Геометрия.
8 класс
Тема урока: Теорема Пифагора.
Образовательные задачи: сформулировать и
доказать теорему Пифагора, выработать умение применять теоретические знания в
практических расчетах и работать с пространственно – схематической записью
выражения;
Задачи развития: развивать
математическую речь, абстрактное мышление, т.е. познавать материал от частного
к общему, самостоятельно обобщать материал; развивать творческое мышление;
Воспитательные задачи: формировать
адекватную самооценку на каждом этапе урока, воспитывать интерес к предмету
через ситуацию успеха и взаимодоверия.
урок изучение нового материала.
Организационный момент:
Девиз нашего урока: «Мир, который нас
окружает – это мир геометрии. Так давайте его познавать!» И мы будем его
познавать! Сегодня у нас работают 4 лаборатории: 2 практические и 2 исследовательские.
В каждой лаборатории есть заведующий и его заместитель – это мои помощники. Они
будут координировать, и проверять работу в своих
лабораториях. Это наиболее сильные по
знаниям ученики. Практики – это ребята со средним и достаточным уровнем учебных
достижении, а исследователи – с достаточным и высоким уровнем. У каждого на
парте лежит план работы на уроке. По окончанию каждого этапа ученик оценивает
свою работу баллами, максимальное кол-во которых указано. Задания каждой группы
отличается уровнем сложности.
Урок состоит из
4 этапов:
1)
Получение
прямоугольного треугольника;
2)
Практическая
или исследовательская работа (доказательство теоремы Пифагора) ;
3)
Решение
задач;
4)
Домашнее задание.
Итак, начинаем
работу:
I.
Этап (мотивационный)
У каждого на столе лежит
веревка, на которой через одинаковые расстояния завязаны 12 узлов. Через 1
минуту вы должны продемонстрировать, как в Древнем Египте с помощью такого
приспособления строили прямоугольные треугольники. (Проверка ответов) Давайте проверим
правильно ли? (Видео)
Итак, сколько узелков
содержит катеты и гипотенуза. 3, 4 и 5. Такой треугольник имеет название – «египетский
треугольник». Мы должны установить зависимость между катетами и гипотенузой
прямоугольного треугольника.
|
Что мы знаем?
|
Что мы знаем о прямоугольным треугольнике;
1) Определение, название сторон
прямоугольного треугольника;
2)
Гипотенуза
больше катета;
3)
Косинус
острого угла в прямоугольном треугольнике;
4)
Свойство
катета, лежащего против угла 300;
5)
Центр
описанной окружности около прямоугольного треугольника;
6)
Признаки
равенства прямоугольных треугольников;
7) S∆=  ;
8) И еще понадобятся знания
алгебры: квадрат числа и квадратный корень из числа.
|
|
Что мы хотим узнать?
|
Как вы думаете, кто установил
зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике?
(Пифагор(историческая справка))
Давайте внимательно посмотрим
(видео)
|
|
Вопросы:
|
Кто такой Пифагор?
Что он создал?
Где он постигал мудрость жрецов?
Что изучал Пифагор, его школа
пифагорейцев?
Что вы можете дополнить? (Защита
рефератов).
|
Давайте мы сами попробуем
установить зависимость между катетами и гипотенузой
II.
Этап (информационный)
Практическая лаборатория
выполняет практическую работу, а исследовательская лаборатория –
исследовательскую, и сообщают нам свои результаты и выводы (на доске).
|
1 группа
|
Примерное равенство квадрата
гипотенузы и суммы квадратов катетов
|
|
2 группа
|
Площадь квадрата, построенного
на гипотенузе = сумме площадей квадратов, построенных на катетах:
|
|
3 группа
|
Доказательство теоремы Пифагора
с помощью понятия косинуса острого угла прямоугольного треугольника
|
|
4 группа
|
Доказательство теоремы Пифагора
через площадь квадрата и прямоугольного треугольника
|
Задания в группах смотреть в
приложении.
Вывод: запишем формулу треугольника Пифагора:
(сюжет ТV).
III.
Этап (Коррекционный этап)
Решение задач:
|
1 группа
|
Существует ли прямоугольный
треугольник со сторонами: По теореме Пифагора:
3;4;5 –
да 9+16=25
6;8;10 – да 36+64=100
9;12;15 –
да 81+144=225
7;8;15 –
нет 49+64=113
|
|
2 группа
|
1)
В
прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8 см. Чему равна гипотенуза?
a=6, b=8 по теореме Пифагора
c2=100, т.е. c=10
В прямоугольном треугольнике
катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см. Чему равен второй катет?
a=5, b=13 по теореме Пифагора (по следствию)
b2=c2-a2
b2=169-25
b2=144 b=12
|
Задача о тополе.
|
300 c= 2×3=6см
b2= c2-a2
b2= 36 – 9
b2=27
b=
b=3
600
Ответ: b =3
|
AB - ?
   BC =
5, AB = x,
AC = x+1
 AC2= AB2 + BC2
(x+1)2 = x2 + 25
X2 + 2x + 1
= x2 + 25
2x= 24
X = 12
Ответ: 12 см
|
IV. Итог урока
-Что мы узнали на уроке?
- Сформулировали теорему Пифагора.
- Доказали
теорему различными способами.
- Познакомились с
египетским треугольником и его свойствами.
Ребята!
Ответьте на вопросы:
- Сможете ли вы
сформулировать теорему Пифагора?
- Доказать теорему
Пифагора
- Сможете ли
находить гипотенузу, зная катеты треугольника?
- Умеете ли вы
находить катет, зная гипотенузу и второй катет?
Хорошо ли вы поработали
на уроке? (Самооценка)
IV.
Домашнее задание
Домашнее задание для 1 и 2
группы: п.63,64 №3 (1,2); 3 и 4 группы п.63,64 №6 (3,7) стр. 114. Найти другие
способы доказательства теоремы Пифагора. Подготовить рефераты на тему:
1)Заповеди пифагорейской
школы.
2)Пифагор и нумерология.
3)Легенды о Пифагоре.
4) Вклад Пифагора в музыку.
5)»Пифагоровы» тройки чисел.
«Его философия распространилась, вся
Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на
Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать
во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело,
подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что
все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от
общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую
оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну,
где бо льше
способных к обучению людей.»
В современном мире Пифагор считается великим математиком
и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в.
до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет
Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё
Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может
быть, нескольких случаев.»
Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника
равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях
Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках
(источник стихов не известен):
«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
Славную он за него жертву быками воздвиг.»
Современные историки предполагают, что Пифагор не
доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским
глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в
авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.
Аристотель затрагивает развитие представлений о космологии в
работе «Метафизика», однако вклад Пифагора в ней никак не озвучен. По
Аристотелю космологическими теориями занимались пифагорейцы в середине V в. до н.
э., но, видимо, не сам
Пифагор. Пифагору приписывают открытие, что Земля — шар, но то же открытие
наиболее авторитетный автор в этом вопросе, Феофраст, отдаёт Пармениду. Да и Диоген Лаэртский сообщает, что суждение о
шарообразности Земли высказывал Анаксимандр
Милетский, у которого
учился Пифагор в юности.
В то же время, научные заслуги школы
пифагорейцев в математике и космологии бесспорны. Точку зрения Аристотеля,
отражённую в его несохранившемся трактате «О пифагорейцах», передал Ямвлих[9]. По Аристотелю, истинными
пифагорейцами были акусматики, последователи религиозно-мистического учения о
переселении душ. Акусматики рассматривали математику как учение, исходящее не
столько от Пифагора, сколько от пифагорейца Гиппаса. В свою очередь,
математики-пифагорейцы, по их собственному мнению, вдохновлялись направляющим
учением Пифагора для углублённого изучения своей науки.
Приложение
Группа
№ 1
1.
Получение
прямоугольного треугольника (3 балла)
2.
Практическая
работа (2 балла)
Для каждого из прямоугольных
треугольников измерьте длины катетов и гипотенузы. Данные в таблицу.
A
B
C
|
Катет
|
Катет
|
Гипотенуза
|
Квадрат катета
|
Квадрат катета
|
Сумма квадратов катета
|
Квадрат гипотенузы
|
|
AB
|
BC
|
AC
|
AB2
|
BC2
|
AB2+BC2
|
AC2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MN
|
NK
|
MK
|
MN2
|
NK2
|
MN2+
NK2
|
MK2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравните полученные результаты в двух последних колонках для каждого
треугольника. Запишите вывод. (3 балла)
3.
Задача.
(2 балла)
Существует ли прямоугольный
треугольник со сторонами:
3см,4см,5см? 6см,8см,10см?
9см,12см,15см? 7см,8см,9см?
4.
Домашнее
задание
П. 63, 64; №6 (3); 7; стр. 114
Найти другой способ доказательства теоремы Пифагора (можно использовать
справочную литературу).
