Геометрия.

              8 класс

Тема урока: Теорема Пифагора.

Образовательные задачи: сформулировать и доказать теорему Пифагора, выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах и работать с пространственно – схематической записью выражения;

Задачи развития: развивать математическую речь, абстрактное мышление, т.е. познавать материал от частного к общему, самостоятельно обобщать материал; развивать творческое мышление;

Воспитательные задачи: формировать адекватную самооценку на каждом этапе урока, воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.

урок изучение нового материала.

Организационный момент:

Девиз нашего урока: «Мир, который нас окружает – это мир геометрии. Так давайте его познавать!» И мы будем его познавать! Сегодня у нас работают 4 лаборатории: 2 практические и 2 исследовательские. В каждой лаборатории есть заведующий и его заместитель – это мои помощники. Они будут координировать, и проверять работу в своих лабораториях. Это наиболее сильные по знаниям ученики. Практики – это ребята со средним и достаточным уровнем учебных достижении, а исследователи – с достаточным и высоким уровнем. У каждого на парте лежит план работы на уроке. По  окончанию каждого этапа ученик оценивает свою работу баллами, максимальное кол-во которых указано. Задания каждой группы отличается уровнем сложности.

Урок состоит из 4 этапов:

1)     Получение прямоугольного треугольника;

2)     Практическая или исследовательская работа (доказательство теоремы Пифагора) ;

3)     Решение задач;

4)     Домашнее задание.

Итак, начинаем работу:

I.                  Этап (мотивационный)

У каждого на столе лежит веревка, на которой через одинаковые расстояния завязаны 12 узлов. Через 1 минуту вы должны продемонстрировать, как в Древнем Египте с помощью такого приспособления строили прямоугольные треугольники. (Проверка ответов) Давайте проверим правильно ли? (Видео)

 Итак, сколько узелков содержит катеты и гипотенуза. 3, 4 и 5. Такой треугольник имеет название – «египетский треугольник». Мы должны установить зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Что мы знаем?	Что мы знаем о прямоугольным треугольнике; 1)     Определение, название сторон прямоугольного  треугольника; 2)     Гипотенуза больше катета; 3)     Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике; 4)     Свойство катета, лежащего против угла 300; 5)     Центр описанной  окружности  около прямоугольного  треугольника; 6)     Признаки равенства прямоугольных треугольников; 7)   S∆=  ; 8)     И еще понадобятся знания алгебры: квадрат числа и квадратный корень из числа.
Что мы хотим узнать?	Как вы думаете, кто установил зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике?  (Пифагор(историческая справка)) Давайте внимательно посмотрим (видео)
Вопросы:	Кто такой Пифагор? Что он создал? Где он постигал мудрость жрецов? Что изучал Пифагор, его школа пифагорейцев? Что вы можете дополнить? (Защита рефератов).

 

Давайте мы сами попробуем установить зависимость между катетами и гипотенузой

II.               Этап (информационный)

Практическая лаборатория выполняет практическую работу, а исследовательская лаборатория – исследовательскую, и сообщают нам свои результаты и выводы (на доске).

1 группа

Примерное равенство квадрата гипотенузы и суммы квадратов катетов

 

2 группа

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе = сумме площадей квадратов, построенных на катетах:

 

3 группа

Доказательство теоремы Пифагора с помощью понятия косинуса острого угла прямоугольного треугольника

 

4 группа

Доказательство теоремы Пифагора через площадь квадрата и прямоугольного треугольника

Задания в группах смотреть в приложении.

Вывод: запишем формулу треугольника Пифагора: (сюжет ТV).

III.           Этап (Коррекционный этап)

Решение задач:

1 группа

Существует ли прямоугольный треугольник со сторонами: По теореме Пифагора: 3;4;5 – да                              9+16=25 6;8;10 – да                           36+64=100 9;12;15 – да                         81+144=225 7;8;15 – нет                       49+64=113

 

2 группа

1)     В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8 см. Чему равна гипотенуза? a=6, b=8  по теореме Пифагора   c2=100, т.е. c=10 В прямоугольном треугольнике катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см. Чему равен второй катет? a=5, b=13  по теореме Пифагора (по следствию) b2=c2-a2      b2=169-25     b2=144     b=12

Задача о тополе.

3 группа 300                             c= 2×3=6см                              b2= c2-a2                                               b2= 36 – 9                                           b2=27                                 b=                                   b=3                                                   600 Ответ: b =3

4 группа AB - ? BC = 5, AB = x,         AC = x+1 AC2= AB2 + BC2 (x+1)2 = x2 + 25 X2 + 2x + 1 = x2 + 25 2x= 24 X = 12   Ответ: 12 см

 

IV.      Итог урока

-Что мы узнали на уроке?

- Сформулировали теорему Пифагора.

- Доказали теорему различными способами.

- Познакомились с египетским треугольником и его свойствами.

Ребята! Ответьте на вопросы:

-       Сможете ли вы сформулировать теорему Пифагора?

-       Доказать теорему Пифагора

-       Сможете ли находить гипотенузу, зная катеты треугольника?

-       Умеете ли вы находить катет, зная гипотенузу и второй катет?

Хорошо ли вы поработали на уроке? (Самооценка)

 

IV.           Домашнее задание

Домашнее задание для 1 и 2 группы: п.63,64 №3 (1,2); 3 и 4 группы  п.63,64 №6 (3,7) стр. 114. Найти другие способы доказательства теоремы Пифагора. Подготовить рефераты на тему:

1)Заповеди пифагорейской школы.

2)Пифагор и нумерология.

3)Легенды о Пифагоре.

4) Вклад Пифагора в музыку.

5)»Пифагоровы» тройки чисел.

 

«Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где бо льше способных к обучению людей.»

 

В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев.»

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):

«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
Славную он за него жертву быками воздвиг.»

Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.

Аристотель затрагивает развитие представлений о космологии в работе «Метафизика», однако вклад Пифагора в ней никак не озвучен. По Аристотелю космологическими теориями занимались пифагорейцы в середине V в. до н. э., но, видимо, не сам Пифагор. Пифагору приписывают открытие, что Земля — шар, но то же открытие наиболее авторитетный автор в этом вопросе, Феофраст, отдаёт Пармениду. Да и Диоген Лаэртский сообщает, что суждение о шарообразности Земли высказывал Анаксимандр Милетский, у которого учился Пифагор в юности.

В то же время, научные заслуги школы пифагорейцев в математике и космологии бесспорны. Точку зрения Аристотеля, отражённую в его несохранившемся трактате «О пифагорейцах», передал Ямвлих^[9]. По Аристотелю, истинными пифагорейцами были акусматики, последователи религиозно-мистического учения о переселении душ. Акусматики рассматривали математику как учение, исходящее не столько от Пифагора, сколько от пифагорейца Гиппаса. В свою очередь, математики-пифагорейцы, по их собственному мнению, вдохновлялись направляющим учением Пифагора для углублённого изучения своей науки.

 

Приложение

Группа № 1

1.     Получение прямоугольного треугольника (3 балла)

2.     Практическая работа (2 балла)

Для каждого из прямоугольных треугольников измерьте длины катетов и гипотенузы. Данные в таблицу.

A

 

 

 

 

 

 

 

 

B                                   C

Катет	Катет	Гипотенуза	Квадрат катета	Квадрат катета	Сумма квадратов катета	Квадрат гипотенузы
AB	BC	AC	AB2	BC2	AB2+BC2	AC2
MN	NK	MK	MN2	NK2	MN2+ NK2	MK2

Сравните полученные результаты в двух последних колонках для каждого треугольника. Запишите вывод. (3 балла)

3.     Задача. (2 балла)

Существует ли прямоугольный треугольник со сторонами:

3см,4см,5см? 6см,8см,10см? 9см,12см,15см?   7см,8см,9см?

4.     Домашнее задание

П. 63, 64; №6 (3); 7; стр. 114    Найти другой способ доказательства теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).

Подготовить реферат на тему (по выбору):

*        Заповеди пифагорейской школы.

*        Пифагор и нумерология.

*        Легенды о Пифагоре.

 

 

Группа №2

 

1.     Получение прямоугольного треугольника (3 балла)

2.     Исследовательская работа

Для каждого прямоугольного треугольника подберите квадраты, стороны которых совпадают со сторонами треугольника. Назовем S₁, S₂ – площади квадратов, построенных на катетах и S₃ – площадь квадрата, построенного на гипотенузе. Определите площади квадратов по количеству клеток и занесите данные в таблицу

	S1	S2	S2+S1	S3
	S1	S2	S2+Sq	S3
1 треугольник
2 треугольник

 

 

 

 

 

 

 

Сделайте вывод. (3 балла)

3.     Задача. (2 балла)

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Чему равна гипотенуза?

В прямоугольном треугольнике катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см. чему равен второй катет?

4.     Домашнее задание.

П. 63, 64; №6 (3); 7; стр. 114

Найти другой способ доказательства теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).

Подготовить реферат на тему (по выбору):

*        Заповеди пифагорейской школы.

*        Пифагор и нумерология.

*        Легенды о Пифагоре.

*        Вклад Пифагора в музыку.

*        «Пифагоровы» тройки чисел

 

 

Группа № 3

1.     Получение прямоугольного треугольника (3 балла)

2.     Исследовательская работа

Установить зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольнике.

B

 

 

 

A                                                          C

D

Заполни пропуски:

1)     Из треугольника ABC: cos A = …

Из треугольника ABD: cos A = …

Левые части равенств равны, значит, равны и правые части, тогда равны отношения:

Установить зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике  = , по правилу пропорции, имеем: … = … * …                                                                            (1)

2)   Из треугольника ABC: cos C =

Из треугольника CDB: cos C =

Аналогично рассуждениям в первом пункте составьте равенство двух отношений и примените к нему основное свойство пропорции:

 = , … = …*…                                               (2)

 

3)     Сложим почленно полученные равенства  (1) и (2):

AC² = AC×AD

BC² = AC ×DC

AC² +BC²= …….. + …….. = Вынести общий множитель = … (… + …) = Смотри рисунок = … × …

 

Сделайте вывод (3 балла)

3.     Задача (3 балла)

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см и прилежащий к нему угол равен  60⁰. Найдите второй катет

4.     Домашнее задание

П. 63, 64; № 6(3), 7, стр. 144

Найти другой способ доказательства теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).

Подготовить реферат на тему (по выбору):

*        Заповеди пифагорейской школы.

*        Пифагор и нумерология.

*        Легенды о Пифагоре.

*        Вклад Пифагора в музыку.

*        «Пифагоровы» тройки чисел.

 

Группа № 4

1.     Получение прямоугольного треугольника (3 балла)

2.     Исследовательская работа

Дан квадрат.

 

 

 

 

 

Ответьте на следующие вопросы:

*        Равны ли прямоугольные треугольники, и по какому признаку равенства?

*        Что можно сказать о площади внутреннего квадрата и площади одного такого треугольника? О площади внешнего квадрата и внутреннего?

Пусть катеты прямоугольного треугольника a, b, а гипотенуза  c

Заполните пропуски:

Площадь внутреннего квадрата со стороной … равна c², площадь прямоугольного треугольника равна

 

Площадь внешнего квадрата со стороной (…+…)  равна(a+b)². Можно составить равенство: (a+b)²= c…+

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

Что получилось? Запишите вывод (3 балла)

3.     Задача ( 3 балла)

Задача из старинного китайского трактата. В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера?

 

 

AB - ?

 

 

 

 

 

 

 

4.     Домашнее задание.

П. 63, 64; №6 (3); 7; стр. 114

Найти другой способ доказательства теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).

Подготовить реферат на тему (по выбору):

*        Заповеди пифагорейской школы.

*        Пифагор и нумерология.

*        Легенды о Пифагоре.

*        Вклад Пифагора в музыку.

«Пифагоровы» тройки чисел.