Герон Александрийский и его вклад в математику

Составила учитель математики МБОУ «Лицей № 4» г. Коломна

Агумян Гоар Грачяевна

·        Герон Александрийский и его вклад в математику

·          Герон Александрийский — греческий математик и механик. Время его жизни отнесено ко второй половине I века н. э.

·          Герона относят к величайшим инженерам за всю историю человечества. Герон первым изобрёл: автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, автоматические декорации, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др., первым начал создавать программируемые устройства, занимался механикой, гидростатикой, оптикой, геометрией.

·          Одометр, в просторечии счётчик — прибор для измерения количества оборотов колеса. Одометр представлял собой небольшую тележку, установленную на двух колесах специально подобранного диаметра. Колеса поворачивались ровно 400 раз на миллиатрий (древняя мера длины, равная 1598 м). Посредством зубчатой передачи во вращение приводились многочисленные колеса и оси, а индикатором пройденного расстояния были камешки, выпадавшие в специальный лоток.

·          В двухтомном сочинении "Пневматика" Герон описал различные механизмы, приводимые в движение нагретым или сжатым воздухом или паром. В их числе эолипил (в переводе с греческого "шар бога ветров Эола"), т. е. шар, вращающийся под действием пара.

·           В "Механике" подробно рассмотрел простейшие механизмы: рычаг, ворот, клин, винт и блок.

·          В книге «О диоптре» описан диоптр — простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Это прообраз современного теодолита. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.

·          Труд Герона «Метрика» и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений: формулы для площадей правильных многоугольников, формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон, объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, шарового сегмента, правила численного решения квадратных уравнений, алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней. Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.

·          Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

·          Правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр или куб, додекаэдр.

·          Древнегреческие математики (Антифон, Брисон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

·          Существует несколько формул для вычисления площади различных правильных многоугольников. Рассмотрим одну из них:

                    S = r·P = 0,5r·n·a

где n – число сторон;

      P – полупериметр;

      а – сторона;

      r – радиус вписанной окружности правильного многоугольника.

·          Формула Герона:  S = √ p(p – a)(p – b)(p – c)

      где  a, b, c – стороны треугольника;

              p – полупериметр треугольника, т. е.  p = (a + b + c) : 2

Эта формула содержится в «Метрике» Герона и названа в его честь. Она позволяет вычислить площадь прямоугольного треугольника, не пользуясь теоремой Пифагора.

·          Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник. Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что все три стороны его целочисленны, а по теореме, обратной теореме Пифагора, он прямоуголен. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Радиус вписанной в треугольник окружности равен единице.

·          Назван он так потому, что применялся еще в Древнем Египте. В пространстве сложно отложить прямой угол, но египтяне изобрели интересный способ. Они брали веревку, отмеряли на ней узелками 12 частей, а потом складывали из нее треугольник, стороны которого равны 3, 4 и 5 частям соответственно. В этом треугольнике прямой угол получался сам собой. Поэтому они могли с большой точностью строить свои сооружения, например, пирамиды.

·          Правило извлечения квадратного корня из числа:

Пусть надо извлечь квадратный корень из натурального числа m, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться правилом:

     1. Разобьем число m на грани, включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом учтем, что если m состоит из четного числа цифр, то в первой грани будет две цифры. Если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.

     2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра результата.

·          3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа (10a + x) на x не превосходило числа А. Цифра x — вторая цифра результата.

4. Произведение числа  на x вычтем из числа A, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число B. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру y, чтобы произведение числа  на y не превосходило числа B. Цифра y — третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.

·           Например вычислим корень из числа 138384.

Разобьем число на грани: 13'83'84. Первая цифра результата 3, так как 32=9 < 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим 6. Вторая цифра результата 7, так как 67 * 7 = 469 < 483. Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т.е. число 37, получим 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру, чтобы произведение трехзначного числа  на нее не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 * 2 = 1484. Цифра 2 — последняя цифра результата. Ответ: 372.

·            Механизмы и автоматы Герона при его жизни не нашли сколько-нибудь широкого практического применения и употреблялись в основном в конструкциях механических игрушек. Исключение составляют только гидравлические машины Герона, при помощи которых были усовершенствованы античные водочерпалки. Многие математики обвиняют Герона в том, что в "Метрике" не содержится математических доказательств, сделанных им выводов. Это действительно так. Герон не был теоретиком, все выведенные им формулы и правила, он предпочитал объяснять наглядными практическими примерами. Именно в области практики Герон превосходит многих своих предшественников.

·             Математические работы Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. На протяжении своей жизни Герон создал много разнообразных изобретений, интересных не только его современникам, но и нам — живущим два тысячелетия спустя. В 1976 г. Международный астрономический союз присвоил имя Герона кратеру на обратной стороне Луны.