1931938
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт проекта «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика КонспектыФакультативное занятие по математике на тему "Задачи на движение по окружности"

Факультативное занятие по математике на тему "Задачи на движение по окружности"

IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Идёт приём заявок Для дошкольников и учеников 1-11 классов 16 предметов ОРГВЗНОС 25 Р. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_190e626f.gifhello_html_190e626f.gifЗадачи на движение по окружности

Задачи на движение по окружности также являются сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S%3Dv%20%5Ccdot%20t&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Но есть одна хитрость, о которой я вам  расскажу.

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=11&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Из пункта http://l.wordpress.com/latex.php?latex=A&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 круговой трассы выехал велосипедист, а через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=10&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=10&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут, то есть через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути http://l.wordpress.com/latex.php?latex=40&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут, то есть http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа.

Запишем эти данные в таблицу:


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

велосипедист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7Dx&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

мотоциклист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7Dy&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%206%7Dy%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7Dx&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут, то есть через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

велосипедист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dx&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

мотоциклист

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dy&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна http://l.wordpress.com/latex.php?latex=30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км. Получим второе уравнение:

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dy-%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7Dx%3D30&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Решим получившуюся систему.

 http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%3D4x%5C%5C%20y-x%3D60%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Получим, что http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x%3D20%2C%20y%3D80&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: http://l.wordpress.com/latex.php?latex=80&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=12&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Часы со стрелками показывают http://l.wordpress.com/latex.php?latex=8&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часов http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача В13. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа, ровно в http://l.wordpress.com/latex.php?latex=12&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часть круга. Пусть их скорости равны http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 (круг в час) и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 (круга в час). Старт — в http://l.wordpress.com/latex.php?latex=8&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%202%7D%7B%5Cdisplaystyle%203%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 круга больше, поэтому уравнение будет таким: 

Решив его, получим, что http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%208%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%208%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа. Пусть во второй раз они поравняются через время http://l.wordpress.com/latex.php?latex=z&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Минутная стрелка пройдет расстояние http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1%20%5Ccdot%20z&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, а часовая http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7Dz&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1%20%5Ccdot%20z-%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7Dz%3D1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

Решив его, получим, что http://l.wordpress.com/latex.php?latex=z%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа. Итак, через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа стрелки поравняются во второй раз, еще через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа — в третий, и еще через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 часа — в четвертый.

Значит, если старт был в http://l.wordpress.com/latex.php?latex=8&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.http://l.wordpress.com/latex.php?latex=00&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, то в четвертый раз стрелки поравняются через http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%208%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D%2B3%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%2012%7D%7B%5Cdisplaystyle%2011%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением!

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v_%7Bcp%7D%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%20S_o%7D%7B%5Cdisplaystyle%20t_o%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, где http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v_%7Bcp%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 — средняя скорость, http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S_o&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1- общий путь, http://l.wordpress.com/latex.php?latex=t_o&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 — общее время.

Если участков пути было два, то http://l.wordpress.com/latex.php?latex=v_%7Bcp%7D%3D%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%20S_1%20%2B%20S_2%7D%7B%5Cdisplaystyle%20t_1%2Bt_2%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1


http://l.wordpress.com/latex.php?latex=13&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью http://l.wordpress.com/latex.php?latex=20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью http://l.wordpress.com/latex.php?latex=480&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%2020%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1, а время, затраченное на полет, равно http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cgenfrac%7B%7D%7B%7D%7B%7D%7B0%7D%7B%5Cdisplaystyle%201%7D%7B%5Cdisplaystyle%20480%7D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1. Общее время равно . Средняя скорость равна  http://l.wordpress.com/latex.php?latex=38%2C4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1  км/ч.

Ответ: http://l.wordpress.com/latex.php?latex=38%2C4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку
26-28 октября 2019 I МЕЖДУНАРОДНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ «ИНФОФОРУМ» «Современные тенденции в воспитании и социализации детей» Подать заявку Очное участие Дистанционное участие Курс повышения квалификации (36 часов) + Сертификат участника “Инфофорума”
IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Для дошкольников и учеников 1-11 классов Рекордно низкий оргвзнос 25 Р. 16 предметов ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
17 курсов по пожарно-техническому минимуму
Обучение от 2 дней
дистанционно
Удостоверение
Программы актуальны на 2019 г., согласованы с МЧС РФ
2 500 руб. до 1 500 руб.
Подробнее