«Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности. Решение задач».

Открытый урок по геометрии в 9 классе.

11.02.15г

Учитель: Кудзоева С.В.

Тема:

«Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности. Решение задач».

Цели урока:

Образовательная цель: закрепить формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности, научить учащихся применять указанные формулы в процессе решения задач;

Развивающая цель: учиться анализировать – устанавливать причинно-следственные связи; сравнивать; обобщать; выдвигать гипотезы;

Воспитательная цель: воспитание эстетического отношения к окружающей действительности, явлениям, культуре;

Оборудование: интерактивная доска, презентация MS Power Point;

Ход урока:

I Актуализация:

1. Теоретический опрос.

• Два ученика вызываются к доске для подготовки: а) формул радиусов вписанной в правильный многоугольник и описанной около правильного многоугольника окружностей, б) решения задач по карточке:

• Найдите углы правильного двенадцатиугольника.

• Угол правильного n-угольника равен 108º. Вычислите количество его сторон.

• Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона,

равна 45 º?

Фронтальный опрос (проводится в то время, пока у доски идет подготовка к доказательству теорем).

• Какая формула используется для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника?

• Назовите формулу для вычисления угла правильного n-угольника?

• Сформулируйте следствия из теорем о вписанной в правильный многоугольник и описанный около правильного многоугольника окружностях.

• Что вы понимаете под словами центр правильного многоугольника?

• Разгадать кроссворд, подготовленный ученицей.

• формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной и описанной окружности

Заслушать ответы, подготовленные у доски.

Ребята, а так ли уж важно изучать и знать сведения о правильных многоугольниках? В каких житейских ситуациях можно встретиться с правильными многоугольниками?(заслушать сообщение Плиевой Агунды о пчелиных сотах)

II Формирование умений и навыков:

Задача 1 Около правильного треугольника описана

окружность радиуса R.

Докажите, что R = 2r , где r – радиус

окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано: АВС – правильный

АВС вписан в окружность (О;R)

АВС описан около окружности (О;r)

. Доказать: R = 2r.

Доказательство:

1 способ: свойство медианы треугольника.

Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Имеем: ; R = 2r.

2 способ: свойство биссектрисы угла треугольника (пропорциональность).

В ВАД, АО – биссектриса, она делит сторону ВД на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам треугольника, то есть ; ; R = 2r.

3 способ: подобие треугольников.

ВКО ВДС, В – общий. Используя свойство отрезков при подобии имеем: ; ; ; R = 2r.

4 способ: свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30⁰.

ВОК – прямоугольный, ОВК=30⁰;

ОК = ОВ; ОВ = 2ОК; R = 2r.

5 способ: понятие синуса угла прямоугольного треугольника.

Дайте определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.

sin ВОК =; sin 30⁰ =; ; R = 2r.

6 способ: аналитический.

АВС – правильный. Выразим сторону треугольника через радиус вписанной и описанной окружности относительно треугольника.

a₃= 2R sin60⁰; a₃=2r tg 60⁰;2R sin60⁰= 2r tg 60⁰.

R; R = 2r.

Задача №2:

На рисунке изображен правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса R. Пусть - сторона правильного шестиугольника, r – радиус вписанной окружности, P – периметр, S – площадь.

Найдите значение , R,P и S, если см.

Решение. По условию см, поэтому

Задача №3 (№1089 из учебника):

• Квадрат вписан в окружность. Что нужно знать для определения стороны квадрата? (Для определения стороны квадрата нужно знать радиус описанной около него окружности).

• Как по известному периметру треугольника можно вычислить радиус описанной около него окружности? (Найдем сторону треугольника, а затем используем формулу ).

• Решение задачи:

IV Подведение итогов урока.

V Домашнее задание. 1087 (3,5); 1088.

VI Оценка знаний (комментирование выставляемых оценок).