Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Готовимся к экзаменам "Проценты"

Готовимся к экзаменам "Проценты"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gifhello_html_28ca0e7b.gif Задачи на проценты.

Процентом называют одну сотую часть.

1% = 1/100 = 0,01

Например: а) найти 5% от числа 240

240 : 100 * 5 = 12 или 240 * 0,05 = 12

б) найти число, если 30% этого числа равно 12

12 : 30 * 100 = 40

за 100% мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

При решении задач на проценты полезные формулы:
если величину
xувеличить на pпроцентов, получим x*(1+p/100).
если величину
xуменьшить на pпроцентов, получим x*(1-p/100).
если величину
xувеличить на pпроцентов, а затем уменьшить на q%, получим x*(1+p/100)(1-q/100).
если величину
xдважды увеличить на pпроцентов, получим x*(1+p/100)^2
если величину
xдважды уменьшить на pпроцентов, получим x*(1-p/100)^2

1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8%, то есть стало равно 40000 *1,08 =43200 человек.


А в 2010 году число жителей выросло на 9
%, теперь уже по сравнению с 2009 годом. Получаем, что в 2010 году в квартале стало проживать 40000 *1,08 *1,09 =47088 жителей.

2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов!

Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили xрублей. К вечеру понедельника они подорожали на p%и стали стоить x*(1+p/100). Теперь уже эта величина принимается за 100%, и к вечеру вторника акции подешевели на p%по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:


в понедельник утром

в понедельник вечером

во вторник вечером

Стоимость акций

x

x*(1+p/100)

x*(1+p/100)(1-p/100)

По условию, акции в итоге подешевели на 4%.

Получаем, что
x*(1+p/100)(1-p/100) = x*(1-4/100)

Поделим обе части уравнения на x(ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.
1-(p^2/100^2) = 1-4/100
p^2/100^2 = 4/100

По смыслу задачи, p> 0.
Получаем, что
p=20.

3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на p%, и теперь она равна
20000(1-p/100)^2 = 15842
(1-p/100)^2 = 15842/20000
(1-p/100)^2 = 7921/10000
1-p/100 = 89/100

p=11.


4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна x, стоимость куртки y. Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 96% от цены куртки, то есть
4
x =0,92 y.

Стоимость одной рубашки — в 4 раза меньше:
x=0,23 y,
а стоимость пяти рубашек:
5
x =1,15 y=115/100 y=115% y.
Получили, что пять рубашек на 15
% дороже куртки.

Ответ: 15

5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация А» и «ситуация В».


муж

жена

дочь

Общий доход

В реальности

x

y

z

x+y+z

Ситуация А

2x

y

z

1,67(x +y+z)

Ситуация В

x

y

1/3z

0,96(x +y+z)

Осталось записать систему уравнений.

( 2x + y + z = 1,67 (x + y + z) ) ( x + y + 1/3z = 0,96 (x + y + z) )

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти x, yи zпо отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму x+y+z. Получим:
x=0,67 (x +y+z)
Это значит, что зарплата мужа составляет 67
% от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение x+y+z, упростим и получим, что
z=0,06(x +y+z)
Значит, стипендия дочки составляет 6
% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27% общего дохода.

Ответ: 27.

Следующий тип задач — задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии


6. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим x.

http://www.ege-study.ru/ege-advices/pict1/213.png

Первый сосуд содержал 0,12 *5 =0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

0,12 * 5 = х/100 * 12
x=5.

7. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна x. Масса второго — тоже x. В результате получили раствор массой 2x. Рисуем картинку.



http://www.ege-study.ru/ege-advices/pict1/215.png

Получаем: 0,15x +0,19x =0,34x =0,17 *2x

Ответ: 17.

8. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». Пусть из xкг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда
10
% от x=95% от 20

Составим уравнение:
0,1
x =0,95 *20
и найдем
x.

Ответ: 190.


9. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой x+y=200.

http://www.ege-study.ru/ege-advices/pict1/216.png

Запишем простую систему уравнений:

( х + у = 200 ) ( 0,1х + 0,3у = 0,25 * 200 )
Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что x=50, y=150.

Ответ: 100.


10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора x, масса второго равна y. Масса получившегося раствора равна x+y+10. Запишем два уравнения, для количества кислоты.

( 0,3х + 0,6у = 0,36 (х + у + 10) ) ( 0,3х + 0,6у + 0,5 * 10 = 0,41 (х + у + 10) )

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на 100, поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

( 30х + 60у = 36х + 36 у + 360 ) ( 30х + 60у + 500 = 41х + 41у + 410 )

( 4у - х = 60 ) ( 11х – 19 у = 90 )

x=60; y=30

Ответ: 60.

Задачи на движение по окружности

Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула S = v*t.



11. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за xи y. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через 1/6часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть 2/3часа.





Запишем эти данные в таблицу:


v

t

S

велосипедист

x

2/3

2/3x

мотоциклист

y

1/6

1/6y

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть 1/6y = 2/3x.

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через 1/2часа после первого обгона.



Нарисуем вторую таблицу.


v

t

S

велосипедист

x

1/2

1/2x

мотоциклист

y

1/2

1/2y

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна 30 км. Получим второе уравнение:

1/2у - 1/2х = 30











Решим получившуюся систему.

( 1/6у = 2/3х ) ( 1/2у - 1/2х = 30 )
( у = 4х ) ( у – х = 60 )

Получим, что x=20, y=80. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80.


12. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа, ровно в 12.00.
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая 1/12часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и 1/12(круга в час). Старт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на 2/3круга больше, поэтому уравнение будет таким:
1*t – 1/12 t = 2/3

Решив его, получим, что t = 8/11часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через 8/11часа. Пусть во второй раз они поравняются через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
1*z – 1/12*z = 1.

Решив его, получим, что z = 12/11часа. Итак, через 12/11часа стрелки поравняются во второй раз, еще через 12/11часа — в третий, и еще через 12/11часа — в четвертый.
Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через
8/11 + 3*12/11 = 4часа.

Нахождение средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
V средняя = S общее / t общее.

Если участков пути было два, то
V средняя = S1 + S2 /(t1 + t2)


13. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за 1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно

1/20, а время, затраченное на полет, равно 1/480. Общее время равно 1/20 + 1/480 = 25/480 = 5/96.
Средняя скорость равна
2/ (5/96) = 38,4км/ч.

Ответ: 38,4.

14. Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Величину работы, примем за 1 — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.




производительность

работа

Андрей

x

1

Паша

y

1

Володя

z

1

Вместе

x+y+z

1



Андрей и Паша покрасили забор за 9 часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:


(
x +y) *9 =1

Аналогично,
(
y +z) *12 =1
(
x +z) *12 =1.

Тогда
x+y=1/9
y+z=1/12
x+z=1/18.

Можно искать x, yи zпо отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
2(x + y + z) = 1/9 + 1/12 + 1/18.
x + y + z = 1/8.

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8.

.




Автор
Дата добавления 20.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров142
Номер материала ДВ-359465
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх