Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Геометриялық фигуралар. Нүкте,түзу және кесінді.

Геометриялық фигуралар. Нүкте,түзу және кесінді.

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



1 - сабақ.

____күні ____айы ____жылы



Сабақтың тақырыбы: Геометриялық фигуралар. Нүкте,түзу және кесінді.

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: Геометриялық фигуралар туралы оқушылардың білімін кеңейту және тереңдете түсу, оларға аксиомалар туралы, жазықтықта нүктелер мен түзулердің өзара орналасуы, оқушылар нүкте, түзу және кесінді ұғымдарымен таныс, енді бұл ұғымдарды нақтылай түсіп, әрқайсысына нақты анықтама беру.

Дамытушылық: Оқушылардың осы тақырыптар бойынша алған білімдерін есептер шығаруда дамыта түсу.

Тәрбиелік: Негізгі ұғымдарды, оны қандай мақсатта қолдануға болады, мәтінде берілген жаттығуларды ден қойып, өз бетінше мысалдар келтіріп орындай алуға тәрбиелеу.

Сабақ түрі: Жаңа білім беру Әдісі: сұрақ-жауап түсіндірме

Сабақтың барысы: 1.Ұйымдастыру кезеңі

2. Сабақтың мақсатын оқушыларға хабарлау

3. Жаңа сабақты түсіндіру

4. Жаңа сабақты түсінгенін, түсінбегенін тексеру

5. Сабақты бекіту

6.Үйге тапсырма

7. Оқушыларды бағалау

8. Қорытынды

Көрнекіліктер: сызбалар, сұлба суреттер

Геометрияның жүйелі курсын бастар алдында оқушыларға оқулықтың құрылымы мен қысқаша мазмұнын түсіндіріп өту. Жаңа ұғымдардың мағынасын бұрыннан белгілі ұғымдар арқылы түсіндіретін сөйлемді анықтама деп атаймыз.

Геометрияда кейбір ұғымдарға анықтама бере алмаймыз, өйткені одан бұрын анықталған ұғым жоқ. Сондықтан оларды анықтамасыз қабылдауға тура келеді. Ондай ұғымдарға нүкте, түзу, жазықтық жатады.

Анықтамасыз қабылданатын ұғымдар негізгі ұғымдар деп аталады. Негізгі ұғымдарға анықтама берілмейтіндіктен, олар белгілі деп есептеледі.

Нүктелерді сызбада көрсету үшін латынның А,В,С... бас әріптерімен белгілейді. Мысалы,

hello_html_m3e0134d2.png

А,В,С нүктелері сызбада түзуді сызып көрсету үшін сызғышты қолданамыз. Олар латынның а,в,с кіші әріптерімен белгіленеді.



hello_html_23356049.png



Түзу шексіз. Сондықтан біз суретте түзудің бөлігін ғана сызып көрсете аламыз. Түзудің символы болып, ұшындағы нүктелері ерекшеленбей сызылған түзудің бөлігі алынады.

Үстелдің бетін, терезе әйнегінің бетін, тақтаның бетін жазықтықтар деп қарастыруға болады. Бірақ оларда жазықтықтардың бөліктері ғана, кез-келген жазықтықты барлық жағына шексіз созуға болады.

hello_html_35941800.gifhello_html_442157d1.gif


hello_html_2e28ff68.gif

hello_html_m27c1291c.gif

Суретте α , β жазықтықтары кескінделген. Жазықтықтарды гректің α (альфа), β (бета), γ (гамма) және т.б әріптерімен белгілейді. Планиметрия ( латынның «planum» сөзінен алынған, жазықтық деген ұғымды білдіреді. Нүкте мен түзудің өзара орналасуы.

hello_html_ma29695b.png

Бұл жағдайда М нүктесі а түзуінде жатады. Басқаша М нүктесі а түзуіне тиісті немесе а түзуі М нүктесі арқылы өтеді, қысқаша М Є а түрінде белгіленеді, В нүктесі а түзуінде жатпайды, В нүктесі а түзуіне тиісті емес, қысқаша Вhello_html_m3dfb1ba2.gifа түрінде белгілейді.

Бір нүкте арқылы өтетін шексіз көп түзу сызуға болады, бұл жағдайда а,в,с түзулері А нүктесінде қиылысады.

hello_html_m1e454718.png





Оқушылармен жұмыс №1 есеп.

hello_html_94aa573.png

hello_html_m53d4ecad.gif


Шешуі: а, түзуі, b түзуі. Dhello_html_m289d78ff.gifb, Еhello_html_m289d78ff.gifb, В hello_html_m3dfb1ba2.gifb, Аhello_html_m3dfb1ba2.gifb, Chello_html_m3dfb1ba2.gifa


2. Бір оқушы тақтаға орындайды.

а түзуін сызып оның бойына К, L, М нүктелерін белгілеңдер.Осы нүктелер арқылы түзуді белгілеп жазыңдар.


Шешуі:

hello_html_73b14966.png

Khello_html_m289d78ff.gifa, Lhello_html_m289d78ff.gifa,Mhello_html_m289d78ff.gifa


II1. Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі ғана басқа екеуінің арасында жатады. «Арасында жатады» деген ұғым кесінді ұғымын анықтауға мүмкіндік береді.

Анықтама. Түзудің берілген екі нүктесі мен олардың арасында жатқан барлық нүктелерінен тұратын бөлігін кесінді деп атайды. Берілген екі нүкте кесіндінің ұштары деп аталады.



hello_html_62fb88b0.png


Кесіндіні АВ немесе ВА арқылы белгілейді. А және В нүктелері –АВ кесіндісінің ұштары түзудің нүктелері шексіз көп болғандықтан, кесіндінің нүктелері де шексіз көп. Кесіндінің символдық бейнелеуі екі ұшы ерекше болған түзудің бөлігінің бейнесі.

Жазықтықта А және В нүктелері берілсін, сызғыштың бір жиегін осы нүктелермен дәл келетін етіп ұстап, түзу сызамыз.


hello_html_579a391.png


А,В нүктелері арқылы өтетін бір ғана түзу сызуға болады, қысқаша АВ түзуі деп белгілейді, яғни түзуді екі әріппен де белгілейді. Нүктелер мен түзулердің өзара орналасуы дәлелдеусіз қабылданады, сондықтан олар аксиомалар түрінде баяндалады.

Берілген тұжырымдаманы ретімен талдау арқылы ақиқаттығына көз жеткізу оны дәлелдеу деп аталады.

Ақиқаттығы дәлелдеусіз қабылданатын сөйлем аксиома деп аталады.

Жазықтықтағы нүктелер мен түзулердің бір-біріне тиісті болатыны туралы қасиеттері, олар геометрияда негізгі қасиеттердің бірінші тобын құрайды да, тиістілік аксиомалары деп аталады.

Аксиомалар: I1.Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.

I2.Кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады.

Негізгі қасиеттерге сүйене отырып, төмендегі қортындыларға келеміз.

1) I1 қасиетке сүйеніп, кез келген түзудің бойынан қалауымызша алуға болады. Олар шексіз көп. Бұдан: «Түзу бойында шексіз көп нүктелер бар»,-деген қортындыға келеміз.

2) Жазықтықтағы әртүрлі екі түзуде ортақ екі нүкте болмайды, екі түзуге ортақ тек бір ғана нүкте табылуы мүмкін, яғни екі түзу бір нүктеде қиылысуы мүмкін.

Жазықтықтағы екі нүкте бір нүктеде қиылысады немесе қиылыспайды.

3) Жазықтықта берілген екі нүкте арқылы өтетін түзу сызуға болады, түзу толығымен жазықтықта жатады.

5 есеп. 8-суретте көрсетілген нүктелердің қайсысы а түзуінде,қайсысы b түзуінде жатады. Қандай нүктелер бұл түзулерде жатпайды. Жауаптарын не белгілерін пайдаланып жазыңдар.

hello_html_me9dcf66.png


Шешуі: Мhello_html_m289d78ff.gifа, Phello_html_m289d78ff.gifa, Nhello_html_m3dfb1ba2.gifa,

Ehello_html_m289d78ff.gifb, Fhello_html_m289d78ff.gifb, Dhello_html_m289d78ff.gifb, Lhello_html_m3dfb1ba2.gifb


6 есеп.М hello_html_m289d78ff.gif а және В hello_html_m3dfb1ba2.gif b деген жазулар суретте қалай көрсетілуі мүмкін.

