Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Функция одной переменной и её характеристики.

Функция одной переменной и её характеристики.


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема 4 . Функция одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.

План лекции:

  1. Понятие функции.

  2. Числовые функции. График функции. Способы задания функции.

  3. Основные характеристики функций.

  4. Обратная функция.

  5. Сложная функция.


  1. Понятие функции.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества Х и Y. Соответствие f, которое каждому элементу hello_html_m31b1a00f.gif сопоставляет один и только один элемент hello_html_797fe53d.gif, называется функцией и записывается hello_html_15b76d75.gif или hello_html_m25774413.gif. Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y.

hello_html_362dbec8.gifhello_html_m204b4563.gifhello_html_m6d3fa251.gifhello_html_m68a5bfe0.gifhello_html_m5a47f553.gif

. .

. .


hello_html_m454d97e.gifhello_html_m1214310c.gifhello_html_23972761.gifhello_html_6785d9e7.gifhello_html_529e3f98.gif

X

X

Y

hello_html_m39127da2.gif

hello_html_5af5b3cb.gif

f

g

Y



hello_html_e3196c9.gifhello_html_40b39c46.gif

hello_html_m4646a07d.gifhello_html_m2bc2d64a.gifhello_html_m180c648e.gifhello_html_7196fe1f.gifhello_html_m35077b2d.gif

X

Y

Y


hello_html_15d1db61.gifhello_html_m67a7d80e.gifhello_html_m350d1c6c.gifhello_html_m69cce29b.gif

. .


hello_html_m4879a916.gif

u

X




Например, соответствия f и g, изображённые на рисунке, являются функциями, а и u ‒ нет. В случае ‒ не каждому hello_html_m31b1a00f.gif соответствует элемент hello_html_797fe53d.gif. В случае и ‒ не соблюдается условие однозначности.

Элемент hello_html_797fe53d.gif, который соответствует данному hello_html_m31b1a00f.gif, называют образом элемента х. Все элементы hello_html_m31b1a00f.gif, которым соответствует данный hello_html_797fe53d.gif, называют полным прообразом элемента у.

Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех hello_html_797fe53d.gif, для которых существует прообраз в Х, называется множеством значений функции f и обозначается Е(f).

  1. Числовые функции. График функции. Способы задания.

Пусть задана функция hello_html_m25774413.gif. Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать hello_html_538af56a.gif.

Переменная х называется аргументом или независимой переменной, а уфункцией или зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Частное значение функции hello_html_20a79b83.gif при х=а записывают hello_html_4b5aa016.gif. Например, если hello_html_m4c21e80d.gif, то hello_html_1968a6b1.gif, hello_html_m43f49709.gif

Гhello_html_3e51427a.gifhello_html_m114b06da.gifhello_html_m54960643.gifhello_html_6dd6333c.gifhello_html_1f368330.gifhello_html_m6a13f6ae.gif

М(х;у)

у

х

1

О

рафиком функции hello_html_20a79b83.gif называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.

Например, графиком функции hello_html_6151b42f.gif является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром О(0;0).

Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение функции.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

  1. hello_html_m44586eac.gif2) hello_html_m779d31e6.gif

Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции hello_html_6151b42f.gif является отрезок hello_html_m47aad991.gif.

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию hello_html_538af56a.gif.

Графический способ: задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.

Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.

  1. Основные характеристики функций.

Функция hello_html_538af56a.gif, определённая на множестве D, называется чётной, если hello_html_m459e4ac2.gif выполняются условия hello_html_m13f7fd5b.gif и hello_html_m79f6f283.gif; нечётной, если hello_html_m459e4ac2.gif выполняются условия hello_html_m13f7fd5b.gif и hello_html_m6c1c3258.gif.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу, а нечётной ‒ относительно начала координат.

Например, hello_html_m7358b151.gif, hello_html_7dfcb395.gif, hello_html_m1757e26b.gif ‒ чётные функции, а hello_html_m50dc8679.gif, hello_html_m469e181b.gif‒ нечётные функции; hello_html_285add73.gif, hello_html_m814f95e.gif ‒ функции общего вида.

Пусть функция hello_html_538af56a.gif определёна на множестве D и пусть hello_html_m3ad8f571.gif. Если для любых значений аргументов hello_html_77d4e353.gif из неравенства hello_html_m2f3c3d52.gif вытекает неравенство:

а) hello_html_52725c4c.gif, то функция называется возрастающей на множестве hello_html_m590623f5.gif(большему значению аргумента соответствует большее значение функции);

б) hello_html_75b4f6ea.gif, то функция называется неубывающей на множестве hello_html_m590623f5.gif;

в) hello_html_2380abc7.gif, то функция называется убывающей на множестве hello_html_m590623f5.gif (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

гhello_html_m11ef0681.gifhello_html_m2d666620.gif) hello_html_a0d506c.gif, то функция называется невозрастающей на множестве hello_html_m590623f5.gif.

Нhello_html_7f64736b.gifhello_html_m2bf6049e.gifhello_html_3491f62d.gifhello_html_546c479a.gifhello_html_7225bcd.gif

2 О 1 3 4 х

у

апример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке hello_html_5855b69.gif, не убывает на hello_html_m145fbc65.gif, возрастает на hello_html_m6d58a910.gif.


Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве hello_html_m590623f5.gif называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Фhello_html_538c9a98.gifhello_html_70b08afe.gifhello_html_728619f3.gifhello_html_728619f3.gifhello_html_6182ffdb.gif

у=М

у

х

у= ‒М

ункцию, определённую на множестве D называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число hello_html_61146f1b.gif, что для всех hello_html_34b91b7b.gif выполняется неравенство: hello_html_5a4af85a.gif.

hello_html_m2f702f85.gif:hello_html_865ccc2.gifhello_html_5a4af85a.gif.

Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у=‒М и у=М.

Функция hello_html_538af56a.gif, определённая на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T>0, что при каждом hello_html_34b91b7b.gif значение hello_html_m52e2e97f.gif и hello_html_7a2f49fd.gif. При этом число Т называется периодом функции. Если Т ‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ, где hello_html_m2ac8be8f.gif Так, для hello_html_m50dc8679.gif периодами будут числа hello_html_m4c889c4d.gif Основной период (наименьший положительный) ‒ это период hello_html_m5e7a5a79.gif. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству hello_html_7a2f49fd.gif.

  1. Обратная функция.

Пусть задана функция hello_html_538af56a.gif с областью определения D и множеством значений Е. Если для каждого hello_html_7f1562f4.gif существует единственный прообраз в D, то можно поставить в соответствие элементам hello_html_7f1562f4.gif элементы hello_html_34b91b7b.gif, т.е. определить функцию hello_html_5ff44f0d.gif с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция hello_html_b753ba7.gif называется обратной к функции hello_html_20a79b83.gif и записывается hello_html_6cccf1ca.gif. Про функции hello_html_7240a174.gif и hello_html_5ff44f0d.gif говорят, что они являются взаимно обратными.

Чтобы найти функцию hello_html_5ff44f0d.gif, обратную к функции hello_html_7240a174.gif, достаточно решить уравнение hello_html_m7d321a59.gif относительно х и переобозначить зависимые и независимые переменные (чтобы независимая по-прежнему была х, а зависимая у).

Например, для функции hello_html_28b7d660.gif обратной является функция hello_html_m3edb2a85.gif. Для функции hello_html_m7358b151.gif, hello_html_m45f247ca.gif, обратной является функция hello_html_m1ddb9836.gif. Заметим, что для функции hello_html_m7358b151.gif, заданной на всей числовой прямой, обратной функции не существует, т.к. одному значению у соответствуют два значения х. В нашем первом примере функция g не обратима по той же причине.

Из определения обратной функции вытекает, что функция hello_html_7240a174.gif имеет обратную тогда и только тогда, когда функция hello_html_5e4c7a4a.gif задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то и обратная функция возрастает (убывает).

Тhello_html_f234bb5.gifhello_html_4449176d.gifhello_html_m72230a72.gifhello_html_m4680867d.gifhello_html_1accec1f.gifhello_html_3ef4741f.gifhello_html_m413fd749.gifhello_html_2085df41.gifhello_html_591065e7.gif

О х0 у0х

у

y=f(x)

y=(x)

M1

M2

y0

x0

ак как мы переобозначили переменные, то, если точка hello_html_m8751128.gif принадлежит кривой hello_html_7240a174.gif, то точка hello_html_m3a8e157f.gif принадлежит кривой hello_html_7201b206.gif. Точки с такими координатами симметричны относительно прямой у=х.

Поэтому графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

  1. Сложная функция.

Пусть функция hello_html_7240a174.gif определена на множестве D, а функция hello_html_50f3b69.gif на множестве D1, причём hello_html_m637af780.gifсоответствующее значение hello_html_m5ec70c30.gif. Тогда на множестве D1 определена функция hello_html_m6de7e16c.gif, которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций).

Переменную hello_html_50f3b69.gif называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, hello_html_35f64240.gif, есть суперпозиция двух функций hello_html_m5a33b03a.gif и hello_html_m7e19e627.gif. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.


6



Краткое описание документа:

Материал предназначен для использования в средней школе, а также для преподавания математики в учреждениях среднего специального образования.

В лекции актуализировано понятие функции; расширяются имеющиеся представления о функции, происходит знакомство с основными характеристиками функции.

Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.

Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение функции.

В лекции расмотрены три наиболее часто встречающиеся способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

 

Автор
Дата добавления 27.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров494
Номер материала 462945
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх