Задача С1 или задание15 представляет собой уравнение или систему уравнений. Ключевым признаком задачи является необходимость отбора полученных в результате решения того или иного уравнения корней в соответствии с вытекающими из условия ограничениями. При этом для решения задачи С1 необходимо уверенное владение навыками решения всех типов уравнений и систем уравнений, изучаемых в основной и старшей школе: целых рациональных, дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических.
Существуют следующие способы отбора корней:
• арифметический способ;
• алгебраический способ;
• геометрический способ;
• функционально-графический способ.
Учить отбору корней необходимо только в том случае, если решение простейших уравнений по каждому виду не вызывает никаких затруднений. Приводимое решение должно содержать все необходимые пояснения и обоснования и быть понятным не только его автору, но и любому компетентному человеку.
Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.
Ӏ. Арифметический способ.
Арифметический способ: а) непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
а) Пример 1.
Найти корни уравнения cos x = 0,5, удовлетворяющие неравенству sin x ≤ 0. Решение.
cos x = 0,5, x 
2n,nZ , 3
Проверим выполнение условия sin x ≤ 0.
Для => sin 2n sin 3 >0. Первая
серия корней является посторонней.
3 3 2
Для x 2n,nZ => sin 2nsin 3 < 0.
3 3 3 2
Ответ: x 2n,nZ . 3 б) Пример
2.
а) Решите уравнение cosx + sinx = 0.
б) Укажите корни
этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 ;2
.
Решение.
а) cosx + sinx = 0 | : cosx,
tgx 1, x n,nZ 4
б) Отберем корни уравнения,
принадлежащие отрезку 2 ;2 .
Перебирая, подряд значения переменной, обозначающей целые числа, мы должны добиться того, чтобы найти все точки внутри промежутка и по одной точке слева и справа от данного промежутка.
n = 0, x 4 2
;2
34 ;2
n = 1, x 2
74
;2
n = 2, x 2
114 ;2
n=3, x 2
Ответ:
а) x n,nZ ; б) 3,
7.
4 4 4
ӀӀ. Алгебраический способ.
Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными, и при решении задач с дополнительными условиями.
Алгебраический способ: а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
а) Пример 3.
а) Решите уравнение 6cos2x 7cos x 5 0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. ;2. Решение.
а) Пусть у = cos x, то 6у2-7у-5=0.
1
5 y1 
, y2 
=˃ cosx
- ,cos x
.
2 3
cosx - =˃ x 
2 2n,nZ, x 2 2k,k
Z ,
3 3
cos x 
=˃ корней нет.
б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку ;2
2
2n
2,nZ
3
1 n
=˃ при n = 0, x -
2
и при n =1, x 4
.
63 3
2
2k
2,k
Z
3
52
k =˃ при
k = 0 x .
63
Ответ:
а) x 2 2n,nZ, x 2 2k,k
Z ,
б) 2;
2;
4.
3 3 3 3 3
Пример 4.
а) Решите уравнение cosxcos5x 0,
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1;2] .
Решение.
а) Найдем решения совокупности уравнений
cos5xcosx
0,0, xx 10n5k, , k, nZ
2
x (1 2k)
Если записать совокупность в виде 10 . Можно заметить, что решения
x (1 2n)
2
второй серии содержатся в первой. Поэтому первая серия решений совокупности содержит все корни исходной совокупности уравнений. Следовательно решением
уравнения
будут корни x
k
,k Z
.
10 5
б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку 1;2.
1
л
2,
10 5
102k20,
10 2k 20
10 20
k 
2 2
5 1 10 1
k . Оценив
левую и правую часть неравенства, приходим к выводу, что
2
2 k=2. Тогда x
2
.
10 5 2
Ответ:
а) x
k
,k Z
,
10 5
б) .
2
б) Пример 5.
cos2x 1,
Решить систему уравнений 5x
sin
2 1,
Решение. При решении систем тригонометрических уравнений необходимо использовать разные обозначения целочисленных переменных при решении разных уравнений системы.
cos2x 1, x n,
5x 4m
sin 2 1, x
5 5 ,m,nZ
Найдем
такие целые значения m и n, при которых решения в полученных сериях совпадают.
Приравнивая выражения для х в обеих сериях, получим n
4m
,
5 5
5n=1+4m.
