Формулы двойного угла 10 класс
Предпросмотр материала:
Тема урока: « Формулы двойного угла».
Цель: - вывести формулы двойного угла;
- учить применять формулы для упрощения тригонометрических выражений;
Ход урока.
1. Проверка домашнего задания.
Проверить выполнение домашнего задания фронтально. При необходимости разобрать на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
2. Актуализация знаний.
№ 1
Вычислите:
а)
= 
) = 
+
=
=
+ 
= 
+ 
.
б)
= 
= 
+ 
=
= - 
= 
.
№ 2
Докажите тождество:
а) 
.
.
.
.
.
= 
- – 
– 
.
– =
– .
.
№ 3
Косинусы двух
острых углов треугольника равны 
и 
. Найдите синус третьего угла.
; 
. Найти 
.
Т. к. 
углы треугольника, то это углы I или II
четверти.
= 
= 
= 
.
1)
= 
= 
=
,т.к. 
.
2)
= 
= 
=
,т.к. .
3)
= 
+
= 
+
.
Ответ: 
+ .
- Какие формулы вы применяли для выполнения заданий?
- синус и косинус суммы и разности двух углов
- Запишите на доске эти формулы.
3.Изучение нового
материала.
- Сегодня на уроке мы продолжим разговор о формулах сложения синуса, косинуса двух углов ( формулы записаны на доске).
На прошлом уроке
мы говорили, что углы 
могут быть как различными, и этот
случай мы уже рассмотрели.
- Могут ли быть
углы 
равными?
- да
- Какой вид примут тогда формулы сложения?
Рассмотрим формулу
сложения для синуса суммы, если 
- Рассмотрите формулу сложения для косинуса суммы самостоятельно.
(задание проверяем по заранее сделанной записи)
= 
) = 
- Попробуйте дать название полученным формулам.
При возникновении затруднения в определении названия формул можно дать подсказку: сравните углы записанные в левой и правой частях тождеств.
- да, эти тождества называют формулами двойного угла.
Запишите в тетради тему урока
« Формулы двойного угла».
Рассмотрим применение формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.
№ 1 (устно)
Запишите угол в
виде 2
- некоторый угол:
а) 300;
б) 900; в) 
; г) 
; д) 4
; е) ; ж) 
.
№ 2
Упростите выражение:
а) 2
б) 4
в) 5
г) 4
№ 3
Упростите выражение:
а) 
– 
б) 
в) 
г) (
№ 4
Упростите выражение:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
- 
.
4.Самостоятельная работа с проверкой на уроке.
Упростите выражение:
Вариант 1.
1) 
; 2) 
.
Вариант 2.
1) 
; 2) 
.
Ответы.
Вариант 1:
1) 2
; 2) 
.
Вариант
2: 1) 2
; 2) 
.
5.Применение формул для доказательства тригонометрических тождеств.
№ 1
Докажите справедливость равенства:
1) 
;
;
3)
;
4)
;
5)
;
6) 2
;
7) 1
;
8) 1
;
9) 
;
10) 
.
№2
Вычислите:
1) 
;
2) 
.
Ответ: 1) 
; 2) 
.
6. Рефлексия.
- Что нового вы узнали сегодня на уроке?
- Какие формулы были использованы для получения формул двойного угла?
- На каком этапе урока у вас возникли затруднения, какого характера?
- Успешно ли вы решили возникшие затруднения?
- Какой этап урока не вызвал затруднений?
-Как ты оцениваешь свою работу на уроке?
7.Домашнее задание.
п. 9.5, №9.55, №9.61, №9.48б, № 9.51бг, №9.59б, №9.60б.
(С. М. Никольский. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений.-М.:Просвещение,2006)
Краткое описание материала
Тема урока: « Формулы двойного угла».
Цель: - вывести формулы двойного угла;
- учить применять формулы для упрощения тригонометрических выражений;
Ход урока.
1. Проверка домашнего задания.
Проверить выполнение домашнего задания фронтально. При необходимости разобрать на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
2. Актуализация знаний.
№ 1
Вычислите:
а) = ) = + =
= + = + .
б) = = + =
= - = .
№ 2
Докажите тождество:
а) .
.
.
.
.
= - – – .
– = – .
.
№ 3
Косинусы двух острых углов треугольника равны и . Найдите синус третьего угла.
; . Найти .
Т. к. углы треугольника, то это углы I или II четверти.
= = = .
1)
= = = ,т.к. .
2)
= = = ,т.к. .
3) = + = + .
Ответ: + .
- Какие формулы вы применяли для выполнения заданий?
- синус и косинус суммы и разности двух углов
- Запишите на доске эти формулы.
3.Изучение нового материала.
- Сегодня на уроке мы продолжим разговор о формулах сложения синуса, косинуса двух углов ( формулы записаны на доске).
На прошлом уроке мы говорили, что углы могут быть как различными, и этот случай мы уже рассмотрели.
- Могут ли быть углы равными?
- да
- Какой вид примут тогда формулы сложения?
Рассмотрим формулу сложения для синуса суммы, если
- Рассмотрите формулу сложения для косинуса суммы самостоятельно.
(задание проверяем по заранее сделанной записи)
=
) =
- Попробуйте дать название полученным формулам.
При возникновении затруднения в определении названия формул можно дать подсказку: сравните углы записанные в левой и правой частях тождеств.
- да, эти тождества называют формулами двойного угла.
Запишите в тетради тему урока
« Формулы двойного угла».
Рассмотрим применение формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.
№ 1 (устно)
Запишите угол в виде 2 - некоторый угол:
а) 300; б) 900; в) ; г) ; д) 4; е) ; ж) .
№ 2
Упростите выражение:
а) 2
б) 4
в) 5
г) 4
№ 3
Упростите выражение:
а) –
б)
в)
г) (
№ 4
Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ; г) - .
4.Самостоятельная работа с проверкой на уроке.
Упростите выражение:
Вариант 1.
1) ; 2) .
Вариант 2.
1) ; 2) .
Ответы.
Вариант 1: 1) 2; 2) .
Вариант 2: 1) 2; 2) .
5.Применение формул для доказательства тригонометрических тождеств.
№ 1
Докажите справедливость равенства:
1) ;
;
3);
4);
5);
6) 2;
7) 1;
8) 1;
9) ;
10) .
№2
Вычислите:
1) ;
2) .
Ответ: 1) ; 2) .
6. Рефлексия.
- Что нового вы узнали сегодня на уроке?
- Какие формулы были использованы для получения формул двойного угла?
- На каком этапе урока у вас возникли затруднения, какого характера?
- Успешно ли вы решили возникшие затруднения?
- Какой этап урока не вызвал затруднений?
-Как ты оцениваешь свою работу на уроке?
7.Домашнее задание.
п. 9.5, №9.55, №9.61, №9.48б, № 9.51бг, №9.59б, №9.60б.
(С. М. Никольский. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений.-М.:Просвещение,2006)
Формулы двойного угла 10 класс
Краткое описание материала
Тема урока: « Формулы двойного угла».
Цель: - вывести формулы двойного угла;
- учить применять формулы для упрощения тригонометрических выражений;
Ход урока.
1. Проверка домашнего задания.
Проверить выполнение домашнего задания фронтально. При необходимости разобрать на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
2. Актуализация знаний.
№ 1
Вычислите:
а) = ) = + =
= + = + .
б) = = + =
= - = .
№ 2
Докажите тождество:
а) .
.
.
.
.
= - – – .
– = – .
.
№ 3
Косинусы двух острых углов треугольника равны и . Найдите синус третьего угла.
; . Найти .
Т. к. углы треугольника, то это углы I или II четверти.
= = = .
1)
= = = ,т.к. .
2)
= = = ,т.к. .
3) = + = + .
Ответ: + .
- Какие формулы вы применяли для выполнения заданий?
- синус и косинус суммы и разности двух углов
- Запишите на доске эти формулы.
3.Изучение нового материала.
- Сегодня на уроке мы продолжим разговор о формулах сложения синуса, косинуса двух углов ( формулы записаны на доске).
На прошлом уроке мы говорили, что углы могут быть как различными, и этот случай мы уже рассмотрели.
- Могут ли быть углы равными?
- да
- Какой вид примут тогда формулы сложения?
Рассмотрим формулу сложения для синуса суммы, если
- Рассмотрите формулу сложения для косинуса суммы самостоятельно.
(задание проверяем по заранее сделанной записи)
=
) =
- Попробуйте дать название полученным формулам.
При возникновении затруднения в определении названия формул можно дать подсказку: сравните углы записанные в левой и правой частях тождеств.
- да, эти тождества называют формулами двойного угла.
Запишите в тетради тему урока
« Формулы двойного угла».
Рассмотрим применение формул двойного угла для нахождения значений тригонометрических функций и преобразования тригонометрических выражений.
№ 1 (устно)
Запишите угол в виде 2 - некоторый угол:
а) 300; б) 900; в) ; г) ; д) 4; е) ; ж) .
№ 2
Упростите выражение:
а) 2
б) 4
в) 5
г) 4
№ 3
Упростите выражение:
а) –
б)
в)
г) (
№ 4
Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ; г) - .
4.Самостоятельная работа с проверкой на уроке.
Упростите выражение:
Вариант 1.
1) ; 2) .
Вариант 2.
1) ; 2) .
Ответы.
Вариант 1: 1) 2; 2) .
Вариант 2: 1) 2; 2) .
5.Применение формул для доказательства тригонометрических тождеств.
№ 1
Докажите справедливость равенства:
1) ;
;
3);
4);
5);
6) 2;
7) 1;
8) 1;
9) ;
10) .
№2
Вычислите:
1) ;
2) .
Ответ: 1) ; 2) .
6. Рефлексия.
- Что нового вы узнали сегодня на уроке?
- Какие формулы были использованы для получения формул двойного угла?
- На каком этапе урока у вас возникли затруднения, какого характера?
- Успешно ли вы решили возникшие затруднения?
- Какой этап урока не вызвал затруднений?
-Как ты оцениваешь свою работу на уроке?
7.Домашнее задание.
п. 9.5, №9.55, №9.61, №9.48б, № 9.51бг, №9.59б, №9.60б.
(С. М. Никольский. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений.-М.:Просвещение,2006)
Все ИИ-инструменты
Создать изображение
Получите изображение по своему описанию: иллюстрацию, обложку, визуал для поста, презентации, урока или другой задачи.
Создать презентацию
Получите готовую презентацию по вашей теме: с оформленными слайдами, заголовками, текстом и логикой подачи. Для урока, доклада или выступления.
Сделать рабочий лист
Создавайте готовый к печати учебный лист с заданиями по теме, структурой и местом для ответов, который можно сразу использовать на уроке или выдать ученикам
Составить план урока
Подготовьте готовый план урока по ФГОС: цель, задачи, этапы, задания, материалы, деятельность учителя и учеников.
Оформить школьный кабинет
Создайте материалы для оформления класса: плакаты, стенды, тематические зоны и уголки к празднику, открытому уроку или новому учебному году.
Подготовить тест или контрольную
Составьте готовый тест или контрольную по теме: задания разного уровня, ответы, ключи и критерии оценивания.
Создать раскраску
Получите готовую раскраску по любой теме: животные, сказочные герои, школьные сюжеты или задания для печати и творчества.
Объяснить сложную тему
Разберите сложную тему простыми словами: с определением, примерами, аналогиями и коротким итогом, что важно запомнить.
Пересказать текст
Сократите или упростите текст, сохранив главный смысл, факты и понятную подачу.
Подготовить школьный праздник
Подготовьте сценарий школьного праздника: этапы, реплики ведущих, конкурсы, активности и идеи оформления для класса или школы.
Подготовить классный час
Получите готовый классный час: тему, ход занятия, вопросы для обсуждения, активности и итоговую рефлексию для учеников.
Придумать игру для урока
Сделайте учебную игру по теме урока: правила, задания, этапы и материалы.
Создать студийное фото
Превратите обычное фото в аккуратный студийный снимок с красивым светом и фоном.
Создать открытку
Получите готовую открытку с текстом и оформлением для праздника, поздравления или события.
Изменить возраст на фото
Покажите человека моложе или старше на фото, сохранив узнаваемые черты лица, стиль снимка и естественный результат.
Создать презентацию со сгенерированными ИИ изображениями
Создать презентацию со сгенерированными ИИ изображениями
Составить план обучения
Получите понятный план занятий с темами, этапами и сроками под вашу цель.
Визуализировать данные
Превратите цифры, таблицы или показатели в понятный график, схему или инфографику.
Создать презентацию с настоящими фото
Создать презентацию с настоящими фото
Извлечь текст из файла
Извлеките текст из фото, скана или PDF и приведите его в удобный для работы вид.
Создать изображение для поста
Получите яркий визуал для соцсетей, рекламы, новости или анонса.
Перевести текст
Переведите текст на нужный язык с сохранением смысла, стиля и понятной формулировки.
Подготовиться к собеседованию
Разберите частые вопросы, подготовьте ответы и потренируйте уверенную подачу.
Написать поздравление
Подберите теплые слова для коллег, учеников, родителей или близких без шаблонности.
Проверить работу ученика
Проверьте работу ученика: найдите ошибки, объясните их простыми словами и дайте рекомендации, как улучшить решение.
Составить индивидуальный образовательный маршрут
Подготовьте индивидуальный план обучения с целями, темами, сроками и поддержкой.
Создать персонажа
Получите образ персонажа с внешностью, стилем и деталями под вашу задачу.
Создать карточку товара
Получите изображение товара для маркетплейса, каталога, рекламы или публикации.
Составить меню на неделю
Составьте меню на несколько дней с учетом семьи, бюджета и предпочтений.
Написать объявление для родительского чата
Подготовьте понятное объявление для родительского чата: без лишнего, в нужном тоне и с важными деталями.
Проанализировать данные
Найдите главное в таблице, цифрах или отчете: выводы, закономерности и слабые места.
Подготовиться к педсовету
Соберите тезисы, доклад, аргументы и ответы на вопросы для методического совещания.
Написать характеристику ученика
Подготовьте характеристику ученика: учеба, поведение, сильные стороны и рекомендации.
Стилизовать изображение
Измените стиль фото или картинки: мультфильм, акварель, комикс, реализм или другой вариант.
Добавить человека на фото
Загрузите фото и добавьте на него нужного человека. Поможет сделать групповое фото, семейный кадр, поздравление или визуал для поста.
Улучшить качество изображения
Сделайте фото или картинку четче, ярче и аккуратнее без сложной обработки.
Написать официальное письмо
Сформулируйте обращение, запрос или ответ в корректном деловом стиле.
Сделать обложку для видео
Получите заметную обложку для видео, урока, вебинара или публикации.
Подобрать дизайн интерьера
Получите идеи оформления комнаты с мебелью, цветами, светом и стилем под ваш запрос.
Раскрасить черно-белое изображение
Добавьте цвет на черно-белое фото, рисунок или иллюстрацию без ручной обработки.
Подготовить материалы к экзамену
Составьте варианты, задания и тренировочные материалы для подготовки учеников к ЕГЭ, ОГЭ или проверочной.
Разобрать ситуацию с учеником
Проанализируйте сложную педагогическую ситуацию и получите варианты действий.
Составить план тренировок
Получите понятный план занятий под цель, уровень подготовки, график и доступный инвентарь.
Создать презентацию без изображений
Создать презентацию без изображений
Адаптировать материал под уровень учеников
Упростите, усложните или переработайте материал под возраст, класс и уровень учеников.
Заменить объект на изображении
Быстро замените предмет, деталь или фон на изображении без сложного монтажа.
Подготовиться к проверке
Соберите документы, план действий и чек-лист для школьной или методической проверки.
Удалить фон
Уберите фон с фото или картинки и получите аккуратное изображение для вставки в материалы.
Заменить фон
Поменяйте фон на фото или картинке и сохраните главный объект без сложного монтажа.
Спланировать поездку
Соберите маршрут, план по дням, места, кафе и советы под ваш формат отдыха.
Проанализировать успеваемость
Разберите оценки класса, найдите проблемы, динамику и учеников в зоне риска.
Сделать мокап
Покажите, как дизайн будет выглядеть на экране, упаковке, одежде или другом носителе.
Адаптировать изображение под формат
Подгоните картинку под нужный размер: для поста, сторис, презентации, сайта или печати.
Составить список покупок
Подготовьте удобный список продуктов по меню, рецептам или нуждам семьи.
Распланировать бюджет на месяц
Разложите доходы и расходы по категориям, найдите лишние траты и резерв.
Подготовить резюме
Составьте сильное резюме под вакансию: опыт, навыки, достижения и структуру.
Оформить упаковку
Получите дизайн упаковки с идеей, стилем и визуальной подачей для вашего продукта.
Разобрать анализы
Получите понятное объяснение показателей, отклонений и возможных вопросов к врачу.
Подготовить отчет по успеваемости класса
Составьте понятный отчет по успеваемости: оценки, динамика, проблемы и выводы для учителя или администрации.
Ничего не найдено
Все нейросети
ИИнфоурок
Универсальная модель для повседневных задач: тексты, идеи, объяснения, письма, учебные материалы и быстрые ответы.
Создать презентацию
Получите готовую презентацию по вашей теме: с оформленными слайдами, заголовками, текстом и логикой подачи. Для урока, доклада или выступления.
ChatGPT 5.5
Флагманская модель для самых сложных задач и подробных объяснений. Подойдёт для объяснения сложной темы, подготовки доклада или разработки сценария урока.
GPT Image 2
Флагманская модель для создания и редактирования изображений. Подходит для качественных иллюстраций, открыток, обложек, постов и учебных материалов.
Nano Banana 2
Универсальная быстрая модель для создания и редактирования изображений. Подойдет для постов, обложек, открыток, иллюстраций и замены деталей на фото.
Nano Banana Pro
Продвинутая премиум модель для создания и редактирования качественных изображений. Лучше выбирать для более требовательных задач: карточек товаров, рекламных визуалов, презентаций и точной доработки деталей.
Claude Opus 4.8
Флагман Claude для сложных и объемных задач. Подойдёт для разработки образовательных программ или глубокого анализа.
ChatGPT 5.1
Универсальная модель на каждый день. Подойдет для текстов, планов уроков, тестов, писем и подготовки материалов.
ChatGPT 5.6 Sol
Флагманская модель OpenAI для самых сложных задач. Максимальное качество ответов, программирования, аналитики и работы с длинными документами.
Gemini 3.1 Pro
Модель для анализа, логики и работы с материалами. Подойдет для данных, успеваемости класса, таблиц и сложных разборов.
DeepSeek v3.2
Модель для логики, расчетов и анализа. Подойдет для работы с данными, задачами, таблицами и сложными заданиями.
GPT Image 1.5
Модель для создания и редактирования изображений. Подойдет для иллюстраций, открыток, обложек, постов и учебных материалов.
Claude Opus 4.5
Мощная модель для сложных и объемных задач. Подойдет для программ обучения, больших документов и глубокого анализа.
Perplexity Sonar Pro
Модель для поиска и проверки актуальной информации. Подойдет для докладов, справок, фактов и подготовки материалов по теме.
ChatGPT 5.6 Luna
Быстрая и экономичная модель для простых запросов, генерации текстов и массового использования.
Qwen 3.5 Plus
Универсальная модель для текстов и учебных задач. Подойдет для планов уроков, объяснений, писем и материалов.
Grok 4.3 Fast
Быстрая версия для коротких и простых задач. Подойдет для быстрых ответов, формулировок и небольших текстов.
ChatGPT 5.4
Флагманская модель для сложных задач, подробных объяснений и сильных текстов. Подойдет для докладов, сценариев уроков и разбора сложных тем.
Claude Haiku 4.5
Быстрая модель для понятных задач с четкой структурой. Подойдет для планов уроков, тестов, чек-листов и кратких материалов.
Claude Sonnet 4.5
Сильная универсальная модель для текстов и учебных материалов. Подойдет для классных часов, сценариев праздников и презентаций.
ChatGPT 5.6 Terra
Универсальная модель для большинства повседневных задач. Хороший баланс качества, скорости и стоимости.
ChatGPT 5.4 mini
Быстрая универсальная модель для простых задач и черновиков. Подойдет для сообщений родителям, коротких текстов и быстрых ответов.
Grok 4.3
Модель для идей, актуальных тем и живых формулировок. Подойдет для уроков, мероприятий, постов и обсуждений.
DeepSeek v4 Flash
Модель для задач с логикой и расчетами. Подойдёт для анализа данных или сложных заданий.
Gemini 3.1 Flash-Lite
Самая быстрая версия в линейке Gemini. Подойдёт для коротких ответов и простых запросов.
Claude Sonnet 4.6
Основная модель линейки Claude. Подойдёт для подготовки материалов: сценарий праздника, классный час, презентация.
Gemini 3.5 Flash
Самая быстрая версия в линейке Gemini. Подойдёт для коротких ответов и простых запросов.
Ничего не найдено
Курсы по теме
Перейти в каталог курсов- Курс уже прошли 29 человек
- Курс уже прошли 360 человек
- Сейчас обучается 246 человек из 38 регионов
- Курс уже прошли 2174 человека
- Сейчас обучается 304 человека из 61 региона
- Курс уже прошел 1171 человек
- Сейчас обучается 191 человек из 52 регионов
- Курс уже прошли 226 человек
- Сейчас обучается 87 человек из 28 регионов
- Курс уже прошли 209 человек
- Сейчас обучается 53 человека из 31 региона
Курс повышения квалификации «Проведение реабилитационной работы в рамках клинической психологии в социальной сфере»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в сфере начального общего образования»
Профессия: Учитель математики в начальной школе
Курс повышения квалификации «Аспекты преподавания самостоятельного учебного курса «Вероятность и статистика» в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО»
Курс повышения квалификации «Мастерство мышления: развитие SoftSkills и математической логики»
Курс повышения квалификации «Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики»
Мини-курсы по теме
Перейти в каталог мини-курсов- Курс уже прошли 14 человек
Основы образовательной политики и информатики
Работа с семьями и детьми с СДВГ: поведенческие и социальные стратегии
Нормативно-правовые основы риск-менеджмента
Литературоведение: теоретические и исторические аспекты
Профессиональные компетенции педагога: проектирование, культура речи, первая помощь
Семейные кризисы: от проблемы к точке роста
Найдите подходящий для Вас курс
В каталоге 7 585 курсов по разным направлениям
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
- Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
- Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
- Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
- Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
- Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС»
- Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
- Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
- Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
- Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
- Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
- Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»