Тема 4 . Функция одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.

План лекции:

1.     Понятие функции.

2.     Числовые функции. График функции. Способы задания функции.

3.     Основные характеристики функций.

4.     Обратная функция.

5.     Сложная функция.

1.     Понятие функции.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества Х и Y. Соответствие f, которое каждому элементу  сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается  или . Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y.

Например, соответствия f и g, изображённые на рисунке, являются функциями, а j и u ‒ нет. В случае j ‒ не каждому  соответствует элемент . В случае и ‒ не соблюдается условие однозначности.

Элемент , который соответствует данному , называют образом элемента х. Все элементы , которым соответствует данный , называют полным прообразом элемента у.

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех , для которых существует прообраз в Х, называется множеством значений функции f и обозначается Е(f).

2.     Числовые функции. График функции. Способы задания.

Пусть задана функция . Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать .

Переменная х называется аргументом или независимой переменной, а у ‒ функцией или зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Частное значение функции  при х=а записывают . Например, если , то ,

функции  называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.

Например, графиком функции  является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром О(0;0).

Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение функции.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

1)         2)   

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции  является отрезок .

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .

Графический способ: задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.

Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.

3.     Основные характеристики функций.

Функция , определённая на множестве D, называется чётной, если  выполняются условия  и ; нечётной, если  выполняются условия  и .

График чётной функции симметричен относительно оси Оу, а нечётной ‒ относительно начала координат.

Например, , ,  ‒ чётные функции, а , ‒ нечётные функции; ,  ‒ функции общего вида.

Пусть функция  определёна на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов   из неравенства  вытекает неравенство:

а) , то функция называется возрастающей на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

б) , то функция называется неубывающей на множестве ;

в) , то функция называется убывающей на множестве  (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

г) , то функция называется невозрастающей на множестве .

Например, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке , не убывает на , возрастает на .

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве  называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех  выполняется неравенство: .

:.

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у=‒М и у=М.

Функция , определённая на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T>0, что при каждом  значение  и . При этом число Т называется периодом функции. Если Т ‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ, где  Так, для  периодами будут числа  Основной период (наименьший положительный) ‒ это период . Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству .

4.     Обратная функция.

Пусть задана функция  с областью определения D и множеством значений Е. Если для каждого  существует единственный прообраз в D, то можно поставить в соответствие элементам  элементы , т.е. определить функцию  с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция  называется обратной к функции  и записывается . Про функции  и   говорят, что они являются взаимно обратными.

Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение  относительно х и переобозначить зависимые и независимые переменные (чтобы независимая по-прежнему была х, а зависимая у).

Например, для функции  обратной является функция . Для функции , , обратной является функция . Заметим, что для функции , заданной на всей числовой прямой, обратной функции не существует, т.к. одному значению у соответствуют два значения х. В нашем первом примере функция g не обратима по той же причине.

Из определения обратной функции вытекает, что функция  имеет обратную тогда и только тогда, когда функция  задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то и обратная функция возрастает (убывает).

Так как мы переобозначили переменные, то, если точка  принадлежит кривой , то точка  принадлежит кривой . Точки с такими координатами симметричны относительно прямой у=х.

Поэтому графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

5.     Сложная функция.

Пусть функция  определена на множестве D, а функция  на множестве D₁, причём соответствующее значение . Тогда на множестве D₁ определена функция , которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций).

Переменную  называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, , есть суперпозиция двух функций  и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.