Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 15

Вариант № 15

Медианы  АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А₂,  В₂ и С₂ – середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника  А₁В₂С₁А₂В₁С₂  вдвое меньше площади АВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.

а) Медиана делит треугольник на два равновеликих  

 = S₁;    = S₂;    = S₃;    = S₄;

 = S₅;    = S₆;

Тогда = S₁ + S₂  + S₃  + S₄  + S₅  + S₆.

= 2(S₁ + S₂  + S₃  + S₄  + S₅  + S₆).  

=   .              Доказано.

б)  1. Заметим, что  А₁В₂  =  А₂В₁ =    МС = c, как средние линии  BCM и   АCM.

Аналогично:  B₁C₂  =  B₂C₁ =    МA = a   и    С₁А₂  =  С₂А₁ =    МВ = b,  причем по свойству медиан:  c  =   СС₁ ,  a =   АА₁ ,  b  =  BB₁ .

2. Продлим медиану  АА₁  на её длину, получим параллелограмм ABDC c диагоналями AD и BC.

Применив теорему косинусов для ABC и ABD, получим, что AD²+BC²=AB²+BD²+DC²+AC²,

AD ²=4(AA₁)² = 2 AB² + 2AC ² – ВС² ,

 (АА₁)² =  (2АВ² + 2АС² – ВС²). 

Аналогично получим:                                                                                                 

(ВВ₁)² =  (2АВ² + 2ВС² – АС²)  и  (СС₁)² =  (2ВС² + 2АС² – АВ²),

(АА₁)² + (BB₁)² + (СС₁)² = (АВ² + ВС² + АС²).   Сумма квадратов сторон шестиугольника равна:  2 a ² + 2 b ² + 2 c ² =((АА₁)² + (АА₁)² + (СС₁)²) =

· (АВ² + ВС² + АС²) =  (16 + 49 + 64) =  = 21,5.

Ответ: 21,5.