В нашей школе каждый год проводятся предметные недели. Когда подошла очередь недели общественных дисциплин, обратившись за помощью к учителям экономики, я подготовила этот урок. По типу его можно отнести к уроку обобщающего повторения и систематизации знаний. Все обсуждаемые экономические понятия учащимся уже знакомы, а рассматриваемые задачи не требуют привлечения нового математического материала. На уроке разбираются сложные алгебраические задания, но их решение основано на математическом аппарате VII-IX классов. Материал нескольких последних минут урока (не школьный, но интересный) дается обзорно. Урок рассчитан на 2 часа и может быть проведен двумя предметниками — учителями математики и экономики.

Предмет: математика, экономика Класс: 9

ТЕМА. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИКЕ.

ЦЕЛИ УРОКА 1). Образовательные:

 Повторить следующие математические понятия: функция, область определения и область значений функции, график функции, линейная и квадратичная функции.

 Закрепить навыки построения и чтения графиков функций.

Повторить экономические понятия: спрос, предложение, закон спроса, закон предложения.

•/ Привести примеры практического использования алгебры на уроках экономики.

•/ Повторить методы решения линейных, квадратных, иррациональных уравнений, систем уравнений.

2). Воспитательные:

Воспитание познавательной активности.

Содействие в ходе урока формированию следующих основных мировоззренческих идей: материальность мира, причинноследственные и другие связи явлений.

•/ Воспитание сознательного отношения к учебе.

З). Развивающие: Развитие умения выделять главное, существенное в изучаемом материале.

Развитие логического мышления.

Развитие наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.

ОБОРУДОВАНИЕ Кодоскоп.

ХОД УРОКА

1.      Организационный момент.

Подготовка учащихся к началу работы на уроке. Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку.

2.      Подготовка к основному этапу урока.

а) Сообщение учащимся темы, целей и задач урока.

Учитель. Как вы знаете, в нашей школе проходит неделя экономики. Вы, конечно, понимаете, что экономическая образованность и экономическое мышление формируются не только при изучении курса экономики, но и на основе всего комплекса предметов, изучаемых в школе. Это прежде всего — математика. Очень многие экономические задачи решаются с помощью тех математических знаний, которые вы получили, изучая курс алгебры VII — IX классов. Сегодня на уроке мы разберем некоторые из таких задач и увидим, насколько выгодно и полезно использовать математику, занимаясь изучением экономики.

Современная экономика представляет широкую возможность для использования одного из основных понятий математики — понятия функции. Дело в том, что многочисленные величины, характеризующие экономические процессы, существуют не изолированно друг от друга, а, наоборот, очень тесно друг с другом связаны. Таковы цена товара и спрос на него, прибыль фирмы и объем ее производства, затраты ресурсов и объем выпуска продукции (или стоимость этой продукции), размер кредита, выданного банком, и плата за его использование, и т.д. Во многих ситуациях, где возникают тесно связанные между собой переменные величины, как правило, найдется место для функции. Вот далеко не полный перечень функций, которые постоянно используются при изучении экономических процессов.

Функции спроса.

Функции предложения.

Производственные функции.

Функции издержек.

Функции выручки и прибыли.

Функции, связанные с банковскими операциями.

Функции потребления и сбережения.

Функции полезности.

Сегодня на уроке мы разберем примеры применения в экономике линейной и квадратичной функций и подробно рассмотрим экономические функции спроса и предложения.

б) Актуализация опорных знаний.

Учитель . Давайте сначала вспомним, как мы вводили понятие понятие функции?

Ответ. Пусть даны два множества. Обозначим первое из них буквой Х, а второе буквой У. Их элементы будем соответственно обозначать х и у. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому закону или правилу поставить в соответствие единственный

з-

элемент из множества У, то говорят, что задана функция, которую по традиции

Переменную х называют аргументом, что можно перевести с латинского, как «служащий основанием для рассуждения». Эту же переменную х еще называют независимой переменной, поскольку мы можем выбрать из множества Х любой элемент. А значения у зависят от выбранного х и поэтому переменную у называют зависимой переменной, или значением функции.

Множество значений независимой переменной называют областью определения функции и обозначают D(f).

Область значений функции обозначаем ЕС).

Пример 1.

Если каждому положительному числу поставить в соответствие число х (оно может выражать, в частности, объем куба с ребром х ), то получим функциюј; для Вопрос. Каковы в данном случае D(f) и ЕС)?

Ответ. Областью определения и областью значений здесь являются множества положительных чисел.

Пример 2.

Пусть мы положили на счет в банке 2000 рублей. Банк начисляет 10⁰/0 в год. Поставим в соответствие каждому натуральному числу п число 2000(1+0, 1) - сумму денег, которая окажется у нас на счете через п лет. Мы получили функциюЛ для которой

Вопрос. Каковы в данном случае D(f) и E(f)?

Ответ. Область определения — множество целых неотрицательных чисел, а

00)

Вопрос. По смыслу экономических характеристик элементы множеств Х и У всегда неотрицательны, то есть х и у 0. Как это отразится на графиках рассматриваемых сегодня функций?

Ответ. Они будут расположены в первой координатной четверти.

З. Основной этап ущока.

А) Линейная функция в экономике.

Вопрос. Что такое линейная функция и что представляет из себя ее график?

Ответ. Фунюдия вида y=kx+b, где х — независимая переменная, а К и Ь — некоторые числа, называется линейной. Ее графиком является прямая.

Учитель. Проиллюстрируем применение линейной функции на конкретном примере

Пример З .

Рассмотрим фирму, выпускающую кофемолки, которые она предполагает реализовывать по 10$ за штуку. Фирма платит 6$ за приобретение деталей для каждой кофемолки. Кроме этого, за аренду помещения и рекламу фирма платит 10 ()00$ ежегодно. Считая, что других статей расходов у фирмы нет, определите, какое минимальное количество кофемолок должна ежегодно реализовывать фирма, чтобы не нести убытков.

 4

Решение.

Построим и проанализируем математическую модель этой задачи.

Пусть х — наименьшее количество кофемолок, которое должна реализовывать фирма, чтобы не нести убытки. Тогда выручка фирмы от их реализации составит и / =10х ($). Подсчитаем издержки фирмы на производство х кофемолок. Издержки фирмы на каждую кофемолку составляют 6$, поэтому издержки на х кофемолок составят и =бх ($). Кроме этого, ежегодно фирма выплачивает 10 000$, поэтому общие издержки из +10 000=6х+10 000

На рис. 1 изображены прямые , , причем нас интересует только та часть этих прямых, которая расположена в первой координатной четверти.

Производство кофемолок не будет нести убытков в том случае, когда выручка и4   от их реализации станет не меньше общих затрат из =6х+10 ()()0 на их производство. Таким образом, искомое значение х определяется из уравнения 10x=6x+lO 000. Отсюда х=2 500

Этот результат показывает, что при реализации 2 500 кофемолок выручка фирмы и ее затраты совпадают — фирма не несет убытков, но и не получает прибыли.

Если х < 2 500, то 10х < 6х+10 000, и фирма несет убытки в размере 10 000-4х ($). Если же х > 2 500, то 10х> 6х+10 000, и фирма имеет доход в объеме 4х-10 000 ($). На рис. 2 схематически изображена эта ситуация.

[0

Учитель. При построении этой простейшей модели мы предполагали, что выручка пропорциональна количеству проданных кофемолок. Это не всегда верно, так как первые экземпляры обычно дорогие, затем их стоимость понижается, а далее, когда оборудование работает на пределе — стоимость продукции возрастает вновь. Несмотря на то, что мы не учитываем эти обстоятельства, построенная модель достаточно хорошо описывает реальную экономическую ситуацию.

Б). Квадратичная функция в экономике.

Учитель. В экономике, как и в жизни, действует закон, согласно которому чем выше стоимость р единицы некоторого товара, тем, как правило, покупатели меньше приобретают его в единицу времени ( в день, в неделю, месяц и т.д.) и наоборот. Это замечание пригодится нам при рассмотрении следующего примера.

Пример 4.

Пусть некоторая фирма изучила связь между ценой р фуб.) единицы своего товара и количеством q единиц товара, приобретаемого за один день, и установила, что q=570-3p.

Поскольку р» 0 и q 0, очевидно, что 0€ р е190.                 

Выясните, какую цену на товар установит фирма для того, чтобы выручка от его реализации была наибольшей.

Решение.

Выручка и=р q.

Так как q=570-3p, получим и=р(570-Зр), или и=-Зр +570р.

Вопрос. Функция иф)=-Зр +570р вам знакома?

Ответ. Это квадратичная функция. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (а=- З < 0).

Вопрос. Где эта функция достигнет своего наибольшего значения? Ответ. Наибольшее значение достигается в вершине параболы:

Тогдънаибольшее значение функции вычисляется так:

-3 95 +57095=27 075 (руб.)

Учитель. Таким образом, наибольшая выручка в 27 075 руб. будет достигнута в том случае, если фирма реализует по цене 95 руб. 285 единиц товара (570-3⁰95). Схематически геометрическая иллюстрация приведена на рис. З.

ау

Ри с. 3

Отметим, что в нашем случае при ре [0; 190], q 0, и 0 графиком функции будет не вся парабола, а лишь ее часть, лежащая выше оси Ор.

В) Функция спроса.

Учитель. Одним из основных понятий экономики является понятие рынка. На рынке происходит встреча продавцов и производителей товара с покупателями и потребителями для купли-продажи товаров и заключения торговых сделок. На рынке любого товара, будь то рынок канцелярских принадлежностей, рынок овощей или рынок новейшего вооружения, действуют три тесно связанные между собой структуры: цена, спрос и предложение. Давайте вспомним, что такое спрос.

Ответ. Спрос — это желание и возможность потребителя приобрести некоторый товар.

Учитель. Спрос зависит от многих причин: от количества денег, имеющихся у потребителя, от цены данного товара, от цен на другие товары и т.д. При изменении каждого из перечисленных факторов будет меняться объем спроса. Допустим, что все перечисленные выше причины, действующие на спрос, остаются неизменными за исключением одной — цены единицы рассматриваемого товара, которая измеряется в некоторых денежных единицах.

Если каждому значению цены р ден. ед. за единицу товара поставлено в соответствие число q — количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция, называемая функцией спроса:

Эта функция определена только для тех значений р О, для  т.е. ВО.

Функцию спроса q=f(p) часто называют просто спросом. Значения функции при фиксированном значении р называют величиной, или объемом спроса. График функции спроса называют кривой спроса.

Вопрос. Сформулируйте закон спроса, изученный в курсе экономики.

Ответ. Закон спроса гласит: чем выше цена единицы товара, тем меньше величина спроса и наоборот, чем ниже цена единицы товара, тем больше величина спроса. Учитель. Пусть р 4 произвольные значения из D(f) и ри <р 4__ Найдем соответствующие Из закона спроса следует, что q > Ответ. Функция спроса является убывающей.

Учитель. Геометрически это представлено на рис. 4.

Обратите внимание на необычное расположение осей координат: аргумент р расположен на вертикальной оси, а значение функции — на горизонтальной. Это принятая в экономике система обозначений, восходящая к одному из первых экономистов, начавших систематически использовать математику А. Маршаллу. Для перехода к обычному и привычному обозначению поступим так. Пусть D(f) и E(f) — области определения и значений функции спроса. В силу непрерывности функции q=f(p) у нее существует обратная функция, обозначаемая р (q), которая определена на множестве значений функции спроса и имеет множество значений, совпадающее с областью определения функции спроса. ( Подробнее мы будем говорить об этом в 10 классе). Если мы рассматриваем функцию спроса то по величине цены р определяем величину спроса q (рис. 5). Если же рассматриваем обратную функцию р= f- (q), то по величине спроса q определяем цену р (рис. 6).

Графики функций q=f(p) и p=f- (q) представляют собой одно и то же множество на плоскости. В зависимости от условий можно использовать либо одну, либо другую форму функции спроса.

Пример 5.

Функция спроса на некоторый товар имеет вид q 60-067 Найдите:

а) область определения и множество значений функции спроса;

б) величину спроса при цене за единицу товара: р =100, pz—1 000, рз=2 000;

в) функцию p=f¯ (q), описывающую зависимость цены за единицу товара от объема спроса на него.

Решение.

а) р 2,0,

60- 625+р

Решив систему, получим 0 €р 2975.

             Поэтому                2975].

             Функция спроса q=60-                является убывающей и

0=60-6537-35

625+2975

-³⁵]•

6) -60- J725 аз, 07,      v19,69,

60- E7iSv8, 76.

в) Найдем р из уравнения q=60- 625+р.

625+р =60-q, 625+р= (60-q) 60-q>0.

Отсюдар= q -120q+2975, q

Схематическое изображение зависимости спроса от цены и цены от спроса см на рис. 7.

Рис

Учитель. Функция спроса описывает изменение объема спроса q за некоторый период времени в зависимости от его цены. Но в экономике иногда возникает ситуация, когда изменяется и сама функция спроса, и, следовательно, изменяется кривая спроса. Причиной тому служит не изменение цены, а варьирование других факторов, влияющих на спрос, которые называют неценовыми. Мы их не учитывали. К ним относятся вкусы и предпочтения потребителей, число покупателей на рынке, введение налога на покупки или, наоборот, введение дотаций и т.д. Например, увеличение спроса на вещи, вошедшие в моду, приводит к увеличению спроса на одну и ту же величину с, т.е. вместо функции мы будем рассматривать функцию % =f(p)+c, график которой получается из графика функции q=f(p) его сдвигом вправо вдоль оси Ор на величину с. На рис. 8 исходная кривая спроса показана пунктиром, а новая кривая спроса — жирной линией. Стрелки демонстрируют направление сдвига.

На этом рисунке хорошо видно, что по цене ро при исходной кривой спроса потребители приобретут единиц товара, а при новой кривой спроса по этой же цене ро потребители приобретут q единиц товара, причем q > q .Спрос увеличился!

 9

Такая ситуация возникает и в том случае, когда, например, цена на бутылку напитка «Кока-кола» возрастает, а на напиток «Пепси-кола» останется прежней. Ясно, что увеличится спрос на «Пепси-колу» и кривая спроса на нее сдвинется вправо. Совершенно аналогично рассматривается и уменьшение спроса, влекущее за собой сдвиг кривой спроса влево.

Таким образом, мы с вами увидели, что экономический смысл сдвига графика функции вдоль оси 0q на величину с состоит в увеличении спроса на величину с при с > О и в уменьшении спроса на величину ic \при с < 0.

Г) Предложение и кривая предложения.

Учитель. Второй основной компонентой любого рынка является предложение товара к продаже. Что такое предложение?

Ответ. Предложение это желание и возможность производителя продать конкретный товар.

Вопрос. От чего зависит предложение?

Ответ. От цены данного товара, от цен на другие товары, от величины налогов или дотаций, от применяемой технологии производства и т.д.

Учитель. При изменении каждого из перечисленных факторов будет меняться объем предложения, т.е. максимальное количество единиц товара, которое производители готовы продать в течение некоторого времени (т.е. в течение недели, месяца, года и т.д.). Как и раньше, допустим, что все перечисленные выше причины, действующие на предложение товара, остаются неизменными, кроме одной — цены рассматриваемого товара.

Если каждому значению цены р за единицу товара поставлено в соответствие единственгое число q, выражающее количество товара, которое производители готовы продать за определенный промежуток времени по цене р, то говорят, что задана функция, называемая функцией предложения и пишут q=^f4) ф).

Эта функция определена для тех значений р О,для которых (р) > 0.При этом множество значений функции предложения D(f) + Р)

Сформулируйте действующий в экономике закон предложения.

Ответ. Закон предложения гласит: повышение цены за единицу товара влечет за собой рост объема предложения этого товара и, наоборот, понижение цены за единицу товара приводит к сокращению объема предложения товара.

Вопрос. Что в таком случае вы можете сказать о возрастании-убывании функции предложения?

Ответ. Большему значению р соответствует большее значение q. Функция предложения является возрастающей функцией цены р.

Учитель. Геометрическая картина представлена на рис. 9. Как и при рассмотрении функции спроса, непривычное асположение осей координат становится привычным после рассмотрения функции р= Ч (q), обратной к функции q= ф).

Функция р= (q) описывает зависимость цены единицы товара от его объема, предложенного к продаже.

 9

 (0

Мы уже говорили, что функция предложения описывает изменение объема предложения товаров на рынок в зависимости от цены товара. Как и для функции спроса, помимо цен существуют и другие факторы, под действием которых изменяется и сама функция предложения и, следовательно, меняется кривая предложения. Изменение цен на сырье или электроэнергию, изменение зарплаты, введение новых налогов или дотаций и

т.д. — все эти причины приводят к изменению функции предложения товаров на рынок.

Например, уменьшение цен на ресурсы, совершенствование технологий, снижение налогов приводят к уменьшению издержек на производство единицы продукции и тем самым увеличивают величину предложения товара на рынок, ибо по заданной фиксированной цене производитель может теперь выпустить больше продукции, чем прежде, что дает ему возможность увеличить выручку и сделать производство более прибыльным.

Рис. 10 иллюстрирует графически сказанное выше: qo - количество товара, первоначально предназначенного к продаже по цене ро . После уменьшения издержек производитель может по этой же цене р о предложить q 4 единиц товара, где q .Поэтому первоначальная кривая предложения (на рис. 10 она показана пунктиром) сдвинется вправо и займет новое положение ( жирная линия на рис. 10.

Рис (0

Аналогично, если по каким-либо причинам выросли затраты на производство, то по цене ро вместо первоначальных q о (рис. 11, а) единиц продукта производители предложат только qo единиц продукта (рис. 14, б), или вообще не будут поставлять его на рынок по цене ро ( рис. 12, в).

И-

Итак, мы видим, что при уменьшении предложения, кривая предложения сдвигается влево. На рис. И, б, в исходная кривая предложения показана пунктирной линией, а новая кривая предложения проведена на рис. 11, в жирной линией.

Подобная ситуация возникает и в том случае, когда на рынке ожидается повышение цен на реализуемый товар. Так бывает, например, при ожидаемой девальвации национальной валюты: продавцы либо уменьшают величину предложения по каждой цене, либо совсем не поставляют товар на рынок.

4. Заключение.

Откуда берутся функции в экономике? (Лекция учителя)

Выше мы неоднократно пользовались утверждениями типа: «функция спроса имеет вид q=100-4р» или «изучение п едложения некоторого товара установило, что функция

предложения имеет вид q=-2+ Р-1 » и т.д.

Как же появились те формулы, которые задают рассматриваемые нами функции? Разъясним этот вопрос на примерах.

Пример 6.

Предположим, что мы изучили спрос на наборы фломастеров и установили, что по цене руб. удается продать q=47 тыс. наборов в месяц, а по цене р=б руб. покупатели приобретают в месяц только q= 2 тыс. наборов. Интересно было бы высказать прогноз о том, сколько наборов будет продано по ценам: 4 руб. и 30 руб. за один набор. Наши наблюдения ничего об этом не говорят. Сразу отметим, что однозначного ответа на этот вопрос несуществует. Рассмотрим некоторые случаи. Изобразим полученные данные на рис. 13.

Допустим, что между ценой р одного набора фломастеров и их количеством q, приобретаемом в течение месяца по цене р, существует линейная связь. Чтобы ее найти, составим уравнение прямой АВ (рис. 13).

Р и с в

q-3 р-47

6-3 2-47, или q=-p/15+92/15.

Так как З 6, и 2' р €47, рассматриваем не всю прямую, а только ее часть между точками А и В.

Теперь мы можем воспользоваться найденным соотношением q=-p/15+92/15 и определить величину спроса q при ценах р=4 руб. ир= 30 руб.

р.? =4 руб., =88/15=5,87 тыс. наборов,

р. 30 руб, тыс. наборов.

Рассмотренный нами метод в математике называется методом линейной интерполяции (от лат. interpolation — изменение).

Конечно, связь между переменными р и q не обязана быть линейной. Она. Например, может быть квадратичной. В этом случае попытаемся найти квадратичную функцию вида р= q + aq +b, где а и Ь неизвестные пока коэффициенты. Для определенности потребуем, чтобы график квадратного +aq+b прошел через точки А(З;47) и В(6;2).

Получим систему:

47=9+3a+b,

2=36+6a+b.

Решив ее, получим а -24, b=110, и искомая квадратичная функция имеет вид -24q+llO, q

Используя найденную функцию, определим объем спроса по цене ир=З0. р=4, тогДа 4=q -24q+110,

 -24+106=0, q        144-106,        

(+5,84, 4 [3; 6].

Итак, по цене р=4 руб. за условную единицу продукции можно ожидать, что будет куплено примерно 5-6 тыс. упаковок фломастеров.

Аналогично вычислим, что при р=З0 руб. можно ожидать, что спрос составит 4тыс наборов.

На рис. 14 совмещены графики, соответствующие прямой и квадратичной зависимости объема продаж фломастеров от их цены. Из взаимного расположения графиков сразу видно, что в том случае, когда предполагается, что р и q связаны квадратичной зависимостью, для промежуточных между 2 и 47 значений р получаются несколько меньшие результаты, чем в том случае, когда рассматривается линейная зависимость.

Предположим теперь, что имеются З набора цен и соответствующих им величин спроса. Поступим так (см. рис. 15). Построим ломаную, проходящую через точки А, В и С, и будем вычислять значения q: а) для р [РБ РА], пользуясь уравнением прямой АВ;

б) для р [рз; рј, пользуясь уравнением прямой ВС. Полученная ломаная является приближением некоторого (вообще говоря, неизвестного нам) графика функции спроса. И чем больше точек В , Щ , Щ, . мы возьмем ( их координаты р и q должны соответственно принадлежать отрезкам [рд ; pq [q ; Ь], тем точнее наша ломаная АВ В В С будет передавать поведение истинного графика функции 1 2 3

спроса.

До сих пор мы заранее задавали характер зависимости между ценой р и величиной спроса q и определяли параметры только линейной или квадратичной зависимости.

Можно поступить иначе, используя методы математической статистики. Мы, конечно, не будем вдаваться в их рассмотрение, а опишем только принципиальный подход.

Пусть, к примеру, мы изучали зависимость объема спроса в течение месяца от цены за единицу товара. Пусть этим товаром будет кофе. Соберем по многим рынкам информацию о количестве кофе ( в тоннах), покупаемом по той или иной цене в долларах за тонну кофе. Таких данных обычно бывает очень много. Нанесем для наглядности точки (р; q) на координатную плоскость. Получим картину, приблизительно изображенную на рис. 16.

Р и с

Каждая точка на плоскости qOp соответствует объему q покупок кофе за месяц при некоторой фиксированной цене р дол. за единицу — одну тонну кофе.

Конечно, нельзя и думать о том, чтобы провести кривую через все точки «размытого облака» на рис. 16. Однако в математической статистике существуют методы, позволяющие найти «наилучшую» в некотором смысле кривую АВ, которую и принимают за искомую кривую спроса. Эта кривая изображена на рис. 17.

Именно таким способом определяют все функции, которые встречаются в различных экономических вопросах.

5.      Подведение итогов урока.

Общая характеристика работы класса, анализ успешности овладения содержанием урока, вскрытие пробелов, обсуждение путей их преодоления.

6.      Информация о домашнем задании.

Задача 1. (Линейная функция в экономике)

Фирма производит наборы фломастеров, которые она реализует по 30 руб. за комплект. Но 18 руб. она отдает за комплектующие детали для каждого комплекта. Кроме этого, за аренду помещения фирма платит ежегодно 30 000 руб. Считая, что других статей расходов фирма не несет, определите минимальное количество наборов, которые должна реализовать фирма, чтобы не нести убытки. Сделайте схематический чертеж.

Задача 2. (Квадратичная функция в экономике)

Фирма установила, что зависимость между количеством товара q единиц, приобретаемого покупателями в течение недели, и его ценой р руб. за единицу товара имеет вид q= 150-1 Оф. Найдите область определения и множество значений функции q= 150-100р. Какое количество товара покупатели приобретут по цене 0,8 ден. ед. за единицу товара? По какой цене за единицу товара покупатели приобретут 120 единиц товара?

Задача З. (Функция спроса)

Известно, что функция спроса на товар имеет +160q+6 300. Найдите:

а) область определения и множество значений функции спроса;

б) по какой цене будет продано , си, q З единиц продукции, если q =15, q =30, q =55, и какова будет выручка и и и в каждом случае;

в) зависимость объема продаж q от цены за единицу товара р.

Задача 4. (Функция предложения.)

Функция предложения товара имеет  Найдите:

а) область определения и множество значений этой функции;

б) цену, по которой товар будет предложен к продаже в объеме q, q =15, с] 3=27;

в) объем предложения по цене за единицу товара р —15, р =100, р 000 и выручку в каждом случае.

Интегрированный урок

Математика — экономика

Функции в экономике

9 класс

(Морозова М.Н.)