Подготовить реферат на тему (по
выбору):
*
Заповеди
пифагорейской школы.
*
Пифагор
и нумерология.
*
Легенды
о Пифагоре.
Группа №2
1. Получение
прямоугольного треугольника (3 балла)
2. Исследовательская
работа
Для каждого
прямоугольного треугольника подберите квадраты, стороны которых совпадают со
сторонами треугольника. Назовем S1, S2 – площади
квадратов, построенных на катетах и S3 – площадь квадрата,
построенного на гипотенузе. Определите площади квадратов по количеству клеток и
занесите данные в таблицу
|
|
S1
|
S2
|
S2+S1
|
S3
|
|
|
S1
|
S2
|
S2+Sq
|
S3
|
|
1 треугольник
|
|
|
|
|
|
2 треугольник
|
|
|
|
|
Сделайте вывод. (3 балла)
3.
Задача. (2 балла)
В прямоугольном треугольнике
катеты равны 6 см и 8 см. Чему равна гипотенуза?
В прямоугольном
треугольнике катет равен 5 см, а гипотенуза равна 13 см. чему равен второй
катет?
4. Домашнее задание.
П. 63, 64; №6 (3); 7;
стр. 114
Найти другой способ доказательства
теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).
Подготовить реферат на
тему (по выбору):
*
Заповеди пифагорейской школы.
*
Пифагор и нумерология.
*
Легенды о Пифагоре.
*
Вклад Пифагора в музыку.
*
«Пифагоровы» тройки чисел
Группа № 3
1. Получение
прямоугольного треугольника (3 балла)
2.
Исследовательская работа
Установить зависимость
между катетами и гипотенузой в прямоугольнике.
B
A
C
D
Заполни пропуски:
1) Из треугольника
ABC: cos A = …
Из треугольника ABD: cos A = …
Левые части равенств
равны, значит, равны и правые части, тогда равны отношения:
Установить зависимость
между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике 
= , по правилу пропорции, имеем: … = … *
…
(1)
2) Из треугольника
ABC: cos C = 
Из треугольника CDB: cos C = 
Аналогично рассуждениям в
первом пункте составьте равенство двух отношений и примените к нему основное
свойство пропорции:
= , … =
…*… (2)
3) Сложим почленно
полученные равенства (1) и (2):
AC2 = AC×AD
BC2 = AC ×DC
AC2 +BC2= …….. + …….. = Вынести
общий множитель = … (… + …) = Смотри рисунок = … × …
Сделайте вывод (3 балла)
3.
Задача (3 балла)
В прямоугольном
треугольнике один из катетов равен 3 см и прилежащий к нему угол равен 600.
Найдите второй катет
4.
Домашнее задание
П. 63, 64; № 6(3), 7,
стр. 144
Найти другой способ
доказательства теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).
Подготовить реферат на
тему (по выбору):
*
Заповеди пифагорейской школы.
*
Пифагор и нумерология.
*
Легенды о Пифагоре.
*
Вклад Пифагора в музыку.
*
«Пифагоровы» тройки чисел.
Группа № 4
1. Получение
прямоугольного треугольника (3 балла)
2.
Исследовательская работа
Дан квадрат.
Ответьте на следующие
вопросы:
*
Равны ли прямоугольные треугольники, и по какому признаку
равенства?
*
Что можно сказать о площади внутреннего квадрата и площади одного
такого треугольника? О площади внешнего квадрата и внутреннего?
Пусть катеты
прямоугольного треугольника a, b, а гипотенуза c
Заполните пропуски:
Площадь внутреннего
квадрата со стороной … равна c2, площадь прямоугольного треугольника
равна
Площадь внешнего
квадрата со стороной (…+…) равна(a+b)2. Можно составить равенство:
(a+b)2= c…+
Раскройте скобки и приведите
подобные слагаемые.
Что получилось? Запишите
вывод (3 балла)
3. Задача ( 3 балла)
Задача из
старинного китайского трактата. В середине квадратного озера со стороной 10
футов растет тростник, выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник,
вершина достигнет берега. Какова глубина озера?
AB - ?
4. Домашнее задание.
П. 63, 64; №6 (3); 7;
стр. 114
Найти другой способ
доказательства теоремы Пифагора (можно использовать справочную литературу).
Подготовить реферат на
тему (по выбору):
*
Заповеди пифагорейской школы.
*
Пифагор и нумерология.
*
Легенды о Пифагоре.
*
Вклад Пифагора в музыку.
«Пифагоровы» тройки чисел.