Шешуі

hello_html_12fe788c.png


10 Сурет бойынша мына сұрақтарға жауап беріңдер.1.А,В,С,D нүктелерінің әрқайсысы қай түзулерде жатады. 2.А,В,С,D нүктелерінің әрқайсысы арқылы қандай түзулер өтеді 3.а мен b,b мен с, с мен m және b мен m түзулері қай нүктелерде қиылысады. 4.Бір нүкте арқылы қандай үш түзу өтеді.

hello_html_m7c9e3880.png

  1. Ahello_html_m289d78ff.gifa, Ahello_html_m289d78ff.gifc, Bhello_html_m289d78ff.gifm, Bhello_html_m289d78ff.gifb, Chello_html_m289d78ff.gifb, Chello_html_m289d78ff.gifa, Dhello_html_m289d78ff.gifa

  2. A нүктесі арқылы а және с түзулері

В нүктесі арқылы m және b түзулері

С нүктесі арқылы b және a түзулері

Д нүктесі арқылы а түзуі өтеді.

3) а мен b С нүктесінде

b мен m В нүктесінде

b мен c В нүтесінде

c мен m В нүктесінде

4) В нүктесі арқылы m, b, c

Үй тапсырмасы. №9 есеп

15 есеп

Қорытынды:

Сұрақтар:1.Неге негізгі ұғымдар белгілі деп есептеледі?

2.Анықтама мен аксиоманың айырмашылығы неде?


Белсенді қатысқан оқушыларды бағалау.

2- сабақ

___ күні___айы ___жылы


Сабақтың тақырыбы.Жарты жазықтық, сәуле және бұрыш.

Сабақтың мақсаты.

Білімділік. Оқушылар сәуленің анықтамасын білу, жарты жазықтық туралы түсініктерін қалыптастыру,бұрыштың және оның биссектрисасының анықтамасын ұғуын қадағалау.Сүйір,тік, доғал және жазық бұрыштарға анықтама беру.

Дамытушылық.Сәуле, бұрыш туралы оқушылардың білімдерін кеңейту және тереңдету, осы білгендерін есептер шығаруда қолдана білу дағдыларын дамыту.

Тәрбиелік. Оқушыларды өздігінен еңбектенуге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: Жаңа білім беру

Сабақтың әдісі:сұрақ-жауап, түсіндірме, есептер шығару.

Сабақтын көрнекілігі:сызбалар, суреттер

Сабақтың барысы:

  1. Ұйымдастыру.

  2. Үй тапсырмасының орындалуын тексеру

  3. Өткенді пысықтау

  4. Сабақтын мақсатын оқушыларға хабарлау

  5. Жаңа сабақ түсіндіру

  6. Сабақты бекіту

7.Үйге тапсырма

8.Оқушыларды бағалау

9.Қорытынды

Геометрияда кесінді және сәуле ұғымдары көп қолданылады. Олар түзудің бөліктері ретінде анықталады.Оқушыларға тапсырма: түзу бойынан нүкте алады,бұл нүкте түзуді екі бөлікке, екі сәулеге бөледі.с түзуі берілсін. с түзуінен алынған О нүктесі оны екі бөлікке бөледі,екі сәулеге бөледі.

Сәуленің символдық бейнелеуі ретінде оның басын бейнелейтін нүктені айқын көрсетіп, түзудің бөлігі алынады.


hello_html_m3a114f22.png

олардың әрқайсысы жарты түзу деп аталады.

А,В нүктелері жарты түзудің бірінде, ал С, D екіншісінде жатыр. Мұндағы О жарты түзудің бірінде жатқан кез келген екі нүктенің ( мысалы, А,В нүктелерінің немесе C,D нүктелерінің арасында жатпайтынын байқаймыз.)

II2 Түзуде жатқан нүкте сол түзуді екі жарты түзуге бөледі.

Жарты түзіді сәуле деп те атайды. Суретте көрсетілген жарты түзуді не сәулені екі әріппен белгілейміз. Мысалы, АО және ОС мұнда алдынғы әріп сәуленің бас нүктесін, ал екіншісі сәуленің бойындағы кез келген нүктені анықтайды. Түзуде жатқан әрбір нүкте түзуді екі сәулеге бөледі. ОА, ОС сәулелері бір- бірін түзуге дейін толықтырып тұрады. Сондықтан оларды толықтауыш сәулелер деп аталады. Сәулелер түзудің бөліктері болып есептеледі.


hello_html_47bc063c.png

EF сәулесі берілсін. бұл сәуленің бойынан М нүктесін белгілейік. Сонда М нүктесі EF сәулесінде жатыр, ал А нүктесі бұл сәуледе жатпайды. Берілген EF сәулесінде ЕМ кесіндісі де жатыр. Сондықтан ЕМ кесіндісін ЕF сәулесінің бөлігі деп қарастыруға болады.

Есеп № 17. М нүктесінде қиылысатын а және b түзулерін салыңдар. Пайда болған жарты түзулерді көрсетіңдер.

Шешуі:


hello_html_mf8d5293.png


Жазықтықта кез келген бір нүктені белгілеп алсақ, онда осы нүкте бас нүктесі болатын шексіз көп сәуле жүргізуге болады.

Жазықтықта жатқан түзу мен нүктелердің өзара орналасуын қарастырайық.

hello_html_625a393f.png

Қандай да бір жазықтық және сол жазықтықта жатқан а түзуі берілсін.а түзуі жазықтықты екі бөлікке бөледі.Бөліктердің әрқайсысы жарты жазықтық деп аталады. Жарты жазықтықтардың біріншісі α1, екіншісін α2 арқылы белгілейік.А,В нүктелері бір жарты жазықтықта жатса, оларды қосатын АВ кесіндісі а түзуімен қиылыспайды. C,D нүктелері мен CD кесіндісі де дәл сол сияқты. Ал А және С нүктелері әр түрлі жарты жазықтықтарда (α1 және α2) жатыр. Оларды қосатын АС кесіндісі а түзуімен О нүктесінде қиылысады.

II3 Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.Жазықтықтағы қиылысқан екі түзудің толықтауыш сәулелері әр түрлі жарты жазықтықтарда жатады.

Жазықтықтағы а және b түзулері О нүктесінде қиылыссын.ОА және ОС сәулелері в түзуінің толықтауыш сәулелері.

hello_html_m631bfbba.png

Егер ОА сәулесінен кез келген В нүктесін алсақ, О нүктесі А және В нүктелерінің арасында жатпайды, өйткені О нүктесі ОА сәулесінің бас нүктесі, сондықтан АВ кесіндісі а түзуімен қиылыспайды. Олай болса, ОА сәулесінде жатқан кез келген А,В ... нүктелері жарты жазықтықтарының біреуінде жатады. ОА сәулесі α1 жарты жазықтығында жатыр. ОА және ОС сәулелері толықтауыш сәулелер болғандықтан, О нүктесі А және С нүктелерінің арасында жатыр. Демек, Сhello_html_m289d78ff.gifα2 Онда ОС сәулесінің барлық нүктелері α2 жарты жазықтығында жатады. ОС сәулесі α2 жарты жазықтығында жатыр. b түзуінің ОА,ОС толықтауыш сәулелері α жазықтығындағы а түзуі арқылы бөлінген әр түрлі жарты жазықтығында жатыр.

Оқушыларға тапсырма беру. Бір нүктеден шығатын екі сәуле жүргізіңдер.Бұл сәулелер қандай фигура құрайды? Олар бұрыш пайда болғанын көреді.

Анықтама. Бір нүктеден шығатын екі сәулемен шектелген жазықтықтың бөлігі бұрыш деп аталады.Сәулелер бұрыштың қабырғалары деп, олардың бас нүктесі бұрыштың төбесі деп аталады. Бұрышты hello_html_7707454f.gif таңбасымен және қабырғаларымен төбесінен алынған әріптермен белгіленеді.

hello_html_25322aae.png


1-сурет. hello_html_7707454f.gifАОВ немесе hello_html_7707454f.gifВОА бұрышы төбесі белгіленген әріп басқа екі әріптің ортасында жазылады. Бұрышты жалғыз әріппен оның төбесінің атауымен немесе қандай да бір санмен де белгілеуге болады. 2- сурет hello_html_7707454f.gifС, 3-суретhello_html_7707454f.gif1.

Екі сәуле жазықтықты екі бөлікке бөліп тұр. Жазықтықтың қарастырылып отырған бөлігі суретте доғамен көрсетіледі.

Анықтама.Екі бұрышты беттестіргенде сәйкес қабырғалары және төбелері дәл келсе, оларды тең бұрыштар деп аталады.

hello_html_m1d581965.gif

С

А


Суреттегі hello_html_7707454f.gifАВС=hello_html_7707454f.gifDEF, себебі В төбесін Е төбесіне, ВА қабырғасын ED қабырғасына дәл келтіргенде ВС және ЕҒ қабырғалары да дәл келеді. Ортақ ОҒ қабырғасы бар POF және PON бұрыштары тең, өйткені ОҒ сәулесі PON бұрышын қақ бөледі.

Анықтама. Бұрыштың төбесінен шығып, оны қақ бөлетін сәуле осы бұрыштың биссектрисасы деп аталады.

hello_html_m99887d9.gif

Бұрыштың түрлеріне тоқталайық.

Анықтама. Қабырғалары толықтауыш сәулелер болатын бұрыш жазыңқы бұрыш деп аталады.

hello_html_m5cdf22ac.png

hello_html_7707454f.gifDOC – жазыңқы бұрыш.


hello_html_7707454f.gifАОВ – жазынhello_html_33c8f8ae.gif

қы бұрыш берілсін.Бұл бұрышты тең екі бөлетін, яғни hello_html_7707454f.gifВОС=hello_html_7707454f.gifCOA болатын етіп, ОС сәулесін жүргізейік.

Анықтама. Жазыңқы бұрыштың жартысы тік бұрыш деп аталады.

hello_html_7707454f.gifВОС және hello_html_7707454f.gifАОС бұрыштарының әрқайсысы тік бұрыш.

Анықтама. Тік бұрыштан кіші бұрыш сүйір бұрыш деп аталады.

Анықтама. Тік бұрыштан үлкен, доғал бұрыш деп аталады.hello_html_6036da58.gif

Сабақты бекіту.

23

hello_html_41f31465.png

Суретте

1)барлығы неше сәуле бар;

2)D нүктесінің бір жағында қандай нүктелер орналасқан? Әр түрлі жағында ше?

3)D нүктесі қандай нүктелердің арасында жатыр?

4)Суретте барлығы неше түзу бейнеленген?

Шешуі:

1) 4 сәуле.

2) С,А нүктелері D нүктесінің сол жағынжа, В нүктесі оң жағында орналасқан.Әр түрлі жағында С,А,В нүктелері орналасқан.

3) D нүктесі А және В нүктелерінің арасында жатыр.


26.Оқушыларға өздігінен орындауға берілген есеп.

Жазықтықта жатқан а түзуі және AB,CD,EF,KL кесінділері берілген.

а түзуі берілген жазықтықты hello_html_m6d6e206e.gif және hello_html_m5cfa47a8.gif жарты жазықтықтарға бөледі.

1) Дәптерге оқушылар кітаптағы суретті сызады.

2)СD және АВ кесінділері бір жазықтықта, KL бір жарты жазықтықта.

3) Қай кесінділер а түзуімен қиылысады және қай кесінділер қиылыспайды?

4) Өзара қиылысатын кесінділер және қиылыспайтын кесінділерді атаңдар.


hello_html_72f98332.png

hello_html_79a76cbf.gif

L

N

44 есеп.

Бhello_html_m144e7148.gifhello_html_m59492c59.gif

O

ерілгені: Шешуі:

ОМ,ON,OL сәулелері hello_html_7707454f.gifLON

Н

M

еше бұрыш бар? hello_html_7707454f.gifNOM

hello_html_7707454f.gifLOM


45.

Берілгені:

hello_html_7707454f.gifЕОҒ бұрышы және бірнеше нүктелер берілген. Бұл бұрыштың

1)бұрыштын ішінде;

2)сыртында;

3)қабырғаларында жатқан нүктелерді атаңдар.

hello_html_1a24792c.png

Шешуі:1) бұрыштың ішінде:А,В нүктелері

  1. Сыртында М,С,L нүктелері

  2. Қабырғаларында Кнүктесі жатыр.


48

Берілгені:ОС сәулесі жазыңқы бұрыш жасайтын ОD сәулесін жүргіз.

Шешуі: Ең алдымен ОС сәулесін сызамыз.О нүктесінен бастап OD толықтауыш сәулесін жүргізіп, hello_html_7707454f.gifСОD жазыңқы бұрышын аламыз.

hello_html_9b59b98.png

50.а және b түзулері О нүктесінде қиылысады.

1)неше бұрыш пайда болды?

2)әрбір бұрышты белгілеп жазыңдар.

3)жазыңқы бұрышты атаңдар.

Шешуі:

  1. 6 бұрыш.

  2. hello_html_7707454f.gifAOB, hello_html_7707454f.gifAOA1, hello_html_7707454f.gifA1OB, hello_html_7707454f.gifBOB1, hello_html_7707454f.gifA1OB1,hello_html_7707454f.gifB1OA

  3. hello_html_7707454f.gifBOB1, hello_html_7707454f.gifAOA1 жазыңқы бұрыштар.


hello_html_37628897.png


Үйге тапсырма: № 51.

Қорытынды:

Бағалау:


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 09.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1950
Номер материала ДВ-318055
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх