Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Факультативный курс по математике.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Факультативный курс по математике.

библиотека
материалов

hello_html_m695a8987.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_m60af55fb.gifhello_html_4f0a6c3d.gifhello_html_76321f19.gifhello_html_m573f9b89.gifhello_html_3763683b.gifhello_html_m1248ddcd.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_m35553e17.gifhello_html_7e00b649.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_7e00b649.gifhello_html_7e00b649.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_5f293880.gifhello_html_5f293880.gifhello_html_532ba7a3.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_532ba7a3.gifhello_html_532ba7a3.gifhello_html_37e138d4.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_37e138d4.gifhello_html_37e138d4.gifhello_html_m6269e4b9.gifhello_html_m6269e4b9.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m6269e4b9.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m6269e4b9.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_m6269e4b9.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_m78bb57d6.gifhello_html_4517a0bf.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_4517a0bf.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_4517a0bf.gifhello_html_4517a0bf.gifhello_html_4517a0bf.gifhello_html_f354f86.gifhello_html_m38b40131.gifhello_html_m72c10.gifhello_html_5b121fe2.gifhello_html_m18c14985.gifhello_html_m6d0d95d7.gifhello_html_18170078.gifhello_html_43279beb.gifhello_html_43279beb.gifhello_html_m17aca5ef.gifhello_html_m3510d870.gifhello_html_m17aca5ef.gifhello_html_m17aca5ef.gifhello_html_m6bfb0fe5.gifhello_html_6866da02.gifhello_html_m6bfb0fe5.gifhello_html_m6bfb0fe5.gifhello_html_m6bfb0fe5.gifhello_html_m1c0f493f.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m1c0f493f.gifhello_html_m1c0f493f.gifhello_html_m1c0f493f.gifhello_html_m1c0f493f.gifhello_html_6866da02.gifhello_html_553615a.gifhello_html_553615a.gifhello_html_553615a.gifhello_html_553615a.gifhello_html_m212c9552.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m73cd7cd8.gifhello_html_m73cd7cd8.gifhello_html_m73cd7cd8.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_2a6f6544.gifhello_html_2a6f6544.gifhello_html_2a6f6544.gifhello_html_m2bb32712.gifhello_html_2cf072e6.gifhello_html_2cf072e6.gifhello_html_2cf072e6.gifhello_html_2e4f8347.gifhello_html_m2bb32712.gifhello_html_2e4f8347.gifhello_html_2e4f8347.gifhello_html_m27ed98be.gifhello_html_5019c82d.gifhello_html_5019c82d.gifhello_html_5019c82d.gifhello_html_m681bc72b.gifhello_html_mb419d65.gifhello_html_m681bc72b.gifhello_html_m681bc72b.gifhello_html_2c71121a.gifhello_html_m15db45ae.gifhello_html_m15db45ae.gifhello_html_mdb58b29.gifhello_html_m3a88f75b.gifhello_html_m3a88f75b.gifhello_html_m3a88f75b.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_m21a8f8fe.gifhello_html_m21a8f8fe.gifhello_html_m21a8f8fe.gifhello_html_5aebad15.gifhello_html_m1bdcae6a.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m12c8719c.gifhello_html_m5234c760.gifhello_html_m6e00be2d.gifhello_html_a4c60fc.gifhello_html_mc1d5302.gifhello_html_5d1db4d9.gifhello_html_1eb3cf69.gifhello_html_m76f6c190.gifhello_html_m2bb32712.gifhello_html_15c4e381.gifhello_html_15c4e381.gifhello_html_15c4e381.gifhello_html_m2bb32712.gifhello_html_15c4e381.gifhello_html_15c4e381.gifhello_html_15c4e381.gifhello_html_52dc5864.gifhello_html_m7052cb1c.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_4edda62a.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_79345081.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_m27648980.gifhello_html_m44edc295.gifhello_html_6102b9f6.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_m44edc295.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_52dc5864.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m56b3b32c.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m27648980.gifhello_html_6102b9f6.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_2ecd7e82.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_1c7e82f8.gifhello_html_1c7e82f8.gifhello_html_1c7e82f8.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_503e699c.gifhello_html_m40ef3963.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m27648980.gifhello_html_52dc5864.gifhello_html_2c70764f.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_21c6ca8f.gifhello_html_503e699c.gifhello_html_m44edc295.gifhello_html_m3828adee.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m56b3b32c.gifhello_html_m3828adee.gifhello_html_m182006f7.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m3828adee.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m7b744866.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_4edda62a.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m5963064e.gifhello_html_654f26b5.gifhello_html_m3510d870.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_4a3b7f8.gifhello_html_m2d630e26.gifhello_html_m282107c5.gifhello_html_m4fabfef1.gifhello_html_7496b2d8.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_dbd8238.gifhello_html_220bec85.gifhello_html_m282107c5.gifhello_html_23c48570.gifhello_html_m7b744866.gifhello_html_23c48570.gifhello_html_m7b744866.gifhello_html_m3f0bc81.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_6713afe1.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_21c6ca8f.gifhello_html_m40ef3963.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_6102b9f6.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_21c6ca8f.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_503e699c.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_4f171b3b.gifhello_html_4e6a26f0.gifhello_html_17285b3f.gifhello_html_m282107c5.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m1385962f.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_508627a.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_4e6a26f0.gifhello_html_39709f4c.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m39954e59.gifhello_html_m1d90bf30.gifhello_html_m44edc295.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_21c6ca8f.gifhello_html_m71149aae.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m20419abd.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_21c6ca8f.gifhello_html_508627a.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_mdb58b29.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_3d1d077a.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_5fd8e26.gifhello_html_m3518fa5e.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_mdb58b29.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m28e87c83.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_mdb58b29.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_mdb58b29.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m40ef3963.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m5764ecaf.gifhello_html_441e9e56.gifhello_html_m27648980.gifhello_html_mdb58b29.gifhello_html_5b5fb5e7.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_m3adae45c.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_2c71121a.gifhello_html_m161f44cf.gifhello_html_74c7b5f5.gifhello_html_186bdf33.gifhello_html_74c7b5f5.gifhello_html_m41581a9f.gifhello_html_m41581a9f.gifhello_html_54f0cc21.gifhello_html_74c7b5f5.gifhello_html_4b23695c.gifhello_html_m7bb384e3.gifhello_html_m92e5ed8.gifhello_html_m6821e68b.gifhello_html_m6821e68b.gifhello_html_m5cfaa74e.gifhello_html_m5cfaa74e.gifhello_html_m5cfaa74e.gifhello_html_m5cfaa74e.gifhello_html_m5cfaa74e.gifhello_html_m5cfaa74e.gifhello_html_m6821e68b.gifЗанятие 1. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Задачи:

  1. Познакомить детей с теоремой о делении с остатком.

  2. Научить применять ее для целых чисел.

  3. Развивать математическое мышление.

Ход занятия:

Опр. Натуральные числа - это числа 1,2,3,… .Они возникают в процессе счета и означают количество предметов. Обозначаются N ={1,2,3,….}

Решение простейших линейных уравнений х+а=0, а N, требует введения понятия «целое отрицательное число».

Какие числа называют целыми?

Опр. Целые числа - это числа 0,1,-1,2,-2,3,-3,…, т.е. число 0, натуральные числа и числа, противоположные натуральным числам. Обозначаются Z={0,1,-1,2,-2,3, -3, …}.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Однако результат деления одного целого числа на другое не обязан быть целым числом. Операция деления с остатком основывается на теореме.

Теорема о делении с остатком:

Для любого целого числа а и любого натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что выполняются два условия: а = bq + r и 0≤r<b.

Следующая геометрическая иллюстрация позволит нам увидеть существование неполного частного q и остатка r. Пусть а- целое число, b - натуральное число. Тогда целые числа -3b , -2b, - b, 0, b, 2b, 3b,... разбивают координатную прямую на отрезки, длина каждого из которых равна b.

-2b -b 0 b 2b 3b 4b bq



Произвольное целое число а изображается точкой, которая либо совпадает с одним из концов некоторого отрезка, либо попадает внутрь отрезка. В первом случае, а кратно b, т.е. а = bq= bq+0, где h - целое число. Во втором случае, а получается путем прибавления к числу bh, кратному b, некоторого натурального числа, меньшего, чем b, т.е. а = bq +r, где 0≤r<b. Существование пары q, r доказано.

Единственность чисел q и r позволяет дать имена всем числам из равенства а = bq + r : а- делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток.

Задание 1.

Выполнить деление с остатком.

а) 2867 на 15,

б) 2867 на -15.

Решение.

а) Выполним деление столбиком

2867 15

15 191

136

135

17

15

2

Запишем равенство 2867=15*191+2, где 2867- делимое, 15 – делитель, 191– неполное частное, 2– остаток.

Таким же образом, получаем, -2867=15*(-192)+13, 0≤13<15 (остаток не может быть отрицательным числом), где -2867- делимое, 15- делитель, -192- неполное частное, 13– остаток , 0≤13<15 (остаток не может быть отрицательным числом).

Задание 2.

Выполнить деление с остатком.

  1. 43 на 12,

  2. 18 на 19,

  3. 37 на 6.

Решение:

  1. Так как 43=12*3+7, то 3-неполное частное, 7-остаток.

  2. Так как 18=19*0+18. то 0-неполное частное, 18-остаток.

  3. Так как 37=6*6+1. то 6-неполное частное, 1-остаток.

Наряду с индукцией теорема о делении с остатком является одним из способов решения задач о целых числах.

Задание 3.

Какие остатки могут получиться при делении квадрата целого числа на 4.

Решение:

Способ 1. По теореме о делении с остатком на 4 число а может быть представлено в одном из следующих четырех видов:

a=4n, a=4n+1, a=4n+2, a=4n+3, nhello_html_559182c5.gifZ .

Возводя эти выражения в квадрат, получаем:

a2= (4n)2=16 n2=4*4 n2+0,

a2=(4n+1)2=16 n2+8n+1=4(4 n2 +2n)+1,

a2=(4n+2)2=16 n2 +16n+4=4(4 n2+4n+1)+0,

a2=(4n+3)2=16 n2+24n+9=4(4 n2 +6n+2)+1.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 1 или 0.

Способ 2.

По теореме о делении с остатком на 3 можем записать a= 2n и a= 2n+1, nhello_html_559182c5.gifZ.

Возводя эти выражения в квадрат, получаем:

a2= (2n)2=4n2=4n2+0,

a2= (2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 1 или 0.

Задание 4.

Заполните таблицу:

a


85

5611

b

18



q

411


701

r

7

6

3

Решение:

  1. а = bq + r, b=18, q=411, r=7, а=18*411+7, а=7405.

  2. а = bq + r, а=85, r=6, 85= bq + 6

bq=79

b =79, q=1, так как r=6, то случай b =1, q=79 не возможен.

  1. а = bq + r, а=5611, q=701, r=3.

5611= b701+3

5611-3= b701

b =5608:701

b=8.

Задание 5.

Найдите делитель b и остаток r, если известно делимое a=41 и неполное частное q=5.

Решение:

Поскольку 41=8*5+1, 0≤ 1 <8, 41=7*5+6 , 0 ≤ 7< 6, 41=6*5+11, но 6< 11, то возможны лишь случаи, когда b = 8, r=1 и b=7, r=6.

Здесь нет однозначного ответа, поскольку теорема о делении с остатком гарантирует однозначность, если даны делимое и делитель.

Задание 5.

Найти наименьшее и наибольшее числа, дающие при делении на 15 неполное частное 16.

Решение:

240=15*16+0

254=15*16+14.













Занятие 2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Задачи:

  1. Вспомнить что такое наибольший общий делитель, как
    он находится.

  2. Научить находить наибольший общий делитель с помощью алгоритма Евклида.

3. Вызвать интерес к математике.
Ход занятия:

Давайте вспомним, что такое НОД и как он находится. Поскольку знак числа не влияет на делимость чисел, будем рассматривать только целые положительные числа.

Напомним, что натуральное число с называется общим делителем натуральных чисел а и b,если а делится нацело на с (ас) и b делится нацело на с (а b).

Множество общих делителей чисел а, b конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем а. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел а и b.

Запись следующая НОД(а,b).

Лемма 1. Если а b, то НОД(а,b)= b.

Лемма 2. Если а = bq + r, то НОД(а,b)= НОД(b, r).

Задание 1.

Найдем НОД (48 и 60).

Решение:

Делителями числа 48 являются числа: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48. Делителями числа 60 являются числа: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Числа 48 и 60 делятся на числа 1,2,3,4,6, и 12 -это их общие делители. Наибольшим из этих делителей является число 12, значит НОД (48, 60) = 12.

Мы рассмотрели способ нахождения НОД для небольших чисел 48 и 60. Этот способ показался удобен, но как мы будем действовать, если нужно будет найти НОД (3731,4633)? Общие делители в этом случае вычислить трудно и находить наибольший общий делитель становится неудобно.

Существует иной способ отыскания НОД двух чисел, известный под названием алгоритм Евклида, описанный древнегреческим математиком Евклидом (III в. до н.э.) в его знаменитом трактате “Начала”. Ему уже более 2 тысяч лет. Этот способ нахождения наибольшего общего делителя алгоритм был известен еще пифагорейцам. К середине 16 века алгоритм Евклида был распространен на многочлены от одного переменного.

Задание 2: Найдем НОД (3731, 4633).

Решение: Применяя теорему о делении с остатком, мы получим такие равенства:

4633=3731*1 +902

3731 =902*4+ 123

902=123*7+41

123=41*3

НОД(4633, 3731)= НОД( 3731, 902)= НОД(902,123)= НОД(123,4)=41.

По алгоритму Евклида получаем что НОД (3731, 4633) = 41, так как последний отличный от нуля остаток равен 41.

Теорема:

НОД двух ненулевых целых чисел равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

Задание 3.

Используя алгоритм Евклида, найти НОД (а,b).

  1. a=391, b=713.

Решение:

Разделим столбиком:

713 391 391 322 322 69 69 46 46 23

391 1 322 1 276 4 46 1 23 1

322 69 46 23 0

713=391*1+322

391=322*1+69

322=69*4+46

69=46*1+23

46=23*2

НОД (а,b)=23.

Для нахождения НОД (а,b, с) воспользуемся следующими двумя утверждениями, аналогичными леммам 1 и 2.

Лемма 3. Если аhello_html_31d2e1c0.gif с, bhello_html_31d2e1c0.gif с, то НОД(а,b)=с.

Лемма 4. Если а = сh1 + r1, b = ch2 + r2 ,то НОД(а,b,c)= НОД(c, r1, r2).

Свойство наибольшего общего делителя. НОД(а,b)= НОД(НОД(а,b)).

Задание 4.

Используя алгоритм Евклида, найти НОД (а,b, с), если a=10836, b=2967, c=731.

Решение:

Разделим столбиком.

10836 731

731 14

3256

2924

602

10836=731*14+602

2967 731

2924 4

43

2967=731*4+43

НОД(10836,2967,731)=НОД(731,602,43)

731 43

43 17

301

301

0

731=43*17+0

602 43

43 14

172

172

0

602=43*4+0

НОД(10836,2967,731)=НОД(731,602,43)=НОД(0,0,43)=43.

Задание 5.

Найти НОД числителя и знаменателя и сократить дробь:

  1. hello_html_2f14139.gif;

  2. hello_html_m5f6b2bc8.gif.

Решение:

  1. НОД(2117,11484).

11484 2117 2117 899 899 319 319 261

10585 5 1798 2 638 2 261 1

899 319 261 58



261 58 58 29

232 4 58 2

29 0

НОД(11484,2117)=29, значит, дробь hello_html_2f14139.gif можно сократить на 29 и получить дробь hello_html_33ea081d.gif .

  1. НОД(172,2967).

2967 172 172 43

172 17 172 4

1247 0

1204

43

НОД(172,2967)=43, значит, дробь hello_html_m5f6b2bc8.gif можно сократить на 43 и получить дробь hello_html_147e2ea1.gif.

















Занятие 3. КОЛИЧЕСТВО ДЕЛЕНИЙ В АЛГОРИТМЕ ЕВКЛИДА.

Задачи:

  1. Дать оценку количеству делений с остатком при нахождении наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида и при помощи канонического разложения.

  2. Показать преимущества в вычислениях наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида перед его нахождением по каноническому разложению.

Ход занятия:

Поскольку и в алгоритме Евклида и при получении канонического разложения выполняется деление с остатком, то примем за единицу вычисления одно деление с остатком.

Давайте сравним количество делений с остатком в алгоритме Евклида и при отыскании канонического разложения.

Задание 1.

Найти количество делений, необходимое для нахождения наибольшего общего делителя чисел 1925 и 418 с помощью алгоритма Евклида и канонического разложения.

Решение:

Разложим число 1925 на простые множители. Проверим делимость числа 1925 на 2. Не делится, на 3- не делится. Разделим число на 5- делится, получаем 385. Снова проверяем делимость на 5. Делим, получаем 77. Снова проверяем делимость на 5, не делится. Далее делим на 7, получаем 11. Проверяем кратность множителя, снова разделив число на 7, не делится. Затем 11 делим на 11, получаем 1. Этот способ удобен только тогда, когда мы знаем таблицу простых чисел.

1925 5

385 5

77 7

11 11

1

Потребовалось 8 делений.

Проделаем тоже самое с числом 418. Проверим делимость числа 418 на 2, получаем 209. Проверяем кратность множителя, снова разделив число на 2, не делится. Далее 209 делим на 3, не делится, на 5- не делится, на 7- не делится. Затем делим на 11, получаем 19. Проверим ещё раз делимость на 11, не делится. Значит, 19 делим на 13, не делится, разделив 19 на 19, получаем 1.

418 2

209 11

19 19

1

Потребовалось 9 делений. Итого, 17 делений с остатком.

Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида.

1925=418*4+253

418=253*1+165

253=165*1+88

165=88*1+77

88=77*1+11

77=11*7

Потребовалось 6 делений с остатком.

В XIX веке математик Ламе дал оценку количеству делений с остатком в алгоритме Евклида.

Теорема Ламе. Количество делений в алгоритме Евклида, необходимое для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, не превышает пятикратного количества цифр в десятичной записи меньшего из этих двух чисел.

Задание 2:

Найти число делений с остатком при нахождении НОД( 418, 385).

Решение:

В числе 385 три цифры, значит, нужно выполнить не более пятнадцати делений с остатком, чтобы найти НОД(418,385).

Есть ещё одна оценка, позволяющая определить количество делений для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел: hello_html_261e6cf5.gif, где b- наименьшее из чисел а, b.

Так как логарифм изучается в старших классах, мы будем пользоваться калькулятором.

Задание 3.

Найти оценку логарифмом для чисел 418 и 385

Решение:

hello_html_2a5b3c8e.gif+2= 2*8,5+2=19. Необходимо не более 19-ти делений.

Задание 4.

Найти разницу в количестве делений между каноническим разложением и нахождением наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида для чисел:

  1. 88 и 42,

  2. 54 и 33.

Решение:

  1. Разложим 88 и 42 на простые множители.

88 2

44 2

22 2

11 11

1

Потребовалось 8 делений.

42 2

21 3

7 7

1



Потребовалось 6 делений с остатком. Итого, 14 делений.

Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида:

88=42*2+4

42=4*40+2

4=2*2

3 деления.

14-2=12. Разница в 12 делений.

  1. 54 2

27 3

9 3

3 3

1

Потребовалось 5 делений.

33 3

11 11

1

Потребовалось 6 делений с остатком.

54=33*1+32

33=21*1+8

21=8*2+5

8=5*1+3

5=3*1+2

3=2*1+1

2=1*2

7 делений. Получаем разницу в 4 деления.

Задание 5.

Не проводя деления, оцените количество делений, требуемое для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел по оценке Ламе и через логарифм.

  1. 8425 и 45,

  2. 45698 и 8192.

Решение.

  1. а) оценка Ламе: не более 10-ти делений.

б) оценка логарифмом: hello_html_3548e7c7.gif=13 делений с остатком.

  1. а) оценка Ламе: не более 20-ти делений.

б) оценка логарифмом: hello_html_mf92ab6.gif=26 делений с остатком.

Используя оценку логарифмом, можно определить количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел:hello_html_4f9211af.gif, где b- наименьшее из трех чисел.

Задание 6.

Найти количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел: 403, 187, 38.

Решение:

hello_html_1589fb1c.gif2*5+4=14.

Задание 7:

По алгоритму Евклида и каноническому разложению найти количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел: 403, 187, 38.

Решение.

НОД(403,187,38)= НОД(НОД(403,38),187).

403=38*10+23

38=23*1+15

23=15*1+8

15=8*1+7

8=7*1+1

7=1*7

НОД(403,38)=7

187=1*187

НОД(1,187)=1. Итого, 7 делений.

Каноническое разложение:

403 13 187 11 38 2

31 31 17 17 19 19

1 1 1

12 делений. 8 делений. 9 делений.

Итого, 29 делений с остатком.

Занятие 4. ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ.

Задачи:

  1. Познакомить детей с диофантовыми уравнениями.

  2. Научить решать диофантовы уравнения, пользуясь формулами общего решения.

  3. Расширить кругозор детей.
    Ход занятия:

С помощью алгоритма Евклида можно доказать одно важное свойство наибольшего общего делителя.

Свойство наибольшего общего делителя.

Для любых натуральных чисел а,b существуют целые числа х и у, такие, что ах + bу= НОД (а,b).

Это свойство мы доказывать не будем, но поясним его на примере.

Выражение ах + bу= НОД (а,b). называют тождеством Безу.

Задание 1.

Найти НОД(3545,152) и найдите числа х и у, что 3545х + 152у= НОД(3545,152)

Решение:

Наибольший общий делитель чисел 3545 и 152 найдем по алгоритму Евклида:

3545=152*23+49

152=49*3+5

49=5*9+4

5=4*1+1

4=1*4

Выразим НОД(3545,152) как того требует тождество Безу.

1 =5-4 5-(49-5*9) =5*10-49*1-(152-49*3)*10-49*1=152*10-49*31=152*10-(3545-152*23)*31=3545*(-31)+152*723. Следовательно, х=-31, у=723.



Задание 2.

Найти такие целые числа х и у, что

  1. 6069х + 663у=102,

  2. 6069х + 663у=132.

Решение:

  1. Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида:

6069 = 663*9+ 102

663 = 102*6 + 51

102 = 51*2

Выразим НОД(6069,663) как того требует тождество Безу.

51 =663- 102*6 = 663- (6069 -663*9)*6 =6069*(-6) + 664*55.

Умножая тождество Безу на 2, получим требуемое выражение 6069*(-12) + 664*110=102.

  1. В отличие от задания а) в задании б) правая часть 132 не делится на 51.

Если бы выполнялось равенство 6069х + 663у=132, то из условий 606551, 66351 следовало бы, что 13251, а это не так. Следовательно, целых решений диофантово уравнение 6069х + 663у=132 не имеет.

В диофантовых уравнений интересуются только целочисленными решениями. Если известно одно решение hello_html_28200f31.gif такого уравнения, то все остальные целочисленные уравнения задаются формулами

x=hello_html_36808d3d.gif ; y=hello_html_9d4294c.gif, где tZ.

Задание 3.

Решить диофантово уравнение: 27х- 72у=45.

Решение:

Вначале найдем НДО(27,72) по алгоритму Евклида.

72=27*2+ 18

27=18*1+9

18=9*2

Затем выпишем тождество Безу 9=27-18*1=27-(72*1-27*2)=27*3-72*1.

Так как с=45 и 45=9*5, то, умножая тождество Безу на 5, получим числовое равенство 27*15-72*5=45 и следовательно одно из решений х0=15, у0=5 диофантова уравнения. Все решения диофантова уравнения задаются формулами

х = 15 + hello_html_m10f40f57.gift=15-8 t,

y =5-hello_html_716d0096.gift=5-3 t, tZ.

Задание 4 .

В ящики по 25 и 30кг засыпать 440 кг конфет.

Решение:

Обозначим через х- количество ящиков по 25кг, а через у- количество ящиков по 30 кг. Тогда получим диофантово уравнение 25х+30у=440.

Найдем НОД(25,30) по алгоритму Евклида.

30=25*1+5

25=5*5

Тогда НОД(25,30)=5. Выразим 5 через 25 и 30 как в тождестве Безу.

25*(-1)+30*1=5. Поскольку 440=5*88, то умножая тождество Безу на 88, получим равенство 25*(-88)+30*88=440 и одно из решений hello_html_69b83015.gif=-88,hello_html_7e672011.gif=88.

Все целочисленные решения задаются формулами

x=hello_html_1006aa42.gif =-88+6hello_html_m1c4907bc.gif

y=hello_html_2e700b33.gif = 88-5hello_html_m1c4907bc.gif.

Так как х≥0, у≥0, то из равенства 88=5*17+3 найдем наибольшее значение =17, при котором у еще неотрицателен.



hello_html_m1c4907bc.gif

17

16

15

14

х

3

8

2

-4

у

14

8

13

18

Таблица показывает, что решениями задачи будут х1=3, у1=14, х2=8, у2=8, х3=3, у3=13 и только они.













































Занятие 5. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ.

Задачи:

  1. Познакомить детей с делением многочлена на многочлен с остатком.

  2. Развивать умение производить деление.

  3. Развивать математическую наблюдательность.

Ход занятия:

Давайте вспомним, что называется многочленом.

Определение:

Многочленом от переменной х будем называть выражение вида anхn + аn-1хп-1+...+ + а1х + а0 ,где n- неотрицательное целое число, an , аn-1..... а1 , а0- любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Если а≠0, то n называется степенью многочлена f(х) и обозначается ст. f(х).

Как и во множестве целых чисел, для многочленов имеет место операция деление с остатком.

Теорема:

Пусть f(х) и g(х) - многочлены, причем g(х)≠0. Тогда существуют и единственны многочлены h(x) и r(х), такие, что f(x) = g(х) * h(х) + r(х), причем либо r(х) =0, либо степень многочлена r(х) меньше степени многочлена g(х).

f(х) – делимое, g(х) – делитель, h(х) – неполное частное, r(х) – остаток.

Задание 1.

При помощи деления столбиком разделить с остатком многочлен f(x) = 3x4+2x2-1 на многочлен g(x)=x2+x.

Решение:

2x3+2x2-1 x2-x

2x3-2x2 2x+4

4x2-1

4x2-4x

4x-1

Деление прекращаем, когда степень остатка 4х-1 меньше степени делителя x2+x.

f(x) = g(x)( 2x+4)+( 4x-1).

Задание 2.

При помощи деления столбиком разделить с остатком многочлен f(x) = =3x+4x4+2x5-15x3+1-9x2 на многочлен g(x)=2x2-x3.

Решение:

2x5+4x4-15x3-9x2+3x+1 -x3+2x2

2x5-4x4 -2x2-8x-1

8x4-15x3

8x4-16x3

x3-9x2

x3-2x2

-7x2+3x+1

f(x) = g(x)( -2x2-8x-1)+( -7x2+3x+1).



Задание 3.

Выполнить деление x7-1 на x3+x-1 с остатком.

Решение:

x7-1 x3+x-1

x7+x5-x4 х42

-x5+x4-1

-x5-x3+x2

x4+x3-x2-1

x4+x2-x

x3-2x2+x-1

x3+x-1

-2x2-2

f(x) = g(x)( х42)+( -2x2-2).



Задание 4.

При каком значении k многочлен f(x)=x3+6x2+kx+12 делится нацело на многочлен g(x)=x+4?

Решение:

x3+6x2+kx+12 x+4

x3+4x2 x2+2x+(k-8)

2x2+kx+12

2x2+8x

(k-8)x+12

(k-8)x+4(k-8)

44-4k

Чтобы остаток был равен нулю, решим уравнение 44-4k=0 и получим k=11.

Говорят, что многочлен f(x) равен многочлену g(x) т.т.т, когда у них равны коэффициенты при соответствующих степенях.

На определении равенства многочленов основывается метод неопределенных коэффициентов.

Задание 5. Выполнить деление многочленаx2+x+6 на многочлен x-4, используя метод неопределенных коэффициентов.

при x2 : 1=a

при x : 2=b-4a

при 1 : 6=c-4b,

получаем, а=1, b=6, с= 30.

Задание 6.

Найти делитель, если даны делимое f(x)=2x5+3x4+2x3+1, неполное частное h(x)=x2+3x+1 и остаток r(x)=63x-25.

Решение:

f(x) = g(х)h(х) + r(х),

g(x)h(x)=f(x)-r(x),

g(x)=hello_html_m741246d6.gif

k(x)=f(x)-r(x)= 2x5+3x4+2x3+1-63x+25=2x5+3x4+2x3-63x-24

g(x)=hello_html_m2a81b10c.gif

2x5+3x4+2x3-63x-24 x2+3x+1

2x5+6x4+2x3 2x3-3x2+9x-24

-3x4-63x+24

-3x4-9x3-3x2

9x3+3x2-63x-24

9x3+27x2+9x

-24x2-72x-24

-24x2-72x-24

0

g(x)= 2x3-3x2+9x-24





Занятие 6. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

  1. Научить находить наибольший общий делитель при помощи алгоритма Евклида.

  2. Закрепить умение делить многочлен на многочлен, применять алгоритм Евклида.

Ход занятия:

На предыдущих занятиях мы познакомились с нахождением НОД для чисел по алгоритму Евклида. Сегодня мы познакомимся с НОД многочленов.

Определение:

Наибольшим общим делителем многочленов называется их общий делитель самой большей степени.

Находить НОД мы будем по алгоритму Евклида.

Как и для чисел, так и для многочленов НОД двух многочленов равен последнему, отличному от нуля, остатку в алгоритме Евклида.

Задание 1.

Найти НОД(f(х), g(х)), если f(х)=x4+2x3-x26x-4, g(x)=x3-2x2+1.

Решение:

  1. x4+2x3-x26x-4 x3-2x2+1 x4+2x3-x26x-4=( x3-2x2+1)( x+2)+( x2-x-2)

x4-2x2-x x+2

2x3+x2-5x-4

2x3-4x-2

x2-x-2



x3-2x2+1 x2-x-2 x3-2x2+1=( x2-x-2)( x+1)+( x+1)

x3-x2-2x x+1

x2-1

x2-x-2

x+1





x2-x-2 x+1 x2-x-2=( x+1)( x-2)

x2+x x-2

-2x-2

-2x-2

0

Последним, отличным от нуля остатком в алгоритме Евклида будет х+1, значит НОД(f(x),g(x))= x+1.

Задание 2.

Найти наибольший общий делитель двух многочленов f(x)= 12х5+16х4-47х3-18х2+58-21hello_html_m45920877.gif и g(x)= 6х5+11х3-15х2-17х+15hello_html_m78617815.gif.

Решение:

hello_html_m3d21c9d9.gif12х5+16х4-47х3-18х2+58-21 6х5+11х3-15х2-17х+15hello_html_m78617815.gif

12x5+22x4-34x2+30x 2x-1

-6x4-17x3+16x2 +28x-21

-6x4-11x3+15x2+17x-15

-6x3+x2+11x-6





hello_html_m78617815.gif5+11х3-15х2-17х+15 -6x3+x2+11x-6

hello_html_m734f8f10.gifx+2

12x3-4x2-23x+15

12x3-2x2-22x +12

-2x2-x+3



-6x3+x2+11x-6 -2x2-x+3

-6x3-3x2+9x 3x-2

4x2+2x-6

4x2+2x-6

0

НОД(f(x),g(x))= 2x2+x-3.

Поскольку наибольший общий делитель многочленов находится с точностью до чисел, то мы можем сокращать многочлены в алгоритме Евклида на ненулевые числа.



Задание 3.

Упростите выражение hello_html_m35ade497.gif .

Решение:

Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

6x5+19x4-19x3-8x2+x+1 -6x4-19x3+25x2+3x-3

6x5+19x4-25x3-3x2+3x -x

6x3-5x2-2x+1



-6x4-19x3 +25x2+3x-3 6x3-5x2-2x+1

-6x4+5x3+2x2-x -x-4

-24x3+23x2+4x-3

-24x3+20x2+8x-4

3x2-4x+1



6x3-5x2-2x+1 3x2-4x-1

6x3-8x2+2x 2x+1

3x2-4x+1

3x2-4x+1

0

НОД(f(x),g(x))= 3x2-4x+1, значит, дробь можно сократить на многочлен 3x2-4x+1.

6x5+19x4-19x3-8x2+x+1 3x2-4x+1

5-8х4+2х33+9х2+5х+1

27х4-21х3-8х2

27х4-36х3+9х2

15х3-17х2

15х3-20х2+5х

2-4х+1

2-4х+1

0



-6x4-19x3+25x2+3x-3 3x2-4x+1

-6х4+8х3-2х2 -2х2-9х-3

-27х3+27х2+3х

-27х3+36х2-9х

-9х2+12х-3

-9х2+12х-3

0

Сокращая дробь, получаем, hello_html_3ec1fc1d.gif.

Задание 4.

Найти НОД(f(х), g(х)),если f(x)=x3+4x2+5x+2, g(x)= -2x2-6x+2x3+x4-3.

Решение:

x4+2x3-2x2-6x-3 x3+4x2+5x+2

x4+4x3+5x2+2x x-2

-2x3-7x2-8x-3

-2x3-8x2-10x-4

x2+2x+1



x3+4x2+5x+2 x2+2x+1

x3+2x2+x x+2

2x2+4x+2

2x2+4x+2

0

НОД(f(х), g(х))= x2+2x+1.

Как и для чисел, так и для многочленов существует оценка количества делений с остатком в алгоритме Евклида: 2hello_html_d53180f.gif, где g(х)-меньший из многочленов.

Задание 5.

Найти количество делений с остатком, за которое находится НОД(x3+4x2+5x+2, 3x2-4x).

Решение:

2hello_html_1885da38.gif+2=2hello_html_m1541f4bc.gif+2=4 деления с остатком.

Чтобы найти наибольший общий делитель трех многочленов нужно выполнить 2hello_html_m21e1112d.gif делений с остатком.

Задание 6.

Найти количество делений с остатком, за которое находится НОД(f(х), g(х),h(x)), если f(х)= -2x9-6x+2x3+x4-3, g(х)= x5+2x2+x, h(x)=43-3х2.

Решение:

2hello_html_587469d1.gif+2=2hello_html_m31dd69ea.gif+2=6 делений с остатком.



Занятие 7. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

  1. Напомнить теорему о делении с остатком для чисел.

  2. Познакомить учащихся с теоремой о делении с остатком для многочленов.

  3. Научить применять ее.

Ход занятия.

Напомним теорему о делении с остатком для чисел.

Теорема о делении с остатком для чисел. Для любого целого hello_html_m8f522f9.gif и любого натурального hello_html_58847f7b.gif существуют единственные целые hello_html_m483bb7fc.gif и hello_html_m69086db5.gif такие, что hello_html_76423569.gif, где hello_html_3a7094d7.gif.

Например, число 26 не делится на 3, но 26 делится на 3 с остатком, получаем 26=83+2.

Напомним, что многочленом называется алгебраическое выражение вида hello_html_m379b021f.gif, где hello_html_1103b712.gifнеотрицательное целое число, hello_html_m4115485c.gif, hello_html_5bfb141a.gif, hello_html_md919261.gifнекоторые числа, которые называются коэффициентами многочлена hello_html_m7eced531.gif. Если hello_html_m3e722b2f.gif, то число hello_html_443248c0.gif называют степенью многочлена hello_html_m7eced531.gif и обозначают hello_html_m6f4286af.gif.

Многочлены считаются равными, если равны их степени и равны соответственные коэффициенты.

Многочлены можно складывать и умножать как обычные алгебраические выражения.

Задача 1. Найти числа а,b и с, если многочлен hello_html_meb466f7.gif равен кубу двучлена x+c

Решение. По формуле куба суммы получаем

hello_html_35bce42a.gif

Используя определение равенства многочленов, получим систему

hello_html_4b6f849e.gif, откуда с=2 ,а=12 ,b=8.

Задача 2. hello_html_5879f31c.gif многочлен степени hello_html_m26f8929e.gif

Выражение hello_html_208a2abd.gif многочленом не является, так как содержит одночлен с отрицательной степенью.

В отличии от сложения и умножения результат деления двух многочленов не обязан быть многочленом. Поэтому приходится использовать деление с остатком, которое основывается на следующей теореме.

Теорема о делении с остатком. Для всякого многочлена hello_html_m7eced531.gif и всякого ненулевого многочлена hello_html_m4a248562.gif существуют и единственные многочлены hello_html_m1fd7e157.gif , такие что hello_html_m7e1ed958.gif, где либо hello_html_447fc77c.gif, либо ст.hello_html_m5a629cc9.gif.

В равенстве hello_html_m7e1ed958.gif все многочлены имеют свое название:hello_html_m5decc691.gifделимое, hello_html_2dc92dca.gifделитель, hello_html_4fe18aca.gifнеполное частное, hello_html_m21e6feed.gifостаток.

Задача 3. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена hello_html_m7eced531.gif=10hello_html_m75a93a96.gif на многочлен hello_html_m4a248562.gif=5x+4.

Решение. Выполним деление многочленов в столбик.

10hello_html_m75a93a96.gif hello_html_13764679.gif

10hello_html_m5cae42d8.gif hello_html_m4781edd.gif

hello_html_645e76bb.gif

hello_html_645e76bb.gif

0

Запишем равенство hello_html_75cecd1e.gif, о котором говорилось в теореме о делении с остатком.

Ответ: неполное частное hello_html_m4781edd.gif, остаток 0.

Если остаток при делении равен 0, как в примере 2, то говорят, что многочлен hello_html_m7eced531.gif нацело делится на многочлен hello_html_m4a248562.gif и записывают hello_html_1e5e57bc.gif.

Задача 4. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена hello_html_m7eced531.gif=3hello_html_471b0177.gif на многочлен hello_html_m4a248562.gif=hello_html_7a2a5240.gif+x.

Решение. Выполним деление многочленов в столбик.

hello_html_23c5f029.gif hello_html_6b2e7eec.gif

hello_html_m66ed3a1e.gif hello_html_3d0777bf.gif

hello_html_m248cf0f0.gif

hello_html_726415b0.gif

hello_html_6b1725fc.gif

hello_html_79a2183c.gif

hello_html_m1b1a4c8a.gif

На этом деление многочлена hello_html_m7eced531.gif=3hello_html_471b0177.gif на многочлен hello_html_m4a248562.gif=hello_html_7a2a5240.gif+x заканчивается, так как степень остатка hello_html_m1b1a4c8a.gifменьше степени делителя. Выпишем равенство hello_html_60cb72ff.gif.

Ответ: частное hello_html_3d0777bf.gif, остаток hello_html_13b45a4a.gif

Задача 5. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m67d52380.gif на многочлен hello_html_m4a248562.gif=hello_html_6da50f49.gif

Решение. Запишем многочлен hello_html_m7eced531.gif по убыванию степеней. Выполним деление многочленов в столбик.

hello_html_5023bea7.gif hello_html_61853c0c.gif

hello_html_m1da0076.gif hello_html_m14628a81.gif

hello_html_5c665512.gif

hello_html_700f09d4.gif

hello_html_5906f96e.gif

hello_html_m78d45d54.gif

hello_html_59ccc795.gif

Запишем равенство hello_html_m574b2052.gif.

Ответ: неполное частное,hello_html_m14628a81.gif остаток hello_html_59ccc795.gif.

Свойства делимости многочленов.

  1. Если многочлен hello_html_m7eced531.gif делится на многочлен hello_html_m4a248562.gif, а многочлен hello_html_m4a248562.gif делится не многочлен hello_html_5eb7b3c7.gif, то hello_html_m7eced531.gif делится на hello_html_5eb7b3c7.gif.

  2. Если многочлены hello_html_m7eced531.gifи hello_html_m4a248562.gifделятся на многочлен hello_html_5eb7b3c7.gif, то их сумма hello_html_m12dce1db.gifи их разность hello_html_m68a1be6.gifделятся hello_html_5eb7b3c7.gif, а произведение hello_html_591cf370.gif делится на hello_html_5eb7b3c7.gif при любом многочлене hello_html_1c62245d.gif.

Задача 6.Найти числа a и b из условия равенства многочленов

hello_html_meabdd58.gif=hello_html_m39a41f1f.gif.

Решение. Выполним умножение многочленов и приведение подобных в правой части равенства.

hello_html_m39a41f1f.gif=hello_html_m4c5f84c2.gif

Из равенства многочленов следует, что

hello_html_m63874132.gif,hello_html_m50c47208.gif=-16, hello_html_m3c650238.gif, hello_html_m7dd4b46b.gif , откуда hello_html_m1aa03942.gif

Ответ:hello_html_m1aa03942.gif

Задача 7.Не проводя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gif=hello_html_7bc3ddfb.gif на многочлен hello_html_7f4106df.gif.

Решение. Обозначим остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gifна многочлен hello_html_m4a248562.gif через hello_html_1c62245d.gif. Так как ст.hello_html_m4b2c7d0c.gif,то hello_html_m50b2b4b9.gif. Согласно теореме о делении с остатком запишем равенство многочленов.

hello_html_54475f76.gif

При x=1 получим 1+1+4=0hello_html_m72071d75.gif или 6=a+b. При x=-1 получим 1+1+4=0hello_html_m6095fef9.gif или 4=-a+b.

Решим систему уравнений hello_html_m470ff04f.gif, и получим hello_html_6802b523.gif.

Ответ:hello_html_c6f0456.gif

Задача 8. При каких натуральных значениях n выражение hello_html_646ca265.gifявляется целым числом ?

Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

hello_html_2a8214e2.gif hello_html_54b52db6.gif

hello_html_m2033d35c.gif hello_html_m5709687f.gif

hello_html_618a82ec.gif

hello_html_m16aebbc5.gif

-2

Таким образом, исходное выражение равно hello_html_m1a5fd1bb.gif, что является целым числом тогда и только тогда, когда 2 нацело делится на hello_html_54b52db6.gif. Поскольку целыми делителями числа 2 являются числа -2,-1, 1,2 и только они , то получаем, что n=1,2,4,5.

Ответ: n=1,2,4,5.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти неполное частное и остаток при делении hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif (ответ проверить умножением), если:

а) hello_html_m7eced531.gif=hello_html_2ccad714.gif, hello_html_m4da8fb32.gif

Решение. hello_html_2ccad714.gif hello_html_3b70014d.gif

hello_html_2337bcfd.gif hello_html_5f34b418.gif

hello_html_29647101.gif

hello_html_29647101.gif

0

Проверка. hello_html_m7450d169.gif

Ответ: частное hello_html_5f34b418.gif, остаток 0.


б) hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m7f60b5d3.gif, hello_html_m72facf67.gif

Решение. hello_html_m7f60b5d3.gif hello_html_m2c70e83c.gif

hello_html_2bb64f6.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_m7c55f37.gif

hello_html_m7c55f37.gif

0

Проверка. hello_html_418b2a7c.gif

Ответ: частное hello_html_57fa747d.gif, остаток 0.


в) hello_html_m7eced531.gif=hello_html_7bed50ff.gif, hello_html_mb892c66.gif

Решение. hello_html_511ae3fd.gif hello_html_m6f760fc6.gif

hello_html_171a356f.gif hello_html_m5a59fbba.gif

hello_html_m78208fa8.gif

hello_html_m68c05079.gif

hello_html_m9a0c8d8.gif

hello_html_m2917409b.gif

2

Проверка.

hello_html_m6398ec0f.gif

Ответ: неполное частное hello_html_m5a59fbba.gif, остаток 2.


2. Найти не полное частное и остаток при делении hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif, если:

а) hello_html_m7eced531.gif=hello_html_7485bdd.gif, hello_html_m4da8fb32.gif


Решение. hello_html_7485bdd.gif hello_html_3b70014d.gif

hello_html_2337bcfd.gif hello_html_6da07746.gif

hello_html_m1242c823.gif

hello_html_m141e81ad.gif

42

Проверка:hello_html_m2d865eb1.gif.

Ответ: неполное частное hello_html_6da07746.gif, остаток 42.

б) hello_html_m7eced531.gif=hello_html_2e34bfec.gif, hello_html_72d572ab.gif

Решение. hello_html_2e34bfec.gif hello_html_104cc8bc.gif

hello_html_7eb4cb18.gif 4hello_html_660d7dcf.gif

hello_html_m55cf7d45.gif

hello_html_447b83bb.gif

1

Проверка:hello_html_m64d4c490.gif.

Ответ: неполное частное 4hello_html_660d7dcf.gif, остаток 1.

в) hello_html_m7eced531.gif=hello_html_77e1b224.gif, hello_html_m78559af2.gif

Решение. hello_html_77e1b224.gif hello_html_2f75a305.gif

hello_html_m5e317a88.gif hello_html_mea54e71.gif

hello_html_2d7c1ada.gif

hello_html_2f75a305.gif

hello_html_18aa53a1.gif

Проверка:hello_html_m51f251d2.gif

Ответ: неполное частное 3hello_html_m597c640b.gif, остаток hello_html_18aa53a1.gif

Занятие 8. КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ.

Задачи:

  1. Напомнить определения корня многочленов.

  2. Познакомить учащихся с теоремой Безу, научить применять ее.

Ход занятия.

Задача 1. Для многочлена hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m269c626b.gif. Найти: hello_html_m5d7c636e.gif, hello_html_33105ebb.gif, hello_html_m62727224.gif, hello_html_m4ce97bd8.gif

Решение. hello_html_m5d7c636e.gif=2hello_html_m4500d6c6.gif . Аналогично получаем hello_html_32707a85.gif.

Ответ: hello_html_m5e4da8e1.gif

Задача 2. Найти остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m269c626b.gif на hello_html_5f34b418.gif, hello_html_m597c640b.gif, hello_html_57fa747d.gif, hello_html_m4f3a936b.gif.

Решение. hello_html_m269c626b.gif hello_html_5f34b418.gif

hello_html_m36c9f1ee.gif hello_html_bb8c790.gif

hello_html_m458665ba.gif

hello_html_5e945735.gif

hello_html_m130b0162.gif

hello_html_111705fd.gif

hello_html_6bdd8477.gif

hello_html_m364a2487.gif

hello_html_300ecc68.gif


hello_html_m269c626b.gifhello_html_m597c640b.gif

hello_html_842ed21.gif hello_html_4c9285fa.gif

hello_html_1c7974f9.gif

hello_html_m182bee06.gif

hello_html_456c550d.gif

hello_html_m14f7779b.gif

hello_html_m43e870f.gif

hello_html_5fdeaf51.gif


hello_html_m269c626b.gifhello_html_57fa747d.gif

hello_html_325e7bdf.gif hello_html_m73964c.gif

hello_html_m498b573d.gif

hello_html_m57364e8b.gif

hello_html_m35400a40.gif

hello_html_1a2ee86b.gif

hello_html_m31688e2.gif

hello_html_m31688e2.gif


hello_html_m269c626b.gifhello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m62d78c1f.gif hello_html_1cae18b8.gif

hello_html_51e84d5f.gif

hello_html_m4cdfa280.gif

hello_html_146bdde7.gif

hello_html_b3adf17.gif

hello_html_15e0553c.gif

hello_html_md217ff7.gif

hello_html_5f8f9a9.gif

Заметим, что остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gif на hello_html_5f34b418.gif, на hello_html_m597c640b.gif, на hello_html_57fa747d.gif, на hello_html_m4f3a936b.gif совпадают со значениями hello_html_m55bf4db4.gif, hello_html_m5b3e765c.gif,hello_html_71ee057d.gif, hello_html_50ecde83.gif соответственно.

Этот совпадение не случайное, как показывает теорема Безу( Этьен Безу 1730-1783)- французский математик).

Первая теорема Безу. Остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gif на двучлен hello_html_177591d0.gif равен значению этого многочлена при hello_html_m543abf2d.gif.

Доказательство. Если hello_html_6584be11.gif,hello_html_1c66602d.gif то hello_html_1c3e3284.gif.

Задача 3. Найти остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m57d57b6.gif на двучлен hello_html_m51b2a470.gif непосредственно и по теореме Безу.

Решение. Так как hello_html_m51b2a470.gif=hello_html_3d9af704.gif, то здесь hello_html_m56d84833.gif =-2. По теореме Безу

hello_html_m69086db5.gif=fhello_html_m9b7e4ca.gif=2hello_html_c7235ea.gif.

Ответ: hello_html_m69086db5.gif = fhello_html_m5a90d85.gif4.

Следствие. Остаток от деления многочлена hello_html_m7eced531.gif на двучлен hello_html_58bdd911.gif равен значению многочлена hello_html_m7eced531.gif при hello_html_7143425f.gif.

Доказательство. Если hello_html_m469d78b0.gif,hello_html_1c66602d.gif , то hello_html_564d4818.gif

Определение. Число с называется корнем многочлена hello_html_m7eced531.gif, если hello_html_m13901efb.gif0.

Например, 2 - корень многочлена hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m269c626b.gif поскольку hello_html_71ee057d.gif=0.

Вторая теорема Безу. Число с является корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда hello_html_63adccfd.gif.

Теорема. Число различных корней ненулевого многочлена, не превосходит его степени.

Задача 4. Остаток от деления многочлен hello_html_m7eced531.gifна двучлен hello_html_57fa747d.gif равен 6,а остаток от деления его на hello_html_104cc8bc.gif равен 1. Найти остаток от деления этого многочлена наhello_html_24e36bbc.gif.

Решение. Степень многочлена hello_html_m4a248562.gif=hello_html_24e36bbc.gif=hello_html_2dafe186.gif равна 2,поэтому в остатке получится многочлен hello_html_1c62245d.gifстепени не выше 1,т. е. hello_html_1c62245d.gif=hello_html_58bdd911.gif. По теореме о делении с остатком можно записать равенство многочленов hello_html_m7eced531.gif=hello_html_112b603.gif+hello_html_58bdd911.gif.

Так как f(2)=6, f(-3)=1,то подставляя в равенство значения x=2 и x=-3,получаем систему

hello_html_1d01a615.gif

Решая эту систему, находим, что a=1,b=4.

Ответ:x+4.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Выполнить деление с остатком многочлена hello_html_m7eced531.gif на hello_html_32701923.gif и выяснить является ли корнем для hello_html_m7eced531.gif, если:

а) hello_html_m1e25eade.gif , hello_html_m28fc3a1.gif

Решение .Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_57fa747d.gif

hello_html_5751a8f9.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_m4b7cb150.gif hello_html_m297d4c95.gif

hello_html_m3927d73b.gif

hello_html_m3c1b8598.gif

hello_html_7b3daa74.gif

hello_html_m15ef452c.gif

hello_html_m5e27fbb0.gif

hello_html_mbd0d88f.gif

hello_html_m6a937388.gif

hello_html_30e29594.gif

hello_html_1afeea51.gif

hello_html_ecf65f8.gif. Так как hello_html_m772fa0b0.gif, то не является корнем hello_html_m7eced531.gif.

Ответ:hello_html_m1657ada0.gif - не является корнем hello_html_m7eced531.gif.

б) hello_html_448e9360.gif , hello_html_11a76b09.gif

Решение .Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_104cc8bc.gif

hello_html_6f24b666.gif hello_html_104cc8bc.gif

hello_html_32f40ebd.gif hello_html_m1b31e498.gif

hello_html_m22572d0d.gif

hello_html_m1c2456d7.gif

hello_html_m37e2b27f.gif

hello_html_m37e2b27f.gif

0

hello_html_m5beed02a.gif. Так как hello_html_7910a81a.gif, то является корнем hello_html_m7eced531.gif.

Ответ:hello_html_30dcda55.gif - является корнем hello_html_m7eced531.gif

в) hello_html_m766fe356.gif , hello_html_369ed385.gif

Решение .Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_3b70014d.gif

hello_html_m588dd395.gif hello_html_3b70014d.gif

hello_html_m7cd5f1b9.gif hello_html_31125791.gif

hello_html_bf91f2e.gif

hello_html_m4c77cc69.gif

hello_html_6ab9a2f4.gif

hello_html_m29eaca33.gif

hello_html_m59016dad.gif

hello_html_3b70014d.gif

8

hello_html_9e56df9.gif. Так как hello_html_m26dc4df7.gif, то не является корнем hello_html_m7eced531.gif.

Ответ:hello_html_38e10ac8.gif - не является корнем hello_html_m7eced531.gif

2.а) Подобрать параметр hello_html_m1c4907bc.gif так, чтобы hello_html_m6fe65818.gif было корнем hello_html_49f23f26.gif.

Решение .Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m51b2a470.gif

hello_html_20897c47.gif hello_html_m51b2a470.gif

hello_html_mef152ff.gif hello_html_m2643a3e2.gif

hello_html_7886b9d3.gif

hello_html_4ac96661.gif

hello_html_573c8fbd.gif

hello_html_m4055ff74.gif

hello_html_m2c94cac4.gif

hello_html_4e94270d.gif

hello_html_m4b179efd.gif

hello_html_83d1e76.gif

hello_html_2ee30478.gif

Ответ: hello_html_m6fe65818.gif корень многочлена hello_html_m7eced531.gif.

б) Подобрать параметр hello_html_m1c4907bc.gif так, чтобы было корнем hello_html_7b0c0b3.gif.

Решение .Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m51b2a470.gif

hello_html_m67dcfc97.gif hello_html_m160418af.gif

hello_html_m66d6e96a.gif hello_html_1b8b3fd.gif

hello_html_m756b1695.gif

hello_html_592632dd.gif

hello_html_m55a5ebc5.gif

hello_html_2f069ad9.gif

hello_html_mc274228.gif

hello_html_518d067a.gif

hello_html_m46f0c6c7.gif

hello_html_5a5f7ab8.gif

hello_html_791753b7.gif

hello_html_2e4bbef4.gif

hello_html_m39ab2924.gif.

Ответ: корень многочлена hello_html_m7eced531.gif.

Занятие 9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Задачи:

  1. Напомнить учащимся определения натуральных, целых, рациональных чисел.

  2. Познакомить учащихся с многочленами с целыми и рациональными коэффициентами.

  3. Научить учащихся находить рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.

Ход занятия.

hello_html_cce8746.gif- натуральные числа.

hello_html_2277fd5b.gif- целые числа.

hello_html_3d5fc003.gifрациональные числа.

Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на общее кратное знаменателей коэффициентов, то получим многочлены с целыми коэффициентами имеющий те же самые корни.

Многочлен hello_html_m7eced531.gif=hello_html_6bcca6e1.gif имеет те же корни, что и многочлен hello_html_m4a248562.gif=12hello_html_m7eced531.gif=hello_html_3ba63f5e.gif.

Теорема. Пусть несократимая дробь hello_html_3cb0c1ac.gif является корнем многочлена hello_html_m5863ab56.gif

с целыми коэффициентами, тогда выполняются условия:

  1. hello_html_484720cc.gif, hello_html_7b953e75.gif;

  2. f(m)hello_html_189c84bf.gifдля любых целых hello_html_m6fcfd213.gif;

  3. f(1)hello_html_37f4710f.gif, f(-1)hello_html_6e231c90.gif.

Кратные корни.

Определение. Число hello_html_m56d84833.gif поля hello_html_m15683c95.gif называется корнем кратности hello_html_m417594b3.gif для многочлена hello_html_m7eced531.gif из hello_html_15bcd8fd.gif, если hello_html_m27a05ab5.gif, но hello_html_m79869135.gif

Задача 1.hello_html_350e2d3b.gif

hello_html_m7f8b748b.gif

hello_html_36063702.gif

hello_html_m7f18a957.gif, но hello_html_cc9360c.gif

hello_html_m5fd3ab1.gif

hello_html_m5bdd7fdf.gif

hello_html_m440c5d70.gif

hello_html_m57ac6ab5.gif

hello_html_m597c640b.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_57fa747d.gif 1

3

УПРАЖНЕНИЯ

1.Найти рациональные корни многочлена:

а) hello_html_7c5a0e31.gif

Решение .Если несократимая дробь hello_html_3cb0c1ac.gif является корнем hello_html_m7eced531.gif, то hello_html_m52fc957d.gif

hello_html_m47d4b4d8.gif


1

-1

2

-2

1

Х

Х

Х

корень

hello_html_m668c6366.gif, hello_html_4d46a264.gif.

Если hello_html_783fb727.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m7d6c0b38.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m6d69d2e5.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_6729592c.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

hello_html_408ea5ac.gifhello_html_m51b2a470.gif

hello_html_m36169c4b.gif hello_html_3a2d1521.gif

hello_html_m49dc1891.gif

hello_html_md18805e.gif

hello_html_m1a1164f2.gif

hello_html_692dcbff.gif

hello_html_5f8f9a9.gif

Ответ: hello_html_25f2d278.gif.

б) hello_html_708984b.gif.

Решение .Если несократимая дробь hello_html_3cb0c1ac.gif является корнем hello_html_m7eced531.gif, то hello_html_m72f0642a.gif hello_html_796782d0.gif


1

-1

2

-2

1

Х

Х

Х

Х

3

корень

корень

Х

Х

hello_html_m12cfa091.gif, hello_html_m57653ed6.gif.

Если hello_html_783fb727.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m7d6c0b38.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m6d69d2e5.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_6729592c.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_53029b4d.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m7529f42b.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m4654fe8f.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m3ef3fad5.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

hello_html_m160035ff.gifhello_html_5f34b418.gif

hello_html_md68147d.gif hello_html_1b98b5ce.gif

hello_html_m205be307.gif

hello_html_3b3e9090.gif

hello_html_m4e448c40.gif

hello_html_m2e04ff5b.gif

hello_html_m35721019.gif

hello_html_m35721019.gif

0

hello_html_1b98b5ce.gifhello_html_5f34b418.gif

hello_html_55ef1fd6.gif hello_html_m4b269bc5.gif

hello_html_m403d06b6.gif

hello_html_m1d5aba68.gif

hello_html_m4bdcb81d.gif

hello_html_m364a2487.gif

-6

hello_html_m160035ff.gifhello_html_m597c640b.gif

hello_html_m7144367b.gif hello_html_768707ee.gif

hello_html_ce0e627.gif

hello_html_m769f2108.gif

hello_html_m4e448c40.gif

hello_html_m11a6cac7.gif

hello_html_64fadb62.gif

hello_html_m3b743ed9.gif

-2

1 –корень кратности 1, так какhello_html_m11150f6.gif hello_html_5f34b418.gif, но hello_html_f6f7980.gif

Ответ: hello_html_32f33866.gif, 1 –корень кратности 1, hello_html_771b1a1d.gif .

в) hello_html_2a76cb4f.gif

Решение .Если несократимая дробь hello_html_3cb0c1ac.gif является корнем hello_html_m7eced531.gif, то hello_html_m4d915087.gif

hello_html_m47d4b4d8.gif


1

-1

3

-3

1

корень

Х

корень

корень

hello_html_m668c6366.gif, hello_html_m57653ed6.gif.

Если hello_html_783fb727.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_m7d6c0b38.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_32713fe5.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

Если hello_html_284fb9dc.gif, то hello_html_m4f6677f3.gif, hello_html_m2e7dfa75.gif.

hello_html_e8542a6.gifhello_html_m160418af.gif

hello_html_m66d6e96a.gif hello_html_54bf32a1.gif

hello_html_68d6c76.gif

hello_html_m2ae44e53.gif

hello_html_m701482e6.gif

hello_html_77d6058b.gif

hello_html_m8c77d5b.gif

hello_html_e8542a6.gifhello_html_104cc8bc.gif

hello_html_m75c91c9d.gif hello_html_54bf32a1.gif

hello_html_m5cf9b571.gif

hello_html_45c95bc.gif

hello_html_1e90e221.gif

hello_html_1e90e221.gif

hello_html_54bf32a1.gifhello_html_104cc8bc.gif

hello_html_m4a25589a.gif hello_html_2a383829.gif

hello_html_5f34b418.gif

hello_html_104cc8bc.gif

-4

hello_html_e8542a6.gifhello_html_5f34b418.gif

hello_html_m66d6e96a.gif hello_html_m177c6037.gif

hello_html_m77022c30.gif

hello_html_714f5509.gif

hello_html_m701482e6.gif

hello_html_m679ae44f.gif

-3 –корень кратности 1, так какhello_html_m11150f6.gif hello_html_104cc8bc.gif, но hello_html_336538f.gif

Ответ: hello_html_32f33866.gif, .hello_html_m775b68b.gif, hello_html_m5ccf3ce4.gif, -3 –корень кратности 1.

Занятие 10. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ (НОД).

Задачи:

  1. Вспомнить определение общего делителя и наибольшего общего делителя для чисел.

  2. Познакомить учащихся с понятием общего делителя и наибольшего общего делителя для многочленов.

  3. Научить находить наибольший общий делитель многочленов.

Ход занятия.

Определение. Натуральное число hello_html_m682f03e1.gif называется общим делителем натуральных чисел hello_html_5bfb141a.gif и hello_html_m714e88da.gif, если hello_html_5bfb141a.gif и hello_html_m714e88da.gif оба делятся на hello_html_m682f03e1.gif.

Определение. Натуральное число hello_html_m682f03e1.gif называется наибольшим общим делителем натуральных чисел hello_html_5bfb141a.gif и hello_html_m714e88da.gif, если выполняются условия:

  1. hello_html_32c6bab8.gifо.д. hello_html_mc2583c0.gif;

  2. если hello_html_mc862aa0.gif о.д. hello_html_m6ae39327.gif, то hello_html_m682f03e1.gif кратно hello_html_795a29c8.gif.

Например , 45 = н.о.д.( 90, 135, 180 ).

Определение. Многочлен hello_html_4aff0c23.gifназывается общим делителем многочленов hello_html_m7eced531.gif и hello_html_m4a248562.gif, если многочлены hello_html_m7eced531.gif и hello_html_m4a248562.gif оба делятся на hello_html_4aff0c23.gif.

Определение. Многочлен hello_html_4aff0c23.gifназывается наибольшим общим делителем многочленов hello_html_m7eced531.gif и hello_html_m4a248562.gif, если hello_html_4aff0c23.gif является общим делителем многочленов hello_html_m7eced531.gif и hello_html_m4a248562.gif и если hello_html_4aff0c23.gif делится на любой общий делитель многочленов hello_html_m7eced531.gif и hello_html_m4a248562.gif.

При нахождении наибольшего общего делителя используется следующие утверждения.

Предложение 1. Если многочлен hello_html_m7eced531.gif делится на многочлен hello_html_m4a248562.gif, то н.о.д.hello_html_md76f3ec.gif

Предложение 2. Если для многочленов hello_html_m7eced531.gif, hello_html_m4a248562.gif, hello_html_5eb7b3c7.gif, hello_html_1c62245d.gif справедливо равенство hello_html_m7e1ed958.gif, то н.о.д.hello_html_m61e38589.gif.

Задача 1. Найти наибольший общий делитель многочленов hello_html_6f3e0111.gif и hello_html_43511f64.gif.

Решение. Разделим в столбик многочлен hello_html_m7eced531.gif на многочлен hello_html_m4a248562.gif:

hello_html_m4bd2e12d.gifhello_html_m482f9e82.gif

hello_html_m5d422e93.gif hello_html_47b5ef7a.gif

hello_html_m7694d605.gif

hello_html_37d99396.gif

hello_html_m597c640b.gif

Запишем результат деления в виде равенства hello_html_m62f091d3.gif. Согласно предложения 2. имеем н.о.д.hello_html_m562e0cdf.gif. Теперь разделим в столбик многочлен hello_html_25bbcf06.gif.

hello_html_m482f9e82.gifhello_html_m597c640b.gif

hello_html_6b2e7eec.gifhello_html_m51b2a470.gif

hello_html_m54954e4d.gif

hello_html_3b28129.gif

hello_html_m4f0ff780.gif

Запишем результат деления в виде равенства hello_html_29a44a22.gif. Согласно предложению 2 имеемhello_html_7d3a3e59.gif. Поскольку hello_html_m597c640b.gif делится на hello_html_m4f0ff780.gif, то по предложению 1hello_html_1b1f0d8.gif.

Ясно, что такой способ нахождения наибольшего общего делителя – алгоритм Евклида – пригоден для любых двух многочленов hello_html_6a2f082f.gif.

Теорема . 1)Наибольший общий делитель равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

2) Наибольший общий делитель двух многочленов находится с точностью до умножения на ненулевое число.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти н.о.д. многочленов hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif, если:

а) hello_html_m1f72537c.gif , hello_html_m320f7dc9.gif.

Решение. Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif

hello_html_727f4c4b.gifhello_html_m32a15345.gif

hello_html_160da074.gifhello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_m64263e32.gif

hello_html_4691e566.gif

hello_html_m32a15345.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_4552c707.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_3d8ff2d0.gif

hello_html_3d8ff2d0.gif

0

hello_html_1ef245d8.gif.

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен hello_html_57fa747d.gif. Поэтому н.о.д. hello_html_e02301d.gif.

Ответ: н.о.д. hello_html_e02301d.gif.

б) hello_html_39148323.gif , hello_html_6b970f15.gif.

Решение. Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif

hello_html_m6c9200ac.gifhello_html_14cb1975.gif

hello_html_6c6a8238.gifhello_html_753d39f2.gif

hello_html_m4c165892.gif

hello_html_m241413c9.gif

hello_html_m5316d6d5.gif

hello_html_m50f18dea.gif

hello_html_14cb1975.gif hello_html_104cc8bc.gif

hello_html_m65f94797.gif hello_html_5f34b418.gif

hello_html_1e90e221.gif

hello_html_1e90e221.gif

0

hello_html_m29e9059.gif.

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен hello_html_104cc8bc.gif. Поэтому н.о.д. hello_html_m75b69546.gif.

Ответ: н.о.д. hello_html_m75b69546.gif.

в) hello_html_m57cec6fc.gif , hello_html_1c2a7e87.gif.

Решение. Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif

hello_html_m6c43b6b4.gifhello_html_m70f076df.gif

hello_html_m3d7d2a42.gifhello_html_m4e877a39.gif

-hello_html_1ec94129.gif

-hello_html_m77c9b469.gif

hello_html_59ac77ca.gif

hello_html_m51a05ac0.gif

hello_html_m70f076df.gif hello_html_3b70014d.gif

hello_html_2337bcfd.gif hello_html_3b70014d.gif

hello_html_476621fa.gif

hello_html_476621fa.gif

0

hello_html_m3b56e71f.gif.

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен hello_html_104cc8bc.gif. Поэтому н.о.д. hello_html_m75b69546.gif.

Ответ: н.о.д. hello_html_m75b69546.gif.

г) hello_html_m6336949c.gif , hello_html_11f27b2d.gif.

Решение. Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif

hello_html_m41fc05ba.gifhello_html_1cd99fb7.gif

hello_html_m4a057133.gifhello_html_m51b2a470.gif

hello_html_m3c3b41f9.gif

hello_html_m2ed919d1.gif

hello_html_ma0e969c.gif

hello_html_6834926a.gif

hello_html_1cd99fb7.gif hello_html_ma0e969c.gif

hello_html_74d3bcd1.gif hello_html_m597c640b.gif

hello_html_7b71904a.gif

hello_html_ma0e969c.gif

hello_html_m597c640b.gif

hello_html_f5b3147.gif

hello_html_ma0e969c.gif hello_html_m597c640b.gif

hello_html_6b2e7eec.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_1f53512c.gif

hello_html_1f53512c.gif

0

hello_html_7cba2296.gif.

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен hello_html_m597c640b.gif. Поэтому н.о.д. hello_html_m759ccf8c.gif.

Ответ: н.о.д. hello_html_m759ccf8c.gif.

д) hello_html_47342320.gif , hello_html_d7d31ac.gif.

Решение. Разделим hello_html_m7eced531.gif на hello_html_m4a248562.gif

hello_html_6672454d.gifhello_html_m2eb6b15b.gif

hello_html_m3d6929a.gifhello_html_57fa747d.gif

hello_html_m3960099a.gif

hello_html_4941586d.gif

hello_html_3212b05.gif

hello_html_m1b715cff.gif

hello_html_m2eb6b15b.gif hello_html_3212b05.gif

hello_html_m103e15a6.gif hello_html_m51b2a470.gif

hello_html_7d9ecab0.gif

hello_html_7d9ecab0.gif

hello_html_53734fef.gif

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен hello_html_3212b05.gif. Поэтому н.о.д. hello_html_12eca1f5.gif.

Ответ: н.о.д. hello_html_12eca1f5.gif.

Занятие 11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ПОМОШИ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА.

Задачи:

  1. Познакомить учащихся с методом решения систем алгебраических уравнений от одной переменной, основанном на теореме о делении с остатком.

  2. Закрепить умение делить многочлен на многочлен.

  3. Закрепить умение находить НОД для многочленов.

  4. Закрепить указанный выше способ решения систем алгебраических уравнений.

Ход занятия.

Задача 1.Решить систему

hello_html_m4b706454.gif

Решение. Найдем корни квадратных уравнений обычным способом.

hello_html_3f6e8959.gif, hello_html_m72bb5034.gif, hello_html_1c847b49.gif, hello_html_7b46478d.gif.

hello_html_m33098df.gif, hello_html_m178f2f4b.gif, hello_html_m534be7de.gif, hello_html_41bffd0f.gif.

Общим решение для этих двух уравнений будет hello_html_25f2d278.gif.

Теорема. Если для многочленов hello_html_m15e1f0ff.gif справедливо равенствоhello_html_m7e1ed958.gif, то следующие системы алгебраических уравнений hello_html_2d4fa46e.gifравносильны.

Доказательство. Если hello_html_m6061f114.gifрешение первой степени, т.е. hello_html_m28d51f41.gif , то hello_html_2dfe17f3.gif и hello_html_m56d84833.gif является решением второй системы. Аналогично доказывается , что всякое решение второй степени является решением первой.

Разделим многочлен hello_html_662901ee.gif на многочлен hello_html_m616567d9.gif с остатком hello_html_c8c7b94.gif. Согласно теореме система hello_html_m4b706454.gif равносильна hello_html_m6c99d568.gif. Разделим многочлен hello_html_m616567d9.gif на hello_html_m3aab821d.gif с остатком hello_html_38169f6f.gif. Согласно теореме hello_html_m6c99d568.gif равносильна системеhello_html_6eed0844.gif, а последняя равносильна одному уравнению hello_html_m3aab821d.gif, решение которого является hello_html_25f2d278.gif.

Ответ: hello_html_25f2d278.gif.

Задача 2. Решить систему уравнений

hello_html_1106a702.gif

Решение. Разделим с остатком первый многочлен на второй hello_html_48037207.gif. Тогда исходная система равносильна системе hello_html_m70714df2.gif или hello_html_641937b7.gif. Разделим многочлен hello_html_m34d058a0.gif на hello_html_m51b2a470.gif с остатком hello_html_e82dfe1.gif. По теореме последняя система равносильна системе hello_html_184653d3.gifна самом деле равносильна одному уравнению hello_html_6d1de698.gif, решением которого будет hello_html_m3dc385c0.gif

Отметим, что не умея решать уравнения третьей степени , мы смогли решить систему из двух уравнений третьей степени.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Пользуясь НОДом двух многочленов, найти НОД системы, если:

а)hello_html_m2b0061ef.gif

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

hello_html_528decf2.gifhello_html_d7abfe1.gif

hello_html_d7abfe1.gif 1

hello_html_m75d8ceb1.gif

Исходная система равносильна hello_html_m37fdb78b.gif Разделим первый многочлен на второй.

hello_html_d7abfe1.gif hello_html_m597c640b.gif

hello_html_m41969b29.gif hello_html_m437cc0a3.gif

hello_html_1084f430.gif

hello_html_1084f430.gif

0

Система равносильна hello_html_m224e4bf2.gif, данная система равносильна уравнению hello_html_m6299e3cd.gif, решением которого будет hello_html_3e56d1a5.gif.

Ответ:hello_html_3e56d1a5.gif.

б)hello_html_m17b149ef.gif

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

hello_html_17b6e9dc.gifhello_html_m4637bd28.gif

hello_html_m20a6d038.gif hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_57fa747d.gif

Исходная система равносильна hello_html_m7cee9723.gif Разделим первый многочлен на второй.

hello_html_m4637bd28.gif hello_html_57fa747d.gif

hello_html_m57364e8b.gif hello_html_6108f12e.gif

hello_html_4d09ea12.gif

hello_html_7104bcef.gif

hello_html_m74d5d27d.gif

hello_html_49b71131.gif

hello_html_m21a6a3e1.gif

Система равносильна hello_html_7a95e655.gif, данная система решения не имеет. Ответ: решения нет.

в)hello_html_m367e9389.gif

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

hello_html_262796f4.gifhello_html_1ae3d196.gif

hello_html_mf0ef5a4.gifhello_html_6192bbdd.gif

hello_html_m40388b10.gif

hello_html_13b133d.gif

hello_html_m63d5ec04.gif

Исходная система равносильна hello_html_6d910237.gif Разделим первый многочлен на второй.

hello_html_1ae3d196.gif hello_html_m63d5ec04.gif

hello_html_5529ed82.gif hello_html_m3aab821d.gif

hello_html_m4d150d3b.gif

hello_html_m156e539.gif

hello_html_2c56a587.gif

Система равносильна hello_html_m46d8bc67.gif. Разделим первый многочлен на второй.

hello_html_m63d5ec04.gif hello_html_2c56a587.gif

hello_html_m2a82b25f.gif hello_html_4ca7ae60.gif

hello_html_896f221.gif

hello_html_896f221.gif

0

Система равносильна hello_html_133225af.gif, данная система равносильна уравнению hello_html_m188ef74b.gif, решением которого будетhello_html_32f33866.gif, hello_html_m3e587424.gif.

Ответ: hello_html_32f33866.gif, hello_html_m3e587424.gif.

г)hello_html_7c642401.gif

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

hello_html_2e596197.gifhello_html_m223b510b.gif

hello_html_m517d6c6.gifhello_html_m570abe83.gif

hello_html_m4a71cf86.gif

Исходная система равносильна hello_html_m7d5ede80.gif Разделим первый многочлен на второй.

hello_html_m223b510b.gif hello_html_m4a71cf86.gif

hello_html_m47ccef90.gif hello_html_29647101.gif

hello_html_m8970ad0.gif

hello_html_784d196e.gif

hello_html_79ddc2fa.gif

Система равносильна hello_html_m1a2c4713.gif. Разделим первый многочлен на второй.

hello_html_m4a71cf86.gif hello_html_79ddc2fa.gif

hello_html_7123800e.gif hello_html_m54954e4d.gif

hello_html_79ddc2fa.gif

hello_html_79ddc2fa.gif

0

Система равносильна hello_html_m45a31018.gif, данная система равносильна уравнению hello_html_cddd920.gif, решением которого будетhello_html_32f33866.gif, hello_html_m59cb6cd2.gif.

Ответ: hello_html_32f33866.gif, hello_html_m3e587424.gif.





53


Краткое описание документа:

 

Занятие № 1. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Задачи:

1.              Познакомить детей с теоремой о делении с остатком.

2.      Научить применять ее для целых чисел.

3.      Развивать математическое мышление.

Занятие № 2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Задачи:

1.              Вспомнить что такое наибольший общий делитель, как
он находится.

2.              Научить находить наибольший общий делитель с помо­щью алгоритма Евклида.

     Вызвать интерес к математике.

 

Занятие № 3. КОЛИЧЕСТВО ДЕЛЕНИЙ В АЛГОРИТМЕ ЕВКЛИДА.

Задачи:

1.              Дать оценку количеству делений с остатком при нахождении наибольшего общего делителя  по  алгоритму Евклида  и при помощи канонического разложения.

2.              Показать преимущества в вычислениях наибольшего общего делителя  по алгоритму Евклида перед его нахождением по  каноническому разложению.

Занятие № 4. ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ.

Задачи:

1.      Познакомить детей с диофантовыми уравнениями.

2.      Научить решать диофантовы уравнения, пользуясь формулами общего решения.

Расширить кругозор детей.

Занятие № 4. ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ.

Задачи:

1.      Познакомить детей с диофантовыми уравнениями.

2.      Научить решать диофантовы уравнения, пользуясь формулами общего решения.

Расширить кругозор детей.

Занятие № 6.НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

1.              Научить находить наибольший общий делитель при помощи алгоритма Евклида.

2.              Закрепить умение делить многочлен на многочлен, применять алгоритм Евклида.

З анятие № 7.

ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ

Задачи:

1.      Напомнить теорему о делении с остатком для чисел.

2.      Познакомить учащихся с теоремой о делении с остатком для многочленов.

3.      Научить применять ее.

 З анятие № 8.

КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ.

Задачи:

1.      Напомнить определения корня многочленов.

2.      Познакомить учащихся с теоремой Безу, научить применять ее.

З анятие № 9.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Задачи:

1.      Напомнить учащимся определения натуральных, целых, рациональных чисел.

2.      Познакомить учащихся с многочленами с целыми и рациональными коэффициентами.

3.      Научить учащихся находить рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.

З анятие № 10.

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ (НОД).

Задачи:

1.      Вспомнить определение общего делителя и наибольшего общего делителя для чисел.

2.      Познакомить учащихся с понятием общего делителя и наибольшего общего делителя для многочленов.

3.      Научить находить наибольший общий делитель многочленов.

З анятие № 11.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ПОМОШИ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА.

Задачи:

1.      Познакомить учащихся с методом решения систем алгебраических уравнений от одной переменной, основанном на теореме о делении с остатком.

2.      Закрепить умение делить многочлен на многочлен.

3.      Закрепить умение находить НОД для многочленов.

4.      Закрепить указанный выше способ решения систем алгебраических уравнений.

 

 

 

 


 

Автор
Дата добавления 17.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров635
Номер материала 120405
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх