Факультативный курс по математике в 10 классе.

«Математика интенсив». (68 часов)

Автор Т.Ю. Сарычева

Пояснительная записка.

Факультативный курс ставит своей целью углубление знаний по математике, а  также закрепление полученных знаний по предмету. В данном курсе включены следующие темы для изучения: способы задания функции, преобразование графиков функций; уравнения с параметром; нестандартные способы решения уравнений; действительные числа; комплексные числа.

     Учащиеся часто испытывают затруднения при работе с функциями. Такая математическая модель как функция может быть успешно использована , например, при решении нестандартных уравнений. Поэтому учащиеся должны чётко представлять себе, как можно графически решить уравнение, уметь выполнять преобразования графика функции, уметь задавать функцию различными способами и др.

     Уравнения с параметром являются камнем преткновения для большинства учащихся. Само понятие «параметр» вызывает у учащихся непонимание о том, сколько же переменных находится в уравнении. Уравнения с параметром часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, в последние годы такие задания предлагаются на школьных выпускных экзаменах и часто оказываются не под силу учащимся. Это происходит потому, что у большинства учащихся нет свободы в общении с параметром.

     Школьные учебники практически не содержат материал на эту тему, не предусматривают выработки прочных навыков решения задач с параметром для всех учащихся.

     В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой—конкретное значение параметра неизвестно. С одной стороны –параметр является величиной постоянной, а с другой –он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении –это неизвестная величина, «переменная постоянная величина». Этот «каламбур» и отражает те сложности, которые необходимо преодолевать ученикам.

     Углубленное изучение данной темы может быть достигнуто с помощью элективных курсов.   

      Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. В последние годы такие уравнения и неравенства стали предлагаться в контрольных работах школьных выпускных экзаменов и на вступительных экзаменах в некоторых ВУЗах.

  Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

Школьные учебники практически не содержат материал на эту тему, поэтому более подробное изучение этого вопроса может быть достигнуто на элективном курсе.

     Наконец, в разделе «Действительные числа» подытоживаются и углубляются знания о действительных числах:   признаки делимости натуральных чисел, НОД и НОК, основная теорема арифметики натуральных чисел; рациональные и иррациональные числа; числовые неравенства, аксиоматика действительных чисел; модуль действительного числа, метод математической индукции.

      Числа—один из основных математических объектов. Логичным было бы познакомить учащихся с новой числовой системой—системой комплексных чисел. Таким образом, у учащихся должно сформироваться полное представление о числе. Можно ограничить ознакомление с комплексными числами в качестве определения комплексных чисел и арифметических операций с ними, изображение их на координатной плоскости, тригонометрической записи комплексного числа, решение простейших уравнений в комплексных числах.

Учебно-тематический план.

Содержание программы.

Тема 1. Числовые функции.

В данной теме рассматриваются преобразование графиков функций, построение графиков кусочной функции, дробной части числа; чтение графиков функций, исследование функций на монотонность, ограниченность, выпуклость, непрерывность, нахождение наибольшего и наименьшего значений функций. Также на занятиях изучаются вопросы чётности и нечётности функций, построение графиков чётной и нечётной функций; даётся понятие периодической функции, обратной функции.

Тема 2.

Нестандартные способы решения уравнений.

  В учебной и математической литературе традиционно рассматриваются специальные приёмы решения уравнений.

По существу, применяются четыре основных метода:

·         Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы.

·         Метод замены переменной.

·         Метод разложения на множители.

·         Функционально-графический метод и  его различные модификации.

Самый распространённый метод – метод замены переменных. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет рациональна и быстрее приведёт к успеху. При решении уравнений  и неравенств удачная замена переменных позволяет свести задачу к более простой. Однако, во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования.

  В данной теме учащиеся ознакомятся с различными видами уравнений, их классификацией и решениями.

Тема 3.

Уравнения с параметром.

     На занятиях даются основные положения и определения; учащиеся знакомятся с решением простейших уравнений с параметром; учатся решать задачи с параметром более сложного порядка.

    В результате изучения темы учащиеся должны знать:

• Основные положения и определения, основные приёмы и методы решения уравнений с параметром;
• Уметь решать простейшие уравнения с параметром, уравнения второй степени и сводящиеся к ним; уравнения высших степеней.
• Владеть основными приёмами и навыками решения уравнений с параметрами.

Тема 4.

Действительные и комплексные числа.

      Изучение действительных чисел носит характер повторения и расширения известного из курса алгебры основной школы материала о действительных числах (дополнительный материал — вопросы делимости натуральных чисел, метод математической индукции).

       Совершенно новым является понятие комплексного числа. Множество комплексных чисел является самой полной числовой системой, включающей в себя все ранее изученные системы чисел (натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа, действительные числа). В данной теме рассматриваются все операции с комплексными числами, а также изображение чисел на координатной плоскости, решение простейших квадратных уравнений, тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

    В конце изучения каждой темы проводится контроль знаний, умений и навыков в виде зачёта.

Литература.

1. А.Г. Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Профильный уровень.- «Мнемозина», 2006.
2. Математика в школе № 2, 1995.
3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. Просвещение, 1988.
4. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., Просвещение, 1986.
5. Мордовина Е.Е. Уравнения и неравенства с параметром. Тамбов, 2002.
6. Мордовина Е.Е. Исследование корней трёхчлена второй степени с параметром. Тамбов, 2002.
7. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Высшая школа, 1998.
8. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука,1987.
9. Говоров В.Н., Смирнов С.А., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В. Сборник конкурсных задач по математике. М.: Наука,1986.
10. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И, Смирнова В.К. Экзаменационные задачи по алгебре для школьников и абитуриентов. М.: Дрофа,1996,1997.
11. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. М.: Дрофа,2001.
12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. (10-11 кл.). М.: Просвещение,1989.
13. Родионов Е.М., Филимонов Л.А. Уравнения, неравенства. Параметры. Тригонометрия. Логарифмы. М.: Ориентир,2003.