Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 16

Вариант № 16

Окружность с центром О вписана  угол, равный 60^ᵒ. Окружность большего радиуса с центром О₁ также вписана в этот угол и проходит через точку О.

а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.

б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2˅͞3.

а) Так как окружности вписаны в угол А, то АО₁ – биссектриса угла А. 

∠ О₁АН = 30^ᵒ,  ОК = R,   О₁О = О₁Н = R₁;   AO₁ = 2R₁, AO = 2R, AO₁ = AO + О₁О,  2R₁ = 2R + R₁,    R₁ = 2R.

Доказано.

б) R = 2˅͞3 ,  R₁= 4˅͞3 . ВС- общая хорда.

Точки  В и С симметричны относительно биссектрисы  АО₁  ВР = РС и  ВС⊥ АО₁.

1.    Рассмотрим   О₁ОC.

 О₁О = О₁С = R₁= 4˅͞3 ;    ОC = R = 2˅͞3 , OM = МС = ˅͞3 ;

 О₁М² = О₁О² – ОМ² = 48 – 3 = 45  и  О₁М = 3˅͞5 .

    2.   ОО₁М и  ОCР подобны (∠Р = ∠М = 90^ᵒ,   ∠О – общий),         ОО₁ : ОC = О₁М : CР,   CР = (ОC ·О₁М) : ОО₁ =

 (2˅͞3 ·3˅͞5 ) : 4˅͞3  = 1,5˅͞5  ,  ВР = 2СР = 3˅͞5 .

Ответ: 3˅͞5 .