Геометрические задачи на
построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас
могут показаться не интересными или не нужными. И в самом деле, современные
технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем
любой человек.
И все же геометрические
построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии, так как
они имеют большое воспитательное значение. Задачи на построение развивают:
логического мышления школьников, навык исследовательской и самостоятельной
работы и, что немаловажно, навык использования чертёжных инструментов. Также
при решении задач на построение устанавливается связь с другими науками, такими
как черчение, геодезия. Однако анализ содержания школьного математического образования
позволил выявить ряд недостатков в обучении школьников решению задач на
построение:
1. Наметилась четкая
тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе
математики. Это объясняется тем, что значительно сужена роль задач на
построение, которая соответствует целям обучения, таким как развитие мышления и
воспитание учащихся. В большинстве случаев, считается, что главная и
единственная цель обучения решению таких задач – это формирование практических
умений и навыков построения основных геометрических фигур: треугольников,
перпендикуляров, биссектрис и тому подобных. Другими словами, основное внимание
уделяется практическому значению задач, при этом совершенно не рассматривается
вопрос развития логического мышления учеников и возможности использования задач
на построение при изучении геометрии.
2. Знания учащихся по
данной теме нередко носят формальный характер, наблюдается отсутствие
структурности. Так, при изучении задач на построение единственное, что требует
учитель – это знание соответствующих алгоритмов построений. При этом не
объясняется, как получен данный алгоритм. Поэтому ученик вынужден запоминать
материал без понимания.
3. В настоящий момент в
школьных учебниках недостаточно уделяется внимания рассмотрению таких основных
методов решения задач на построение как метод преобразований, алгебраический
метод, метод геометрического места точек.
4. У учащихся нет четкого
представления об этапах решения задач на построение: анализе, построении,
доказательстве и исследовании, которые точно соответствуют этапам любого
логического рассуждения. Практически не уделяется внимание одному из важных
этапов – исследованию, в котором учащиеся зачастую не видят смысла, несмотря на
то, что он, в свою очередь, является хорошим средством развития логического
мышления.
В современном школьном
курсе геометрии роль задач на построение значительно снизилась по сравнению с
их ролью в курсах геометрии предыдущих времен. Задачи на построение не просты и
по своему содержанию и по оформлению. Не существует единого – алгоритма для
решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая задача
требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому решать задачи на
построение для многих школьников очень трудно, а для некоторых может быть, даже
невозможно.
Отметим, что развитие
логического мышления непосредственно связано с процессом обучения математике.
При этом многие исследователи отмечают, что одной из важнейших задач обучения,
в том числе и математике, в школе являются:
• формирование навыков
учащихся осуществлять логические операции;
• обучение их различным
приемам логического мышления,
• вооружение знаниями
логики и выработки у школьников умений и навыков использования этих знаний в
учебной и практической деятельности.
В результате правильно
организованного обучения математике школьники весьма быстро приобретают навыки
логического мышления, в частности, умение обобщать, классифицировать, а также
аргументировано обосновывать свои выводы.
большинство
исследователей сходятся в том, что развивать логическое мышление в процессе
обучения математике это значит:
- развивать у учащихся
умение сравнивать наблюдаемые предметы, находить в них общие свойства и
различия;
-вырабатывать умение
выделять существенные свойства предметов и отвлекать (абстрагировать) их от
второстепенных, несущественных;
- учить детей расчленять
(анализировать) предмет на составные части в целях познания каждой составной
части и соединять (синтезировать) расчлененные мысленно предметы в одно целое,
познавая при этом взаимодействие частей и предмет как единое целое;
- учить школьников делать
правильные выводы из наблюдений или фактов, уметь проверять эти выводы;
прививать умение обобщать факты;
- развивать у учащихся
умение убедительно доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные
умозаключения;
- следить за тем, чтобы мысли учащихся излагались определенно,
последовательно, непротиворечиво, обоснованно. [18]
Решение задач на
построение, несомненно, развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни
одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и
правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую
привлекательность, как геометрические задачи на построение.
Задачи на построение
играют важную роль в развитии логического мышления учащихся. Наличие анализа,
доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает,
что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков
правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они
имеют дело не с конкретной, определенной фигурой, а должны создать необходимую
фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая
взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются
другие и даже вся фигура. Этим мы устраняем формализм в знаниях.
Трудно переоценить роль
задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей
постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление
конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчетливо
представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь
мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут
способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических
фигур, возможности их преобразования – все это является важной предпосылкой
развития пространственного мышления школьников. [10]
Между тем заметим, что
процесс формирования логического мышления, как компонента общего образования,
должен быть целенаправленным, непрерывным и связанным с процессом обучения
математике на всех ее ступенях.
В связи с этим, рассмотрим задачи преподавания геометрии в школе:
- систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их
получения и возможностей их применения;
- изучение пространственных форм;
- развитие пространственного воображения;
- воспитания правильного логического мышления;
- привитие практических навыков, включая сюда и умение решать
различные геометрические задачи теоретического характера, так и умение
применять свои знания к решению вопросов практики. [34]
Основной здесь является задача развития в учащихся трех качеств:
пространственного воображения, практического понимания и логического мышления.
При этом основой для развития пространственного воображения и
логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и
методами геометрии.
Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те
логические действия, которые учащиеся должны уметь выполнять, для того чтобы их
знания находились в определенной системе и не были бы изолированными и
несвязанными между собой.
Перечень умений может быть упорядочен следующим образом:
Учащиеся должны уметь:
♦ формулировать определения понятий с использованием различных
связок и кванторов;
♦ приводить примеры понятий, подводить объекты под определения
различных логических конструкций;
♦ строить отрицание определений различных логических конструкций;
♦ понимать отношения между двумя понятиями;
♦ проводить классификацию известных понятий;
♦ понимать свойства конкретных отношений – рефлективность,
симметричность, транзитивность – без употребления соответствующей терминологии;
♦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если...,
то... »;
♦ выделять условия и заключения теоремы;
♦ строить отрицание утверждений различной структуры;
♦ различать свойства и признаки понятий;
♦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и
дедуктивные рассуждения;
♦ уметь проводить полученное доказательство;
♦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в
отдельных случаях;
♦ понимать смысл терминов
«хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;
♦ использовать отдельные
методы доказательства – метод от противного, полную индукцию, доказательства
методом исключения;
♦ понимать основные
принципы построения дедуктивной теории.[3]
Овладение перечисленными
действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием
проблемы развития логического мышления.
4.2 Пути решения проблемы развития
логического мышления учащихся
Для решения задач развития логического мышления не требуется
включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития
логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.
В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся
могут иметь место различные уровни.
I. Отсутствие специально
организованной учителем работы по развитию логического мышления.
Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развитии, является
усваиваемое содержание предмета.
II. Организация деятельности
учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью
специально подобранных упражнений.
III. Организация специального
обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с
выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть:
доказательство методом от противного, подведение под определение, подведение
под понятие и многое другое.
Соответственно уровням организации деятельности учащихся
происходит усвоение материала на различных уровнях систематизации его в
зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.
I. Уровень фрагментарных
знаний. Отсутствие осознания взаимосвязей между компонентами системы.
II. Уровень частичной логической
организации изученного материала. Понимание отдельных его взаимосвязей.
III. Уровень логично
организованных знаний характеризуется пониманием целостности системы знаний,
пониманием места отдельных элементов системы знаний в этой системе, т. е.
систематизацией изученного материала. [18]
Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической
составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации
деятельности учащихся.
ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равностороннего
треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие
вопросы:
– Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у которого
две стороны равны и два угла равны, называется равнобедренным?
– Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или
равносторонними?
– Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является
равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?
– Какими могут быть неравносторонние треугольники?
– Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла
равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?
В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее
уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий.
Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок
по смешению признаков и свойств понятий. Понимание терминов свойство и признак
понятия позволяет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем,
систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять
изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства
понятий используются, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки –
когда необходимо подвести под понятие.
По сути дела свойство понятия, объекта – это все то, что можно
сказать об объекте, изучая его. Признаки – это те свойства, условия, по наличию
которых объект можно отнести к определенному классу объектов, к понятию.
В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает
прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного
треугольника.
Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой
теореме условие по парного равенства противоположных сторон четырехугольника
является приметой, показателем, признаком того, что четырехугольник является
параллелограммом.
Для того чтобы различать
термины свойство и признак, необходимо понимать, как строится теория понятия.
Вначале дается формальное определение понятия. Затем из определения получают в
качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обратные
предложения к отдельным свойствам и проверяют их истинность. Так получают
признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько
свойств. [26]
Эффективность формирования понятий у учащихся, которые можно представить
наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое
знакомство с ним, т. е. каким оказался первый зрительный образ, ставший затем
носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения
понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не
существенные признаки понятия.
Ученики обычно привыкают соотносить какую-либо фигуру с одним
понятием, не умея переосмыслить фигуру в плане другого понятия. Для развития
мышления учащихся нужно потратить много усилий на формирование у них умения
вычленять из элементов новые фигуры, не упомянутые в тексте условия задачи. В.
И. Зыкова отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции
переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия
фигур двум и более понятиям».
Чертежи и рисунки – эффективное средство формирования умения
учащихся подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений,
преобразований, сопоставлений.
При обучении решению
геометрических задач очень важно следить за тем, чтобы формулировка задачи
помогла учащимся сделать чертеж. В школьных учебниках текст, с помощью которого
сформулирована задача или теорема, не всегда написан доступным, понятным
языком. Как показывает практика, ученикам труднее всего даются такие тексты, в
которых краткость достигается нанизыванием придаточных предложений или
причастных оборотов.[18]
Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в
частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на
чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания.
Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к
доказательствам. Приведем три задания, которые фактически нацеливают учащихся
на поиск контр. примеров.
1. Верно ли утверждение: «Любой четырехугольник, у которого
диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом»?
2. Верно ли утверждение: «Любой четырехугольник, у которого два
противоположных угла прямые, является прямоугольником»?
3. Изобразите на чертеже случай, для которого неверно
высказывание: «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной
плоскости и не имеют ни одной общей точки». (Пропущено указание на то, что речь
идет о двух прямых.).
В пропедевтическом курсе
геометрии важно воспитывать у школьников понимание необходимости того, чтобы
изучаемые факты доказывались. Целесообразно показывать школьникам что у людей
нет иного пути убедиться в истинности суждения, как только доказать его
логическим путем. «Самые тщательные измерения - может сказать учитель,—
все-таки оставляют повод для сомнений, поскольку в них неизбежны большие или
меньшие ошибки. Доверяться очевидности тоже нельзя, так, как широко известно,
что зрение человека дает неточную, а иногда и совершенно ошибочную информацию».
[18]
Итак, разносторонняя работа с чертежами не только способствует
общему умственному развитию школьников, но и подталкивает их логическое
развитие, обеспечивая менее болезненный переход от опытно – индуктивного
преподавания пропедевтического курса геометрии к дедуктивному методу в основном
курсе геометрии.
Для повышения эффективности развивающего обучения геометрии перед
учащимися следует систематически ставить серии задач (или отдельные задачи),
которые наряду с конкретными обучающими функциями несли бы в себе (также в
качестве ведущих) функции, направленные на формирование у школьников элементов
творческого математического мышления.
В качестве таких задач могут выступать, например, задачи, при
постановке которых или в процессе решения которых:
учащимся мотивируется целесообразность изучения нового материала,
разумность определений геометрических понятий, полезность изучения тех или иных
теорем;
учащиеся побуждаются к самостоятельному открытию того или иного
геометрического факта, к обоснованию того или иного положения, к установлению
возможности применения уже усвоенных ими знаний в новой для них ситуации;
учащиеся подводятся к самостоятельному открытию методов
доказательства теорем, общих приемов решения задач, к установлению новых связей
между известными им геометрическими понятиями;
у учащихся формируются умения использовать ведущие методы научного
познания (опыт, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение и т. д.) как методы
самостоятельного изучения геометрии, понимание роли и места индукции, аналогии
дедукции в процессе познания;
учащиеся обнаруживают взаимосвязь геометрии и алгебры и с другими
предметами, устанавливают содержательные и структурные связи между различными
вопросами самого курса геометрии, получают возможность применить математические
знания к решению нематематических задач;
учащиеся приобщаются к
самостоятельным поисковым исследованиям (посредством изучения результатов
решения задач, изменения условия задачи, возможных обобщений задачи, отыскания
других способов ее решения и отбора того из них, который наиболее полно
удовлетворяет заданным условиям, и т. п.). [18]
Всё это поможет развить в
учащихся важные качества мышления, в частности качества логического мышления, а
именно: активность, гибкость, глубину, критичность, доказательность и т. п.;
умение выражать свою мысль ясно и точно.
Вывод: Логическое мышление - вид мышления, сущность
которого в ориентировании понятиями, суждениями и умозаключениями с
использованием законов логики, т.е. мышление, проходящее в рамках формальной
логики, отвечающее требованиям формальной логики. Развитие логического
мышления – это формирование у учащихся навыков осуществления логических
операций, обучение их различным приемам логического мышления, вооружение
знаниями логики и выработка умений и навыков использования этих знаний в
учебной и практической деятельности. Этот процесс непосредственно связан с
процессом обучения математике, правильная организация которого обеспечивает
наиболее эффективное развитие логического мышления. При этом ни одни задачи не
содействуют так развитию в учениках наблюдательности и логического мышления,
как задачи на построение. Ведь именно при решении задач на построение учащиеся
должны осуществлять все логические операции мышления: анализ, синтез, обобщение
и абстракция. Здесь, как нигде, у учащихся формируются такие качества мышления
как: гибкость, глубина, критичность, доказательность и т. п. Но для достижения
определенных результатов должна быть разработана соответствующая методика по
обучению решению задач на построение, которая бы способствовала активному
развитию логического мышления учащихся
логическое мышление
подросток математика геометрия
Задачей на построение
называется задача, в которой указывается по каким данным, какими средствами
(инструментами), какой геометрический образ, обладающий заданными свойствами,
требуется построить. [27]
Каждая фигура,
удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи на
построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть
указать конечную последовательность основных построений, после выполнения
которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом
конструктивной геометрии.
Одной из основных проблем
методики обучения решению задач на построение является методика введения и
изучения этапов решения задач на построение [10]. Еще в IV в. до н. э.
древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение,
которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа,
каждый из которых соответствует логическим операциям, образующим структуру
мышления (анализу, синтезу, абстракции и обобщению): анализ, построение,
доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.
Анализ
Анализ — это важный этап
решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на
построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными
фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту
искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ
уже не нужен).
Чтобы облегчить себе
поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается
выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок,
изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое
предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз – это
проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.
На вспомогательном
чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы.
Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с
данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ней
данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи. [10]
Если вспомогательный
чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются
обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая
может быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построения
искомой фигуры.
Также надо учитывать
следующие моменты:
1) если на
вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для
решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в
чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить
точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда
бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;
2) если по условию задачи
дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в
чертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на
нем;
3) в процессе проведения
анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых
встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии
рассматриваемой задачи. [2]
В Приложении 2 приведен
анализ задачи на построение: “Построить треугольник, зная основание, меньший
угол при основании и разность двух других сторон”.
Из данного примера видно,
что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач,
применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем,
какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так,
чтобы построить искомую фигуру.
Название этапа “анализ”
не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод,
подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда называют “синтезом”, не
всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при
отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном
взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.
На данном этапе решения
задачи активно развиваются:
— гибкость мышления, а
именно: умение целенаправленно варьировать способы познавательной проблемы,
умение выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы
решения проблем при изменении задаваемых условий;
— глубина мышления,
заключающаяся в умение отделить главное от второстепенного, обнаружить логическую
структуру рассуждения;
— целенаправленность мышления, характеризуемая стремлением
осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно
ориентируясь на поставленную той проблемой цель и стремлением отыскать наиболее
кратчайшие пути ее достижения. [9]
Построение
Второй этап решения задач
на построение состоит из двух частей:
1) перечисление в
определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить,
согласно анализу, для решения задачи;
2) непосредственное
выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.
Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значит
указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов,
построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать
ответ на вопрос задачи.
Данный этап вводится при
решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о
построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого
луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чем
состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого
этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения
искомой фигуры.
Рассмотрим решение
задачи: “Построить квадрат по его диагонали”.
Анализ. Проведя диагональ
А1С1 (рис. 1), мы видим, что построение квадрата сводится
к построению равнобедренного прямоугольного треугольника А1В1С1
по его гипотенузе A1C1, который затем легко
дополнить до квадрата.
Построение. Треугольник А1В1С1
можно строить различными способами. Например:
1) Строим угол B1A1C1, содержащий 45°, и на одной его стороне откладываем отрезок А1С1,
и равный данной диагонали. Проведя C1B1A1B1, получим треугольник А1В1С1,
который дополняем до квадрата A1B1C1D1, что можно сделать различными
способами.
2) Проведем через
середину А1С1 перпендикуляр В1О1А1С1 и
отложим B1O1=A1O1 и соединим В1
с А1 и С1; получим треугольник A1B1C1.
3) На А1С1,
как на диаметре, строим окружность и из точки О1 восставляем
перпендикуляр О1В1А1С1 до пересечения с
окружностью в точке B1. Соединив В1
с А1 и С1, получим треугольник A1B1C1. Проведя B1D1A1C1, мы сразу можем получить
точки B1 и D1, как и в предыдущем
случае. Очевидно, что построение треугольника A1B1C1 возможно и другими
способами. [11]
Решение
одной и той же задачи несколькими способами усиливает интерес учащихся к
задачам на построение и сознательное отношение к решению таких задач. Если
решать задачи на построение все время по заранее указанным методам, то этим
самым сковывается изобретательность и инициатива учащихся в нахождении
различных и оригинальных способов решения и им трудно научиться самостоятельно
решать конструктивные задачи. Они применяют в первую очередь знания изучаемого
материала и навыки, полученные при решении задач, предшествующих данной. Если
решались задачи, требующие применения определенного метода, то и для
предложенной задачи они изберут тот же знакомый им путь решения, даже если он
нерационален. Указание учителя на существование более простого способа не дает
должного эффекта, так как предложенное учителем решение кажется учащимся
искусственным, которого они сами не смогли бы найти.
Конечно,
если это делать до того как ученики приобретут прочные навыки в отыскании
решений различными способами, то результаты окажутся отрицательными. Внимание
учащихся каждый раз будет распыляться между всеми способами, и они ни одного из
них не усвоят основательно, чтобы применять его достаточно сознательно.
Различными
способами хорошо решать задачи в конце учебного года, при повторении курса
геометрии, когда учащиеся уже имеют достаточные навыки в решении задач на
построение. Задачу, допускающую различные способы решения, лучше задавать на
дом, чтобы они не только решили, но и нашли наиболее простое решение.
На
данном этапе также большее развитие получают такие качества мышления как:
гибкость, глубина и целенаправленность.
Доказательство
После
того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям
задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов
определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит,
доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу
можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе
плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое.
Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему логическому
содержанию обратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура,
удовлетворяющая поставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то
путем, то в этой, третьей части решения доказывается обратное положение. Это обратное
положение в общем виде может быть сформулировано так: если некоторая фигура
получена из данных элементов таким-то построением, то она действительно
удовлетворяет поставленным условиям. В Приложении 2 приведено решение задачи:
“Построить трапецию по четырем сторонам”.
При решении простейших
задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане
построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных
элементов таким построением, является искомой. Например: “Построить треугольник
по двум сторонам и углу между ними”. Здесь доказательство сводится к простой
проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен
данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность
решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия
задачи.
Доказательство не просто
зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и
взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при
анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство
являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного
плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение
оказывается нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным
образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя
нередко выбор плана решения.
Хотя доказательство при решении задач на построение проводится
аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств
геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При
доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и
заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на
основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой.
Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда
специально выделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении
задачи: “Построить ромб по двум его диагоналям” предлагаем ученику записать,
что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и
что требуется доказать (стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и
в контрольных работах можно не требовать оформления доказательства с выделением
отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения особого
доказательства в задачах, где правильность решения очевидна [11].
На этапе доказательства активно
развиваются: глубина и критичность мышления, т.к. на этом этапе необходимо проникнуть
в сущность каждого из изучаемых фактов, в их взаимосвязи с другими фактами, а
также заново проследить ход рассуждения, чтобы наткнуться на противоречие,
помогающее осознать ошибку.
Исследование
При построении обычно
ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается,
что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи
нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе
данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как
построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько
решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих
вопросов и составляет содержание исследования [2].
Таким образом,
исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число
решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно
выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие,
а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаи
рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой
полноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что
является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приема
состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается
построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом
шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.
Рассмотрим решение и
исследование задачи: “Построить окружность, касающуюся данной прямой PQ и данной окружности (О; ОА) в
заданной на ней точке А”.
Рис. 2
Решение. Решаем эту
задачу методом геометрических мест. Проводим прямую ОА (рис. 2). В точке А
строим касательную АВ к данной окружности, а затем — биссектрисы углов РВА и ABQ. Точки пересечения прямой ОА
с прямыми ВМ и BN и будут центрами искомых окружностей.
Проводя исследование по
построению, легко обнаруживаем, что наше решение не применимо, если OAPQ. Для такого случая рассматриваем решение задачи отдельно. В
результате получим, что если ОА не перпендикулярна PQ, то задача имеет два решения,
за исключением случая, когда окружность (О; ОА) пересекает PQ в точке А, так как тогда
прямые ВМ, ВN и ОА
пересекутся в точке А, и окружности не получим. Если же OAPQ, но А не лежит на PQ, то получаем одну окружность с центром на ОА и радиусом, равным
половине расстояния от точки А до данной прямой PQ. Если же при этом А лежит на PQ, то задача неопределенная.
Таким образом, для задачи
имеются лишь 4 характерные конфигурации исходных данных:
1) ОА не перпендикулярна PQ и А не принадлежит PQ — 2 решения;
2) OA не перпендикулярна PQ и A принадлежит PQ — нет решений;
3) OAPQ, но A не принадлежит PQ — 1 решение;
4) OAPQ и А принадлежит PQ — бесконечное множество решений. [11]
В итоге таких рассуждений
решается вопрос о возможности и однозначности построения искомой фигуры данным
способом. Но остается еще открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если
изменить как-либо способ построения? Иногда удается доказать, что всякое
решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений. Если же это
не удается, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые
могут быть найдены другими способами. В этих случаях надо тщательно проверить,
нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур,
которые не были предусмотрены ранее проведенным анализом.
При проведении
исследования активно развивается широта мышления. Ведь на этом этапе необходимо
обхватить проблему в целом, не упуская при этом имеющих значение деталей,
обобщить проблему и расширить область приложения результатов, полученных в
процессе её разрешения.
1.2. Методы решения задач на построение
К основным методам решения
задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:
1) Метод геометрических
мест.
2) Методы геометрических
преобразований:
а) метод центральной
симметрии;
б) метод осевой
симметрии;
в) метод параллельного
переноса;
г) метод поворота;
д) метод подобия;
3) Алгебраический метод.
[18]
Перечисленные методы являются
одним из видов применения на практике соответствующих геометрических понятий,
которые составляют основу каждого из методов. Поэтому без хорошего знания этих
понятий учениками не может быть никакой речи об успешном усвоении
соответствующих методов. Но, с другой стороны, в силах учителя подобрать такую
систему задач на построение и так построить обучение, чтобы решаемые задачи
углубляли представление и увеличивали знания школьников о данном понятии,
раскрывая его с разных сторон. Задачи при изучении конкретного метода должны
подбираться так, чтобы в них как можно более ярко проявлялась суть изучаемого
метода, особенно на первоначальном этапе его изучения. При этом если задача
решается несколькими методами, то изучаемый метод должен позволять решить
задачу наиболее экономно и красиво.
Вывод.
Усвоение учащимися общей схемы решения задач на построение имеет
большое значение. Анализ, построение, доказательство и исследование точно
соответствуют этапам любого логического рассуждения. При введении данных
понятий следует соблюдать с одной стороны, постепенность, а с другой стороны,
настойчивость в смысле многократного систематического обращения к одним и тем
же вопросам.
Приемы обучения решению задач на построение
Рассмотрим следующие приемы, которые широко применяются на
практике решению задач на построение в общеобразовательных школах:
1. Решение задачи различными способами.
2. Использование одной задачи для решения других типовых задач.
3. Решение сложных задач комбинированием ранее решенных простых
задач.
- Решение задачи различными способами является важным средством активизации познавательной деятельности
учащихся, средством развития самостоятельности, воли, настойчивости,
критичности и других качеств личности. Учителю следует всячески поощрять
учащихся, решивших задачу нестандартным способом. Большие возможности для
решения задач несколькими способами имеют задачи на построение. [23]
- Использование одной задачи для решения типовых задач помогает учителю организовать самостоятельную работу учащихся,
использовать дифференцированный подход в обучении. Так, если в условие задачи
вносить небольшие изменения, можно получить серию задач, решаемых аналогично,
но с нарастающей трудностью. Решив первую задачу коллективно, учащиеся получают
ориентир для дальнейшей работы. Справившись со второй задачей, учащиеся могут
приступить к решению третьей и т.д. Сильным учащимся учитель может предложить
более сложную задачу сразу. Для примера рассмотрим следующую серию задач на
построение. [23]
Задача№1. Построить треугольник по двум углам ےА = а, ے В = и высоте CH =h проведенной
из вершины третьего угла.
Все построения (рис. 1)
выполнялись однозначно:
1. Δ A1CB1 , A1B1 – произвольный отрезок.
Задача имеет единственное решение.
Задача 2. Построить треугольник по двум углам ےА = а, ے В = и высоте hа (h). Эта задача по данным элементам схожа с выше рассмотренной
задачей 1, поэтому затруднений при построении не должна вызвать.
Задача 3. Построить треугольник по двум углам ےА = а, ے В = и медиане mа проведенной из вершины
третьего утла. Этапы решения этой задачи аналогичны второй задаче, поэтому с
этой задачей учащиеся справляются самостоятельно.
После решения этих задач ученики могут самостоятельно справиться и
с такими задачами:
Построить треугольник, если даны: а) ےА , ےВ, mа ; в) ےА , ےВ, m .
- Решение сложных задач комбинированием ранее решенных простых
задач дает возможность применить знания
учащихся, тем самым вызвать интерес к уроку, а следовательно, повысить его
эффективность. Сначала рассматриваются простые задачи, например, 1 . Построить
окружность радиуса г, проходящую через точку А. и 2. Построить окружность,
касающуюся параллельных прямых m и n. А затем эти две задачи можно скомбинировать, в результате чего
получится более сложная задача. Например: Построить окружность, касающуюся
параллельных прямых m и n и проходящую через точку Km, Kn. Решение
такой задачи определяется решением задач 1 и 2. [23]
Весь комплекс, состоящий
из четырех этапов решения задачи на построение (анализ, построение,
доказательство, исследование), является хорошей школой для решения и исследования
проблем развития логического мышления школьников. Именно на этих задачах можно
проследить развитие практически всех качеств мышления. В процессе решения таких
задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.
Логические трудности
главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи, т. к.
здесь необходимо умение в целом охватить проблему, изучить различные подходы к
ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в
зависимости от изменяющихся условий.
Задачи на построение
имеют большое значение для развития логического мышления учащихся. Наличие
анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач
показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у
учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на
построение они имеют дело не с конкретной определенной фигурой, а должны
создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе
решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением
одних изменяются другие и даже вся фигура. Таким образом, при решении задач
развиваются важнейшие качества мышления: гибкость, глубина, широта,
критичность, доказательность и организованность.
Рассмотрим несколько уроков по теме: «Задачи на построение»,
объединенных темой: «Построение треугольника по трем элементам».
Тема изучается в 7 классе, на её изучение отведено 3 часа по
программе для учебника Атанасяна Л.С. и др. «Геометрия 7-9» в общеобразовательных
классах.
Урок 1.
Тема: Построение треугольника
по трем элементам. Класс: 7 класс.
Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.
урока:
Образовательная: Введение
понятия «построение треугольника по трем элементам», этапов решения задач на построения,
формирование умений применять элементарные построения в новой ситуации.
Воспитательная: Воспитание
дисциплинированности, аккуратности и добросовестного отношения к занятиям.
Развивающая: Формирование
навыков пользования чертежными инструментами, формирование конструктивных
умений и развитие логического мышления.
Оборудование урока: Учебник
«Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и др., линейка, циркуль, цветной мел.
Ход урока:
1. Этап: Сообщение темы и цели урока. Мотивация. (2 мин)
Учитель: Откройте тетради и запишите тему урока: «Построение
треугольника по трем элементам». На этом уроке вы узнаете, как с помощью
циркуля и линейки можно построить треугольник.
2. Этап: Подготовка к изучению нового материала через повторение
уже изученных знаний. (5 мин)
Учитель: Вы уже встречались с задачами на построение. Давайте
вспомним, что мы научились строить, используя циркуль и линейку.
Учащиеся: Мы научились строить с помощью циркуля и линейки:
отрезок, равный данному; угол, равный данному; биссектрису данного угла;
перпендикуляр к данной прямой, через данную точку; середину данного отрезка.
Учитель: Итого мы с вами знаем 6 элементарных построений. Зная эти
построения, мы можем тратить гораздо меньше времени при решении других задач на
построение, а именно тех, о которых вы узнаете на этом уроке. Меньшая затрата
времени связана с тем, что раз уж мы знаем как выполняются элементарные
построения, то при решении задач, не придется описывать их ход построения. А
что значит решить задачу на построение?
Учащиеся: Это значит, что нам надо с помощью циркуля и линейки
построить требуемую геометрическую фигуру.
3. Этап: Ознакомление с новым материалом. (15 мин)
Учитель: Мы вспомнили, что означает решить задачу на построение.
Но задача на построение на самом деле решается гораздо сложнее, решение таких
задач складывается из четырех частей. Во-первых, анализ: здесь составляется
план решения задачи, и для этого предполагается, что задача решена. Во-вторых,
построение: на этом этапе выполняется само построение по намеченному плану.
В-третьих, доказательство: здесь мы доказываем, удовлетворяет ли условию задачи
построенная фигура. И, наконец, в-четвертых, исследование на этом этапе
смотрят: имеет ли задача решение при любых данных или нет, сколько решение у
нашей задачи, и есть ли такие случаи, когда задача не имеет решений.
Учащиеся: А мы все эти четыре этапа будем применять во время
решения задач на построение?
Учитель: Нет. Пока будем уделять внимание только построению, так
как мы с вами учимся строить ту фигуру, которая нам дана в условии задачи, а
когда научимся строить, тогда будем решать задачи по полной схеме.
Учитель: Вы уже записали тему урока. Давайте подумаем, по каким же
трем элементам, мы будем строить треугольник? Я начну, по стороне и двум углам,
...
Учащиеся: По двум сторонам и углу.
Учитель: Еще можно построить по трем сторонам.
Ребята, а какие вообще элементы треугольника вы знаете? Высота
относится к элементам треугольника?
Учащиеся: Да, еще медиана и биссектриса.
Учитель: И задач на построение треугольника по трем элементам
можно придумать очень много.
Учитель: Теперь попробуем построить треугольник по трем элементам.
Задача№1. Построить
треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Учащиеся: Записывают задачу в тетради.
Учитель: Как всегда задача начинается с «Дано», что мы сюда
записываем?
Учащиеся: Наверное, нам надо нарисовать два отрезка, задающих
стороны треугольника и угол.
Учитель: Правильно. Обозначим эти отрезки P Q ,PQ и ے hk. Записываем дано и что надо
построить.
Дано:
P Q
Построить: ΔАВС: АВ= P Q, АС= PQ, ےА= ےhk
Прежде, чем начать построение, схематически от руки изобразим
треугольник АВС, который нам надо построить.
A B
Нам надо построить треугольник АВС так, чтобы АВ= P Q, АС= PQ,
ےА= ےhk
Построение:
С М
а
А В
Сначала построим произвольную прямую а, на ней отметем
произвольную точку А. На прямой а отложим отрезок АВ= PQ, затем построим
ےВАМ =ے hk. На луче АМ отложим отрезок АС=PQ, и проведем
отрезок ВС. Треугольник АВС - искомый. Каждый «шаг» построения учитель выделяет
цветным мелом.
И давайте запишем ход решения;
1. а, А а
2. АВ= PQ
3 . ےВАМ = ے hk
4. АС=PQ
5. ВС
ΔАВС - искомый.
Учащиеся: Записывают ход решения задачи в свои тетради.
Учитель: Мы построили треугольник по двум сторонам и углу между
ними, А теперь вы попытаетесь самостоятельно построить треугольник по стороне и
двум прилежащим к ней углам.
Учащиеся: После обсуждения выдвинутых гипотез начинают выполнять
задание.
Учитель следит за работой учащихся, подходит к каждому ученику,
помогает, если возникают какие-нибудь трудности.
Учащиеся: Для того чтобы построить треугольник по стороне и двум
прилежащим к углам, надо: построить произвольную прямую а, на ней произвольную
точку А. На прямой а отложить отрезок АВ, равный данному. Затем строим углы А и
В, которые тоже даны в условии. Стороны углов пересекутся в точке С, получился
искомый треугольник АВС,
Учитель: Верно. А теперь, применим полученные знания и решим №
290(а).
Учащиеся: Открывают тетради и читают задание.
4. Этап: Первичное осмысление и закрепление изученного. (15 мин)
Задача№2. Построить
прямоугольный треугольник, по двум катетам.
Учитель: Вызывает одного ученика к доске для краткой записи
условия.
Дано:
P Q
P Q
Построить: ΔАВС: АВ = PQ, АС= PQ, ےА -прямой.
Поиск решения:
Учитель: Что дано в задаче?
Ученик: Два катета,
Учитель: А, что требуется построить?
Ученик: Прямоугольный треугольник.
Учитель: Какой треугольник называется прямоугольным?
Ученик: Имеющий один прямой угол.
Учитель: Между какими сторонами находится прямой угол?
Ученик: Между катетами.
Учитель: Можем ли мы построить прямой угол?
Ученик: Да, Проведем перпендикуляр к прямой.
Учитель: Начинай построение.
Построение: М
1. а, А а C
2. АВ = PQ
3. АМа, ےА
4. АС=PQ
5. ВС АВС - искомый.
A B а
Учитель: Следующий номер 291 (а).
Задача№3. Постройте
равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу, противолежащему
основанию.
Учащиеся: Обсуждают решение задачи.
Учитель: Вызывает ученика к доске.
Учащиеся: Выполняют решение самостоятельно, затем сверяются с
решением задачи на доске.
5. Этап: Подведение итогов и постановка домашнего задания. (3 мин)
Учитель: Сегодня мы строили треугольник по трем элементам. Как
построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Учащиеся: На прямой откладываем отрезок, равный одному из данных,
затем строим угол, равный данному и на стороне этого угла строим другую
сторону, равную другому отрезку, потом строим третью сторону и получаем
треугольник,
Учитель: Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к
ней углам?
Учащиеся: На прямой откладываем отрезок, равный данному, затем на
его концах строим два угла, равных данным, на пересечении сторон этих углов
будет лежать третья точка треугольника, получим искомый треугольник.
Учитель: Запишите задание на дом. Из учебника: пункт 38
прочитать и решить номер 290(6), 291(6).
Урок 2.
Тема: Построение треугольника
по трем элементам. Класс: 7 класс.
Тип урока:
Комбинированный
Цели урока:
Образовательная: Формирование
умений применять полученные знания при решении задач, ознакомление учащихся с задачей
о построении треугольника по трем сторонам.
Воспитательная: Воспитание
дисциплинированности, аккуратности и добросовестного отношения к занятиям,
Развивающая: Формирование
навыков использования чертежных инструментов, формирование конструктивных умений
и развитие логического мышления.
Оборудование урока: Учебник
«Геометрия 7-9» Атанасяна Л. С, и др., линейка, цветной мел.
Ход урока:
1. Этап: Сообщение темы и цели урока. Мотивация. (2 мин)
Учитель: Откройте тетради и запишите тему урока: «Построение треугольника
по трем элементам». На этом уроке вы узнаете, как с помощью циркуля и линейки
можно построить треугольник по трем сторонам.
Учащиеся: Открывают тетради, записывают тему урока.
2. Этап: Проверка домашнего знания. (5 мин)
Учитель: Проходит по рядам, просматривает наличие домашней работы.
Учащиеся: Открывают свои тетради, показывают работы.
Учитель: Скажите, как построить треугольник по двум сторонам и
углу между ними?
Учащиеся: Сначала построим произвольную прямую, на ней отметем
произвольную точку. На этой прямой отложим отрезок, равный одному из данных,
затем построим угол. На другой стороне угла отложим отрезок, равный другому
данному, и проведем третий отрезок. Получим искомый треугольник.
Учитель: Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к
ней углам?
Учащиеся; Для того чтобы построить треугольник по стороне и двум
прилежащим к ней углам, надо: построить произвольную прямую, на ней
произвольную точку. На прямой отложить отрезок, равный данному. Затем строим
углы, которые тоже даны в условии. Стороны углов пересекутся в точке, получим
искомый треугольник.
Учитель: Итак, в двух рассмотренных задачах треугольник строили по
трем элементам: по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум
прилежащим к ней углам. Какие еще тройки элементов можно выбрать, чтобы можно
было его построить?
Учащиеся: По трем сторонам.
3 Этап: Ознакомление с новым материалом. (10 мин)
Учитель: Теперь рассмотрим следующую задачу:
Задача №1. Построить
треугольник по трем сторонам.
Дано: P___________________
Q
P________________ Q
Р3______________________Q
Построить: ΔАВС: АВ = P Q, АС= PQ, АС=Р3Q
Учитель: На прошлом уроке мы строили треугольник, и мы искали три
точки - вершины этого треугольника. Эти точки будем называть «характерными
точками» и в треугольнике их три.
Прежде чем приступить к решению задачи, давайте устно проведем
анализ этой задачи. Изобразим от руки треугольник АВС.
Поиск решения:
Учитель: Что дано в задаче?
Учащиеся: Три отрезка.
Учитель: Что требуется построить?
Учащиеся: Треугольник АВС.
Учитель: Какие «характерные точки» необходимо найти, чтобы
построить треугольник?
Учащиеся: Точки А, В и С,
Учитель: На рисунке указаны следующие «характерные точки»: мы
можем на произвольной прямой выбрать произвольную точку А и отложить отрезок АВ
= PQ. Значит А и В.
Какие «характерные точки» остается построить?
Учащиеся: Точку С.
Учитель: На пересечении каких линий лежит точка С?
Учащиеся: Точка С лежит на пересечении сторон треугольника АС и
ВС,
Учитель: Точку С мы можем найти, построив две окружности: одну с
центром в точке В и радиусом PQ, другую с
центром в точке А и радиусом Р3Q. Мы нашли все «характерные точки» и можем приступать к
построению.
Построение: (Учитель выполняет построение цветным мелом)
Учитель: Запишем ход построения по пунктам
1. а, А а
2. АВ= PQ,
3 . Окр(В, PQ) ОкР(А, Р3Q) = С
4. АС, ВС
ΔАВС - искомый.
Учащиеся: Записывают ход построений
Доказательство:
Учитель: Давайте докажем (устно), что треугольник АВС и есть
искомый. По
построению АВ = P Q, АС= PQ, АС=Р3Q, значит треугольник АВС - искомый.
Исследование:
Учитель: Обратите внимание, задача не всегда имеет решение. Если
сумма двух сторон меньше или равна третьей стороне, то треугольник построить
нельзя.
4, Этап: Первичное осмысление и закрепление изученного. (20 мин)
Учитель: А теперь давайте решим номер 291 (г).
Задача №2. Построить
равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне
Дано: P___________________ Q
P________________ Q
Построить: ΔАВС: АВ = PQ, АС= Р2О2.
Поиск решения:
Учитель: Что дано в задаче?
Учащиеся: Основание и боковая сторона.
Учитель: А, что требуется построить?
Учащиеся: Равнобедренный треугольник. А Учитель: А что мы знаем о
сторонах равнобедренного треугольника?
Учащиеся: Боковые стороны равны
Учитель; Какие стороны боковые?
Учащиеся: АС и ВС,
Учитель: Какие «характерные точки» необходимо найти, чтобы
построить равнобедренный треугольник? Учащиеся; А, В и С, Учитель: Какие
«характерные точки» указаны на рисунке? Учащиеся: На произвольной прямой можно
выбрать точку А и отложить отрезок АВ= PQ. Значит А и
В.
Учитель: Какие «характерные точки» осталось построить?
Учащиеся: Точку С.
Учитель: На пересечении каких линий лежит точка С?
Учащиеся: На пересечении сторон треугольника АС и ВС.
Учитель: Как построить точку С?
Учащиеся: Построим две окружности: одну с центром в точке А и
радиусом
другую с центром в точке В и радиусом Р2О2.
Учитель: Все ли «характерные точки» найдены?
Учащиеся: Да, все.
Учитель: Начинаем построение.
Построение:
1. а, А а
2. АВ= PQ,
3 . Окр (А, PQ) Окр (В, PQ) = С
4. АС, ВС
ΔАВС - искомый.
Учитель: Докажите, что треугольник искомый.
Учащиеся: По построению треугольник удовлетворяет всем условиям
задачи.
Учитель: Всегда ли задача имеет решение?
Учащиеся: Нет, если сумма двух сторон меньше или равна третьей
стороне, то треугольник построить нельзя. Следующий номер 292(а) решаем
самостоятельно, в конце проверим как вы ее решили.
Учащиеся: Решают задачу.
Учитель: Проходит по классу, следит за правильностью решения
задачи. Когда видит, что задачу решили все просит одного из учеников описать
последовательность построений.
Задача №3: Даны отрезки
PQ,PQ, Р3Q- Построить треугольник АВС так, чтобы: АВ= PQ, ВС= PQ, АС= 2 Р3Q.
Учащиеся: Здесь следует построить треугольник по трем сторонам
так, чтобы одна из сторон была равна сумме одинаковых отрезков, т. е. отрезок
равный 2 Р3Q можно
заменить другим отрезком РQ. Дальше
строится треугольник по трем сторонам.
5. Этап: Подведение итогов и постановка домашнего задания. (3 мин)
Учитель: Как построить треугольник по трем сторонам?
Учащиеся: На произвольной прямой откладываем отрезок, равный
одному из данных, затем строим две окружности с центрами на концах построенного
отрезка, радиусы которых равны данным отрезкам, получим третью вершину
треугольника, соединяем вершины, получим треугольник.
Учитель: Как вы думаете, можно ли установить связь между задачами,
решаемыми на двух последних уроках и признаками равенства треугольников? Если да,
то в чем она заключается.
Учащиеся: Да. При доказательстве, что построенный треугольник
искомый мы использовали признаки равенства треугольников.
Учитель: Задание на дом: номер 292(6), РТ: № 202 и пункт 38
прочитать.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.