Факультативное занятие "Текстовые задачи" 11 класс

ГУО «Средняя школа № 9 г. Пинска»

Учитель высшей квалификационной категории

 Качановская И.М.

11 класс

Факультативное занятие из курса «Повторяем математику»

Тема: «Текстовые задачи»

Цель: формировать у учащихся интерес к математике как к науке и на основе   заданий развивать их математические  компетенции и внутреннюю мотивацию к предмету; расширять сферу ознакомления   методами решения   задач (составление системы уравнений); создать условия   для развития логического мышления и интуиции учащихся;

1.      Оргмомент

2.      Актуализация знаний

Повторить необходимый материал для решения заданий данного занятия  «Решение систем уравнений», непосредственно перед типом задачи повторить  материал (учащиеся заранее осведомлены о теме занятия)

3.      Решение задач

Задача 1  (концентрация смесей и сплавов) Имеются три смеси, составленные из трех элементов А,В,С. В первую смесь входят только элементы А и В в весовом  отношении 3:5; во вторую смесь входят  только элементы В и С в весовом  отношении1:2; в третью смесь входят только элементы А и С в весовом отношении 2:3. В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в весовом отношении 3:5:2?

Решение: так как масса общей смеси не указана и ее не надо находить, то будем считать ее равной единице. Массы  первой, второй и третьей смесей, входящих в общую смесь, обозначим соответственно х, у и z. Тогда первая смесь содержит элемента А:     элемента В:  вторая смесь содержит    элемента С;  в третей смеси имеется   z   элемента А и     z элемента С. В результирующей смеси содержится     элемента А,      элемента В  и      элемента С. Составим систему уравнений:

  решая эту систему, находим х=, у=,  z=. (Для контроля х+у+z=1)

Так как отношение   равносильно отношению 20:6:3, то получим ответ.

Ответ: нужно взять элементы А, В и С  в отношении 20:6:3.

Задача 2. (задача логического характера) Трава на всем поле растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы поле травы за 24 дня, а 30 коров - за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? Трава на лугу уже была до того момента, как коровы начали ее есть.

Решение:  пусть х – количество съедаемой одной коровой в день, у – столько вырастает травы на лугу за день, А- количество травы на лугу до того, как коровы начали ее есть, п- искомое количество коров.

Сделаем замену:

           

п=20

Ответ: 20 коров

Задача 3 (задача на производительность) Четыре бригады разрабатывали местонахождение горючих сланцев в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производительностью. На втором году в течение четырех месяцев работа не производилась, а все остальное время работала одна из бригад. Отношения времени работ первой, второй, третьей и четвертой бригад и количества выработанной продукции соответственно равны:

В первый год          4:1:2:5    и   10 млн.т.

Во второй год         2:3:2:1   и    7 млн.т.

В третий год           5:2:1:4    и    14 млн.т.

Сколько миллионов тонн железной руды выработали за 4 месяца бригады, работая все вместе?

Решение:  пусть А,В, С,Д (млн.т) –обем добычи горючих сланцев за 1 месяц соответственно первой, второй, третьей и четвертой бригадами, тогда искомая величина 4(А+В+С+Д). Составим систему: Для определения суммы А+В+С+Д умножим первое уравнение на х, второе на у, третье на z, причем х,у, z будут подобраны из условия: 4х+2у+5z=х+3у+2z=2х+2у+z=5х+у+4z.

Тогда, если сложить все полученные  уравнения, то коэффициенты А, ВБ С и Д  будут равны. Получаем такую систему уравнений:

,            Последней системе удовлетворяет, например,х=2, у=3, z=-1. Проводя теперь указанную операцию, получим 9(А+В+С+Д)=27; А+В+С+Д=3;  4(А+В+С+Д)=12

Ответ: 12 млн.тонн

Задача 4 (задача, содержащая элементы исследования) Первый покупатель купил 14 м  ткани первого вида, 5м второго вида и 9м третьего вида и заплатил за все вместе 160 евро. Второй приобрел соответственно 4,  13  и 9 метров таких тканей и заплатил за все 128 евро. Третий купил по 5 м ткани каждого вида. Сколько заплатил третий? Какая ткань дороже: первого или второго вида?

Решение:  обозначим стоимость тканей первого, второго и третьего видов  а, в, с соответственно. Составим систему:   По условию требуется найти 5а+5в+5с. Сложим два уравнения системы и получим 18(а+в+с) =288,   т.е. а+в+с =16, 5(а+в+с)=80 евро. Следовательно, третий покупатель заплатил 80 евро.

Получим второй ответ: что больше а или в? в таких случаях из одного из уравнений исключается третье неизвестное. Вычтем из первого второе уравнение и получим 10а-8в=32, или 5а-4в=16. Однако неясно, что больше: а или в.Но из соотношения а+в+с=16 следует, что а ˂ 16, в ˂ 16, с ˂ 16. Тогда 5а-4в = 4(а-в)+в=16, так как в˂ 16, очевидно, что 4(а-в) > 0, тюе а > в.

Ответ: третий покупатель заплатил 80 евро; первая ткань дороже второй.

Задача 5 (задача с элементами геометрии) Три совхоза расположены не на одной  прямой линии. Расстояние от первого до третьего через второй вчетверо больше прямого пути; расстояние от первого до второго через третий на х км длиннее прямого пути; расстояние от второго до третьего через первый равно 85 км. В каком интервале находятся все значения х, для которых было бы возможным указанное расположение совхозов? Вычислите расстояние между ними при х=5.

Решение:  пусть совхозы расположены так, как указано на рисунке. Обозначим прямые пути между ними через а, в и с. Из условий примера составляем систему из трех уравнений:

  

Формальное решение системы имеет вид: а=                                                                                                                                    

в=    с=   При х=5 имеем а=60 км,

в=40км, с=25км  ОДНАКО! В условии сказано, что совхозы расположены не на одной прямой, т.е. они находятся в вершинах треугольника. Но тогда должны выполнятся неравенства а+в > с, в+с > а,

 с+а > в  . Первые два условия следуют из первого и второго уравнений системы. Третье условие требует проверки:         . отсюда следует, что х˂ 68

Ответ:   При х=5 имеем а=60 км, в=40км,   с=25км. Параметр х                                                    

Задача 6 (для самостоятельного решения)  В лаборатории есть раствор соли 4-х различных концентраций. Если смешать I, II, III растворы в весовом отношении 3:2:1, то получится 15%-ный раствор. II, III, IV растворы в равной пропорции дают при смешивании 24%-ный раствор, и , наконец, раствор составленный из равных частей I и III растворов, имеет концентрацию 10%. Какая концентрация будет при смешении II и IV растворов в пропорции 2:1?

Решение: 1) Пусть в 1кг   I р-ра – А кг соли

II р-ра – В кг соли

III р-ра – С кг соли

IV р-ра – Д  кг соли

2) В условии говорится, что если мы смешаем 3кг I раствора, 2кг II раствора и 1кг III раствора, то в получившихся 6кг р-ра будет 6·0.15=0.9кг соли. Но в 3-х кг I р-ра имеется (3·А)кг соли, в 2кг II р-ра ее (2·В)кг и в одном кг III р-ра – Скг. Отсюда получается первое уравнение 3А+2Б+С=0.9

3)  Рассуждая аналогично, получим, что

В+С+Д = 0.72

А+ С = 0.2,

Т.е. получим систему:

Из этой системы нам нужно вычленить 2В+ Д.

2Б+Д=0,5(3А+2В+С)+(В+С+Д)-1,5(А+С)=0,5·0,9+0,72-1,5·0,2=0,87

Значит, если смешать 2кг второго раствора и 1кг четвертого, то в получившихся 3кг смеси будет 0.87кг соли, что составляет 29%, что и требовалось найти.

3кг – 100%              0.87кг – x%          3/0,87=100/x;    x = 29%.

 Ответ: 29%

4.      Подведение итогов занятия

5.      Повторить материал к следующему занятию: задачи на движение, движение по окружности.