Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / ГОС РЕФЕРАТ: Описание методики использования ключевых задач при обучении учащихся 9 классов теме «Метод координат»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

ГОС РЕФЕРАТ: Описание методики использования ключевых задач при обучении учащихся 9 классов теме «Метод координат»

библиотека
материалов

2.4. Описание методики использования ключевых задач при обучении учащихся 9 классов теме «Метод координат»

Алгебра - не что иное как записанная

в символах геометрия,

а геометрия - это просто алгебра,

воплощенная в фигурах.

Софий Жермен (1776-1831)

Деятельность – единственный путь к знаниям!

Б. Шоу

Ниже будут представлены конспекты четырех уроков, которые ориентированы на использование ключевых задач при обучении учащихся 9 классов теме «Метод координат».

2.4.1. Открытый и урок по геометрии по теме: «Применение метода координат к решению задач»

9 класс

Цели:

  • Совершенствовать навыки решения задач методом координат.

  • Дать учащимся эффективный и универсальный метод решения задач.

  • Показать на основе метода координат тесную связь алгебры и геометрии.

Задачи:

  • Образовательные: Организация мыслительной деятельности учащихся для решения проблемной ситуации. Актуализация необходимых умений и навыков по данной теме. Учить применять метод координат к планиметрическим задачам, умение работать с тестом.

  • Воспитательные: Развитие познавательного интереса, логического мышления, воспитывать понимание алгоритма, коммуникативной культуры общения в группе.

  • Развивающие: Развитие памяти, внимательности, нестандартного подхода к решению задач, умение анализировать и делать выводы. Предвидеть результаты своей деятельности. Создание условий для развития самооценки учащихся. Обеспечить в ходе урока развитие устной и письменной речи учащихся.

Тип урока – комбинированный.

Используемые на уроке технологии, формы организации работы, методические приемы Как средства формирования УУД:

Проблемное обучение, технологии критического мышления, тестовая технология, деятельностное обучение, дифференцированная работа, использование пошаговых подсказок, самооценка, самоконтроль.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент: Проверка готовности к уроку.

2hello_html_m3698cf15.gif. Мотивация к учебной деятельности. Создание проблемной ситуации на уроке. Учитель предлагает учащимся решить следующую задачу.

На карте Новской области 3 города Уранск, Варанск и Данск образуют прямоугольный треугольник. Данск находится на расстоянии 400км от Уранска и на расстоянии 300км от Варанска. Главный аэропорт области расположен на середине между Уранском и Варанском. В зависимости от погодных условий самолет может вылететь в любой из этих городов. В баке определенное количество топлива. Если самолет будет лететь с одной и той же средней скоростью, то хватит ли ему топлива чтобы добраться до любого их этих пунктов ( слайд2)



- давайте переведем задачу на язык геометрии.

- Что дано? (слайд3)

- прямоугольный треугольник. Расстояние АУ=АВ.

- Что надо доказать?


- Что т. А равноудалена от вершин прямоугольного треугольника. Т.е АУ=АВ=АD. Такую задачу мы решали в прошлом году. ( Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.) Почему? Свойства диагоналей прямоугольника (слайд 4)

Достроим до прямоугольника и докажем задачу используя свойства диагоналей.

Сегодня мы попробуем известные вам задачи решать другим способом, с помощью ПДСК и координат.

Тема нашего урока «Применение метода координат к решению задач»( cлайд5).

Цель урока: Научиться решать задачи методом координат»

Я хочу вас убедить, что это один из самых универсальных способов решения геометрических задач.

Но прежде вспомним необходимые формулы, которые мы уже изучили.

3 этап урока (Актуализация знаний).

2 ребят идут на разные доски.

Задание: Записать все формулы с названиями, которые вам известны по данной теме, кто больше (мини соревнование)

В это время остальные учащиеся выполняют тест на применение формул. Тест высвечивается на слайдах (слайд 6-11.)

если тест выполнен, верно, то получится слово

1Прямая со стрелкой 183. А(-5;1) В(-2;3) Найти координаты вектора АВ


2Прямая со стрелкой 182 . А(-5;1) В(-2;3) Найти координаты вектора ВА


3. СД – Диаметр окружности. С(4;-7). Д(2; -3) Найти координаты центра окружности.


4Прямая со стрелкой 178Прямая со стрелкой 179Прямая со стрелкой 180Прямая со стрелкой 181. Вектор р =2i-4g Найти длину вектора р


5. Найти координаты точки С по рис.








6. А(-5;1) В(-2;3) найти расстояние между А и В.

Проверка теста и формул одновременно. Если тест выполнен, верно, то получается: ДЕКАРТ (историческая справка) ( слайд12)

Рене Декарт – французский математик, физик, физиолог и философ, создатель знаменитого метода координат, сторонник аналитического метода в математике, механизма в физике.

Применение алгебраических методов к геометрическим объектам, введение системы прямолинейных координат означало создание аналитической геометрии, объединяющей геометрические и арифметические величины, которые со времен древнегреческой математики существовали в раздельности.



4. Вернемся к нашей задаче и решим ее методом координат. Поместим наш треугольник в прямоугольную систему координат. Как это сделать лучше? (Идет обсуждение в группах) (Слайд 13).

( Применение ключевых задач)


Лучше, чтоб вершина D совпала с О – началом ПСК, - Решение обсуждается и записывается в тетради. (слайд 14).


1.Записать координаты каждой точки. У (400;0) D(0;0) В ( 0;300)

2 .А( 200; 150)- середина отрезка

3. Считаем расстояние: УА=hello_html_3bcb7ec2.gif=250

АВ= hello_html_3eec60c3.gif= 250

DA=hello_html_bb61714.gif=hello_html_118de820.gif =2504. Сравниваем и делаем вывод. Обсуждение решения

-

Пусть DB=a, DY=b,тогда координаты вершин

1.Y(b;0) D(0;0) B(0;a)

2.A- середина отрезка AB

A(b/2;b/2)

3. AY=hello_html_447d8c29.gif=hello_html_m21302acd.gif

AB=hello_html_72647095.gif = hello_html_m21302acd.gif

DA=hello_html_m21302acd.gif

YA=AB=DA

Как вы думаете, а нужны ли числа в этой задаче? Можно ли решить задачу в общем виде? Введем буквенные обозначения сторон треугольника.

















- Только, что мы использовали формулу для нахождения координат середины отрезка, задача такого типа называется ключевой и с помощью данной формулы в дальнейшем мы сможем решать более сложные задачи по данной формуле.

5. Составляем алгоритм ( слайд 15)

Учащиеся проговаривают этапы решения задачи и составляют алгоритм. Обратить внимание, как вводить координаты, если отсутствуют числа. Можно обозначить длины многоугольников буквами.

Алгоритм.

1. Удобным способом ввести прямоугольную систему координат.

2. Ввести параметры для многоугольника.

3. Записать координаты всех вершин данного многоугольника.

4. Выбрать формулы.

5. Решить с помощью алгебраических вычислений.

6. Дома вы решали задачу № 956 . геометрическим способом ( это свойство равнобедренной трапеции) -1 ученик выходит к доске и записывает решение задачи, Теперь мы решим эту задачу методом координат, используя данный алгоритм. Работа в группах. Если у вас возникают затруднения с этапами алгоритма, то можете воспользоваться системой « пошаговых подсказок». Обсуждение задачи. Проверка решения каждого способа (выступление 2 учеников).

hello_html_m7ff23435.png

hello_html_2e059225.png

- Поднимите руку, кто сам без подсказки решил данную задачу. Что вызвало затруднение? Какой способ легче на ваш взгляд? Плюсы и минусы метода координат .

7 . Учащимся предлагается решить еще 1 задачу ( на слайде условие)-для сильных учащихся.

Другая группа (слабоуспевающие учащиеся) решают № 954. Также с опорой на «систему подсказок»

Медиана проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы треугольника.

Решение:

Поместим данный равнобедренный треугольник в прямоугольную систему координат таким образом, чтобы медиана лежала на положительной полуоси Оу, а его основание – на оси Ох.

Прямая соединительная линия 165Прямая соединительная линия 163Прямая соединительная линия 164

//



А

А





//



//



//

С

y

B

Прямая соединительная линия 160Прямая соединительная линия 161

N

M



Прямая соединительная линия 156

/ /

O

х

Т.к. медиана равна 160см, а основание равно 80 см, то

А(- 40; 0), В(0; 160), С (40; 0).

Пусть М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно, тогда

hello_html_1ca42b55.gifhello_html_m35e87b69.gif; hello_html_6095632.gifhello_html_m7289e336.gif М(-20;80), N(20;80),

AN и СМ- медианы, найдём их длины:

hello_html_m32dc64f8.gifhello_html_60e4030f.gifhello_html_m230bd03d.gif=100 (см)

hello_html_m34142a35.gifhello_html_m3f1fad30.gifhello_html_m230bd03d.gif=100 (см)

Ответ: 100 см, 100 см.

Второй и третьей группе предлагается решить другую задачу более сложную.


Одним предлагается решить геометрическим способом, а другим методом координат.

Так как задача сложная, то учитель подключается к решению . Обе группы приходят к пониманию решения задачи методом координат.

- как лучше ввести систему координат? ( А-начало координат, АД лежит на положительной полуоси ОХ)

- Обозначим стороны параллелограмма ВС = в, высоту параллелограмма – с

- Что дальше?

- Считаем расстояния. Какие?

Проводится обсуждение решения задачи.

В

AD лежит на положительной полуоси OX

Пусть AD= b, BH=c , AH=a

A(0;0) B(a;c) C(a+b;0) D(b;0)

параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.






И

2

2

2

2

2

2

2

2





2

спользуем формулу расстояния:

A









2

2

2

2

2

2

2

2

2

B = a + c ; AD = a ; AC =(a + b)+c ; BD =(a – b ) + c

A





















2

2

2

2

2

2

2

2

2

B +BC +CD +AD = 2(AB + AD )= 2(a +b + c )

AC +BD =(a+b) + c +(a –b) +c = 2(a +b +c )

8. Для самостоятельной работы учащимся предлагается следующая задача:

Основание равнобедренной трапеции 10 и 14см. Найдите длины отрезков, соединяющих середины оснований с серединами боковых сторон трапеции. Если высота трапеции равна 8см.

1.Обсуждается алгоритм решения задачи

  • Ввести систему координат

  • Определить координаты вершин трапеции

  • Выбрать формулу

  • Вычислить

2.Обсуждается введение системы координат. Рассматриваются два способа.

Группа 185

3.Учащиеся выбирают более понятный и на их взгляд удобный способ введения системы координат и продолжают самостоятельное решение задачи.

Определение координат середин отрезка.

M(1;4) K(7;8)

O(7;0) N(13;14)

M(-6;4) N(6;4)

O(0;0) K(0;8)

Вычисление расстояний MK;KN;ON;MO

MK=KN=ON=OM=2hello_html_48c25411.gif

Учащиеся самостоятельно заканчивают решения и показывают его учителю, оценивая самостоятельность своего решения.

Обсуждение. Итог урока. Есть сложные задачи с непонятным условием, которые можно решить с помощью использования метода координат.

Сегодня на уроке мы познакомились с методом координат. Чем полезен этот метод:

- упрощает и сокращает процесс решения геометрических задач

- Алгоритм к действию

- помогает решать сложные задачи.

Рефлексия – происходит на каждом этапе урока. С помощью заполнения специального бланка.

Лист самооценки

Ощущение себя каждом этапе урока

Этап урока

Оценка

Примечание.

Решение 1 задачи



Решение теста



Решение 1 задачи и составление алгоритма



Работа в группе



Общая оценка за урок.




Домашнее задание индивидуальное и дифференцированное. « Сильные учащиеся получают задачу с практическим содержанием» ,которое им предлагается дома разобрать и проанализировать , Другие учащиеся должны решить № 955, 957 Двумя способами.

2.4.2. Конспект урока геометрии на тему: «Простейшие задачи в координатах»

(9 класс)

Цели урока: - совершенствование навыков решения задач методом координат;

                        - рассмотреть простейшие ключевые задачи в координатах и показать их применение в процессе решения задач;

                      - продолжить развитие способностей учащихся к анализу и синтезу изучаемого материала, умения выделять главное и приводить соответствующие примеры;  

                      - обеспечить в ходе урока развитие устной и письменной речи учащихся;  

                      - воспитывать волю и настойчивость при решении задач;

                      - развивать интерес учащихся к предмету;

                  - воспитывать любовь к Родине, гордость за подвиги предков 

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний (комбинированный, урок ключевых задач, комбинированное семинарское занятие).

 Оборудование: компьютер, экран и проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока. 

Структура урока:

1.     Сообщение цели урока и постановка задач урока  

2.     Проверка домашнего задания    

3.     Актуализация знаний и умений по теме, полученных учащимися на предыдущих уроках   

4.       Изучение нового материала (выступление учащихся и просмотра компьютерных презентаций, ими подготовленных)   

5.     Первичная проверка усвоения знаний    

6.     Первичное закрепление знаний    

7.     Контроль и самопроверка знаний  

8.     Подведение итогов урока       

9.     Домашнее задание   

 Ход урока:

 1.      Сообщение цели урока и постановка задач урока

Девиз нашего урока слова российского кораблестроителя, механика и математика Алексея Николаевича Крылова «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение».

Тема урока: «Простейшие задачи в координатах».

Как вы думаете, какие цели стоят перед нами на этом уроке?

Цель нашего урока – совершенствование навыков решения задач методом координат, рассмотрение простейших задачи в координатах и их применение в процессе решения задач. 

2.      Проверка домашнего задания

Прежде чем приступить к изучению нового материала проверим, как был усвоен предыдущий. Для этого выполнение теста на компьютере (индивидуальный контроль)

Подведение итогов. 

3.      Актуализация знаний и умений по теме, полученных учащимися на предыдущих уроках.  

Давайте вспомним основные определения, которые нам потребуются на уроке.

1.     Что такое вектор?  (Отрезок АВ, у которого точку  А считают началом, а точку В – концом, называют вектором АВ. Вектор – это направленный отрезок)

2.     Что такое координатные вектора?  (Координатные вектора – это единичные вектора, отложенные от начала координат)

3.     Что  такое радиус – вектор точки?  (Радиус – вектор - это вектор, идущий в точку из начала координат).

4.      Запишите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца

 5.     В чем заключается геометрический смысл модуля числа? (Модуль числа – это расстояние от точки  А до начала отсчета)

Подведение итогов

 4.      Изучение  нового материала

Тема урока «Простейшие задачи в координатах».

Еще в шестом классе вы познакомились  с координатной плоскостью, научились отмечать на ней точки по их координатам и решать обратную задачу: находить координаты точки, если она отмечена в координатной плоскости. Мы не раз задавали треугольник координатами его вершин и выполняли осевую и центральную симметрию этого треугольника, а также его параллельный перенос. Но мы никогда не решали такие задачи, в которых нужно было бы по координатам вершин треугольника найти, например, его стороны, медианы, средние линии. Эти задачи нетрудно решить, если знать способы нахождения длины отрезка по координатам его концов, а также способы нахождения координат середины отрезка по  координатам его концов. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

Сегодня на уроке мы рассмотрим три вспомогательные (ключевые) задачи этого метода:

- Координаты середины отрезка.

- Вычисление длины вектора по его координатам.

- Расстояние между двумя точками.

Давайте решим три ключевые задачи с применением тех знаний, которые у нас уже есть:

Задача №1. Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

Вhello_html_m1688290f.jpg условии задачи дано: хА = 2;  хВ = -4; уА = -5 и уВ = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), получим:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3)2) = 10.

Ответ: d=10

Задача №2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (hello_html_70809f55.gif; hello_html_m489d44cf.gif; hello_html_m2e2548a7.gif), С (2;0;0)

2). АВ = hello_html_6755f74f.gif = hello_html_m53f26c8e.gif = 2hello_html_bf8cd8c.gif.

Ответ: С (2; 0; 0).

Задача №3.  Найти длину вектора hello_html_m3736b46a.png

Решение.

 Для нахождения длины вектора, заданного на плоскости, воспользуемся формулой

hello_html_36fec734.png


Подставляя в неё координаты заданного вектора, получим:

hello_html_559c28ec.png

Ответ. hello_html_2a878bf9.png

Задача №4. В пространстве заданы точки hello_html_m44894f9.png и hello_html_m449340c2.png. Найти длину вектора hello_html_m5ee7937a.png

Решение. 

Найдем сначала координаты вектора hello_html_m5ee7937a.png. Для этого из координат конца вычислим соответствующие координаты начала, получим:

hello_html_66dee55d.png

для нахождения длины вектора hello_html_m5ee7937a.png воспользуемся формулой:

hello_html_74f23cc5.png

Подставляя в эту формулу координаты вектора, получим

hello_html_643fcd52.png

Ответ:  hello_html_m416e306.png

5. Первичная проверка усвоения знаний.  

Решение задач № 936(1); № 938(а); № 940(а).

  1. Первичное закрепление знаний.

9 мая 2010 года наша страна будет отмечать 65-ю годовщину Победы в Великой Отечественной войне. Мы не забываем наших героев. Память о них увековечена в граните, бронзе и наших сердцах. Памятники героям Великой Отечественной войны есть в каждом городе, в каждом маленьком селе. Есть немало памятных мест и в Дубровском районе, и у нас в селе: Мемориальный комплекс Памяти, находящийся возле поселкового рын­ка и посвященный воинам и партизанам, погибшим в годы Великой Отече­ственной войны, — вечное и святое напоминание о верности, о патриотизме, о любви к своей Родине, танк – победитель, памятник интернациональному подполью (п. Сеща), Мемориал погибшим в годы ВОВ (п. Сеща), памятник воинам освободителям, памятник односельчанам, погибшим ВОВ. Этот список можно продолжать очень долго.

Осенью этого года на кольцевой автодороге на Рогнедино и Вязовск был установлен и открыт новый памятник – дивизионная пушка, которая участвовала в боевых сражениях на полях Великой Отечественной войны.

Задача. Дубровский краеведческий музей находится на одинаковом расстоянии от дивизионной пушки, находящийся на кольцевой дороге и танка – победителя, расположенного над дубровским озером. Найдите координаты дивизионной пушки, если координаты музея (4;-1) и танка (3;1).

 Задача. Найдите расстояние между памятником односельчанам в нашем селе Мемориальным комплексом Памяти в поселке Дубровка. Координаты Мемориального комплекса Памяти (2;5) и памятника односельчанам (-2;8). 

  1. Контроль и самопроверка знаний.

Закройте тетрадь и учебник. Запишите на листочке формулы, которые вы запомнили. Самооценка.

  1. Подведение итогов урока.  

Цель: подвести итоги и определить домашние задание.

Самостоятельно оцените: достигли вы цели? Для этого вернитесь к началу модуля и прочтите, какие перед вами стояли цели.

  1. Домашнее задание.   Пп. 88,89; вопросы 9 – 13 (с. 249).

                                         № 936(2 – 4), 938(б – г), 940(б – г)

Дополнительная задача: Даны точки А(3;4), В(6;6), С(9;4), D(6;2). Докажите, что АВСD– параллелограмм.

2.4.3. Конспект урока геометрии на тему: «Координаты вектора»

(9 класс)

Тип урока: урок объяснения нового материала

Формы работы: фронтальная.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический.

Цели урока: создание условий для усвоения понятий координаты вектора, разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам.

Задачи урока: способствовать формированию умений раскладывать вектор по двум данным неколлинеарным векторам и нахождению координат вектора.

Этапы урока

1.Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2.Актуализация, систематизация опорных знаний.

3.Изучение нового материала

4.Закрепление изученного

5. Домашнее задание.

6. Итоги урока.

Ход урока


1.Организационный момент

Объявлением темы урока. Постановка целей и задач урока.

2. Актуализация опорных знаний. Систематизация теоретического материала.

Устный опрос

1. Дайте определение вектора

[Вектором или направленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.]

2Прямая со стрелкой 108. Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это

[длина отрезка АВ]

3. Ненулевые вектора называются коллинеарными, если…

[они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых]

4. Сколько векторов равных данному можно отложить от точки

[один]

5. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются

[сонаправлеными]

6. Векторы называются равными, если…

[они сонаправлены и их длины равны]

7. Выполнить самостоятельную работу :

1. Запишите разложение по координатным векторам hello_html_m6c29a334.png и hello_html_734c6f0.png вектора hello_html_3c39f083.png {2; – 1}.
2. Выпишите координаты вектора hello_html_m35fbc567.png, если его разложение по координатным векторам имеет вид hello_html_5b55c38c.png.
3. Найдите координаты вектора hello_html_45027725.png, равного разности векторов hello_html_m580db24.png и hello_html_54209029.png, если hello_html_m580db24.png {–5; 0}, hello_html_54209029.png {0; –4}.
4. Найдите координаты вектора 3hello_html_60d99773.png, если hello_html_60d99773.png {4; –2}.
5. Дано: hello_html_3c39f083.png {3; –2}, hello_html_45027725.png {2; –3}. Найдите координаты вектора hello_html_m7454f34c.png.
6. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Выразите вектор hello_html_m2d16a3f5.png через векторы hello_html_80e3913.png и hello_html_m6722ddfa.png.
7. Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Найдите его сторону.
8. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы hello_html_m6c29a334.png и hello_html_734c6f0.png
Постройте вектор hello_html_3c39f083.png {–3; 1} с началом в точке О.

1. Запишите разложение по координатным векторам hello_html_m6c29a334.png и hello_html_734c6f0.png вектора hello_html_45027725.png {–3; 0}.
2. Выпишите координаты вектора 
hello_html_3c39f083.png, если его разложение по координатным векторам имеет вид hello_html_m9298815.png.
3. Найдите координаты вектора 
hello_html_m35fbc567.png, равного сумме векторов hello_html_m580db24.png и hello_html_54209029.png, если hello_html_m580db24.png {–5; 0}, hello_html_54209029.png {0; –4}.
4. Найдите координаты вектора –2
hello_html_m59514419.png, если hello_html_m59514419.png {–2; 5}.
5. Дано: 
hello_html_3c39f083.png {3; –2}, hello_html_45027725.png {2; –3}. Найдите координаты вектора hello_html_m71fab84f.png.
6. Диагонали параллелограмма 
ABCD пересекаются в точке О. Выразите вектор hello_html_7d6a97e.png через векторы hello_html_m660f0ac.png и hello_html_7cce6eca.png.
3. Объяснение нового материала.

1) Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Докажем лемму о коллинеарных векторах (слайды 3 – 4).

2) Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом (слайд 5).

3) Вводим понятие координаты вектора.

РПрямая со стрелкой 103Прямая со стрелкой 102Прямая со стрелкой 104Прямая со стрелкой 105Прямая со стрелкой 106Прямая со стрелкой 107ассмотрим прямоугольную систему координат. Отложим от начала координат О единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора i совпало с направлением оси Ох, а направление вектора j – с направлением оси Oy. Векторы i и j назовем координатными векторами.

КПрямая со стрелкой 101Прямая со стрелкой 99Прямая со стрелкой 100Прямая со стрелкой 98Прямая со стрелкой 97оординатные векторы неколлинеарны, поэтому любой вектор р можно разложить по координатным векторам , т.е. представить в виде p = xi + yj, причём коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора р по координатным векторам называются координатами вектора р в данной системе координат. Координатные векторы будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора. На рисунке вектор hello_html_m6b421541.gif, hello_html_m2d440889.gif и вектор hello_html_m6b5c410.gif(слайд 6).

Примеры определения координат векторов (слайды 7, 8, 9)

4Прямая со стрелкой 96) Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (слайд 10).

4. Закрепление изученного № 912 (а – г), № 914, № 916.

5. Домашнее задание п. 86 – 87, № 912 (д - и), № 915 (слайд 11).

6. Итог урока.


2.4.4. Конспект урока геометрии по теме "Скалярное произведение векторов в координатах и его свойства"


Цели:

  • сформулировать и доказать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;

  • ознакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;

  • показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

Материалы и оборудование урока: мультимедиа проектор, презентация в PowerPoint, компьютерный класс (желательно).

План проведения урока:

  1. Организация учащихся.

  2. Сообщение новой темы и постановка цели урока.

  3. Математическая разминка:

а)теоретическая разминка;
б)математический тест.

  1. Изложение нового материала.

  2. Закрепление изученного материала.

  3. Д/з и инструкция к нему.

  4. Подведение итогов урока (сообщение оценок ученикам).

Ход урока

  1. Организация учащихся.

На доске высказывание о математике:

Измеряй свои желанья, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова”. Пифагор

  • Взаимное приветствие; выяснение отсутствующих (причины); организация внимания; объявление темы и цели урока.

  • Напомнить, что бы тетради с выполненным д/з ученики сдали в конце урока.

  1. Постановка цели урока.

Мы продолжаем изучение темы соотношение между сторонами и углами треугольника и сегодня выясним:

  • как вычисляется скалярное произведение двух векторов, зная координаты этих векторов;

  • сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

А начнем мы наш урок с теоретической разминки.

  1. Математическая разминка.

Слайд № 2 

Двое учеников проводили исследовательскую работу на доказательство теоремы Пифагора с применением 1) теоремы косинусов и 2) нахождения длины вектора. Пока ученики оформляют доказательство у доски, мы проверим ваши знания, проведем теоретическую разминку (устно).

Вопросы к учащимся:

  • Сформулируйте теорему синусов (написать формулу на доске).

  • Сформулируйте теорему косинусов (написать формулу на доске).

  • Что значит “решить треугольник”?

  • Какое наименьшее число элементов надо знать, что бы “решить треугольник”?

  • Сформулируйте определение скалярного произведения векторов (написать формулу на доске).

Называя правильные ответы, мы разгадаем по буквам зашифрованное слово.


Задание  Слайд № 3


Здесь зашифровано имя автора этой красивой теоремы: “Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника”. Этот треугольник носит имя автора. Это имя каждому известно, но не в математики. Математикой этот человек занимался удовольствия ради. Он – автор нескольких теорем и известных занимательных геометрических задач. А свое имя он прославил на весь мир совсем по другому поводу. Итак, давайте попробуем разгадать имя автора этой теоремы (Наполеон Бонапарт).

 Слайд № 4

Определите, к какому типу задач “решение треугольника” можно отнести данную модель рисунка:

(появляются модели задач по очереди, варианты ответов внизу под определенной буквой)

hello_html_196143c1.png

Модель 1

hello_html_71a63e1.png

Модель 2

hello_html_6df63bad.png

Модель 3

hello_html_7b07c8a8.png

Модель 4

hello_html_657b9fa6.png

Модель 5


hello_html_m23682472.png

Модель 6



пhello_html_db4db23.gif) Решение треугольника по трем сторонам.
л) Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.
о) Решение треугольника по стороне и углам, один из которых лежит против данной стороны.
н) Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
о) Решение треугольника по трем углам.
е) Решение треугольника не осуществляется.
а) Решение треугольника по стороне и прилежащим углам.

Слайд № 5

Результатом скалярного произведения векторов является …

а) вектор. 
о) число. 
л) градус.

Скалярный квадрат координатного вектора hello_html_m635d4075.png равен:

т) -1.
р) 0. 
н) 1.

Слайд № 6


После отгаданного слова, можно предложить ученику (или нескольким) по желанию дома провести исследовательскую работу по доказательству Теоремы Наполеона.

Далее ученики приводят доказательство теорем Пифагора. Параллельно на экране

Слайд №7 высвечивается доказательство теоремы, которое было применено в 8-м классе.

hello_html_6231d5f8.gif

Тест с последующей взаимопроверкой 

Вариант 1

1. Известно, что hello_html_7e7057c4.gif, где hello_html_3393935b.gif- координатные векторы. Координаты вектора hello_html_m26b9507.gif равны:

а) hello_html_69e9fb64.gif. б) hello_html_m3e29a97a.gif. в) hello_html_m47a8c7e4.gif.

2. Даны вектора hello_html_m487fa64a.gif. Координаты суммы векторов hello_html_m4ffe38d0.gif равны:

а) hello_html_m5c593bf7.gif. б) hello_html_m4f014a9.gif. в) hello_html_m6bb65667.gif.

3. Найдите координаты вектора hello_html_m2d4fc35.gif, если hello_html_m4180c36a.gif.

а) hello_html_m1ea05a35.gif. б) hello_html_25ee83b1.gif. в) hello_html_14d64d4f.gif.

4. Две стороны треугольника равны 7 см и 3 см, угол между ними равен 1200. Третья сторона треугольника равна:

а) hello_html_6905509.gif. б) hello_html_m119f9d43.gif. в) hello_html_668caf34.gif.

5. Скалярное произведение координатных векторов hello_html_4ec6888a.gifравно:

а) 1; б) -1; в) 0.


Вариант 2

1. Известно, что hello_html_m2e35bd81.gif, где hello_html_4ec6888a.gif- координатные векторы. Координаты вектора hello_html_m26b9507.gif равны:

а) hello_html_64213ce7.gif. б) hello_html_5c13f0d.gif. в) hello_html_m11e41f4a.gif.

2. Даны вектора hello_html_4f375381.gif. Координаты разности векторов hello_html_m4ffe38d0.gif равны:

а) hello_html_m7e48525a.gif. б) hello_html_m3e29a97a.gif. в) hello_html_m47a8c7e4.gif.

3. Найдите координаты вектора hello_html_m21cab869.gif, если hello_html_3e96d3f7.gif.

а) hello_html_4c550fc1.gif. б) hello_html_m170d4515.gif. в) hello_html_10595099.gif.

4. Две стороны треугольника равны 3 см и 9 см, угол между ними равен 600. Третья сторона треугольника равна:

а) hello_html_4c7284b0.gif. б) hello_html_m68784b6c.gif. в) hello_html_e9e0627.gif.

5. Скалярное произведение ненулевых векторов hello_html_6699b44.gifравно нулю. Чему равен угол между векторами hello_html_6699b44.gif?

а) 1800; б) 900; в) 00.

hello_html_607e6bf4.gif

Время отведенное на выполнение теста – 5 минут (исчезновение фигур  Слайд № 8


Учащиеся сначала выставляют себе оценку, потом обмениваются карточками и проверяют ответы друг у друга по ответам, заранее подготовленным на экране в виде следующей таблицы:

Слайд №9

hello_html_m63787967.gif

Карточка для ответов математического теста:

Вариант-____

вопроса

Ответы

Работу  проверил
Ф.И.______________

Итоговая оценка (учителя)

1

 

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

Оценка

 

 

 

Работу выполнил Ф.И.___________________
  1. Изложение нового материала.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Слайд № 10


Теорема

Скалярное произведение векторов  hello_html_m7ed91a0b.pngвыражается формулой

hello_html_59412fd9.png

Сравним формулы:

hello_html_2e2890b2.png

hello_html_59412fd9.png

Доказательство этой теоремы можно предложить провести самостоятельно дома 1 ученику (по желанию) и на следующий урок привести его на доске для остальных со всеми выкладками.

Для введения 2 следствий из теоремы можно предложить всем учащимся решить две задачи (1 задача слабым ученикам, 2 – более сильным).

Задача 1.

Известно, что не нулевые векторы  hello_html_m7ed91a0b.png перпендикулярны. Найдите hello_html_c5aedfd.png.

Дано: hello_html_1265b8f0.png

Найти: hello_html_c5aedfd.png

Решение: hello_html_2e2890b2.pngи

hello_html_md6b4747.png

Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:

.hello_html_64f0416c.png

hello_html_m4d563761.png

Тогда hello_html_2397fea0.png

Зhello_html_f2e3e58.pngадача 2.

Известно hello_html_m7ed91a0b.png  ненулевые векторы и  .

Нhello_html_f2e3e58.pngайти hello_html_2a16c4f4.png.

Дано: hello_html_m7ed91a0b.png

Найти: hello_html_2a16c4f4.png

Решение:

hello_html_2e2890b2.png

и hello_html_md6b4747.png

Равны левые части, то равны и правые. Следовательно:

hello_html_64f0416c.pngИз формулы следует:

 hello_html_5a8234d1.pngили hello_html_m23069251.png Т.к.

 hello_html_7ece8f7a.pngи hello_html_50d83941.png, то

hello_html_3aaaf7d1.png

Решив задачи, мы вместе сформулировали следствия 1 и 2.

Слайд №11


Прочитать самостоятельно следствия на странице 267.

Далее вводим свойства скалярного произведения векторов через сравнения действий над числами:

  Слайд №12


Ученики записывают у себя в тетрадях 4 свойства для векторов.

Замечание

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,

hello_html_m64eab15.png.

Слайд №13

  1. Закрепление изученного материала.

  1. Решим задачу № 1044 (а), 1047 (а)

1044 (а)

hello_html_m6b76f477.png

Ответ: -2,5.

1047 (а)

hello_html_212cf68b.png

Ответ: 7,5.

Один из учащихся, решая задачу у доски, комментирует решение вслух; остальные внимательно его слушают, делая при этом записи в тетради, и вносят исправления, если ученик допустил ошибку.

  1. 1044 (в), 1047 (в), 1045 – самостоятельно.

1044 (в)

б)hello_html_7b44cc28.png

Ответ: 5.

1047 (в)

hello_html_m7cd2189.png

Ответ: 0.

1045

hello_html_26bb9bef.png

  1. Домашнее задание и инструкция к нему.

Открыть дневники и записать д/з:

Д/з: П. 103, 104.

Решить задачи № 1044 (б), 1047 (б).

Инструкция к д/з:

  • 1044 (б) – задача на вычисление скалярного произведения (применение теоремы).

  • 96 (б) – задача на применение 1следствия теоремы.

  1. Подведение итогов урока.

Можно в конце урока вывести на экран общую таблицу изученного материала на уроке и по ней еще раз повторить основные сведения.

Слайд № 15

hello_html_294fae92.gif


Закончить урок, хотелось бы словами великого ученого Галилео Галилея:  Слайд № 16

Геометрия является самым могущественным средством для развития наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать”.




Краткое описание документа:

        Из-за большого объма ГОСРеферата полностью загрузить его не удалось, поэтому п 2.4. Описание методики использования ключевых задач при обучении учащихся 9 классов теме «Метод координат»   я вынесдла отдельно.  К сожалению, для того чтобы материал загрузиля мне пришлось удалить основную чсть слайдов из конспектов уроков, но думаю, что это не так важно, ведь презентацию не так сложно подготовить к уроку.

Очень надеюсь, что моя работа кому-нибудь очень поможет.

2.4. Описание методики использования ключевых задач при обучении учащихся 9 классов теме «Метод координат»

2.4.1. Открытый и урок по геометрии  по теме:  «Применение метода координат к решению задач». 40

2.4.2. Конспект урока геометрии на тему:    «Простейшие задачи в координатах»  54

2.4.3. Конспект урока геометрии на тему:  «Координаты вектора». 60

 

2.4.4. Конспект урока геометрии по теме "Скалярное произведение векторов в координатах и его свойства"65

Автор
Дата добавления 25.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров682
Номер материала 409276
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх