Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Фрагмент занятия по математике по теме «Четность в олимпиадных задачах»

Фрагмент занятия по математике по теме «Четность в олимпиадных задачах»



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Фрагмент занятия «Четность в олимпиадных задачах»

При решении задач на использование идеи четности необходимо опираться на следующие свойства:

  • сумма двух нечетных слагаемых – четная;

  • сумма двух четных слагаемых – четная;

  • сумма нечетного числа нечетных слагаемых – нечетная;

  • сумма четного числа нечетных слагаемых – четная;

  • сумма четных слагаемых – всегда четная;

  • произведение нечетного числа нечетных множителей – нечетное;

  • произведение четного числа нечетных множителей – четное;

  • произведение четных множителей – всегда четное.

Рассмотрим примеры решения задач по данной теме.

  1. Страницы книги пронумерованы подряд от первой до последней. Хулиганы Петя и Миша вырвали из разных мест книги 27 листов и сложили номера вырванных страниц. У них получилось 1998. Когда об этом узнал Витя, он заявил, что мальчики ошиблись. Объясните, прав ли Витя.

Решение:

Любой вырванный лист содержит две страницы. Номер одной из них – четное число, а номер другой – нечетное. Поэтому, если рассмотреть сумму номеров всех вырванных листов, то она содержит – 27 четных слагаемых и 27 нечетных слагаемых. Т.к. сумма двадцати семи четных слагаемых – число четное, а сумма двадцати семи нечетных слагаемых – число нечетное, то вся сумма будет нечетной. Следовательно, она не может равняться четному числу 1998. Значит, Витя оказался прав.

Ответ: прав Витя.

  1. Можно ли представить число 2013! в виде суммы 2013 нечетных натуральных чисел?

Решение:

Напомним, что п! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ (п – 2) ∙ (п – 1) ∙ п .

Т.к. 2013! = 2013 ∙ 2012 ∙ 2011 ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 – число четное, а сумма 2013 нечетных натуральных чисел – число нечетное, следовательно, число 2013! нельзя представить в виде суммы 2013 нечетных натуральных чисел.

Ответ: представить нельзя.

  1. Сумма пяти чисел равна 350. Может ли их произведение не может оканчиваться на 2013?

Решение:

Если произведение нечетное, т.к. оканчивается на 2013, то все пять множителей – нечетные, следовательно, их сумма также должна быть нечетной.

Т.к. по условию задачи сумма пяти чисел равна четному числу, то она обязательно содержит хотя бы одно четное слагаемое. Значит, произведение обязательно будет четным, следовательно, оно не может оканчиваться на 2013.

Ответ: произведение не может оканчиваться на 2013.

  1. Два натуральных числа в сумме дают 2013. Коля увеличил каждое из них на 50 и перемножил полученные числа. Он получил, что произведение также оканчивается на 2013. Докажите, что Коля ошибся.

Решение:

Так как сумма двух натуральных чисел равна 2013, то одно из них обязательно будет четным, а второе – нечетным. Если к четному числу прибавить 50, то получится четное число, а если к нечетному числу прибавить 50, то получится нечетное число. А так как произведение четного и нечетного числа является четным числом, то оно не может оканчиваться на 2013, следовательно, Коля ошибся.

Ответ: Коля ошибся.

  1. Произведение трех натуральных чисел оканчивается на 2002. Докажите, что их сумма не может равняться 9999.

Решение:

Сумма трех натуральных чисел равна нечетному числу 9999 только в двух случаях: если все три числа – нечетные, или среди них – два числа четные и одно число нечетное.

Если все три числа – нечетные, то их произведение оканчивается на нечетную цифру и, следовательно, не может оканчиваться на 2002.

Если два числа – четные и одно нечетное, то их произведение будет четным числом и должно обязательно делиться на 4. Так как число, оканчивающееся на 2002, на 4 не делится, то и сумма данных трех натуральных чисел не может равняться 9999.

Ответ: если произведение трех натуральных чисел оканчивается на 2002, то их сумма не может равняться 9999.

  1. Вдоль дороги растут 2002 ели. Утром на каждой из них сидело по одной вороне. В полдень каждая ворона взлетела и перелетела на дерево, растущее через одно от того, с которого она взлетела. Могло ли так получиться, чтобы на каждой ели вновь сидело по одной вороне?

Пронумеруем ели по порядку от 1 до 2002. Согласно условию задачи, вороны перелетают с ели на ель через одну, т.е. вороны, сидевшие на елях с нечетными номерами, перелетают на ели с нечетными номерами, а вороны, сидевшие на елях с четными номерами, перелетят на ели с четными номерами. (1001 ель получит четный номер и 1001 ель получит нечетный номер.)

Рассмотрим ели с нечетными номерами. Покрасим их в два цвета – белый и черный.

В белый цвет покрасим 1, 5, 9, … ,2001 ель, а в черный – 3, 7, 11, … ,1999.

Найдем количество «белых» елей. Т.к. ап = 1 + 4п (формула п-го члена последовательности, начиная со второго), то получим 1 + 4п = 2001, 4п = 2000, п = 500, значит всего 501 «белая» ель. Тогда количество «черных» елей будет 500.

При такой окраске ворона с «белой» ели перелетит на «черную» и наоборот. Но так как «черных» елей 500, а «белых» елей 501, то, по крайней мере, на одну из «белых» елей не сядет ни одной вороны.

Ответ: не могло.



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 10.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров138
Номер материала ДБ-140602
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх