Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 4

Вариант № 4

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

а). Так как точка касания окружностей лежит на лини их центров, получим три уравнения: O₁O₂ = O₁C – O₂C = R₁ – R₂;

O₁O₃ = O₁B – O₃B = R₁ – R₃;     O₂O₃ = O₂E + O₃E = R₂ + R₃;

Сложим левые и правые части этих уравнений и получим:

O₁O₂ + O₁O₃ + O₂O₃ = 2R₁.              Доказано.

б). По условию: R₁= O₁C =O₁B = 4; R₂ = O₂E = O₂C = 1.

  1. Проведем O₃H ⊥ O₁O₂;  O₃ H = O₃B = O₃ E = R₃ = x.

       O₁O₂ = R₁ – R₂ = 3;     O₁O₃ = R₁ – R₃ = 4 – x;

   O₂O₃ = R₂ + R₃ = x + 1;  O₂H = O₁O₂  – O₁H = 3 – O₁H.

2. В  O₁O₃H: (O₁H)² = (O₁O₃)² – (O₃H)² = (4 – x)²– x ² = =16 –8x,  O₁H =2; x 2,  O₁O₃ O₁O₂.

3. В  O₂O₃H:  (O₂O₃)² = (O₂ H)² + (O₃H)².

 Получим:   (3 – 2)² + x ² = (x + 1)². 

12 = 24 – 10x;  25x ²  = 0,   =  1,92.

Ответ: R₃ 1,92.