Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Функциональные уравнения. Методы их решения

Функциональные уравнения. Методы их решения

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

БОУ ДПО (ПК) С «Чувашский республиканский институт образования»

Минобразования Чувашии


Кафедра математики и информационных технологий













Курсовая работа на тему:



« Функциональные уравнения. Методы их решения»









Выполнил (а): учитель математики МБОУ «СОШ № 60»

г. Чебоксары

Флегентова А.А.










Чебоксары, 2014



Содержание


Введение……………………………………………………….……………..……3

Глава 1. Понятие функционального уравнения ………………………………...5

Глава 2. Практическая часть. Методы решения функционального уравнения.9

Заключение……………………………………………………………………….24

Список литературы………………………………………………………………25

Приложения……………………………………………………………………...26

Введение


Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся школы, - умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, в уравнении могут участвовать целые, рациональные и другие числа, то есть уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение, решать, которые необходимы всем учащимся школы. Но во время решения тренировочных заданий мне попалось уравнение, которое я решить не смогла. Как я узнала позже от учителя, это было функциональное уравнение.

Что же такое функциональные уравнения? И какие способы их решения существуют? Эти вопросы заинтересовали меня, и я решила провести исследование. функциональный уравнение коши

Функциональными уравнениями занимаются с очень давних пор, этому курсу так и не нашлось достойного места в математических программах. А жаль. Ведь решение отдельных функциональных уравнений требует достаточно глубокого понимания предмета и прививает любовь к самостоятельной творческой работе. Так как эта тема в школьном курсе не изучается в виду её сложности, при поступлении в престижные ВУЗы, на олимпиадах, в части С ЕГЭ такие задачи встречаются.

В настоящее время практически нет никаких пособий, обучающих решению функциональных уравнений.

Поэтому ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать читателю со скромной математической подготовкой весь арсенал современных методов решения функциональных уравнений.

Цель работы - выяснить, что является функциональным уравнением их системами, найти способы решения и составить сборник задач для использования математическими классами.

Задачи исследования:

1. изучение и анализ литературы;

2. поиск способов решения функциональных уравнений и их систем;

3. решение функциональных уравнений

4. составление сборника

Объект исследования: функциональные уравнения

Предмет исследования: изучение свойств и способов решения функциональных уравнений.

Структура: введение, понятие функционального уравнения, сборник задач, заключение.

Глава 1. Понятие функционального уравнения


Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – это, значит, найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них. Часто встречаются на различных математических соревнованиях.

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это

f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x),

которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

hello_html_60877636.gif(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 – 1857) нашёл общие решения


hello_html_700b838d.gif

hello_html_m733a0f4.gif

hello_html_m39a66eaf.gif

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

hello_html_2a762768.gif

была получена Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) из функционального уравнения

hello_html_m3e43e3f4.gif, (2)

которое он решил методом, аналогичным методу Коши. Это уравнение можно привести к уравнению

hello_html_m42144935.gif.

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792—1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) — произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

hello_html_m5faa27f9.gif(3)

Функциональному уравнению (3) удовлетворяют, в частности, функции:

hello_html_m7041df27.gif, hello_html_6ebf1c09.gif

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x)·f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x)·f(y), (7)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём (Курсе Анализа), изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид

hello_html_638a1788.gif, hello_html_5e8ccd99.gif, hello_html_m444326e7.gif, hello_html_48d47f6f.gif

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x hello_html_5633be4c.gif Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) - непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить - то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.


















Глава 2. Практическая часть. Методы решения функционального уравнения


Простейшие функциональные уравнения

1. Пусть функция у =f(х) возрастает на R. Решите:

а) уравнение f(3х + 2) = f(4х2 + х);

б) неравенство f(3х – 48) ≤ f(-х2 + х).

Решение:

а) f(3х + 2) = f(4х2 + х)

Есть такая теорема: если функция возрастает на промежутке Х, то каждое своё значение она принимает, а единственной точке. Поэтому,

3х+2 = 4х2 + х;

2 -2х-2=0;

2 –x-1=0;

х1=1 и х2= -0,5

Ответ: х1=1 и х2= -0,5.

б) f(3х – 48) ≤ f(-х2 + х);

3х-48 ≤ -х2 + х;

х2 + 2х – 48 ≤ 0;

х1=6 и х2= -8:

Ответ: [-8;6].

2. Пусть функция у =f(х) убывает на R. Решите неравенство f(2x-3)>f(х+2)

Решение:

Решаем также как и в предыдущем задании, только меняем знак у неравенства, так как функция убывает на R.

2х-3

x<5

Ответ: (-∞; 5).


Решение функциональных уравнений методом подстановки

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций.

1. Найдите все функции, определённые на множестве hello_html_m63c85118.png , удовлетворяющие соотношению

hello_html_575bdc85.png

Решение

Придадим x значение hello_html_262e7d77.png. Получим

hello_html_m55315086.png

Отсюда

hello_html_m4b438f8b.png.

Получим систему

hello_html_690e5b98.pnghello_html_m5f691cdd.png

Из уравнения (1) выразим hello_html_m8a3b3e0.pngи подставим в уравнение (2).

hello_html_m239fe2aa.png; hello_html_77846fa4.png;

Отсюда

hello_html_5f71f987.png; hello_html_m4456530a.png ; hello_html_4148f07a.png .

Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению

hello_html_7804c58c.png. hello_html_m14a93c7c.png

x=x - верно.

Ответ: hello_html_50dded55.png .

hello_html_m62ab1eb6.png

Решение:

1) Пусть

hello_html_37b0f3a0.png

2) Подставим в исходное уравнение, получим

hello_html_m4dd160dc.png

hello_html_f7c9bef.png

3)Заменим z на hello_html_18c02b12.png получим или после преобразований в правой части уравнения:

hello_html_m2acb47dc.png

4)Итак, получили два уравнения:

hello_html_dda877b.png

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

hello_html_m956c087.png

3.Пусть hello_html_5fc463f2.gif - некоторое действительное число. Найти функцию f(x), определённую для всех x ≠ 1 и удовлетворяющую уравнению

hello_html_m31f9cfae.gif,

где g – заданная функция, определённая при x ≠ 1.

Решение: При замене

hello_html_m7c3e346d.gif

получаем систему

hello_html_47877cd9.gif.

решением которой при a2 ≠ 1 является функция

hello_html_16f8fef.gif

Ответ:


4. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):

hello_html_m10c4a6fe.gif

Решение: В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом

hello_html_67cf627e.gif

и первое уравнение принимает вид:

hello_html_2e67f8bd.gif

Или

hello_html_m50f6f695.gif

В результате получаем систему уравнений:

hello_html_16459508.gif

решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

Ответ: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

5. Найдите все функции f: R  R, которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f(х+у)=х+уf(х)+(1-х)у. (1)

Решение: Пусть f- функция удовлетворяющая (1). Поскольку (1) выполняется при всех значениях переменных х и у, то оно будет выполнятся и при конкретных значениях этих переменных. Подставив, например, у равное 0 в исходное уравнение, мы получим f(х)=х. Это равенство должно выполнятся при любом действительном х. Таким образом, (1) => f(х)≡х является решением функционального уравнения (1). Непосредственная проверка показывает, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению при всех х,у € R.

6. Найдите все функции f: R  R, которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f(х+у)=х+уf(х)+(1-sin х)у (1)

Решение: точно также как и в предыдущей задаче, устанавливаем, что для функции f, которая удовлетворяет (2), должно выполнятся тождество f(х)≡х. Однако, подставив функцию f(х)=х в (1), мы тождества не получим. Поскольку никакие другие функции также не могут быть решениями (1), то данное уравнение решений не имеет.

7. Найдите все функции f: R  R, которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f(х+у2+2у+1) = у4+4у3+2ху2+5у2+4ху+2у+х2+х+1 (1)

Решение: поскольку мы хотим получить значение f(х), попробуем избавится от слагаемого у2+2у+1 под знаком функции. Уравнение у2+2у+1=0 имеет одно решение у=-1. Подставляя у= -1 в (1) получаем f(х)= х2-х+1 .

Ответ: f(х)= х2-х+1

8. Найдите все функции f: R  R, которые при всех х, у € R удовлетворяют уравнению

f((х2+6х+6)у)=у2х4+12у2х3+48у2х2-4ух2+72у2х-24ух+36у2-24 (1)

Решение: Как и в прошлой задаче, мы хотим получить под знаком функции свободную переменную (х или у). В данном случае, очевидно, проще получить у. Решив уравнение х2+6х+6)у=0 относительно х получаем х1= -1, х2= -5. Подстановка любого из этих значений в (1) дает нам f(у)=у2-4у.

Решение функциональных уравнений методом Коши

1. Найдите функцию hello_html_2981d740.gif , определённую на множестве натуральных чисел, удовлетворяющую условию

hello_html_m252ac073.png, где d - некоторое действительное число.

Решение:

Будем решать это уравнение по схеме, которая в математике называется методом Коши.

1. Найдём выражения для hello_html_m4d6b25bf.png Получим

hello_html_79121bdc.png,

hello_html_1bb5616a.png, hello_html_m44904eca.png hello_html_1dbf2eaf.png.

2. Этот “эксперимент” подсказывает, что hello_html_5e93ea42.png , где hello_html_m2d988bc6.gif .

3. Проверим, действительно ли выполняется равенство

hello_html_m2bb3a24e.png,

где hello_html_m38df701c.gif . Применим для доказательства метод математической индукции.

1. Проверим, выполняется ли равенство при x=1 : hello_html_m1d3e408b.png - верно.

2. Предположим, что равенство верно при hello_html_m1ab38e55.gif , где hello_html_7a09b65b.png , т.е.

hello_html_5e93ea42.png- верно.

3. Докажем, что из этого следует равенство для x=n. Т.к. hello_html_m252ac073.png, то при x=n получим hello_html_74d11724.png или

hello_html_5ee61e4a.png; hello_html_61a770cd.png .

Значит, равенство верно для любого натурального n . Таким образом, решением заданного функционального уравнения будет функция hello_html_m2bb3a24e.png , где f(1)- произвольное число.

2. Найдите все непрерывные функции, удовлетворяющие условию

hello_html_mba8a7b9.png.

Решение:

Будем находить решение функционального уравнения постепенно, т.е. сначала найдём его решение, если является натуральным числом, затем – целым, потом рациональным и, наконец, - действительным.

1. Пусть y=x. Тогда hello_html_m59ddbb68.png .

2. Приhello_html_1adc71cb.png , получим

hello_html_6b5cc642.png, hello_html_m622e5058.png , …

3. Докажем методом математической индукции, что при натуральных значениях hello_html_m52a63775.png (докажите это самостоятельно) . (1)

4. При x=1 получим hello_html_39f934a1.png. hello_html_1f276988.gif - постоянное число. Обозначим его через hello_html_m58728106.gif . Значит, для hello_html_m2d988bc6.gif, имеем hello_html_m7ccb9a76.png .

5. Положим в равенстве

(1) hello_html_mddedd70.png , где hello_html_1e4c02e0.png , получим

hello_html_2adf79f0.png. Отсюда

hello_html_5a8f718a.pngили

hello_html_4b674b69.png.

Обозначив

hello_html_65f29f38.png

через hello_html_m54956ee8.gif, получим

hello_html_m3bf90f59.png.

Значит, при положительном и рациональном x мы получим

hello_html_mfa058ef.png.

Предполагая, что функция hello_html_2981d740.gif - непрерывна, получим

hello_html_m6be063e1.png,

При

hello_html_667cd524.gif, hello_html_m13461534.gif .

6. Возьмём в равенстве hello_html_76c7631.gif. Получим

hello_html_23d0574b.png.

Отсюда hello_html_m265f55f7.png .

  1. Возьмём в этом равенстве

hello_html_76c7631.gif.

Получим

hello_html_23d0574b.pngили

hello_html_56889c3c.png. Т.к.

hello_html_16beb85b.png, то

hello_html_49dee69d.png,

т.е. hello_html_85ce86f.png .

Итак, для любого действительного решением уравнения будет функция

hello_html_m6c0726a2.png.

Ответ:

hello_html_mba8a7b9.png- уравнение называется уравнением Коши.

3. Найдите непрерывные функции hello_html_2981d740.gif , удовлетворяющие условию

hello_html_m54233e19.png. (1)

Решение:

Попробуем свести это уравнение к функциональному уравнению Коши

hello_html_57dd1a08.png

с непрерывным решением

hello_html_6a5eaabf.png.

Пусть у=0 , тогда

hello_html_m2f337431.png.

Так как hello_html_1f1578ff.gif - постоянное число, обозначим его через hello_html_m58728106.gif и получим

hello_html_m71264190.png.

Придадим теперь х значение hello_html_m4e3f8605.gif.

Получим

hello_html_eb74b25.png.

Из уравнения (1)

hello_html_m54233e19.png

получим

hello_html_59e11802.png

или

hello_html_14b11aa4.png(2).

Решением уравнения (1) является функция

hello_html_m3849ee09.png.

Значит, решением уравнения (2) будет функция

hello_html_m219e35dc.png.

Ответ:

hello_html_mc22dfb7.png

4. Найдите все непрерывные решения уравнений Коши:

a) f (хy) = f(x) + f(y) (x, y R \ {0});

б) f(x + y) = f(xy) (x, yR);

в) f(x + y) = f(x)f(y) (x, y€. R).

Решение:

  1. Пусть вначале x > 0. Положим

g(x) = f(eх).

Тогда

g(x + y) = f(eх+у) = f(eхeу) = f(eх) + f(eу) =g(x) + g(y), т. е. g(x)

удовлетворяет аддитивному уравнению Коши. Так как eх и f(x) непрерывны, то и g(x) непрерывна и имеет вид cx, где c- константа. Тогда f(x) имеет вид c ln x.

В частности,

f(1) = 0.

Положив

x = y = -1,

получаем

f(1) = 2f(-1),

откуда

f(-1) = 0.

Для произвольного x < 0 получаем

f(x) = f(-x) + f(-1) = f(-x).

Отсюда

f(x) = c ln |x|

для произвольного

x 0.

б) Положив

y = 0,

получаем

f(x) = f(0), т.е. f(x) const.

Очевидно, что любая константа подходит.

в) Если

f(x) = 0

для некоторого x,

то

f(z) = f(x)f(z-x) = 0

для любого z. В противном случае функция, будучи непрерывной, всюду имеет один и тот же знак. Так как

f(2x) = (f(x))2,

то этот знак положителен и можно рассмотреть непрерывную

функцию

g(x) := lnf(x). Имеем g(x+y) = ln(f(x)f(y)) = ln f(x)+ln f(y) = g(x)+g(y),

т.е. выполнено аддитивное уравнение Коши. Отсюда g(x) = cx для некоторого c, и

f(x) = eсх.

Таким образом, либо

f(x)≡ 0, либо f(x) ≡есх.

Использование значений функции в некоторых точках

Иногда бывает невозможно найти подстановку, которая бы значительно упрощала бы вид уравнения. Однако, если зафиксировать одну из свободных переменных, некоторые члены уравнения могут также оказаться фиксированными. Для них можно ввести удобные обозначения и использовать при решении как обычные константы. Если эти константы войдут в ответ, проверка покажет, какие их значения являются допустимыми.

  1. Решить уравнение

f(x+f(y))=xy

Решение: подстановка

у=0

даёт

f(x+f(0))=0.

На первый взгляд пользы мало, так как мы не знаем, чему равно f(0). Обозначим f(0)=с, тогда получаем f(х+с)=0. сделав замену переменной t=x+c (подстановка х=t-c), получаем f(е)=0, но такая функция, очевидно, не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому решений нет.

  1. Решить уравнение

f(x+f(y))=x+у

Решение: Снова сделаем подстановку у=0 и обозначим с=f(0), получим f(х+с)=х. Замена t=х+с дает f(t)=t-c. Несмотря, на то, что точное значение с нам известно, мы уже знаем, что лишь функция вида f(х)=х-с, где c=const, могут удовлетворять уравнению при всех х,у. чтобы найти с, подставим найденную функцию в исходное уравнение(заодно таким образом сделаем проверку):

f(x+f(y))=f(x+(y-c))=(x+(y-c))-c= x+y-2c.

Отсюда видим, что равенство

f(x+f(y))=x+у

для всех х,у при с равном 0 и только при нем. Поэтому ответ f(x)=x.

Ответ: f(x)=x.

Уравнение относительно

Найти все f: R  R такие, что (f(x))2 = 1

Решение: Рассматривая это как уравнение относительно неизвестного f(х), получаем

f(x) = 1;

f(x) = -1

Может показаться, что ответом будут две функции,

f(х)=1, f(х)=-1.

Однако, это не так. Рассмотрим, например функцию

-1 х<0

1, х0

Несложно видеть, что данная функция удовлетворяет уравнению. Какой же смысл придать совокупности? Поскольку исходное равенство должно выполнятся для всех х€ R, то есть для каждого х имеет место одно из равенств. Однако, неверным будет предположение, что одно из равенств выполняется сразу для всех х. Как мы увидели на примере, для одних х может выполнятся одно из равенств, а для других – другое. Попробуем охарактеризовать множество функций, задаваемое уравнением. Пусть А – множество тех х, для которых выполнено первое равенство. Тогда для всех остальных х должно быть выполнено второе. Мы видим, что множество А однозначно задает функцию f:

Ответ:

E(f) = {+-1}, где Е(f)

обозначает множество значений f.

Графическое решение функционального уравнения. При каких а и b для функции

f(х)=a|x-b| +3a|x-b |

выполнено условие при всех действительных

х : f(х)=f(f(х)) ?

Решение:

  1. При а=0 функция f(х)=0, и уравнение, очевидно, удовлетворяется.

пусть а>0, тогда при больших х>0 функция

f(х)=а(х-b)+3a(x-b )=4ax-a(b+3b )>0

По рис.1 определяем, что возможно только равенство f(х)=х, если значения х достаточно велики и х>0. Конкретно, х>max{b;b }.

Следовательно, возможные значения для параметров a и b определяются из системы:hello_html_m281d6d15.png

Которая имеет два решения:

hello_html_m4ca50f00.png, hello_html_2d8be7a7.png

При а=1/4, b=-1/3 получаем функцию

hello_html_ca66ec7.png

Ее график (рис.2) является графическим решением уравнения

f(х)=f(f(х))

  1. Теперь предположим, что а<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

Следовательно, возможные значения для параметров а и b определяются из системыhello_html_m5ab42164.png

Которая имеет два решения

hello_html_6c0c965a.pngи hello_html_m2e0b741c.png

Если

a=-1/4, b=0,

то функция

f(х)=-|х|

удовлетворяет уравнению

f(х)=f(f(х))

Если a=-1/4, b=-1/3, тогда получаем функцию

hello_html_14d22d0c.png

А вот ее график (рис. 3) не является графическим решением уравнения f(х)=f(f(х)).

Ответ: hello_html_m68a2ff6a.png, hello_html_2d8be7a7.png, hello_html_2d8be7a7.png, hello_html_743a4967.png

Заключение

В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и некоторые способы их решения. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения – это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.


Список литературы


  1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999

  2. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с

  3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120

  4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с

  5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. – М.: Наука, 1968, c. 157 – 162

  6. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения.hello_html_m5c062083.gifМ.:’’Высшая школа’’,2005,с.190hello_html_m5c062083.gif199

Размещено на Allbest.ru

ПРИЛОЖЕНИЯ


Рис.1

hello_html_1ac0887a.png

Рис.2

hello_html_4d1e469e.png

Рис.3


hello_html_m48802a69.png

Размещено на Allbest.ru

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 07.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров3153
Номер материала ДA-032474
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх