«Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности. Решение задач».

Открытый урок по геометрии в  9 классе.

11.02.15г

Учитель: Кудзоева С.В.

Тема:

«Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности. Решение задач».

Цели урока:

Образовательная цель: закрепить формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности, научить учащихся применять указанные формулы в процессе решения задач;

Развивающая цель: учиться анализировать – устанавливать причинно-следственные связи; сравнивать; обобщать; выдвигать гипотезы;

Воспитательная цель: воспитание эстетического отношения к окружающей действительности, явлениям, культуре;

Оборудование: интерактивная доска, презентация MS Power Point;

Ход урока:

I Актуализация:

1.   Теоретический опрос.

•         Два ученика вызываются к доске для подготовки: а) формул радиусов  вписанной в правильный многоугольник и описанной около правильного многоугольника окружностей, б) решения задач по карточке:

 

•         Найдите углы правильного   двенадцатиугольника.

•         Угол правильного n-угольника равен 108º. Вычислите количество его сторон.

•         Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга  описанной окружности, которую стягивает его сторона,

равна 45 º?

Фронтальный опрос (проводится в то время, пока у доски идет подготовка к доказательству теорем).

·     Какая формула используется для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника?

·     Назовите формулу для вычисления угла правильного n-угольника?

·     Сформулируйте следствия из теорем о вписанной в правильный многоугольник и описанный около правильного многоугольника окружностях.

·     Что вы понимаете под словами центр правильного многоугольника?

·     Разгадать кроссворд, подготовленный ученицей.

·     формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности

Заслушать ответы, подготовленные у доски.

Ребята, а так ли уж важно изучать и знать сведения о правильных многоугольниках? В каких житейских ситуациях можно встретиться с правильными многоугольниками?(заслушать сообщение Плиевой Агунды о пчелиных сотах)

II Формирование умений и навыков:

Задача 1   Около правильного треугольника описана         

                   окружность радиуса R.

                   Докажите, что R = 2r , где r – радиус   

                    окружности, вписанной в этот треугольник.

     

                                                         Дано: АВС – правильный

                                                   АВС вписан в окружность (О;R)

                                                   АВС описан около окружности (О;r)

                       .                                                          Доказать: R = 2r.

Доказательство:

1 способ: свойство медианы треугольника.

Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Имеем: ; R = 2r.

2 способ: свойство биссектрисы угла треугольника (пропорциональность).

В  ВАД, АО – биссектриса, она делит сторону ВД на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам треугольника, то есть ;  ; R = 2r.

3 способ: подобие треугольников.

  ВКО  ВДС, В – общий. Используя свойство отрезков при подобии имеем:  ; ; ; R = 2r.

4 способ: свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30⁰.

ВОК – прямоугольный,  ОВК=30⁰;

ОК = ОВ; ОВ = 2ОК; R = 2r.

5 способ: понятие синуса угла прямоугольного треугольника.

Дайте определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.

sin ВОК =; sin 30⁰ =; ; R = 2r.

6 способ: аналитический.

АВС – правильный. Выразим сторону треугольника через радиус вписанной и описанной окружности относительно треугольника.

a₃= 2R sin60⁰; a₃=2r tg 60⁰;2R sin60⁰= 2r tg 60⁰.

R; R = 2r.

Задача №2:

На рисунке изображен правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса R. Пусть - сторона правильного шестиугольника, r – радиус вписанной окружности,  P – периметр, S – площадь.

Найдите значение , R,P и S, если см.

Решение. По условию см, поэтому

Задача №3 (№1089 из учебника):

Ø Квадрат вписан в окружность. Что нужно знать для определения стороны квадрата? (Для определения стороны квадрата нужно знать радиус описанной около него окружности).

Ø Как по известному периметру треугольника можно вычислить радиус описанной около него окружности? (Найдем сторону треугольника, а затем используем формулу ).

Ø Решение задачи:

IV Подведение итогов урока.

V Домашнее задание. 1087 (3,5); 1088.

VI Оценка знаний (комментирование выставляемых оценок).