4m=5n-1, m 
5n 1 n 
n 1.
4 4
n 1
Для существования целых решений число должно быть целым. Обозначим его 4
буквой k,
тогда n 1 k, n=4k+1, kZ. 4
m 5n 1 20k 4 5k 1,k Z
4 4
Подставляя в систему значения m и n, получим общее решение x (4k 1),kZ Ответ: x (4k 1),kZ.
ӀӀӀ. Геометрический способ.
Геометрический способ дает возможность иллюстрировать решения простейших тригонометрических уравнений с помощью:
а) числовой окружности;
б) числовой прямой;
.
а) Пример 6.
3
а) Решите
уравнение cos( 
2x) cos x 2
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 52;4
Решение.
3
а)cos( 2x) cos x 2 sin2x cosx 2sinxcosx -cosx 0
cosx(2sinx -1) 0
сos x = 0 или 2sinx -1 = 0 x
n,nZ
sin x 1
2 2
x 2k,k
Z,
6
5
x
2m,mZ
6 5;4
.
б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку 2
Для этого на единичной окружности отметим дугу равную
данному отрезку и точки, соответствующие корням данного уравнения.
Итак, корнями, принадлежащими данному
отрезку,
являются числа 5;17; 7.
2 6 2
Ответ: а) x
n,nZ , 2
x
2k,k
Z, x
5 2m,mZ ,
6 6
б) 5;17;
7.
2 6 2
б) Пример 8.
x
cos
а) Решите уравнение 2 0 x
sin
3
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. ;11 Решение.
а) Из условия получаем cos x2 0, x 2k =>
sin x
0, x 3n,k,nZ
3
Следует исключить те значения параметра k, которые приводят к совпадению корней числителя и знаменателя.
Приравняем значения х из системы. Решим диофантовое уравнение через частное решение.
2k 3n,k,nZ| :π
1+2k=3n,
3n-2k=1, частное решение n0 1,k0 1. 3n -2k 31-21, 3n 31 2k 21,
3n1 2k1, n 1 2t =>
k 1 3t,t Z
Следовательно, х=π + 2πk, k 3t 1, k,tZ
б) На числовой прямой рассмотрим промежуток ;11.
На числовой прямой отметим черными точками корни, принадлежащие полуинтервалу ;11. Это числа ,5,7,11.
Ответ: а) х=π + 2πk, k 3t 1, k,tZ б) ,5,7,11
в) Пример 7.
а) Решить уравнение cos x = 2
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ;3 Решение.
а) cos x
= , x
n,nZ 4
б) cos x = ,
2
Ответ: а)
x n,nZ;б) ;;7;9.
4 4 4 4 4
ӀV. Функционально-графический способ.
При изображении решений простейших тригонометрических неравенств иногда используют графики простейших тригонометрических функций. Для нахождения решения тригонометрического неравенства при этом подходе требуется схематичное построение графика простейшей тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений.
Пример 9.
2
Решить систему cos x 2
sin
x 1
2
Решение.
2
Неравенству
sin x >
удовлетворяет
4 4
Ответ: x
2n,nZ
4
Пример 10.
3
sin x
Решить систему 2
tgx 1
Решение.
sin x 3 x (1)k k,k
Z
2 ó 3
tgx 1 tgx 1
;3,
длина которого 2π, неравенству tgx>1 удовлетворяет одно
На промежутке 2 2
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Задача С1 или задание15 представляет собой уравнение или систему уравнений. Ключевым признаком задачи является необходимость отбора полученных в результате решения того или иного уравнения корней в соответствии с вытекающими из условия ограничениями. При этом для решения задачи 15необходимо уверенное владение навыками решения всех типов уравнений и систем уравнений, изучаемых в основной и старшей школе: целых рациональных, дробно-рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических.
Существуют следующие способы отбора корней:
арифметический способ; алгебраический способ; геометрический способ; функционально-графический способ.
Учить отбору корней необходимо только в том случае, если решение простейших уравнений по каждому виду не вызывает никаких затруднений. Приводимое решение должно содержать все необходимые пояснения и обоснования и быть понятным не только его автору, но и любому компетентному человеку.
6 656 225 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Корнилова Любовь Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.