Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Факультативное занятие по математике на тему "Задачи на движение по окружности"

Факультативное занятие по математике на тему "Задачи на движение по окружности"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_190e626f.gifhello_html_190e626f.gifЗадачи на движение по окружности

Задачи на движение по окружности также являются сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S%3Dv%20%5Ccdot%20t&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Но есть одна хитрость, о которой я вам  расскажу.

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=11&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Из пункта http://l.wordpress.com/latex.php?latex=A&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 круговой трассы выехал велосипедист, а через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=10&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=10&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут, то есть через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути http://l.wordpress.com/latex.php?latex=40&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут, то есть http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа.

Запишем эти данные в таблицу:


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

велосипедист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7Dx&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

мотоциклист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7Dy&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7Dy%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7Dx&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут, то есть через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

велосипедист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dx&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

мотоциклист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dy&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км. Получим второе уравнение:

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dy-%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dx%3D30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Решим получившуюся систему.

 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%3D4x%5C%5C%20y-x%3D60%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Получим, что http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x%3D20%2C%20y%3D80&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: http://l.wordpress.com/latex.php?latex=80&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=12&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Часы со стрелками показывают http://l.wordpress.com/latex.php?latex=8&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часов http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача В13. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа, ровно в http://l.wordpress.com/latex.php?latex=12&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часть круга. Пусть их скорости равны http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 (круг в час) и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 (круга в час). Старт — в http://l.wordpress.com/latex.php?latex=8&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 круга больше, поэтому уравнение будет таким: 

Решив его, получим, что http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%208%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%208%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа. Пусть во второй раз они поравняются через время http://l.wordpress.com/latex.php?latex=z&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Минутная стрелка пройдет расстояние http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1%20%5Ccdot%20z&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, а часовая http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7Dz&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1%20%5Ccdot%20z-%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7Dz%3D1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Решив его, получим, что http://l.wordpress.com/latex.php?latex=z%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа. Итак, через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа стрелки поравняются во второй раз, еще через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа — в третий, и еще через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа — в четвертый.

Значит, если старт был в http://l.wordpress.com/latex.php?latex=8&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, то в четвертый раз стрелки поравняются через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%208%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D%2B3%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением!

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v_%7Bcp%7D%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%20S_o%7D%7B%5Cdisplaystyle%20t_o%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, где http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v_%7Bcp%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 — средняя скорость, http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S_o&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1- общий путь, http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t_o&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 — общее время.

Если участков пути было два, то http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v_%7Bcp%7D%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%20S_1%20%2B%20S_2%7D%7B%5Cdisplaystyle%20t_1%2Bt_2%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=13&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью http://l.wordpress.com/latex.php?latex=20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью http://l.wordpress.com/latex.php?latex=480&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2020%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, а время, затраченное на полет, равно http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%20480%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Общее время равно . Средняя скорость равна  http://l.wordpress.com/latex.php?latex=38%2C4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1  км/ч.

Ответ: http://l.wordpress.com/latex.php?latex=38%2C4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 17.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров198
Номер материала ДВ-166143
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх