Геометрия. ЕГЭ 2017. Задача №16. Вариант 38

Вариант № 38

На сторонах AС и BС треугольника  АBС вне треугольника построены квадраты  ACDE и  BFKC. Точка M – середина стороны AB.

а) Докажите, что CM = DK.

б) Найдите расстояния  от точки  M до центров квадратов,  если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30^ᵒ.

а) Проведем HBAC, HBAC; KPCD, KPCD; получим параллелограммы ACBH и CDPK, в которых AC = CD и KC = BC (из условия).

∠ ACD +∠BCK = 30^ᵒ + 30^ᵒ = 180^ᵒ  

∠ ACB +∠DCK = 180^ᵒ.

∠CBH +∠ACB= 180^ᵒ, как односторонние углы.   ∠CBH =∠DCK. Аналогично ∠ ACB =∠CKP.

 Параллелограммы ACBH и CDPK равны, так как равны все соответственные стороны и углы.

CH = DK, а так как точка M – середина стороны AB, то CM = CH= DK.

                                                Доказано.

б)  Для нахождения MO и MO₁ применим метод координат.

Начало координат – точка А(0; 0), ось Ox – вдоль АС, ось Oy ⊥ АС.

Найдем координаты нужных точек из условия ( АС = 6, ВС = 10, ∠ ACB = 30^ᵒ,

О₁ – середина СЕ, О – середина ВК, М – середина АВ):

С(6; 0), Е( 0; –6), О₁(3; –3), В(6–5; 5), К(11; 5), О(; ), М(;).

МО² = ()² + ()² = 49,  МО = 7.

МО₁² = (– )² + ()² = 49,  МО₁ = 7.

                                                                                       Ответ: МО = МО₁ = 7.