұйым, ал жыл аяғында айына 726 бұйым шығарғандығы белгілі болса, онда оның өнім шығаруын әр кез қанша процентке өсіргенін табыңдар.

 Шешуі: Айталық завод жыл басында айына  бұйым шығарды(есептің шарты бойынша ) және оны  % - ке өсірді делік. Сонда өнімді бірінші рет өсіргеннен кейін ол айына

бұйым шығарып тұрған. Ал екінші рет тагы да  % -ке өсіргенде ол айына

         Бұйым шығарып тұрған. Есептің шарты бойынша , .

Осыдан

немесе

 , %.

 Сонымен, завод екі рет өнімін 10% -ке өсірген екен.

6. Белгісіз екі таңбалы санның оның цифрларының орындарын ауыстырып жазғаннан кейін пайда болған саннан айырымы 18 –ге тең. Ал осы санның оның цифрларының  көбейтіндісіне қатынасы 2 -ке тең. Екі таңбалы санды табыңдар.

Шешуі: Белгілеу енгізелік:  - бірліктерінің саны,  - ондықтарының саны. Сонда белгісіз екі таңбалы сан   түрінде жазылады,ал оның цифрларының  орнын ауыстырып жазғанда пайда болған сан   түрінде жазылады.Сондай-ақ   осы санның цифрларының көбейтіндісі.Енді есептің шарттарын ескеріп мына теңдеулерді жазамыз:

            (*)

Бұл жүйені шешіп екі шешім аламыз:

, ; , .

         Бұл шешімдердің екеуі де (*)  жүйені қанағаттандырады. Алайда, белгілеуіміз бойынша  және  сәйкес бірліктердің және ондықтардың саны болғандықтан олар оң бүтін сандар болуы керек. Сондықтан бірінші шешім есептің шартын қанағаттандырмайды. Демек, теңдеу құруға арналған есептер шығарғанда, алынған шешімдердің есептің шарттарына сәйкес болатындығын қадағалау қажеттігі туындайды. Сөйтіп бір ғана шешім ,  болады, яғни іздеп отырған екі таңбалы сан 64 екен.

7. Екі жұмысшы, оның екіншісі, біріншісіне қарағанда, 1,5 күн кейін бастап, белгілі бір жұмысты 7 күнде бітірді. Егер осы жұмысты олар жеке істеген болса, оның біріншісіне, екіншісіне қарағанда, 3 күн артық қажет болар еді. Олардың әрқайсысы осы жұмысты жеке істеп неше күнде бітірер еді?

         Шешуі: Есептің шартында жұмыстың түрі, оның көлемі жөнінде ешқандай дерек жоқ. Олай болса бұл кез келген жұмыс болуы мүмкін және оның көлемі де әр түрлі болуы мүмкін. Сондықтан мұндай жағдайда жұмыстың көлемін 1-ге тең алады. Айталық бірінші жұмысшы жеке істегенде жұмысты  күнде бітірді делік, сонда екінші жұмысшы жеке істеп осы жұмысты  күнде бітірер еді. Олай болса  және  олардың сәйкес жұмыс өнімділіктері болады. Бұл жерде  ,  екені анық, себебі  және  күн саны, олар оң болуға тиіс. Осы теңсіздіктерден  екенін көреміз. Енді екінші жұмысшының жұмысты 1,5 күн кейін бастағанын ескеріп, теңдеу құралық:

       

Теңдеуді шешіп  және   екі түбір аламыз.Алдында ескерткеніміздей , олай болса . Сөйтіп жұмысты жеке істесе бірінші жұмысшы 14 күнде, ал екінші жұмысшы 11 күнде бітірер еді.

8. Екі труба бірігіп істеп бакті 1 сағат 20 минутта толтырды. Егер бірінші трубаны 10 минутқа, ал екіншісін 12 минутқа ашса, онда бактің  бөлігі толтырылады. Әрбір труба жеке істеп бакті қанша сағатта толтырар еді?

 Шешуі: Есептің шартында бактің көлемі жөнінде дерек жоқ. Сондықтан оның көлемін 1-ге тең деп аламыз.

Шығарудың 1- жолы. Белгілеу енгізелік. және  сәйкес бірінші және екінші трубалар жеке істегенде бакті толтыруға жұмсалатын уақыттар. Сонда  және  сәйкес олардың жұмыс өнімділіктері болады.

                                                   (1)

Бұл жүйені ,   арқылы шешуге болады.

         Шығарудың 2-жолы.   және  арқылы сәйкес бірінші және екінші трубалардың жұмыс өнімділіктерін белгілейік. Сонда  және   сәйкес олардың жеке істегенде бакті толтыруға жұмсалатын уақыттары. Есептің шарттары бойынша мына теңдеулерді аламыз:

                                               (2)

    Соңғы жүйені шешіп сағ, сағ аламыз. Байқап отырғанымыздай (2) жүйенің түрі (1) жүйеге қарағанда қарапайым. Бұл есептің екі шығару жолын келтіріп отырғанымыздың себебі мынада:

    Теңдеу құруға арналған есептерді шығарғанда белгісіз ретінде есептің сұрауында келтірілген шаманы алу міндет емес екеніне көңіл аударамыз. Белгісіз енгізуге қойылатын негізгі талап, ол алынған теңдеулердің мейлінше қарапайым болып шыққандығында.

9.   станциясынан  станциясына қарай шыққан пойыз, жолды қар басып қалуына байланысты, 450  км жүргеннен кейін тоқтады. Бұл жүріп өткен жол  -дан   -ға дейінгі қашықтықтың 75% -ті болатын. Жарты сағаттан кейін жол тазартылып,  станциясына кешікпей жету үшін алғашқы жылдамдықты 15 км/сағ ұлғайтып пойыз жүріп кетті. Пойыздың алғашқы жылдамдығын табыңдар.

  Шешуі: Екі станция аралығын   деп белгілейік.Осы қашықтықты табу үшін пропорция құралық:

                                  

  Сонда пойызға әлі 600-450=150 км жол жүру керек. Енді  км/сағ -  пойыздың алғашқы жылдамдығы болсын. Сонда есептің шартын пайдаланып теңдеу құрамыз:

       

 Осыдан , . Екінші түбір есептің шартын қанағаттандырмайды. Сөйтіп пойыздың алғашқы жылдамдығы 60 км/сағ.

10. Қайықтың ағысқа қарсы 22,5 км, ал ағыс бойымен 28,5 км жүзіп барлық жолға 8 сағат уақыт жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы 2,5 км/сағ. Қайықтың тынық судағы жылдамдығын табыңдар.

          Шешуі:  км/сағ арқылы қайықтың тынық судағы жылдамдығын белгілейік. Сонда  км/сағ – қайықтың ағыс бойымен жүзгендегі , ал  км/сағ – ағысқа қарсы жүзгендегі жылдамдықтары. Енді  ағыс бойымен жүзгенде жұмсаған уақыт. Сонда

,                                                                                                                                                           Теңдеуді шешіп ,  аламыз.

         Екінші түбір есептің шартын қанағаттандырмайды (жылдамдық теріс болмайды). Сөйтіп қайықтың тынық судағы жылдамдығы 7 км/сағ.

11. Жаңа терілген таңқурайдың  -і су болады, ал кептірілгені - . Кептірілген таңқурайдың салмағын есептеңіз, егер жаңа терілгені 36 кг болса.

Шешуі. Жаңа терілген:  -і су,  -і құрғақ зат.

 кг (құрғақ зат)

Кептірілген:  -і су,  -і құрғақ зат.

 кг (құрғақ таңқурай)