Программа
Элективного курса по математике
«Уравнения с параметром» (10 класс).
Автор Т.Ю.Сарычева.
Пояснительная записка.
Уравнения с
параметром часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, в
последние годы такие задания предлагаются на школьных выпускных экзаменах и
часто оказываются не под силу учащимся. Это происходит потому, что у
большинства учащихся нет свободы в общении с параметром.
Школьные
учебники практически не содержат материал на эту тему, не предусматривают
выработки прочных навыков решения задач с параметром для всех учащихся.
В самом начале
знакомства с параметром у учеников возникает психологический барьер, который
обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны,
параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой—конкретное
значение параметра неизвестно. С одной стороны –параметр является величиной
постоянной, а с другой –он может принимать различные значения. Получается, что
параметр в уравнении –это неизвестная величина, «переменная постоянная
величина». Этот «каламбур» и отражает те сложности, которые необходимо
преодолевать ученикам.
Углубленное
изучение данной темы может быть достигнуто с помощью элективных курсов.
Цели: дать основные положения и определения;
ознакомить с решением простейших уравнений с параметром; научить решать задачи
с параметром более сложного порядка.
Задачи: развитие
математического интереса, расширение математического кругозора.
Учащиеся должны
знать:
- Основные
положения и определения, основные приёмы и методы решения уравнений с
параметром;
- Уметь решать
простейшие уравнения с параметром, уравнения второй степени и сводящиеся к
ним; уравнения высших степеней.
- Владеть основными
приёмами и навыками решения уравнений с параметрами.
Учебно-тематический
план.
|
№п\п
|
Наименование
разделов и тем
|
Всего
часов
|
Форма
контроля
|
|
1
|
Основные положения и определения. Решение
простейших уравнений с параметром.
|
1
|
собеседование
|
|
2
|
Линейные уравнения с параметром и уравнения,
сводящиеся к ним.
|
2
|
зачёт
|
|
3
|
Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным
уравнениям
|
2
|
зачёт
|
|
4
|
Графический
способ решения уравнений с параметром.
|
2
|
зачёт
|
|
5
|
Уравнения высших
степеней.
|
2
|
зачёт
|
|
6
|
Итоговая
аттестация.
|
1
|
Тестовый
контроль
|
|
7
|
ИТОГО:
|
10
|
|
Содержание:
Тема
1. Основные положения и определения. Решение
простейших уравнений с параметром. (1 час)
На первом уроке учащиеся знакомятся с
основными положениями и определениями. Узнают, что наличие параметра в
уравнении предполагает постановку задачи: для каждого допустимого значения a решить уравнение относительно х. Учатся правильно записывать ответ, в
котором предполагается отразить, при каких значениях параметра существуют или
не существуют решения.
Изучение уравнений с параметром
начинается с решения простейших уравнений без ветвлений. Подобные упражнения
позволяют привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении
уравнений.
Тема
2. Линейные уравнения с параметром и уравнения,
сводящиеся к ним.
(2
часа)
Учащиеся
знакомятся с линейными уравнениями с параметром и уравнениями, сводящимися к
линейным. Учащиеся должны понять, что при решении таких уравнений необходимо:
- нахождение
области допустимых значений параметра;
- выявление, при
каких значениях параметра выражение относительно х обращается в нуль;
- запись уравнения
для каждого значения параметра, нахождение его решения.
Тема
3.Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным
уравнениям. (2 часа)
При решении таких задач приходится работать
с тремя типами моделей.
- вербальная модель
– словесное описание задачи;
- геометрическая
модель – график квадратичной функции;
- аналитическая
модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая
модель.
Необходимо
добиться, чтобы ученики устанавливали связь между этими моделями.
Задачи необходимо
решать по следующему алгоритму:
1.
уравнение записывают в стандартном виде;
2.
выбирают контрольное значение параметра (Д=0,Д>0,
Д<0,а=0,а>0,а<0) и те значения параметра, при
которых квадратный трёхчлен становится неполным.
3.
для каждого случая строят параболу (геометрическую
модель);
4.
геометрическую модель описывают системой неравенств
(аналитическая модель);
5.
решают систему неравенств.
Решение
уравнений становится более наглядным, более доступным, если использовать
геометрическую интерпретацию.
Тема 4. Графический способ решения уравнений с
параметром. (2 часа)
При решении задач на определение количества решений уравнений параметром более
уместен графический способ. Он удобен, более красив и экономичен. Ответ на
вопрос о числе корней уравнения в зависимости от параметра даёт количество
точек пересечения графиков функций, стоящих в разных частях уравнения.
При этом способе развивается логическое мышление, повторяются необходимые
знания по построению графиков логарифмической, показательной, квадратичной
функций, и обратной пропорциональности.
Тема 5.Уравнения высших степеней. ( 2 часа)
При решении уравнений высших степеней используются известные методы решения
рациональных уравнений, позволяющих сводить их к равносильной совокупности
уравнений более низких степеней (линейных, квадратных).
Итоговая аттестация: тестовый контроль 1 час.
Литература.
1.
Математика в школе № 2, 1995.
2.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные
материалы. Просвещение, 1988.
3.
Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М.,
Просвещение, 1986.
4.
Мордовина Е.Е. Уравнения и неравенства с
параметром. Тамбов, 2002.
5.
Мордовина Е.Е. Исследование корней трёхчлена второй
степени с параметром. Тамбов, 2002.
Тема 1.
Основные
положения и определения. Решение простейших уравнений с параметром.
Дано уравнение
F(x,a)=0.
(1)
Определение. Переменная (в нашем случае а), которая при решении уравнения считается
постоянной, называется параметром.
Определение. Уравнение вида (1), где а – параметр, х – действительная переменная,
называют уравнением с одной переменной, содержащим параметр.
Наличие параметра в уравнении предполагает
следующую постановку задачи: для каждого допустимого значения а решить
уравнение относительно х.
Форма записи ответа должна отражать, при
каких значениях параметра существуют (или не существуют) решения и каковы они.
В связи с этим она обычно имеет разветвлённую структуру.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.