Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Функція як стрижень шкільного курсу математики
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Функція як стрижень шкільного курсу математики

библиотека
материалов

« Функція як стрижень шкільного курсу математики»

Зміст.

І.Вступ.

ІІ. Ідея функціональної залежності від давнини до сучасності.

ІІІ. Методика вивчення функції в шкільному курсі математики.

1.Різні підходи до трактування поняття функції в курсі математики середньої школи.

2.Основні напрями введення поняття функції в шкільному курсі математики.

3. Методика формування понять загальних властивостей функцій.

4. Методична схема вивчення функцій. Дослідження функцій в класі функцій.

5. Розгляд задач і вправ на застосування вивчених властивостей функції.

ІV. Практичне застосування властивостей функцій при розвязуванні нестандартних, проблемних,дослідницьких завдань.

V. Перевірка знань учнів за допомогою тестових технологій.

VІ Література.











Функція - одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Яке відіграє велику роль у пізнанні реального світу. Жодне з інших понять не відображає явищ реальної дійсності з такою безпосередністю і конкретністю, як поняття функціональної залежності.

Поняття функції – основне поняття вищої математики,тому якість підготовки учнів середньої школи до засвоєння математики вищої школи багато в чому залежить від того, наскільки твердо і повно засвоєно в школі. Багато понять шкільного курсу математики базуються на понятті функції, а також вирішення багатьох завдань, безпосередньо не пов'язаних з поняттям функції, використовують знання про неї.

Даний матеріал сприяє засвоєнню учнями основ діалектичного світогляду, спонукає їх до постійного пошуку нестандартних розв’язків, привчає мислити величинами в їх змінності та взаємозв’язку, до вміння застосовувати отримані знання на практиці, відчувати свою успішність,інтелектуальну досконалість,компетентність.















«Не можна піддавати сумніву ту істину, що все у світі може бути представлене числом,

ні в справедливість того, що всяка в ньому зміна і відповідність виражається аналітичною функцією».

Н.І.Лобачевський





Учитель і мудрець нічого не навчають,

а тільки показують шлях до істини.

Сократ.



І.Вступ.

Серед основних завдань, що стоять перед сучасною школою, є формування в школярів математичної компетентності - вміння бачити та застосовувати математику в реальному житті,розуміти зміст і метод математичного моделювання,вміти будувати модель,досліджувати ії методами математики, інтерпретувати отримані результати, похибку обчислень.

Профільне навчання спрямоване на реалізацію особистісно - орієнтованого навчального процесу. При цьому істотно розширюються можливості вибудовування учнем власної, індивідуальної освітньої траекторії. Таким чином, профільне навчання в нашій школі переслідує такі основні цілі:

забезпеченню поглиблення вивчення математики, створення умов для значної диференціації змісту навчання старшокласників, з широкими і гнучкими можливостями побудови школярами індивідуальних освітніх програм;

сприяння встановленню рівного доступу до повноцінної освіти різним категоріям учнів відповідно до їх індивідуальнх схильностей і потреб;

розширювання можливості соціалізації учнів, забезпечення наступності між загальною і професійною освітою, у тому числі ефективна підготовка випускників школи до освоєння програм вищої професійної освіти.

Отже, профільне навчання спрямоване на досягнення індивідуальних потреб школяра.

Шкільна математика - це не наука, а предмет, основна мета якого - вивчення реальних ситуацій за допомогою математичних моделей.

Первинною математичною моделлю є функція, тому функції, їх властивості та графіки, як у явній, так і в неявній формі, складають стрижень шкільного курсу математики

Вивчення матеріалу функціональної лінії має основною навчальною метою усвідомлення учнями на тому чи іншому рівні поняття функції як однієї з основних математичних моделей, що дозволяє описувати й вивчати різноманітні залежності між реальними величинами, а також оволодіння найпростішими методами дослідження функцій.

Функціональний матеріал дає можливість ставити цілі розвитку всіх пізнавальних процесів, зокрема діалектичного мислення, функціонального стилю мислення, світогляду (діалектики), розкривати загальнонаукову і загальнокультурну роль математики, здійснювати естетичне, екологічне виховання, професійну орієнтацію учнів.

Починаючи з XVII століття одним із найважливіших понять є поняття функції. Воно відіграло і понині грає велику роль у пізнанні реального світу. Обгрунтування функціональної лінії як провідної для шкільного курсу математики - одне з найбільших досягнень сучасної методики. Пам'ять здатних до математики учнів має узагальнений характер: швидко запам'ятовуються і міцно зберігаються типи завдань і способи їх вирішення, схеми міркувань, доказів, логічні схеми. Такі учні відрізняються добре розвиненими просторовими уявленнями, при вирішенні ряду завдань вони можуть обходитися без опори на наочні образи. У якомусь сенсі логічність замінює їм «образність», вони не відчувають труднощів при оперуванні абстрактними схемами.

На уроці учні профільних фізико -математичних класів віддають перевагу розв’язанню нестандартних, проблемних, дослідницьких завдань. Красу математики бачать в незвичайних, несподіваних рішеннях. Під час роботи частіше діють індивідуально.

Фізико-математичний профіль відповідно до Концепції загальної середньої освіти відноситься до курсу підвищеного типу, що забезпечує подальше вивчення математики та її застосування в якості елемента професійної підготовки. Це повний курс, орієнтований на учнів, що вибрали для себе діяльність, безпосередньо пов'язану з математикою. Метою профільного навчання є створення умов для освіти старшокласників з урахуванням їх нахилів та здібностей, для їх навчання у відповідності з профільними інтересами і намірами щодо продовження освіти.

З 2003 року наша школа атестована за природничо-математичним напрямом. Протягом цього часу я викладаю математику в профільних класах. На уроках даю учням такі завдання і виконую такі види робіт, які б були мотивуванням для поглибленого вивчення математики. У своїй роботі я використовую фронтальні , групові та індивідуальні форми роботи ; активні методи навчання ; спостереження , експеримент . Творче мислення учнів розвиваю всебічним аналізом проблем , пізнавальні задачі розв`язуємо кількома способами , практикую творчі завдання. Постійно показую учням перспективи їх навчання. Використовую схеми, плани, щоб забезпечити засвоєння системи знань. У процесі навчання я постійно враховую індивідуальні особливості кожного учня, об`єдную в диференційовані підгрупи учнів з однаковим рівнем знань. Заохочую дослідницьку роботу школярів, знайомлю з алгоритмами розв`язання винахідницьких задач , обробкою першоджерел і довідникових матеріалів.

При стимулюванні пізнавальної активності учнів, забезпеченні мотивації діяльності (те, що я роблю, є корисним), розв`язанні проблем, пошуках шляхів реалізації проекту, формуванні власної оцінки і самооцінки, розвитку здібностей та обдарованості учнів та підвищення через це їх соціального статусу,забезпечується стійке і свідоме оволодіння системою математичних знань , необхідних у майбутній трудовій діяльності.

Я пропоную завдання різного рівня, варіативні домашні завдання, перелік тем творчих робот та доповідей, список додаткової літератури, різні форми проходження тематичного оцінювання. Створюю проблемні ситуації, рекомендую самооцінку та взаємооцінку, забезпечую вільний вибір рецензента. Забезпечую розширення кругозору та підвищення культурного рівня учнів, навчаю роботі в команді, взаємодії учнів, визначаю ставлення до власної діяльності та діяльності інших людей, поваги до чужої праці, загальнолюдських цінностей .

При обговоренні проблем формую вміння адекватно ставитися до критики, розвиваю культуру математичного мовлення, стимулюю критичне ставлення до себе. Навчаю правильно ставити запитання та відповідати на них, створюю проблемні ситуації, використовую усні та письмові рецензії на відповідь, доповнення та зауваження до неї, пропоную учням нестандартні запитання до однокласників, стимулюю спілкування з ровесниками та дорослими з метою підвищення навчальних досягнень та ерудиції учнів.

Підтримую використання різних джерел інформації, вміння опрацьовувати ії для отримання певного продукту, залучення власного досвіду. Пропоную завдання, для використання яких необхідне звертання до альтернативних джерел інформації—додаткової літератури, комп`ютерних баз даних, Інтернету, тощо. Стимулюю критичне оцінювання інформації.

У класах фізико-математичного профілю намагаюсь забезпечити високий науковий рівень викладання математики, створюю проблемні ситуації на основі сучасного життя, стимулюю розв`язання розрахункових задач різними способами, пропоную задачі підвищеної складності, з учнями основної школи складаємо математичні казки, вірши, науково-фантастичні оповідання з помилками та без них.

Залучаю учнів до участі “Міжнародному інтелектуальному турнірі ім. М.В.Ломоносова”, “Міжнародному математичному конкурсі «Кенгуру» координатором якого я є з 2003 року.За цей час 1076 учнів нашої школи виявили бажання, взяти участь в вищеназваному конкурсі. Залучаю учнів до розробок та участі у позакласних заходах, предметних тижнях, олімпіадах,вікторинах,математичних змаганнях. Протягом двох останніх років брала участь у підготовці районної команди до змагань у міському турнірі юних математиків.

Згідно з Концепцією математичної освіти в Україні математична підготовка молоді повинна надавати широкі можливості для індивідуального розвитку особистості, забезпечувати стійке і свідоме оволодіння системою математичних знань, необхідних у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, продовженні освіти. Ні для кого не секрет , що для подальшої адаптації у дорослому житті учням потрібно мати добре розвинене логічне мислення.

Жодне з інших понять не відображає явищ реальної дійсності з такою безпосередністю і конкретністю, як поняття функціональної залежності. Учені буквально на кожному кроці зустрічаються з різними застосуваннями функціональної залежності, в тому числі зображеною у вигляді графіків і діаграм, читання та складання яких передбачає певне функціональне мислення. Це поняття, як жодне інше втілює в собі риси сучасного математичного мислення, привчає мислити величини в їх змінності і взаємозв'язку, таким чином, ідея функції сприяє засвоєнню учнями основ діалектичного світогляду.

Поняття функції - це основне поняття вищої математики, тому якість підготовки учнів середньої школи до засвоєння математики вищої школи багато в чому залежить від того, наскільки твердо і повно дане поняття вивчено в школі. Багато понять шкільного курсу математики будуються на понятті функції, а також вирішення багатьох завдань, безпосередньо не пов'язаних з поняттям функції, використовують знання про неї. Ідея функції може бути використана і в геометрії.































Ідея

функціональної залежності від давнини до сучасності.









Ідея функціональної залежності була висунута ще в давнину. Її зміст можна знайти вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами,у перших формулах для знаходження площі і об’єму фігур. Так, вавилонські вчені (4-5 тис. років тому), нехай несвідомо, встановили, що площа кола є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S =hello_html_m62dbdf8a.gif. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків та індійців.

Починаючи з 17 століття, у зв'язку з проникненням в математику ідеї змінних, поняття функції застосовується явно і цілком свідомо. Шлях до появи поняття функції заклали французькі вчені Франсуа Вієт і Рене Декарт, вони розробили єдину буквену математичну символіку, яка незабаром отримала загальне визнання, в математику прийшла ідея зміннної. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта і Ферма в геометричних роботах з'являється чітке уявлення змінної величини і прямокутної системи координат. У своїй "Геометрії» в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміни ординати точки в залежності від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних.

У 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється з часом (називав «флюент»). У «Геометрії» Декарта і роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було пов'язане або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. Саме слово «функція» (від латинського functio - виконання) вперше було вжито німецьким математиком Лейбніцем в 1673г. Починаючи з 1698 року, Лейбніц ввів також терміни «змінна» і «константа».

У 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншою. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Йоганн Бернуллі, який у 1718 році визначив функцію наступним чином: «функцією змінної величини називають кількість, утворених яким завгодно способом з цієї змінної величин і постійних». Для позначення довільній функції від x Бернуллі застосував знак (x), називаючи характеристикою функції .

Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Ейлер: «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений будь-яким чином з цієї кількості і чисел або постійних кількостей". Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер, Лагранж, Фур'є та інші видатні математики .

Нові кроки у розвитку природознавства і математики викликали і подальше узагальнення поняття функції. У 1855 році Н.І. Лобачевський, розвиваючи вищезазначене ейлеровське визначення функції в 1755р., писав: «Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано і аналітичним виразом або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і обирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомою. Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому сенсі, щоб числа, одні з іншими в зв'язку, приймати як би даними разом ».

Сучасне визначення функції, вільне від згадки про аналітичне завдане, звичайно приписуване німецькому математику П.Л. Діріхле, неодноразово пропонувалося і до нього. У 1837 році Діріхле так сформулював загальне визначення поняття функції: «y є функція змінної x (на відрізку axb ), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає цілком певне значення y, причому байдуже, яким чином встановлено цю відповідність - аналітичною формулою , графіком, таблицею або навіть просто словами ».

Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана «функція Діріхле.

У другій половині 19 століття після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності, була включена й ідея безлічі. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна «функція» у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувався на загальному визначенні функції Діріхле, яке стало класичним.

У загальному вигляді поняття узагальненої функції було введено французом Лораном Шварцем. У 1936 році 28-річний радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає і дельта - функцію, і застосував створену теорію до розв'язання ряду задач математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні та послідовники Шварца - І.М. Гельфант, Г.Є. Шилов та ін.

Поняття функції часто зустрічається в шкільному курсі математики і добре знайоме учням. Але при написанні зовнішньо незалежного оцінювання учні допускають багато помилок при використанні цього поняття. Пояснюється це різними причинами, але в першу чергу тим, що слово «функція» використовується в математиці в кількох сенсах, а в шкільних підручниках ця обставина не роз'яснена.



У результаті вивчення функціональної лінії в шкільному курсі математики учні повинні:



- Розуміти, що функція - це математична модель, що дозволяє описувати й вивчати різноманітні залежності між реальними величинами, що конкретні типи функцій (пряма і зворотна пропорційності, лінійна, квадратична,степенева, показникова,логарифмічна, тригонометрична функції ) описують велику різноманітність реальних залежностей;

- правильно вживати функціональну термінологію (значення функції, аргумент, графік функції, область визначення, зростання та ін), розуміти її в тексті, у мові вчителя, у формулюванні завдань;

- знаходити значення функцій, заданих формулою, таблицею, графіком; розв’язувати зворотну задачу;

- знаходити за графіком функції проміжки зростання та спадання функції, проміжки знакосталості , найбільше і найменше значення;

- будувати графіки лінійної функції, прямої і зворотної пропорційності, квадратичної функції ,степеневої, показникової,логарифмічної, тригонометричної функції;

- інтерпретувати графіки реальних залежностей між величинами, відповідаючи на поставлені питання.



ІІ. Методика вивчення функції в шкільному курсі математики.

1.Різні підходи до трактування поняття функції в курсі математики середньої школи.

Підходи до вивчення поняття "функція".

Виділяють два підходи до введення визначення поняття функції:

1. Генетичний підхід.

2. Логічний підхід.

Генетичне трактування поняття функції засноване на розробці і методичному освоєнні основних рис, що увійшли в поняття функції приблизно до середини XIX століття. Найбільш суттєвими поняттями, які при цьому трактуванні входять в систему функціональних уявлень,є змінна величина, функціональна залежність змінних величин, формула (виражає одну змінну через деяку комбінацію інших змінних), правило, декартова система координат.

Генетичне розгортання функції має ряд переваг. У ньому підкреслюється «динамічний» характер поняття функціональної залежності, легко виявляється модельний аспект поняття функції щодо вивчення явищ природи. Таке трактування природно пов'язується з іншим змістом курсу алгебри, оскільки більшість функцій, виражається аналітично або за допомогою таблиць.

Генетичне трактування поняття функції містить також риси, які слід розглядати як обмежувальні. Одним із істотних обмежень є те, що змінна при такому підході завжди неявно (або навіть явно) пробігають безперервний ряд числових значень. Тому в значній мірі поняття позв’язується тільки з числовими функціями одного числового аргумента (визначеними на числових проміжках), тобто відбувається звуження обсягу поняття функції.

Логічне трактування поняття функції виходить з положення про те, що базувати навчання функціональним уявленням слід на основі методичного аналізу поняття алгебраїчної системи. Функція при такому підході виступає у вигляді відношення спеціального виду між двома множинами, що задовольняє умові функціональності. Початковим етапом вивчення поняття функції стає виведення його з поняття відносини. Підхід заснований на трактуванні поняття функції більш пізнього часу: друга половина XIX ст. - XX ст.

Логічний підхід охоплює множини різної природи. Таке визначення за структурою просте, дозволяє чітко дати деякі визначення, пов'язані з функціональною лінією, які при генетичному підході зробити нелегко (зворотна функція і так далі).

Таким чином, якщо генетичний підхід виявляється недостатнім для формулювання функції як узагальненого поняття, то логічний виявляє певну надмірність. Відзначимо, що відмінності в трактуваннях функції, виявляються з найбільшою різкістю при введенні цього поняття. У подальшому вивченні функціональної лінії відмінності поступово стираються, оскільки вивчається в курсах алгебри і початків аналізу не саме поняття функції, а в основному конкретно задані функції і класи функцій, їх різноманітні додатки в задачах.





2.Основні напрямки введення поняття функції в шкільному курсі математики.



У сучасному шкільному курсі математики провідним підходом вважається генетичний з додаванням елементів логічного. Формування понять і уявлень, методів і прийомів у складі функціональної лінії в системі навчання будується так, щоб увага учнів зосереджувалась на:

1) виділені і досить чіткому розмежуванні уявлень, пов'язаних з функцією;

2) встановленні їх взаємодії при розгортанні навчального матеріалу.

Виділено системи компонентів і встановлено зв'язок між ними. У систему входять такі компоненти:

1) уявлення про функціональну залежність змінних величин в реальних процесах та математиці;

2) уявлення про функції як про відповідність;

3) побудова і використання графіків функцій, використання графіків;

4) обчислення значень функцій, визначених різними способами;

Введення поняття ведеться за трьома основними напрямками:

1) упорядкування основних уявлень про функції; розгортання системи понять, характерних для функціональних ліній (способи завдання і загальні властивості функцій, графічне тлумачення області визначення, області значення, зростання і т. д. на основі методу координат );

2) глибоке вивчення окремих функцій та їх класів;

3) розширення галузі застосування алгебри за рахунок включення до неї ідеї функції і розгалуженої системи дій з функцією.

Перший напрямок з'являється в алгебрі раніше інших. Основний акцент - засвоєння учнями однозначності відповідності аргументу і функції. З різноманітних способів завдання функції найчастіше використовується засіб побудови функції формулою, інші способи завдання - підлеглі. Зіставлення різних способів завдання викликане практичною потребою і є важливим для засвоєння всього різноманіття поняття функції.

Використання переведення завдання функції з однієї форми подання в іншу - необхідний методичний прийом при вивченні поняття функції. Реалізація - система завдань, в яких представлені всі випадки такого переведення. Наприклад, при відпрацюванні форми подання можна розглянути задачі:

1. Зобразити графік функції у = 4х +1 на hello_html_48323b4c.gif;

2. Перевірити, на скільки точна таблиця квадратів чисел, взявши кілька значень для аргументу провівши розрахунок: х = 1.35; 2.44; 9,4; 7; 6,25;

3. По заданих точках побудувати графік залежності.

У першому завданні побудова йде по точках, тому що спочатку учні не знають виду графіка лінійної функції. Спосіб побудови графіка функції по точках ілюструє завдання три, друге завдання ілюструє зв'язок функціональних уявлень з числовою системою. Другий тип завдань - оптимізація представлення функції без зміни засобів уявлень. Типові завдання: спростити формулу, задану функцію. Мета таких завдань - показати, що одна і та ж функція може визначатися різними формулами.

Зв'язок функціональної лінії з числовою системою при введенні поняття функції здійснюється при обчисленні її значення за формулою або словесному опису. Учні повинні розуміти, що якщо про деяку функцію відомо, що вона визначена на множині, то це означає, що для кожного аргумента можна знайти відповідне значення.



3. Методика формування понять загальних властивостей функцій.



У шкільній математиці функції утворюють класи, що мають спільність аналітичного способу завдання, подібні особливості графіків,галузей застосування. У курсі алгебри відбувається вживлення основних понять функціональної лінії. Кожна функція представлена у вигляді об'єкта, і її освоєння відбувається в порівнянні рис, специфічних для неї.

Переходячи до вивчення класу функцій (наприклад, лінійних), необхідно досліджувати дану функцію як член класу і однозначно вивчати властивості всього класу на прикладі типової функції.



Зв'язки всередині функціональної лінії при вивченні функцій:

1). Індивідуально-задана функція

  • Загальне поняття функції

  • Дана функція

  • Характерні прийоми вивчення і дослідження даної функції

2). Функція, що входить у клас

  • Загальне поняття функції

  • Дана функція

  • Загальні властивості класу функцій

  • Характерні прийоми вивчення і дослідження функцій даного

класу

  • Приклади типових функцій даного класу.

Методична схема введення поняття функції.

1. Поняття функції вводиться конкретно - індуктивним способом.

2. На підставі конкретної формули встановлюються характеристичні властивості загального поняття функції: області визначення, значення, залежність: кожномуhello_html_17477579.gif - єдине значенняhello_html_2a9180af.gif .

3. Формулюються визначення функції, повідомляється вчителем область визначення і область значення.

4. Іллюстрування сказаного малюнком.

5. Наведення контр. прикладу поняття функції: hello_html_70aa60a8.gif ; область визначення hello_html_m27df9ca.gif; область значеньhello_html_ae4c972.gif .

6. Розгляд вправ.

7. Закріплення формулювання поняття функції.

За цією ж схемою можна вивчати й інші загальні функціональні властивості: парність, монотонність, періодичність і т.д.



4 Методична схема вивчення функцій. Вивчення функцій у класі функцій



Методичні схема вивчення функції.

1. Розглянути задачу, за допомогою якої мотивується вивчення нової функції.

2. На основі математизації емпіричного матеріалу сформулювати визначення функції (повідомити формулу).

3. Скласти таблицю значень функції і побудувати "по точках" її графік.

4. Провести дослідження основних властивостей функції (переважно за графіком)

5. Розглянути завдання і вправи на застосування вивчених властивостей функції.

Особливістю схеми-дослідження функції є наочно-геометричний підхід, аналітичне дослідження має обмежений характер. Схема застосована у вивченні лінійної, квадратичної, степеневої та інших функцій, з якими учні знайомляться в курсі алгебри.

Вивчення функцій у класі функцій.

Клас лінійних функцій.

Типовий для математики клас функцій - лінійні. Перше уявлення пов'язується з рівномірним прямолінійним рухом або з побудовою графіка деякої лінійної функції. Розглядаючи друге джерело, можна переконатися в тому, що графік окремо взятої лінійної функції не може привести до формулювання уявлень про основні властивості графіків усіх лінійних функцій.

Перший спосіб:

  • використання загущення точок на графіку.

  • нанесення декількох точок;

спостереження - всі побудовані точки розташовані на одній прямій;

  • перевірка - беремо довільне значення аргументу і обчислюємо по

ньому значення функції;

  • наносимо точку на координатну площину - вона належить побудованої прямій. Такий прийом призведе до розуміння того, що графік будь-якої лінійної функції - пряма (виділення одного з властивостей лінійної функції), на його проведення необхідно дуже багато часу і загальні властивості формулюються на ізольованих прикладах.

Другий спосіб: по двох точках. Цей спосіб передбачає знання відповідних властивостей графіків лінійних функцій, виявлення нових властивостей не відбувається.

При навчанні застосовується послідовна схема цих способів.

Для вивчення класу лінійних функцій у сукупності його загальних властивостей перед учнями ставиться пізнавальне завдання дослідити клас функцій hello_html_4bff428.gifв залежності від параметрів, тут краще за все розглянути декілька функцій з різними параметрами.



Наприклад: Побудуйте графіки функцій у = 0.5х; у = 0.5х + 0.5;

у = 1.5х; у = 1.5х +0.5.

Далі необхідно їх порівняти, звертаючи увагу на особливості, пов'язані з числовими значенням коефіцієнтів

Наприклад, вивчаючи геометричний сенс коефіцієнтів при змінній , звертаємо увагу учнів на кути нахилів до осі hello_html_ma3e240e.gif, чим менший цей коефіцієнт, тим менший кут нахилу утворює пряма з віссю. Після цього формулюється висновок про залежність розглянутого кута від коефіцієнта і вводиться поняття "кутовий коефіцієнт".

Вправи на закріплення: на одному і тому ж кресленні зображені графіки функцій hello_html_m6fd46b74.gif, у = 3х +2.

Побудувати на цьому кресленні графіки функцій у = 3х-1;hello_html_m6fd46b74.gif; пояснити побудову.

Клас квадратичних функцій.

Вивчення класу квадратичних функцій засноване на перетворенні до виду: у = a(x-b)hello_html_6bfef12c.gif+с,

використанні геометричних перетвореньдля побудови графіка довільної квадратичної функції з параболи стандартного вигляду - графіка функції hello_html_57a71dff.gif. Квадратична функція вводиться і вивчається в тісному зв'язку з квадратичними рівняннями і нерівностями.

Перша функція цього класу hello_html_472ad872.gif.Вона не монотонна на області визначення. Якщо учням запропонувати знайти область значення функції наhello_html_2900034d.gif, то в більшості випадків вони записуютьhello_html_m66c56902.gif. Усунення помилки - побудова графіка.

Характер зміни значень функції нерівномірний, що можна показати при побудові графіків:

а) у великому масштабі наhello_html_15d79c1e.gif,

б) в дрібному масштабі наhello_html_677029fd.gif. Важливо відзначити властивість параболи - симетричність відносно осі ординат. Застосування функції hello_html_4785222b.gif- введення ірраціонального числа - графічне рішення рівнянняhello_html_m64642a30.gif.

Клас квадратичних функцій починаться з вивчення функціїhello_html_4dc7f3fe.gif і з'ясування сенсу коефіцієнта а (геометричного). Потім вводяться функції видуhello_html_m7f935687.gif і з'ясовується зміст другого коефіцієнта (наприклад, як перенесення по осі у).

Наприклад: заданий графік функціїhello_html_2373ad36.gif. Побудувати на цьому малюнку графік функціїhello_html_4c0e7a90.gif.

Досить порівняти значення цих функцій при одних і тих же значеннях аргумента. Надалі цю властивість можна узагальнити: щоб побудувати графік функції hello_html_m6148d8c8.gifза відомим графіком функціїhello_html_m7f428566.gif, можна провести паралельне перенесення другого графіка на hello_html_4aed915c.gifодиниць вздовж осі ординат. Отже, перший коефіцієнт приhello_html_5429a99b.gif впливає на напрям гілок, вільний член - означає паралельний перенос, з'ясування значення коефіцієнта при х утруднено, тому використовують обхідний маневр: розглядають: hello_html_m1f4a42c4.gif.

При вивченні функцій можна використовувати системи завдань, що мають мету ; дати уявлення про ті чи інші риси даної функції або цілого числа без вказівки точного значення величин, пов'язаних з даним питанням.

Приклад. На малюнку зображені графіки функцій hello_html_2373ad36.gifіhello_html_m2da70359.gif. Як щодо них пройде графік функціїhello_html_4dfc2721.gif?

Це завдання не передбачає точної побудови шуканого графіка: достатньо лише вказівка на область, де він розташований або його ескізна побудова.

Приклад. На малюнку зображено графік функції hello_html_5f44cf03.gifhello_html_6cef8fe6.gif. Користуючись цим кресленням, зобразити від руки графік функціїhello_html_462a41f6.gif. Перевірити правильність зробленого ескізу: обчислити значення функціїhello_html_2373ad36.gif при hello_html_m3b1ce613.gifі відзначити ці точки графіка. Яким перетворенням можна перенести графік функції hello_html_m44e0519f.gifу графік функціїhello_html_2373ad36.gif? Мета завдання - узгодити зоровий образ графіка, його геометричні властивості і форму.

Приклад: у таблиці наведені значення величин, що рівномірно змінюються з часом. Проте за рахунок неминучих похибок у вимірах немає можливості суворо витримувати заданий режим, помітні невеликі відхилення від рівномірності. Вказати закон зміни швидкості в заданому проміжку і відхилення від нього, що є в таблиці.

t, мин

2

3

4

5

6

hello_html_7d96d48e.gif,км/ч

20

30,1

39,8

50

60,1



Мета - пропедевтика систематичної роботи над наближеними обчисленнями, формування повноцінних уявлень про додатки математики.

Корисно розглянути поняття частково – кускових функцій, тобто функцій, заданих різними формулами на різних проміжках області визначення. У багатьох випадках саме кускові функції є математичними моделями реальних ситуацій. Використання таких функцій сприяє подоланню звичайних помилок учнів, які ототожнюють функцію тільки з її аналітичним завданням у вигляді деякої формули. Використання кускових функцій готує учнів до засвоєння поняття безперервності. Їх використання дає можливість вчителю зробити систему вправ більш різноманітною та творчю. Важливий і виховний момент - виховання вміння прийняти рішення, залежне від правильного орієнтування в умовах; це й своєрідна естетика - оцінка краси графіків кускових функцій, запропонованих різними учнями

Вивчення функції в класі елементарних функцій.

Елементарні функції: ціла, раціональна, степенева, показникова, логарифмічна, тригонометричні та їх комбінації. У класі елементарних функцій є дві групи операцій:

1) арифметичні;

2) операції композиції функцій.

Приклад:

a) Дано многочлениhello_html_m50a4780f.gif таhello_html_5b30101b.gif. Обчислити суму цих многочленів при x = 0,5

б) Раціональний вираз hello_html_50bb825.gifможна представити у виглядіhello_html_m618af284.gif.

Користуючись таким поданням, знайти різницю функцій hello_html_m6e0d1106.gif і

hello_html_276692eb.gifв точках hello_html_m3687597a.gif.

Доцільно при вивченні графіків функцій розглянути графічну ілюстрацію функцій видуhello_html_5acf38f6.gif;hello_html_m5f6d2550.gifhello_html_7f6db1aa.gifвикористовуючи побудови по точках і враховуючи найпростіші особливості тих функцій, які складають формулу даної функції.

Графік суми і різниці двох функцій.

Найбільш загальний метод побудови графіків суми або різниці двох функцій полягає в тому, що попередньо будуються (штриховими лініями) два графіки для обох функцій, що входять в суму або різницю, потім складаються або віднімаються ординати цих кривих у характерних точках (перетин кривих з осями координат, максимуми і мінімуми, точках перегину кривих і т.д.). За отриманими точкам будується шуканий графік і проводиться перевірка кількома контрольними точками.

Якщо графік сумарної функції має екстремум (максимум чи мінімум), то знаходження точки екстремуму засобами елементарної математики можливо тільки при наявності яких-небудь спеціальних властивостей заданої функції.

Спрощують прийоми побудови графіків суми і різниці функцій:

а) якщо дана сума функцій, то будується графік однією з них, більш простий (наприклад, лінійної функції); потім до неї прилаштовується графік другої функції, ординати яких відкладаються від відповідних точок першого графіка.

б) якщо задана різниця функцій, то будується (штриховою лінією) графік зменшуваної функції і від неї відкладаються ординати від’ємної функції, взятої зі зворотним знаком. Іноді зручно викреслити (штриховою лінією) графік від’ємної функції із зворотним знаком і ординати обох кривих скласти.

в) сума або різниця двох функцій перетворюється в одну функцію, якщо це можливо і якщо викреслювання графіка такої функції простіше.

г) побудова графіка алгебраїчної суми функцій спрощується, якщо використовувати властивості парності, непарності, періодичності і т.д.

у=hello_html_m4811c7fe.gif- cos x

Будуємо графіки двох функцій (пунктирними лініями): у1=hello_html_m4811c7fe.gif и у2=-соsх. Другий графік побудовано тільки для х≥0, тобто в межах області існування функції у1=hello_html_m4811c7fe.gif. Графік заданої функції будується в тих-же межах додаванням: y1+у2.

hello_html_27dddb95.png

Графіки добутку і частки функцій

Добуток та частка двох функцій двох функцій піддаються загальним дослідження, на підставі яких і може бути побудований графік.

Часто побудова графіка спрощується, якщо попередньо побудувати допоміжні графіки функцій, що входять у добуток та частку.

Ці прийоми побудови графіків добутку і частки функцій ілюструються таким прикладом.





hello_html_e16f102.png



Будуються пунктирними лініями допоміжні графіки функцій , які входять у добуток: у1=х; y2=sinx.

Добуток цих графіків спрощується тому, що функція y2=sinx періодично приймає значения 0 и 1. У першому випадку шуканий график y = x sinx перетинає вісь абсцисс, а в другомудотикається допоміжної прямої у1=х.

Оскільки функція y2=sinx періодично приймає значення
(-1), то
побудова полегшується,якщо побудувати щє одну допоміжну пряму: у3=-х .

Для всіх х=2hello_html_4b7e15d4.gif заданий графік дотикається цієї допоміжної прямої, тому, що для цих значень х sinx=-1.

Так, як задана функція y=xsinx - парна [(-x)sin(-х)==(-х)(-sinx)=xsinx], то побудова проводиться лише для правої частини графіка; ліва частина будується симетрично до правої.

Вивчення операцій другої групи вводяться за допомогою явного визначення. Кожна з цих операцій використовується у вивченні теоретичного матеріалу: композиція функцій - складна функція.

Поняття оберненої функції можна віднести до числа найважливіших загальних понять у складі функціональної лінії. При вивченні з'ясовується залежність її монотонності від монотонності її вихідної функції.

Поняття безперервності використовується при побудові графіків і сприяє формуванню поняття безперервності яке використовується при вивченні квадратного кореня, при визначенні показовою функції, при розгляді графічного методу розв’язання рівнянь і нерівностей.

При вивченні функцій в X-XI класах більша увага надається аналітичному дослідженню, і схема вивчення функції виглядає так:

1) розглянути задачу, що підводить до даної;

2) сформулювати визначення функції;

3) провести аналітичне дослідження властивостей функції;

4) побудувати (на основі даних аналітичного дослідження) графік функції; з метою більш точного його побудови скласти таблицю "характерних" значень функції та побудувати відповідні графіки;

5) розглянути завдання і вправи на застосування вивчених властивостей функції.

Знайомлячи учнів з властивостями функції, слід пам'ятати, що не всі з них є досить наочними, тому не завжди графік функції може підказати їх учневі. Наприклад, подивіться на малюнок. Графіки яких функцій тут зображені?

Графіки: hello_html_m730a5a0b.gifі hello_html_3d3d2b37.gif сума функційhello_html_2dc63b4e.gif.

Найбільш характерні випадки спрацьовування "наочності графіків":

C:\Documents and Settings\Мамочка\Рабочий стол\Робота на виставку\Копия мадуль.bmp

1. корені рівнянняhello_html_m65e05329.gif

2. рішенняhello_html_7cb5e5c.gif

3. hello_html_m45123e03.gif- графік hello_html_3b10a100.gifвище hello_html_5208a14.gifзростаюча функція;

4. парність функції;

5. графіки взаємообернених функцій симетричні відносно прямоїhello_html_m730a5a0b.gif;hello_html_m49a7235d.gif.

Навчання функціональним уявленням слід будувати на основі методичного аналізу поняття функції в пошуках поняття алгебраїчної системи. Тут функція - відношення спеціального виду між двома множинами, яке задовольняє умові функціональності. Початковий етап вивчення - поняття відносини. Реалізація логічного підходу викликає необхідність ілюструвати поняття функції за допомогою різноманітних засобів: формули, таблиці, завдання функції стрілками, перерахуванням пар, використанням не тільки числового, але і геометричного матеріалу (тепер і геометричне перетворення можна розглядати як функцію). Однак напрацьовані таким чином загальні поняття надалі розв'язуються тільки з числовими функціями одного числового аргумента, тому при такому підході спостерігається певна надмірність у формуванні функції як узагальненого поняття



5. Розглядання задач і вправ на застосування вивчених властивостей функції.

Функціональна лінія шкільного курсу математики - одна з провідних, яка визначає стиль вивчення тем у курсах алгебри і початків аналізу. Її особливість полягає в представленні можливості встановлення різноманітних зв'язків у навчанні.

У сучасному шкільному курсі математики провідним підходом вважається генетичний з додаванням елементів логічного. Формування понять і уявлень, методів і прийомів у складі функціональної лінії в системі навчання будується так, щоб увага учнів зосереджувалась на:

1) виділених і досить чітко розмежованих уявленнях, пов'язаних з функцією;

2) встановленні їх взаємодії при розгортанні навчального матеріалу.

Завдання. При яких значеннях параметра а рівнянняhello_html_7f81fb8c.gif має рівно чотири корені?



hello_html_c04e5e0.png



Будуємо графіки функційhello_html_7c341f41.gif іhello_html_275161eb.gif в одній системі координат, сприймаючи рівність як рівність значень вибраних функцій.

hello_html_m1212ae10.gif

Побудуємо графікhello_html_275161eb.gif , чотири точки перетину отримуємо дляhello_html_3df60b21.gif. При hello_html_7ed13fe5.gif (координати точки максимуму (1,2)) отримуємо верхнє обмеження. Другий період значень для: hello_html_4d722101.gifвід точки мінімуму функції, тобто hello_html_4ccd81ab.gif. Основа розв’язання - використання функціональних та графічному вигляді, а саме рішення - перехід від дослідження даного в рівнянні до дослідження функції. При побудові графіка цієї функції hello_html_6c2f5cdb.gifза допомогою елементарних перетворень графіків найбільш важким є оцінювання значення виразуhello_html_77fbca66.gif. Як підказкою можна скористатися нерівністю: hello_html_7fe2bbdd.gif

Розглянутий метод називається функціонально-графічним моделюванням. Освоєнню його і з формального, і з прикладного боку значною мірою підпорядковане вивчення всієї функціональної лінії курсів алгебри та початку аналізу.



При вивченні теми «Функції» важливо здійснювати міжпредметні зв’язки .

При виконанні вправ ЗНО учні розгублюються на нестандартних завданнях. Тому таких завдань потрібно підбирати більше .



  • Задача 1.

Турист протягом 30 хв дійшов від табору до озера, розташованого в 2 км від табору, і, пробувши там 40 хв, повернувся назад. На всю прогулянку він витратив півтори години. На якому з графіків зображена описана ситуація? (На вертикальній осі зазначено відстань туриста від табору.)

hello_html_221d6d01.jpg


Цю вправу потрібно обов'язково розібрати з учнями, бо саме при розв’язанні таких вправ у учнів формується вміння зіставляти функцію і її графік.


  • Задача 2.

Олег і Петро змагалися на дистанції 200 м в 50-метровому басейні.

Графіки їх запливів показані на малюнку.


hello_html_b899577.jpg







По горизонтальній осі відкладено час, а по вертикальній - відповідну відстань плавця від старту.

1)Використовуючи графіки, дайте відповідь на питання:

  • а) Скільки часу витратив кожен спортсмен на перші 50 м, на всю дистанцію?

  • б) Хто виграв змагання? На скільки секунд він обігнав суперника?

  • в) На скільки метрів відстав програв від переможця до моменту фінішу?


2) Прокоментуйте докладно весь хід змагань.

У цій вправі можна порадити учням перед відповіддю на поставлені питання розглянути графіки.


Доцільно запитати їх, що позначає кожна ланка зображених на малюнку ламаних (відрізок ламаної описує рух спортсмена на 50-метрівці).


Можна запропонувати акуратно олівцем позначити вершини ламаних літерами, що допоможе не заплутатися при відповіді на запитання.


Додатково, наприклад, можна запитати, за скільки метрів від фінішу Петро обігнав Олега; за скільки секунд кожен спортсмен проплив половину дистанції; на скільки секунд швидше Олег проплив перше 50-метрівку та ін .


Корисно запропонувати учням самим придумати питання за графіком.

Виконання завдання можна обіграти у формі змагання спортивних коментаторів.


Використовуючи графіки, побудуйте в одній системі координат графіки руху цих самих спортсменів, відклавши по горизонтальній осі час руху, а по вертикальній – відстань, що проплив спортсмен з початку запливу.

1)Визначте за графіком:

  • а) середню швидкість руху кожного спортсмена на першій 100-метрівці;

  • б) середню швидкість руху кожного спортсмена на всій дистанції.


2) Поясніть, що, з точки зору змісту завдань, означають точки перетину графіків на вашому малюнку.


Тут потрібно порадити учням, що, перш ніж будувати новий графік, доцільно, використовуючи графік , скласти таблицю значень нової залежності.


По горизонтальной оси відкладено час, а по вертикальной –відкладена відстань пловця від старту.


  • Задача 3

На малюнку зображені графіки функцій hello_html_m64c193c1.gif, hello_html_m71635b2e.gif, hello_html_m1120e66e.gif і hello_html_m1af6c19f.gif. Для кожного графіка вкажіть відповідну формулу.hello_html_m17309009.jpg


Щоб співвіднести графік з відповідною йому функцією, потрібно використовувати різні ознаки. Так, графік I цілком розташований нижче осі х. Це означає, що при всіх значеннях аргумента функція приймає негативні значення. Значить, цим графіком може відповідати одна з формул hello_html_m71635b2e.gifабоhello_html_m1af6c19f.gif (вирази, що стоять у правих частинах, набувають від'ємних значень при всіх значеннях х). Щоб вибрати з них потрібну, обчислимо ординату точки перетину відповідного графіка з віссю у. Отримаємо, що графік функції hello_html_m27a95b4.gifпроходить через точку (0; -1). Значить, графіку I відповідає саме ця формула. Графіку II відповідає формулаhello_html_m227f33e3.gif, графіку III — формула hello_html_m1120e66e.gif и графіку IV – формула, hello_html_m64c193c1.gif.

У результаті виконання даних вправ школярі вчаться описувати графічну ситуацію по-різному, використовуючи геометричний, алгебраїчний, функціональний мови.

Наприклад: «функція у = f (x) приймає значення, рівне 0 при х = -1 і х = 2», «графік функції у = f (x) перетинає вісь х в точках з абсциссами, рівними -1 і 2» , «рівняння f (x) = 0 має корені -1 і 2». Тобто, учні повинні розуміти еквівалентність відповідних формулювань і вільно переходити від одного з них до іншого.


  • Задача 4


Графік якої функції зображено на малюнку?




hello_html_1d02e9c5.gif,

hello_html_m1bc233d0.gifhello_html_d49d34b.jpg

hello_html_3e33ecbd.gif

hello_html_m647f560d.gif





  • Задача 5


Знайдіть, де на малюнку графік функціїhello_html_m25127110.gif,hello_html_1f66ca0b.gif. Запишіть на символічній мові затвердження та перевірте, чи правильне, чи воно:

а) Чи правда, що g (2)> 0, g (-1) <0, g (3,5)> 0;

б) укажіть декілька значень х., при яких g(х) > 0, g(х) < 0.hello_html_d0c88c4.jpg






Зазначення. Учні повинні сформулювати загальне твердження: якщо точка графіка розташована вище осі х, то g (x)> 0; якщо точка лежить нижче осі х, то g (x) <0.


  • Задача 6



Знайдіть нулі функції hello_html_2755225f.gif, або покажіть, що їх немає:

а) hello_html_4cff602e.gif;

б) hello_html_m5903b02c.gif;

в) hello_html_4e232eb8.gif;

г) hello_html_339131ab.gif.


  • Задача 7

(Задача-дослід.)

1) Побудуйте параболуhello_html_m193640a8.gif.

2) У цій же системі координат проведіть пряму d, рівняння якої у = -1, і відзначте точку F (0; 1).

3) Відзначте на параболі кілька точок з цілими координатами і для кожної з них обчисліть відстань до точки F і до прямої d.

4) Зробіть висновок з отриманих результатів.

5) Доведіть, що всі точки параболиhello_html_m193640a8.gif рівновіддалені від точки F і прямої d.

Зазначення. Треба взяти довільну точку параболи (х; hello_html_m193640a8.gif) і скласти вирази для знаходження відстаней від цієї точки до точки F і прямої d.



  • Задача 8



Графік функції y = f (x) перетинає осі координат в точках А, В і С. Знайдіть невідому координату кожної з цих точок, якщо:



а) hello_html_m13f7a33a.gif; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);

б) hello_html_m3e098619.gif; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);

в) hello_html_1b4b6e49.gif; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);

г) hello_html_m7ada5741.gif; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);

Зазначення.

Не слід обмежуватися формальними обчисленнями, корисного буде геометрична інтерпретація. Учні повинні зрозуміти, що буквою А позначена точка перетину графіка з віссю у, а буквами В і С - точки перетину з віссю х. В якості додаткового завдання можна запропонувати показати положення цих точок в координатній площині і схематично зобразити параболу (у випадках а), в) і г)).

  • Задача-дослід.

Дослідіть, як впливає на графік зміна одного з коефіцієнтів a, b і с в рівнянні параболи. Для цього:

1) в одній системі координат накресліть параболи hello_html_6a20d97.gifдля с = 0, 1, 2, 4 і з = -1; -2; -4;

2) в одній системі координат накресліть параболиhello_html_m39443e4c.gif для b = 0, 1, 4, 5 та й b = -1; -4; -5;

3) в одній системі координат накресліть параболи hello_html_m446793ac.gifдля

а =hello_html_30ff4a65.gif; 1, 2, 3.

Вказівка: Завдання цікаве, але досить трудомістке. Його можна розбити на три самостійні завдання і запропонувати їх різним учням. Результати можна буде обговорити в групах, до яких увійдуть учні, що виконували одне і те ж завдання, а потім, після уточнення висновків, познайомити з ними інших.

Введення поняття лінійної функції можна мотивувати розглядом кількох задач (бажано, щоб серед цих задач містилися такі, в яких коефіцієнти k і b негативні або дорівнювати нулю).

  • Задача 1 : Якщо тіло рухається з постійним прискоренням 0,2 см/сек2, а його початкова швидкість дорівнювала 4 м / сек, то залежність швидкості руху v (у см / сек) від часу руху t (в сек) виражається формулою v = 4 + 0,2 t.


  • Задача 2: Учень купив зошити по 10 р.. за штуку і ручку за 5 р. Задайте формулою залежність вартості покупки від числа зошитів.

Учні повинні отримати формулу у = 10х + 5.

  • Задача 3 : У повному баку легкового автомобіля 30 л. бензину. На кожний кілометр шляху в середньому витрачається 0,1 л. Кількість літрів бензину r, яка залишиться в баку після s км шляху, виражається формулоюhello_html_m3bfefbdb.gif.


  • Задача 4: Поїзд рухається з Москви до Санкт-Петербург зі швидкістю 120 км / ч. Який шлях пройде поїзд за t годин?

Учні повинні отримати формулу у = 120t.

  • Задача 5

Встановіть, чи задає формула лінійну функцію, і назвіть, чому дорівнюють коефіцієнти k і b:

    1. hello_html_m1fbd44d6.gif;

    2. hello_html_124fd37a.gif;

    3. hello_html_m47fc0cd2.gif;

    4. hello_html_6de68277.gif;

    5. hello_html_43c2ca7c.gif;

    6. hello_html_m7390f03b.gif;

    7. hello_html_m59a3a8d4.gif;

    8. hello_html_m101c5450.gif;

    9. hello_html_m1003c0f8.gif;

    10. hello_html_m25a3c072.gif;

    11. hello_html_m346f20d8.gif;

    12. hello_html_5b17a354.gif;

    13. hello_html_568a4164.gif.

    14. hello_html_565316cc.gif




При навчанні школярів даної теми дуже добре користуватись сучасними комп’ютерними засобами навчання Grand, Graphics 00, GrWn, комп’ютерними програмами «Координатна площина», «Майстер функцій», як при навчанні дітей у комп’ютерному класі, так і для самостійної роботи вдома,зацікавлення учнів проектною роботою.


hello_html_m2427cfbf.png

ІV. Перевірка знань учнів за допомогою тестових технологій.

Запровадження зовнішнього незалежного тестування навчальних досягнень випускників шкіл викликає потребу застосування в навчально-виховному процесі тестових технологій,можливості використання яких сприяють підвищенню самостійної діяльності учнів. ЗНО попередніх років показало, що випускникам і абітурієнтам не завжди легко подолати психологічний бар’єр у складанні тестів. Для його подолання необхідно мати навички роботи з будь-якими тестовими завданнями.



  • 1.Тестові завдання мають 4 варіанти відповідей, з яких тільки одна є правильною.

Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

а) Виберіть непарну функцію.



А.hello_html_46befd5d.gif

Б.hello_html_4d88bd62.gif

В. hello_html_m25d717c1.gif

Г. hello_html_m48712d8f.gif



б) Виберіть зростаючу функцію.



А.hello_html_16037356.gif

Б.hello_html_184a9056.gif

В. hello_html_7ff848f4.gif

Г. hello_html_m5d8ebdc5.gif



в) Установіть, які з функцій є оберненими.



А.hello_html_793f25ac.gif, g(x)=-hello_html_27b97074.gif ;

Б.hello_html_374a2b01.gif , g(x)=hello_html_m14fbc82a.gif ;

hello_html_11852162.gifВ.hello_html_m74157f11.gif, g(x)=hello_html_7617a19a.gif ;

Г.hello_html_5bc353c3.gif, g(x)=hello_html_m2b64cac8.gif.

  • 2.Тестові завдання мають 5 варіантів відповідей, з яких тільки одна є правильною.

Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

  1. Графік якої функції зображено на малюнку?







C:\Documents and Settings\Мамочка\Рабочий стол\Робота на виставку\10.bmp





А.hello_html_5ebaf9a4.gif

Г. hello_html_m39dc9978.gif

Б.hello_html_7ae92e87.gif

Д. hello_html_5ebaf9a4.gif

В. hello_html_dd701fa.gif








Б). За графіком функції визначте знаки коефіцієнтів a,b,c.



C:\Documents and Settings\Мамочка\Рабочий стол\Робота на виставку\uhfa.bmp



А.hello_html_59b7ea8f.gif


Г.hello_html_1772bb8a.gif

Б.hello_html_43a15068.gif


Д. hello_html_5abf1c2b.gif

В. hello_html_d64016d.gif





  • 3.Тестові завдання мають варіанти відповідей, в яких можуть бути один,два ,три або більше правильних відповідей. Позначте всі правильні відповіді:

Функція (лінійна, квадратична, обернена пропорційність)

1. y=3

2. y=5x

3. hello_html_m6b1fb033.gif

4. y=hello_html_m3f1d98e3.gif

5. g(x)=hello_html_m2b64cac8.gif.

6.hello_html_m4f8134cc.gif

7.hello_html_460ffe7a.gif

8. g(x)=hello_html_m14fbc82a.gif

  • 4.Тестові завдання на встановлення правильної послідовності.

А) Знаходження критичних точок функції.

hello_html_3a5c5eaf.gifзробити висновок ;

hello_html_3a5c5eaf.gifЗнайти похідну функції;

hello_html_3a5c5eaf.gifЗнайти точки, де похідна не існує,дорівнює нулю;

hello_html_3a5c5eaf.gifперевірити, чи будуть дані точки внутрішніми точками області визначення;

hello_html_3a5c5eaf.gifзнайти область визначення функції;

Б) Знаходження точок екстремуму;

hello_html_3a5c5eaf.gifзнайти область визначення функції

hello_html_3a5c5eaf.gifвизначити знак похідної на кожному з інтервалів,на які критичні точки розбивають область визначення;

hello_html_3a5c5eaf.gifЗнайти критичні точки функції;

hello_html_3a5c5eaf.gifзнайти точки екстремуму;

hello_html_3a5c5eaf.gifзнайти похідну функції.



У своїй роботі я систематично користуюсь тестовими технологіями лабораторії дистанційної освіти і тестування Харківського державного педагогічного університету ім. Г. С. Сковороди. В результаті генерації 4 варіантів тестів кожен учень може отримати окремий варіант завдання. Застосування таких тестів у наш час комп’ютерних технологій стає все далі необхіднішим для об’єктивного оцінювання учнів і якісної підготовки їх до ЗНО.

Запропонований час на виконання одного варіанта - один урок. Завдання початкового рівня (1-3) оцінюються в 0,5 бала кожне, завдання середнього рівня (4-6) – в 1 бал за кожне. Завдання достатнього рівня складності (7-9) – в 2 бала кожне, завдання високого рівня (10-12) – в 3 бала кожне. Якщо одна з чотирьох букв одного завдання буде визначена помилково, то завдання оцінюється на hello_html_m7c9e2da6.gif% , якщо більше однієї букви, визнано помилкою, то все завдання оцінюється в 0 балів. Якщо учень набрав в сумі нецілу кількість балів, то результат округляється в бік збільшення; якщо учень набрав більше 12 балів, він отримує оцінку 12.



Алгебра 8 клас. Тема: Функції

1-й рівень

1. Задано функцію y = hello_html_m3050b0f5.gif. Знаючи, що вираз hello_html_1b825127.gif має зміст тільки при a 0, виберіть правильне твердження.

А. Область визначення заданої функції – всі дійсні числа.

Б. Область визначення заданої функції: x 0.

В. Область визначення заданої функції складається тільки з одного числа 0.

Г. Область визначення заданої функції: x < 0.


2. Шукають значення функції y = 3x + 2 при x = 4. Виберіть правильне твердження.

А. При x = 4 значення y = 14.

Б. Значення функції y = 3x + 2 при x = 4 можна обчислити за формулою y = 34 – 2.

В. При x = 4 значення y = 6.

Г. При x = 4 значення y = 10.


3. З’ясовують, чи належить точка М(2; 7) графіку функції y = 5x – 3. Виберіть правильне твердження.

А. Координатами точки М(2; 7) є: x = 7, y = 2.

Б. При x = 2 значення функції y = 5x – 3 дорівнює 2.

В. Точка М(2; 7) належить графіку функції y = 5x – 3, якщо при
x = 2 значення y = 7.

Г. Точка М(2; 7) належить графіку функції y = 5x – 3.

2-й рівень

4. Функція задана формулою y = hello_html_3fc1aaac.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Область визначення даної функції – всі дійсні числа.

Б. Область визначення даної функції: x 0.

В. Графік заданої функції проходить через точку з координатами
x = 1, y = 2.

Г. При x = 1 значення y = –2.


5. На рисунку зображено пряму, яка є графіком деякої лінійної функції. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. При x = 1 значення заданої функції від’ємне.

Б. Графік заданої функції перетинає вісь y в точці з ординатою y = –3.

В. Графік заданої функції перетинає вісь x в точці з абсцисою x = –3.

Г. Областю визначення даної функції є тільки додатні числа.

hello_html_5dc62abf.gif


6. Щоб графічно розв’язати рівняння hello_html_22133bad.gif = 6 – x, побудували графіки функцій y = hello_html_22133bad.gif, y = 6 – x. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Коренем заданого рівняння є абсциса точки В.

Б. Задане рівняння має тільки один корінь x = 4.

В. Коренем заданого рівняння є абсциса точки А.

Г. Коренем заданого рівняння є абсциса точки перетину графіків функцій
y = hello_html_5c230402.gifта y = 6 – x.




hello_html_be43fe6.gif

3-й рівень

7. Функція задана формулою y = –hello_html_ef3a991.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік заданої функції має вигляд:

hello_html_m69260a3f.gif

Б. При x > 0 значення заданої функції завжди додатні.

В. Графік заданої функції — гіпербола, розміщена в другій та четвертій чвертях.

Г. Область визначення даної функції — всі дійсні числа.


8. Функція задана формулою y = 4x – 8. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. При x = 0 значення y = 8.

Б. Графік заданої функції має такий вигляд:

hello_html_6f6ddc73.gif

В. При x = 2 значення y = 0.

Г. Графіком заданої функції є пряма, яка проходить через точки


з координатами (0; –8) та (2; 0).


9. Рівняння xhello_html_1a73069d.gif hello_html_m41443ff9.gif = 0 розв’язують графічно. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Коренями заданого рівняння є абсциси точок перетину графіків функцій y = xhello_html_m3053eb36.gif та y = hello_html_fdd9eac.gif.

Б. Задане рівняння можна записати так: xhello_html_m3053eb36.gif = –hello_html_fdd9eac.gif.

В. Графіки функцій y = xhello_html_m3053eb36.gif, y = hello_html_fdd9eac.gif, побудовані в одній системі координат, мають такий вигляд:

hello_html_215c2e84.gif

Г. Задане рівняння має тільки один корінь x = 2.





4-й рівень

10. Будують графік функції, заданої формулою y = hello_html_mb37f58a.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. При будь-яких значеннях x значення y може бути тільки додатним або рівним 0.

Б. Графік заданої функції має такий вигляд:

hello_html_m77e25c60.gif

В. При x –3 задану функцію можна записати так: y = x – 3.

Г. При x –3 задану функцію можна записати так: y = –x – 3.


11. Функція задана формулою y = hello_html_m4347ed83.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік заданої функції має такий вигляд:

hello_html_m246f3af3.gif

Б. Графік заданої функції має такий вигляд:

hello_html_6bb2118e.gif

В. Область визначення заданої функції складається з усіх дійсних чисел.

Г. При x 0 з означення квадратного кореня випливає, що y = x.


12. Рівняння xhello_html_1a73069d.gif = hello_html_8caf323.gif розв’язують графічно. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задане рівняння має тільки два корені.

Б. Графіки функцій y = xhello_html_m3053eb36.gif, y = hello_html_m410633c5.gif, побудовані в одній системі координат, мають такий вигляд:

hello_html_ecb133.gif

В. Коренями заданого рівняння є тільки x = –1, x = 0 та x = 1.

Г. Графік функції y = hello_html_m410633c5.gif має такий вигляд:

hello_html_5edb6c10.gif






Алгебра 9 клас.

Тема: Функції і графіки. Перетворення графіків функцій

1-й рівень

1. Задано функцію (x) = hello_html_1103a24.gif. Виберіть правильне твердження.

А. Область визначення заданої функції складається тільки з одного числа 0.

Б. Область визначення заданої функції x < 0.

В. Область визначення заданої функції всі дійсні числа.

Г. Область визначення заданої функції ³ 0.


2. Щоб знайти значення (5), де (x) = x2 – 7x, замість змінної x треба підставити значення 5. Виберіть правильне твердження.

А. (5) = 5.

Б. (5) = –10.

В. (5) = 13.

Г. (5) = 0.


3. Точка M(a; b) належить графіку функції y = (x), якщо (a) = b. Виберіть правильне твердження стосовно графіка функції (x) = x2 – 7x.

А. Графік функції (x) проходить через точку з координатами x = 0; y = –7.

Б. Графік функції (x) проходить через точку з координатами x = 1; y = 8.

В. Графік функції (x) проходить через точку з координатами x = 0; y = 7.

Г. Графік функції (x) проходить через точку з координатами x = 1; y = –6.

2-й рівень

4. Задано функцію (x) = hello_html_3dbe2a59.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Область визначення цієї функції задається умовою x 2.

Б. (0) = –hello_html_58ea50e3.gif.

В. Область визначення цієї функції — всі дійсні числа.

Г. Графік заданої функції проходить через точку M(0; –4).


5. На рисунку зображено графік деякої лінійної функції. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задана функція приймає від’ємні значення при x < –1.

Б. Область значень цієї функції y £ 0.

В. Задана функція приймає додатні значення при x > –1.

Г. Графік перетинає вісь x в точці з абсцисою x = 0.

hello_html_m2d4ca809.gif


6. На рисунку зображено графік функції y = hello_html_5cb79e.gif. Користуючись тим, що графік функції y = –(x) можна одержати з графіка функції y = (x), відобразивши його симетрично відносно осі x, вкажіть, на яких рисунках зображено графік функції y = –hello_html_5cb79e.gif.

hello_html_2c662753.gif

А. hello_html_m473a677e.gif

Б. hello_html_60a4082f.gif

В. hello_html_3b4b28ad.gif

Г. hello_html_m29fb7323.gif

3-й рівень

7. Задано функцію y = –hello_html_ma414ac.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Існують такі значення x, при яких значення заданої функції будуть додатні.

Б. Областю визначення цієї функції є проміжок (–; 2].

В. Число 0 належить до області значень даної функції.

Г. До області значень цієї функції входять тільки від’ємні числа.


8. На рисунку зображено графік функції y = (x). Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

hello_html_6fc0f84d.gif



А. Якщо x належить проміжку (–1; 2), то (x) < 0.

Б. (x) < 0, коли x належить проміжкам (–3; –1); (2; 4); (7; +).

В. Функція приймає найменше значення при x = 3.

Г. Областю визначення заданої функції є всі дійсні числа.


9. На рисунку зображено графік функції (x) = x2. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік функції y = (x) + 2 можна одержати з графіка y = (x) паралельним перенесенням вздовж осі x на +2 одиниці (тобто вправо).

Б. Графік функції y = (x + 2)2 має вигляд:
hello_html_m51cd98c9.gif

В. Графік функції y = (x + 2) можна одержати з графіка y = (x) паралельним перенесенням вздовж осі x на –2 одиниці (тобто вліво).

Г. Графік функції y = x2 + 2 має вигляд:
hello_html_f80b443.gif

hello_html_m454db8f.gif

4-й рівень

10. Задано функцію (x) = x2 – 6hello_html_m4acda7df.gif + 9. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задану функцію можна записати так: (x) = (x + 3)2 при x ³ 0.

Б. Графік заданої функції має вигляд:
hello_html_m63c51a0f.gif

В. Область визначення цієї функції: x > 0.

Г. Графік заданої функції має вигляд:
hello_html_m707b2b95.gif


11. Задано функцію = hello_html_m37aeedd.gif Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. При x = 2 y = 0.

Б. Графік заданої функції має вигляд:
hello_html_751542f3.gif

В. Найменше значення заданої функції дорівнює –3.

Г. Область визначення заданої функції: ¹ 2.


12. Задано функцію y = hello_html_61d835a4.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік функції y = hello_html_m3ecf0ed.gif має вигляд:
hello_html_64423a56.gif

Б. Графік функції y = hello_html_m3ecf0ed.gif має вигляд:
hello_html_m7c98d44f.gif

В. При тих значеннях x, для яких точки графіка y = (x) лежать нижче осі x, графік y = hello_html_m423f0bd.gif симетричний графіку y = (x) відносно осі x.

Г. При тих значеннях x, для яких точки графіка y = (x) лежать вище осі x, графік y = hello_html_m423f0bd.gif співпадає з графіком y = (x).



Алгебра 9 клас.

Тема: Квадратична функція та її графік. Розв’язування квадратних нерівностей



1-й рівень

1. Використовуючи те, що графіком квадратичної функції y = ax2 + bx + c ( 0) є парабола, вітки якої направлені вгору при a > 0 і вниз при a < 0, виберіть правильне твердження.

А. Графіком функції y = –2x2 + x є парабола, вітки якої направлені вгору.

Б. Графіком функції y = –2x2 + x є парабола, вітки якої направлені вниз.

В. Графіком функції y = 2x2 + x є парабола, вітки якої направлені вниз.

Г. Графіком функції y = 2x2 + x є пряма.


2. Задано функцію y = x2 – 4x + 5. Враховуючи те, що для параболи — графіка функції y = ax2 + bx + c ( 0) — координата по осі x вершини параболи є xо = –hello_html_m3aed7ff1.gif, виберіть правильне твердження.

А. Для заданої функції відповідні коефіцієнти дорівнюють a = 1, b = 5.

Б. xо = –2.

В. Для заданої функції відповідні коефіцієнти дорівнюють a = 1, b = 4.

Г. xо = 2.


3. Щоб розв’язати нерівність

x2 – 2x – 3 > 0,

побудували графік функції

y = x2 – 2x – 3.

Виберіть правильне твердження.

А. Задана функція приймає додатні значення при –1 < x < 3.

Б. Задана функція приймає додатні значення при x = –1 та x = 3.

В. Задана функція не приймає додатних значень ні при яких значеннях x.

Г. Задана функція приймає додатні значення при x < –1 та при x > 3.

hello_html_m4f39f8c1.gif

2-й рівень

4. Задано функцію (x) = –x2 – 3x – 2. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень щодо перетину графіка функції з осями координат правильні, а які — неправильні.

А. В точках перетину графіка заданої функції з віссю y значення x = 0.

Б. В точках перетину графіка заданої функції з віссю x значення (x) = 0.

В. Графік заданої функції перетинає вісь x при x = 1 та x = 2.

Г. Графік функції (x) перетинає вісь y в точці (0; –2).


5. Щоб розв’язати квадратну нерівність –x2 – 4> 0, знайшли нулі функції (x) = –x2 – 4x і побудували графік функції (x). Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Щоб знайти нулі функції (x), треба розв’язати рівняння
x2 – 4= 0.

Б. Розв’язком заданої нерівності є проміжок (– 4; 0).

В. Функція (x) дорівнює нулю при x = 4 і при x = 2.

Г. Графік функції = x2 – 4x має такий вигляд:
hello_html_7ee73b22.gif



6. Для розв’язування нерівності (x – 1)(x – 2) < 0 розкрили дужки і одержали квадратну нерівність x2 – 3x + 2 < 0. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік функції = x2 – 3x + 2 має такий вигляд
hello_html_44f8b6fa.gif

Б. Функція x2 – 3x + 2 дорівнює нулю при x = –1 та при x = –2.

В. Розв’язком заданої нерівності є проміжок (1; 2).

Г. Розв’язком заданої нерівності є проміжок (–; 1) та проміжок (2; +).

3-й рівень

7. Задано функцію y = –x2 – 6x – 19. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік заданої функції має такий вигляд:
hello_html_m2f06833c.gif

Б. Ордината вершини параболи yо = –10.

В. Абсциса вершини параболи (графіка заданої функції): xо = 3.

Г. Графік заданої функції має такий вигляд:
hello_html_m607f1533.gif


8. Задано нерівність x2 – 6x – 7 < 0. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Розв’язком заданої нерівності є об’єднання проміжків (–; –1)  (7; +).

Б. Графік (x) = x2 – 6x – 7 перетинає вісь x в точках 7 і –1.

В. Графік функції y = x2 – 6x – 7 має такий вигляд:
hello_html_15a9f8eb.gif

Г. Графік функції y = x2 – 6x – 7 має такий вигляд:
hello_html_m2a5687f8.gif


9. Задано функцію y = hello_html_7c268a5a.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Графік функції x2 + 8x + 7 перетинає вісь x в точках 1 і 7.

Б. Графік функції x2 + 8x + 7 має вигляд:
hello_html_1fca12df.gif

В. Область визначення цієї функції задається нерівністю x2 + 8x + 7 > 0.

Г. Областю визначення заданої функції є об’єднання проміжків
(–; –7]  [–1; +).

4-й рівень

10. Задано графік квадратичної функції (x) = ax2 + bx + c (a  0). Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. c > 0.

Б. Абсциса вершини параболи: xо = –hello_html_m7403c492.gif.

В. (0) = с.

Г. ab < 0.

hello_html_m1dedca26.gif


11. Задано нерівність hello_html_57582ee7.gif  0. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задана нерівність рівносильна системі hello_html_48a9fd52.gif

Б. Задана нерівність має тільки такі розв’язки (–6; 4).

В. Задана нерівність рівносильна нерівності (4 – x)(x + 6)  0.

Г. Задана нерівність має тільки такі розв’язки (–6; 4].


12. Задано нерівність hello_html_1356a806.gif < 0. Для її розв’язування методом інтервалів* позначили ліву частину через (x): (x) = hello_html_1356a806.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задана нерівність має такі розв’язки (–; – 3)  (1; 5).

Б. Областю визначення функції (x) є всі значення ¹ –1.

В. Функція (x) дорівнює нулю при x = –3 та x = 5.

Г. Нулі (x) розбивають область визначення функції (x) на проміжки, в яких (x) має такі знаки, як на рисунку
hello_html_ac490bc.gif

Алгебра і початки аналізу 10 клас.

Тема: Показникова функція

1-й рівень

1. Задано показникову функцію y = 2hello_html_4fbd7727.gif. Виберіть правильне твердження.

А. Графік заданої функції має вигляд:

hello_html_17906fc0.gif

Б.  Задана функція спадає на всій області визначення.

В. Графіком заданої функції є пряма.

Г. Графік заданої функції має вигляд:

hello_html_m7fb4fa05.gif


2. Задано рівняння 2hello_html_6ec09c51.gif = 8. Виберіть правильне твердження.

А. Задане рівняння можна записати у вигляді: 2hello_html_m419e2b86.gif = 2hello_html_m1f929d8f.gif.

Б. Із заданого рівняння випливає, що x – 4 = 3.

В. Задане рівняння має корінь, менший за 6.

Г. Праву частину заданого рівняння можна записати так: 2hello_html_68f07753.gif.


3. Задано нерівність 5hello_html_455bf803.gif > 5hello_html_7cdd419.gif. Знаючи, що функція 5hello_html_m3c60aa5c.gif є зростаючою, виберіть правильне твердження.

А. Із заданої нерівності випливає, що 2x > 16.

Б. Розв’язком заданої нерівності є x < 8.

В. Число 8 є розв’язком заданої нерівності.

Г. Із заданої нерівності випливає, що 2x < 16.

2-й рівень

4. Задано показникову функцію y = hello_html_m138a318a.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Множина значень заданої функції – всі додатні числа.

Б. Задана функція зростає на всій області визначення.

В. До області визначення заданої функції входять тільки додатні числа.

Г. Графік заданої функції має вигляд:

hello_html_64e4c9b3.gif


5. Задано рівняння hello_html_7f5cd527.gif27hello_html_4fbd7727.gif = 3hello_html_m72c6193.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Ліву частину заданого рівняння можна записати так: 3hello_html_m4a5055f.gif 3hello_html_m660f45db.gif

Б. Корінь заданого рівняння більший за –2.

В. Із заданого рівняння випливає, що hello_html_m6e2a6278.gif + 2x = 2x – 1.

Г. Задане рівняння можна записати у вигляді: 3hello_html_m6b0760e4.gif = 3hello_html_m146f61c9.gif.


6. Задано нерівність hello_html_m40d20a66.gif > hello_html_m2301d150.gif. Знаючи, що функція hello_html_42203777.gif є спадною, позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задану нерівність можна записати у вигляді: hello_html_m67240b76.gif > hello_html_m1fd82046.gif.

Б. Розв’язком заданої нерівності є x > 1.

В. Праву частину заданої нерівності можна записати так: hello_html_m32897a70.gif.

Г. Задана нерівність і нерівність 2x < 2 мають однакові розв’язки.

3-й рівень

7. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень, пов’язаних з показниковими функціями, правильні, а які — неправильні.

А. Графік функції y = 5hello_html_30664ec1.gif
має вигляд:

hello_html_m5273fa84.gif

Б. Графік функції y = 5hello_html_m536e8e2b.gif
має вигляд:

hello_html_feb2e36.gif

В. Рівняння 5hello_html_191c5ee7.gif = hello_html_m3a9ae7dd.gif має тільки один розв’язок.

Г. Графік функції y = 5hello_html_191c5ee7.gif
має вигляд:

hello_html_4de2dbe5.gif


8. Задано рівняння 9hello_html_m784f7c1c.gif + 263hello_html_4fbd7727.gif – 3 = 0. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Якщо в заданому рівнянні виконати заміну 3hello_html_30664ec1.gif = t, то одержимо рівняння 9t2 + 26t – 3 = 0.

Б. Всі корені заданого рівняння співпадають з коренями рівняння
3
hello_html_30664ec1.gif = hello_html_2bb483f0.gif.

В. Задане рівняння можна записати у вигляді: 93hello_html_m660f45db.gif – 263hello_html_30664ec1.gif – 3 = 0.

Г. Задане рівняння має два корені.


9. Задано нерівність 3hello_html_4fbd7727.gif 183hello_html_m4e9a91b3.gif – 7 > 0. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Розв’язком заданої нерівності є x > 2.

Б. Якщо в заданій нерівності виконати заміну 3hello_html_30664ec1.gif = t, то одержимо нерівність t2 – 7t – 18 > 0.

В. Задана нерівність рівносильна нерівності 3hello_html_30664ec1.gif< 9.

Г. Задана нерівність рівносильна нерівності 3hello_html_m660f45db.gif – 73hello_html_30664ec1.gif – 18 > 0.

4-й рівень

10. Задано рівняння hello_html_m783a1d21.gif + x = hello_html_3539538.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Задане рівняння має єдиний корінь x = –1.

Б. На області допустимих значень заданого рівняння його ліва частина є спадною функцією.

В. На області допустимих значень заданого рівняння його права частина є зростаючою функцією.

Г. Якщо ліва частина рівняння є зростаючою функцією, а права спадною, то таке рівняння може мати тільки один корінь.


11. Задано рівняння 516hello_html_4fbd7727.gif + 425hello_html_4fbd7727.gif = 920hello_html_4fbd7727.gif. Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Якщо обидві частини заданого рівняння поділити на 5hello_html_m660f45db.gif 0, то одержимо рівносильне рівняння 5hello_html_7ea602b2.gif + 4 = 9hello_html_62821566.gif.

Б. Задане рівняння рівносильне рівнянню hello_html_62821566.gif = hello_html_7d811c5e.gif.

В. Якщо члени заданого рівняння записати як степені чисел 4 і 5, то сума показників степенів у кожного з членів рівняння буде однаковою і рівною 2x.

Г. Задане рівняння можна записати у вигляді:
54
hello_html_m660f45db.gif + 45hello_html_m660f45db.gif = 94hello_html_30664ec1.gif5hello_html_30664ec1.gif.


12. Задано систему рівнянь hello_html_58994862.gif Позначте, які з наведених чотирьох тверджень правильні, а які — неправильні.

А. Якщо виконати заміну u = 2hello_html_30664ec1.gif, v = 5hello_html_28c35e5a.gif, то одержимо
систему
hello_html_1b979bff.gif

Б. Задана система має тільки один розв’язок.

В. Задана система рівносильна системі hello_html_m3d43808a.gif

Г. Задана система рівносильна системі hello_html_m4d4739f8.gif

Але досвідчений вчитель користується не лише одним видом робіт при тематичному оцінюванні учнів,ми повинні пропонувати учням різні види робіт – це і тести з однією правильною відповіддю, тести на відповідність, в яких кількість питань не відповідає кількості відповідей (аналогічні тестам ЗНО), проводити розгорнуті контрольні роботи, які навчають аргументувати свої розв’язки за допомогою раніш вивчених визначень, властивостей,тотожностей і інших теорем.






Література.

1. Глейзер Г.І.. Історія математики у школі. Москва.1983 р.

2. Вольянська С.Є. .Харківський обласний науково-методичний інститут безперервної освіти. Тестові технології оцінювання навчальних досягнень учнів у навчально - виховному процесі. Харків.2009.

3. Кравчук В.Р.,В.М.Козир В.М., Гап’юк Я.Ф., Гринчишин Я.Т.. Алгебра. Пробний підручник для 10 класу шкіл фізико-математичного профілю. Тернопіль. Підручники і посібники.1997р.

4. Кривоногов В.В.. Нестандартні завдання по математиці. 5-11 класи. Москва. Перше вересня.2002р.

5. Літвиненко В.Н., А.Г.Мордкович. Практикум з елементарної математиці. Алгебра. Тригонометрія. Москва.Освіта.1990р.

6.Малярець Л.М.Міністерство освіти і науки .Харківський національний економічний університет. Тестові завдання з математики(робочий зошит). Харків. ВД «Інжек» 2006р.

7. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра. Підручник для 8 класу з поглибленим вивченням математики. Харків.»Гімназія»2008.

8. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики. Харків.»Гімназія»2008.

9. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу.10 клас. Дворівневий підручник для 10 класу. Світ дитинства.2006р.

10. Нелін Є.П.. Долгова О.Є. Алгебра і початки аналізу.11 клас. Дворівневий підручник для 10 класу. Світ дитинства.2007р.

11. Нелін Є.П. Науково-методичний центр середньої освіти. Міністерство освіти і науки України. Тести для тематичного контролю по 12-бальній системі. Алгебра 9.Київ 2001р.

12. Нелін Є.П. Науково - методичний центр середньої освіти. Міністерство освіти і науки України. Тести для тематичного контролю по 12-бальній системі. Алгебра 10.Київ 2001р.

13. Нелін Є.П. Научно - методичний центр середньої освіти. Міністерство освіти і науки України. Тести для тематичного контролю по 12-бальній системі. Алгебра 11.Київ 2001р.

14. Роганін О. М.Зовнішнє оцінювання з математики. Комплексний універсальний довідник. Харків. «Белгар - книга» .2008р.

15. Роганін О. М.Зовнішнє оцінювання з математики. (підготовка)Тренувальні вправи.Видавництво Ранок. Веста 2007.

16. Старова О.О., Макарова І. С. .Готуємось до підсумкової атестації,ЗНО. Посібник для вчителя. Харків. Група «Основа».2008р.

17. Шкіль М.І., Колеснік Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. Київ. Освіта.2000р.

18. Шкіль М.І., Колеснік Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 11 класу з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. Київ. Освіта.2000р













































*

1

Автор
Дата добавления 25.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров545
Номер материала ДВ-482873
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх