Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Готовимся к ЕНТ Тригонометрические уравнения (Тренажер)

Готовимся к ЕНТ Тригонометрические уравнения (Тренажер)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Готовимся к ЕНТ

Тригонометрические уравнения

(Тренажер)


Т.И. Харитонович, учитель математики

ГУ «Школа-лицей №20» (г. Павлодар)



Решение уравнений разложением на множители.

Пример. Решить уравнение hello_html_32f8960.gif

Решение: Воспользуемся формулой hello_html_m17aa2b77.gif. Уравнение запишется в виде:

hello_html_5c2befde.gif

Но сокращать левую и правую часть на hello_html_410ed87c.gif не рекомендуется. Лучше разложить на множители

hello_html_m155c8255.gif

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_m115ef71c.gif

Первое уравнение решений не имеет, так как функция синус не может принимать значений, по модулю больше единицы. Решение второго уравнения

hello_html_m366861c6.gifhello_html_a9072dd.gif

Ответ: hello_html_m366861c6.gifhello_html_a9072dd.gif


Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.

Пример. Решить уравнение hello_html_m5fedca71.gif

Решение: Воспользовавшись формулой hello_html_7164f7ae.gifперепишем уравнение в виде

hello_html_1c234a79.gif

или

hello_html_m66b9af1a.gif

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений

hello_html_m1108c6d3.gif

Следовательно,

hello_html_m2c64d20a.gifhello_html_m46ec4eec.gifhello_html_da38d66.gif

Первое множество решений целиком содержит в себе второе множество, поэтому в ответ надо записывать только его.

Ответ: hello_html_m2c64d20a.gifhello_html_6dae0f43.gif





Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.

Пример. Решить уравнение hello_html_m4c33e479.gif

Решение: Применим к обоим частям уравнения формулу hello_html_7f490e20.gif Получим

hello_html_m4e33a75d.gif

Воспользовавшись формулой hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7164f7ae.gifприходим к уравнению

hello_html_m1899f572.gif

откуда hello_html_9b56848.gif

Следовательно,

hello_html_meaf6f25.gif

Ответ: hello_html_23dcef5a.gifhello_html_m73348823.gif, hello_html_da38d66.gif


Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям.

Пример. Решить уравнение hello_html_f16b9d9.gif

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством hello_html_50ebd069.gif, получаем уравнение

hello_html_m1f0b918a.gif

Сделав замену hello_html_m3d318e58.gifhello_html_m32ddfa3.gif

приходим к квадратному уравнению относительно новой переменной

hello_html_m525e64b2.gif

корни которого hello_html_7567773e.gif и hello_html_m7042561f.gif

Второй корень не удовлетворяет условию hello_html_m32ddfa3.gif следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

hello_html_m220dbccc.gif

откуда находим

hello_html_m62ca30b8.gifhello_html_m79048a17.gif

Ответ: hello_html_m62ca30b8.gifhello_html_m79048a17.gif










Решение однородных тригонометрических уравнений.

Уравнения вида

hello_html_m3e2ff29b.gif

где hello_html_m734afb91.gif и hello_html_559071c1.gif -некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно hello_html_m3b720646.gifи hello_html_278f2317.gif.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m2fb92aa7.gif

Решение: Разделим правую и левую части на hello_html_278f2317.gif.Получим уравнение hello_html_m56df0158.gif откуда hello_html_105e15ae.gifhello_html_m79048a17.gif

Ответ: hello_html_105e15ae.gifhello_html_m79048a17.gif


Уравнения вида

hello_html_59054512.gif

где hello_html_m734afb91.gif, hello_html_559071c1.gif и hello_html_m12550da.gif- некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно hello_html_m3b720646.gifи hello_html_278f2317.gif.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_3fce63c6.gif

Решение: Разделим правую и левую части на уравнения на hello_html_23028039.gif. В результате приходим к квадратному уравнению относительно hello_html_m49976e4f.gif

hello_html_m509b4c4f.gif

решив которое, получаем hello_html_m62c494af.gif и hello_html_4703fd56.gif,

откуда

hello_html_105e15ae.gifhello_html_m21cf1054.gifhello_html_m11fe704d.gif

Ответ: hello_html_105e15ae.gifhello_html_m21cf1054.gifhello_html_m11fe704d.gif

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m7bad37cd.gif

Решение: Представим правую часть данного уравнения виде hello_html_m6dc642ae.gif.

Тогда исходное уравнение запишется в виде

hello_html_2c949b8e.gif.

После очевидных преобразований приходим к уравнению

hello_html_m23105c26.gif

разобранному в предыдущем примере.














Решение линейных тригонометрических уравнений.

Линейным тригонометрическим уравнением будем называть уравнение вида

hello_html_6a9b5cac.gif, где hello_html_m734afb91.gif, hello_html_559071c1.gif и hello_html_m12550da.gif- некоторые числа.

Пример. Решить уравнение hello_html_m274937ec.gif

Решение: Способ 1. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой hello_html_m62d3e66a.gif. При таком переходе следует помнить, что hello_html_m2ce9afda.gifhello_html_m30ba23db.gif(в этих точках hello_html_m5df7e543.gif не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользовать данной подстановкой значения hello_html_3f8d68de.gif, hello_html_m30ba23db.gif

необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Для сокращения письма введем новую переменную

hello_html_64c574ae.gif.

Исходное уравнение перепишем в виде

hello_html_m5dfebbb7.gif

После очевидных преобразований находим

hello_html_m67d258a9.gif откуда hello_html_m7762e7bf.gifhello_html_m126873c3.gif или hello_html_51d53c36.gifhello_html_m126873c3.gif.

Подставим теперь в исходное уравнение значения hello_html_m6deae98e.gifhello_html_m30ba23db.gif, и убедимся, что они являются его решениями.

Ответ: hello_html_51d53c36.gifhello_html_m6deae98e.gifhello_html_m11fe704d.gif

Способ 2. Перепишем исходное уравнение в виде hello_html_356c6f35.gif

Учитывая, что hello_html_m507225a5.gifhello_html_m2d2b979f.gif получим

hello_html_144bc108.gif

или по формуле hello_html_13686e5e.gif (синуса суммы)

hello_html_4136bf1f.gif Следовательно,

hello_html_m7708b0e2.gifhello_html_md0888b4.gif

Ответ: hello_html_m7708b0e2.gifhello_html_md0888b4.gif

Способ 3.Возведем исходное уравнение в квадрат. После нехитрых преобразований получаем уравнение

hello_html_m2d97b6a6.gif

откуда находим

hello_html_7c68e386.gifhello_html_m67ceec39.gifhello_html_m25ac4a1f.gif

Ответ: hello_html_51d53c36.gifhello_html_m6deae98e.gifhello_html_m11fe704d.gif

Введение дополнительного аргумента.


Умение преобразовывать выражения вида

hello_html_m55460689.gif

может потребоваться не только при решении неоднородных линейных тригонометрических уравнений, но и для построения оценок левой и правой частей уравнений, нахождения наибольших значений и т.д.

Вынесем в рассматриваемом выражении за скобки величину hello_html_649ef948.gif Получим

hello_html_m4319416a.gif.

Введем дополнительный аргумент – угол hello_html_2e28ff68.gif, такой, что hello_html_6d34f794.gif

Для любых hello_html_m734afb91.gif, hello_html_559071c1.gif такой угол существует. Итак,

hello_html_m7a419d92.gif

Введение дополнительного угла hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m154a5599.gif такого, чтоhello_html_63c5d476.gifhello_html_25a1463c.gif исходное выражение может быть приведено к иной функции hello_html_f8d2ca0.gif

Пример. Решить уравнение hello_html_181422e0.gif

Решение: Воспользуемся формулой hello_html_m4e07ab69.gifи перепишем уравнение в виде hello_html_3a0c94ec.gif

Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим

hello_html_38efcdf6.gifили hello_html_70940417.gif

где, как легко видеть, hello_html_m128d09a1.gifПреобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы hello_html_m5ba6750b.gif, приходим к уравнению

hello_html_m4df236c1.gif откуда hello_html_m5ff0b4a4.gif

Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле hello_html_m3e511285.gif

hello_html_m45197fa0.gif

Это уравнение расщепляется на два уравнения hello_html_5a68bd56.gif и hello_html_m7751c21b.gif

решениеhello_html_m53d4ecad.gif которых не представляет сколь-нибудь значительных трудностей.

Ответ: hello_html_m6d938550.gifhello_html_46b52336.gif, hello_html_m3f50a6a9.gif


Уравнения вида hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m19147d6c.gif.

Уравнения вида hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m19147d6c.gif,

где hello_html_777fe0b1.gifhello_html_4ab63f34.gif- многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной

hello_html_7dd02413.gif

Тогда hello_html_m1075adb3.gif

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m2ff7003e.gif

Решение: Введем новую переменную

hello_html_m428e426d.gif

Тогда


hello_html_5fddf9a0.gif

Следовательно,

hello_html_m4cfb0800.gif

и исходное уравнение принимает вид

hello_html_m5db251ac.gif

корни последнего уравнения

hello_html_m56f8626d.gif и hello_html_68f47561.gif.

Для определения переменной hello_html_m5547f17b.gif получаем 2 уравнения

hello_html_m7e3bdd11.gifhello_html_263099c0.gif

hello_html_m3eef4f1c.gifhello_html_m126873c3.gif решений не имеет.

Ответ. hello_html_m3eef4f1c.gif, hello_html_m126873c3.gif.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_m12136fc4.gif

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем исходное уравнение в виде

hello_html_m11d9b13b.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Введем новую переменную

hello_html_5bce08e7.gif

и запишем уравнение относительно новой переменной

hello_html_m692ca777.gif

Уравнение является кубическим, поэтому попробуем угадать хотя бы один корень. Разделив затем многочлен hello_html_m1eda0245.gifна двучленhello_html_m69d5902.gif подучим квадратный трехчлен относительно переменной hello_html_25ca66e5.gif. Это позволяет нам перейти к квадратному уравнению, решить его. Остается возвратиться к исходной неизвестной hello_html_m5547f17b.gif и записать ответ.

Ответ. hello_html_m7fa49f11.gif.





Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения

1. hello_html_m44723a6d.gif

2. hello_html_649b9cbf.gif

3. hello_html_m521ab640.gif.

4. hello_html_57b93f2b.gif.

5. hello_html_feae802.gif

6. hello_html_52b5bc07.gif

7. hello_html_5a3e5ad.gif

8. hello_html_m5b664471.gif

9. hello_html_5e0bd1c4.gif

10. hello_html_2ef739f0.gif.

11. hello_html_m773f1b3e.gif

12. hello_html_1575e3ce.gif

13. hello_html_m5958f638.gif

14. hello_html_762ba75b.gif

15. hello_html_m693400d4.gif

16. hello_html_52aaae04.gif

17. hello_html_m24f2ed41.gif

18. hello_html_31a62ef5.gif

19. hello_html_2718650b.gif

20. hello_html_467051d9.gif

21. hello_html_m1e3b5f5.gif

22. hello_html_m21c22457.gif

23. hello_html_m68c9146c.gif

24. hello_html_58fe5b7e.gif
















Ответы.

1. пустое множество.

2. hello_html_3aa7ff25.gif

3. hello_html_3d0d29c0.gif

4. hello_html_mdc31ed5.gif

5. hello_html_m3f071f14.gif

6. hello_html_m66939700.gif

7. hello_html_m28fe0945.gif

8. hello_html_2c9dba49.gif

9. hello_html_m38fe2fa5.gif

10. hello_html_mae65409.gif

11. hello_html_m41d63ad.gif

12. hello_html_13043960.gif

13. hello_html_m1d7cf359.gif

14. hello_html_m2442ae02.gif

15. hello_html_m6df3bf99.gif

16. hello_html_2d527226.gif

17. hello_html_2d527226.gif

18. hello_html_645b1abd.gif

19. hello_html_m3b51df88.gif

20. hello_html_15fdade4.gif

21. hello_html_m519c5bda.gif

22. Пустое множество.

23. hello_html_53f3f149.gif 24. hello_html_1994097f.gif

Автор
Дата добавления 14.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров620
Номер материала ДВ-154335
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх