Занятие 1. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Задачи:

1.           Познакомить детей с теоремой о делении с остатком.

2.      Научить применять ее для целых чисел.

3.      Развивать математическое мышление.

Ход занятия:

Опр. Натуральные числа - это числа 1,2,3,… .Они возникают в процессе счета и означают количество предметов. Обозначаются  N ={1,2,3,….}

Решение простейших линейных уравнений х+а=0, а N, требует введения понятия «целое отрицательное число».

Какие числа называют целыми?

Опр. Целые числа - это числа 0,1,-1,2,-2,3,-3,…, т.е. число 0, натуральные числа и числа, противоположные натуральным числам. Обозначаются Z={0,1,-1,2,-2,3, -3, …}.

На множестве целых чисел определены операции сложения и умножения. Однако результат деления одного целого числа на другое не обязан быть целым числом. Операция деления с остатком основывается на теореме.

Теорема о делении с остатком:

Для любого целого числа а и любого натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что выполняются два условия:          а = bq + r и 0≤r<b.

Следующая геометрическая иллюстрация позволит нам увидеть суще­ствование неполного частного q и остатка r. Пусть а- целое число, b - натураль­ное число. Тогда целые числа -3b , -2b, - b, 0, b, 2b, 3b,... разбивают координатную прямую на отрезки, длина каждого из которых равна b.

-2b    -b      0       b        2b      3b      4b       bq

 

Произвольное целое число а изображается точкой, которая либо совпадает с одним из концов некоторого отрезка, либо попадает внутрь отрезка. В пер­вом случае, а кратно b, т.е. а = bq= bq+0, где h - целое число. Во втором случае, а получается путем прибавления к числу  bh, кратному b, некоторого натурального числа, меньшего, чем b, т.е. а = bq +r, где 0≤r<b. Существование пары q, r доказано.

Единственность чисел q и r позволяет дать имена всем числам из ра­венства             а = bq + r : а- делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток.

Задание 1.

Выполнить деление с остатком.

а) 2867 на 15,

б) 2867 на -15.

Решение.

а) Выполним деление столбиком

2867      15

15        191

136

135     

   17

   15

    2

Запишем равенство 2867=15*191+2, где 2867- делимое, 15 – делитель, 191– неполное частное, 2– остаток.

Таким же образом, получаем, -2867=15*(-192)+13, 0≤13<15 (остаток не может быть отрицательным числом), где -2867- делимое, 15- делитель, -192- неполное частное, 13– остаток , 0≤13<15 (остаток не может быть отрицательным числом).

Задание 2.

Выполнить деление с остатком.

а)     43 на 12,

б)    18 на 19,

в)     37 на 6.

Решение:

а)     Так как 43=12*3+7, то 3-неполное частное, 7-остаток.

б)    Так как 18=19*0+18. то 0-неполное частное, 18-остаток.

в)     Так как 37=6*6+1. то 6-неполное частное, 1-остаток.

Наряду с индукцией теорема о делении с остатком является одним из способов решения задач о целых числах.

Задание 3.

Какие остатки могут получиться при делении квадрата целого числа на 4.

Решение:

Способ 1. По теореме о делении с остатком на 4 число а может быть представлено в одном из следующих четырех видов:

a=4n, a=4n+1, a=4n+2, a=4n+3,    nZ .

Возводя эти выражения в квадрат, получаем:

a²= (4n)²=16 n²=4*4 n²+0,

a²=(4n+1)²=16 n²+8n+1=4(4 n²  +2n)+1,

a²=(4n+2)²=16 n² +16n+4=4(4 n²+4n+1)+0,

a²=(4n+3)²=16 n²+24n+9=4(4 n² +6n+2)+1.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 1 или 0.

Способ 2.

По теореме о делении с остатком на 3 можем записать a= 2n и a= 2n+1, nZ.

Возводя эти выражения в квадрат, получаем:

a²= (2n)²=4n²=4n²+0,

a²= (2n+1)²=4n²+4n+1=4(n²+n)+1.

Следовательно, квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 1 или 0.

Задание 4.

Заполните таблицу:

a		85	5611
b	18
q	411		701
r	7	6	3

 Решение:

1.     а = bq + r, b=18, q=411,  r=7, а=18*411+7, а=7405.

2.     а = bq + r, а=85,  r=6,  85= bq + 6

bq=79

b =79,  q=1, так как r=6, то случай b =1,  q=79 не возможен.

3.     а = bq + r, а=5611,  q=701, r=3.

5611= b701+3

5611-3= b701

b =5608:701

b=8.

Задание 5.

Найдите делитель b и остаток r, если известно делимое a=41 и неполное частное q=5.

Решение:

Поскольку 41=8*5+1, 0≤ 1 <8, 41=7*5+6 , 0 ≤ 7< 6, 41=6*5+11, но 6< 11, то возможны лишь случаи, когда  b = 8, r=1 и b=7, r=6.

Здесь нет однозначного ответа, поскольку теорема о делении с остатком гарантирует однозначность,  если даны делимое и делитель.

Задание 5.

Найти наименьшее и наибольшее числа, дающие при делении на 15 неполное частное 16.

Решение:

240=15*16+0

254=15*16+14.

 

 

 

 

 

 

Занятие  2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Задачи:

1.           Вспомнить что такое наибольший общий делитель, как
он находится.

2.           Научить находить наибольший общий делитель с помо­щью алгоритма Евклида.

     3.  Вызвать интерес к математике.
Ход занятия:

Давайте вспомним, что такое НОД и как он находится. Поскольку знак числа не влияет на делимость чисел, будем рассматривать только целые положительные числа.

Напомним, что натуральное число с называется общим делителем натуральных чисел а и b,если а делится нацело на с (ас) и b делится нацело на с (а b).

Множество общих делителей чисел а, b конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем а. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел а и b.

Запись следующая НОД(а,b).

Лемма 1. Если а b, то НОД(а,b)= b.

Лемма 2. Если а = bq + r, то НОД(а,b)= НОД(b, r).

Задание  1.

Найдем НОД (48 и 60).

Решение:       

 Делителями        числа        48         являются        числа: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.                                                                                 Делителями      числа     60      являются     числа: 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Числа 48 и 60 делятся на числа 1,2,3,4,6, и 12 -это их общие делители. Наибольшим из этих делителей является число 12, значит НОД (48, 60) = 12.

Мы рассмотрели способ нахождения НОД для небольших чисел 48 и 60. Этот способ показался  удобен, но как мы будем действовать, если нужно будет найти НОД (3731,4633)? Общие делители в этом случае вычислить трудно и находить наибольший общий делитель становится неудобно.

Существует иной способ отыскания НОД двух чисел, известный под названием алгоритм Евклида, описанный древнегреческим математиком Евклидом            (III в. до н.э.) в его знаменитом трактате “Начала”. Ему уже более 2 тысяч лет. Этот способ нахождения наибольшего общего делителя алгоритм был известен еще пифагорейцам. К середине 16 века алгоритм Евклида был распространен на многочлены от од­ного переменного.

Задание 2: Найдем НОД (3731, 4633).

Решение: Применяя теорему о делении с остатком, мы получим такие равенства:

4633=3731*1 +902

3731 =902*4+ 123

902=123*7+41

123=41*3

НОД(4633, 3731)= НОД( 3731, 902)= НОД(902,123)= НОД(123,4)=41.

По алгоритму Евклида получаем что НОД (3731, 4633) = 41, так как последний отличный от нуля остаток равен 41.

Теорема:

НОД двух ненулевых целых чисел равен последнему от­личному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

Задание 3.

Используя алгоритм Евклида, найти НОД (а,b).

1.     a=391, b=713.

Решение:

Разделим столбиком:

713    391              391  322         322   69            69   46        46   23

391      1                322    1           276    4             46   1          23   1

322                          69                   46                   23                 0       

713=391*1+322

391=322*1+69

322=69*4+46

69=46*1+23

46=23*2

НОД (а,b)=23.

Для нахождения НОД (а,b, с) воспользуемся следующими двумя утверждениями, аналогичными леммам 1 и 2.

Лемма 3. Если а с, b с, то НОД(а,b,с)=с.

Лемма 4. Если а = сh₁ + r₁, b = ch₂ + r₂ ,то НОД(а,b,c)= НОД(c, r_1, r₂).      

Свойство наибольшего общего делителя. НОД(а,b,с)= НОД(НОД(а,b),с).

Задание 4.

Используя алгоритм Евклида, найти НОД (а,b, с), если a=10836, b=2967, c=731.

Решение:

Разделим столбиком.

10836      731          

  731        14

  3256

  2924

     602

10836=731*14+602

2967     731

2924      4

 43

2967=731*4+43

НОД(10836,2967,731)=НОД(731,602,43)

731   43

43      17

301

301

     0

731=43*17+0

602       43

43          14

172

172

    0

602=43*4+0

НОД(10836,2967,731)=НОД(731,602,43)=НОД(0,0,43)=43.

Задание 5.

Найти НОД числителя и знаменателя и сократить дробь:

1.    ;

2.      .

Решение:

1.     НОД(2117,11484).

11484     2117           2117    899             899   319           319   261

10585         5             1798      2               638     2             261     1

    899                          319                       261                      58

 

261   58               58  29

232    4                58   2

 29                         0

НОД(11484,2117)=29, значит, дробь   можно сократить на 29 и  получить дробь  .

2.     НОД(172,2967).

2967    172             172   43

172       17              172    4

1247                           0

1204

    43

НОД(172,2967)=43, значит, дробь      можно сократить на 43 и  получить дробь .

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие 3. КОЛИЧЕСТВО ДЕЛЕНИЙ В АЛГОРИТМЕ ЕВКЛИДА.

Задачи:

1.           Дать оценку количеству делений с остатком при нахождении наибольшего общего делителя  по  алгоритму Евклида  и при помощи канонического разложения.

2.           Показать преимущества в вычислениях наибольшего общего делителя  по алгоритму Евклида перед его нахождением по  каноническому разложению.

Ход занятия:

Поскольку и в алгоритме Евклида и при получении канонического разложения выполняется деление с остатком, то примем за единицу вычисления одно деление с остатком.

Давайте сравним количество делений с остатком в алгоритме Евклида и при отыскании канонического разложения.

Задание  1.

Найти количество делений, необходимое для нахождения наибольшего общего делителя чисел 1925 и 418 с помощью алгоритма Евклида и канонического разложения.

Решение:       

Разложим число 1925 на простые множители. Проверим делимость числа 1925 на 2. Не делится, на 3- не делится. Разделим число на 5- делится, получаем 385. Снова проверяем делимость на 5. Делим, получаем 77. Снова проверяем делимость на 5, не делится. Далее делим на 7, получаем 11. Проверяем кратность множителя, снова разделив число на 7, не делится. Затем 11 делим на 11, получаем 1. Этот способ удобен только тогда, когда мы знаем таблицу простых чисел.

1925    5

385      5

77        7

11       11

1

Потребовалось 8 делений.

Проделаем тоже самое  с числом 418. Проверим делимость числа 418 на 2, получаем 209. Проверяем кратность множителя, снова разделив число на 2, не делится. Далее 209 делим на 3, не делится, на 5- не делится, на 7- не делится. Затем делим на 11, получаем 19. Проверим ещё раз делимость на 11, не делится. Значит, 19 делим на 13, не делится, разделив 19 на 19, получаем 1.

418  2

209  11

19    19

1

Потребовалось 9 делений. Итого, 17 делений с остатком.

Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида.

1925=418*4+253

418=253*1+165

253=165*1+88

165=88*1+77

88=77*1+11

77=11*7

Потребовалось 6 делений с остатком.

В XIX веке математик Ламе дал оценку количеству делений с остатком в алгоритме Евклида.

Теорема Ламе. Количество делений в алгоритме Евклида, необходимое для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, не превышает пятикратного количества цифр в десятичной записи меньшего из этих двух чисел.

Задание 2:

Найти число делений с остатком при нахождении НОД( 418, 385).

Решение:

В числе 385 три цифры, значит, нужно выполнить не более пятнадцати делений с остатком, чтобы найти НОД(418,385).

Есть ещё одна оценка, позволяющая определить количество делений для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел: , где b- наименьшее из чисел а, b.

Так как логарифм изучается в старших классах, мы будем пользоваться калькулятором.

Задание 3.

Найти оценку логарифмом для чисел 418 и 385

Решение:

 +2= 2*8,5+2=19. Необходимо не более 19-ти делений.

Задание 4.

Найти разницу в количестве делений между каноническим разложением и нахождением наибольшего общего делителя по алгоритму Евклида для чисел:

а)     88 и 42,

б)    54 и 33.

Решение:

а)     Разложим 88 и 42 на простые множители.

88   2 

44    2

22    2

11    11

1

Потребовалось  8 делений.

     42   2

     21   3

      7    7

      1

 

Потребовалось 6 делений с остатком. Итого, 14 делений.

Найдем  наибольший общий делитель по алгоритму Евклида:

88=42*2+4

42=4*40+2

4=2*2

3 деления.

14-2=12. Разница в 12 делений.

б)     54     2

 27     3

 9       3

 3       3

 1

Потребовалось 5 делений.

33   3

11  11

1

Потребовалось  6 делений с остатком.

54=33*1+32

33=21*1+8

21=8*2+5

8=5*1+3

5=3*1+2

3=2*1+1

2=1*2

7 делений. Получаем разницу в 4 деления.

Задание 5.

Не проводя деления, оцените количество делений, требуемое для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел по оценке Ламе и через логарифм.

1.      8425 и 45,

2.      45698 и 8192.

Решение.

1.     а) оценка Ламе: не более 10-ти делений.

б) оценка логарифмом: =13 делений с остатком.

2.     а) оценка Ламе: не более 20-ти делений.

б) оценка логарифмом: =26 делений с остатком.

Используя оценку логарифмом, можно определить количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел:, где b- наименьшее из трех чисел.

Задание 6.

Найти количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел: 403, 187, 38.

Решение:

2*5+4=14.

Задание 7:

По алгоритму Евклида и каноническому разложению найти количество делений, необходимых для нахождения наибольшего общего делителя трех чисел: 403, 187, 38.

Решение.

НОД(403,187,38)= НОД(НОД(403,38),187).

403=38*10+23

38=23*1+15

23=15*1+8

15=8*1+7

8=7*1+1

7=1*7

НОД(403,38)=7

187=1*187

НОД(1,187)=1. Итого, 7 делений.

Каноническое разложение:

403  13                         187   11                                  38     2                        

31    31                         17    17                                   19     19                                  

1                                   1                                             1

12 делений.                8 делений.                                  9 делений.

Итого, 29 делений с остатком.

Занятие 4. ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ.

Задачи:

1.     Познакомить детей с диофантовыми уравнениями.

2.     Научить решать диофантовы уравнения, пользуясь формулами общего решения.

3.     Расширить кругозор детей.
Ход занятия:

С помощью алгоритма Евклида можно доказать одно важное свойство наибольшего общего делителя.

Свойство наибольшего общего делителя.

Для любых натуральных чисел а,b существуют целые числа х и у, такие, что  ах + bу= НОД (а,b).

Это свойство мы доказывать не будем, но поясним его на примере.

Выражение ах + bу= НОД (а,b). называют тождеством Безу.

Задание 1.

Найти НОД(3545,152) и найдите числа  х и у, что 3545х + 152у= НОД(3545,152)

Решение:

Наибольший общий делитель чисел 3545 и 152  найдем по алгоритму Евклида:

3545=152*23+49

152=49*3+5

49=5*9+4

5=4*1+1

4=1*4

Выразим НОД(3545,152) как того требует тождество Безу.

1 =5-4 5-(49-5*9) =5*10-49*1-(152-49*3)*10-49*1=152*10-49*31=152*10-(3545-152*23)*31=3545*(-31)+152*723. Следовательно, х=-31, у=723.

 

Задание  2.

Найти такие целые  числа  х и у, что

а)     6069х + 663у=102,

б)    6069х + 663у=132.

Решение:

а)     Найдем наибольший общий делитель по алгоритму Евклида:

6069 = 663*9+ 102

663 = 102*6 + 51

102 = 51*2

Выразим НОД(6069,663) как того требует тождество Безу.

51 =663- 102*6 = 663- (6069 -663*9)*6 =6069*(-6) + 664*55.

Умножая тождество Безу на 2, получим требуемое выражение 6069*(-12) + 664*110=102.

б)    В отличие от задания а) в задании б) правая часть 132 не делится на 51.

Если бы выполнялось равенство 6069х + 663у=132, то из условий 606551, 66351 следовало бы, что 13251, а это не так. Следовательно, целых решений диофантово уравнение 6069х + 663у=132 не имеет.

В диофантовых урав­нений интересуются только  целочисленными решениями. Если известно одно решение  такого уравнения, то все остальные целочисленные уравнения задаются формулами

x=  ;  y=, где tZ.

Задание  3.

Решить диофантово уравнение: 27х- 72у=45.

Решение:

Вначале найдем НДО(27,72) по алгоритму Евклида.

72=27*2+ 18

27=18*1+9

18=9*2

Затем выпишем тождество Безу 9=27-18*1=27-(72*1-27*2)=27*3-72*1.

Так как с=45 и 45=9*5, то, умножая тождество Безу на 5, получим числовое равенство 27*15-72*5=45 и следовательно одно из решений х₀=15,   у₀=5 диофантова  уравнения. Все решения диофантова уравнения задаются формулами

х = 15 + t=15-8 t,

y =5-t=5-3 t, tZ.

Задание 4 .

В ящики по 25 и 30кг засыпать 440 кг конфет.

Решение:

 Обозначим через х- количество ящиков по 25кг, а через у- количество ящиков по 30 кг. Тогда получим диофантово уравнение 25х+30у=440.

Найдем НОД(25,30) по алгоритму Евклида.

30=25*1+5

25=5*5

Тогда НОД(25,30)=5. Выразим 5 через 25 и 30 как в тождестве Безу.

25*(-1)+30*1=5. Поскольку 440=5*88, то умножая тождество Безу на 88, получим равенство 25*(-88)+30*88=440 и одно из решений =-88,=88.

Все целочисленные решения задаются формулами

x=  =-88+6

y= = 88-5.

Так как х≥0, у≥0, то из равенства 88=5*17+3 найдем наибольшее значение =17, при котором у еще неотрицателен.

 

	17	16	15	14
х	3	8	2	-4
у	14	8	13	18

Таблица показывает, что решениями задачи будут х₁=3, у₁=14, х₂=8, у₂=8, х₃=3, у₃=13 и только они.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занятие  5. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН С ОСТАТКОМ.

Задачи:

1.           Познакомить детей с делением многочлена на много­член с остатком.

2.           Развивать умение производить деление.

3.           Развивать математическую наблюдательность.

Ход занятия:

Давайте вспомним, что называется многочленом.

Определение:

Многочленом от переменной х будем называть выражение вида a_nхⁿ + а_n-1х^п-1+...+   + а₁х + а_{0 ,}где n- неотрицательное целое число, a_n , а_n-1..... а₁ , а₀- любые числа, называемые коэффициентами этого многочлена. Если а≠0, то n называется степенью многочлена f(х) и обозначается ст. f(х).

Как и во множестве целых чисел, для многочленов имеет место опера­ция деление с остатком.

Теорема:

Пусть f(х) и g(х) - многочлены, причем g(х)≠0. Тогда существуют и единственны многочлены h(x) и r(х), такие, что f(x) = g(х) * h(х) + r(х), причем  либо r(х) =0, либо степень многочлена r(х) меньше степени многочлена g(х).

f(х) – делимое, g(х) – делитель, h(х) – неполное частное, r(х) – остаток.

Задание 1.

При помощи деления столбиком разделить с остатком многочлен f(x) = 3x⁴+2x²-1 на многочлен  g(x)=x²+x.

Решение:

2x³+2x²-1    x²-x

2x³-2x²         2x+4

          4x²-1

        4x²-4x

          4x-1

Деление прекращаем, когда степень остатка 4х-1 меньше степени делителя x²+x.

f(x) = g(x)( 2x+4)+( 4x-1).

Задание 2.

При помощи деления столбиком разделить с остатком многочлен f(x) = =3x+4x⁴+2x⁵-15x³+1-9x² на многочлен  g(x)=2x²-x³.

Решение:

2x⁵+4x⁴-15x³-9x²+3x+1         -x³+2x²

2x⁵-4x⁴                                                      -2x²-8x-1

         8x⁴-15x³

         8x⁴-16x³

                 x³-9x²

                 x³-2x²

                      -7x²+3x+1

f(x) = g(x)( -2x²-8x-1)+( -7x²+3x+1).

 

Задание 3.

Выполнить деление  x⁷-1 на  x³+x-1 с остатком.

Решение:

x⁷-1                 x³+x-1

x⁷+x⁵-x⁴       х⁴-х²+х

      -x⁵+x⁴-1

      -x⁵-x³+x²

            x⁴+x³-x²-1

            x⁴+x²-x

                  x³-2x²+x-1

                  x³+x-1

                       -2x²-2

f(x) = g(x)( х⁴-х²+х)+( -2x²-2).

 

Задание 4.

При каком значении k многочлен f(x)=x³+6x²+kx+12 делится нацело на многочлен g(x)=x+4?

Решение:

x³+6x²+kx+12                x+4

x³+4x²                             x²+2x+(k-8)

       2x²+kx+12

        2x²+8x

              (k-8)x+12

              (k-8)x+4(k-8)

                       44-4k

Чтобы остаток был равен нулю, решим уравнение 44-4k=0 и получим k=11.

Говорят, что многочлен f(x) равен многочлену g(x) т.т.т, когда у них равны коэффициенты при соответствующих степенях.

На определении равенства многочленов основывается метод неопределенных коэффициентов.

Задание 5.  Выполнить  деление многочленаx²+x+6 на многочлен x-4, используя метод неопределенных коэффициентов.

 при x² :      1=a

при x :      2=b-4a

при 1 :       6=c-4b,

получаем, а=1,  b=6, с= 30.

Задание 6.

Найти делитель, если даны делимое f(x)=2x⁵+3x⁴+2x³+1, неполное частное  h(x)=x²+3x+1 и остаток  r(x)=63x-25.

Решение:

f(x) = g(х)h(х) + r(х),

g(x)h(x)=f(x)-r(x),

g(x)=

k(x)=f(x)-r(x)= 2x⁵+3x⁴+2x³+1-63x+25=2x⁵+3x⁴+2x³-63x-24

g(x)=

2x⁵+3x⁴+2x³-63x-24            x²+3x+1

2x⁵+6x⁴+2x³                        2x³-3x²+9x-24

      -3x⁴-63x+24

      -3x⁴-9x³-3x²

             9x³+3x²-63x-24

             9x³+27x²+9x

                     -24x²-72x-24

                      -24x²-72x-24

                                         0

g(x)= 2x³-3x²+9x-24

 

 

Занятие  6. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

1.           Научить находить наибольший общий делитель при помощи алгоритма Евклида.

2.           Закрепить умение делить многочлен на многочлен, применять алгоритм Евклида.

Ход занятия:

На предыдущих занятиях мы познакомились с нахождением НОД для чисел по алгоритму Евклида. Сегодня мы познакомимся с НОД многочленов.

Определение:

Наибольшим общим делителем многочленов называется их общий де­литель самой большей степени.

Находить НОД мы будем по алгоритму Евклида.

Как и для чисел, так и для многочленов НОД двух многочленов равен последнему, отличному от ну­ля, остатку в алгоритме Евклида.

Задание 1.

Найти НОД(f(х), g(х)), если f(х)=x⁴+2x³-x²6x-4, g(x)=x³-2x²+1.

Решение:

1.     x⁴+2x³-x²6x-4           x³-2x²+1      x⁴+2x³-x²6x-4=( x³-2x²+1)( x+2)+( x²-x-2)

x⁴-2x²-x                    x+2

      2x³+x²-5x-4

      2x³-4x-2

             x²-x-2

 

x³-2x²+1     x²-x-2                   x³-2x²+1=( x²-x-2)( x+1)+( x+1)

x³-x²-2x     x+1

      x²-1

     x²-x-2

           x+1 

     

 

 

x²-x-2    x+1                      x²-x-2=( x+1)( x-2)   

x²+x      x-2

     -2x-2

     -2x-2

            0

Последним, отличным от нуля остатком в алгоритме Евклида будет х+1, значит НОД(f(x),g(x))= x+1.

Задание 2.

Найти наибольший общий делитель двух многочленов f(x)= 12х⁵+16х⁴-47х³-18х²+58-21 и g(x)= 6х5+11х³-15х²-17х+15.

Решение:

   12х⁵+16х⁴-47х³-18х²+58-21                                 6х⁵+11х³-15х²-17х+15

   12x⁵+22x⁴-34x²+30x                                             2x-1

           -6x⁴-17x³+16x² +28x-21

           -6x⁴-11x³+15x²+17x-15

                    -6x³+x²+11x^-6

 

 

 6х⁵+11х³-15х²-17х+15           -6x³+x²+11x^-6

                  x+2

          12x³-4x²-23x+15

          12x³-2x²-22x +12

                   -2x²-x+3     

 

-6x³+x²+11x^-6         -2x²-x+3

-6x³-3x²+9x              3x-2

         4x²+2x-6

         4x²+2x-6  

                   0      

НОД(f(x),g(x))= 2x²+x-3.  

Поскольку наибольший общий делитель  многочленов находится с точностью до чисел, то мы можем сокращать многочлены в алгоритме Евклида на ненулевые числа.

 

Задание 3.

Упростите выражение    .

Решение:

Найдем наибольший общий делитель  числителя и знаменателя.

6x⁵+19x⁴-19x³-8x²+x+1           -6x⁴-19x³+25x²+3x-3

6x⁵+19x⁴-25x³-3x²+3x                -x

                   6x³-5x²-2x+1

 

-6x⁴-19x^{3 +}25x²+3x-3          6x³-5x²-2x+1

-6x⁴+5x³+2x²-x                 -x-4

          -24x³+23x²+4x-3

          -24x³+20x²+8x-4

                      3x²-4x+1

 

6x³-5x²-2x+1      3x²-4x-1

6x³-8x²+2x           2x+1

       3x²-4x+1

        3x²-4x+1

                      0

НОД(f(x),g(x))= 3x²-4x+1, значит, дробь можно сократить на многочлен 3x²-4x+1.

6x⁵+19x⁴-19x³-8x²+x+1      3x²-4x+1

6х⁵-8х⁴+2х³                         2х³+9х²+5х+1

        27х⁴-21х³-8х²

        27х⁴-36х³+9х²

                  15х³-17х²+х

                  15х³-20х²+5х

                            3х²-4х+1

                            3х²-4х+1

                                          0

 

 -6x⁴-19x³+25x²+3x-3             3x²-4x+1

            -6х⁴+8х³-2х²                                  -2х²-9х-3

                   -27х³+27х²+3х

                   -27х³+36х²-9х

                               -9х²+12х-3

                                -9х²+12х-3

                                                 0

Сокращая дробь, получаем, .

Задание 4.

Найти НОД(f(х), g(х)),если f(x)=x³+4x²+5x+2, g(x)= -2x²-6x+2x³+x⁴-3.

Решение:

x⁴+2x³-2x²-6x-3     x³+4x²+5x+2

x⁴+4x³+5x²+2x            x-2

     -2x³-7x²-8x-3

     -2x³-8x²-10x-4

              x²+2x+1

 

x³+4x²+5x+2         x²+2x+1

x³+2x²+x                x+2

      2x²+4x+2

      2x²+4x+2

                    0

НОД(f(х), g(х))= x²+2x+1.

Как и для чисел, так и для многочленов существует оценка количества делений с остатком в алгоритме Евклида: 2, где g(х)-меньший из многочленов.

Задание 5.

Найти количество делений с остатком, за которое находится НОД(x³+4x²+5x+2, 3x²-4x).

Решение:

2+2=2+2=4 деления с остатком.

Чтобы найти наибольший общий делитель трех многочленов нужно выполнить 2 делений с остатком.

Задание 6.

Найти количество делений с остатком, за которое находится НОД(f(х), g(х),h(x)), если f(х)= -2x⁹-6x+2x³+x⁴-3, g(х)= x⁵+2x²+x, h(x)= 2х⁴-х³-3х².

Решение:

2+2=2+2=6 делений с остатком.

 

Занятие 7. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ.

Задачи:

1.     Напомнить теорему о делении с остатком для чисел.

2.     Познакомить учащихся с теоремой о делении с остатком для многочленов.

3.     Научить применять ее.

Ход занятия.

     Напомним теорему о делении с остатком для чисел.

     Теорема о делении с остатком для чисел. Для любого целого  и любого натурального  существуют единственные целые  и  такие, что , где .

     Например, число 26 не делится на 3, но 26 делится на 3 с остатком, получаем 26=83+2.

     Напомним, что многочленом называется алгебраическое выражение вида , где неотрицательное целое число, , , некоторые числа, которые называются коэффициентами многочлена . Если , то число  называют степенью многочлена  и обозначают  .

     Многочлены считаются равными, если равны их степени и равны соответственные коэффициенты.

     Многочлены можно складывать и умножать как обычные алгебраические выражения.

     Задача 1. Найти числа а,b и с, если многочлен  равен кубу двучлена x+c

     Решение. По формуле куба суммы получаем

Используя определение равенства многочленов, получим систему

, откуда с=2 ,а=12 ,b=8.

     Задача 2.  многочлен степени

Выражение  многочленом не является, так как содержит одночлен с отрицательной степенью.

     В отличии от сложения и умножения результат деления двух многочленов не обязан быть многочленом. Поэтому приходится использовать деление с остатком, которое основывается на следующей теореме.

      Теорема о делении с остатком. Для всякого многочлена  и всякого ненулевого многочлена  существуют и единственные многочлены  , такие что , где либо , либо ст..

     В равенстве  все многочлены имеют свое название:делимое, делитель, неполное частное, остаток.

    Задача 3. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена =10 на многочлен =5x+4.

     Решение. Выполним деление многочленов в столбик.

                                            10  

                                         10          

                                               

                                               

                                                                0

     Запишем равенство , о котором говорилось в теореме о делении с остатком.

     Ответ: неполное частное , остаток 0.

     Если остаток при делении равен 0, как в примере 2, то говорят, что многочлен  нацело делится на многочлен  и записывают .

    Задача 4. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена =3 на многочлен =+x.

     Решение. Выполним деление многочленов в столбик.

                                   

                                      

                              

                              

                                        

                                        

                                               

     На этом деление многочлена =3 на многочлен =+x заканчивается, так как степень остатка меньше степени делителя. Выпишем равенство .

     Ответ: частное , остаток

     Задача 5. Найти неполное частное и остаток при делении многочлена = на многочлен =

     Решение. Запишем многочлен  по убыванию степеней. Выполним деление многочленов в столбик.

                       

                                                                

                               

                               

                                               

                                               

                                                    

Запишем равенство .

     Ответ: неполное частное, остаток .

Свойства делимости многочленов.

1)  Если многочлен  делится на многочлен , а многочлен  делится не многочлен , то   делится на .

2)  Если многочлены и делятся на многочлен , то их сумма и их разность делятся , а произведение  делится на  при любом многочлене .

     Задача 6.Найти числа a и b из условия равенства многочленов

=.

     Решение. Выполним умножение многочленов и приведение подобных в правой части равенства.

=

     Из равенства многочленов следует, что

,=-16, ,  , откуда

     Ответ:

     Задача 7.Не проводя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена = на многочлен .

     Решение. Обозначим остаток от деления многочлена на многочлен  через . Так как ст.,то . Согласно теореме о делении с остатком запишем равенство многочленов.

     При x=1 получим 1+1+4=0 или 6=a+b. При x=-1 получим 1+1+4=0 или 4=-a+b.

Решим систему уравнений , и получим .

     Ответ:

     Задача 8. При каких натуральных значениях n выражение является целым числом ?

     Решение. Разделим числитель дроби на знаменатель с остатком:

                      

                               

                          

                          

                                   -2

Таким образом, исходное выражение равно , что является целым числом тогда и только тогда, когда 2 нацело делится на . Поскольку целыми делителями числа 2 являются числа -2,-1, 1,2 и только они , то  получаем, что n=1,2,4,5.

     Ответ: n=1,2,4,5.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти неполное частное и остаток при делении  на  (ответ проверить умножением), если:

     а) =,

Решение.   

                           

                 

                       

                                  0

Проверка.

Ответ: частное , остаток 0.

 

     б) =,

Решение.   

                           

                 

                       

                                       0

Проверка.

Ответ: частное , остаток 0.

 

     в) =,

Решение.   

                              

                 

                          

                                  

                                     

                                                  2

Проверка.

Ответ: неполное частное , остаток 2.

 

2. Найти не полное частное и остаток при делении  на , если:

     а) =,

 

Решение.   

                           

                 

                       

                                   42

Проверка:.

Ответ: неполное частное , остаток 42.

     б) =,

Решение.   

                           4

                 

                       

                                       1

Проверка:.

Ответ: неполное частное 4, остаток 1.

     в) =,

Решение.   

                           

                 

                             

                                                 

Проверка:

          Ответ: неполное частное 3, остаток

 Занятие 8. КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ.

Задачи:

1.     Напомнить определения корня многочленов.

2.     Познакомить учащихся с теоремой Безу, научить применять ее.

Ход занятия.

     Задача 1. Для многочлена  =. Найти: , , ,

     Решение. =2 . Аналогично получаем .

     Ответ:

     Задача 2. Найти остаток от деления многочлена = на , , , .

Решение.            

                                          

                          

                                      

                                                         

                                                        

                    

                   

                   

 

                                

                                                               

                         

                                     

                                                        

                                                       

                         

                          

                                   

 

                                

                                                               

                         

                                     

                                                     

                                                     

                         

                          

                                   

 

                                

                                                                           

                         

                                   

                                                        

                                                      

                         

                          

                                   

     Заметим, что остаток от деления многочлена  на , на , на , на  совпадают со значениями , ,,  соответственно.

     Этот совпадение не случайное, как показывает теорема Безу( Этьен Безу 1730-1783)- французский математик).

   Первая теорема Безу. Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен значению этого многочлена при .

     Доказательство. Если , то .

     Задача 3. Найти остаток от деления многочлена = на двучлен  непосредственно и по теореме Безу.

     Решение. Так как  =, то здесь  =-2. По теореме Безу

 =f=2.

     Ответ:  = f4.

     Следствие. Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен значению многочлена  при .

     Доказательство. Если , , то

     Определение. Число с называется корнем многочлена , если 0.

Например, 2 - корень многочлена = поскольку =0.

   Вторая теорема Безу. Число с является корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда .

   Теорема. Число различных корней ненулевого многочлена, не превосходит его степени.

     Задача 4. Остаток от деления многочлен на двучлен  равен 6,а остаток от деления его на  равен 1. Найти остаток от деления этого многочлена на.

     Решение. Степень многочлена == равна 2,поэтому в остатке получится многочлен степени не выше 1,т. е. =. По теореме о делении с остатком можно записать равенство многочленов =+.

     Так как  f(2)=6, f(-3)=1,то подставляя в равенство значения x=2 и x=-3,получаем систему

Решая эту систему, находим, что  a=1,b=4.

     Ответ:x+4.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Выполнить деление с остатком многочлена  на  и выяснить является ли    корнем  для , если:

     а)  ,

Решение .Разделим  на

                  

                              

                         

                

                                  

                                  

                                             

                                             

                                                       

                                                       

. Так как , то не является корнем .

     Ответ: - не является корнем .

     б)  ,

Решение .Разделим  на

                   

                                      

                         

                

                                     

                                     

                                                0

. Так как , то является корнем .

Ответ: - является корнем

     в)  ,

Решение .Разделим  на

                   

                                               

                         

                

                                     

                                     

                                               

                                               

                                                        8

. Так как , то не является корнем .

Ответ: - не является корнем

2.а) Подобрать параметр  так, чтобы  было корнем .

Решение .Разделим  на

                   

                              

                         

                

                                     

                                     

                                                       

Ответ:  корень многочлена .

     б) Подобрать параметр  так, чтобы  было корнем .

Решение .Разделим  на

                   

                            

                         

                

                                     

                                     

                                                       

.

Ответ:  корень многочлена .

Занятие 9. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Задачи:

1.     Напомнить учащимся определения натуральных, целых, рациональных чисел.

2.     Познакомить учащихся с многочленами с целыми и рациональными коэффициентами.

3.     Научить учащихся находить рациональные корни многочленов с рациональными коэффициентами.

Ход занятия.

      - натуральные числа.

      - целые числа.

      – рациональные числа.

     Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на общее кратное знаменателей коэффициентов, то получим многочлены с целыми коэффициентами имеющий те же самые корни.

     Многочлен = имеет те же корни, что и многочлен =12=.

     Теорема. Пусть несократимая дробь  является корнем многочлена  

с целыми коэффициентами, тогда выполняются условия:

1)   , ;

2)  f(m)для любых целых ;

3)  f(1),  f(-1).

Кратные корни.

     Определение. Число  поля  называется корнем кратности  для многочлена  из , если , но

     Задача 1.

, но

                                          

                                           1

                                             3

УПРАЖНЕНИЯ

1.Найти рациональные корни многочлена:

     а)

Решение .Если несократимая дробь  является корнем , то

, .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

                     

                            

                      

                     

                                     

                                     

                                            

Ответ: .

     б) .

Решение .Если несократимая дробь  является корнем , то  

	1	-1	2	-2
1	Х	Х	Х	Х
3	корень	корень	Х	Х

, .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

                     

                                  

                      

                     

                                     

                                     

                                            

                                            

                                                      0

                     

                             

                      

                     

                                     

                                     

                                               -6

                     

                                  

                      

                     

                                     

                                     

                                            

                                            

                                                      -2

1 –корень кратности 1, так как , но

Ответ: , 1 –корень кратности 1,  .

     в)

Решение .Если несократимая дробь  является корнем , то

, .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

Если , то , .

                    

                          

                      

                     

                                     

                                     

                                            

                    

                          

                      

                     

                                     

                                     

                                            

                         

                      

                      

                     

                          -4

                    

                          

                      

                     

                                     

                                     

                                            

-3 –корень кратности 1, так как , но

Ответ: , ., , -3 –корень кратности 1.

Занятие 10. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ (НОД).

Задачи:

1.     Вспомнить определение общего делителя и наибольшего общего делителя для чисел.

2.     Познакомить учащихся с понятием общего делителя и наибольшего общего делителя для многочленов.

3.     Научить находить наибольший общий делитель многочленов.

Ход занятия.

Определение. Натуральное число  называется общим делителем натуральных чисел  и , если  и  оба делятся на .

Определение. Натуральное число  называется наибольшим общим делителем натуральных чисел  и , если выполняются условия:

1.   о.д. ;

2.   если  о.д. , то  кратно .

Например , 45 = н.о.д.( 90, 135, 180 ).

     Определение. Многочлен называется общим делителем многочленов  и , если многочлены  и  оба делятся на .

     Определение. Многочлен называется наибольшим общим делителем многочленов  и , если  является общим делителем многочленов  и  и если  делится на любой общий делитель многочленов  и .

     При нахождении наибольшего общего делителя используется следующие утверждения.

     Предложение 1. Если многочлен  делится на многочлен , то н.о.д.

     Предложение 2. Если для многочленов , , ,  справедливо равенство , то н.о.д..

     Задача 1. Найти наибольший общий делитель многочленов  и .

Решение. Разделим в столбик многочлен  на многочлен :

                           

                                               

                                            

                                          

                                                         

Запишем результат деления в виде равенства . Согласно предложения 2. имеем н.о.д.. Теперь разделим в столбик многочлен .

                                               

                                                         

                                                      

                                                        

Запишем результат деления в виде равенства . Согласно предложению 2 имеем. Поскольку  делится на , то по предложению 1.

     Ясно, что такой способ нахождения наибольшего общего делителя – алгоритм Евклида – пригоден для любых двух многочленов .

     Теорема . 1)Наибольший общий делитель равен последнему отличному от нуля остатку в алгоритме Евклида.

                         2) Наибольший общий делитель двух многочленов находится с точностью до умножения на ненулевое число.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти н.о.д. многочленов  на , если:

     а)  , .

Решение. Разделим  на

                      

                             

                                      

 

                     

                        

                     

                     

                                 0

 .

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен . Поэтому н.о.д. .

Ответ: н.о.д. .

     б)  , .

Решение. Разделим  на

                    

                             

                         

                         

                                

 

                     

                        

                     

                     

                                 0

 .

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен . Поэтому н.о.д. .

Ответ: н.о.д. .

     в)  , .

Решение. Разделим  на

                        

                             

                          -

                          -

                                

 

                   

                        

                     

                     

                                 0

 .

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен . Поэтому н.о.д. .

Ответ: н.о.д. .

     г)  , .

Решение. Разделим  на

                       

                                          

                         

                         

                                   

 

                      

                       

                         

                         

                                 

 

                       

                         

                      

                      

                                0

.

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен . Поэтому н.о.д. .

Ответ: н.о.д. .

     д)  , .

Решение. Разделим  на

                            

                               

                         

                         

                                   

 

                        

                                  

                         

                         

                                            

 

Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида равен . Поэтому н.о.д. .

Ответ: н.о.д. .

Занятие 11. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ПОМОШИ АЛГОРИТМА ЕВКЛИДА.

Задачи:

1.     Познакомить учащихся с методом решения систем алгебраических уравнений от одной переменной, основанном на теореме о делении с остатком.

2.     Закрепить умение делить многочлен на многочлен.

3.     Закрепить умение находить НОД для многочленов.

4.     Закрепить указанный выше способ решения систем алгебраических уравнений.

Ход занятия.

     Задача 1.Решить систему

     Решение. Найдем корни квадратных уравнений обычным способом.

 , , , .

 , , , .

Общим решение для этих двух уравнений будет .

     Теорема. Если для многочленов  справедливо равенство, то следующие системы алгебраических уравнений  равносильны.

     Доказательство. Если решение первой степени, т.е.  , то  и  является решением второй системы. Аналогично доказывается , что всякое решение второй степени является решением первой.

     Разделим многочлен  на многочлен  с остатком . Согласно теореме система  равносильна . Разделим многочлен  на  с остатком . Согласно теореме  равносильна системе, а последняя равносильна одному уравнению , решение которого является .

     Ответ: .

     Задача 2. Решить систему уравнений

     Решение. Разделим с остатком первый многочлен на второй . Тогда исходная система равносильна системе  или . Разделим многочлен  на  с остатком . По теореме последняя система равносильна системе на самом деле равносильна одному уравнению , решением которого будет

     Отметим, что не умея решать уравнения третьей степени , мы смогли решить систему из двух уравнений третьей степени.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Пользуясь НОДом двух многочленов, найти НОД системы, если:

     а)

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

                    

                     1

                               

Исходная система равносильна  Разделим первый многочлен на второй.

                   

                                

                                  

                                  

                                          0

Система равносильна , данная система равносильна уравнению , решением которого будет .

     Ответ:.

    б)

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

                    

                    

                               

Исходная система равносильна  Разделим первый многочлен на второй.

                     

                             

                       

                       

                              

                              

                                        

Система равносильна , данная система решения не имеет.     Ответ: решения нет.

     в)

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

   

      

              

              

                          

Исходная система равносильна  Разделим первый многочлен на второй.

                   

                                   

                              

                              

                                             

Система равносильна . Разделим первый многочлен на второй.

                      

                         

                        

                        

                                             0

Система равносильна , данная система равносильна уравнению , решением которого будет, .

Ответ: , .

     г)

Решение.

Разделим с остатком первый многочлен на второй

              

            

              

Исходная система равносильна  Разделим первый многочлен на второй.

                   

                                

                              

                              

                                             

Система равносильна . Разделим первый многочлен на второй.

                      

                         

                        

                        

                                             0

Система равносильна , данная система равносильна уравнению , решением которого будет, .

Ответ: , .