Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 20

Вариант № 20

  Две окружности пересекаются в точках  P и Q. Прямая, проходящая через точку  P, второй раз пересекает первую окружность в точке А, а вторую – в точке D.  Прямая, проходящая через точку  Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую – в точке C.

а) Докажите, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.

б) Найдите отношение ВР : РС, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

  а) Обозначим ∠ PQB = α, ∠ PQС = β, причем α + β = 180^ᵒ   (смежные).

Так как четырехугольники APQB и PDCQ – вписанные, то ∠ PQB + ∠ PАB = 180^ᵒ и     ∠ PQС + ∠ PDB = 180^ᵒ,  

∠ PАB = β,  а ∠ PDС = α  

∠ PАB + ∠ PDС = α + β = 180^ᵒ, а это односторонние углы  AB  DC, а по условию AD  BC,   ABCD – параллелограмм.

                                                                                               Доказано.

б) PQB и  PDС – вписанные и по теореме синусов:

PB : sin∠ PQB = 2R₁, PC : sin∠ PQC = 2R₂, где R₁ и R₂ соответственно радиусы первой и второй окружностей. PB = 2R₁ sin∠ PQB и PС = 2R₂ sin∠ PQС.

Так как ∠ PQB + ∠ PQС = 180^ᵒ, то sin∠ PQB = sin∠ PQС = sinα.

По условию R₁ = 2R₂,  ВР : РС = 4R₂ sinα : 2R₂ sinα = 2.

                                                                                            Ответ: ВР : РС = 2.