Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 32

Вариант № 32

Противоположные стороны AD и BC  четырехугольника ABCD параллельны. Через вершины В и D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ АС в точках M и N соответственно. Оказалось, что АМ = MB = NC.

а)  Докажите, что ABСD – параллелограмм.

б) Найдите отношение площади четырехугольника BMDN к площади параллелограмма ABСD.

а)  1. По условию AD  BC и  BF  ED

  FBED – параллелограмм и BE = FD = a.

2. По теореме Фалеса:

т.к. AM = MN и BF  ED,  AF = FD = a, тогда AD = 2a.

т.к. MN = СN и BF  ED,  BE = EC = a, тогда BC = 2a.  AD = BC, AD  BC, 

ABСD – параллелограмм.

Доказано.

б) Так как медиана делит треугольник на два равновеликих, получим:

 = = S;  = = S,  

= 3S, а так как AС – диагональ параллелограмма, то = 6S.

 = = S, ( ABM =  CDN по I признаку).   = = S,   

= 2S,  : = 2S : 6S = 1 : 3.

1 : 3.